第3章34基本不等式第1课时
(基本不等式)高二年级上册教学课件(第3.4.1课时)
∵0 < y < 6 ，∴6 －y > 0 ，
∴S ≤32·
6 －y 2
＋y
2
27 ＝
2
.
当且仅当 6－y＝y，即 y＝3 时，等号成立，此时 x＝4.5.故每间虎笼长 4.5 m ，宽 3 m 时，可使面积最大．
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合作探究
[基础自测]
1 ．思考辨析
(1 )对任意 a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥2 a b ，a ＋b ≥2 a b 均成立．( )
(2 )对任意的 a ，b ∈R ，若 a 与 b 的和为定值，则 a b 有最大值．( )
(3 )若 xy＝4 ，则 x＋y 的最小值为 4 .( )
2
(4 )函数 f(x)＝x2＋
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合作探究
COOPERATIVE INQUIRY
1
1
(1)m >n (2)P <Q <R [(1)因为 a>2，所以 a－2>0，又因为 m ＝a＋a－2＝(a－2)＋a－2＋2，
所以 m ≥2
1 a－2 · ＋2＝4，由 b ≠0，得 b 2≠0，
a －2
所以 2－b 2<2，n ＝22－b 2<4，综上可知 m >n .
利用基本不等式证明不等式 例 2、已知 a，b ，c 为不全相等的正实数． 求证：a＋b ＋c> ab ＋ b c＋ ca.
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合作探究
COOPERATIVE INQUIRY
[解] ∵a >0 ，b > 0 ，c> 0 ， ∴a ＋b ≥2 a b > 0 ， b ＋c≥2 b c> 0 ， c＋a ≥2 ca > 0 ， ∴2 (a ＋b ＋c)≥2 ( a b ＋ b c＋ ca )， 即 a ＋b ＋c≥ a b ＋ b c＋ ca . 由于 a ，b ，c 为不全相等的正实数，故等号不成立． ∴a ＋b ＋c> a b ＋ b c＋ ca .
高中数学第三章不等式3.5绝对值不等式第一课时绝对值不等式(1)课件新人教A版必修5
2.定理2:如果a,b,c是实数,那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|.当且仅当 (a-b) . (b-c)≥0 时,等号成立.
几 何 解 释 : 在 数 轴 上 ,a,b,c 所 对 应 的 点 分 别 为 A,B,C, 当 点 B 在 点 A,C 之 间 时 ,|a-c|=|a-b|+|b-c|. 当 点 B 不 在 点 A,C 之 间 时 :① 点 B 在 点 A 或 点 C 上 时,|a-c|=|a-b|+|b-c|;②点B不在点A,C上时,|a-c|<|a-b|+|b-c|. 应用:利用该定理可以确定绝对值函数的值域和最值.
解析:若a=1,b=-1,则B,D不正确.若a=b=1,则C不正确.故选A.
3.若a,b,c∈R,且|a-c|<|b|,则正确的是( A ) (A)|a|<|b|+|c| (B)|a|<|b|-|c| (C)|a|>|b|+|c| (D)|a|>|b|-|c|
解析:因为||a|-|c||≤|a-c|<|b|,所以|a|-|c|<|b|,即|a|<|b|+|c|. 故选A.
自我检测
1.已知实数a,b满足ab<0,则下列不等式成立的是( B )
(A)|a+b|>|a-b|
(B)|a+b|<|a-b|
(C)|a-b|<||a|-|b|| (D)|a-b|<|a|+|b|
解析:因为ab<0,所以|a+b|<|a-b|.故选B.
2.若a,b∈R,则以下命题正确的是( A ) (A)|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b| (B)|a|-|b|<|a-b|<|a|+|b| (C)当且仅当ab>0时,|a+b|<|a-b| (D)当且仅当ab≤0时,|a-b|=|a|-|b|
《基本不等式》一元二次函数、方程和不等式PPT教学课件(第一课时基本不等式)
1．下列不等式中，正确的是( )
A．a＋4a≥4
B．a2＋b2≥4ab
C． ab≥a＋2 b
D．x2＋x32≥2 3
解析：选 D.a＜0，则 a＋4a≥4 不成立，故 A 错；a＝1，b＝1，
a2＋b2＜4ab，故 B 错，a＝4，b＝16，则 ab＜a＋2 b，故 C 错；
由基本不等式可知 D 项正确．
2.2 基本不等式
第1课时 基本不等式
第二章 一元二次函数、方程和不等式
考点
学习目标
基本不等式
理解基本不等式的内容及 导出过程
利用基本不等式 能够运用基本不等式求函
求最值
数或代数式的最值
核心素养 逻辑推理 数学运算
第二章 一元二次函数、方程和不等式
问题导学 预习教材 P44－P46，并思考以下问题： 1．基本不等式的内容是什么？ 2．基本不等式成立的条件是什么？ 3．利用基本不等式求最值时，应注意哪些问题？
栏目 导引
第二章 一元二次函数、方程和不等式
■名师点拨 利用基本不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的 原则，即： ①一正：符合基本不等式a＋2 b≥ ab成立的前提条件，a＞0，b ＞0； ②二定：化不等式的一边为定值； ③三相等：必须存在取“＝”号的条件，即“＝”号成立． 以上三点缺一不可．
第二章 一元二次函数、方程和不等式
所以 y＝x＋x－4 2＝x－2＋x－4 2＋2
≥2 （x－2）·x－4 2＋2＝6，
当且仅当 x－2＝x－4 2， 即 x＝4 时，等号成立．
所以 y＝x＋x－4 2的最小值为 6.
栏目 导引
第二章 一元二次函数、方程和不等式
(2)因为 0<x<12， 所以 1－2x>0， 所以 y＝12x(1－2x)＝14×2x×(1－2x)≤142x＋12－2x2＝14×14＝ 116， 当且仅当 2x＝1－2x， 即当 x＝14时，ymax＝116.
高中数学 第三章 不等式 3.3 基本不等式 3.3.1 基本不等式课件高一必修5数学课件
A.a＋2 b≥ ab
B．a－b≥2 ab
C．a2＋b2≥2ab
D．a2－b2≥2ab
答案：C
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2．四个不相等的正数 a，b，c，d 成等差数列，则( )
a＋d A. 2 > bc
B．a＋2 d< bc
C.a＋2 d＝ bc
D．a＋2 d≤ bc
解析：选 A.因为 a，b，c，d 是不相等的正数且成等差数列，
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4．已知 a，b，c，d 都是正数，求证：(ab＋cd)(ac＋bd)≥4abcd.
