天津市河北区2020届高三总复习质量检测(二)数学试题

河北区2019－2020高三总复习质量检测二数 学参考公式：· 如果事件A ，B 互斥，那么P （A ∪B ）＝P （A ）＋P （B ）· 如果事件A ，B 相互独立，那么P （AB ）＝P （A ）P （B ）· 球的表面积公式 S ＝24R π球的体积公式 V ＝343R π其中R 表示球的半径一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知全集{1234}U =，，，，集合{13}A =，，{4}B =，则()U A B =I ð（A ）{2} （B ）{4}（C ）{24}， （D ）{134}，，（2）命题“000e 1x x x ∃∈>+R ，”的否定是（A ）e 1x x x ∀∈<+R ，（B ）000e1x x x ∃∈<+R ，（C ）e 1x x x ∀∈+R ，≤ （D ）000e 1xx x ∃∈+R ，≤（3）若复数12i2ia +-（i 为虚数单位）的实部与虚部相等，则实数a 的值为 （A ）16（B ）16-（C ）1 （D ）1-（4）袋子中有6个大小质地完全相同的球，其中1个红球，2个黄球，3个蓝球，从中任取3个球，则恰有两种颜色的概率是 （A ）35（B ）45（C ）720（D ）1320（5）某班同学进行社会实践，对[2555]，岁的人群随机抽取n 人进行了生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图如下，则图表中的p ，a 的值分别为（A ）0.79，20 （B ）0.195，40（C ）0.65，60 （D ）0.975，80（6）已知双曲线2222:1(00)x y C a b ab-=>>，和直线:153x y l +=，若过双曲线C 的左焦点和点(0)b -，的直线与直线l 平行，则双曲线C 的离心率为 （A ）54（B ）53（C ）43（D ）5（7）已知抛物线22(0)y px p >=的焦点为F ，准线为l ，直线()2p y k x =-交抛物线于A ，B 两点，过点A 作准线l 的垂线，垂足为E ，若等边AEF ∆的面积为3，则BEF ∆的面积为（A ）63 （B ）123 （C ）16 （D ）3（8）已知函数2()3cos cos f x x x x =+，则（A ）()f x 的最小正周期为2π （B ）()f x 的图象关于点π(0)12-，对称（C ）()f x 的最大值为2 （D ）()f x 的图象关于直线π6x =对称（9）已知函数()ln ()f x x x m m =-+∈R ，若()f x 有两个零点1212()x x x x <，，则下列选项中不正确．．．的是 （A ）1m <- （B ）122x x +≤（C ）101x << （D ）1212ex x x x -=河北区2019－2020学年度高三年级总复习质量检测（二）数 学第Ⅱ卷注意事项：1． 答卷前将密封线内的项目填写清楚。

2． 用黑色墨水的钢笔或签字笔答在答题纸．．．上。

3． 本卷共11小题，共105分。

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 请将答案写在答题纸上.（10）二项式6(x的展开式中的常数项为 ．（11）圆心在直线30x y -=上，与x 轴相切，且被直线0x y -=截得的弦长为的 圆的方程为 ．（12）曲线1e xy x=-在点(1(1))f ，处的切线的斜率为 ，在该点处的切线方程为 ．（13）已知00a b >>，，且33+122a b =++，则2a b +的最小值为______________．（14）在平行四边形ABCD 中，已知2AB =，1AD =，60BAD ∠=︒，若CE ED =u u u r u u u r，2DF FB =u u u r u u u r ，则AE AF ⋅=u u u r u u u r．（15）已知函数21(1()2421x x f x =x +x x ⎧⎪⎨⎪>⎩)，≤，-，，- 若关于x 的方程()()f x a a =∈R 恰有两个互异的实数解，则a 的取值范围是 ．三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（16）（本小题满分14分）已知ABC ∆的内角A B C ，，的对边分别为ab c ，，，满足 222(cos cos )b c a c a C c A +-=+．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若cos B =，求sin(2)B A +的值； （Ⅲ）若ABC ∆3a =，求ABC ∆的周长．请将答案写在答题纸上得 分 评卷人 （17）（本小题满分15分）如图，直三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都是2，D ，E 分别是AC ，1CC 的中点． （Ⅰ）求证：AE ⊥平面1A BD ；（Ⅱ）求直线AB 与平面1A BD 所成角的正弦值； （Ⅲ）求二面角11B A D B --的余弦值．