矩阵分析与应用-教学介绍
矩阵分析与应用
编码理论
象层 步特征分 抽象层面的进一步特征分析
12
教学大纲
第 周 第一周 第二周 第三周 周一 周四 周一 周四 周一 周四 周一 第四周 周四 第五周 周一 周 周四 背景介绍，矩阵分析应用 矩阵基础知识复习 向量空间，赋范空间 矩阵标量函数 逆矩阵，伪逆矩阵，MP逆矩阵 矩阵函数 Hermitian矩阵，酉矩阵，Toeplitz矩阵， 循环矩阵 Vandermonde矩阵，Fourier矩阵， Hadamard矩阵，稀疏矩阵 矩阵对角化分解 数值稳定性 矩阵对角化分解，数值稳定性 矩阵三角化分解，三角对角化分解
-1 -1
特征值，特征向量 特征值 特征向量
Ax x
2
矩阵分析课程介绍
起点：线性代数的矩阵基本知识 起点 线性代数的矩阵基本知识 目标：基于分析的语言，学习矩阵理论
特殊矩阵
矩阵 基本理论
矩阵分解
子空间与 投影分析
抽象代数 简介
矩阵特征 分析
3
矩阵基本理论
向量，向量空间，内积空间 加法，标量乘法，闭合 矩阵范数 矩阵“长度” A 矩阵标量函数
13
教学大纲
第六周 第七周 第八周 第九周 第十周 第十一周周 第十 周周 末 周一 周四 周一 周四 周一 周四 周一 周四 周一 周四 特征值，特征向量，Hamilton-Cayley定理 KL变换，主分量分析 广义特征值分解 R l i h商 特征值扰动 Rayleigh商，特征值扰动 子空间理论，子空间投影 投影分析 最小二乘 投影分析，最小二乘 稀疏矩阵表示，压缩感知 稀疏矩阵方程求解，优化理论与方法 抽象代数：群，环 抽象代数：域 第一阶段考核
y {A x, x R N }
《矩阵分析》教学大纲.doc
《矩阵分析》教学大纲(Matrix Analysis, 14xs20012)一、前言1、课程概述本课程内容包括线性空间与线性变换，矩阵的Jordan标准型，内积空间，正规矩阵，Hermite矩阵，二次型，矩阵分解，特征值的估计与计算，矩阵的扰动问题，向量范数与矩阵范数，矩阵序列和级数，广义逆矩阵，矩阵函数等内容。
《矩阵分析》的特点之一是在介绍矩阵论有关基础理论的同时，引入用MATLAB进行计算的相关内容，使读者能将理论与实践相结合，在培养学生理论水平、演绎推理能力的同时还培养了学生的实际动手能力。
实践内容包括MATLAB软件的讲解和实际动手操作。
2、课程性质专业基础课3、学分与学时本课程总学分：6学分，总学时：48学时。
其中理论课40学时；实践：8学时。
本课程针对计算机应用技术专业研究牛的知识结构背景，在其本科阶段所学的《线性代数》的基础之上，进一步深化和提高矩阵理论的相关知识，并着重培养学生运用矩阵分析的知识和方法解决计算机应用领域相关问题的能力。
通过本课程的学习，使学生掌握矩阵理论的基本概念，基本理论和基本方法，全面了解和掌握矩阵的标准形、特征值与特征向量、矩阵分解、范数与矩阵函数等重点内容，了解近代矩阵理论中十分活跃的若干分支，为今后的进一步学习和研究打下扎实的基础。
5、使用对象计算机应用技术专业一年级学历硕士研究生6、知识背景要求线性代数，程序设计二、讲授提纲第1章线性空间与线性变换（-）本章概述本章首先从线性空间的基本概念讲起，逐步介绍基与坐标、坐标变换，线性子空间, 线性映射，线性映射的值域、核，线性变换的矩阵与线性变换的运算，门维线性空间的结构，线性变换的特征值与特征向量，线性变换的不变子空间，矩阵的相似形等重要概念和方法，同时还要对线性方程组解的结构定理进行复习。
实践环节讲解用MATLAB求解线性方程组的方法和技巧。
（二）教学目标介绍教材及全课程内容，使学生对本课有一个总体的印象，对进一步的学习起到提纲挈领的作用。
矩阵分析与应用课程设计
矩阵分析与应用课程设计一、背景介绍在大学数学课程中，矩阵分析成为一个非常重要的内容。
矩阵分析作为现代数学的一个重要分支，被广泛应用于物理、经济、组合优化、图形图像处理以及其他数学领域中。
因此，矩阵分析课程的教学往往也是大学数学课程中不可或缺的一部分。
二、课程设计目标本课程设计旨在通过编写矩阵分析代码实践和应用，帮助学生深入了解矩阵分析的原理和应用。
希望通过本次课程设计，学生能够掌握以下技能：1.熟练掌握Python等语言中进行矩阵计算的基本操作；2.掌握矩阵分析的基本理论和应用；3.熟悉Python等语言中常见的矩阵分析工具，如numpy、scipy等，并能够灵活应用。
