线性代数 n阶行列式 答案

a11 a1q a1 p a1n D1 ai 1 aiq aip ain an1 anq anp ann
( i1iq i p in )
性质2 互换行列式的两行(列),行列式反号。
ai11ai2 2 aiqห้องสมุดไป่ตู้q ai p p ain n
2阶行列式
a11 a12 (j1 j2 ) a a a ( 1) D2 11 22 12 a2a 1 1 j1 a 2 j . 2 a21 a22 j1 j2
( 1) (12)a11a22 ( 1) (21)a12a21 3阶行列式 a11 a12 a13
a p1q2 a p2q2 a pnq n
调整顺序 行标成为自然顺序
推论
p1 ... pn

( 1) ( p1 ... pn )a p1 1a p2 2 a pn n
证明：
每调整两个数顺序,其 行标、列标同时作了一次对换， 同时改变奇偶性。 ∴多次对换后,亦然 一次对换,总逆序数之和奇偶性不改变。
i 行列指标：
rk i k qi
r r rk ( k q1 ) ( k q n ) 1 2
r r rk ( k q1 ) ( k q n ) 1 2
( r1 r2 rk ( q1 k ) ( q n k)) ( r1 r2 rk ) (( q1 k ) ( q n k))
( i1i p iq in )
( 1) ( 1) 推论 若行列式D有两行(列)元素对应相等D=0 证：由条件有 D＝－D ∴D＝0
性质3 行列式的某一行(列) 中所有元素都乘以同一个数k
D ，等于用数k乘以此行列式。
注:第i 行(列) k , 记作r[i ( k )](c[i ( k )])
a11 a12 a1n Dn a21 a22 a2 n
an1 an 2 ann
j1 jn


1
( j1 jn )
a1 j1 a2 j2 anjn
(1) ( p1 ... pn ) ( q1 ...qn ) a p1q2 a p2 q2 a pn qn

p1 ... pn

(1) ( p1 ... pn ) a p11a p2 2 a pn n
* * 0 0 * * 0 0 * * * *
【作业】：P25 , Ex1(2)(3); 2; 3; 4(2);5(2)(3)
二、行列式性质（§ 4） 行具有的性质，列也具有 性质1 行列式与它的转置行列式相等 。
定义3:逆序数为奇(偶)数→奇(偶)排列. § 3定义4 一个排列中,将某两数对调,其余的数不动,这种 对排列的变换叫对换 将相邻两数对换,叫做相邻对换(邻换) 例：排列 逆序数 2314 (2314)= 2 偶排列 1324 (1324)= 1 奇排列 1234 (1234)= 0 偶排列 定理1 一个排列中的任意两数对换,排列改变奇偶性。 证 先证邻换改变排列的奇偶性
第一章n 阶行列式(Determinants)
一、行列式的定义
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 全排列及逆序数 n阶行列式的定义 对换 行列式的性质 行列式按行(列)展开
二、行列式的性质
三、行列式的应用
第六节 克拉默法则
一、行列式的定义
§ 1 全排列及逆序数 定义 1 . 由1,2,……,n组成的一个有序数组 称为一个n 级全排列(简称排列) →奇(偶)排列 自然排列 排列12……n(小→大) (前面 后面) ： 2 给定排列j1 j2 jr js jn , 若 jr js 定义 则称jr , js构成一个逆序(反序)。 (大 >小)
∴一次对换后的前后两个排列的奇偶性相反.
例P25 2.求j , k , 使24 j157k 98 为偶排列
解 : 若j 6, k 3, (246157398 ) 0 +3 +1 +0 +4 +0 +1 = 9, j 3, k 6时, 24 j157k 98 为偶排列
§ 2 n阶行列式的定义

