相似三角形的性质与判定讲义)

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相似三角形的性质与判定

相似三角形的性质与判定

EADC 1 相似三角形的性质与判定知识要点一、相似的概念①如果两个图形形状相同,但大小不一定相等,那么这两个图形相似。

(相似的符号:∽); ②如果两个三角形形状相同,但大小不一定相等,那么这两个三角形相似。

二、相似三角形的性质①相似三角形的对应角相等。

②相似三角形的对应边成比例(对应边之比称为相似比)。

③相似三角形的对应高线的比,对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。

④相似三角形的周长比等于相似比。

⑤相似三角形的面积比等于相似比的平方。

三、相似三角形的判定①(SAS )如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似。

(简叙为:两边对应成比例且夹角相等,两个三角形相似。

)②(SSS )如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似。

(简叙为:三边对应成比例,两个三角形相似。

)③(AA )如果两个三角形的两个角分别对应相等(或三个角分别对应相等),那么这两个三角形相似。

1、如图,AED ∆∽ABC ∆,其中B ∠=∠1,则()()ABBC AD ___(___)___==。

2、一个三角形三边长之比为6:5:4,三边中点连线组成的三角形的周长为cm 30,则原三角形最大边长为多少?3、如果ABC ∆∽C B A '''∆,相似比为2:3,若它们的周长的差为40厘米,则C B A '''∆的周长为多少厘米?4、ABC ∆中,DE ∥BC 交AB 于D 交AC 于E ,若四边形DECB 的面积为ADE ∆面积的3倍,求BC DE :的值。

C A B A E F G BDC5、如图,在ABC Rt ∆中,CD 为斜边AB 上的高,且6=AC 厘米,4=AD 厘米,求AB 与BC 的长。

6、已知在ABC ∆中,D 、E 分别为AB 、AC 的点,且DE ∥BC ,求证:ANAMON OM =。

三角形的相似性质与判定定理

三角形的相似性质与判定定理

三角形的相似性质与判定定理
三角分别相等,三边成比例的两个三角形叫做相似三角形。

如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似。

(1)如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似,(简叙为两角对应相等两三角形相似)。

(2)如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角成正比,那么这两个三角形相近(简叙为:两边对应成比例且夹角成正比,两个三角形相近。

)
(3)如果一个三角形的三条边与另一个三角形的`三条边对应成比例,那么这两个三角形相似(简叙为:三边对应成比例,两个三角形相似。

)
1、相近三角形对应角成正比,对应边变成比例。

2、相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等)的比等于相似比。

3、相近三角形周长的比等同于相近比。

4、相似三角形面积的比等于相似比的平方。

5、相近三角形内切圆、外接圆直径比和周长比都和相近比相同,内切圆、外接圆面积比是相近比的平方。

三角形的相似性质与判定

三角形的相似性质与判定

三角形的相似性质与判定三角形是平面几何中的基本图形,具有相似性质的三角形在数学和实际应用中起着重要的作用。

本文将探讨三角形的相似性质以及如何判定两个三角形是否相似。

一、相似三角形的定义与性质相似三角形是指具有相同的形状但大小不一的三角形。

它们的边长之比相等,并且对应角度相等。

考虑两个三角形ABC和DEF,若存在一个比值k使得AB/DE=BC/EF=AC/DF=k,则称这两个三角形相似。

相似三角形有以下性质:1. 对应角度相等:∠A = ∠D,∠B = ∠E,∠C = ∠F。

2. 对应边长比例相等:AB/DE = BC/EF = AC/DF = k。

3. 对应边长比例相等的性质也可以表达为:AB/BC = DE/EF =AC/DF = 1/k。

二、判定三角形相似的方法1. 三边对应角相等法(SAS法):如果两个三角形的两条边的比值相等,并且这两个边夹角相等,那么这两个三角形相似。

根据这个方法,可以判定两个三角形是否相似,但需要注意两个三角形的顶点要对应一致。

2. 角-角-角(AAA)法:如果两个三角形的三个角度分别相等,那么这两个三角形相似。

由于一个三角形的内角和为180度,所以只需知道两个角度相等就可以推断出第三个角度相等。

但是需要注意,AAA法只能说明两个三角形是相似的可能性,还需要验证其他条件。

3. 角-边-角(ASA)法:如果两个三角形的一对角度相等,并且夹在两条相等边之间的夹角也相等,那么这两个三角形相似。

4. 边-角-边(SAS)法:如果两个三角形的一对边比值相等,并且两条边之间夹角相等,那么这两个三角形相似。

三、相似三角形的应用1. 比例定理:相似三角形的边长比值等于对应边上的线段比值。

例如,若三角形ABC与三角形DEF相似,则有AB/DE = BC/EF =AC/DF。

2. 测量不可达长度:当实际中无法直接测量到物体的长度时,可以利用相似三角形的性质来计算。

通过测量已知长度的物体与其相似三角形的对应边长,再利用比例关系计算出不可达长度。

相似三角形判定与性质

相似三角形判定与性质

相似三角形专讲【知识要点】1.对应角相等,对应边成比例的三角形叫做相似三角形。

2.相似三角形的判定:①如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似。

②如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例,且夹角相等,那么这两个三角形相似。

③如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似。

3.相似三角形具有下述性质:①相似三角形对应角相等、对应边成比例;②相似三角形对应高、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比; ③相似三角形周长的比等于相似比; ④相似三角形面积的比等于相似比的平方。

4.熟悉如图中形如“A ”型,“X ”型,“子母型”等相似三角形。

5.射影定理AC 2=AD ·BD BC 2=BD ·BACD 2=AD ·BD6.位似:如果两个图形不仅相似,而且对应顶点的连线相交于一点,像这样的两个图形叫做 位似图形, 这个点叫做位似中心, 这时的相似比又称为位似比.【典型例题】一、选择题(每小题4分,共40分)1.如图1,在△ABC 中,AB=AC ,∠A=36º,BD 平分∠ABC,DE∥BC,那么在下列三角形中,与△EBD 相似 三角形是( )。

A .△ABC B .△DAB C .△ADE D .△BDC 2.如图2,AB ∥CD ∥EF ,则图中相似三角形的对数为( )。

A .1对B .2对C .3对D .4对3.如图3,已知在△ABC ,P 为AB 上一点,连结CP ,以下各条件中不能判定△ACP ∽△ABC 的是( )。

A .∠ACP =∠B B .∠APC =∠ACB C .AC AP =AB AC D . AC AB =CPBC图1 图2 图34.如图4,在正方形网格上,若使△ABC ∽△PBD ,则点P 应在( )。

A .P 1处B .P 2处C .P 3处D .P 4处5.如图5,若A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 、O 都是5×7方格纸中的格点,为使△DME ∽△ABC ,则点M 应是F 、G 、H 、O 四点中的( )。

第一讲相似三角形的性质与判定

第一讲相似三角形的性质与判定

第一讲 相似三角形的性质与判定一、知识要点1.相似三角形的定义:对应角相等,对应边的比相等的两个三角形。

对应边的比叫做相似比。

三条平行线截两条直线所得的对应线段的比相等。

2.相似三角形的判定:①平行法②三组对应边的比相等(类似于三角形全等判定“SSS ”)③两组对应边的比相等,且夹角相等(类似于三角形全等判定“SAS ”)④两角对应相等(AA)直角三角形中斜边、直角边对应比相等(类似于直角三角形全等判定“HL ”)。

相似三角形的基本图形:判断三角形相似,若已知一角对应相等,可先考虑另一角对应相等,注意公共角或对顶角或同角(等角)的余角(或补角)相等,若找不到第二对角相等,就考虑夹这个角的两对应边的比相等;若无法得到角相等,就考虑三组对应边的比相等。