三、课程设计内容本课程设计涵盖以下内容：•在Python等语言中利用numpy等工具编写矩阵计算程序，包括矩阵求逆、矩阵乘法、矩阵求秩等操作；•矩阵分析的基本理论和应用，包括线性方程组求解、矩阵特征值和特征向量、最小二乘法等；•利用Python等语言中的matplotlib等工具实现二维、三维图形的矩阵可视化，如矩阵的热度图、散点图等；•矩阵分析的实践应用，如图像处理、信号处理、金融风险评估等。
四、课程设计方案本课程设计采用以下方式进行：第一阶段：矩阵计算程序的编写本阶段主要通过引导学生编写Python等语言中的矩阵计算程序，来帮助学生加深对矩阵计算基本操作的掌握。
此阶段具体内容包括：1.矩阵求逆的实现；2.矩阵乘法的实现；3.矩阵求秩的实现。
第二阶段：矩阵分析理论的学习本阶段将重点介绍矩阵分析的基本理论和应用，并通过具体的例子来加深学生对理论的理解。
此阶段具体内容包括：1.线性方程组求解；2.矩阵特征值和特征向量的求解；3.最小二乘法的应用。
第三阶段：矩阵可视化的实现本阶段将介绍Python等语言中的matplotlib等工具，来帮助学生实现二维、三维图形的矩阵可视化。
此阶段具体内容包括：1.矩阵的热度图；2.矩阵的散点图。
第四阶段：矩阵分析的实践应用本阶段将以图像处理、信号处理和金融风险评估为例，介绍矩阵分析的实践应用。
矩阵分析教程第二版教学设计 (2)
矩阵分析教程第二版教学设计矩阵分析是一门重要的数学课程，也是许多高级数学、物理学、计算机科学以及工程学科的基础。
本文将介绍矩阵分析教程第二版的教学设计，帮助学生更好地学习和应用矩阵分析知识。
课程概述矩阵分析是一门在计算机科学、工程学、物理学以及其他学科中广泛应用的基础数学课程。
本教程旨在介绍矩阵分析的基本概念、原理与应用，包括矩阵的基本运算、矩阵的特征值与特征向量、行列式等。
教学内容第一章：基本概念与运算本章主要介绍矩阵的基本概念和运算，包括矩阵与向量的区别、矩阵元素的表示方法、矩阵的加减法和数乘运算等。
通过实例演示，学生可以更好地理解矩阵的基本运算规则。
第二章：矩阵乘法矩阵乘法是矩阵分析中一个非常重要的运算，本章将详细介绍矩阵乘法的定义和性质，包括如何进行乘法规则的推导、矩阵乘法的结合律、分配律、逆元素和零因子等概念。
第三章：矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值和特征向量是矩阵分析中的一个重要概念，本章将对其进行详细介绍。
学生将学习如何计算矩阵的特征值和特征向量，以及如何根据特征值和特征向量计算矩阵的幂。
第四章：行列式行列式是矩阵分析中另一个重要的概念，本章将对行列式的定义和性质进行详细介绍。
学生将学习如何计算行列式以及如何使用行列式来求解线性方程组等问题。
教学方法本教程采用讲授和实践相结合的方法，以案例教学为主，辅以实验课程。
在课堂上，老师将通过丰富的教学资源和教学技巧来讲解矩阵分析的知识点，帮助学生更好地理解和应用所学知识。
此外，本课程还将辅以实验，让学生通过实践来加深对矩阵分析的理解和掌握。
考核方式本教程将采用闭卷考试的方式进行考核，考试内容包括底层数学知识、算法和编程能力。
此外，本课程还将提供练习课和期中综合实验，帮助学生巩固所学内容，同时对学生进行定期评估和反馈。
总结矩阵分析是一门重要的数学课程，本教程旨在通过案例教学和实践课程，帮助学生更好地理解和掌握矩阵分析的基本概念、原理与应用。
矩阵分析与应用 第1章
矩阵的代数性质1.矩阵是线性映射的表示：线性映射的相加表示为矩阵的相加线性映射的复合表示为矩阵的相乘2.矩阵是一种语言，它是表示复杂系统的有力工具。
学习矩阵理论的重要用途之一就是学会用矩阵表示复杂系统的关系，培养根据矩阵推演公式的能力是学习矩阵论的目的之一。
定义一个矩阵有几种方式：可以通过定义矩阵的每一个元素来定义一个矩阵，也可以通过矩阵具有的性质来定义一个矩阵。
如：对称矩阵可以定义为：a ij=a ji也可以定义为: (x, Ay)=(Ax,y),还可以定义为：Ax= f(x), 其中f(x)=x T Ax/2,即它对向量x 的作用相当于函数f(x)在x处的梯度。
3. 矩阵可以表示为图像矩阵的大小可以表示为图像。
反之，一幅灰度图像本身就是矩阵。
图像压缩就是矩阵的表示问题. 这时矩阵相邻元素间有局部连续性，既相邻的元素的值大都差别不大。
4. 矩阵是二维的(几何性质)矩阵能够在二维的纸张和屏幕等平面媒体上表示，使得用矩阵表示的问题显得简单清楚，直观，易于理解和交流。
很多二元关系很直观的就表示为矩阵，如关系数据库中的属性和属性值，随机马尔科夫链的状态转移概率矩阵，图论中的有向图或无向图的矩阵表示等。
第一章：线性空间和线性变换1.线性空间集合与映射集合是现代数学最重要的概念，但没有严格的定义。