证明：由 a，b，c，d 都是正数，得 ab＋2 cd≥ ab·cd，ac＋2 bd≥ ac·bd， 所以（ab＋cd）4（ac＋bd）≥abcd， 即(ab＋cd)(ac＋bd)≥4abcd.
ab，
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解：因为 a＞0，b＞0，所以1a＋1b≥
2； ab
即 ab≥1a＋2 1b(当且仅当 a＝b 时取等号)，
又a＋2 b2＝a2＋2a4b＋b2≤a2＋b2＋4 a2＋b2＝a2＋2 b2，所以a＋2 b≤
a2＋2 b2(当且仅当 a＝b 时等号成立)，
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把题中条件换成“0＜a＜b，且 a＋b＝1”，试找出12，a2＋b2， 2ab，a 四个数中的最大数． 解：法一：因为 0＜a＜b，所以 1＝a＋b＞2a， 所以 a＜12，又因为 a2＋b2＞2ab， 所以最大数一定不是 a 和 2ab， 因为 1＝a＋b＞2 ab，所以 ab＜14，
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高中数学 3.4基本不等式(一)全册精品教案 新人教A版必修5
3．4 基本不等式第一课时 基本不等式（一）一、教学目标(1)知识与技能：理解两个实数的平方和不小于它们之积的2倍的不等式的证明；理解两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的证明以及它的几何解释(2)过程与方法 ：本节学习是学生对不等式认知的一次飞跃。
要善于引导学生从数和形两方面深入地探究不等式的证明，从而进一步突破难点。
变式练习的设计可加深学生对定理的理解，并为以后实际问题的研究奠定基础。
两个定理的证明要注重严密性，老师要帮助学生分析每一步的理论依据，培养学生良好的数学品质(3)情感与价值：培养学生举一反三的逻辑推理能力，并通过不等式的几何解释，丰富学生数形结合的想象力二、教学重点、难点教学重点：两个不等式的证明和区别教学难点：理解“当且仅当a=b 时取等号”的数学内涵三、教学过程提问1:我们把“风车”造型抽象成图3.4-2.在正方形ABCD 中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的长为a 、b ，那么正方形的边长为多少？面积为多少呢？22a b +） 提问2：那4个直角三角形的面积和是多少呢？ （2ab ）提问3：根据观察4个直角三角形的面积和正方形的面积，我们可得容易得到一个不等式，222a b ab +≥。
什么时候这两部分面积相等呢？（当直角三角形变成等腰直角三角形，即a b =时，正方形EFGH 变成一个点，这时有222a b ab +=）1、一般地，对于任意实数 a 、b ，我们有222a b ab +≥，当且仅当a b =时，等号成立。
提问4：你能给出它的证明吗？证明:222)(2b a ab b a +=-+ 0)(2>-≠b a ，b a 时当 0)(2=-=b a ，b a 时当所以 222a b ab +≥注意强调 （1） 当且仅当a b =时, 222a b ab += (2)特别地,如果,0,0>>b a 用a 和b 代替a 、b ，可得ab b a 2≥+,(0,0)2a b a b +≤>>,引导学生利用不等式的性质推导提问5：观察图形3.4-3,你能得到不等式0,0)2a b a b +≥>>的几何解释吗？ 的算术平均数，为称b a b a ,2 .2+ . , 的几何平均数为b a ab 为两两不相等的实数，已知例c b a ,,1. . 222ca bc ab c b a ++>++求证：练习、已知：,0,0,0>>>c b a 求证：c b a cab b ac a bc ++≥++ , ,,, 2. 都是正数已知例d c b a .4 ))(( abcd bd ac cd ab ≥++求证： 例3、若1>>b a ，b a P lg lg ⋅=，)lg (lg 21b a Q +=，2lg b a R += 比较R P 、、Q 、的大小 例4、当1->x 时，求函数113)(2++-=x x x x f 的值域。
3.4基本不等式(3课时)
a b 2ab
不等式：a
2
b 2ab
2
（当且仅当a=b时，等号成立）
特别地，如果a>0、b>0,用 a、b 分别 代替a、b得：
（ a）+（ b） 2 a b
2 2
即： a+b 2 ab 写成：
要特别注 意条件
ab ab (a 0, b 0) 2
下面证明不等式：
3 (2)设 0＜x＜ ，求函数y＝4x(3－2x)的最大值。 2 1 9 (3)已知 x＞0，y＞0 ，且 x＋y ＝1，求 x＋y 的最小值。
x2 (4)已知 x＞1，求 y＝ 的最小值． x－ 1
（1）解: x 3, x 3 0
4 4 4 y x x 3 3 2 ( x 3) 3 7. x 3 x 3 x 3 4 当且仅当x 3 ，即x 5时，ymin 7 x 3 3 （2）解：∵0＜x＜2，∴3－2x＞0， 2x＋3－2x 2 9 ∴y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤2[ ] ＝ . 2 2 3 当且仅当 2x＝3－2x，即 x＝4时，等号成立． 3 3 3 9 ∵4∈(0，2)，∴函数 y＝4x(3－2x)(0＜x＜2)的最大值为2.
3.4
基本不等式 第一课时
ab ab 2
不你 D 等能 2＋ b 2 正方形 ABCD 的面积为 a 关在 C 系图 G F H E 吗中 A a 4个直角三角形的面积和为2ab 找 b a b 出 2 2 B 一 些 面 2＋b2＝2ab 当 EFGH 缩为一点，即 a=b 时，有 a 积 的 相 一般地，对于任意实数a、b，我们有 等 或 a 2 b2 2ab 当且仅当a=b时，等号成立。
高中数学第三章不等式3.2一元二次不等式及其解法第1课时一元二次不等式的解法课件新人教A版必修5
B．a＝2，b＝－1
C．a＝－2，b＝2
D．a＝－2，b＝1
解析：因为不等式 ax2＋3x－2>0 的解集为{x|1<x<b}，所以 a<0，且
方程 ax2＋3x－2＝0 的两个根分别为 1 和 b.根据根与系数的关系，得
1＋b＝－3a，b＝－2a，所以 a＝－1，b＝2.
答案：C
[随堂训练]
1．已知不等式
ax2－5x＋b>0
的解集为x
x<－13或x>12，则不等式
bx2－5x＋a>0 的解集为( )
A.x
－13<x<12
C．{x|－3<x<2}
B.x
x<－13或x>12
D．{x|x<－3 或 x>2}
综上所述： 当 a<0 或 a>1 时，原不等式的解集为{x|x<a 或 x>a2}； 当 0<a<1 时，原不等式的解集为{x|x<a2 或 x>a}； 当 a＝0 时，原不等式的解集为{x|x≠0}； 当 a＝1 时，原不等式的解集为{x|x≠1}．
解含参数的一元二次不等式应注意事项 (1)若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于 0 与小于 0 进行 讨论； (2)若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式 Δ 进行讨论； (3)若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论； (4)若 ax2＋bx＋c＞0(a＞0)可分解为 a(x－x1)(x－x2)＞0.讨论时只需比 较 x1，x2 大小即可．
3．若不等式 ax2＋5x－2>0 的解集是x
1
3.4 第1课时 基本不等式
例2
(1)用篱笆围一个面积为100 m2的矩形菜
园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱 笆最短.最短的篱笆是多少？
分析：设矩形菜园的长为x m，宽为y m，
面积确定，则xy=100，篱笆的长为2（x+y）m. 即求（x+y）的最小值.
解：设矩形菜园的长为x m，宽为y m， 则xy=100，篱笆的长为2（x+y）m.
2 2
因为 xy
9，得xy 81.
当且仅当x=y,即x=y=9时，等号成立. 因此，这个矩形的长、宽都为9 m时， 菜园的面积最大，最大面积是81 m2 .
【提升总结】 当x+y的值是常数S时，当且仅当x=y时， xy有最大值 结论2 .
1 2 S . 4
两个正数和为定值，则积有最大值
ab , 则CD=＿＿
ab 半径为＿＿ 2 .
E
因为ACD ∽ DCB, 所以CD2 AC CB, 即CD ab.
CD小于或等于圆的半径 . 用不等式表示为
ab ab . 2
上述不等式当且仅当点C与圆心重合，即当a=b
时，等号成立.
