18版高中数学第二章统计2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征学案新人教A版必修3

2．2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征

[学习目标] 1.正确理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差.2.理解用样本的基本数字特征来估计总体的基本数字特征．

知识点一众数、中位数、平均数

1．众数、中位数、平均数定义

(1)众数：一组数据中重复出现次数最多的数．

(2)中位数：把一组数据按从小到大的顺序排列，处在中间位置(或中间两个数的平均数)的数叫做这组数据的中位数．

(3)平均数：如果n个数x1，x2，…，x n，那么x＝1

n

(x1＋x2＋…＋x n)叫做这n个数的平均数．

2．三种数字特征与频率分布直方图的关系

1．标准差

(1)平均距离与标准差

标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示．

假设样本数据是x1，x2，…，x n，x表示这组数据的平均数．x i到x的距离是|x i－x|(i＝1,2，…，n)，

则用如下公式来计算标准差：

s ＝1

n

x1－x2＋x2－x2＋…＋x n－x2].

(2)计算标准差的步骤

①求样本数据的平均数x；

②求每个样本数据与样本平均数的差x i－x(i＝1,2，…，n)；

③求(x i －x )2

(i ＝1,2，…，n )；

④求s 2＝[1n

(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2

]；

⑤求s ＝s 2

，即为标准差． 2．方差

标准差的平方s 2

叫做方差．

s 2＝1

n

[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]，

其中，x i (i ＝1,2，…，n )是样本数据，n 是样本容量，x 是样本平均数．

题型一 众数、中位数、平均数的简单运用

例1 某公司的33名职工的月工资(以元为单位)如下表：

(2)假设副董事长的工资从5000元提升到20000元，董事长的工资从5500元提升到30000元，那么新的平均数、中位数、众数又是多少？(精确到元)

(3)你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平？结合此问题谈一谈你的看法． 解 (1)平均数是：x ＝1500＋

4000＋3500＋2000×2＋1500＋1000×5＋500×3＋0×20

33

≈1500＋591＝2091(元)，中位数是1500元，众数是1500元． (2)新的平均数是x ′＝1500＋

28500＋18500＋2000×2＋1500＋1000×5＋500×3＋0×20

33

≈1500＋1788＝3288(元)，新的中位数是1500元，新的众数是1500元．

(3)在这个问题中，中位数或众数均能反映该公司员工的工资水平，因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数与中位数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司员工的工资水平．

反思与感悟 1.众数、中位数及平均数都是描述一组数据集中趋势的量，当一组数据中个别数据较大时，可用中位数描述其集中趋势，当一组数据中有不少数据重复出现时，其众数往往更能反映问题.2.在求平均数时，可采用新数据法，即当所给数据在某一常数a 的左右摆动时，用简化公式：x ＝x ′＋a .

跟踪训练1 在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的17名运动员的成绩如表所示：

解 在17个数据中，1.75出现了4次，出现的次数最多，即这组数据的众数是1.75.上面表里的17个数据可看成是按从小到大的顺序排列的，其中第9个数据1.70是最中间的一个数据，即这组数据的中位数是 1.70；这组数据的平均数是x ＝1

17

(1.50×2＋1.60×3＋…＋1.90×1)＝28.7517

≈1.69(m)．

答 17名运动员成绩的众数、中位数、平均数依次为1.75m ，1.70m,1.69m. 题型二 平均数和方差的运用

例2 甲、乙两机床同时加工直径为100cm 的零件，为检验质量，各从中抽取6件测量，数据为

甲：99 100 98 100 100 103 乙：99 100 102 99 100 100 (1)分别计算两组数据的平均数及方差；

(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定． 解 (1)x 甲＝1

6

(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100，

x 乙＝1

6

(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100.

s 2甲＝16

[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2

]

＝73

， s 2乙＝1

6

[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2

]

＝1.

(2)两台机床所加工零件的直径的平均值相同， 又s 2

甲＞s 2

乙，所以乙机床加工零件的质量更稳定． 反思与感悟 1.极差、方差与标准差的区别与联系： 数据的离散程度可以通过极差、方差或标准差来描述．

(1)极差是数据的最大值与最小值的差，它反映了一组数据变化的最大幅度，它对一组数据中的极端值非常敏感．

(2)方差或标准差则反映了一组数据围绕平均数波动的大小，为了得到以样本数据的单位表示

的波动幅度通常用标准差，即样本方差的算术平方根，是样本数据到平均数的一种平均距离． 2．在实际问题中，仅靠平均数不能完全反映问题，还要研究方差，方差描述了数据相对平均数的离散程度，在平均数相同的情况下，方差越大，离散程度越大，数据波动性越大，稳定性越差；方差越小，数据越集中，质量越稳定．

跟踪训练2 某化肥厂有甲、乙两个车间包装肥料，在自动包装传送带上每隔30分钟抽取一包产品，称其质量，分别记录抽查数据如下(单位：kg)： 甲：102 101 99 98 103 98 99 乙：110115908575115110 (1)这种抽样方法是哪一种方法？

(2)试计算甲、乙两个车间产品质量的平均数与方差，并说明哪个车间产品比较稳定． 解 (1)采用的抽样方法是：系统抽样．

(2)x 甲＝1

7

(102＋101＋99＋98＋103＋98＋99)＝100；

x 乙＝1

7

(110＋115＋90＋85＋75＋115＋110)＝100；

x 2甲＝17

[(102－100)2＋(101－100)2＋(99－100)2＋(98－100)2＋(103－100)2＋(98－100)2

＋

(99－100)2

]

＝1

7

(4＋1＋1＋4＋9＋4＋1)≈3.43； s 2乙＝1

7

[(110－100)2＋(115－100)2＋(90－100)2＋(85－100)2＋(75－100)2＋(115－100)2

＋

(110－100)2

]

＝1

7(100＋225＋100＋225＋625＋225＋100) ≈228.57.

所以s 2

甲＜s 2

乙，故甲车间产品较稳定． 题型三 频率分布与数字特征的综合应用 例3 已知一组数据：

125 121 123 125 127 129 125 128 130 129 126 124 125 127 126 122 124 125 126 128 (1)填写下面的频率分布表：