集合与其说是一个数学概念，还不如说是一种思维方式，即用集合(整体)的观点思考问题。
整个数学发展的历史就是从特殊到一般，从个体到整体的发展历程。
集合的运算及规则，两个集合的并、交运算以及一个集合的补；集合中元素没有重合，子集，元素设S，S'为集合映射：为一个规则σ：S → S', 使得S中元素a和S'中元素对应，记为a'=σ(a),或σ：a→a'.映射最本质的特征在于对于S中的任意一个元素在S'中仅有唯一的一个元素和它对应。
映射的原象，象；映射的复合。
满射,单射,一一映射。
矩阵分析与计算教学大纲
编号：070111A16 课程名称：矩阵分析与计算英文名称：Matrix Analysis and Computation一、课内学时： 32 学分： 2二、适用专业：理工科硕士生，经济学硕士生三、预修课程：线性代数，微积分四、教学目的：任何涉及数学的领域（包括工程学，最优化，经济学，控制论，电子学，网络等等）都需要矩阵的知识。
本课程介绍矩阵分析及计算的基本概念和基本方法，力求花较少的时间，使学生了解到较多的实用的概念和方法，做到知识面广，使学生有能力处理在各自学科研究中出现的矩阵基本问题。
五、教学方式：课堂授课六、大纲内容（包括实验内容）及学时分配、对学生的要求：(注：“*”表示重点，“#”表示难点，“★”表示涉及学科前沿，“●”表示研究性内容)1、矩阵的标准型（6学时）1.1矩阵的相似对角形1.2矩阵的Smith标准形，不变因子，初等因子#1.3Jordan 标准型*1.4Hamilton-Cayley定理1.5酉空间，酉矩阵1.6酉相似标准型2、向量范数，矩阵范数（6学时）2.1 向量范数2.2 矩阵范数*2.3 矩阵范数与向量范数的相容性2.4 矩阵的谱半径及应用2.5 矩阵的条件数及应用3、矩阵分解（3学时）3.1 三角分解3.4 矩阵的满秩分解*3.5 矩阵的奇异值分解#4、矩阵特征值的估计与计算（3学时）3.1 盖尔圆定理3.2 特征值的隔离*3.3 幂迭代法与逆幂迭代法5、广义逆矩阵（3学时）5.1 Penrose 方程5.2 {1}-逆的计算及性质5.3 Moore.Penrose逆的计算及性质*6、矩阵函数（3学时）6.1 矩阵函数的定义与计算*6.2 矩阵函数的导数和积分6.3 利用矩阵函数求解线性常系数微分方程组7、线性方程组的直接解法（3学时）7.1 Gauss 消去法7.2 直接三角分解解法8、线性最小二乘问题（1学时）8.1 基本理论结果*8.2 法方程组的方法9、线性方程组的迭代解法（4学时）9.1 迭代法的一般概念9.2 Jacobi 迭代法，Gauss-Seidel 迭代法*9.3 松弛迭代法9.4 极小化方法#七、参考书及学生必读参考资料：教材：朱元国，饶玲，严涛，张军，李宝成编，矩阵分析与计算，北京：国防工业出版社，2010年8月八、大纲撰写人：朱元国九、任课教师：朱元国，饶玲，严涛，张军，李宝成，徐元，张峥嵘等。
研究生矩阵分析课程课件
矩阵分析
02
矩阵的三角分解
三角分解是一种将一个矩阵分解为一个下三角矩阵和一个上三角矩阵之和的方法，这种方法在解决线性方程组、计算行列式和求逆矩阵等问题中有着广泛的应用。
矩阵的QR分解
QR分解是一种将一个矩阵分解为一个正交矩阵和一个上三角矩阵之积的方法，这种方法在解决最小二乘问题、求解线性方程组和计算矩阵的范数等问题中有着重要的应用。
神经网络是一种模拟人脑神经元结构的计算模型，由多个神经元组成，用于处理复杂的数据模式。参数矩阵在神经网络中起到传递信息的作用，通过调整参数矩阵的值，可以训练神经网络以适应不同的任务和数据集。参数矩阵的学习和优化是神经网络训练过程中的核心步骤。
课程总结与展望
06
矩阵基本概念：矩阵作为线性代数中的基本概念，是解决实际问题的有力工具。课程中详细介绍了矩阵的定义、性质以及矩阵的运算规则，如矩阵加法、数乘、乘法等。
矩阵的范数
线性方程组与矩阵
03
高斯消元法是一种求解线性方程组的直接方法，通过消元和回代步骤求解方程组。
高斯消元法的基本思想是将增广矩阵通过行变换化为阶梯形矩阵，然后回代求解未知数。在每一步消元过程中，通过将某一行的倍数加到其他行上，使得当前未知数的系数变为0，从而简化方程组。
总结词
详细描述
总结词
大数据与矩阵分析
在大数据时代，如何有效地处理和分析大规模数据成为亟需解决的问题。矩阵分析作为处理线性代数问题的有力工具，未来可以进一步研究如何将其应用于大数据处理和分析中。
数值计算与矩阵分析
数值计算是解决各种数学问题的重要手段，而矩阵分析作为数值计算的基础，其重要性不言而喻。未来可以进一步研究如何提高矩阵分析的数值计算精度和效率，以满足各种复杂数学问题的求解需求。
