4.8简单的对数方程
高中数学下册 4.8《简单的对数方程》教案（1） 沪教版
4.8简单的对数方程【教学目标】：知识与技术：把握简单的对数方程的解法 进程与方式： 通过解决具体简单的对数方程，研究并总结解法情感态度与价值观：增强数形结合的意识，体会数学在解决实际问题中的应用，感受数学的科学价值；熟悉学习数学的价值；成立用数学解决实际问题的意识.【教学重点与难点】重点： 简单对数方程的解法 难点： 简单对数方程的解法【教学进程】：一． 引入：由温习提问指数方程引入二.新课：1.对数方程：咱们把在对数符号后面含有未知数的方程叫做对数方程.2.类型与解法：例1.小黑板出示问题 转化为解方程()log a f x b =若是不考虑空气阻力，火箭的最大速度()/v km s 和燃料得质量()M kg 、火箭（除燃料外）的质量()m kg 之间的关系是2ln 1M v m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 当燃料质量是火箭是火箭质量的多少倍时，火箭的最大速度能达到（1）8/km s ；（精准到0.1倍）（2）12/km s .（精准到0.1倍）解 （1）依照题意，得2ln 18M m ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 因此4154.6153.6M e m=-≈-=（倍） （2）用一样得方式，可得61403.41402.4M e m=-≈-=（倍）综上所述，当燃料得质量别离是火箭质量得53.6倍和402.4倍时，火箭的最大速度能达到8/km s 和12/km s . 例2.解方程462160x x-⋅-=⇒3x =. 例3.转化为解方程'kx a a e -=⋅又'5570ln 5570ln 0.7672132ln 2ln 2a a x ⨯=-=-≈ 由此可知马王堆古墓约是2100连年的遗址. 小结类型与方式（学生尝试）：1. 化为同底的幂：()0,1a a a a αβ=>≠的指数方程⇔αβ=；2. 换元法：()()()()()22000f x f x A a B a C At Bt C t ++=⇒++=>注意()f x a 0>对最后根的取舍. 3. 取对数法：()f x a b=()()log 0,1a f x b a a ⇒=>≠三.巩固与应用1.练习2214P -；2.作业7,813P - 四.小结：简单的指数方程的类型与解法教学反思。
对数公式大全
对数公式大全对数是数学中的一个重要概念，它在各个领域都有着广泛的应用。
在本文中，我们将为大家介绍对数的基本概念和常见的对数公式，希望能够帮助大家更好地理解和运用对数。
1. 对数的基本概念。
对数是指以某个数为底数，使得这个数的幂等于另一个给定的数。
通常我们用log表示对数，其中底数为log的下标，后面的数为真数。
例如，以10为底数的对数，我们通常用log表示，如logx，其中x为真数。
2. 常见的对数公式。
（1）对数的性质。
对数的性质包括对数的加法性、减法性、乘法性、除法性和幂的性质。
这些性质在计算对数时非常有用，可以帮助我们简化计算过程。
（2）常用对数公式。
常用的对数公式包括：对数的换底公式，logab = logcb / logca。
对数的乘法公式，logab + logac = loga(bc)。
对数的除法公式，logab logac = loga(b/c)。
对数的幂的公式，loga(b^c) = c logab。
（3）特殊对数公式。
特殊的对数公式包括：自然对数的底数e，lnx = logex。
以10为底数的对数，lgx = log10x。
3. 对数的应用。
对数在各个领域都有着广泛的应用，如在生物学中用于描述生长速率、在物理学中用于描述震级、在经济学中用于描述复利计算等。
对数的应用不仅限于数学领域，而是贯穿于各个学科和实际生活中。
4. 总结。
通过本文的介绍，我们对对数的基本概念和常见的对数公式有了更深入的了解。
对数作为数学中的重要概念，在实际应用中有着重要的作用，希望大家能够通过学习和掌握对数的知识，更好地应用于实际问题中。
在数学学习中，对数是一个重要的知识点，掌握对数的基本概念和常见的对数公式对于提高数学水平和解决实际问题都具有重要意义。
希望本文的介绍能够帮助大家更好地理解和运用对数，为数学学习和实际应用提供帮助。
4.7、4.8 指数方程和对数方程
指数方程和对数方程1、 指数方程与对数方程的基本形式 （１） 基本型()()log f x a ab f x b =⇔=（0a >，1a ≠，0b >）()()log b a b f x f x a =⇔=（0a >，1a ≠）（２） 同底型()()()()f x g x aaf xg x =⇔=（0a >，1a ≠）()()()()log log a a f x g x f x g x =⇔=（0a >，1a ≠）（３） 换元型()0x f a =或()log 0a f x =（0a >，1a ≠）2、 指数方程与对数方程的基本解法 例1、 解下列指数方程： （1）223380x x +--=；（2）31636281x x x⋅+=⋅；（3）21153x x+-=．例2、 解下列对数方程：（1）()()42log 2log 11x x -=--；（2）()223log 9log 4x x x ⋅=；（3）()()22log 95log 322xx-=-+．例3、 3lg 40x +=．例4、 已知关于x 的方程2212730x x a a --⋅-⋅+=有一个根为2，求实数a 的值和方程其余的根．例5、 试确定方程lg 2x x +=的实根的个数．例6、 若方程()4320xx m m +-⋅+=有两个不相等的实数根，求实数m 的取值范围．例7、 解关于x 的方程()2lg lg 1lg x x a --=．例8、 解关于x 的方程()242lg lg lg lg 25323x k x x x -+=-+-．例9、 已知0a >，1a ≠，试求使方程：()()222log log a a x ak x a -=-有解的k 的取值范围．一、选择题1、已知集合22312{|22},{|log (1)0}x x M x N x x =<=->，则M N ⋂=（ ）A.3(0,)2B.2(,2)3C.3(1,)2D.(0,1)2、已知不等式22log (2)log (23)a a x x x x -->-++在94x =时成立，则不等式的解集是（ ）A.（1，2）B.5(2,)2 C.5(1,)2D.（2，5）3、若1(0,)2x ∈时，不等式20x a x ->恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）。