3.相似三角形的性质:①对应角相等②对应边的比相等③对应的高、中线、角平分线、周长之比等于相似比④对应的面积之比等于相似比的平方。

4.相似三角形的应用:求物体的长或宽或高;求有关面积等。

二、考点精讲考点一:平行线分线段成比例例1、(2014广东肇庆)如图,已知直线a ∥b ∥c ,直线m 、n 与a 、b 、c 分别交于点A 、C 、E 、B 、D 、F ,AC = 4,CE = 6,BD = 3,则BF =( )A . 7B . 7.5C . 8D . 8.52.下列各组线段中,能成比例的是 ( )A 、 1㎝,3㎝,4㎝,6㎝B 、 30㎝,12㎝,0.8㎝,0.2㎝C 、 0.1㎝,0.2㎝,0.3㎝,0.4㎝D 、 12㎝,16㎝,45㎝,60㎝3. 如果线段2=a ,且a 、b 的比例中项为10,那么线段b = 。

4、若x :y =3,则x :(x+y)=_______5. 在长度为1的线段上找到两个黄金分割点P、Q.则PQ=( )A .215-B .53- C.25- D .253-6. 已知0432≠==cb a ,则cb a +的值为( )A.54B.45C.2D.21 考点二:相似三角形的判定例2、(2013湖北荆州)如图,P 为线段AB 上一点,AD 与BC 交于E ,∠CPD =∠A =∠B ,BC 交PD 于F ,AD 交PC 于G ,则图中相似三角形有( )A .1对B .2对C .3对D .4对 例3.如图,在矩形ABCD 中,AB=6,BC=8,沿直线MN 对折,使A 、C 重合,直线MN 交AC 于O.(1)求证:△COM∽△CBA; (2)求线段OM 的长度.练习:1.下列各组三角形一定相似的是( )A .两个直角三角形B .两个钝角三角形C .两个等腰三角形D .两个等边三角形 2.如图,DE∥BC,EF∥AB,则图中相似三角形一共有( ) A .1对 B .2对 C .3对 D .4对3、如图,P 是Rt ΔABC 的斜边BC 上异于B 、C 的一点,过点P 做直线截 ΔABC ,使截得的三角形与ΔABC 相似,满足这样条件的直线共有( )第2题4.如图,∠ADC =∠ACB 5.如图,AD ∥EF ∥BC 考点三:相似三角形的性质例4、(2013山东烟台)如图,△ABC 中,点D 在线段BC 上, 且△ABC ∽△DBA ,则下列结论一定正确的是( )A .AB 2=BC ·BD B .AB 2=AC ·BD C .AB ·AD =BD ·BC D .AB ·AD =AD ·CD例5、(2014浙江嘉兴)如图,边长为4的等边△ABC 中,DE 为中位线,则四边形BCED 的面积为( )AD E(A )32(B )33(C )34(D )36例6(2012•重庆)已知△ABC ∽△DEF ,△ABC 的周长为3,△DEF 的周长为1,则ABC 与△DEF 的面积之比为 .练习:1.(2014青海西宁,10,3分)如图6,在等边△ABC 中,D 为BC 边上一点,E 为AC 边上一点,且∠ADB +∠EDC =120°,BD =3,CE =2,则△ABC 的边长为()A .9B .12C .16D .18Q PECDBA2.(2013四川雅安,9,3分)如图,D 、E 、F 分别为△ABC 三边的中点,则下列说法中不正确的为( )A .△ADE ∽△ABCB .AFC ABF S S △△= C .ABC ADE S S △△41=D .DF=EF 3.(2013辽宁丹东,16,3分)已知:如图,DE 是△ABC 的中位线,点P 是DE 的中点,CP 的延长线交AB 于点Q ,那么:DPQ ABC S S ∆∆=______________.三、反馈练习反馈题1:如图,梯形ABCD 中,AB∥CD,E 为DC 中点,直线BE 交AC 于F ,交AD 的延长线于G ;请说明:EF·BG=BF·EG反馈题2,如图,⊙O 是△ABC 的外接圆,圆心O 在AB 上,过点B 作⊙O 的切线交AC 的延长线于点D 。

北师大九年级数学上第四章相似三角形的性质及判定讲义

北师大九年级数学上第四章相似三角形的性质及判定讲义

教学过程前课回顾1. 相似三角形的判定:①两角对应相等,两个三角形相似②两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似 ③三边对应成比例,两三角形相似④如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角形相似⑤平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似⑥直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似 2. 相似三角形的性质①相似三角形的对应角相等 ②相似三角形的对应边成比例③相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比④相似三角形周长的比等于相似比⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方错题重现1.若3x-7y=0, 则y∶x=_______, =________。

2.若a=7, b=4, c=5, 则b, a, c 的第四比例项d=_______。

3.若线段a=4, b=6, 则a, b 的比例中项为________。

4.已知:===, 则=______,=_________。

5.已知:a∶b∶c=3∶4∶5, a+b -c=4, 则4a+2b-3c=________。

知识详解知识点二:相似三角形的判定 相似三角形的几种基本图形:A C E DB①E DCB A ②A③C BDE D BCA⑥A CB④D A CDBP⑤图①为“A ”型图,条件是DE ∥BC ,基本结论是△ADE ∽△ABC ; 图②为“X ”型图,条件是ED ∥BC ,基本结论是△ADE ∽△ABC ; 图③,图④是图①的变式;图⑤是图②的变式;图⑥是“母子”型图,条件是CD 为斜边上的高,基本结论是△ACD ∽△ABC ∽△CBD 。

典型例题作辅助线构造“A ”“X ”型例1、如图,1==DEAECD BD ,求BF AF 。

(试用多种方法解)方法一:方法二:方法三:例2、如图,AD 是△ABC 的中线,E 是AD 上的一点,且AE=31AD ,CE 交AB 于点F ,若AF=1.2cm ,求AB 的长。

相似三角形的判定与性质

相似三角形的判定与性质

相似三角形的判定与性质一、知识回顾1、相似三角形的判定:(1)如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似。

(2)平行于三角形一边的直线与其它两边相交,所构成的三角形与原三角形相似。

(3)如果两个三角形的两组对应边的比相等,且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似(4)如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似。

2、相似三角形的性质(1)对应边的比相等,对应角相等。

(2)相似三角形的周长比等于相似比。

(3)相似三角形的面积比等于相似比的平方。

(4)相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比。

二、典型例题例 1:如图,已知直线 AB: y=4/3 x+b 交 x 轴于点 A( -3 , 0),交 y 轴于点 B,过点 B 作BC⊥AB 交 x 轴于点 C.(1)试证明:△ ABC∽△ AOB;( 2)求△ ABC 的周长.例 2:如图,一次函数y=kx+b 的图象经过点A( -1 ,0)和点( 1,4)交 y 轴于点 B.( 1)求一次函数解析式和 B 点坐标.( 2)过 B 点的另一直线 1 与直线 AB垂直,且交X轴正半轴于点P,求点 P 的坐标.(3)点 M( 0,a)为 y 轴正半轴上的动点,点N( b,O)为 X 轴正半轴上的动点,当直线MN⊥直线 AB时,求 a: b 的值.例 3:( 2000·陕西)如图,在矩形ABCD 中, EF 是 BD 的垂直平分线,已知 BD=20, EF=15,求矩形 ABCD 的周长.例 4:( 2010·攀枝花)如图所示,在△ ABC 中, BC > AC ,点 D 在 BC 上,且 DC=AC ,∠ ACB 的平分线 CF 交 AD 于点 F .点 E 是 AB 的中点,连接 EF .( 1)求证: EF ∥BC ;( 2)若△ ABD 的面积是 6,求四边形 BDFE 的面积.例题(1) 两个相似三角形的面积比为 s 1 : s 2 ,与它们对应高之比h 1 : h 2 之间的关系为 _______(2) 如图,已知 D E ∥ BC , CD 和 BE 相交于 O ,若 SABC:SCOB9 :16 ,则 AD:DB=_________AABADD ’DEODEEFFGA A ’CC ’OCB B ’BCDBC(2)题图(3) 题图(4) 题图(5) 题图(3)如图,已知 AB ∥CD,BO:OC=1:4, 点 E、 F 分别是 OC, OD的中点,则 EF:AB 的值为(4) 如图,已知DE∥FG∥ BC,且 AD:FD:FB=1:2:3, 则S ABC: S四边形DFGE: S四边形FBCG()A.1:9:36B.1:4:9C.1:8:27D.1:8:36(5)如图,把正方形 ABCD 沿着对角线 AC 的方向移动到正方形 A’B ’C’D ’的位置,它们的重叠部分的面积是原正方形面积的一半,若AC= 2 ,则正方形移动的距离 AA ’是(6) 梯形 ABCD中, AD∥BC,( AD<BC), AC、 BD交于点 O,若S OAB6S ABCD,则△AOD与△BOC的周长25之比为 __________ 。