矩阵分析教学设计 (2)
矩阵分析教学设计一、教学目标本次矩阵分析教学的目标主要分为三个方面：1.了解矩阵分析的基本概念和理论知识；2.掌握矩阵分析的基本技能和实际应用能力；3.培养学生分析与解决实际问题的能力。
二、教学内容1.矩阵基础知识–矩阵的定义、运算法则；–矩阵的迹、行列式；–线性方程组的矩阵表示和求解；2.矩阵分析基本方法–矩阵的特征值和特征向量；–矩阵的相似变换和对角化；–矩阵的奇异值分解；3.矩阵分析应用实例–线性回归问题的矩阵分析解法；–离散傅里叶变换的矩阵分析解法；–图像压缩中的矩阵分析应用。
1.讲授法：通过PPT和讲解介绍矩阵分析的基本概念、基本方法和应用实例；2.互动式教学法：采用小组讨论、研讨和案例分析等形式来促进学生的思维和理解；3.实验式教学法：通过实际操作，让学生亲自体验矩阵分析的应用方法，提升实际运用能力。
四、教学评估1.听课笔记：学生需要每节课认真听讲，并作好相应的笔记；2.个人作业：每个学生需要按时完成相应的学习任务和小组讨论；3.实验报告：学生需要完成一份实验报告，详细介绍实际操作中的问题和解决方法；4.期末考试：学生需要参加期末考试，包括选择题和简答题两种形式。
五、教学资源1.PPT课件：包括矩阵分析基础、基本方法和应用实例的讲解PPT；2.代码实现：提供Python语言实现相关代码；3.相关书籍：（1）《矩阵分析与应用》（高新科技出版社），（2）《线性代数及其应用》（机械工业出版社）。
章节内容课时安排第一章矩阵基础知识 3第二章矩阵分析基本方法 6第三章矩阵分析应用实例 6第四章复习巩固 1合计16七、教学反思在本次教学中，我们注重理论与实践相结合的方法，让学生通过大量的案例分析和实际操作来掌握矩阵分析的基本方法和实际应用技能，同时强化学生的分析、解决问题的能力。
然而，也需要注意的是，矩阵分析作为一门比较抽象和高深的数学理论，对学生的要求也比较高。
因此，在教学过程中，我们需要不断激发学生的学习兴趣，引导学生主动参与课上讨论和课下实验，提升学生的自主学习和实际操作能力，以期达到教学目标。
矩阵分析课程设计
矩阵分析课程设计一、教学目标本课程的教学目标是使学生掌握矩阵分析的基本概念、理论和方法，包括矩阵的线性空间、矩阵的秩、特征值和特征向量等，培养学生运用矩阵分析解决实际问题的能力。
1.理解矩阵的基本概念和运算规则。
2.掌握矩阵的线性空间和线性变换。
3.理解矩阵的秩及其计算方法。
4.掌握特征值和特征向量的计算方法及其应用。
5.能够运用矩阵分析解决线性方程组问题。
6.能够运用矩阵分析解决最小二乘法问题。
7.能够运用矩阵分析解决线性变换问题。
情感态度价值观目标：1.培养学生对数学的兴趣和好奇心。
2.培养学生严谨、逻辑严密的思维方式。
3.培养学生合作、交流的学习态度。
二、教学内容本课程的教学内容主要包括矩阵的基本概念、矩阵的线性空间、矩阵的秩、特征值和特征向量等。
1.矩阵的基本概念：矩阵的定义、矩阵的运算规则、矩阵的行列式。
2.矩阵的线性空间：线性空间的定义、线性空间的性质、线性空间的基底和维数。
3.矩阵的秩：矩阵秩的定义、矩阵秩的计算方法、矩阵秩的应用。
4.特征值和特征向量：特征值和特征向量的定义、特征值和特征向量的计算方法、特征值和特征向量的应用。
三、教学方法本课程的教学方法包括讲授法、讨论法、案例分析法和实验法。
1.讲授法：通过教师的讲解，使学生掌握矩阵分析的基本概念、理论和方法。
2.讨论法：通过分组讨论，培养学生的合作意识和解决问题的能力。
3.案例分析法：通过分析实际案例，使学生掌握矩阵分析在实际问题中的应用。
4.实验法：通过上机实验，培养学生的动手能力和实际操作能力。
四、教学资源本课程的教学资源包括教材、参考书、多媒体资料和实验设备。
1.教材：选用《矩阵分析与应用》作为主教材，辅助以《线性代数》等参考书。
2.参考书：提供矩阵分析相关的参考书籍，供学生自主学习和深入研究。
3.多媒体资料：制作课件、教案等多媒体资料，丰富教学手段，提高教学质量。
4.实验设备：配备计算机、投影仪等实验设备，进行上机实验和教学演示。
矩阵分析教案
矩阵分析教案一、引言矩阵分析是高等数学中的重要概念和工具，具有广泛的应用领域，包括线性代数、统计学和物理学等。
本教案旨在通过系统的教学设计，引导学生全面理解矩阵分析的基本概念和运算方法，培养学生的逻辑思维和问题分析能力。
二、教学目标1. 掌握矩阵的基本定义和性质；2. 熟练运用矩阵的加法、减法和数乘等运算；3. 理解矩阵乘法的定义，能够进行矩阵乘法运算；4. 掌握矩阵的转置、逆矩阵和行列式的计算方法；5. 运用矩阵分析解决实际问题。