请将答案写在答题纸上（18）（本小题满分15分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2347n n S a n =+-，n *∈N ． （Ⅰ）证明：数列{2}n a -是等比数列； （Ⅱ）若+12(1)(1)n n n n a b a a -=--，n *∈N ，求数列{}n b 的前n 项和n T ．请将答案写在答题纸上（19）（本小题满分15分）已知椭圆C :22221(0)x y +=a >b >ab的短轴长为13．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设椭圆C 的左，右焦点分别为1F ，2F ，左，右顶点分别为A ，B ，点M ，N 为椭圆上位于x 轴上方的两点，且12F M F N ∥，记直线AM ，BN 的斜率分别为1k ， 2k ，若12320k k +=，求直线1F M 的方程．请将答案写在答题纸上（20）（本小题满分16分）已知函数1ln ()12xf x ax a x-+-=，其中a ∈R ． （Ⅰ）若()f x 为单调递减函数，求a 的取值范围； （Ⅱ）若()f x 有两个不同的零点，求a 的取值范围．请将答案写在答题纸上河北区2019－2020学年度高三年级总复习质量检测（二）数 学 答 案一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．（10）15； （11）22(1)(3)9x y -+-=，或22(1)(3)9x y +++=；（12）e 1+，(e 1)2y x +-=； （13）3； （14）52；（15）102a <<，或12a <≤．三、解答题：本大题共5小题，共75分．（16）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）∵222(cos cos )b c a c a C c A +-=+，由余弦定理得，222222222()22a b cb c ab c a c acabbc+-+-+-=+． .…….……2分化简得，222b c a bc +-=． .…….……3分 ∴2221cos 22b c aA bc+-==． .…….……4分又0πA <<， ∴π3A =． .…….……5分（Ⅱ）由已知得，sin B ． .…….……6分∴22sin 22sin cos B B B ==， 21cos22cos 13B B =-=-． .…….……8分∴πππ223sin(2)sin(2)sin 2cos cos2sin 333B A B B B -+=+=+=． .…….……10分（Ⅲ）∵11343sin 22S bc A bc ==⋅=， ∴163bc =． .…….……12分由余弦定理得，22222cos ()22cos a b c bc A b c bc bc A =+-=+--．解得5b c +=．∴ABC ∆的周长为8a b c ++=． .…….……14分（17）（本小题满分15分）证明：（Ⅰ）取11A C 的中点G ，连接DG ． 由题意，易证DG ，DA ，DB 两两垂直．以D 为坐标原点，以DG ，DA ，DB 所 在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如 图所示的空间直角坐标系， 则(000)D ，，，(010)A ，，，1(210)A ，，，(110)E -，，，(003)B ，，，1(203)B ，，， 1(120)(210)AE DA =-=u u ru u u r，，，，，，(003)DB =u u u r，，． .…….……2分∵10AE DA ⋅=u u r u u u r ，0AE DB ⋅=u u r u u u r，∴1AE DA ⊥，AE DB ⊥． .…….……4分 又1DA DB D =I ，∴AE ⊥平面1A BD ． .…….……5分 解：（Ⅱ）由（Ⅰ）可得平面1A BD 的法向量(120)=-，，n ． .…….……7分 (013)AB =-u u r，，． 设直线AB 与平面1A BD 所成的角为α．∵5sin cos 25AB αAB AB ⋅====⨯⋅u u u r u u u r u u u r，n n n， ∴直线AB 与平面1A BD 所成角的正弦值为5． .…….……10分 （Ⅲ）设平面11A B D 的法向量()x y z =，，m ．∵11(210)(203)DA DB ==u u u r u u u r，，，，，，∴1100DA DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u r u u u u r，，m m即2020x y x +=⎧⎪⎨=⎪⎩，.不妨取x2)=--m ． .…….……12分 设二面角11B A D B --的平面角为θ．∵cos cos θ⋅===⋅，m n m n m n∴二面角11B A D B --.…….……15分（18）（本小题满分15分）证明：（Ⅰ）当1n =时，11233S a =-，∴13a =． .…….……1分当2n ≥时，2347n n S a n =+-，11234(1)7n n S a n --=+--， .…….……2分∴12334n n n a a a -=-+，即134n n a a -=-． .…….……4分从而123(2)n n a a --=-，即1232n n a a --=-． .…….