2波动方程
大学物理习题详解No.2波动方程
《大学物理》作业 No.2波动方程班级 ________ 学号 ________ 姓名 _________ 成绩 _______一、判断题[ F ] 1. 解：电磁波就可以在真空中传播。
[ F ] 2. 解：波动是振动的传播，沿着波的传播方向，振动相位依次落后。
[ F ] 3. 解：质元的振动速度和波速是两个概念，质元的振动速度是质元振动的真实运动速度，而波速是相位的传播速度，其大小取决于介质的性质。
[ F ] 4. 解：振动曲线描述的是一个质点离开平衡位置的位移随时间的变化关系；波形曲线是某一时刻，波线上各个质点离开平衡位置的情况。
[ F ] 5. 解：对于波动的介质元而言，其动能和势能同相变化，它们时时刻刻都有相同的数值。
二、选择题：1. 一平面简谐波表达式为)2(sin 05.0x t y --=π (SI) ，则该波的频率v (Hz)、波速u (m ⋅s -1)及波线上各点振动的振幅A (m)依次为：(A) 2/1，2/1，05.0- (B) 2/1，1，05.0-(C) 2/1，2/1，05.0 (D) 2 ，2，05.0[ C ]解：平面简谐波表达式可改写为(SI))22cos(05.0)2(sin 05.0ππππ+-=--=x t x t y与标准形式的波动方程 ])(2[cos ϕπ+-=u xt v A y 比较，可得 )s (m 21,(Hz)21,(m)05.01-⋅===u v A 。
故选C2. 一平面简谐波的波动方程为)3cos(1.0πππ+-=x t y (SI)，t = 0时的波形曲线如图所示。
则：(A) O 点的振幅为-0.1 m(B) 波长为3 m (C) a 、b 两点位相差 π21(D) 波速为9 m ⋅s -1解：由波动方程可知(Hz),23(m),1.0==νA (m)2=λ，)s (m 32231-⋅=⨯==νλua 、b 两点间相位差为：2422πλλπλπϕ===∆ab故选C3. 一平面简谐波沿x 轴正向传播，t = T/4时的波形曲线如图所示。
二维波动方程
二维波动方程二维波动方程是物理学和数学中一个重要的概念。
它是一类非线性的偏微分方程，用来描述物理系统中的波动现象。
二维波动方程的应用非常广泛，可以用来研究电磁波、热传导、流体力学等领域中的波动现象。
其中最常用的二维波动方程之一是Korteweg-de Vries方程(KdV方程)，它用来描述一维流体中的纵波。
它可以用来描述潮汐、河流涨落、海浪等现象。
它的形式是：u_t + uu_x + u_{xxx} = 0。
其中u(x,t)表示流体的速度场，x和t分别表示空间坐标和时间。
另一个重要的二维波动方程是Sine-Gordon方程，它描述了非线性玄学领域中的波动现象，例如在线性电力线的电磁波传播，在非线性声学领域中的声波传播。
这个方程的形式是：u_{tt}-u_{xx}+sin(u)=0。
还有一种重要的二维波动方程是Nonlinear Schrödinger方程(NLS方程) ,它是研究光学波动、超流体波动等领域中的重要方程。
NLS方程的形式是：i∂u/∂t+1/2∂²u/∂x²+|u|²u=0。
在这些方程中，通常都采用数值方法和解析方法来解决它们。
数值方法包括有限差分法、有限元法、有限体积法等,而解析方法则有传统的小扰动分析和现代的非线性分析等。
总的来说，二维波动方程是物理学和数学领域中重要的概念，它们被广泛应用于研究物理系统中的波动现象。
使用数值方法和解析方法来解决这些方程是目前常用的方法。
综上所述，二维波动方程是一类重要的非线性偏微分方程，应用广泛，用来描述物理系统中的波动现象。
主要有Korteweg-de Vries方程，Sine-Gordon方程，Nonlinear Schrödinger方程等。
在研究中采用数值方法和解析方法来解决这些方程是常见的方法。
二维波动方程初值问题
二维波动方程的初值问题可以描述为：
1.波的传播方向与坐标轴方向平行，所以方程中只含有二阶偏导数，不含有交叉偏导数。
2.波的传播具有周期性，即波前波后不断重复，因此方程具有周期性解。
3.波的传播具有散射性，即波在传播过程中会遇到障碍物或介质不均匀分布等情况，导致波的散射。
4.波的传播具有吸收性，即波在传播过程中会因为介质吸收能量而逐渐减弱。
对于初值问题，需要给出初始时刻波场的状态，即初始条件。
初始条件通常由波源的位置和强度决定，可以表示为：
1.初始位置：波源在初始时刻的位置。
2.初始速度：波源在初始时刻的速度。
3.初始位移：波源在初始时刻的位移。
4.初始能级：波源在初始时刻的能量级别。
根据不同的初始条件，可以求解出不同的二维波动方程的解。
求解方法通常采用分离变量法、傅里叶变换、拉普拉斯变换等数学方法。
波动方程求解法2
现在我们讨论在三维无限空间中的波动问题:200(3.1)|()|()tt t t t u a u u M u M ϕψ==⎧=Δ⎪=⎨⎪=⎩,,x y z −∞<<+∞,,,0x y z t −∞<<+∞>(,,).M M x y z =其中M 代表空间中任意一点, 这个定解问题采用求平均法来求解.11(,)(()())()22()().22x at x atx at x at x at x at u x t x at x at d a t t d d t at at ϕϕψξξϕξξψξξ+−++−−=−+++⎛⎞∂=+⎜⎟∂⎝⎠∫∫∫先回忆一维的达朗贝尔公式的变形称为函数在区间[x -at , x +at ]1()2x at x atd at ωξξ+−∫()ωξ上的平均值，这个平均值与x, 半径at 和函数有关，()ωξ1(,)().2x at x atv x t d at ωωξξ+−=∫记作于是达朗贝尔公式的变为()(,)(,)(,).u x t tv x t tv x t tϕψ∂=+∂上述方法称为球平均法.23123(,,)(),x x x C R ω∈设函数现在考虑该函数在球面2222112233:()()()r C x x x rξξξ−+−+−=上的平均值.123(,,),r C ξξξ∈对于采用球坐标：123,1,2,3,sin cos ,sin sin ,cos ,0,02.i