三、教学内容及安排1. 矩阵的基本概念- 了解矩阵的定义和表示方法；- 认识行、列、元素和维数的概念；- 学习零矩阵、单位矩阵和对角矩阵的特点。
2. 矩阵的基本运算- 学习矩阵的加法和减法运算；- 掌握数乘矩阵的运算规则；- 理解矩阵的乘法定义和性质。
3. 矩阵乘法- 通过示例引导学生理解矩阵乘法的概念； - 讲解矩阵乘法的定义和计算规则；- 练习矩阵乘法运算，加强巩固。
4. 矩阵的转置与逆矩阵- 讲解矩阵的转置定义和性质；- 引导学生理解逆矩阵的概念和计算方法； - 练习矩阵转置和逆矩阵的计算。
5. 矩阵的行列式- 介绍行列式的概念和计算方法；- 探索行列式在线性方程组中的应用；- 练习行列式的计算和应用。
6. 矩阵分析的实际应用- 将矩阵分析应用于实际问题的解决；- 通过案例分析加深学生对矩阵分析的理解；- 强化解题思路和方法的训练。
四、教学方法与手段1. 讲授法：通过讲解矩阵分析的概念、定义和运算规则，向学生传递相关知识；2. 案例分析法：通过具体案例引导学生分析和解决问题，提升实际应用能力；3. 练习与应用：设计一系列练习和应用题，巩固学生的知识和技能。
五、教学评价与反馈1. 课堂练习：布置与教学内容相关的练习题，检验学生对知识点的掌握程度；2. 作业评查：批改学生的作业，及时给予评价和指导；3. 期中、期末考试：以闭卷形式考查学生对矩阵分析的掌握情况。
六、教学资源准备1. 教材：选择一本合适的教材，提供理论知识和练习题；2. 多媒体设备：准备投影仪、电脑等设备，展示教学内容；3. 计算工具：在教学过程中使用计算器或电脑软件辅助计算。
矩阵分析与应用 第2讲应用部分
假设L和N 分别有n对特征对，记L和N 的右和左特征向量及其对应的特征值 为： Lai = αi ai
T bT i N = βi bi
(2.2.12)
容易验证如下关系式 (I n ⊗ L + N T ⊗ I n )(bj ⊗ ai ) = (I n ⊗ L)(bj ⊗ ai ) + (N T ⊗ I n )(bj ⊗ ai ) = (I n bj ) ⊗ (Lai ) + (N T bj ) ⊗ (I n ai ) = (αi + βj )(bj ⊗ ai ) (2.2.13)
⎡1 2⎤ ⎥ ⎣ 2 4⎦
更多的命令可以参考 Matlab 的 help 文档。
2.1.2 编程介绍 与其他的编程语言一样，Matlab 编程也应尽量遵循一些公 认的规则，比如： ¾ 良好的程序结构和功能模块化 ¾ 尽量使用局部变量 ¾ 尽量注释 ¾ 代码书写规范性 不同的地方是：在 Matlab 程序中，我们应该尽量使用向量化的 语言，避免过多使用循环分支判断等（Matlab 是解释执行的） 。 这样可以显著提高程序效率。 然而， 向量化的语言有时会有损程 序的易读性。 我们来读两段程序。 例 1 矩阵求伪逆源码解读。
矩阵分析与应用补充材料 第2讲
常冬霞 cdx05@
Matlab 介绍 应用举例 习题选讲
2.1 Matlab 介绍
1
2.1 Matlab 介绍
MATLAB 语言特点 z 简单易学； z 具有高性能数字计算的算法，特别适合矩阵代数领域； z 有大量事先定义的命令和函数，这些函数能通过用户自定 义函数进一步扩展； z 图形表达能力强，有强有力的二维、三维图形工具； z 可以与其他程序一起使用; z 具有丰富的领域型工具箱。
高中数学教案矩阵的运算与应用
高中数学教案矩阵的运算与应用高中数学教案：矩阵的运算与应用一、引言矩阵是高中数学中重要的概念之一，它在数学和实际应用中都有广泛的运用。
本教案将介绍矩阵的基本概念和运算法则，并探讨矩阵在实际问题中的应用。
二、矩阵的基本概念1. 矩阵的定义矩阵是由m行n列的数按一定顺序排列而成的长方形数表，常用大写字母表示。
其中m表示矩阵的行数，n表示矩阵的列数。
一个矩阵可以记作：A = [a_ij]其中，a_ij表示矩阵中的第i行第j列元素。
2. 矩阵的分类根据矩阵的特点，我们可以将矩阵分为以下几类：- 零矩阵：所有元素都为0的矩阵。
- 方阵：行数等于列数的矩阵。
- 单位矩阵：主对角线上的元素都为1，其余元素都为0的方阵。
三、矩阵的运算法则1. 矩阵的加法两个具有相同行数和列数的矩阵可以相加。
加法的规则是对应位置的元素相加，得到一个新的矩阵。
即：A +B = [a_ij + b_ij]其中A和B分别为要相加的两个矩阵。
2. 矩阵的数乘矩阵和一个数相乘称为数乘。
数乘的规则是将矩阵中的每个元素与该数相乘得到一个新的矩阵。