几何意义：半径不小于半弦.
ab 叫做正数a，b的算术平均数， 2 ab 叫做正数a，b的几何平均数.
3.4
基本不等式：
ab ab 2
第1课时 基本不等式
国际数学家大会是由国际数学联盟（IMU）主 办，首届大会于1897年在瑞士苏黎士举行，1900 年巴黎大会之后每四年举行一次，它已经成为最 高水平的全球性数学科学学术会议. 有哪位同学知道哪一届国际数学家大会在北京举 行，它的会标是什么？
第24届国际数学家大会
当考察底面的长与宽取什么值
高中数学第三章不等式3.4基本不等式第1课时基本不等式课件新人教A版必修5
当且仅当ba＝ab，即 a＝b 时，取“＝”，故 D 正确．
(2)a>2
时
，
m
＝
a
＋
1 a－2
＝
(a
－
2)
＋
1 a－2
＋
2
≥
2 （a－2）·a－1 2＋2＝4.
当 a－2＝a－1 2，即 a－2＝1，a＝3 时等号成立．b<0 时，有 b2－2>－2，可得 n＝12b2－2<4，由上可知，m>n.
即 Q>P.
因为a＋2 b>
ab，所以
a＋b lg 2 >lg
ab＝12(lg a＋lg b)，
所以 R>Q，所以 P<Q<R.
答案：(1)B (2)P<Q<R
归纳升华 1．若给定的代数式中既有“和式”又有“积式”， 即出现应用基本不等式的题眼时，可考虑是否利用基本 不等式解决． 2．在应用基本不等式时，一定要注意是否满足条件， 即 a>0，b>0，同时注意能否取等号．
[典例 1] (1)设 0<a<b，则下列不等式中正确的是( )
A．a<b<
a＋b ab< 2
B．a<
a＋b ab< 2 <b
C．a<
a＋b ab<b< 2
a＋b D. ab<a< 2 <b
(2)若 a>b>1，P＝ lg a·lg b，Q＝12(lg a＋lg b)，R＝lg
a＋2 b，则 P，Q，R 的大小关系是________．
解析：(1)法一 因为 0<a<b，所以 a<a＋2 b<b，排除
基本不等式(第1课时)(课件)(人教A版2019必修一)高一数学同步备课
2
当且仅当1 x 1 x，即x 0时，上式等号成立，
∴当x 0时，
1 x 2取得最大值1.
5. 已知直角三角形的面积等于50 cm2，当两条直角边的长度各为多少时，两条
直角边的和最小? 最小值是多少?
解：
设两直角边长分别为a , b，则有ab 100.
由基本不等式，可得a b 2 ab 20，
等式的几何解释吗？
D
∵AB是圆的直径，∴AD⊥BD，又CD⊥AB，
BC， 即CD= ，
∴△ACD∽△DCB，∴CD2=AC·
a b
.
又∵|DE|≤|AB|， ab
2
A
a
C b
E
显然，当且仅当点C与圆心重合，即当a=b时，上述不等式的等号成立.
B
1.利用基本不等式
求最值
典例1
已知 > ，求 + 的最小值.
1
1
2
2
x
2，
2
2
x
x
1
，即x 1时，上式等号成立，
2
x
1
∴当x 1时，x 2 + 2 取得最小值 2.
x
当且仅当x 2
4.已知 1 x 1，求1 x 2的最大值.
解：
由基本不等式，可得
1 x 2 (1 x )(1 x ) (
1 x 1 x 2
基本不等式：
若a , b R , 则
ab
ab (当且仅当a b时, 等号成立)
2
a b
叫做正数a,b的算术平方数，ab叫做正数a,b的几何平方数.
2.2基本不等式 (第1课时)(课件)高一数学必修第一册(人教A版2019)
1.教材P46练习第 2,5题；
2.P48-49习题2. 2,复习巩固第1,2题
（二）探究性作业：
教材P46 练习及参考答案
当ab为定值时，便可求a+b的最小值. （定）
（3）当且仅当a=b时，等式成立. （取等）
应用新知
12
练习(1) 当 x 0 时，求 4x 的最大值；
x
【解析】 x 0, x 0.
利用基本不等式求最值的注意事项
一正:各项必须都是正值.
12
12
( 4 x ) 2
(4 x) 8 3 ,
②
通常称不等式②为基本不等式（basicinequality）．
ab
其中，
叫做正数 a, b 的算术平均数，
2
ab 叫做正数 a, b 的几何平均数．
文字语言：两个正数的算数平均数不小于它们的几何平均数。
认识新知
重要不等式： a 2 b 2 2ab ；
基本不等式：
ab
ab
2
.
问题3 基本不等式是在重要不等式基础上转化出来的，
B.最小值 9 C.最大值-3 D.最小值-3
【答案】C
2
【解析】
x ,3x 2 0 ,
当遇见负数时，
3
先应该乘以负
1，再适当配
9
9
9
3 3 . 凑构造倒数型，
f ( x) 3 x 2
3 (2 3x)
3 2 (2 3x)
【解析】 x 0, x 0,
2
分式进行整式分离——分离成整式与“真分式”的
2
1
1
1
高中数学新人教A版必修5课件：第三章不等式3.4基本不等式第一课时基本不等式
ab+ 1 ≥2 ab 1 =2,故(3)正确;由基本不等式可知,当 y >0, x >0 时,有
ab
ab
xy
y + x ≥2 y x =2 成立,这时只需 x 与 y 同号即可,故(4)错误.
xy
xy
答案:(3)
方法技能 应用基本不等式时,第一根据题目的特征,确定“a”和“b”. 它们可以是数字也可以是复杂的代数式.其次,注意“a”和“b”的符号,必 须都是正数,最后看“=”号能否成立.
(D) b + a ≥2 ab
解析:因为 a2+b2≥2ab,当且仅当 a=b 时,等号成立,所以 A 错误;对于 D,因为
ab>0,所以 b + a ≥2 b a =2.
ab
ab
对于 B,C,当 a<0,b<0 时,明显错误.
故选 D.
2.不等式 a2+ 4 ≥4 中,等号成立的条件是( D ) a2
2
2
课堂探究
题型一 对基本不等式的理解
【例 1】 给出下列命题:(1)若 x∈R,则 x+ 1 ≥2;(2)若 a>0,b>0,则 lg a+lg b≥ x
2 lg a lgb ;(3)若 a<0,b<0,则 ab+ 1 ≥2;(4)不等式 y + x ≥2 成立的条件是
ab
xy
x>0 且 y>0.其中正确命题的序号是
ab > ab > 2
ab .而 y= log1 x 为减函数,故 Q>P>M.故选 B.
2
题型三 利用基本不等式证明不等式 【例 3】 已知 a,b,c>0,求证: a2 + b2 + c2 ≥a+b+c.