对数方程的解法
对数方程的解法引言对数方程是一种常见的数学问题，在各个领域都有应用。
解决对数方程需要掌握一些基本的概念和解法，本文将介绍几种常见的对数方程的解法。
对数的基本概念在开始讨论对数方程的解法之前，先来回顾一下对数的基本概念。
对数就是一个数以某个正数为底的指数。
例如，如果a^x = b，那么x = log_a(b)。
这里，a是底数，x是指数。
对数的特点是可以将乘法转化为加法，这在解决一些复杂的数学问题中非常有用。
常见的对数方程解法对数方程的变形对数方程的解法之一是将方程进行变形，使其转化为容易求解的形式。
例如，如果我们遇到一个形如log_a(x) = c的方程，其中a、c都是已知数，那么我们可以使用对数的定义来将其变形为x = a^c。
通过这样的变形，我们可以将对数方程转化为指数方程，从而更容易求解。
对数方程的指数化对数方程的另一种解法是将对数方程转化为指数方程。
例如，如果我们遇到一个形如log_a^m(x) = b的方程，可以将其转化为a^b = x^m。
通过将对数表达式的指数化，我们可以简化其形式，从而更方便地求解。
对数方程的化简有时候，我们也可以通过化简对数方程来解决问题。
例如，如果我们遇到一个形如log_a(x) + log_a(y) = log_a(z)的方程，可以使用对数的性质将其化简为log_a(xy) = log_a(z)。
通过将两个对数相加合并成一个对数，我们可以减少方程的复杂度，更容易求解。
对数方程的数学推导在某些特殊情况下，我们可以通过数学推导求解对数方程。
例如，如果我们遇到一个形如log_a(x) = log_b(y)的方程，其中a、b 都是已知数，那么我们可以使用对数的换底公式来推导方程的解。
通过将对数换底，我们可以得到一个等式，从而求解方程。
这种方法需要一些数学推导的技巧，适用于较为复杂的对数方程。
结论对数方程是数学中常见的问题，解决对数方程需要掌握一些基本的概念和解法。
本文介绍了几种常见的对数方程解法，包括对数方程的变形、指数化、化简和数学推导。
简单的对数方程
4.8 简单的对数方程一、教材内容分析本节是在学生了解了对数、对数的运算性质，指数函数与对数函数性质的基础上，为对数函数性质的应用安排的.由于对数方程属于超越方程，在一般情况下不可以用初等方程求解，所以只介绍几种最简单的特殊类型的对数方程的解法.教材从实例引入对数方程；说明对数方程来自于实践的需要，本节的重点是掌握几种简单的对数方程的解法；难点是掌握检验对数方程的增失根，关键是理解将对数方程转化为代数方程时，有时会扩大（缩小）字母的允许值范围.二、教学目标设计1．理解对数方程的意义，掌握简单的对数方程和解法.2．理解解对数方程时可能会产生增根的原因，掌握解对数方程过程中检验增根的方法.3．运用观察、类比、分析的方法探究对数方程的解法，领会化归、数形结合的数学思想，形成应用数学知识的意识，提高分析问题和解决问题的能力.三、教学重点及难点对数方程的解法；对数方程的增根与失根；造成增根与失根的原因.四、教学流程设计五、教学过程设计(一)复习引入新课1、练习：求下列函数的定义域(请两位学生板演)．1．y=log 2(x 2-x-2)2．y=log (x-2)4(学生板演后教师评讲)2、提出问题：如果以上的函数式中，y=2，那么怎样求x 呢？ 可以得到两个等式：log 2(x 2-x-2)=2及log (x-2)4=2．反问：这是方程吗？课堂小结并布置作业3、然后师生共同得出：在对数符号后面含有未知数的方程叫对数方程．(二)对数方程的解法一些简单的对数方程是可以求解的．如方程log (x-2)4=2，但怎么解呢？是否能将其转化为已学过的普通方程解呢？(这里体现了化归思想．)引导学生将方程转化为：(x-2)2=4．解得x 1=4，x 2=0．提出问题：它们是原方程的解吗？引导学生得出x=0不是原方程的解，因为当x=0时，原方程中的对数底数x-2小于0了，所以它不是原方程的解．提出问题：那为什么会出现这种情形呢？引导学生进行分析：实际上将原方程log (x-2)4=2转化为新方程(x-2)2=4后，未知数x 的范围变大了，由{x|x ＞2，且x ≠3}，扩大为{x|x ∈R 且x ≠2}，这样就可能产生增根.由此，指出验根的必要性. 小结：形如log g(x)f(x)=a 的对数方程的解法是“化指法”，即将其化为指数式f(x)=g(x)a 再求解，注意需验根．例1 如果不考虑空气阻力，火箭的最大速度(/)v km s 和燃料的质量()M kg 、火箭（除燃料外）的质量()m kg 之间的关系是2ln(1)M v m =+， 当燃料质量是火箭质量的多少倍时，火箭的最大速度能达到（1）8/km s （精确到0.1倍） （2）12/km s （精确到0.1倍） 解：（1）根据题意，得42ln(1)8,ln(1)4,1M M M e m m m+=+=+= 所以4154.6153.6M e m=-≈-=（倍） （2）用同样方法，可得61403.41402.4M e m =-≈-=（倍） 综上所述，当燃料的质量分别是火箭质量的53.6倍和402.4倍时，火箭的最大速度能达到8/km s 和12/km s .