i i x r i ξααθϕαθϕαθθπϕπ=+====≤≤≤≤21231122332002123112233100211(,,,)(,,),(3.3)41(,,,)(,,),(3.4)4sin ,sin ,r r v x x x r x r x r x r d r v x x x r x r x r x r d d r d d d d d ππωππωωααασπωααασπσθθϕσθθϕ=+++=+++==∫∫∫∫或者 其中面积单元：记作引理4.2: 对于给定的则由(3.3)或(3.4)确定的函数v 满足PDE 2220(3.5)v v v r r r∂∂−Δ+=∂∂以及初始条件123(,,)x x x ω在球面上的平均值:r C 23123(,,)(),x x x C R ω∈12312321122332200(,,,)(,,,)11(,,)(3.7)44r r rC v x x x r v x x x r x r x r x r d d r r ωππωααασωσππΔ=Δ=Δ+++=Δ∫∫∫∫故由(3.3)有再由复合函数的求导法则应用奥高公式12300(,,),0.(3.6)r r v v x x x r ω==∂==∂证明：由于沿单位球面的积分可以在积分号下求导r C 33212001111,44r k k r k k kkC v d d r x r x ππωωασασππ==∂∂∂==∂∂∂∑∑∫∫∫∫21,(3.8)4rD v d r r ωπ∂=ΔΩ∂∫∫∫其中是由所围成的区域.r D r C 22000sin ,r r D d d d d ππωωρθθϕρΔΩ=Δ∫∫∫∫∫∫∵2200sin ,r r r D C d r d d d r ππωωθθϕωσ∂∴ΔΩ=Δ=Δ∂∫∫∫∫∫∫∫由(3.8)及上式有223211,(3.9)24r rr D C v d d r r r ωωσππ∂−∴=ΔΩ+Δ∂∫∫∫∫∫由(3.7),(3.8)和(3.9)变知函数v 满足方程(3.5).下面验证由(3.3)或(3.4)确定的v 满足初始条件(3.6).由(3.4)知211223312300001(,,)(,,).4r r r v x r x r x r d x x x ππωααασωπ==∴=+++=∫∫又由(3.8)，利用积分中值定理知31231232123141(,,)(,,),433(,,).r v r r r r D πωξξξωξξξπξξξ∂=Δ=Δ∂其中是内的某点1231230,(,,)(,,),0(0).v r x x x r rξξξ∂→∴→→∂当时趋于球心引理4.2得证.引理4.3: 设v 是由(3.3)确定的函数，则123123(,,,)(,,,)(3.10)u x x x t tv x x x at =是定解问题2001230()|0,|(,,)tt t t t u a u i u u x x x ω==⎧−Δ=⎪⎨==⎪⎩的解.证明：直接计算,得 Δu = t Δv( x1 , x2 , x3 , at ),ut = v( x1 , x2 , x3 , at ) + atvr ( x1 , x2 , x3 , at ), utt = 2avr ( x1 , x2 , x3 , at ) + a 2tvrr ( x1 , x2 , x3 , at ),其中 vr ( x1 , x2 , x3 , at ) 是导数 vr ( x1 , x2 , x3 , r ) 在r=at的值. 直接验算,得2 utt − a Δu = a t (vrr − Δv + vr ) = 0. at 这正好是方程(3.5)在r=at的情形.2 2关于满足定解条件, 可由表达式(3.10)和(3.6)直接推出.引理4.4: 设 u ( x1 , x2 , x3 , t ) 是定解问题(i)的解，则 ∂ u ( x1 , x2 , x3 , t ) = u ( x1 , x2 , x3 , t ) (3.11) ∂t 是定解问题⎧ utt − a 2 Δu = 0 ⎪ ( ii ) ⎨ ⎪ u |t = 0 = ω ( x1 , x2 , x3 ), ut |t = 0 = 0 ⎩的解.证明：直接计算,得⎞ ∂ 2u ∂ ⎛ ∂ 2u 2 2 − a Δu = ⎜ 2 − a Δu ⎟ = 0, 2 ∂t ∂t ⎝ ∂t ⎠ ∂u u t =0 = = ω ( x1 , x2 , x3 ), ∂t t =0 utt =0∂u = 2 = a 2 Δu ( x1 , x2 , x3 , 0) = 0. ∂t t =02所以引理得证.利用叠加原理, 将Cauchy问题(3.1)写成定解问题⎧ utt − a 2 Δu = 0 ⎪ ( iii ) ⎨ ⎪ u |t = 0 = ϕ ( x1 , x2 , x3 ), ut |t = 0 = 0 ⎩ ⎧ utt − a 2 Δu = 0 ⎪ ( iv ) ⎨ ⎪ u |t = 0 = 0, ut |t = 0 = ψ ( x1 , x2 , x3 ) ⎩的叠加. 设 u1 ( x, y, z , t ), u2 ( x, y, z , t ), 是定解问题(iii)和(iv) 的解,则 u = u1 ( x, y, z , t ) + u2 ( x, y, z , t ) 就是Cauchy问题 (3.1)解.由引理4.3知，只要取 ω = ψ 就可得到定解问题(iv)的解t 2π π ∴ u2 ( x, y , z , t ) = ∫0 ∫0 ψ ( x1 + α1at , x2 + α 2 at , x3 + α 3at ) sin θ dθ dϕ 4π 1 = 2 ∫∫M )ψ dS , dS 是球面面积微元 4π a t Sat (⎞ ∂⎛ 1 ∴ u1 ( x, y, z , t ) = ⎜ ϕ dS ⎟ ⎜ 4π a 2t S ∫∫ ) ⎟ ∂t ⎝ (M at ⎠由引理4.4知，只要取 ω = ϕ 就可得到定解问题(iii)的解所以Cauchy问题(3.1)的解为∂⎛ 1 u( x , y , z , t ) = ⎜ ∂t ⎝ 4πa 2 t1 ⎞ ∫∫Sat ( M ) ϕ dS ⎟ + 4πa 2 t ∫∫Sat ( M )ψ dS (3.12) ⎠可写为:1 ∂ ϕ ( M ′) ψ ( M ′) u( M , t ) = [ ∫∫ dS + ∫∫ dS ] Sat ( M ) 4πa ∂t Sat ( M ) at at上式称为三维波动方程的泊松公式,它给出了三维无界 空间波动方程的初值问题的解.