1 第1课时 基本不等式(共42张PPT)
解析：因为 a＞0，且 2x＋ax≥2 当且仅当 2x＝ax，
2x·ax＝2 2a，
即 x＝ 22a时，2x＋ax取得最小值， 所以 22a＝3， 解得 a＝18. 答案：18
5．已知 x，y 为正实数，且 x＋y＝4，求1x＋3y的最小值． 解：因为 x，y 为正实数， 所以(x＋y)1x＋3y ＝4＋xy＋3yx≥4＋2 3. 当且仅当xy＝3yx，
(1)若 a＋b＝S(和为定值)，当 a＝b 时，积 ab 有最大值S42，可以用基本不等 式 ab≤a＋2 b求得． (2)若 ab＝P(积为定值)，则当 a＝b 时，和 a＋b 有最小值 2 P，可以用基本 不等式 a＋b≥2 ab求得． 不论哪种情况都要注意取得等号的条件是否成立．
1．已知 x＞0，y＞0，且 x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为
【解析】 对于选项 A，当 x<0 时，4x＋x≥4 显然不成立；对于选项 B，符 合应用基本不等式的三个基本条件“一正，二定，三相等”；对于选项 C， 忽视了验证等号成立的条件，即 x＝1x，则 x＝±1，均不满足 x≥2；对于选 项 D，x－1x在 0<x≤2 的范围内单调递增，有最大值 2－12＝32. 【答案】 B
A．7
B．8
C．9
D．10
()
解析：选 C.因为 a，b 都是正数，所以1＋ba1＋4ba＝5＋ba＋4ba≥5＋2 ＝9，当且仅当 b＝2a 时取等号．
ab·4ba
探究点 3 利用基本不等式求最值 (1)已知 x>2，则 y＝x＋x－4 2的最小值为________．
(2)若 0<x<12，则函数 y＝12x(1－2x)的最大值是________． (3)若 x，y∈(0，＋∞)，且 x＋4y＝1，则1x＋1y的最小值为________．
数学必修5导学案：3-3 第1课时 基本不等式
§3基本不等式第1课时基本不等式知能目标解读1.理解基本不等式，并掌握基本不等式的几何意义.2.掌握基本不等式成立的条件；能应用基本不等式解决求最值、证明不等式、比较大小、求取值范围等问题.3.在使用基本不等式过程中，要注意定理成立的条件，在解题时，常采用配凑的方法，创造条件应用均值不等式.重点难点点拨重点：理解并掌握基本不等式，借助几何图形说明基本不等式的意义，并用基本不等式求最值.难点：利用基本不等式求最值时,等号成立的条件.学习方法指导一、基本不等式1.基本不等式：如果a,b都是非负数，那么2ba+≥ab,当且仅当a=b时，等号成立，我们称上述不等式为基本不等式.其中2ba+称为a,b的算术平均数，ab称为a,b的几何平均数，因此，基本不等式又称为均值不等式.2.重要不等式：如果a,b∈R,那么a2+b2≥2ab（当且仅当a=b时，取"＝"）.证明：a2+b2-2ab=(a-b) 2,当a≠b时，（a-b）2>0；当a=b时，（a-b）2＝0.所以（a-b）2≥0,即a2+b2≥2ab.3.基本不等式的几何解释：基本不等式一种几何解释如下：以a+b长的线段为直径作圆，在直径AB上取点C，使AC=a,CB=b.过点C作垂直于直径AB的弦DD′，连结AD、DB，易证Rt△ACD∽Rt△DCB,则CD２=CA·CB,即CD=ab.这个圆的半径为2ba+，显然，它大于或等于CD，即2ba+≥ab， 其中，当且仅当点C与圆心重合，即a=b时，等号成立.以上我们从几何图形中进行了解释，获得了不等式ab ≤2b a +（a ≥0,b ≥0）.其实质是：在同一圆中，半径不小于半弦，或者直角三角形斜边的一半不小于斜边上的高. 4.关于a 2+b 2≥2ab 和2b a +≥ab （a,b >0）（1）两个不等式：a 2+b 2≥2ab 与2b a +≥ab 成立的条件是不同的，前者要求a,b 都是实数，后者则要求a,b 都是正数.如：（-3）2+（-4）2≥2×（-3）×（-4）是成立的， 而()()243-+-≥()()43-⨯-是不成立的.注意：(1)要在理解的基础上，记准这两个不等式成立的条件. (2)两个不等式：a 2+b 2≥2ab ，2b a +≥ab 都是带有等号的不等式.“当且仅当a=b 时取‘＝’”这句话的含义是“a=b ”时，a 2+b 2≥2ab ，2b a +≥ab 中只有等号成立，反之，若a 2+b 2≥2ab ,2b a +≥ab中的等号成立时,必有“a=b ”，这一条件至关重要，忽略它，往往会导致解题的失误.（3）两个不等式的应用两个不等式的结构都是一边为“和式”，另一边为“积式”，因此两个不等式都具有将“和式”化为“积式”以及将“积式”化为“和式”的放缩功能，可证明不等式.利用等号成立的条件，可求最大、最小值.二、利用基本不等式求最大（小）值 利用基本不等式2b a +≥ab ，在求某些简单的最大（小）值问题时，很有应用价值.一般地： x,y都为正数时，（1）若x+y=S （和为定值），则当x=y 时，积xy 取得最大值42S;（2）若xy=p （积为定值），则当x=y 时，和x+y 取得最小值2p .证明：∵x,y 都为正数， ∴2y x +≥xy(1)和式为定值S 时，有xy ≤2S ，∴ xy ≤41S 2.上式当“x=y ”时取“＝”号，因式当x=y 时，积xy 有最大值41S 2；(2)积式xy为定值p时，有2yx+≥p,∴x+y≥2p.上式当“x=y”时取“＝”，因此，当x=y时，和x+y有最小值2p. 注意：（1）在应用均值不等式ab≤2ba+求最值时，需满足三个条件：“一正、二定、三相等”.“正”是所有变量均为正数，“定”是指变量的积或和为定值，“相等”是指等号成立的条件，以上三者，缺一不可.(2)在有关证明或求最值时，不等式都可连续多次使用，但需注意的是等号成立是否矛盾，只有当各次应用基本不等式时"＝"号成立的条件一致时，“＝”才会取得，否则"＝"将不成立.知能自主梳理1.基本不等式如果a,b都是非负数，那么，当且仅当时，等号成立.此不等式称为基本不等式，其中称为a,b的算术平均数，称为a,b的几何平均数.2.利用基本不等式求最值（1）两个正数的和为定值时，它们的积有，即若a>0,b>0,且a+b=M,M为定值，则ab≤42M，等号当且仅当a=b时成立.（2）两个正数的积为定值时，它们的和有，即若a>0,b>0,且ab=P,P为定值，则a+b ≥,等号当且仅当a=b时成立.［答案］ 1.2ba+≥ab a=b2ba+ab2.(1)最大值42M(2)最小值2p思路方法技巧命题方向利用基本不等式比较代数式的大小［例1］已知0＜a＜1,0<b<1,则a+b,2ab,a2+b2,2ab中哪一个最大？［分析］由已知a,b均为正数，且四个式子均为基本不等式中的式子或其变形，可用基本不等式来加以解决.［解析］方法一：∵a>0,b>0,∴a+b≥2ab,a2+b2≥2ab,∴四个数中最大数应为a+b或a2+b2.又∵0＜a＜1,0<b<1,∴a2+b2-(a+b)=a2-a+b2-b=a (a -1)+b (b -1)<0,∴a 2+b 2<a+b ,∴a+b 最大． 方法二：令a=b =21,则a+b =1,2ab =1, a 2+b 2=21,2ab =2×21×21=21,再令a =21,b =81,a+b =21+81=85,2ab =28121⨯＝21，∴a+b 最大.［说明］ 运用基本不等式比较大小应注意等号成立的条件.特殊值法是解决不等式的一个有效方法，但要使特殊值具有一般性. 变式应用1已知m=a +21-a (a >2),n =22-b2(b ≠0),则m 、n 的大小关系是（ ）A.m>nB.m<nC.m=nD.