例2：解方程222log (14)log (2)3log (6)x x x +++=++分析：利用对数运算性质变形为log ()log ()a a f x g x =解：原方程可变形为：22log (14)(2)log 8(6)x x x ++=+可得：28200x x +-=解得：1210,2x x =-=经检验：10x =-是增根，原方程的根是2x =教师：我们注意到原方程允许解的范围是{|2}x x >-，而变形后方程：28200x x +-=允许解的范围扩大了，因为10x =-，10{|2}x x -∉>-，所以方程产生增根.小结：形如log ()log ()a a f x g x =的对数方程可用“同底法”脱去对数符号，得()()f x g x =，解出x 后，要满足()0()0f x g x >⎧⎨>⎩. 例3 解方程239(log )log 32x x += 解：运用换底公式把原方程化为：2333log 3(log )2log 9x x += 化简得：2332(log )log 30x x +-=令3log x y =，则2230y y +-= 解得：1231,2y y ==-由3log 1x =得13x =由33log 2x =-得2x =经检验：13x =，2x =都是原方程的解. 小结：形如A(log a x)2+Blog a x+C=0的方程用换元法，令log a x=y ，将原方程化简为Ay 2+By+C=0，然后解之．(三)学生练习1．解下列方程○1lgx 2=4； ○2lg 2x ＝4； ○3lg(x 2-x-2)=lg(6-x-x 2) ○4log a(x+3)=2．(a>0,a ≠1) 2．解下列方程○1 lg(2-x)+lg(3-x)=lg12 ○2lg(x 2+75)-lg(x-4)=2 ○3log 3(log 4x)=0 ○4log 2x+2log 4x+log 8x=7 例4：求方程x+lgx=3的近似解分析：它不是简单的对数方程，无法用常规方法求其解，这说明不是所有对数方程我们现在都能解，此类非常规方程，目前只能用数形结合法求其近似解．解：原方程化为：lgx=3-x令y=lgx，y=3-x，在同一坐标系内画出函数y=lgx与y=3-x的图像，求得交点的横坐标x≈2.6，这个x值近似地满足lgx=3-x，所以它就是原方程的近似解．小结：1．对于一些非常规对数方程可用数形结合法求近似解或研究其解的个数．2．目前我们只学习了简单对数方程的解法．(四)小结1．简单对数方程的解法：①型如log g(x)f(x)=a：化指法；②型如log a f(x)=log a g(x)：同底法；③型如A(log a x)2+Blog a x+C=0：换元法；④数形结合法．2．解对数方程验根是必不可少的．3．增强应用重要数学思想方法的意识，如本节课里体现的化归、数形结合等．（五）作业：习题4.8六、教学设计说明（一）关于教学内容本课时是研究对数方程的第一课时，主要是研究几种简单的对数方程的求解.因为对数方程的求解方法主要是将其转化为代数方程再进行求解，在转化过程中有时会将其范围扩大，所以要对方程的根进行检验.通过本节课的学习，不仅可以让学生运用观察、类比、分析的方法探究对数方程的解法，使学生领会化归、数形结合的数学思想，还能培养学生应用数学知识的意识，提高他们分析问题和解决问题的能力. （二）关于教学方法为了充分调动学生学习的积极性，体现学生的自主式学习，我选用了启发、自我探究的教学方式.在课堂教学过程中，始终贯彻“教师为主导、学生为主体、探究为主线、思维为核心”的教学思想，通过引导学生观察、比较、分析和概括，使学生能充分的开动思维，参与教学全过程.（三）关于教学设计为了达到教学目标，强化重点内容并突破教学中的难点，在课堂教学过程中，注重讲解方程产生增根的过程及其原因.为了让学生自己体会并发现产生增根的原因，精心设计例题及问题情景.（四）关于学法指导本课时通过教师适当引导，学生主动探究，结合对数运算性质、对数函数等概念，不仅使学生领会化归、数形结合的数学思想，还培养了学生主动思考、探究的精神，增强了学生在学习过程中的主动性，培养学生良好的学习习惯.感谢您的阅读，祝您生活愉快。
对数运算公式
对数运算公式对数的运算公式：1、log(a) (M·N）=log(a) M+log(a) N2、log(a) (M÷N)=log(a) M-log(a) N3、log(a) M^n=nlog(a) M4、log(a)b*log(b)a=15、log(a) b=log (c) b÷log (c) a指数的运算公式：1、[a^m]×[a^n]=a^(m＋n) 【同底数幂相乘,底数不变,指数相加】2、[a^m]÷[a^n]=a^(m－n) 【同底数幂相除,底数不变,指数相减】3、[a^m]^n=a^(mn) 【幂的乘方,底数不变,指数相乘】4、[ab]^m=(a^m)×(a^m) 【积的乘方,等于各个因式分别乘方,再把所得的幂相乘】扩展资料：对数的发展历史：将对数加以改造使之广泛流传的是纳皮尔的朋友布里格斯（H.Briggs，1561—1631），他通过研究《奇妙的对数定律说明书》，感到其中的对数用起来很不方便，于是与纳皮尔商定，使1的对数为0，10的对数为1，这样就得到了以10为底的常用对数。
由于所用的数系是十进制，因此它在数值上计算具有优越性。
1624年，布里格斯出版了《对数算术》，公布了以10为底包含1~20000及90000~100000的14位常用对数表。
根据对数运算原理，人们还发明了对数计算尺。
300多年来，对数计算尺一直是科学工作者，特别是工程技术人员必备的计算工具，直到20世纪70年代才让位给电子计算器。
但是，对数的思想方法却仍然具有生命力。
从对数的发明过程可以看到，社会生产、科学技术的需要是数学发展的主要动力。