其中 M ′ 表示以 M 为中 心 at 为半径的球面 S at 上的动点.Mϕ ( x1 , x2 , x3 ) ∈ C 3 ,ψ ( x1 , x2 , x3 ) ∈ C 2 , 定理4.9：若函数则由Poisson公式(3.12)确定的函数u(x, y, z, t)就是 Cauchy问题的解.泊松公式的物理意义很明显,它说明定解问题的解 M 在M点t 时刻之值,由以M为中心at 为半径的球面 S 上 at 的初始值而确定. 如图,设初始扰动限于空间某个区域 T0 , d 为 M 点 到 T0 的最近距离, D为M 点与 T0 的最大距离,则:T0dDM1.当 at < d ,即 t < d / a 时, S at 与 T0 不相交, ϕ ( M ′ ) 和 ψ ( M ′) 之值均为零,因而两个积分之值亦均为零, 即 u( M , t ) = 0 .这表示扰动的前锋尚未到达.M2.当 d < at < D ,即 d / a ≤ t ≤ D / a 时, S at 与 T0 相 交, ϕ ( M ′ ) , ψ ( M ′ ) 之值不为零,因而积分之值亦不为零, 即 u( M , t ) ≠ 0 ,这表明扰动正在经过M点. 3.当 at > D ,即 t > D / a , S at 与 T0 也不相交,因而同 样 u( M , t ) = 0 ,这表明扰动的阵尾已经过去了. 这种现象在物理学中称为惠更斯(Huygens) 原理或无后效现象.MM∂u =0 ∂z20001()|(,)|(,)tt xx yy t t t u a u u u x y u x y ϕϕ==⎧=+⎪=⎨⎪=⎩,x y −∞<<+∞,,0x y t −∞<<+∞>要想从泊松公式得到上述问题解的表达式,就应将泊松公式中两个沿球面的积分转化成沿圆域内的积分,下面以为例说明这个转化方法.先将这个积分拆成两部分:M at S 222()()()x y at ξη−+−≤:M at C 11d 4πM at C S a at ϕ∫∫12111111d d d 4π44πM at S S S S S S a at a at a atϕϕϕπ=+∫∫∫∫∫∫其中分别表示球面的上半球面与下半球面.由于被积函数不依赖于变量z ,所以上式右端两个积分是相等的,即12,S S M atS 11111d d 4π2πM at S S S S a at a atϕϕ=∫∫∫∫把右端的曲面积分化成二重积分可得11222212222(,)11d d d 4π2π()()(,)1d d 2π()()M M at at M at S C C at S a at a at a t x y a a t x y ϕϕξηξηξηϕξηξηξη=−−−−=−−−−∫∫∫∫∫∫同理002222(,)11d d d 4π2π()()M M at at S C S a at a a t x y ϕϕξηξηξη=−−−−∫∫∫∫将这两个等式代入三维波动方程的泊松公式,即得问题的解为022*******(,)1(,,)d d 2π()()(,)d d ()()M at M at C C u x y t a t a t x y a t x y ϕξηξηξηϕξηξηξη⎧∂⎪=⎨∂−−−−⎪⎩⎫⎪+⎬−−−−⎪⎭∫∫∫∫当时, ;表示扰动的前锋尚未到达.当时, ;表明扰动正在经过M 点.当时,由于圆域包含了区域,所以d t a <(,,)0u x y t =d D t a a ≤≤(,,)0u x y t ≠D t a >0T :M at C ,这种现象称为有后效, 即在二维情(,,)0u x y t ≠形,局部范围内的初始扰动,具有长期的连续的后效特性,扰动有清晰的“前锋”,而无“阵尾”,这一点与球面波不同.平面上以点(ξ, η)为中心的圆周的方程在空间坐标系内表示母线平行与z 轴的直圆柱面,所以在过(ξ, η)点平行于z 轴的无限长的直线上的初始扰动,在时间t 后的影响是在以该直线为轴, at 为半径的圆柱面内,因此解称为柱面波.222()()x y r ξη−+−=将给定的初始条件与代入三维波动方程的泊松公式,得到所要求的解为:设已知, ,求方程相应柯西问题的解.(,,)x y z x y z ϕ=++(,,)0x y z ψ=(,,)x y z ϕ(,,)x y z ψ2ππ001(,,,)4πu x y z t a t∂=∂∫∫2(sin cos sin sin cos )()sin d d x y z at at at θϕθϕθθϕθ+++++x y z =++2tt u a u =Δ。
第2章波动方程
2．齐次方程的初值问题（Cauchy 问题）
考察问题
⎧⎪ ⎨ ⎪⎩
utt
u(
− a2uxx =
x,0) = ϕ (
0,
x)
,
ut
( x,0)
x ∈ \, t > 0,
=ψ ( x), x∈\.
利用齐次波动方程的通解表达式：
（1.1）
u( x, t ) = F ( x − at ) + G ( x + at ) ,
u = F ( x − at ) , a > 0
显然是弦振动方程的解。给 t 以不同的值，就可以看出作一维自由振动的物体在各时刻的相
应位置。在 t = 0 时， u = F ( x ) 对应于初始的振动状态，而 u = F ( x − at ) 作为 ( x, u ) 平
面 上 的 曲 线 是 曲 线 u = F ( x ) 向 右 平 移 了 at 个 单 位 ， 所 以 齐 次 弦 振 动 方 程 的 形 如
=
1 2a
⎧∂
⎨ ⎩
∂t
ϕ x+at (ξ )dξ +
x − at
ψ x + at
(ξ
)dξ
⎫ ⎬
.
x − at
⎭
u2 满足非齐次方程的初值问题
4
⎧⎪ ⎨ ⎪⎩
utt
u(
− a2uxx =
x, 0) = 0,
f ut
( (
x, x,
t), 0) =
x∈ 0,
\
, t> x∈
0, \.