不确定 ［答案］ A［解析］ ∵a >2,∴a -2>0, 又∵m=a +21-a =(a -2)+21-a +2≥２()212-⋅-a a +2=4,当且仅当a -2=21-a ,即（a -2）2=1,又a -2>0，∴a -2=1,即a =3时取等号.∴m ≥4. ∵b ≠0, ∴b 2≠0, ∴2-b 2<2, ∴22-b2<4,即n <4， ∴m>n .命题方向 利用基本不等式求最值［例2］ （1）若x >0，求函数f (x )=x12 +3x 的最小值；（2）若x <0，求函数f (x )= x12+3x 的最大值.［分析］ 利用基本不等式求最值，必须同时满足3个条件：①两个正数；②其和为定值或积为定值；③等号必须成立.三个条件缺一不可.对（1），由x >0,可得x12>0,3x >0.又因为x12·3x =36为定值，且x12=3x (x >0)时，x =2,即等号成立，从而可利用基本不等式求最值.对（2），由x <0，得x12<0,3x <0,所以-x12>0,-3x >0,所以对 (-x12)+(-3x )可利用基本不等式求最值.［解析］ （1）因为x >0，所以x12>0,3x >0,所以f (x )= x12+3x ≥2x x312⋅=236=12.当且仅当x12=3x ,即x =2时，等号成立.所以当x =2时，f (x )取得最小值12. （2）因为x <0,所以-x >0, 所以-f (x )= (-x 12)+(-3x )≥2()x x 312-⋅⎪⎭⎫⎝⎛-=12,所以f (x )≤-12 . 当且仅当-x12=-3x ,即x =-2时，等号成立.所以当x =-2时，f (x )取得最大值-12.［说明］ 利用基本不等式求函数最值时，要注意体会“一正、二定、三相等”，当两个数均为负数时，首先将它们变为正数，即在前面加一个负号，再利用基本不等式求解. 变式应用2设x >0，求y =2-x -x4的最大值.［解析］ ∵x >0,∴x +x4≥2xx 4⋅=4,∴y =2- (x +x4)≤2-4=-2.当且仅当x =x4，即x =2时等号成立，y取最大值-2.［例3］ （1）已知x <45，求函数y =4x -2+541-x 的最大值；（2）已知0<x <31,求函数y=x (1-3x )的最大值.［分析］ 此题不容易看出积或和为定值，必须对函数解析式进行拼凑，让其产生定值. ［解析］ （1）因为x <45，所以4x -5<0,即5-4x >0,所以y =4x -2+541-x =- (5-4x +x451-)+3.因为5-4x +x451-≥2()xx 45145-⋅-=2,所以y ≤-2+3=1,当且仅当5-4x =x451-,即x =1时等号成立，所以当x =1时，函数y 取得最大值1.（2）因为0<x <31，所以1-3x >0,所以y=x (1-3x )=31·3x (1-3x )≤31 [()2313x x -+]2=121.当且仅当3x =1-3x ,即x =61时等号成立，所以当x =61时，函数y 取得最大值121.［说明］ 解决本题的关键是拼凑.（1）中将4x -2拼凑成4x -5.(2)中将x 拼凑成3x ,从而可产生定值.（1）中是积为定值.（2）中是和为定值. 变式应用3求函数y =31-x +x (x >3)的最小值.［解析］ y =31-x +x =31-x +(x -3)+3,∵x >3,∴x -3>0, ∴31-x +(x -3)≥2()331--x x =2,当且仅当31-x =x -3,即x -3=1,x =4时，等号成立. ∴当x =4时，函数y =31-x +x (x >3)取最小值2+3=5.命题方向 利用基本不等式解决有关实际应用问题［例4］ 某商品进货价为每件50元，据市场调查，当销售价格每件x 元（50<x ≤80）时，每天销售的件数为p =()254010-x ,若想每天获得的利润最多，则销售价为多少元？［分析］ 首先据题意建立关于利润的函数模型，利润＝销售件数×（销售价格-进货价格）.再应用基本不等式解决最值问题.［解析］ 解法一：由题意知利润 S =（x -50）·()254010-x=(x -50)·()()1005020501025+-+-x x=()()205010050105+-+-x x .∵x -50≥0， ∴（x -50）+()50105-x ≥20.∴S ≤2020105+＝2500，当且仅当（x -50）＝()5010-x ，即x =60或x =40（不合题意舍去）时取=. 解法二：由题意知利润 S =（x -50）·()254010-x令x －50＝t ，x =t +50（t >0）， 则S =()251010+t t=100201025++t t t=20100105++tt ≤2020105+＝2500.当且仅当t =t100，即t =10时取等号，此时x =60.答：当销售价格定为60元时，每天获得的利润最多. ［说明］ 1.解实际应用问题要遵循以下几点：（1）在理解题意的基础上设变量，设变量时一定要把求最大值或最小值的变量定义为函数； （2）建立相应的函数解析式，将实际应用问题转化，抽象为函数的最大值或最小值问题（纯数学问题）；（3）在定义域内（使实际问题有意义的自变量取值范围）求出函数的最大值、最小值； （4）回到实际问题中，写出正确答案.2.本题为分式函数模型，可将其转化为基本不等式的形式求解.若分子次数高时，可把分子拼凑成分母的形式，用分母除开；若分母次数高时，可把分母拼凑成分子的形式，反过来相除，此外，也可以先使用换元法，再拼凑上基本不等式的形式，去求最值. 变式应用4某企业开发一种新产品，现准备投入适当的广告费，对产品进行促销，在一年内，预计年销量Q （万件）与广告费x （万元）之间的函数关系为Q ＝xx 23- (x >0).已知生产此产品的年固定投入为3万元，每年生产1万件此产品仍需要投入32万元，若年销售额为“年生产成本的150％”与“年广告费的50％”之和，而当年产销量相等.(1)试将年利润P （万元）表示为年广告费x (万元)的函数； （2）当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？ ［解析］ （1）P =(32Q +3)·150％＋x ·50%-(32Q +3)-x =-2x -x32+49.5(x >0)；（2）P ＝- (2x ＋x32)+49.5≤-2×4+49.5=41.5,当且仅当21x =x32时，即x =8时，P 有最大值41.5万元.答：当年广告费投入8万元时，企业年利润最大，最大值为41.5万元.名师辨误做答［例5］ 已知a >0,b >0,且a1+b9=1,求a+b 的最小值.［误解］ ∵a >0,b >0 ∴a1+b9≥2ab9=6ab1,∴6ab1≤1，∴ab1≤361，∴ab ≥36.∴a+b ≥2ab ≥12. ∴a+b 的最小值为12.［辨析］ 上述解法错误的原因是两次使用均值不等式时，两个等号成立的条件不同，即第一次等号成立的条件为a1+b9,即b =9a ,第二次等号成立的条件为a=b ，故a+b 取不到最小值12.［正解］ ∵a >0,b >0，a1+b9＝1，∴a+b =(a 1+b9)(a+b )=1+9+ba ab 9+≥10+2ba ab 9⋅=10+2×3＝16. 当且仅当ba ab 9=，即b 2=9a 2时等号成立.解得a =4,b =12.故当a =4,b =12时，a+b 取最小值16.课堂巩固训练一、选择题 1.已知ab >0，则ba ab +的取值范围是（ ）A.（2，+∞）B.［2，+∞)C.