相似三角形的性质与判定专题讲义

相似三角形的性质与判定专题讲义

相似三角形的性质与判定专题讲义一、知识梳理(一)、相似三角形的性质:1、相似三角形的对应角,对应边。

2、相似三角形的对应高,对应中线,对应角平分线的比都等于。

3、相似三角形对应周长的比等于。

4、相似三角形对应面积的比等于。

注意:在运用相似三角形的性质解题时,一定要确定好对应边、对应角;若果不能确定,则应当进行分类讨论。

(二)、相似三角形的判定:1、判定两个三角形相似的条件:(1)平行截割: _____(2)两角对应相等:(3)两边夹:(4)三边比:_____________________________________2、判定两个三角形相似的一般步骤:(1)先通过已知或平行、对顶角、公共边、寻找是否存在两对相等的角(2)若只能找到一对对应角相等,则再找到一对对应角相等,或找夹这个角的两边是否对应成比例。

(3)若找不到相等的角,就分析三边是否3、等积式的证明思路遇等积,化等比;横找、竖找定相似;不相似,莫生气,等线等比来代替;平行线转比例,两端各自拉关系。

二、基础练习1.(2013•重庆)已知△ABC∽△DEF,若△ABC与△DEF的相似比为3:4,则△ABC与△DEF的面积比为()A.4:3 B.3:4 C.16:9 D.9:162.两相似三角形的最短边分别是5cm和3cm,它们的面积之差为32cm2,那么小三角形的面积为()A.10cm2B.14cm2C.16cm2D.18cm23.如图,已知△ABC,AB=6,AC=4,D为AB边上一点,且AD=2,E为AC边上一点(不与A、C重合),若△ADE与△ABC相似,则AE=()A.2 B.34C.3或43D.3或344.(2008•毕节地区)已知△ABC的三条长分别为2cm,5cm,6cm,现将要利用长度为30cm和60cm的细木条各一根,做一个三角形木架与△ABC相似,要求以其中一根作为这个三角形木架的一边,将另一根截成两段(允许有余料,接头及损耗忽略不计)作为这个三角形木架的另外两边,那么这个三角形木架的三边长度分别为()A.10cm,25cm,30cmB .10cm ,30cm ,36cm 或10cm ,12cm ,30cmC .10cm ,30cm ,36cmD .10cm ,25cm ,30cm 或12cm ,30cm ,36cm 5.(2010•淄博)在一块长为8、宽为32的矩形中,恰好截出三块形状相同、大小不等的直角三角形,且三角形的顶点都在矩形的边上.其中面积最小的直角三角形的较短直角边的长是.6.如图,D 、E 分别是AC ,AB 上的点,∠ADE =∠B ,AG ⊥BC 于点G ,AF ⊥DE 于点F.若AD =3,AB=5,求: (1)AGAF;(2)△ADE 与△ABC 的周长之比;三、 重难点高效突破专题一:计算线段的长度或线段之间的比在几何中线段长度计算常用的方法是:1、运用勾股定理计算;2、运用相似三角形对应边成比例计算;3、综合运用进行计算。

相似的性质和判定

相似的性质和判定

三角形相似的判定和性质1一、知识梳理:1、相似的判定:①如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似。

(两角对应相等,两个三角形相似。

)②如果两个三角形的两组对应边成比例,并且对应的夹角相等,那么这两个三角形相似。

(两边对应成比例且夹角相等,两个三角形相似。

)③如果两个三角形的三组对应边成比例,那么这两个三角形相似。

(三边对应成比例,两个三角形相似。

)④如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似。

(斜边与直角边对应成比例,两个直角三角形相似。

)⑤两个三角形三边对应平行,则两个三角形相似。

(三边对应平行,两个三角形相似。

)⑥如果两个三角形全等,那么这两个三角形相似(相似比为1:1)(全等三角形相似)。

2、相似的性质:①相似三角形的对应角相等;相似三角形的对应边成比例。

②相似三角形的周长比,对应高线的比,对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。

③相似三角形的面积比等于相似比的平方,相似比等于面积比的算术平方根。

3、推论:推论一:顶角或底角相等的两个等腰三角形相似。

推论二:腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。

推论三:有一个锐角相等的两个直角三角形相似。

推论四:直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形都相似。

推论五:如果一个三角形的两边和三角形任意一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例,那么这两个三角形相似。

4、射影定理:射影定理:直角三角形中,斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。

每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

①CD2=AD·BD;②AC2=AD·AB;③BC2=BD·AB二、相似的基本图形:(一)平行线型如图,若DE∥BC,则△ADE∽△ABC,形象地说图为“A”型或“X”型,故称之为平行线型的基本图形.例1、如图,在平行四边形ABCD中,E是AB延长线上一点,连结DE交AC于G,交BC于F,则图中相似三角形(不含全等三角形)共有 对. (二)相交线型若∠AED=∠B,则△ADE ∽△ABC,称之为相交线型的基本图形.例2、如图,D 、E 分别为△ABC 的边AC 、AB 上一点,BD,CE 交于点O,且CODOBO EO,试问△ADE 与△ABC 相似吗?如果是,请说明理由.(三)母子型如图,有△ACD ∽△ABC,称之为“子母”型的基本图形.特别地,令∠ACB=90,CD 则为斜边上高(如图9), 则有△ACD ∽△ABC ∽△CBD.DABCABCD例3 如图,在△ABC 中,P 为AB 上一点,要使△APC ∽△ACB,还需具备的一个条件是 或 或 或 ; (四)旋转型△ADE ∽△ABC,称之为旋转型的基本图形.AB例4、如图,D 为△ABC 内一点,E 为△ABC 外一点,且∠1=∠2,∠3=∠4. 证明:△ABC ∽△DBE .(五)三垂直型如右图,AB⊥BC, AD⊥DE, CE⊥BC,则△ABD∽△DCE,这种图形称之为三垂直型.AEBD C随堂练习一.选择题:1.如图,点P在△ABC的边AC上,要判断△ABP∽△ACB,添加一个条件,不正确的是()A.∠ABP=∠C B.∠APB=∠ABC C.= D.=2.△ABC和△DEF满足下列条件,其中能使△ABC与△DEF相似的是()DE=EF=DF=,AC=BC=DE=△BDE△CDE△DOE△AOC 的值为()A. B. C. D.4.如图为两正方形ABCD、BEFG和矩形DGHI的位置图,其中G、F两点分别在BC、EH上.若AB=5,BG=3,则△GFH的面积为何?()A.10 B.11 C. D.二.填空题:5.如图,△ABC中,D为BC上一点,∠BAD=∠C,AB=6,BD=4,则CD的长为.6.如图,四边形ABCD为矩形,,则∠MAN的度数为度.7.如图,小伟在打网球时,击球点距离球网的水平距离是8米,已知网高是0.8米,要使球恰好能打过网,且落在离网4米的位置,则球拍击球的高度h为米.8.△ABC中,AB:AC:BC=4:3:2,△A1B1C1中,A1B1:A1C1:B1C1=3:2:4,则△ABC与△A1B1C1(相似或不相似).9.如图,已知△ABC中,AE:EB=1:3,BD:DC=2,AD与CE相交于F,则= .10.如图,菱形ABCD的边长为1,直线l过点C,交AB的延长线于M,交AD的延长线于N,则+= .11.如图,矩形ABCD中,F是DC上一点,BF⊥AC,垂足为E,=,△CEF的面积为S1,△AEB的面积为S2,则的值等于.12.已知正方形ABC1D1的边长为1,延长C1D1到A1,以A1C1为边向右作正方形A1C1C2D2,延长C2D2到A2,以A2C2为边向右作正方形A2C2C3D3(如图所示),以此类推….若A1C1=2,且点A,D1,D2,D3,…,D10都在同一直线上,则正方形A9C9C10D10的边长是.三.解答题:13.如图,等边△ABC,点D、E分别在BC、AC上,且BD=CE,AD与BE相交于点F.(1)试求出∠AFE的度数.(2)△AEF与△ABE相似吗?说说你的理由.(3)BD2=AD•DF吗?请说明理由.14.已知:平行四边形ABCD,E是BA延长线上一点,CE与AD、BD交于G、F.求证:CF2=GF•EF.15.如图,过▱ABCD的顶点A的直线交BD于点P,交CD于点Q,交BC的延长线于点R.求证:.16.如图,四边形ABCD,DCFE,EFGH是三个正方形.求∠1+∠2+∠3的度数.17.如下图,在矩形ABCD中,AB=12cm,BC=6cm.点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/s 的速度移动;点Q沿DA边从点D开始向点A以1 cm/s的速度移动.如果P、Q同时出发,用t(s)表示移动的时间(0≤t≤6)那么:(1)当t为何值时,△QAP为等腰直角三角形?(2)求四边形QAPC的面积,提出一个与计算结果有关的结论;(3)当t为何值时,以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似?九年级数学图形的相似2参考答案一.选择题(共4小题)1.D 2.C 3.D 4.D二.填空题(共8小题)5.5 6.90 7.2.4 8.相似 9.10.1 11.12.。