为了求解（1.4），首先求解
条件无关。称这个三角形区域为区间 ⎡⎣ x1 , x2 ⎤⎦ 的决定区域。
《大学物理AII》作业 No.02 波动方程 参考答案
《大学物理AII 》作业No.02波动方程班级________学号________姓名_________成绩_______-------------------------------------------------------------------------------------------------------****************************本章教学要求****************************1、理解波动产生的条件、传播的特性及波的分类。
2、掌握描述波的特征量：周期、频率、波长、波速的物理意义及其相互关系，并能与振动的特征量相区分。
3、掌握相位传播、波形传播意义，并能根据质点简谐运动方程或振动曲线建立平面简谐波的波函数。
理解波函数与波形曲线、振动曲线和行波的关系。
4、理解波的能量密度、能流、能流密度及波的强度等概念。
行波的传播过程就是能量的传播过程。
5、理解多普勒效应产生的机制及应用。
-------------------------------------------------------------------------------------------------------一、填空题1、波动是振动的传播，其中机械振动在弹性介质中的传播称为机械波，它的传播需要介质（选填：需要，不需要）。
由于带电粒子的运动引起周围空间电磁场交替变化而形成的波称为电磁波，它的传播不需要介质（选填：需要，不需要）。
根据质点振动方向与波的传播方向之间的关系（垂直或平行），波又可以分为横波和纵波。
2、描述波时间周期性的特征量是周期T ，描述波空间周期性的特征量是波长λ振动状态（相位）在介质中传播速度称为波速（相速）u ，三者之间的关系为T u λ=。
3、某时刻t 的波形曲线如图所示，图中B 点的y 坐标By 表示的是t 时刻B x 处质元离开平衡位置的位移，若为纵波，图中A 、C 分别对应纵波的密部中心和疏部中心（填：密部中心或疏部中心）。
2波动方程
数 学 物 理 方 程1Mathematical Equations for Physics想要探索自然界的奥秘就得解微分方程—— 牛顿知之者，不如好知者，好知者，不如乐知者。
做一个快乐的求知者——与大家共勉王 翠 玲西安交通大学数学与统计学院wangcl8@数学物理思想数学物理方程（简称数理方程）是指从物理学及其它各门自然科学、技术科学中所导出的函数方程，主要指偏微分方程和积分方程．数学物理方程所研究的内容和所涉及的领域十分广泛，它深刻地描绘了自然界中的许多物理现象和普遍规律.数 学 物 理 方 程 概 论☆ 数学和物理的关系☆ 课程的主要内容数学和物理从来是没有分开过的☆ 数学物理方程的定义用微分方程来描述给定的物理现象和物理规律。
三种方程、 四种求解方法、 二个特殊函数分离变量法行波法积分变换法格林函数法波动方程热传导拉普拉斯方程贝塞尔函数勒让德函数声振动是研究声源与声波场之间的关系热传导是研究热源与温度场之间的关系泊松（S. D. Poisson1781～1840，法国数学家）方程表示的是电势（或电场）和电荷分布之间的关系定解问题从物理规律角度来分析，数学物理定解问题表征的是场和产生这种场的源之间的关系．多数为二阶线性偏微分方程振动与波（振动波，电磁波）传播满足波动方程热传导问题和扩散问题满足热传导方程静电场和引力势满足拉普拉斯方程或泊松方程一、数学物理方程---泛定方程:物理规律的数学表示物理规律 物理量u在空间和时间中的变化规律，即物理量u在各个地点和各个时刻所取的值之间的联系。
数学语言翻译泛定方程反映的是同一类物理现象的共性，和具体条件无关。
二、边界问题---边界条件体现边界状态的数学方程称为边界条件三、历史问题----初始条件体现历史状态的数学方程称为初始条件例：一个物体做竖直上抛，一个物体斜抛。
不同的初始条件→ 不同的运动状态，但都服从牛顿第二定律。
定解问题的完整提法：在给定的边界条件和初始条件下，根据已知的物理规律，在给定的区域里解出某个物理量u，即求u(x,y,z,t)。
波动方程的边界问题
波动方程的边界问题波动方程是数学中一个重要的部分，研究波动方程的边界问题也是理论学者和实践工作者长期以来解决的问题。
边界问题指的是波动问题发生在一个有限区域内的情况，而这个区域的边界并不是无限大或者不存在的。
解决边界问题需要结合数学公式和实际情况进行研究。
为了让我们更加了解波动方程的边界问题，我们需要先了解波动方程的一些基本概念和公式。
波动方程的本质是描述一个物理现象的变化过程。
在数学中，波动方程可以表示为：∂^2u/∂t^2=c^2∇^2u其中u代表波动的幅度，t表示时间，c是波速，∇^2是拉普拉斯算子。
这个方程表达的是波动的传递过程中，波的幅度随时间的变化关系。
当波动的区域有边界时，我们可以根据不同的边界条件给出不同的解法。
下面我将分别介绍自由边界、固定边界和混合边界的解法。
自由边界是指边界上既没有力也没有位移，即：∂u/∂n=0其中∂/∂n代表边界上法向的求导。
自由边界的情况下，可以采用反射合成方法来求解。
固定边界是指边界上有力且没有位移，即：u=0这种情况下，可以采用分离变量法来求解边界问题。
分离变量法可以将波动方程转化为一个特定的形式，然后通过这个形式寻找适合的边界条件来解决问题。
混合边界是指边界上既有力也有位移，即：∂u/∂n=a(u-b)其中a和b是常数。
当出现混合边界的问题时，需要采用叠加原理来求解。
叠加原理指的是将边界条件进行分离，然后分别求解，再将求解结果进行合成。
除了这些解法，还有一些特殊情况需要特殊处理，例如当边界上有突变点或角点的时候，需要使用适当的方法来求解。
总结一下，波动方程的边界问题是数学中重要的一个部分，需要结合实际情况进行研究，可以采用反射合成法、分离变量法、叠加原理等方法来求解。
对于一些特殊情况，需要使用特殊方法来求解。
在实际应用中，需要结合具体问题采用合适的方法来解决问题，以达到最优的结果。
对于我们普通人来说，虽然未必直接用得到波动方程的边界问题，但是我们应该能够了解到这种数学理论在实际应用中的重要性。
数理方程第2章波动方程
π
2π sin x,"" l
kπ 2 π 1,cos l x, cos x,""cos l l
π
x,"
是[0, l]上的正交函数列
⎧l , m=n≠0 ⎪ l mπ nπ ⎪2 = cos cos ∫0 l x l xdx ⎨ l m = n = 0 ⎪ ⎪ ⎩0 m≠n
17
例：
2 ⎧ ∂ 2u u ∂ 2 = , t > 0, 0 < x < l a ⎪ ∂t 2 2 ∂x ⎪ ⎪ u (0, t ) = u ( l , t ) = 0, ⎨ ⎪ u ( x , 0) = x ( l − x ), ⎪ 2π x ⎪ u t ( x , 0) = sin l ⎩
kπ X k ( x) = Bk sin x l
所以定解问题的级数形式解为
u ( x, t ) = ∑ X k ( x)Tk (t )
k =1
kπ a kπ a ⎞ kπ ⎛ t + bk sin t ⎟ sin x = ∑ ⎜ ak cos l l ⎠ l k =1 ⎝ ak =Bk Ck ,bk =Bk Dk .