建立对数与指数之间的联系的过程表明，使用较好的符号体系对于数学的发展是至关重要的。
实际上，好的数学符号能够大大地节省人的思维负担。
数学家们对数学符号体系的发展与完善作出了长期而艰苦的努力。
4.8 简单的对数方程
4.8 简单的对数方程教学目标：1.知识与能力：①理解对数方程的意义，掌握简单的对数方程和解法；②理解解对数方程时可能会产生增根的原因，掌握解对数方程过程中检验增根的方法；2. 过程与方法：把握对数函数的实质去解决对数方程，在解决方程问题的同时体验函数的思想。
3. 态度、情感、价值观：运用观察、类比、分析的方法探究对数方程的解法，领会化归、数形结合的数学思想，形成应用数学知识的意识，提高分析问题和解决问题的能力.教学重点：简单的对数方程的解法，对数方程的增根与失根；教学难点：简单的对数方程的解法，造成增根与失根的原因.教学时间：二课时教学过程：(一)复习引入新课1、练习：求下列函数的定义域(请两位学生板演)．1．y=log2(x2-x-2)；2．y=log(x-2)4(学生板演后教师评讲)2、提出问题：如果以上的函数式中，y=2，那么怎样求x呢？可以得到两个等式：log2(x2-x-2)=2及log(x-2)4=2．反问：这是方程吗？3、然后师生共同得出：在对数符号后面含有未知数的方程叫对数方程．(二)对数方程的解法一些简单的对数方程是可以求解的．如方程log(x-2)4=2，但怎么解呢？是否能将其转化为已学过的普通方程解呢？(这里体现了化归思想．)引导学生将方程转化为：(x-2)2=4．解得x1=4，x2=0．提出问题：它们是原方程的解吗？引导学生得出x=0不是原方程的解，因为当x=0时，原方程中的对数底数x-2小于0了，所以它不是原方程的解．提出问题：那为什么会出现这种情形呢？引导学生进行分析：实际上将原方程log(x-2)4=2转化为新方程(x-2)2=4后，未知数x的范围变大了，由{x|x＞2，且x≠3}，扩大为{x|x∈R且x≠2}，这样就可能产生增根.由此，指出验根的必要性.小结：形如log g(x)f(x)=a的对数方程的解法是“化指法”，即将其化为指数式f(x)=g(x)a再求解，注意需验根．例1： 如果不考虑空气阻力，火箭的最大速度(/)v km s 和燃料的质量()M kg 、火箭（除燃料外）的质量()m kg 之间的关系是2ln(1)Mv m=+， 当燃料质量是火箭质量的多少倍时，火箭的最大速度能达到 （1）8/km s （精确到0.1倍） （2）12/km s （精确到0.1倍） 解：（1）根据题意，得42ln(1)8,ln(1)4,1M M Me m m m +=+=+= 所以4154.6153.6Me m=-≈-=（倍）（2）用同样方法，可得61403.41402.4Me m =-≈-=（倍）综上所述，当燃料的质量分别是火箭质量的53.6倍和402.4倍时，火箭的最大速度能达到8/km s 和12/km s .例2：解方程222log (14)log (2)3log (6)x x x +++=++ 分析：利用对数运算性质变形为log ()log ()a a f x g x = 解：原方程可变形为：22log (14)(2)log 8(6)x x x ++=+ 可得：28200x x +-= 解得：1210,2x x =-=经检验：10x =-是增根，原方程的根是2x =教师：我们注意到原方程允许解的范围是{|2}x x >-，而变形后方程：28200x x +-=允许解的范围扩大了，因为10x =-，10{|2}x x -∉>-，所以方程产生增根.小结：形如log ()log ()a a f x g x =的对数方程可用“同底法”脱去对数符号，得()()f x g x =，解出x 后，要满足()0()0f xg x >⎧⎨>⎩.例3： 解方程239(log )log 32x x += 解：运用换底公式把原方程化为：2333log 3(log )2log 9xx += 化简得：2332(log )log 30x x +-= 令3log x y =，则2230y y +-= 解得：1231,2y y ==- 由3log 1x =得13x = 由33log 2x =-得29x =经检验：13x =，29x =都是原方程的解. 小结：形如A(log a x)2+Blog a x+C=0的方程用换元法，令log a x=y ，将原方程化简为Ay 2+By+C=0，然后解之．(三)学生练习1．解下列方程○1lgx 2=4； ○2lg 2x ＝4； ○3lg(x 2-x-2)=lg(6-x-x 2)； ○4log a(x+3)=2．(a>0,a ≠1) 2．解下列方程○1 lg(2-x)+lg(3-x)=lg12； ○2lg(x 2+75)-lg(x-4)=2 ○3log 3(log 4x)=0； ○4log 2x+2log 4x+log 8x=7 例4：求方程x+lgx=3的近似解分析：它不是简单的对数方程，无法用常规方法求其解，这说明不是所有对数方程我们现在都能解，此类非常规方程，目前只能用数形结合法求其近似解．解：原方程化为：lgx=3-x令y=lgx ，y=3-x ，在同一坐标系内画出函数y=lgx 与y=3-x 的图像，求得交点的横坐标x ≈2.6，这个x 值近似地满足lgx=3-x ，所以它就是原方程的近似解．小结：1．对于一些非常规对数方程可用数形结合法求近似解或研究其解的个数．2．目前我们只学习了简单对数方程的解法．(四)小结1．简单对数方程的解法： ①型如log g(x)f(x)=a ：化指法； ②型如log a f(x)=log a g(x)：同底法； ③型如A(log a x)2+Blog a x+C=0：换元法； ④数形结合法．2．解对数方程验根是必不可少的．3．增强应用重要数学思想方法的意识，如本节课里体现的化归、数形结合等．（五）作业：补充题：1．25log 4(25)x =±2．