相似三角形的判定和性质

相似三角形的判定和性质

A 'B 'C 'CBAA 'B 'C 'CB A相似三角形的性质和判定 一、相似的有关概念1.相似形具有相同形状的图形叫做相似形.相似形仅是形状相同,大小不一定相同.相似图形之间的互相变换称为相似变换. 2.相似图形的特性两个相似图形的对应边成比例,对应角相等. 3.相似比两个相似图形的对应角相等,对应边成比例.二、相似三角形的概念1.相似三角形的定义对应角相等,对应边成比例的三角形叫做相似三角形.如图,ABC △与A B C '''△相似,记作ABC A B C '''△∽△,符号∽读作“相似于”。

2.相似比相似三角形对应边的比叫做相似比.全等三角形的相似比是1.“全等三角形”一定是“相似形”,“相似形”不一定是“全等形”。

三、相似三角形的性质1.相似三角形的对应角相等如图,ABC △与A B C '''△相似,则有A A B B C C '''∠=∠∠=∠∠=∠,,.2.相似三角形的对应边成比例 如图,ABC △与A B C '''△相似,则有AB BC ACk A B B C A C ===''''''(k 为相似比) 。

3.相似三角形的对应边上的中线,高线和对应角的平分线成比例,都等于相似比。

如图1,ABC △与A B C '''△相似,AM 是ABC △中BC 边上的中线,A M ''是A B C '''△中B C ''边上的中线,则有AB BC AC AMk A B B C A C A M ====''''''''(k 为相似比).M 'MA 'B 'C 'C B A图(1)H 'H AB C C 'B 'A '图(2)D 'D A 'B 'C 'C B A图(3)A 'B 'C 'CBAH 'HA BC C 'B 'A '如图2,ABC △与A B C '''△相似,AH 是ABC △中BC 边上的高线,A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线,则有AB BC AC AHk A B B C A C A H ====''''''''(k 为相似比).如图3,ABC △与A B C '''△相似,AD 是ABC △中BAC ∠的角平分线,A D ''是A B C '''△中B A C '''∠的角平分线,则有AB BC AC ADk A B B C A C A D ====''''''''(k 为相似比).4.相似三角形周长的比等于相似比. 如图4,ABC △与A B C '''△相似,则有AB BC ACk A B B C A C===''''''(k 为相似比).应用比例的等比性质有AB BC AC AB BC ACk A B B C A C A B B C A C ++====''''''''''''++. 5.相似三角形面积的比等于相似比的平方.如图5,ABC △与A B C '''△相似,AH 是ABC △中BC 边上的高线,A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线,则有AB BC AC AHk A B B C A C A H ====''''''''(k 为相似比).进而可得21212ABC A B C BC AHS BC AH k S B C A H B C A H '''⋅⋅==⋅=''''''''⋅⋅△△. 图4图5四、相似三角形的判定1.平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似. 2.如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似.可简单说成:两角对应相等,两个三角形相似。

相似三角形的性质与判定讲义

相似三角形的性质与判定讲义

ABC D E相似三角形的性质和判定(讲义)一、 知识点睛1. 相似三角形的性质:______________、_______________.2. 相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比、周长的比都等于______;对应面积的比等于_____________. 3. 相似三角形的判定:① __________________________________________; ② __________________________________________; ③ __________________________________________.二、 精讲精练1. 两个三角形相似,其中一个三角形的两个内角分别是40°,60°,那么另一个三角形的最大内角是 , 最小内角是 .2. 若△ABC ∽△DEF ,AB =6cm ,BC =4cm ,AC =9cm ,且△DEF 的最短边为8cm ,则最长边为( ) A .16cm B .18cm C .4.5cmD .13cm3. 如图,△ADE ∽△ABC ,AD =3BD ,S △ABC =48,则S △ADE = .第3题图 第4题图4. 将三角形纸片(△ABC )按如图所示的方式折叠,使点B 落在边AC 上,记为点B ′,折痕为EF ,AB =AC =3,BC =4,若以点B ′,F ,C 为顶点的三角形与△ABC 相似,则 BF = . 5. 如图,给出下列条件:①B ACD ∠=∠;②ADC ACB ∠=∠;③AC ABCD BC=; ④AC 2=AD ·AB .其中能够判定△ABC ∽△ACD 的个数为( )A .1B .2C .3D .4B′FB EA第5题图BCDA6. 如图,小正方形的边长均为1,则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的是( )A .B .C .D .7. 某种三角形架子由钢条焊接而成.在这种三角形架子的设计图上,其三边长分别为4cm ,3cm ,5cm .现有两根钢条,一根长60cm ,另一根长180cm ,若用其中一根作为三角形架子的一边,在另一根上截取两段,作为三角形架子的另外两边,使做成的三角形架子与图纸上的形状相同(即相似),则共有_____种不同的做法.(焊接用料忽略不计)8. 如图,AB ∥DE ,若AB :DE =1:2,AC =2,BC =3,则CE = ,CD = .第8题 第9题9. 如图,若AB ⊥BD ,ED ⊥BD ,C 是线段BD 的中点,且AC ⊥CE ,ED =1,BD =4,则AB = .10. 如图,D ,E 分别是△ABC 的边AB ,AC 上的点,∠1=∠B ,若AE =EC =4,BC =10,AB =12,则△ADE 和△ACB 的周长之比为 .CBAE DCBAEBCD A1ED CBA11. 如图,△PMN 是等边三角形,∠APB =120°.求证:AM ·PB =PN ·AP .21BNMAP12. 如图,M 为线段AB 上一点,AE 与BD 交于点C , ∠DME =∠A =∠B =α,且DM 交AC 于点F ,ME 交BD 于点G .求证:△AMF ∽△BGM .GFMEDC BA13. 如图,△ABC ∽△A′B′C′,相似比为k ,AD ,A′D′分别是边BC ,B′C′上的中线,求证:ADk A'D'=.D'DC'B'A'C BA14.如图,在△ABC中,AB=6,BC=8.点D以每秒1个单位的速度由B向A运动,同时点E以每秒2个单位的速度由C向B运动,当点E停止运动时,点D也随之停止运动,设运动时间为t秒.当以B,D,E为顶点的三角形与△ABC相似时,求t的值.【参考答案】一、知识点睛1.相似三角形的性质:对应角相等、对应边成比例.2.相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比、周长的比都等于相似比;对应面积的比等于相似比的平方.3.相似三角形的判定:④两组角对应相等的两个三角形相似;⑤两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似;⑥三边对应成比例的两个三角形相似.二、精讲精练1.80°;40°2. B3.274.127或25. C6. A7. 38.4;69. 410.1:311.证明略(提示:通过∠A=∠2,∠AMP=∠PNB=120°,证明△AMP∽△PNB)12.证明略(提示:通过∠A=∠B,∠AFM=∠BMG,证明△AMF∽△BGM)13.证明略(提示:证明△ABD∽△A′B′D′)14.当△DBE∽△ABC时,t=125;当△DBE∽△CBA时,t=32 11.相似三角形的性质和判定(随堂测试)1. 将两个等腰直角三角形摆成如图所示的样子,所有的点都在同一平面内. (1)求证:△ABE ∽△DAE ; (2)求证:△DCA ∽△DAE ; (3)求证:△ABE ∽△DCA .2. 如图,在△ABC 中,D 是AB 的中点,DE ∥BC .求证:E 是AC 的中点.【参考答案】1. 证明略【提示:(1)(2)利用两组角对应相等来判定相似;由(1)(2)的结论推出对应角相等来证明(3)】2. 证明略(提示:证明△ADE ∽△ABC )EDBAABDCEF G相似三角形的性质和判定(作业)1. 在下面的两组图形中,各有一对相似三角形,则x =______,y =______,m =______,n =______.(2) (1)m°50°60°y 3a n °1070°50°4a 4830332022x2. 将三角形纸片△ABC 按如图所示的方式折叠,使点B 落在边AC 上,记为点B′,折痕为EF ,AB =AC =4,BC =5,若以点B′,F ,C 为顶点的三角形与△ABC 相似,则CF =______.第2题图 第3题图 3. 如图,在△ABC 中,点P 为边AB 上一点,则下列四个 条件:①∠ACP =∠B ;②∠APC =∠ACB ;③2AC AP AB =⋅;④AB CP AP CB ⋅=⋅.其中能判定△APC 和△ACB 相似的是________. 4. 下列4×4的正方形网格中,小正方形的边长均为1,三角形的顶点都在格点上,则与△ABC 相似的三角形所在的网格图形是( )A .B .C .D .B PCAB′CF EA5. 如图,在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,对角线AC ,BD 交于点O ,13AD BC =,若OA =1,OD =32,则OB =______,OC =______.6. 如图,在△ABC 中,CD =CE ,∠A =∠ECB .求证:CD 2=AD ·BE .ED CBA7. 如图,在Rt △ABC 中,AB =3cm ,AC =6cm .动点M 从点A 出发沿AB 方向以1cm/s 的速度向点B 匀速运动;同时动点N 从点C 出发沿CA 方向以2cm/s 的速度向点A 匀速运动,当一个动点到达端点时,另一个动点随之停止运动.是否存在时刻t ,使以A ,M ,N 为顶点的三角形与△ABC 相似?若存在,求t 的值;若不存在,请说明理由.MCBA O D AB C【参考答案】1.32;152;70;602.259或523.①②③4. B5.92;36.证明略(提示:证明△ADC∽△CEB)7.当△MAN∽△BAC时,t=32;当△MAN∽△CAB时,t=12 5。