8π at 8π x u ( x, t ) = 3cos sin sin + 5 cos l l l l
π at
πx
23
• 其它边界条件的混合问题
2 ⎧ ∂ 2u u ∂ 2 x ∈ (0, l ), t > 0 ⎪ ∂t 2 = a ∂x 2 , ⎪ ⎪ ⎨u ( x, 0) = ϕ ( x), ut ( x, 0) = ψ ( x), x ∈ [0, l ] ⎪u (0, t ) = u (l , t ) = 0, t≥0 x x ⎪ ⎪ ⎩
4_2_2波动方程、波的能量、声波
§2.4 波动方程与波速
一、波动方程 简谐波的波函数为： 简谐波的波函数为： y(x,t)=Acosk(ut-x) 2 y y = k 2u2 A sin k(ut x) = kuAsin k(ut x) 2 t t y 2 y = kAsin k(ut x) = k 2 A sin k(ut x) x x 2 2 2 y 2 y =u --- 平面波的波动方程 平面波的波动方程 2 2 t x 其通解为 y = f1 ( x + ut ) + f 2 ( x ut ) --- 平面波函数 平面波函数 u 为波速
w = w
k
W V
p
1 y = E 2 x
2
2
+ w
p
1 y 1 y = ρ + E t x 2 2
2
3.能量密度 能量密度 w = w
k
+ w
p
1 y 1 y = ρ + E t 2 2 x
E ρ
2
2
棒中纵波速度 u =
E = ρu 2
1 2 y w p = ρu 2 x
1 y = ρ t 2
2
2.势能密度 势能密度
--- 与弹性（形变）有关 与弹性（形变）
考虑一棒的线变， 考虑一棒的线变， 棒长： 截面： 棒长：l ，截面：S 两端拉力： 两端拉力：由0 → F 相应形变：增至 ， 应变。 相应形变：增至l，应力 ∝ 应变。
F ES l =E F= l = kl S l l 1 2 k (l ) 势能： W p = 势能： 2
2波动方程03-弦振动方程初值问题的求解
=−
ϕ ( x + at ) + ϕ ( x − at )
2
1 − 2a
x + at
x − at
∫ ψ ( s ) ds
t x + a ( t −τ ) ⎤ 1 ⎡ − ∫ ⎢ ∫ f ( s,τ )ds ⎥ dτ 2a 0 ⎢ x − a ( t −τ ) ⎥ ⎣ ⎦
= − u ( x , t ).
u ( x, 0) = 0,
∂v ∂v + a = 0, ∂t ∂x
− ∞ < x < +∞.
− ∞ < x < +∞, t > 0;
v( x, 0) = ψ ( x),
− ∞ < x < +∞.
因此，可用特征线法先求出v, 再求出 u , 就得到所求解的表达式。
解法2：①，先求方程
u = 0 的通解。
即，
∂ 2u ∂ 2u ∂ ⎛ ∂u ∂u ⎞ ∂ ⎛ ∂u ∂u ⎞ 2 u ≡ 2 − a 2 = ⎜ − a ⎟ + a ⎜ − a ⎟ ∂t ∂x ∂t ⎝ ∂t ∂x ⎠ ∂x ⎝ ∂t ∂x ⎠
∂ ⎞ ⎛ ∂u ∂u ⎞ ⎛∂ = ⎜ + a ⎟⎜ − a ⎟ ∂x ⎠ ⎝ ∂t ∂x ⎠ ⎝ ∂t ∂ ⎞⎛ ∂ ∂ ⎞ ⎛∂ = ⎜ + a ⎟⎜ − a ⎟u ∂x ⎠ ⎝ ∂t ∂x ⎠ ⎝ ∂t
四性质推论的偶奇周期函数则由表达式8给出的函数注意这里我们只能说表达式8给出的函数而不能说定解问题1的解这是因为我们还不知道问题是否有其它解一旦证明问题之解为唯一我们可以说问题之解满足这一性质
2.2
一、问题
解的表达式
波动方程的达朗贝尔公式
在上面的讨论中,我们看到了( x,t )平面上的直线 x ± at = c
(常数)对波动方程的研究起着重要的作用,它们称为波动 方程的特征线.
最后我们指出,在求解二阶方程线性常微分方程时,通 解中包含两个任意常数,因此,只须两个定解条件,就能完全 从中确定一个特解.
而今对于线性偏微分方程,比如对弦振动方程,在求得 达氏解,只用了两个定解条件,即两个初始条件,而在求的付 氏解时则又添了两个边界条件,一共用了四个边界条件.
那末,对于一个偏微分方程究竟要多少个定解条件,就 恰好(不多不少)能够从中确定一个特解呢?这一个问题没有 固定的答案.
这个事实,说明偏微分方程的定解问题比常微分方程要 复杂的多.
2.三维波动方程Cauchy问题的 Poisson公式
现在考察三维波动方程的初值问题
( ) ⎧⎪⎪⎨uut(t
= x,
a2Δu = a2
=
x+at)
+ϕ(
x-at)
2
给出.