256lg lg 6(10,10)x x -+= 3．解下列对数方程（1）()()2lg 2lg 2610x x x +-+-+=（2）()()21lg 6lg 1lg 62x x --+=（3）()()122log 44log 23x x x ++=+-（4）lg81lg 96x x -= 解：（1）()()222320260,2102lg lg129260261322x x x x x x x x x x ⎛⎫+>+->⇔∈+∞ ⎪⎝⎭+⇔=⇔--=+-⇒=-且舍去(2)()()()()()()()22lg 1lg 6lg 1lg 6lg 16lg 611663470x x x x x x x x x ⇔-+--+=⇔--=+⇔--=±⇒=或或舍去(3) ()()12241323log 222232412x x x x x x x +++>⇒>⇔=-⇔=-⇒=舍去(4) ()lg812lg lg812lg lg lg lg81*lg 2lg *lg 9lg 99932x xx x x x x x ===⇒=⇒=-⇒=舍去 4．（1）若关于x 的方程2294*30x x a ------=有解，求a 的取值范围。
对数计算公式大全
对数计算公式是数学中的重要公式之一，它们在解决各种实际问题中发挥着重要作用。
以下是常见的对数计算公式：
1.对数定义公式：如果a^x=N（a>0，a≠1），则x叫做以a为底N的对数，
记作x=log_aN。
这是对数的基本定义，也是对数计算的基础。
2.对数的换底公式：log_aN=log_bN/log_b a，其中b>0且b≠1。
这个公式可
以用来将不同底数的对数转化为以任意底数的对数。
3.对数的乘法公式：log_aMN=log_aM+log_aN，log_aM/N=log_aM-log_aN。
这
两个公式可以用来计算多个对数的和或差。
4.对数的指数公式：log_aM^n=nlog_aM，其中M>0，a>0且a≠1，n∈R。
这个
公式可以用来计算指数的对数。
5.对数的商数公式：log_a(M/N)=log_aM-log_aN。
这个公式可以用来将两个数
的商转化为对数的差。
6.对数的运算性质：log_a(MN)=log_aM+log_aN，log_a(M/N)=log_aM-
log_aN，log_a(M^n)=nlog_aM。
这些性质可以用来简化对数的计算。
4.4-4.8对数及对数函数
数学学科辅导讲义＝lg 12－lg 58＋lg 252－lg9lg8·lg8lg27＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫12×85×252－2lg33lg3＝1－23＝13. 答案：13类型六 应用换底公式化简例6: 已知log 89＝a ，log 25＝b ，用a 、b 表示lg3. 解析：∵log 89＝lg9lg8＝2lg33lg2＝a ，①又∵log 25＝lg5lg2＝1－lg2lg2＝b ，②由①②消去lg2可得：lg3＝3a21＋b. 答案：lg3＝3a21＋b. 4.5反函数一般地，设函数))((A x x f y ∈=的值域是C ，根据这个函数中x,y 的关系，用y 把x 表示出，得到x=ϕ(y). 若对于y 在C 中的任何一个值，通过x=ϕ(y)，x 在A 中都有唯一的值和它对应，那么，x=ϕ(y)就表示y 是自变量，x 是自变量y 的函数，这样的函数x=ϕ(y) (y ∈C)叫做函数))((A x x f y ∈=的反函数，记作)(1y f x -=,习惯上改写成)(1x fy -=探讨1：所有函数都有反函数吗？为什么？反函数也是函数，因为它符合函数的定义，从反函数的定义可知，对于任意一个函数)(x f y =来说，不一定有反函数，如2x y =,只有“一一映射”确定的函数才有反函数，2x y =,),0[+∞∈x 有反函数是x y =探讨2：互为反函数定义域、值域的关系从映射的定义可知，函数)(x f y =是定义域A 到值域C 的映射，而它的反函数)(1x f y -=是集合C 到集合A 的映射，因此，函数)(x f y =的定义域正好是它的反函数)(1x f y -=的值域；函数)(x f y =的值域正好是它的反函数)(1x fy -=的定义域x x f f x x ff ==--)]([,)]([11（如下表）：函数)(x f y = 反函数)(1x f y -=定义域 A C 值 域CA探讨3：)(1x fy -=的反函数是？若函数)(x f y =有反函数)(1x f y -=，那么函数)(1x f y -=的反函数就是)(x f y =，这就是说，函数)(x f y =与)(1x f y -=互为反函数映射和函数的异同点：相同点:(1)函数与 映射都是两个 非空集合中元素的对应关系; (2)函数与映射的对应都具有方向性; (3)A 中元素具有任意性，B 中元素具有唯一性;即A 中任意元素B 中都有唯一元素与之对应.( 多值函数除外,这 类函数一般不纳入函数的范畴)2区别：编辑 1、函数是一种特殊的映射，它要求两个集合中的元素必须是数，而映射中两个集合的元素是任意的数学对象。
对数计算公式
对数计算公式对数是数学中的一个重要概念，它在各个领域都有广泛的应用。
对数计算公式则是计算对数值的一种方式。
本文将介绍常见的对数计算公式，并且给出相关实例进行说明。
1. 自然对数公式自然对数是以e为底的对数，其中e是一个常数，约等于2.71828。
自然对数公式如下：ln(x) = loge(x)其中ln(x)表示以e为底的x的对数，loge(x)则表示以e为底的x的对数。
实例：计算ln(5)的值。
解：根据自然对数公式，ln(5) = loge(5)。
利用计算器或数学软件，可以得出ln(5)的近似值为1.609。
2. 通用对数公式通用对数是以10为底的对数，通常在计算中较为常用。