……6分又121a -=，∴数列{2}n a -是以1为首项，3为公比的等比数列． .…….……7分 解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知123n n a --=，即132n n a -=+． .…….……9分∴111123111()(1)(1)2(31)(31)3131n n n n n n n n n a b a a ---+--++=-+=+-=． .…….……11分011211111111(....)2313131313131111()2231114232..15n n n n n T -+++++++⋯⋯⋯⋯+=-+-++-=-=-⨯∴． 分（19）（本小题满分15分）解：（Ⅰ）由题意可知，213b c a ⎧=⎪⎨=⎪⎩， 又222+a b c =， .…….……3分解得3a =，b =1c =．∴椭圆C 的方程为 22198x y +=． .…….……5分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，(30)A -，，(30)B ，，1(10)F -，，2(10)F ，．设直线1F M 的方程为1x my =-． .…….……6分记直线1F M 与椭圆的另一交点为M '．设11()M x y ，1(>0)y ，22()M x y '，．∵12F M F N ∥，由对称性得，22()N x y -，-． 由221198x my x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩-，， 消去x ，整理得22(89)16640m y my +--=． .…….……7分 ∵22(16)4(89)(64)0m m ∆=--⨯+⨯->，∴1221689m y +y m +=，1226489y y m +⋅=-． ① .…….……9分 由12320k +k =， 得121232022y y +my my =++，即12125640my y y +y ⋅+=． ② .…….……11分 由①②，解得1212889m y m =+，2211289m y m =-+． .…….……13分 ∵1>0y ，∴>0m ．∴1222212811264()898989m m y y m m m +⋅=⋅-=++-．解得12m =． .…….……14分∴直线1F M的方程为1x y =-，即0y -+． .…….……15分（20）（本小题满分16分）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为(0+)∞，． .…….……1分 ∵1ln ()12x f x ax a x-+-=， ∴211ln ()2x f x a x -'-=． .…….……2分 若函数()f x 为单调递减函数，则()0f x '≤． ∴222ln x a x-≤ 对(0)x ∈+∞，恒成立． .…….……4分 设222ln ()x g x x -=．令34ln 6()0x g x x -'==， 解得3ln 2x =． ∴32e x =．∵函数()g x 在32(0e )，单调递减，在32(e +)∞，单调递增，∴函数()g x 的最小值为3231(e )e g -=． .…….……6分 ∴31e a -≤，即a 的取值范围是31(]e-∞-，． .…….……7分 （Ⅱ）由已知，21(1)ln 2()ax a x x f x x---=． 设21()(1)ln 2h x ax a x x ---=， 则函数()f x 有两个不同的零点等价于函数()h x 有两个不同的零点． ∵21(1)1(1)(1)()(1)ax a x ax x h x ax a x x x---+-'---===， .…….……8分 ∴（1）当0a ≥时，函数()h x 在(01)，单调递减，在(1+)∞，单调递增．若函数()h x 有两个不同的零点， 则1(1)102h a -+<=，即2a >．当2a >时，当(1+)x ∈∞，时，(2)22(1)ln 22ln 20h a a ---->==．当(01)x ∈，时，21()(2)ln 2h x a x x x x -+-=， ∵2120x x -<-<， ∴1()ln 2h x a x x >+--． ∴111122221(e)e ln e e 02a a a a h a ---->+->-=． ∴函数()h x 在(01)，，(1+)∞，上各有一个零点．故2a >符合题意． .…….……11分（2）当1a =-时，∵函数()h x 在(0)+∞，单调递减，∴函数()h x 至多有一个零点，不符合题意． .…….……12分（3）当10a -<<时，∵函数()h x 在(01)，单调递减，在1(1)a -，单调递增，在1(+)a-∞，单调递减， ∴函数()h x 的极小值为1(1)102h a =+>-． ∴函数()h x 至多有一个零点，不符合题意． .…….……14分（4）当1a <-时，∵函数()h x 在1(0)a -，单调递减，在1(1)a -，单调递增，在(1+)∞，单调递减， ∴函数()h x 的极小值为11()1ln()02h a a a-=+->-． ∴函数()h x 至多有一个零点，不符合题意． 综上，a 的取值范围是(2)∞，+． .…….……16分。