为了简单起见,假设
⎧0
⎪
ϕ
(
x)
=
⎪⎪2 ⎨ ⎪⎪2
+ −
2x
α
2x
α
⎪⎩0
( x < −α ) (−α ≤ x ≤ 0)
(0 ≤ x ≤α) (x >α)
也就是说,初始位移是区间 [−α,α ] 上的一个等腰三角形.
图1给出了这个弦每经过时间
α
后的相对位移.
4a
0
y
x
u(M,t)
=
u ( x,
y, z,t)
=
∂ ∂t
⎡t
⎢⎣ 4π a2t2
波动方程和振动方程的表达式(3篇)
第1篇一、波动方程波动方程是描述波动在连续介质中传播的偏微分方程。
常见的波动方程有弦振动方程、声波方程、光波方程等。
以下列举几种常见的波动方程及其表达式：1. 弦振动方程弦振动方程描述了弦在受到外力作用下的振动规律。
假设弦的线密度为λ，张力为T，弦上某点的位移为y(x,t)，则弦振动方程可表示为：∂²y/∂t² = (T/λ)∂²y/∂x²其中，x表示弦的长度，t表示时间，y(x,t)表示弦上某点的位移。
2. 声波方程声波方程描述了声波在介质中的传播规律。
假设介质的密度为ρ，声速为c，声波在介质中的波动函数为p(x,t)，则声波方程可表示为：∂²p/∂t² = c²∂²p/∂x²其中，x表示声波传播的距离，t表示时间，p(x,t)表示声波在介质中的波动函数。
3. 光波方程光波方程描述了光波在介质中的传播规律。
假设光波在介质中的波动函数为E(x,t)，介质的折射率为n，则光波方程可表示为：∂²E/∂t² = (n²/c²)∂²E/∂x²其中，x表示光波传播的距离，t表示时间，E(x,t)表示光波在介质中的波动函数。
二、振动方程振动方程描述了物体在受到外力作用下的振动规律。
常见的振动方程有单摆运动方程、弹簧振动方程等。
以下列举几种常见的振动方程及其表达式：1. 单摆运动方程单摆运动方程描述了单摆在重力作用下的振动规律。
假设单摆的摆长为L，摆球质量为m，摆球偏离平衡位置的角度为θ，则单摆运动方程可表示为：mL²θ'' = -mgLsinθ其中，θ'表示摆球偏离平衡位置的角度对时间的导数，θ''表示摆球偏离平衡位置的角度对时间的二阶导数。
2. 弹簧振动方程弹簧振动方程描述了弹簧在受到外力作用下的振动规律。
假设弹簧的劲度系数为k，弹簧的位移为x，则弹簧振动方程可表示为：mω²x = -kx其中，ω表示弹簧振动的角频率，m表示弹簧的质量。
大学物理-波动学2
x w wk w p A sin [ (t ) 0 ] u
2 2 2
定义：平均能量密度（对时间平均)
1 w T
T
0
x 1 2 2 A sin [ (t ) 0 ]dt A 2 u
2 2 2
能流，能流密度
能流 P —单位时间内通过某一截面的 能量称为波通过该截面的能流，或叫能通量。 设波速为 u，在 t 时间内通过垂 直于波速方向截面 S 的能量:
波方程——任意坐标x处的振动方程
x处 相 位 落 后 2
x
已知O点振动表达式： y
u
y A cos(t 0 )
p
x
波长为
0
x
y A cos( t 0
2
x)
如果已知的不是O点振动方程
2 x处 比 x 0处 相 位 落 后 （x x0 )
X0点的振动方程：
波的强度
1 2 2 I A u 2
能流密度是矢量，其方向与波速方向相同
例1 一等幅平面简谐波，在直径d= 0.14m的圆柱管的空 气中进行,波的强度I=0.009w/m2 频率为300Hz，波速为 300m/s。试求：波中平均能量密度和最大能量密度；在 管中两个相邻同相面间的波带中含有的波的平均能量 解：由公式
y A cos( t 0 2
x)
上式与标准形式的波函数相比 可得：
A 0.2m, 100Hz, u 40m.s1 , T 0.01s, 0.4m
2) 首先画出t=0时刻的波形曲线
y 0.2 cos[ (200t 5x) / 2] (SI 制)
二维波动方程
二维波动方程二维波动方程是数学物理学中一个重要的理论，它是用来描述物理系统中物质在空间和时间上的变化。
它最早由法国数学家卢梭在1822年提出，在过去的几个世纪里，它被广泛应用于物理学的研究，甚至是生物学，计算机科学，金融学等其它领域。
二维波动方程可以用通用的形式来表达：frac{partial^2u}{partial t^2}=c^2left(frac{partial^2u}{partial x^2}+frac{partial ^2u}{partial y^2}right) 其中，u是物质的密度，t是时间，x和y是空间坐标，c是物质传播的速度。
它表明物质在空间和时间上的变化是有方向性和空间边界受限的，而沿着空间边界的传播速度是已知的，这反映了物质在空间和时间上的传播规律。
二维波动方程在多种物理系统中有着重要的应用。
例如，它可以用来描述声音的传播，以及湍流的产生，以及电磁场的传播等。
它也可以用来模拟水的流动，描述气体的压力和流速的变化，以及模拟肿块的扩散等。
此外，二维波动方程也用于描述分子的传播，包括分子的运动方式、速度和相互作用等。
这对于多种物理系统的研究，如生物物质的传播和化学反应的研究，有着重要的作用。
二维波动方程可以用来描述金融系统中的动态行为，比如货币流动、股票价格的变化和投资风险等。
在这种情况下，u代表的是价格，t代表的是时间，x和y代表的是位置，c代表的是价格的变动受空间分布的影响程度。
二维波动方程的研究也在计算机科学等其他领域中被提出，比如在机器学习中，使用这种方程来分析非线性系统中的行为变化。
总而言之，二维波动方程是一个重要的数学物理理论，它有着多方面的应用，早已被广泛用于物理学，生物学，金融学和计算机科学等领域。
当描述一个物质在空间和时间上的变化时，二维波动方程的利用是十分必要的，它以其精确的解决办法极大地帮助着物理学家研究物质的传播规律，也帮助着金融学家研究金融系统的复杂行为。
地震勘探中的二维波动方程 带源函数
地震勘探中的二维波动方程带源函数