通用对数公式如下：log(x) = log10(x)其中log(x)表示以10为底的x的对数，log10(x)则表示以10为底的x的对数。
实例：计算log(100)的值。
解：根据通用对数公式，log(100) = log10(100)。
利用计算器或数学软件，可以得出log(100)的值为2。
3. 特殊对数公式除了自然对数和通用对数，还有一些特殊的对数计算公式。
其中最常见的是二进制对数和常用对数之间的关系，即：log2(x) = log(x) / log(2)其中log2(x)表示以2为底的x的对数。
实例：计算log2(8)的值。
解：根据特殊对数公式，log2(8) = log(8) / log(2)。
利用计算器或数学软件，可以得出log2(8)的值为3。
4. 对数的性质对数具有一些特殊的性质，熟练掌握这些性质有助于简化对数的计算过程。
性质一： log(a*b) = log(a) + log(b)性质二： log(a/b) = log(a) - log(b)性质三： log(a^n) = n * log(a)利用这些性质，可以在计算对数时进行变换和简化，提高计算效率。
实例：计算log(2*3)的值。
解：利用性质一，log(2*3) = log(2) + log(3)。
沪教版高中数学高一下期课程目录与教学计划表
沪教版高中数学高一下期课程目录与教学计划表
教材课本目录是一本书的纲领，是教与学的路线图。
不管是做教学计划、实施教学活动，还是做学习计划、复习安排、工作总结，都离不开目录。
目录是一本书的知识框架，要做到心中有书、胸有成竹，就从目录开始吧！
课程目录教学计划、进度、课时安排
第4章幂函数、指数函数和对数函数(下)
三对数
4.4对数概念及其运算
本节综合
四反函数
4.5反函数的概念
本节综合
五对数函数
4.6对数函数的图像与性质
本节综合
六指数函数和对数函数
4.7简单的指数方程
4.8简单的对数方程
本节综合
本章综合与测试
第5章三角比
一任意角的三角比
5.1任意角及其度量
5.2任意角的三角比
本节综合
二三角恒等式
5.3同角三角比的关系和诱导公式
5.4两角和与差的余弦、正弦和正切
5.5二倍角与半角的正弦、余弦和正切
本节综合
三解斜三角形
5.6正弦定理、余弦定理和解斜三角形本节综合
本章综合与测试
第6章三角函数
一三角函数的图像与性质
6.1正弦函数和余弦函数的图像与性质6.2正切函数的图像与性质
6.3函数y=Asin(wx@)的图像与性质本节综合
二反三角函数与最简三角方程
6.4反三角函数
6.5最简三角方程
本节综合
本章综合与测试。
常见对数运算公式
常见对数运算公式对数运算在数学中可是个相当重要的“家伙”，咱们今天就来好好唠唠常见的对数运算公式。
先来说说对数的定义吧。
如果 a 的 x 次方等于 N（a>0，且 a 不等于 1），那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作x=logₐN。
常见的对数运算公式那可是不少，咱们一个一个来看。
第一个就是“logₐ(MN) = logₐM + logₐN”。
这就好比是把两个数相乘的对数，拆分成了两个数各自对数的和。
比如说，计算 log₂(4×8)，就可以变成 log₂4 + log₂8，也就是 2 + 3 = 5。
再看“logₐ(M/N) = logₐM - logₐN”。
这就像是把两个数相除的对数，变成了两个数各自对数的差。
比如说算 log₃(9÷3)，那就是 log₃9 - log₃3，结果是 2 - 1 = 1。
还有“logₐMⁿ = nlogₐM”。
这个就像是给对数中的数来了个“乘方”的操作，结果就是把指数提到前面和对数相乘。
比如求 log₅25²，那就是2×log₅25 = 4。
我想起之前给学生们讲这部分内容的时候，有个学生特别有意思。
当时我在黑板上写了一道题：log₄(2×8)。
我就叫了这位同学上来做，他站在黑板前，皱着眉头，嘴里还念念有词：“这俩数相乘，应该是相加！”然后信心满满地写下“log₄2 + log₄8”，算出来是 5/2。
我笑着问他：“你再好好想想，log₄2 和 log₄8 分别等于多少呀？”他一拍脑袋，恍然大悟：“哎呀，老师，我算错啦，log₄2 是 1/2，log₄8 是 3/2，加起来应该是 2 才对！”全班同学都被他这可爱的反应逗得哈哈大笑。
咱们接着说对数运算公式。
“logₐb × logₓb = logₐx”。
这个公式有点绕，但多做几道题熟悉熟悉就好理解啦。
“logₐb = 1 / logₓa”。
对数计算的公式
对数计算的公式在我们的数学世界里，对数计算可是个相当有趣的家伙！它就像是一把神奇的钥匙，能帮我们解开好多复杂的数学谜题。
先来说说对数的定义吧。
假如 a 的 x 次方等于 N（a＞0，且a≠1），那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作x = logₐN 。
是不是有点晕乎啦？别着急，咱们慢慢捋一捋。
说起对数计算的公式，那最基础的就得数“对数的乘法法则”啦。
logₐ(MN) = logₐM + logₐN 。
这个公式就像是把两个小伙伴 M 和 N 牵在了一起，它们的对数相加就能得到它们乘积的对数。
比如说，计算log₂(4×8) ，咱们就可以把它变成 log₂4 + log₂8 ，也就是 2 + 3 = 5 。
还有“对数的除法法则” ，logₐ(M/N) = logₐM - logₐN 。
这就像是把小伙伴 M 和 N 分开，它们对数的差就是它们商的对数。
举个例子，log₃(9÷3) 就等于 log₃9 - log₃3 ，结果是 2 - 1 = 1 。
“对数的幂运算法则”也很重要哦！logₐ(Mⁿ) = n logₐM 。
这就像是给小伙伴 M 穿上了一件力量的外衣，幂次 n 和对数相乘，就能得到这个幂运算的对数。