即：kA = [ka_ij]其中k为要乘以的数。
3. 矩阵的乘法两个矩阵的乘法需要满足一定的条件，即第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。
乘法的规则是将第一个矩阵的行与第二个矩阵的列对应元素相乘，然后相加得到一个新的矩阵。
即：AB = [c_ij]其中c_ij = a_i1 * b_1j + a_i2 * b_2j + ... + a_in * b_nj。
四、矩阵的应用1. 线性方程组的解法线性方程组的求解可以通过矩阵的运算来实现。
将系数矩阵和常数向量组成增广矩阵，然后通过矩阵的行变换来求解方程组的解。
2. 利用矩阵解决几何问题矩阵的乘法可以表示平移、旋转、缩放等几何变换。
通过构造相应的矩阵，并与坐标向量相乘，可以实现对几何图形进行变换。
3. 线性回归分析线性回归分析是通过矩阵运算来实现的。
通过构建模型矩阵和响应向量，利用最小二乘法求解线性回归方程的系数。
《矩阵分析》课件
Gauss消元法原理
LU分解求解线性方程组
通过行变换将矩阵化为上三角矩阵， 从而解线性方程组。
将Ax=b转化为LUx=b，通过前向替 换和后向替换求解。
LU分解定义
将矩阵分解为一个下三角矩阵L和一个 上三角矩阵U的乘积。
QR分解原理及实现
QR分解定义
将矩阵分解为一个正交矩阵Q和 一个上三角矩阵R的乘积。
Jordan标准型及其性质
Jordan标准型定义： 设A是n阶方阵，如果 存在一个可逆矩阵P， 使得P^(-1)AP为 Jordan矩阵，则称A 可以相似对角化为 Jordan标准型。
Jordan标准型的性质
Jordan标准型是唯一 的，即对于给定的方 阵A，其Jordan标准 型是唯一的。
Jordan标准型中的每 个Jordan块对应A的 一个特征值。
非零行的首非零元所在列在上一行的 首非零元所在列的右边。
同一行的所有非零元均在首非零元的 右边。
线性无关组与基础解系
线性无关组：一组向量线性无关当且仅当它们不 能由其中的部分向量线性表示出来。换句话说， 只有当这组向量中任何一个向量都不能由其余向 量线性表示时，这组向量才是线性无关的。
基础解系中的解向量线性无关。
初等变换和行阶梯形式
初等变换：对矩阵进行以下三种变换称为初等变 换 对调两行（列）。
以数k≠0乘某一行（列）中的所有元。
初等变换和到另一行（列）的对应元上去。
02
行阶梯形式：一个矩阵经过初等行变换可以化为行阶梯形式，
其特点是
非零行在零行的上面。
03
初等变换和行阶梯形式
方阵
行数和列数相等的矩阵称为方阵。
01
对角矩阵
除主对角线外的元素全为零的方阵称 为对角矩阵。
《矩阵分析》教学大纲
《矩阵分析》教学大纲一、课程介绍二、教学目标1.掌握矩阵的基本性质和运算法则；2.熟悉矩阵的特殊类型和分解方法；3.了解不同领域中矩阵的应用，如线性系统、最优化问题和图论等；4.能够利用矩阵分析方法解决实际问题，并具备独立思考和解决问题的能力。
三、教学内容1.矩阵的基本概念和基本运算-矩阵的定义和表示方法-矩阵的加法、减法和数乘-矩阵的乘法和幂运算-矩阵的转置和共轭转置-矩阵的逆和行列式2.矩阵的特殊类型和分解方法-方阵、对称矩阵和对角阵的性质和特点-相似矩阵和对称相似矩阵-特征值和特征向量及其应用-奇异值分解和QR分解3.线性系统与矩阵分析-线性方程组的解和解的存在唯一性-矩阵的秩和线性相关性的判定-逆矩阵的存在条件和求解方法-初等矩阵和高斯消元法的应用4.矩阵在最优化问题中的应用-线性规划和线性规划的基本概念-半正定规划的基本概念和性质-二次规划和二次规划的基本概念-松弛问题和松弛算法的基本原理5.图论与矩阵分析-图的基本概念和性质-图的邻接矩阵和度矩阵-图的路径和环的计算方法-最短路径问题和最小生成树问题的矩阵分析方法四、教学方法1.理论教学与实践结合，通过理论讲解和实例演练相结合的方式提高学生的学习兴趣和实际应用能力；2.提供案例分析和应用实例，帮助学生理解和掌握矩阵分析方法在实际问题中的应用；3.引导学生进行团队合作和小组讨论，提升学生的合作与沟通能力；4.使用多媒体技术辅助教学，如演示软件、数学建模软件等，提高教学效果。
五、教学评估方式1.平时成绩（30%）：包括课堂参与、作业完成情况和小组讨论等。
2.期中考试（30%）：考查学生对于矩阵分析的理论知识的掌握程度。
3.期末考试（40%）：考查学生对于矩阵分析的理论知识和实际应用能力的综合运用。
六、参考书目2. Cullen, Charles G. Matrix analysis[M]. CambridgeUniversity Press, 2024.。