(4，+∞)D.［4，+∞) ［答案］ B［解析］ ∵ab >0, ∴a b >0,ba >0,∴ba ab +≥2b aa b ⋅=2. 当且仅当ba ab =，即a=b 时，等号成立.2.不等式a 2+4≥4a 中等号成立的条件是（ ） A.a =±2 B.a =2 C.a =-2 D.a =4 ［答案］ B［解析］ 因为a 2-4a +4=(a -2) 2≥0, 当且仅当a =2时取“＝”，所以a =2. 3.如果a,b 满足0<a<b ,a+b =1,则21,b ,2ab ,a 2+b 2中值最大的是（ ）A. 21 B.aC.2abD.a 2+b 2 ［答案］ D［解析］ 解法一：∵0<a<b , ∴1=a+b >2a , ∴a <21,又a 2+b 2≥2ab ,∴最大数一定不是a 和2ab , 又a 2+b 2=(a+b ) 2-2ab =1-2ab , ∵1=a+b >2ab ,∴ab <41,∴1-2ab >1-21=21,即a 2+b 2>21.解法二：特值检验法：取a =31,b =32,则2ab =94,a 2+b 2=95,∵95>21>94>31,∴a 2+b 2最大.二、填空题 4.若x >0,则x +x2的最小值为 .［答案］ 22 ［解析］ ∵x >0,∴x +x2≥2xx 2⋅=22,当且仅当x =x2,即x =2时，等号成立.5.x,y ∈R ,x+y =5,则3x +3y 的最小值是 . ［答案］ 183［解析］ 3x >0,3y >0.∴3x +3y ≥2y x 33⋅=2yx +3=2·（3）5＝183,当且仅当x=y =25时等号成立.课后强化作业一、选择题1.下列函数中，最小值为2的是（ ） A.y=x +x1 B.y =sin x +xsin 1,x ∈ (0,2π)C.y =2322++x x D.y =x +x1［答案］ D［解析］ A 中，不满足正数这一条件； B 中，∵x ∈ (0,2π),∴sin x ∈(0,1),∴等号不成立； C 中，y =2322++x x =21222+++x x =22+x +212+x ,当22+x =212+x 时，x 2+2=1,x 2=-1(不成立)； D 中x >0, y =x +x1≥2,当且仅当x =x1,即x =1时，取最小值2. 2.a,b ∈R +，则2b a +,ab ，ba ab +2三个数的大小顺序是（ ）A. 2b a +≤ab ≤b a ab +2B. ab ≤2b a +≤b a ab +2C. ba ab +2≤ab ≤2b a +D. ab ≤ba ab +2≤2b a +［答案］ C［解析］ 解法一：取a =2,b =8,则2b a +=5，ab =4，ba ab +2=3.2,∴选C.解法二：已知2b a +≥ab ，又ab -ba ab +2=()ba abb a ab +-+2=()2ba ba ab+-≥0∴ab ≥ba ab +2. 也可作商比较abb a ba ab ab22+=+≥1.3.(2011·上海理，15)若a,b ∈R ，且ab >0,则下列不等式中，恒成立的是（ ） A.a 2+b 2>2ab B.a+b ≥2abC.ba 11+ >ab2 D.ba ab +≥2［答案］ D［解析］ 本题考查不等式的性质、基本不等式，可用排除法逐项判断. 用排除法： A:a=b 时不满足； B:a<0,b <0时不满足； C:a <0,b <0时不满足； D:ab >0,ba >0,ab +ba ≥2baa b ⋅=2. 4.设x +3y =2,则函数z =3x +27y 的最小值是（ ） A.32 B.22C.3D.6 ［答案］ D ［解析］ ∵x +3y =2, ∴x =2-3y . ∴z =3x+27y=32-3y+27y＝y279+27y≥2yy27279⋅＝6，当且仅当y279=27y,即27y =3,∴33y=3, ∴3y =1, ∴y =31.即x =1,y =31时，z =3x +27y 取最小值6.5.某工厂第一年产量为A ,第二年的增长率为a , 第三年的增长率为b ,这两年的平均增长率为x ,则（ ） A.x =2b a + B.x ≤2b a +C.x ＞2b a + D.x ≥2b a +［答案］ B［解析］ ∵这两年的平均增长率为x ， ∴A (1+x ) 2=A (1+a )(1+b )，∴(1+x ) 2=(1+a )(1+b ),由题设a ＞0,b ＞0. ∴1+x =()()b a ++11≤()()211b a ++=1+2b a +，∴x ≤2b a +.等号在1+a =1+b 即a=b 时成立. 6.若x >4，则函数y=x +41-x （ ）A.有最大值-6B.有最小值6C.有最大值-2D.有最小值2 ［答案］ B［解析］ ∵x >4,∴x -4>0,∴y=x -4+41-x +4≥2()414-⋅-x x +4＝6.当且仅当x -4=41-x ，即x -4=1，x =5时，取等号.7.若a>b >1,P =b a lg lg ⋅,Q =21 (lg a +lg b ),R =lg (2b a +),则（ ）A.R<P<QB.P<Q<RC.Q<P<RD.P<R<Q ［答案］ B［解析］ 由a ＞b ＞1,得lg a ＞lg b ＞0， Q =21 (lg a +lg b )＞b a lg lg ⋅=P ，R =lg(2b a +)＞lg ab =21 (lg a +lg b )=Q ，∴R ＞Q ＞P .8.设正数x,y 满足x +4y =40,则lg x +lg y 的最大值是（ ） A.40 B.10C.4D.2 ［答案］ B ［解析］ ∵x +4y ≥2y x 4⋅＝4xy ,∴xy ≤44y x + =440=10,当且仅当x =4y 即x =20,y =5时取“＝”， ∴xy ≤100,即（xy ）max =100, ∴lg x +lg y =lg(xy )的最大值为lg100=2. 二、填空题9.周长为l 的矩形对角线长的最小值为 . ［答案］42 l［解析］ 设矩形长为a ,宽为b ,则a+b =21,∵(a+b ) 2=a 2+b 2+2ab ≤2a 2+2b 2，∴a 2+b 2≥()22b a +，∴对角线长22b a +≥()22b a + =42l .当且仅当a=b 时，取"＝".10.若a >0,b>0,a+b =2，则下列不等式对一切满足条件的a,b 恒成立的是 （写出所有正确命题的编号）. ①ab ≤1； ②b a +≤2;③a 2+b 2≥2; ④a 3+b 3≥3; ⑤ba 11+≥2.［答案］ ①③⑤ ［解析］ ①ab ≤(2b a +)2=(22)2=1,成立.②欲证b a +≤2,即证a+b +2ab ≤2，即2ab ≤0,显然不成立. ③欲证a 2+b 2=（a+b ）2-2ab ≥2, 即证4-2ab ≥2,即ab ≤1,由①知成立. ④a 3+b 3=(a+b )(a 2-ab+b 2)≥3⇔a 2-ab+b 2≥23⇔ (a+b ) 2-3ab ≥23⇔4-23≥3ab ⇔ab ≤65,由①知，ab ≤65不恒成立.⑤欲证a1+b1≥2,即证abb a +≥2,即证ab ≤1,由①知成立.11.(2010·山东·文)已知x ，y ∈R +，且满足43y x +=1，则xy 的最大值为 .［答案］ 3［解析］ ∵x >0,y >0,且1=43y x +≥212xy ,∴xy ≤3,当且仅当43y x =,即x =23,y =2时，等号成立.12.(2011·浙江文，16)若实数x,y 满足x 2+y 2+xy =1,则x+y 的最大值是 ［答案］332［解析］ 题考查了均值不等式及学生灵活运用该知识的能力. 