第一讲(三)相似三角形判定与性质

第一讲(三)相似三角形判定与性质

E
AC边上的点, 且DE // BC.由上一节的例
3可知, ADE和ABC对应边成比例.又 B 图1 16
C
由DE // BC可得, ADE B, AED
C,而A是公共角,因此ADE ~ ABC. E
D
探究 如果 D、E交于BA、CA的延长
线上,且DE // BC 图1 17,那么结论是
因此在D、E的变化过程中, ADE的边长在改变,而角的大
小 始 终 不 变.这 说 明, 只 要 两 个 三 角 形 的 三 个对 应 角 相 等,
那么它们就相似.又由于三角形的内角和为1800 ,所以只要
两 个 三 角 形 中 有 两 个 对应 角 相 等, 那 么 第 三 个 对 应 角 一 定
是同弧上的圆周角.故ACE ABE .则BCE ABE.
又因为BED CEB,故EBD ~ ECB.因此 EB DB . EC CB
A
D1 D
D2
E1 E E2
B
C
图1 18
探究 沿着"从运动变化中找不变性"的思路,可 以发现 ,在图1 18中,对于 DE 的任意一个位置,
判定定理3 对于任意两个三角形,如果一个 三角形的三边 和另一个三角形的三条边对 应成比例, 那么这两个三角形相似. 简述为: 三 边 对 应 成 比 例, 两 三 角 形 相 似.
已知:图1 25, 在ABC和A`B`C`中,
A`
A`B` B`C` C`A`. AB BC CA 求证 : A`B`C`~ ABC .
交圆于一点E .求证 : EB DB .
EC CB
E
分析 要证 EB DB ,应考虑EB、EC、 EC CB

相似三角形的判定及性质

相似三角形的判定及性质

R
r
19
习题 1.3
5.如图,线段EF平行于四边形ABCD的一边AD,BE与CF
交于一点G,AE与DF交于一点H.
求证:GH//AB.
H
A
D
E F
B
C
G
BH BC AD AG EH EF EF EG
预备定理 定义 引理 20
习题 1.3
6.已知:DE//AB,EF//BC. O 求证:△DEF∽△ABC.
(2) AD BC AC ED
3、已知:在△ABC和△A′B′C′中,∠A=∠A′,AB=a,AC=b, A′B′=a′,当 A′C′为多少时,△ABC∽△A′B′C′?
22
小结



角 形
预备定理



判定定理1
判定定理2 直角三角形判定定理
判定定理3
23
EF 1 BC, FD 1 CA, DE 1 AB
2
2
2
EF FD DE 1 BC CA AB 2
∴△DEF∽△ABC
A
F
E
B
D
C
9
直角三角形相似的判定定理
定理
两角对应相等
(1)如果两个直角三角形有一个锐角对应相等,那么它 们相似。
两边对应成比例及夹角相等
(2)如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例, 那么它们相似。
类比直角三角形全等的判定定理(斜边和一条直角边对应相等
的两个直角三角形全等)能得直角三角形相似的另一个判定定
理.
10
定理 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的
斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似。

第10章-1相似三角形的判定与性质

第10章-1相似三角形的判定与性质

初中数学第10章相似三角形判定与性质一、知识概要1、比例的性质:(1)比例的基本性质:若a cb d,则ad=bc;(2)合分比定理:若a cb d,则a b c db d,a cb a d c;(3)等比定理:若a c eb d f ,则(0)a c e ab d fb d f b.2、相似三角形的判定:(1)有两个角对应相等的三角形相似;(2)平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似.(3) 两边对应成比例且夹角相等的三角形相似.(4)如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似。

3、相似三角形的性质(1)相似三角形的对应边(高线、中线、角平分线、周长)之比等于相似比;(2)相似三角形的面积之比等于相似比的平方.二、典型问题1、下列各组线段中,成比例线段的是()A、1,2,3,4B、1,2,2,4C、3,5,9,13D、1,2,2,32、关于三角形相似下列叙述不正确的是( )A、有一个底角对应相等的两个等腰三角形相似B、有一个角对应相等的两个等腰三角形相似C、所有等边三角形都相似D、顶角对应相等的两个等腰三角形相似.3、下列说法正确的是( )A.所有的等腰梯形都相似B.所有的平行四边形都相似C.有一个角是30°的等腰三角形相似D.所有的等边三角形都相似4、下列各组图形中,肯定是相似图形的是()A.两个腰长不相等的等腰三角形B.两个面积不相等的等腰直角三角形C.两个面积不相等的平行四边形D.两个面积不相等的菱形5、下列各组图形中相似的是()A.底角对应相等的两个等腰梯形B.两邻边之比相等的两个平行四边形C.有一个角是60°的两个菱形D.两个矩形6、如图,小正方形的边长均为1,则下图中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的为()7、下列四个三角形,与左图中的三角形相似的是( )A B C D8、一个铝质三角形框架三条边长分别为24cm、30cm、36cm,要做一个与它相似的铝质三角形框架,现有长为27cm、45cm的两根铝材,要求以其中的一根为一边,从另一根上截下两段(允许有余料)作为。