含0元
a11 a12 a1n Dn a21 a22 a2 n an1 an 2 ann
定义 j1 jn
1
( j1 jn )
a1 j1 a2 j2 anjn
( 1)
定理 2
( p1 ... pn ) ( q1 ... qn )
( r1 r2 rk ) ( q1 q n )
r r rk , q1 q n 1 2
例：在一个n阶行列式中等于零的元素如果比( n 2 n)还多， 求此行列式的值。
解：不等于的元素个数
D
j1 jn
1
( j1 jn )
a1 j1 a2 j2 an 1, jn1 anjn
a11 a21 Dn a31 解： a n1 0 a22 a32 an 2 0 0 a33 0 0 0
1 (12n ) a11 a22 ann an 3 ann a11a22 ann 主对角线元乘积
j1 jn
1
( j1 jn )
a11 D a21 an1 a12 a1n a22 a2 n an 2 ann D a11 a12 a1n a21 an1 a22 an 2 a2 n ann
证：
(行列式D的转置行列式)
即bi j ＝a i(i，j＝1，2，…，n) j
按行列式定义
定义4
D3 a21 a31
a22 a32
n阶行列式
a11 (123) a12 a1n (231) ( 1) a11a22a33 ( 1) a12a23a31 ( 1) (312) a13a21a32 a21 a22 a2 n ( j1 jn ) (321) (213) ( 132 ) a Dn ( 1) 1) a1 a 1 j1 a 2 j2 a a a ( a a ( 1) a11a23nj a3 n2 13 22 3 1 12 21 33 j1 jn
一个排列j1 j2…jn中逆序的总数称为该排列的逆序数。 记为 (j1 →奇(偶)数 j2…jn) 例：排列 21 ( 1 ， 12 ( )=0 1 +0)= 215479683 ( )= +1 +0 +0 +2 +1 +6 = 11 。 2+2×2 +… 135 ( …(2n-1)(2n)(2n-2) (2n-4)…42 )= 。 +2×(n-2) +2×(n-1) =n(n-1)
ijmn
( 1)
(3142)
102
11 2 2 ( 1)
(3412)
022
1 12 2 ( 1)
(3421)
023
1 1 1 3
4 4 3 3
【小结】： 1、全排列,逆序,逆序数,奇偶排列 ，对换,一次对换改变排列的奇偶性 2、行列式，
j1 jn
1
( j1 jn )
a1 j1 a2 j2 ( kaiji ) anjn
/ kri ( kci )
性质4 行列式D中若有两行元素对应成比例D=0 性质5 若行列式的某行(列) 的元素都是两个数之和. 行列式D等于下列两个行列式之和：
D
j1 jn
1

a1k akk c1k cnk
0 0 b11 bn1

0
例 证:
0 =D1D2. b1n bnn
a11 a1k 其中D1 ak1 akk b11 b1n D2 bn1 bnn
证明:
d11 d1,k n D d k n ,1 d k n ,k n
( j1 jn )
a1 j1 a2 j2 (aiji aiji ) anjn
性质6 把行列式某一行(列) 的元素乘以数k,加到另一行( 列) 对应的元素上去,行列式的值不变。 注:k乘以第i行上的元素加到第j行对应元素上记作r[j＋i(k)].
【小结】行列式三种变换:
D
注:交换行列式i,j两行(列)记作r(i,j)（c(i,j)） ri rj (ci c j ) a11 a1 p a1q a1n 证 D ai 1 aip aiq ain 1 ai11ai2 2 aip p aiqq ainn an1 anp anq ann 必有对应
pi pi 1
pi pi 1 2
i 1 i 1 i 1 i 2 n
∴逆序数的奇偶性改变
下证一般对换改变排列的奇偶性 设排列为
pi依次作m次邻换
Pi+m依次作m-1次邻 换
一次对换~ 作2m-1次邻换
即排列也就改变了 2m-1 次奇偶性， ∴两排列奇偶性相反，
Dn
习题
( 1) ( ijmn ) a1i a2 j a3 m a4 n
ijmn
解：
( 1) (2134 ) a12 a21a33a44 ( 1) (4231) a a a a 14 22 33 41
100 113
( 1) ( ijmn ) ai 1a j 2 am 3 an 4
定义4 n阶行列式
Dn
a11 a21 a n1
a12 a1n a22 a2 n an 2 ann
j1 jn
1
( j1 jn )
a1 j1 a2 j2 anjn
注： 1) 等式右边是由位于不同行不同列n个元素的乘积项 的代数和。 2)乘积项符号与列标排列有关,偶排列为正,奇排列为负 。 3)等式右边共有n!项(=列指标排列数)。 例：n阶下三角形行列式
( j1 j2 j3 ) a23 a a ( a a12 a2a 1) a a a3a 11 22 33 3a 1 j3 j321 a32 11 2 j 2 13 1 j2 j3 a33 j a13 a22 a31 a12 a21a33 a11 a23 a32
an1 an 2 ann 特点： 1) 乘积项的代数和。 乘积项数=列指标排列数 2)乘积项中,行指标自然数序排列，→乘积项各因子处于不同行 3)乘积项中,列指标是排列 →乘积项各因子处于不同列， ， 符号列指标排列逆序数
a1 j1 a2 j2 anjn
例：n阶上三角形行列式
a11 a12 a1n1 a1n 0 a22 a2 n1 a2 n ( j1 jn ) 1 a1 j1 a2 j2 an 1, jn1 anjn Dn 解： j1 jn 0 0 0 an 1 n 1 an 1 n (12n 1n ) an 1n 1 ann a a 1 22 11 0 0 0 0 ann a11a22 ann
特别的,n阶对角形行列式
a11a22 ann
例4 证明
证明:

j1 jn
1
1
( j1 jn )
a1 j1 a2 j2 an 1, jn1 anjn
( n n 121)
a1n a2 n 1 an 12 an1
特别的,
a11 ak1 D c11 cn1