《矩阵分析》课程教学大纲(本科)
《矩阵分析》课程教学大纲课程编号：07193课程名称：矩阵分析英文名称:Matrix Analysis课程类型：专业课课程要求：限选学时/学分：4蹈（讲课学时：48）开课学期：4适用专业：数学与应用数学授课语言：中文课程网站：无一、课程性质与任务矩阵分析是高等院校数学类、控制科学类及信息科学类专业的一门专业理论课，通过本门课程的教学，使学生了解矩阵分析的基本概念、基本理论与基本方法。
为学生继续学习该方面的知识奠定必要的理论基础。
一、课程与其他课程的联系1、先修课程：《数学分析》、《复变函数》、《高等代数》2、后续课程：《现代控制理论》3、本课程与其它课程的联系矩阵分析课是一门重要的专业课，它以数学分析、高等代数和复变函数等课程为基础，为将来从事控制理论方面的研究及工科后继课的学习打基础。
三、课程教学目标1、通过本课程的学习，使学生掌握矩阵理论的基本概念，基本理论和基本运算，全面了解若干特殊矩阵的标准形及其基本性质（支撑毕业要求指标点4.1）2、了解近代矩阵理论中十分活跃的若干分支，为今后在应用数学、计算数学专业的进一步学习和研究打下扎实的基础。
（支撑毕业要求指标点1.1）3、通过本课程中基本概念和基本定理的阐述和论证，培养高年级本科生的抽象思维和逻辑推理能力，提高高年级本科生的数学素养。
在重视数学论证的同时，强调数学概念的物理、力学的实际背景，培养学生应用数学知识解决实际工程技术问题的能力。
（支撑毕业要求指标点12.2）1求真务实、积极探索、勇于创新：矩阵分析课是一门重要的专业课，内容严谨详实，逻辑性较强。
以线性空间为例，需要明确何为线性空间，如何判定，何为它的基以及如何寻找它的基，以及在一组基下的坐标等等。
这些都需要师生在求真务实的前提下得以进行。
并在此基础上讨论是否由三维向量构成的线性空间一定是三维的，并尝试举例说明，这在调动了学生参与的积极性同时体现了思政元素中的积极探索，勇于创新的一面。
矩阵分析与应用 第3讲应用部分
矩阵分析与应用补充材料第3讲武露wulou04@内容：MATLAB命令介绍、补充Kernel Matrix和Distance Matrix 的概念、习题选讲例：12345678910111213141516⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A>> flipdim(A,1)ans =13 14 15 169 10 11 125 6 7 81 2 3 4>> flipud(A)ans =13 14 15 169 10 11 125 6 7 81 2 3 4例：12345678910111213141516⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A>> flipdim(A,2)ans =4 3 2 18 7 6 512 11 10 916 15 14 13>> fliplr(A)ans =4 3 2 18 7 6 512 11 10 916 15 14 13例：12345678910111213141516⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A>> rot90(A,1)ans =4 8 12 163 7 11 152 6 10 141 5 9 13>> rot90(A,2)ans =16 15 14 1312 11 10 98 7 6 54 3 2 1例：>> hadamard(4)ans =1 1 1 11 -1 1 -11 1 -1 -11 -1 -1 1例：>> hankel([1,2,3])ans =1 2 32 3 03 0 0若c的最后一个元素和r的第一个元素不同时，以c为准。
例：>> hankel([1,2,3], [6,7,8,9])Warning: Last element of input column does not match first element of input row. Column wins anti-diagonal conflict. > In hankel at 27ans =1 2 3 7 2 3 7 8 3 7 8 9例：>> toeplitz([1,2,3,4]) ans =1 2 3 4 2 1 2 3 3 2 1 2 4 3 2 1若c 和r 的第一个元素不同，以c 为准。
x矩阵分析及其应用学习课程
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例 14 （模式识别中的模式分类问题）