比如说计算 log₅(25²) ，那就是 2 × log₅25 ，也就是2×2 = 4 。
给大家讲个我在教学过程中的小趣事吧。
有一次上课，我在黑板上写了一道对数计算的题目：log₄(8×16) 。
我叫了一位同学上来解答，这位同学一脸懵，站在那儿不知所措。
我就提示他：“想想咱们刚学的对数乘法法则呀！”他恍然大悟，迅速写出了 log₄8 + log₄16 ，然后算出答案是 5 。
看着他那开心的样子，我也觉得特别有成就感。
咱们再来说说换底公式，logₐb = logₓb / logₓa 。
这个公式可神奇啦，它能让我们在不同底数之间自由转换。
高中数学下册 4.8《简单的对数方程》教案（2） 沪教版
4.8 简单的对数方程教学目标：明白得对数方程的意义，了解对数方程在实际中的应用把握简单对数方程的解法让学生把握转化—化归的数学思想方式教学重点：简单对数方程的解法教学难点：转化—化归数学思想方式教学进程：引例2020年5月12日，我国四川汶川发生强烈地震，地质勘探局测定的地震震级为里氏8.0级，已知里氏震级R 与地震释放能量E 的关系为()2lg 11.43R E =-，1976年的唐山地震的震级为里氏7.8级，那么汶川地震释放的能量可能是唐山地震释放的能量的多少倍？（精准到整数倍）引入课题及对数方程的概念简单对数方程的解法解方程：1)1(log 2-=-x法一：指对数互化法二：化同底巩固练习1：解方程：)6(log 3)2(log )14(log 222++=+++x x x注意查验解方程：23log )(log 923=+x x换元：令x t 3log =巩固练习2：（1）54log 2log 24=+x x（2）x x x 100lg = （方程两边同时取对数）解决引例中的实际问题试探题方程 2lg -=x x 的根的个数为____________数形结合讨论a 在什么范围内时，关于x 的方程 )1lg(2lg -=x ax 有解？并求出解。
课堂小结常见的对数方程的解法： 指、对数互化：假设b x f a =)(log ，那么ba x f =)( 化同底：假设)(log )(log x g x f a a =，那么0)(),()()(>=x g x f x g x f 且换元：令)(log x f t a =，转化为0)(=t f六、作业课堂设计说明： 数学学习是教师指导下的学生主动参与的活动进程。
教师的主导作用体此刻组织教学，设计适当的问题，激发学生学习的爱好，增进学生主动参与数学交流的进程，使教师与学生、学生与学生能彼此阻碍与交流。
在交流进程中，将思维这一隐性的东西，用外显的形式展现，由此反映学生对数学知识、方式的把握程度。
高一数学下册 4.8《简单的对数方程》复习课件 沪教版
例3 解不等式
1
log 1
3
x
log3
3 x
1
例5. 解方程 log2(x+4)+log2(x-1)=1+log2(x+8) 解:原方程可化为
log2(x+4)(x-1)=log22(x+8) (x+4)(x+1)=2(x+8)
整理得：x 2+ x -20=0 解得：x = -5 或 x = 4 经检验 x = -5 (舍去) 原方程的解为 x=4
复习对数函数及简单对数方程
一 ． 复习对数函数 1． 对数函数的定义
2 ． 对数函数的图象与性质,通过 图象确定底数大小
练习： 1． 比较大小 2 ．对数不等式
二 ： 简单对数方程 1． 对数方程的 定义 2 ．解对数方程
三 ： 小结 四 ： 作业
0 <a < 1
图
y
a>1
y
象
1 o
1 x0
x
定义域 值域
利用对数函数图象
y
y1=log4x
y2=log5x
o
7 x
得到 log57<log47 所以 log56>log47
例3 . 若loga 0.75 >1 求a 取值范围.
解： loga0.75 > logaa 根据函数y=logax 的单调性进行讨论
（1） 0< a <1 得 0.75< a <1 0.75 < a
y
1
x o a1 a2 a3
y
1
o
a1 a2 a3
x
例１比较大小：
① log23 < log23.5
简单的对数方程
(8) log31 log2 1 3log2 x 1
x2
(9) log 2 (4x 1) x log 2 (2x3 6)
x0
小结：
解对数方程的基本方法：
1、形如loga f x loga g x 的方程，可利用对数函数的 性质化为 f x g x 求解。
2、可化为形如 log2a f x mloga f x n 0 的方程，
由题得
loga 2 loga 3 1
a
2 3
综上所述， a的 值 为2 和3 32
log a 3
的近似解。
解：原方程化为 lg x 1 x 1 2
在同一坐标系内画出 y lg x 和y 1 x 1
2
的图像，
y
求得交点的横坐标
x1 0.1和x2 2.9
o 12 3
x
1
即为原方程的近似解。
例3、已知a、b、c依次为方程2x x 0, log2 x 2和 log1 x x的实数根，则a、b、c之间的大小关系是
N
0
M Nቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(3) log 2 x log 2 (2x 3)
4log3 x2 log9 3x 2 5 xlog2 x2 8
x3
x3 或 x 3 9
x2
6lg x2 4
x 100
设法去掉对数符号可以化为 一元二次方程求解。
当一个幂的底数和指数都含有 未知数时，可以两边取对数。
(7) log 2 (9x 5) log 2 (3x 2) 2 x 1
2 bca
解: 由log2 x 2 x 4 即b 4 2x x 0 2x x
在同一坐标系内画出y 2x 和y x的图象，由图可知：1 a 0 在同一坐标系内画出y log1 x和y x的图象，由图可知：0 c 1
对数运算的公式