相似三角形的定义与性质

相似三角形的定义与性质

相似三角形的定义与性质相似三角形是初中数学中重要的概念,对于这一概念的理解和运用,有助于提高学生的空间想象能力和解题能力。

本文将从相似三角形的定义、相似三角形的性质以及相关应用等方面进行论述。

一、相似三角形的定义相似三角形是指两个三角形之间,对应角相等且对应边成比例的三角形。

具体来说,若两个三角形ABC与DEF满足以下条件:1. ∠A = ∠D,∠B = ∠E,∠C = ∠F,即它们的内角相等;2. AB/DE = BC/EF = AC/DF,即它们的对应边成比例。

二、相似三角形的性质1. 判定相似的依据根据相似三角形的定义,一般有以下几种判定相似的方式:(1)AAA判定法:若两个三角形的对应角相等,则它们相似。

(2)AA判定法:若两个三角形有某两个对应角相等,则它们相似。

(3)SAS判定法:若两个三角形一个角相等,且包含等边,那么它们相似。

(4)S-S-S判定法:若两个三角形的三条边分别成比例,则它们相似。

2. 相似三角形的比例关系对于相似三角形ABC与DEF,它们所有对应边的比例都相等:AB/DE = BC/EF = AC/DF3. 相似三角形的线性关系相似三角形中,对应角的弧度数等于对应边的比例:m∠A/m∠D = m∠B/m∠E = m∠C/m∠F = AB/DE = BC/EF =AC/DF4. 相似三角形的高线关系如果两个相似三角形的高分别为h和k,它们对应边的比例为p,那么它们的面积的比例也为p²,即S1/S2 = (h₁*k₁)/(h₂*k₂) = p²5.相似三角形的周线关系如果两个相似三角形的周长分别为L₁与L₂,它们对应边的比例为p,那么它们的周长的比例也为p,即L₁/L₂ = AB/DE = BC/EF = AC/DF = p三、相似三角形的应用相似三角形的性质在实际应用中有很广泛的运用,以下是一些常见的应用场景:1. 测量不便的物体的高度:通过测量自己的影子长度和身高,可以利用相似三角形的原理计算出物体的高度。

相似三角形的定义、判定及性质(讲义及答案)

相似三角形的定义、判定及性质(讲义及答案)

相似三角形的定义、判定及性质(讲义)➢ 课前预习一、回顾下列知识,再将各选项填到对应横线上:A .能够完全重合的两个图形称为全等图形B .全等图形的形状和大小都相同C .全等三角形的对应边相等,对应角相等D .三边分别相等的两个三角形全等,简写为“SSS ”E .两角及其夹边分别相等的两个三角形全等,简写为“ASA ”F .两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等,简写为“AAS ”G .两边及其夹角分别相等的两个三角形全等,简写为“SAS ”➢ 知识点睛1. 相似三角形:定义:_________、__________的两个三角形叫做相似三角形.相似三角形对应线段的比等于相似比.E FDC B A符号表示 三边成比例 △ABC ∽△______2. 相似三角形的判定:AB BC CADE EF FD ==①________________________________________________;②________________________________________________;③________________________________________________;④_______________________________________________________________________________________.3.相似三角形的性质:①由相似三角形的定义可知,相似三角形的对应角相等,对应边成比例;②相似三角形___________,_______________,___________都等于相似比;③相似三角形的周长比等于_______,面积比等于_________.➢ 精讲精练1. 如图,△ABC ∽△ADE ,连接BD .(1)若AB =9,AE =4,AD =AC ,BC =8,则AD ,DE 的长分别是多少?△ABC 与△ADE 的相似比是多少?(2)若∠DBA =30°,∠ADB =110°,则∠CAE 是多少度?EDCBA2. 如图,线段AD ,BC 相交于点O ,连接AB ,CD ,其中BO =2AO ,AD =3.5,OC 54=,且△AOB ∽△COD ,则△AOB 与△COD 的相似比为______;若AB 52=,则OC :CD :DO =________.O CBDADCABO第2题图 第3题图3. 如图,线段AB ,CD 相交于点O ,连接AC ,BD .给出下列条件,写出对应的相似三角形并写出对应的证明过程. (1)若∠A =∠D ,则_______∽______; (2)若∠A =∠B ,则_______∽______;(3)若OA OCOD OB=,则______∽______; (4)若AC ∥BD ,则______∽______.4. 如图,在△ABC 中,点D ,E 分别在边AB ,AC 上.给出下列条件:①∠AED =∠B ;②∠ADE =∠C ;③∠ADE =∠B ;④AD AC AE AB =;⑤AD AEAB AC=.其中能判断△ABC ∽△AED 的有_______________(填序号).5. 如图,小正方形的边长均为1,则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的是( )CBAA.B. C.D.6. 如图,△ABC 中,∠A =78°,AB=4,AC =6.将△ABC 沿图示中的虚线剪开,剪下的阴影三角形与 原三角形不相似...的是( )A.B.BCC.D.7.A .1对B .2对C .3对D .4对EDCBA A BC78°F ECA B D8. 如图,在△ABC 中,点D 在BC 边上,连接AD ,点G 在线段AD 上,GE ∥BD ,且交AB 于点E ,GF ∥AC ,且交CD 于点F ,则下列结论一定正确的是( )A .AB AG AE AD = B .DF DG CF AD =C .FG EG AC BD = D .AE CF BE DF=G FE D CBA9. 如图,线段AE ,BD 相交于点C ,连接AB ,DE ,其中AB :DE =1:2,AC =2,BC =3.若AB ∥DE ,则CE =________,CD =________;若∠A =∠D ,则CE =_______,CD =_______.E DCBAEDC BA10. 如图,若AB ⊥BD ,ED ⊥BD ,C 是线段BD 的中点,且AC ⊥CE ,ED =1,BD =4,则AB =_______.EBCDAAD第10题图 第11题图11. 如图,在△ABC 中,AD ⊥BC ,垂足为D ,其中2AD BD DC =⋅,则∠BAC =______;当AD :DC =1:2,AD =4时,BC =_______.12. 如图,在△ABC 中,AB =AC ,点E ,F 分别是边AB ,AC 上一点,点D 是边BC 上一点(不与B ,C 重合).若∠EDF =∠B ,BE =2,BD =3,BC =6,则FC 的长为______________.FE D CBA13. 如图,点M ,N 在线段AB 上,△PMN 是等边三角形.(1)若AM ·BN =PN ·PM ,求∠APB 的度数. (2)若∠APB =120°,求证:△AMP ∽△PNB .21NMP B A14. 如图,在△ABC 中,AB =AC ,BD =CD ,CE ⊥AB 于E .(1)求证:△ABD ∽△CBE .(2)若BE =1,EC =2,则AB 长是多少?E DBA15. 如图,l 1,l 2,…,l 6是一组等距的平行线,过直线l 1上的点A 作两条射线,分别与直线l 3和l 6相交于点B ,E ,C ,F .若BC =2,则EF 的长是________.F ECB A l 6l 5l 4l 2l 3l 116. 如图,平行于BC 的直线DE 把△ABC 分成面积相等的两部分,则BDAD的值为( ) A .1B.2C1 D1ABCD E【参考答案】➢课前预习一、A;DEFG;B;C➢知识点睛1.对应角相等;对应边成比例;DEF2.①两角对应相等的两个三角形相似;②两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似;③三边对应成比例的两个三角形相似;④平行于三角形一边的直线和其他两边(的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似3.①对应高的比;对应角平分线的比;对应中线的比.②相似比;相似比的平方➢精讲精练1.(1)AD=6;DE=163;相似比为32;(2)∠CAE是40°2.45;2:5:43.(1)△AOC;△DOB;(2)△AOC;△BOD;(3)△AOC;△DOB;(4)△AOC;△BOD4.①②④5. C6. C7. C8. D9.4;6;6;410.411.90°;1012.9 213.(1)∠APB=120°;(2)证明略.14.(1)证明略;(2)AB长为52.15.516.C。