地震勘探中的二维波动方程可以写为：
ρ(x,y)∂^2u/∂t^2 = μ(x,y)(∂^2u/∂x^2 + ∂^2u/∂y^2) + f(x,y,t)
其中，ρ(x,y)是在点(x,y)处的介质密度，μ(x,y)是在点(x,y)处的
介质的剪切模量，f(x,y,t)是在点(x,y)和时间t处的源函数。
源函数是用来表示地震波源造成的振动，它的形式通常可以根据实际情况进行选择。
比较常用的源函数包括脉冲源、高斯源、Ricker源等等。
在地震勘探中，通常采用震源激发地下介质的波动，然后通过接收器来记录地下波动的传播情况。
基于二维波动方程带源函数，可以对地下介质的物理参数进行反演，从而得到比较准确的地下介质结构信息。
二阶波动方程求解matlab
二阶波动方程求解MATLAB一、概述二阶波动方程是描述波动现象的重要数学模型，在工程、物理、地球科学等领域都有着广泛的应用。
利用MATLAB对二阶波动方程进行求解，不仅可以加深对波动方程理论的理解，还可以为工程实际问题的求解提供有力的工具。
本文将介绍如何利用MATLAB对二阶波动方程进行求解，并给出相应的示例。
二、二阶波动方程的基本形式二阶波动方程的基本形式可以表示为：∂^2u/∂t^2=c^2∇^2u其中，u表示波函数，t表示时间，c表示波速，∇^2u表示波函数的拉普拉斯算子。
在实际应用中，波动方程的形式会有所不同，但以上基本形式仍然适用。
三、MATLAB求解二阶波动方程的基本步骤1. 定义问题：首先要确定二阶波动方程的边界条件、初值条件和区域范围。
2. 离散化：利用有限差分或有限元等方法将波动方程离散化，得到差分方程或代数方程组。
3. 求解方程组：利用MATLAB内置的求解器对离散化后的波动方程进行求解。
4. 可视化结果：利用MATLAB的绘图函数将求解得到的波函数在空间和时间上进行可视化展示。
四、MATLAB求解二阶波动方程的示例假设我们要求解的二阶波动方程为一维波动方程：∂^2u/∂t^2=c^2∂^2u/∂x^2其中，u为波函数，c为波速，x为空间坐标，t为时间。
边界条件和初值条件为：u(0,t)=u(L,t)=0u(x,0)=sin(2πx/L)∂u/∂t|t=0=0其中，L为空间范围的长度。
1. 定义问题根据给定的边界条件和初值条件，我们可以利用MATLAB的变量定义语句将问题中的各个量表示为MATLAB中的变量。
2. 离散化利用有限差分方法将波动方程进行离散化，得到差分方程组。
假设空间范围被均匀地分为N个小区间，时间范围被均匀地分为M个小区间，我们可以得到N*M个未知量，从而得到N*M个代数方程。
这些方程可以表示为矩阵形式，即AU=B，其中A为系数矩阵，U为未知量向量，B为右端向量。
波传播所满足的波动方程
波传播所满足的波动方程
波传播所满足的波动方程可以根据具体情况而定。
以下是几个常见的波动方程：
1. 一维波动方程：
∂²u/∂t² = c² ∂²u/∂x²
其中，u(x,t)代表波的位移，c为波速，x为空间坐标，t为时间。
2. 二维波动方程（横波）：
∂²u/∂t² = c² (∂²u/∂x² + ∂²u/∂y²)
其中，u(x,y,t)代表波的位移，c为波速，x和y为平面上的空间坐标，t为时间。
3. 三维波动方程（横波）：
∂²u/∂t² = c² (∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² + ∂²u/∂z²)
其中，u(x,y,z,t)代表波的位移，c为波速，x、y和z为空间坐标，t为时间。
需要注意的是，不同类型的波（例如横波或纵波）以及不同的介质（例如固体、液体或气体）可能有不同的波动方程。
此外，上述方程还是基于经典的波动理论，实际情况可能需要考虑更复杂的因素。
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常微分方程的求解：常见的一阶方程、可降阶高阶方程、
二阶线性方程 （重点在非齐次）
傅里叶级数理论：傅里叶级数及其系数、正弦级数、 余弦级数
（1）、牛顿第二定理： F ma
（2）、Furier s实验定理：单位 时间内流过单位
面积的热量 qq(热流强k度u量）与温度的下降成正比
大小
q
k
u n
k 为热传导系数
u(x)
F
T2
u+u
2
u 1
B
T1
0
x
x+x
弦的原长： s x
振动拉伸后：s ' (x)2 (u)2 x dx
弦长dx ，质量线密度，B段 的质量为m= dx
u(x)
F
u+u
u 1
B
T1
0
x
x+x
T2 受力分析和牛顿运动定律：
2
沿x-方向，不出现平移
T2 cos2 T1 cos1 0
第一类边界条件 第二类边界条件
0, 0
第三类边界条件
在任意时刻 t, x 0端弹簧
的实际伸缩量
u(0,t) Q1(t) l1
由Hooke（虎克）定律可知该端 的弹性恢复力（相当于张力）为
k1 (u(0, t) Q1 (t) l1 )
取区间 0, x上相应的弦线
T0ux (x, t) k1(u(0, t) Q1(t) l1)
u
n 为张力在xy平面上的投影方向
薄膜
T
张力T的横向分量
T
sin
T
tan
T
u n
xy平面的 n
26
y y+dy
在x和x+dx两边所受的横向 y
作用力
x
n(即y)
(T
ux
x dx
T ux
)dy
x
Tuxxdxdy
x+dx
类似地：在y和y+dy两边所
x
n(即x)
受的横向作用力：
utt dxdy Tuxxdxdy Tuyydxdy
T
u x
xa
k u
xa
或
u x
u
xa
0
注：1
在上面给出的边界条件中， gi i 1, 2 都是定义
在边界S上（通常也依赖于t）的已知函数。
当 gi 0, i 1, 2 时，相应的边界条件称为齐
次的，否则称为非齐次的。
2 三种边界条件可用一个式子表达：
其中
u n
u
S
f.