由x 2+y 2+xy =1可得，（x+y ）2=xy +1 而由均值不等式得xy ≤（2y x +）2∴（x+y ）2≤（2y x +）2+1整理得，43（x+y ）2≤1∴x+y ∈［-332，332］∴x+y 的最大值为332.三、解答题13.设实数a 使a 2+a -2>0成立，t >0，比较21log a t 与log a21+t 的大小.［解析］ ∵a 2+a -2＞0,∴a ＜-2或a ＞1， 又a ＞0且a ≠1,∴a ＞1， ∵t ＞0,∴21+t ≥t ,∴log a21+t ≥log a t =21log a t ,∴21log a t ≤log a 21+t .14.已知a >0,b >0,a,b 的等差中项是21,且α=a +a1，β=b +b1,求α+β的最小值.［解析］ 因为a,b 的等差中项是21,所以a+b =1, α+β= (a +a1)+ (b +b1)=(a+b )+ (a1+b1)=1+abb a +=1+ab1,∵ab ≤ (2b a +)2=41,∴ab1≥4,α+β≥5(当且仅当a=b =21时取等号)，故α+β的最小值为5.15.已知x >0,y >0,lg x +lg y =1,求x2+y5的最小值.［解析］ 方法一：由已知条件lg x +lg y =1可得： x >0,y >0,且xy =10.则x2+y5=1052x y +≥10102xy =2，所以 (x2+y5)min =2,方法二：由已知条件lg x +lg y =1可得： x >0,y >0,且xy =10,x2+y5≥2yx 52⋅=21010=216.(2012·济南高二检测)要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为18000cm 2，四周空白的宽度为10cm ，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm ，怎样确定广告的高与宽的尺寸（单位：cm ），能使矩形广告面积最小？［分析］ 本题是一道较为典型的求最值的实际应用题，考查了均值不等式的应用，同时考查了学生分析问题和解决问题的能力.［解析］ 设矩形栏目的高为a cm,宽为b cm, 则ab =9000. ①广告的高为a +20,宽为2b +25,其中a >0,b >0.广告的面积S ＝(a +20)(2b +25)=2ab +40b +25a +500=18500+25a +40b ≥18500+2b a 4025 =18500+2ab 1000=24500.当且仅当25a =40b 时等号成立，此时b =85a,代入①式得a =120,从而b =75,即当a =120,b =75时，S 取得最小值24500，故广告的高为140cm,宽为175cm 时，可使广告的面积最小.。
高中数学(人教版必修5)第三章不等式3.4 基本不等式 第1课时
第三章 3.4 第1课时一、选择题1．函数f (x )＝xx ＋1的最大值为( )A.25 B ．12C.22D ．1[答案] B[解析] 令t ＝x (t ≥0)，则x ＝t 2， ∴f (x )＝x x ＋1＝tt 2＋1.当t ＝0时，f (x )＝0； 当t >0时，f (x )＝1t 2＋1t ＝1t ＋1t .∵t ＋1t ≥2，∴0<1t ＋1t ≤12.∴f (x )的最大值为12.2．若a ≥0，b ≥0，且a ＋b ＝2，则( )A ．ab ≤12B ．ab ≥12C ．a 2＋b 2≥2D ．a 2＋b 2≤3[答案] C[解析] ∵a ≥0，b ≥0，且a ＋b ＝2， ∴b ＝2－a (0≤a ≤2)，∴ab ＝a (2－a )＝－a 2＋2a ＝－(a －1)2＋1. ∵0≤a ≤2，∴0≤ab ≤1，故A 、B 错误； a 2＋b 2＝a 2＋(2－a )2＝2a 2－4a ＋4 ＝2(a －1)2＋2.∵0≤a ≤2，∴2≤a 2＋b 2≤4.故选C.3．设0＜a ＜b ，且a ＋b ＝1，则下列四个数中最大的是 ( )A.12B ．a 2＋b 2C ．2abD ．a[答案] B[解析] 解法一：∵0＜a ＜b ，∴1＝a ＋b ＞2a ，∴a ＜12，又∵a 2＋b 2≥2ab ，∴最大数一定不是a 和2ab ， ∵1＝a ＋b ＞2ab ， ∴ab ＜14，∴a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab ＞1－12＝12，即a 2＋b 2＞12.故选B.解法二：特值检验法：取a ＝13，b ＝23，则2ab ＝49，a 2＋b 2＝59，∵59＞12＞49＞13，∴a 2＋b 2最大． 4．(2013·湖南师大附中高二期中)设a ＞0，b ＞0，若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1b 的最小值为( )A ．8B ．4C ．1D ．14[答案] B[解析] 根据题意得3a ·3b ＝3，∴a ＋b ＝1， ∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋b a ＋a b ≥4. 当a ＝b ＝12时“＝”成立．故选B.5．设a 、b ∈R ＋，若a ＋b ＝2，则1a ＋1b 的最小值等于( )A ．1B ．3C ．2D ．4[答案] C[解析] 1a ＋1b ＝12⎝⎛⎭⎫1a ＋1b (a ＋b ) ＝1＋12⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ≥2，等号在a ＝b ＝1时成立．6．已知x >0，y >0，x 、a 、b 、y 成等差数列，x 、c 、d 、y 成等比数列，则(a ＋b )2cd 的最小值是( )A ．0B ．1C ．2D ．4[答案] D[解析] 由等差、等比数列的性质得 (a ＋b )2cd ＝(x ＋y )2xy ＝x y ＋yx ＋2≥2y x ·xy＋2＝4.当且仅当x ＝y 时取等号，∴所求最小值为4. 二、填空题7．若0<x <1，则x (1－x )的最大值为________． [答案] 14[解析] ∵0<x <1，∴1－x >0， ∴x (1－x )≤[x ＋(1－x )2]2＝14，等号在x ＝1－x ，即x ＝12时成立，∴所求最大值为14.8．已知t >0，则函数y ＝t 2－4t ＋1t 的最小值是________．[答案] －2[解析] ∵t >0，∴y ＝t 2－4t ＋14＝t ＋1t －4≥2t ·1t －4＝－2，当且仅当t ＝1t，即t ＝1时，等号成立．三、解答题 9．已知x >0，y >0.(1)若2x ＋5y ＝20，求u ＝lg x ＋lg y 的最大值； (2)若lg x ＋lg y ＝2，求5x ＋2y 的最小值． [解析] (1)∵x >0，y >0，由基本不等式，得2x ＋5y ≥22x ·5y ＝210·xy . 又∵2x ＋5y ＝20， ∴20≥210·xy ， ∴xy ≤10，∴xy ≤10， 当且仅当2x ＝5y 时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝5y 2x ＋5y ＝20， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5y ＝2.∴当x ＝5，y ＝2时，xy 有最大值10. 