非学科数学学培训 相似三角形的性质 与判定

非学科数学学培训 相似三角形的性质 与判定

自学资料一、相似三角形的性质【知识探索】1.相似三角形的对应角相等,对应边成比例.2.(1)相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比;(2)一般地,我们有:相似三角形对应线段的比等于相似比【说明】相似三角形的周长比等于相似比;(3)相似三角形的面积比等于相似比的平方.【说明】研究和运用相似比的性质时,要注意相似比与表述这两个三角形相似的顺序有关.【错题精练】例1.在相似的两个三角形中,已知其中一个三角形三边的长是3,4,5,另一个三角形有一边长是2,则另一个三角形的周长是.例2.如图所示,若△ABC∽△DEF,则∠E的度数为()第1页共11页自学七招之日计划护体神功:每日计划安排好,自学规划效率高非学科培训A. 28°;B. 32°;C. 42°;D. 52°.例3.如图,Rt△ABC内接于⊙O,BC为直径,AB=4,AC=3,D是ABˆ的中点,CD与AB的交点为E,则CE:DE等于.例4.如图,在△ABC中,点D在边AB上,过点D作DE∥BC交AC于点E,DF∥AC交BC于点F,若AE:DF=2:3,则BF:BC的值是();A. 23;B. 35;C. 12.D. 25例5.如图,在□ABCD中,AB=10,AD=6,E是AD的中点,在AB上取一点F,使△CBF∽△CDE,则BF的长是()A. 5;B. 8.2;C. 6.4;D. 1.8.第2页共11页自学七招之错题本锁骨术:巧用智能错题本,错题定期反复练非学科培训例6.如图,已知△ABC是面积为√3的等边三角形,△ABC∽△ADE,AB=2AD,∠BAD=45∘,AC与DE相交于点F,则△AEF的面积等于(结果保留根号)【举一反三】1.如图,在平行四边形ABCD中,E为CD上一点,DE:CE=2:3,连结AE,BD交于点F,则SΔDEF:SΔADF:SΔABF等于()A. 2:3:5;B. 4:9:25;C. 4:10:25;D. 2:5:25.2.如图,DE∥AB,DF∥AC,点E、F分别在AC、AB上,AE:CE=3:2,则△BDF与△DCE的面积之比为()A. 5:3B. 3:2C. :D. 9:43.如图,己知OADO =BOCO=12,△AOB的面积是100cm2,则△DOC的面积为()A. 200cm2;B. 300cm2;C. 400cm2;D. 500cm2.第3页共11页自学七招之提前完卷飞刀:考场控时莫紧张,跳跃答卷心不慌非学科培训4.如图,在△ABC中,D,E分别是边AB,BC上的点,且DE∥AC,若S△BDE=4,S△CDE=16,则△ACD的面积为()A. 64;B. 72;C. 80;D. 96.5.如图,在△ABC中,∠C=90∘,D是AC上一点,DE⊥AB于点E,若AC=8,BC=6,DE=3,则AD的长为()A. 3;B. 4;C. 5;D. 6.二、相似三角形及其判定【知识探索】1.三角形相似的传递性:如果两个三角形分别与同一个三角形相似,那么这两个三角形也相似.2.相似三角形的判定定理:(1)平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似.(2)三边对应成比例,两个三角形相似.(3)两边对应成比例且夹角相等,两个三角形相似.(4)两角对应相等,两个三角形相似.【说明】该定理中,已知两对角分别相等,实际上余下的一对角也一定对应相等.所以三角形的形状由它的任意两个内角确定.(5)斜边和直角边对应成比例,两个直角三角形相似.【错题精练】例1.如图,下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是()A. ∠ABD=∠ACB;B. ∠ADB=∠ABC;C. AB2=AD⋅AC;D. ADAB =ABAC.第4页共11页自学七招之错题本锁骨术:巧用智能错题本,错题定期反复练非学科培训例2.如图,在△ABC中,∠A=78∘,AB=4,AC=6,将△ABC沿图示中的虚线剪开,剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是()A. ;B. ;C. ;D. .例3.如图,在四个4×4的正方形网格中,三角形相似的是()A. ①和②;B. ②和④;C. ②和③;D. ①和③.例4.如图,在△ABC中,点D、E分别在边AB、AC上,DE∥BC,∠ACD=∠B,那么下列判断中,不正确的是()A. △ADE∽△ABC;B. △ADE∽△BCD;C. △ADE∽△ACD;D. △ADE∽△DBC.例5.如图,四边形ABCD内接于⊙O,∠BAD=120∘,AC平分∠BAD,AC与BD相交于E点,下列结论错误的是()第5页共11页自学七招之提前完卷飞刀:考场控时莫紧张,跳跃答卷心不慌非学科培训A. △BDC为等边三角形;B. ∠AED=∠ABC;C. △ABE∽△DBA;D. BC2=CE⋅CA.例6.如图,已知:∠ACB=∠ABD=90°,BC=3,AC=4,当BD=时,图中的两个直角三角形相似.例7.如图,ABCD与ACED都是平行四边形,点R在DE上,BR分别交AC,CD于点P、Q.(1)请直接写出图中全部的相似三角形(相似比为1除外,不另加辅助线或字母);的值.(2)若点R是DE的中点,求CQAB例8.如图,四边形ABCD中,∠A=∠B=90∘,P是线段AB上的一个动点.(1)若AD=2,BC=6,AB=8,且以A,D,P为顶点的三角形与以B,C,P为顶点的三角形相似,求AP的长;(2)若AD=a,BC=b,AB=m,则当a,b,m满足什么关系时,一定存在点P使△ADP∽△BPC?并说明理由.第6页共11页自学七招之错题本锁骨术:巧用智能错题本,错题定期反复练非学科培训例9.如图,在梯形ABCD中,已知AD∥BC,∠B=90°,AB=7,AD=9,BC=12,在线段BC上任取一点E,连接DE,作EF⊥DE,交直线AB于点F.(1)若点F与B重合,求CE的长;(2)若点F在线段AB上,且AF=CE,求CE的长.【举一反三】1.如图,P为Rt△ABC斜边AB上任意一点(除A、B外),过点P作直线截△ABC,使截得的新三角形与△ABC相似,满足这样条件的直线的作法共有()A. 1种;B. 2种;C. 3种;D. 4种.2.如图,在△ABC中,BC>AC,在BC上取点D,使DC=AC,作CE⊥AD于E,点F是AB的中点,连结EF,则S△AEF:S四边形BDEF为()A. 3:4B. 1:2C. 1:3D. 1:43.如图,已知△ABC与△BDE都是等边三角形,点D在边AC上(不与A、C重合),DE与AB相交于点F,则图中有()对相似三角形.第7页共11页自学七招之提前完卷飞刀:考场控时莫紧张,跳跃答卷心不慌非学科培训A. 2B. 3C. 4D. 54.如图,AB是半圆O的直径,D,E是半圆上任意两点,AE与BD相交于点C,要使△ADC与△ABD 相似,可以添加一个条件.下列添加的条件中错误的是()A. ∠ACD=∠DABB. AD=DEC. AD2=BD•CDD. AD•AB=AC•BD5.如图,⊙O是△ABC的外接圆,已知AD平分∠BAC交⊙O于点D,AD=5,BD=2,则DE的长为()A.B.C.D.6.如图,四边形ABGH,四边形BCFG,四边形CDEF都是正方形,请在图中找出与△HBC相似三角形,并说明她们相似的理由.第8页共11页自学七招之错题本锁骨术:巧用智能错题本,错题定期反复练非学科培训7.如图,P为正方形ABCD的边AB上的一个动点(点P不与A、B重合),连结PC,作BE⊥PC,DF⊥PC,垂足分别为点E、F,已知AD=5.(1)求BE2+DF2的值;(2)过点P作PM∥DF交AD于点M,问:点P在何位置时线段AM最长,并求出此时AM的值.8.如图,M为线段AB的中点,AE与BD交于点C,∠DME=∠A=∠B=α,且DM交AC于F,ME交BC于G(1)求证:△AMF∽△BGM;(2)连接FG,如果α=45°,AB=,BG=3,求FG的长9.在矩形ABCD中,E为CD的中点,H为BE上的一点,,连接CH并延长交AB于点G,连接GE并延长交AD的延长线于点F.(1)求证:;(2)若∠CGF=90°,求的值.第9页共11页自学七招之提前完卷飞刀:考场控时莫紧张,跳跃答卷心不慌非学科培训1.如图,在平行四边形ABCD中,过点A作AE⊥BC,垂足为E,连接DE,F为线段DE上一点,且∠AFE=∠B.(1)求证:△ADF∽△DEC;(2)若AB=8,AD=6,AE=6,求AF的长.2.已知:如图,在△ABC中,AB=AC,DE∥BC,点F在边AC上,DF与BE相交于点G,且∠EDF=∠ABE.求证:(1)△DEF∽△BDE;(2)DG•DF=DB•EF.3.在矩形ABCD中,点E是AD的中点,BE垂直AC交AC于点F,求证:△DEF∽△EBD.第10页共11页自学七招之错题本锁骨术:巧用智能错题本,错题定期反复练非学科培训非学科培训4.如图,AB//FC,D是AB上一点,DF交AC于点E,DE=FE,分别延长FD和CB交于点G.(1)求证:ΔADE≌ΔCFE;(2)若GB=2,BC=4,BD=1,求AB的长.5.如图,在△ABC中,AB=AC=1,BC=,在AC边上截取AD=BC,连接BD.(1)通过计算,判断AD2与AC•CD的大小关系;(2)求∠ABD的度数.第11页共11页自学七招之提前完卷飞刀:考场控时莫紧张,跳跃答卷心不慌非学科培训。