模式分类的问题指的是根据已知类型属性的观测样本
的模式向量
，判断未知类型属性的模式
向量 x 归属于哪一类模式。其基本思想是根据 x 与
模式样本向量 的相似度大小作出判断。
最简单的方法是用两向量之间的距离来表示相似度，距离 越小，相似度越大。最典型的是Euclidean距离
定理15 Euclid范数是酉不变的，即对任意酉矩阵
以及任意
，均有
这个定理的结论是显然的，因为酉变换保持向量的 内积不变，自然也保持了Euclid意义下的几何结构
（长度、角度或范数等）不变。
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定理16 有限维线性空间 V 上的不同范数是等价的，
实际中从算子或变换的角度来定义范数更加有定义21可以拉伸向量的最大倍数即使得不等式成立的最小的数由矩阵范数的正齐性可知的作用是由它对单位向量的作用所决定因此可以等价地用单位向量在下的像来定义矩阵范数即maxmax从几何上看矩阵范数反映了线性映射把一个向量映射为另一个向量向量的长度缩放的比例的上界
§1、从向量范数到矩阵范数
定义3 如果 是数域 上的线性空间，对 V 中的任
意向量
，都有一个非负实数 || x || 与之对应，并
且具有下列三个条件（正定性、正齐性和三角不等式）：
则称|| x || 是向量 x 的向量范数，称定义了范数的线
性空间 为赋范线性空间。
:V R
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时按此式定义了距离的 满足度量空间的距离三公
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课本内容是基础,
教学手段和目标
课堂教学不注重知识的灌输; 重在掌握知识体系的建立，数学概念定义的逻辑合理
性; 定理在矩阵理论中的地位(定理的条件和结论的细节
一般需要大家自学，通过课后练习和复习掌握，定理 证明我们主要分析证明思路(为什么这样证明)，证明 细节留给大家)。
矩阵理论与应用的基本内容
误差f(x)- f (x)分析很困难;
例如:
Ax=b ;
x’=f(A,b)。
计算机计算过程精确(函数 f())精 确，但是输入x有误 差，
用函数映射的语言就是：
求x，使得f (x)= f(x); 向后误差分析的方法
就是在此假设下分析
| f(x) - f(x)| 从而重点在于分析误差x-x。 Ax=b,x’=(A+△A)\(b+△b)
修有“修养、修炼”
上课教学的目标就是主 要针对那些没有天份只
悟需要天份，机遇;
有努力才能学好的同学
修只要勤奋，刻苦,所以 的思维特点的。
人人可以做到。
期末时,有的同学不上课同 样可以考高分，成立！
数学推理训练
归纳
从特殊到一般 创新多出于归纳 课堂教学更多识基本都是演绎的,
计算方法设计的原理是 什么？
矩阵计算的推导过程是 学习矩阵分析应该掌握 的基本技术，考察矩阵 计算是否过关的标志之 一。
向后误差分析法
真实的场景
假设的场景
计算机字长有限，输入数 据x 精确，计算过程由于截 断误差影响不精确，因此 输出结果有误差；
用函数映射的语言就是： xf(x) (x精确， f()不能精 确实现)
《矩阵分析与应用》教学介绍
教学设计的背景：
研究生阶段数学学习和本科生的区别: 本科学数学重在知识：
学习的结果就是我知道了什么？ 研究生学习数学重在思考：
知道什么和不知道什么？ 例如：数学的基础是集合论. 集合的概念是一种思维的方法：整体的、 综合的方 法；
矩阵论教学特点与学习方法
矩阵理论教学和学习的特点在于： 知识简单，结构清晰，所以我们可以轻松学习矩阵的知识；
基本理论
基本计算
基本理论体系结构后的建立，
上课一般不重点重复课本上的 知识，主要讲解知识之间的联 系，讲解概念背后的逻辑性， 定理的意义和矩阵理论的体系 构建，学会怎样学习数学。
考查矩阵理论学好与否的标志 之一: 你能否提出一个有意义的关于 矩阵的问题？不管你能否解决 它？你如何想到这个问题的， 问题的背景是什么？ 怎么 分析的，考虑解决问题的出发 点在哪里？解决问题的难点在 哪里？
重点和难点： 初步掌握数学思维的特点和研究生数学学习的方法。 获取知识只是我们知道自己不知道什么的手段和途径， 书本知识主要告诉我们知道什么， 学习的难点在于我们不知道什么？
需要上课么?
数学学得好的基本都是自学的 谁应该上课?
认知学上所谓“悟”和练，
佛家所谓的“修”;
有天份的人可以不上;
悟有感悟，体悟,顿悟； 没有天份的应该上,