高等数学 多元函数微分法及其应用

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z
Tx
Ty
M0
z
f (x0, x x0
y)
o
y0
x0
11
z
f (x, y0) y y0
y
x
(x0, y0)
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【5.几何意义】
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偏导数 f x ( x0 , y0 )就是曲面被平面 y y0所截的曲线
在点 M0处的切线 M0Tx 对 x轴的斜率 ta.n
【例1】
求lxim0 x2
xy y2
y0
【解】 取路径 y = k x，则
lx i0x m 2x yy 2lx i0(m 1 k k2 2)x x21 k k2,与k有关,故不存在.
y kx
【例2】
计算limln(xey) x1 x2 y2
y0
初等函数.(1,0)定义域 内点.连续. 代入法
【例3】 求 lx i0mx2(yx22 sy2 i)n 3x 22y2 y 0
(2) 同样可得：三阶、四阶、…、以及n 阶偏导数。
(3) 【定义】二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数。
【例
1】设 z
x3
y2
3 xy 3
xy
1，求二阶偏导数及
3z x 3
.
【解】 z 3x2y23y3y, z 2x3y9x2y x ;
x
y
2z x 2
6xy2,
3 z 6y2, x 3
2 z 2x318x;y y2
2 z 6x2y9y21, 2 z 6录 上页 下页 返回 结束
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【例 2】设u eax cos by，求二阶偏导数.
【解】
uaeaxcobsy, ubeaxsinby;
x
y
x2u2 a2eaxcobsy, y2u2 b2eaxcobsy,
【例 2】 求 z x2 3xy y2在点(1,2)处的偏导数．
【解】 z 2x3y; z 3x2y.
x
y
z x
x1 y2
2 1 3 2 8 ,
z y
x1 y2
3 1 2 2 7 .
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【例 3】设z x y ( x 0, x 1)， 求证 x z 1 z 2z. y x ln x y
x y
eusinv y eucovs1
z
e x y [y six n y ) (co x y s )] (u v
z z u z v y u y v y
xyxy
eusinvx eucovs1
e x y [x six n y ) (co x y s )] (
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其 z f ( x 0 x , 中 y 0 y ) f ( x 0 , y 0 ) , ( x ) 2 ( y ) 2
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2.【二元函数在区域内的偏导数】
如果函数z f ( x, y)在区域D内任一点
( x, y)处对 x的偏导数都存在，那么这个偏导数
就是 x、 y的函数，它就称为函数z f ( x, y)对
自变量 x的偏导数，
记作 z x
，f x
，
z
x或
f
x
(
x,
y).
同理可以定义函数z f ( x, y)对自变量 y 的偏
导数，记作 z y
，
f y
，
z
y
或
f
y
(
x,
y).
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3.【多元函数的偏导数】 偏导数的概念可以推广到二元以上函数
②z
v
x zzuzv y y uy v y
u x zf fu
y x x ux
③ zf(u ,x ,y) x y
zf f u y y u y
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例1. 设 z e u sv i ,u n x y ,v x y ,求 z , z .
解:
z x
z u z v u x v x
x x z x 2z2fx(xx,y),y y z y2z2fy(yx,y)
②［二阶混合偏导数］
y x z x2 zyfx(yx,y), x y z y2 zxfyx (x,y)
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【定义式】 f x ( x x ,y ) lx i 0 f x m ( x x , y x ) f x ( x ,y ) 其余类推 fx(y x ,y ) ly i0f m x (x ,y y y ) fx (x ,y )
换元,化为一元 函数的极限
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【阅读与练习】 求下列极限
5
x2
(1)lim sinx(y) (a0); (2)lim(1 1)x2y2;
x0 x
x
x
ya
ya
1
(3)lim(1sinxy)xy; x0
x2 y2 (4) lxim x4 y4
y0
y
【提示】可以引用一元函数求极限的各种技巧
【解】 (1)原 式 lim sin x)y (ya x 0 xy
y a x
(2)原 式 li[m 1 (1)x]x2y2e01 x x
y a
1 six ny
(3)原式 li[m 1 (sixn )s yix n]yxye x 0 y 0
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(4) 【法Ⅰ】 原 式 lx i m xx 42 y2 y4xx 22 y2 y20
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三、关于高阶偏导数、全微分计算的题类
1. 【高阶偏导数的定义】
(1)若 z
f ( x, y)的一阶偏导数 z x
f
x
(
x
,
y
)，z y
fy(x, y)的
偏导数仍存在，则称它们是函数z f ( x, y)的二阶偏导数.
函数z f ( x, y)的二阶偏导数按变量的不同分为以下两类：
①［二阶纯偏导数］
3z yx2
( 2z ) x yx
2ex2y
注意:此处 2z 2z , 但这一结论并不总成立. xy yx
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(4)【问题】具备怎样的条件才能使混合偏导数相等？ 即混合偏导数与求导次序无关.
【定理】若z f ( x, y)的两个二阶混合偏导数 2z 及 2z yx xy
f( x ,y ,z z ) f( x ,y ,z )
f z ( x ,y ,z ) lz 0 im z
.
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4. 【偏导数的几何意义】 设 M 0 ( x 0 ,y 0 ,f ( x 0 ,y 0 )为 ) z f 曲 ( x ,y ) 上 面 , 如图
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【例2】设 uxyz,x0,y0,求一阶 . 偏导
【解】
uyzxyz1; x uxyz(ln x)(zyz1); y
uxyz(lx n)yz(ly n) z
【注意】 (xy)zxyz xyz
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例3. u f( x ,y ,z ) e x 2 y 2 z 2 ,z x 2 sy i,求n u , u x y
0,
x2y20
问 f(x,y)在(点 0,0)处是否？ 连续
【解】
lx im 0f(x,y)lx im 0x2x2yy2
y0
y0
x2y 0x2y2 y0
lim f(x,y)0f(0,0) x 0 y 0
即f(x, y)在 点 (0,0)处 是 连 .续 的
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【例4】 设zx3f(xy,y),(f 具有二阶连续 )，偏 27 导
求z, y
2z y2,
2uabaexsinby, 2uabaexsinby.
xy
yx
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例3. 解:
求函数 zex2y的二阶偏导数及
z ex2y
z 2ex2y
3 y
z x
2
.
21
x
y
2z x2
ex2y
2 z 2ex2y x y
2 z 2ex2y yx
2 z y2
4ex2y
x z(2,1 )e2, y z(2 ,1 )2e2
dz e2dx2e2dye2(dx2dy)
(2,1)
例5. 计算函数 uxsinyeyz的全微分. 2
解: du ?
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作业 p100 同济p62, p69
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【证】 z yxy1, x
z xylnx, y
xz 1 z xyxy1 1 xylnx
yx lnxy y
lnx
xyxy 2z. 原结论成立．【证完】
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例4. 计算函数 zexy在点 (2,1) 处的全微分.
解: z ye xy , x
z xexy y
［连 续］ x l ix0m f(x,y)f(x0,y0) 内含三条，缺一不可 y y0
［可偏导］ f x ( x 0 ,y 0 ) l h 0 if( m x 0 h ,y 0 h ) f( x 0 ,y 0 )包导括数高定阶义偏等 ［可 微］