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相似三角形的性质与判
定讲义)
-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
相似三角形的性质与判定讲义
【知识点拨】
一、相似三角形性质
(1)相似三角形对应角相等,对应边成比例.
(2)相似三角形对应高的比,对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比. (3)相似三角形周长的比等于相似比.
(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方.
(5)相似三角形性质可用来证明线段成比例、角相等,也可用来计算周长、边长等
二、 相似三角形的等价关系
(1)反身性:对于任一ABC ∆有ABC ∆∽ABC ∆.
(2)对称性:若ABC ∆∽'''C B A ∆,则'''C B A ∆∽ABC ∆.
(3)传递性:若ABC ∆∽C B A '∆'',且C B A '∆''∽
C B A ''''''∆,则ABC ∆∽C B A ''''''∆. 三、三角形相似的判定方法
1、定义法:对应角相等,对应边成比例的两个三角形相似.
2、平行法:平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似.
3、判定定理1:如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似.简述为:两角对应相等,两三角形相似.
4、判定定理2:如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似.简述为:两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似.
5、判定定理3:如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似.简述为:三边对应成比例,两三角形相似.
6、判定直角三角形相似的方法: (1)以上各种判定均适用.
(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似.
(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似.
直角三角形中,斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。

每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

公式 Rt △ABC 中,∠BAC=90°,AD 是斜边BC 上的高,则有射影定理如下:
(1)(AD )2=BD ·DC ,(2)(AB )2=BD ·BC ,(3)(AC )2=CD ·BC 。

【例题精讲】:
E D C B A
1、如图DE CD
DE
G
E
D
C
B
A
ABCD 54,27FC cm CE cm ==32BE cm =CD
A
B
C D
E
F
1.5
2.530
米A 20米B 18米C 16米D 15米
∠=︒AMC 3023MN =1BG =,,M N C AB A 3B 3C 2米D 1.5米
M
N
C
B A
8米0.84米
h
1.6m 1.2m 9m m
AB 21AE m
=2.5CE m =B 1.6CD m =AB
2.如图2,AD ∥EF ∥
BC,则图的相似三角形共有_____对.
E D
C
B
A
D
C B
A
P H G
F
E D
C
B
A
O D
C
B
A F
E
D
C
B A G K
F
E
D
C
B
A
3.如图3,正方形ABCD中,E是AD的中点,BM⊥CE,AB=6,CE=35 ,则BM=______.
4.ΔABC的三边长为2,10,2,ΔA'B'C'的两边为1和5,若ΔABC∽ΔA'B'C',则ΔA'B'C'的笫三边长为________.
5.两个相似三角形的面积之比为1∶5,小三角形的周长为4,则另一个三角形的周长_____.
6.如图4,RtΔABC中,∠C=900,D为AB的中点,DE⊥AB,AB=20,AC=12,则四边形ADEC的面积为_____.
7.如图5,RtΔABC中,∠ACB=900,CD⊥AB,AC=8,BC=6,则AD=____,CD=_______.
8.如图6,矩形ABCD中,AB=8,AD=6,EF垂直平分BD,则EF=_________.
9.如图7,ΔABC中,∠A=∠DBC,BC=,SΔBCD∶SΔABC=2∶3,则CD=______.
10.如图8,梯形ABCD中,AD∥BC,两腰BA与CD的延长线相交于P,PF⊥BC,AD=,-BC=6,EF=3,则PF=_____.
11.如图9,ΔABC中,DE∥BC,AD∶DB=2∶3,则SΔADE∶SΔABE=___________.
12.如图10,正方形ABCD内接于等腰ΔPQR,∠P=900,则PA∶AQ=__________.
13.如图11,ΔABC中,DE∥FG∥BC,AD∶DF∶FB=1∶2∶3,
则S
四边形DFGE ∶S
四边形FBCG
=_________.
14.如图12,ΔABC中,中线BD与CE相交于O点,SΔADE=1,则S四边形BCDE=________.
15.已知:如图,ΔABC中,CE⊥AB,BF⊥AC.求证:ΔAEF∽ΔACB.
16.已知:如图,ΔABC中,AD=DB,∠1=∠2.求证:ΔABC∽ΔEAD.
E
A F D C B
17.已知,如图,在△ABC 中,D 为BC 的中点,且AD=AC ,DE ⊥BC ,DE 与AB 相交于点E ,•EC 与AD 相交于点F .(1)求证:△ABC ∽△FCD ;(2)若S △FCD =5,BC=10,求DE 的长。

【课外练习】
1.如图,在△ABC 中,CD 平分∠ACB ,过D 作BC 的平行线交AC 于M ,若BC=m ,AC=n ,则DM=( ) A 、
n m m + B 、n
m n
+
C 、
n m mn + D 、mn
n
m + 2.如图,在□ABCD 中,E 是BC 的中点,且∠AEC=∠DCE ,下列结论不正确...的是( )
A 、BF=2
1
DF B 、S △FAD =2S △FBE
C 、四边形AEC
D 是等腰梯形 D 、∠AEB=∠ADC
3.已知ABC △,延长BC 到D ,使CD BC =.取AB 的中点F ,连结FD 交AC 于点E .
A
C
F
(1)求
AE
AC
的值; (2)若AB a FB EC ==,,求AC 的长.
74、如图,已知过A (2,4)分别作x 轴、y 轴的垂线,垂足分别为M 、N ,若点P 从O 点出发,沿OM 作匀速运动,1分钟可到达M 点,点Q 从M 点出发,沿MA 作匀速运动,1分钟可到达A 点。

(1)经过多少时间,线段PQ 的长度为2
(2)写出线段PQ 长度的平方y 与时间t 之间的函数关系式和t 的取值范围; (3)在P 、Q 运动过程中,是否可能出现PQ ⊥MN 若有可能,求出此时间t ;若不
可能,请说明理由;
(4)是否存在时间t ,使P 、Q 、M 构成的三角形与△MON 相似若存在,求出此时
间t ;若不可能,请说明理由; Y。

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