立体几何多项选择题专项训练及详解

立体几何多项选择题专项训练及详解多项选择题：本题共 4小题，每题 5分，共 20 分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求 .全部选对的得 5 分，部分选对的

得 3 分，有选错的得 0 分 .

1．等腰直角三角形直角边长为 1，现将该三角形绕其某一边旋转一周，则所形成的几何体

的表面积可以为（）

A ．B．C．D．

解析：若绕一条直角边旋转一周时，则圆锥的底面半径为 1，高为 1，所以母线长 l ＝，这时表面积为 ?2π?1?l +π?12＝（ 1+ ）π；

若绕斜边一周时旋转体为 L 两个倒立圆锥对底组合在一起，且由题意底面半径为，一个圆锥的母线长为 1，所以表面积 S＝ 2 2 ?1＝，综上所述该几何体的

表面积为，

答案： AB

2．已知α，β是两个不重合的平面， m，n 是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（）

A ．若 m∥ n， m⊥ α，则 n⊥ αB．若 m∥ α，α∩ β＝ n，则 m∥n

C．若 m⊥ α， m⊥ β，则α∥βD．若 m⊥α，m∥ n， n∥ β，则

α∥β

解析： A．由 m∥ n，m⊥ α，则 n⊥ α，正确；

B．由 m∥ α，α∩ β＝n，则 m与 n 的位置关系不确定；

C．由 m⊥ α，m⊥β，则α∥β正确

D ．由 m⊥α，m∥n， n∥β，则α⊥β，因此不正确．

答案： AC

3．已知菱形 ABCD 中，∠ BAD ＝60°， AC与BD 相交于点 O．将△ ABD 沿 BD 折起，使顶点 A 至点 M ，在折起的过程中，下列结论正确的是（）

A ．BD⊥ CM

B ．存在一个位置，使△ CDM 为等边三角形

C ．DM 与 BC 不可能垂直

D ．直线 DM 与平面 BCD 所成的角的最大值为 60°

解析：菱形 ABCD 中，∠ BAD ＝60°，AC 与BD 相交于点 O ．将△ ABD 沿BD 折起，使 顶点 A 至点 M ，如图：取 BD 的中点 E ，连接 ME ，EC ，可知 ME ⊥BD ，EC ⊥BD ，所以

BD ⊥平面 MCE ，可知 MC ⊥BD ，所以 A 正确；

由题意可知 AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝BD ，三棱锥是正四面体时，△ CDM 为等边三角形，所

以 B 正确；

三棱锥是正四面体时， DM 与 BC 垂直，所以 C 不正确；

三棱锥是正四面体时，直线 DM 与平面 BCD 所成的角的最大值为

60°，

B ．点

C 到面 ABC 1

D 1 的距离为

C ．两条异面直线

D 1C 和 BC 1 所成的角为

D ．三棱柱 AA 1D 1﹣BB 1C 1 外接球半径为

解析： 正方体 ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1 的棱长为 1，

对于选项 A ：直线 BC 与平面 ABC 1D 1 所成的角为 ，故选 D 正确．

A 正确． 答案：

1，则下列四个命题正确的

是(

A ．直线 BC 与平面 ABC 1D 1 所成的角

项

对于选项 B：点 C 到面 ABC1D1的距离为 B1C 长度的一半，即

，故选项 B 正确．h＝

对于选项 C：两条异面直线 D1C 和 BC1 所成的角为

对于选项 D：三棱柱 AA1D1﹣BB1C1 外接球半径

r

答案： ABD

5．在正方体 ABCD ﹣ A1B1C1D1中， N 为底面 ABCD 的中心， P 为线段 A1D1上的动

点（不包括两个端点），M 为线段 AP 的中点，则（）

B．CM> PN

C．平面PAN⊥平面 BDD 1B1

D．过 P，A，C 三点的正方体的截面一定是等腰梯形

解析： A．∵ ANCPM 共面，因此 CM 与 PN 不是异面直线，不正确；

因此 CM> PN，因此正确．

C．∵AN⊥BD，AN⊥BB1，BD∩BB1＝B，∴AN⊥平面 BDD 1B1，∴平面 PAN⊥平面BDD 1B1，因此正确；

D．过 P，A，C 三点的正方体的截面与 C1D1相交于点 Q，则 AC∥PQ，且 PQ

答案： BCD

，故选项 C 错误．B．∵ CM≥AC＝ AB，PN< A1N＝AB< AB，

，故选项 D 正

确．

A ． CM 与 PN 是异面

AA1＝

6．如图，在正方体 ABCD ﹣ A1B1C1D1 中，点 P 在线段 B1C 上运动，则（

A ．直线 BD 1⊥平面 A1C1D

B ．三棱锥 P﹣A1C1D 的体积为定值

C．异面直线 AP 与 A1D 所成角的取值范用是 [45°， 90°]

D．直线 C1P 与平面 A1C1D 所成角的正弦值的最大值为

解析：在 A 中，∵ A1C1⊥B1D1，A1C1⊥ BB1， B1D 1∩BB 1＝ B1，

∴A1C1⊥平面 BB1D 1，∴ A1C1⊥BD1，同理， DC 1⊥ BD1，∵A1C1∩DC1＝

C1，∴直线 BD1⊥平面 A1C1D，故 A 正确；在 B 中，∵ A1D∥B1C，A1D? 平

面 A1C1D，B1C? 平面 A1C1D，

∴ B1C∥平面 A1C1D ，

∵点 P 在线段 B1C 上运动，∴ P 到平面 A1C1D 的距离为定值，

又△ A1C1D 的面积是定值，∴三棱锥 P﹣A1C1D 的体积为定值，故 B 正确；

在 C 中，异面直线 AP 与 A1D 所成角的取值范用是 [60°， 90°]，故 C

错误；

在 D 中，以 D 为原点， DA 为 x 轴， DC 为 y 轴， DD1为 z轴，建立空

间直角坐标系，

设正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中棱长为 1，P（a，1，a），

则 D（0，0，0），A1（ 1，0，1），C1（0，1，1），＝（ 1，0，1），＝（ 0， 1，1），＝（ a，0，a﹣ 1），

设平面 A1C1D 的法向量＝（ x， y， z），

取 x＝1，得＝（ 1，1，1），