0, 0 0, 0
波动方程的一般边界条件
(1)已知端点的位移变化 ：
u |x0 g1 t 或： u(a,t) g2 t
t0
(2)已知端点所受的垂直于弦线的外力 ：
T
u x
xa
g1 t
或
u x
xa
g2
t
t0
(3) 弹性支承端：
在 x 0端
ux (0,t) 1u(0,t) g1(t) , t 0
在 xl端
ux (l,t) 2u(l,t) g2 (t) , t 0
数学物理方程
Mathematical Equations for Physics
想要探索自然界的奥秘就得解微分方程
—— 牛顿
知之者，不如好知者，
好知者，不如乐知者。
做一个快乐的求知者——与大家共勉
王翠玲
西安交通大学数学与统计学院
wangcl8@
1
数学物理思想
数学物理方程（简称数理方程）是指从物理 学及其它各门自然科学、技术科学中所导出的函 数方程，主要指偏微分方程和积分方程．
特殊性，即个性。
泛定方程：不带有边界和初始条件的方程称为泛定方程。
它反映了问题的共性。
7
具体的问题的求解的一般过程： 1、根据系统的内在规律列出泛定方程——客观规律
2、根据已知系统的边界状况和初始状况列出边界条件和
初始条件——求解所必须用的
8
3、求解方法 —— 行波法、分离变量法、等
三类数学物理方程的一种最常用解法 分离变量法
mutt
T（ux xdx ux x ） F ( x, t )dx (dx)utt
T ux
xdx ux dx
x F ( x, t ) utt
取极限
Tuxx F ( x, t ) utt
令 a2 T / 波速a
f (x,t) F(x,t)/
波动方程： utt a2uxx f ( x, t )
f0x
x
2u t 2
(x,t)
令 x 0 得
T0ux (0,t) k1(u(0,t) Q1(t) l1) 0, t 0
即 ux (0,t) 1u(0,t) g1 (t)
t0
其中
1
k1 T0
>0
g1(t) 1(Q1(t) l1)
• 类似可得在 x l 端边界条件为
ux (l,t) 2u(l,t) g2 (t)
2
k2 T0
0
g2 (t) 2 (Q2 (t) l2 )
在具有弹性支撑的边界，弦线的边界条件如下
在 x 0端
ux (0,t) 1u(0,t) g1 (t) , t 0
在 xl端
ux (l,t) 2u(l,t) g2 (t) , t 0
作业 P29 : 2, 6,8
三、历史问题----初始条件 体现历史状态的数学方程称为初始条件
例：一个物体做竖直上抛，一个物体斜抛。不同的初始条件
→ 不同的运动状态，但都服从牛顿第二定律。 定解问题的完整提法：
在给定的边界条件和初始条件下，根据已知的物理规律，在 给定的区域里解出某个物理量u，即求u(x,y,z,t)。
定解条件：边界条件和初始条件的总体。它反映了问题的
偏微分方程 标准的常微分方程
标准解，即为各类特 殊函数
微积分知识回顾
哈密尔顿算子或梯度算子，读作nabla
x
iˆ
y
ˆj
z
kˆ
与梯度算子有关的场论运算
gradu u
divA A
rotA A
拉普拉斯算子
2
2 x 2
2 y 2
2 z 2
平面上的拉普拉斯算子
2u
2u x 2
2u y 2
受迫振动方程
………一维波动方程
单位质量所受 外力，力密度
24
u(x)
F
u+u
u43;x
如考虑弦的重量： T2 2 沿x-方向，不出现平移
T2 cos2 T1 cos1 0 （1）
沿垂直于x-轴方向
T2 sin2 T1 sin1 F(x,t)dx gdx (dx)utt （2）
一、数学物理方程---泛定方程:物理规律的数学表示
物理规律 数学语言翻译 物理量u 在空间和时间中的变
化规律，即物理量u在各个地点和各个时刻所取的值
之间的联系。
振动与波（振动波，电磁波）传播满足 波动方程
多数为二 阶线性偏 微分方程
热传导问题和扩散问题满足热传导方程
静电场和引力势满足拉普拉斯方程或 泊松方程
2、边界条件——描述系统在边界上的状况
波动方程的特殊边界条件
(1)固定端：对于两端固定的弦的横振动，其为： u |x0 0, 或： u(a,t) 0
(2)自由端：x=a 端既不固定，又不受位移方向力的作用。
T
u x
xa
0
或：
u x
xa
0
或：ux (a,t)
0
(3) 弹性支承端：在x=a端受到弹性系数为k 的弹簧的支承。
数学物理方程所研究的内容和所涉及的领域 十分广泛，它深刻地描绘了自然界中的许多物理 现象和普遍规律.
数学物理方程 概 论
☆ 数学和物理的关系 数学和物理从来是没有分开过的
☆ 数学物理方程的定义 用微分方程来描述给定的物理现象和物理规律。
☆ 课程的主要内容
三种方程、 四种求解方法、 二个特殊函数
波动方程 热传导 拉普拉斯方程
Tuyydxdy
为单位面积的薄膜质量
utt T (uxx uyy ) 0
utt a22u 0
薄膜的受迫振动方程
单位面积上的横向外力
utt a22u f ( x, y, t ) 单位质量上的横向外力
a2 T /
F(x, y,t)
F(x, y,t) f
27
注：
波动 方程
弦振动方程
类似讨论
2u t 2
a2
u2 x2
F
g ………一维波动方程
------非齐次方程
忽略重力和外力作用：
2u t 2
a2
u 2 x2
------齐次方程
25
（二）均匀薄膜的微小横振动
设：均匀柔软的薄膜绷紧，膜平面为xy平面，
研究膜在垂直于xy平面的微小横振动
u(x,y,t): 坐标点为(x,y)的横向位移
（3）、虎克定理：在弹性限度内，物体的形变跟引起 形变的外力成正比。
F kx k 为形变系数
第一章 数学建模和 定解条件的推导
一、 基本方程的建立 二、 定解条件的推导 三、 定解问题的概念
1.1 数学模型的建立
建模步骤：
1、明确要研究的物理量是什么？ 从所研究的系统中划出任一微元，分析邻近部分与 它的相互作用。 2、研究物理量遵循哪些物理规律？
（1）
沿垂直于x-轴方向
T2 sin2 T1 sin1 F(x,t)dx (dx)utt
（2）
在微小振动近似下：