对数运算的公式对数运算的公式1. 对数定义对数是数学中一种重要的运算，用于解决指数方程中的未知数。
对数运算是指数运算的逆运算，表示为log。
在公式中，对数符号log 后的底数表示真数，对数后的数值表示幂次。
2. 对数公式以下是一些常用的对数公式：对数的定义公式•logb(x) = y 表示 by = x其中，logb(x) 表示以 b 为底数的 x 的对数，y 表示指数。
换底公式换底公式是一种将对数的底数进行转换的公式，常用的换底公式如下：•logb(x) = loga(x) / loga(b)其中，b 和 a 分别为底数。
常用对数公式•log10(x) = log(x) 表示以 10 为底数的对数简写为log(x)•ln(x) 表示以 e 为底数的对数3. 对数的实例解释下面是一些对数运算的实例解释：对数的定义公式实例对数定义公式可以用于解决指数方程中的未知数。
例如，log2(8) = 3，表示以 2 为底数的对数，使得 2 的 3 次方等于 8。
换底公式实例换底公式可以用于将对数的底数进行转换。
例如，log3(9) =log2(9) / log2(3)，表示将以 3 为底数的对数转换为以 2 为底数的对数。
常用对数公式实例常用对数公式可以用于简化对数的表达。
例如，log10(100) = log(100)，表示以 10 为底数的对数可以简写为 log。
结论对数运算是指数运算的逆运算，用于解决指数方程中的未知数。
在对数运算中，常用的公式有对数的定义公式、换底公式和常用对数公式。
这些公式在数学运算和问题求解中起到了重要作用。
4. 对数运算的性质对数运算具有以下一些性质：性质1：对数的乘法公式logb(x · y) = logb(x) + logb(y)这个公式表示了对数运算中乘法的性质，当对数的底数相同时，两个数相乘的对数等于这两个数的对数之和。
性质2：对数的除法公式logb(x / y) = logb(x) - logb(y)这个公式表示了对数运算中除法的性质，当对数的底数相同时，两个数相除的对数等于这两个数的对数之差。
对数方程的解法和应用
对数方程的解法和应用对数方程是一类含有对数函数的方程，解这类方程有着重要的理论意义和实际应用价值。
本文将介绍对数方程的解法，并讨论其在物理、经济和生活中的应用。
一、对数方程的基本知识对数方程通常可以表示为logᵦ(x)=y，其中x、y和ᵦ分别表示对数的底数、对数的真数和对数的结果。
解对数方程的关键是将其转化为指数方程，即用指数函数来表示对数函数。
二、对数方程的解法1. 换底公式：当方程中的底数不是我们常用的10或e时，我们可以使用换底公式将其转化为我们熟悉的底数。
换底公式为logᵦ(x)=logₐ(x)/logₐ(ᵦ)，其中logₐ(x)表示以a为底数的x的对数。
2. 合并对数：当方程中存在对数的加减运算时，我们可以使用对数的乘法和除法规则将其合并成一个对数，从而简化方程的求解过程。
3. 变量代换：对于复杂的对数方程，我们可以通过引入新的变量来简化解题过程。
将对数方程转化为其他类型的方程后，再通过代入求解的方式，得到对数方程的解。
4. 图像法：对数函数的图像具有特定的性质，通过观察图像的变化趋势，可以帮助我们判断对数方程的解的情况。
尤其是在典型的对数方程中，图像法常常能够提供更直观的解释和解法。
三、对数方程的应用1. 物理学中的应用：对数方程在解决物理学问题中有着广泛的应用。
例如，在电路中，我们可以使用对数方程来描述电荷随时间变化的规律。
在放射性衰变的研究中，对数方程可以用来解释物质衰变的速率。
2. 经济学中的应用：对数方程在经济学研究中有着重要的应用价值。
例如，常见的经济增长模型中，对数方程被用来描述经济增长速度的变化规律。
对数方程也被广泛应用于金融学中的利率计算和投资回报率分析等方面。
3. 生活中的应用：对数方程在生活中的应用也非常广泛。
例如，pH 值的计算经常涉及对数方程，用以表征酸碱度。
在测量声音和震动的分贝级别时，也会用到对数方程。
此外，对数方程还在解决复利计算、物种灭绝和人口增长等问题中发挥重要作用。
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我们把对数符号后面含有未知数的方程叫做对数方程
例 1：如果不考虑空气阻力，火箭的最大速度v km / s 和燃料的质量
M kg 、火箭（除燃料外）的质量 m kg 之间的关系是
M v 2 ln 1 ，当燃料质量是火箭质量的多少倍时，火箭 m
的最大速度能达到 （1）8km/s (2)12km/s（精确到 0.1 倍）
〔探究与深化〕
例 2：解方程： log2 ( x 14) log2 ( x 2) 3 log2 ( x 6)
(1) log2(x－1)＝－1
比较对数法（同底幂）
loga f ( x) loga g ( x) f ( x) g ( x) 0
例 3：解方程 (log3 x) log9 3x 2
2
a 0, a 1
换元法 ： 形如A(logaf(x))2+Blogaf(x)+C=0的方程 可转化为： At2+Bt+C=0
例 4： x
lg x
＝100x
两边取对数，转化为对数方程求解
(5) log(x－1) (3x 2－7x－2) ＝2
〔回顾与小结〕
一、对数方程：对数符号后面含有未知数的 方程。 二、对数方程的基本解法：
①比较对数法（同底幂）； ②取对数法（不同底幂），
指数式与对数式互化；
③换元法
④非常规方程，观察猜证，数形结合, 函数方程思想
指、对数互化转为整式方程求解
[例 5](1)方程 lgx＝x－2 解的个数为几个？ (2)方程 x2＝ 2 解的个数为几个？
x
数形结合
Байду номын сангаас练习〕
（1） l o
g2 x l o g2 x 3
2 4
2 4
（2） log3 x log9 x 3 0 （3） x
lg x 2
1000