这样u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg10＝1. ∴当x ＝5，y ＝2时，u max ＝1. (2)由已知，得x ·y ＝100， 5x ＋2y ≥210xy ＝2103＝2010.∴当且仅当5x ＝2y ＝103，即当x ＝210， y ＝510时，等号成立． 所以5x ＋2y 的最小值为2010.10．求函数y ＝x 2＋a ＋1x 2＋a 的最小值，其中a >0.[解析] 当0<a ≤1时， y ＝x 2＋a ＋1x 2＋a≥2， 当且仅当x ＝±1－a 时，y min ＝2. 当a >1时，令x 2＋a ＝t (t ≥a )， 则有y ＝f (t )＝t ＋1t.设t 2>t 1≥a >1，则f (t 2)－f (t 1)＝(t 2－t 1)(t 1t 2－1)t 1t 2>0，∴f (t )在[a ，＋∞)上是增函数． ∴y min ＝f (a )＝a ＋1a，此时x ＝0.综上，当0<a ≤1，x ＝±1－a 时，y min ＝2；当a >1，x ＝0时，y min ＝a ＋1a.一、选择题1．设a 、b ∈R ，且ab >0.则下列不等式中，恒成立的是 ( )A ．a 2＋b 2>2abB ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b >2abD ．b a ＋a b≥2[答案] D[解析] a ＝b 时，A 不成立；a 、b <0时，B 、C 都不成立，故选D.2．若0<a <1,0<b <1，且a ≠b ，则a ＋b,2ab ，2ab ，a 2＋b 2中最大的一个是 ( ) A ．a 2＋b 2 B ．2ab C ．2ab D ．a ＋b[答案] D[解析] 解法一：∵0<a <1,0<b <1， ∴a 2＋b 2>2ab ，a ＋b >2ab ，a >a 2，b >b 2， ∴a ＋b >a 2＋b 2，故选D.解法二：取a ＝12，b ＝13，则a 2＋b 2＝1336，2ab ＝63，2ab ＝13，a ＋b ＝56，显然56最大．3．某工厂第一年产量为A ，第二年的增长率为a, 第三年的增长率为b ，这两年的平均增长率为x ，则( )A ．x ＝a ＋b2B ．x ≤a ＋b2C ．x ＞a ＋b2D ．x ≥a ＋b2[答案] B[解析] ∵这两年的平均增长率为x ∴A (1＋x )2＝A (1＋a )(1＋b )，∴(1＋x )2＝(1＋a )(1＋b )，由题设a ＞0，b ＞0. ∴1＋x ＝(1＋a )(1＋b )≤(1＋a )＋(1＋b )2＝1＋a ＋b 2，∴x ≤a ＋b 2，等号在1＋a ＝1＋b 即a ＝b 时成立．∴选B.4．(2013·山西忻州一中高二期中)a ＝(x －1,2)，b ＝(4，y )(x 、y 为正数)，若a ⊥b ，则xy 的最大值是( )A.12 B ．－12C ．1D ．－1[答案] A[解析] 由已知得4(x －1)＋2y ＝0，即2x ＋y ＝2.∴xy ＝x (2－2x )＝2x (2－2x )2≤12×(2x ＋2－2x 2)2＝12，等号成立时2x ＝2－2x ，即x ＝12，y ＝1，∴xy 的最大值为12.二、填空题5．已知2x ＋3y ＝2(x >0，y >0)，则xy 的最小值是________．[答案] 6 [解析] 2x ＋3y≥26xy，∴26xy≤2，∴xy ≥6. 6．已知x ＜54，则函数y ＝4x －2＋14x －5的最大值是________．[答案] 1[解析] ∵x ＜54，∴4x －5＜0，y ＝4x －2＋14x －5＝4x －5＋14x －5＋3＝3－⎣⎡⎦⎤(5－4x )＋15－4x≤3－2＝1， 等号在5－4x ＝15－4x，即x ＝1时成立． 三、解答题7．已知直角三角形两条直角边的和等于10 cm ，求面积最大时斜边的长． [解析] 设一条直角边长为x cm ，(0<x <10)，则另一条直角边长为(10－x )cm ， 面积s ＝12x (10－x )≤12[x ＋(10－x )2]2＝252(cm 2)等号在x ＝10－x 即x ＝5时成立，∴面积最大时斜边长L ＝x 2＋(10－x )2＝52＋52＝52(cm)．8．某商场预计全年分批购入每台2 000元的电视机共3 600台．每批都购入x 台(x 是自然数)且每批均需付运费400元．贮存购入的电视机全年所需付的保管费与每批购入电视机的总价值(不含运费)成正比．若每批购入400台，则全年需用去运输和保管总费用43 600元．现在全年只有24 000元资金可以支付这笔费用，请问，能否恰当安排每批进货数量，使资金够用？写出你的结论，并说明理由．[解析] 设总费用为y 元(y ＞0)，且将题中正比例函数的比例系数设为k ，则y ＝3 600x ×400＋k (2 000x )，依条件，当x ＝400时，y ＝43 600，可得k ＝5%，故有y ＝1 440 000x ＋100x≥21 440 000x·100x ＝24 000(元)．当且仅当1 440 000x ＝100x ，即x ＝120时取等号．所以只需每批购入120台，可使资金够用．。
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双 基 达
课
3.能利用基本不等式求简单函数
标
前 自
的最值．(重点)
课
主
时
导
作
学
业
课 堂 互 动 探 究
教 师 备 课 资 源
菜单
新课标 ·数学 必修5
教
学
易
教
两个不等式
法
错 易
分 析
【问题导思】
误 辨
析
教 学
如图(1)是在北京召开的第 24 届国际数学家大会的会标，将 当
方
堂
案 设
其抽象成如图(2)形式．设直角三角形的长为 a、b(a≠b)，那么
课
资
源
菜单
新课标 ·数学 必修5
教
学
易
教
错
法
易
分
误
析
辨
析
教 学
2．当中间的四边形 EFGH 缩为一点，即四个直角三角形变 当
方
堂
案 设
为等腰直角三角形时，可以得到什么结论？结合问题 1 你有什
双 基
计
达
么发现？
标
课
前
自
3．在 a>0，b>0 时，用 a， b分别代替 a、b，可以得到 课
主
时
导 学
当
方
堂
案 设
(2)体会基本不等式的证明方法和简单应用．
双 基
计
达
课
3．情感、态度与价值观
标
前
自
(1)通过探索基本不等式的证明过程，培养探索、研究精神； 课
主
时
导 学
(2)通过对基本不等式成立的条件的分析，养成严谨的科学
作 业
课 态度，勇于提出问题、分析问题的习惯．
堂 互 动 探 究
教 师 备 课 资 源
新课标 ·数学 必修5
教
学
易
教
错
法
易
分
误
析
辨
析
教
学
当
方
堂
案 设
a＋b
双 基
计
3.4 基本不等式： ab≤ 2
达 标
课
前
自
课
主
时
导
作
学
业
课 堂 互 动 探 究
教 师 备 课 资 源
菜单
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教
学 教 法
易
第 1 课时 基本不等式
错 易
分
误
析
教师用书独具演示
辨 析
教
学
当
方
堂
案 设
●三维目标
什么结论？
作 业
课 堂 互 动 探 究
教 师 备 课 资 源
菜单
新课标 ·数学 必修5
教
学
易
教
错
法
易
分
误
析
辨
析
教
学
当
方
堂
案
双
设 计
不等式
内容
等号成立条件
基 达
课 前 自 主 导 学
重要不等 式
a2＋b2≥2ab，(a，b∈R)
“a＝b”时取“＝”
标
基本不等 式
ab≤a＋2 b(a，b∈R＋)
课 时
双 基
计
达
课 正方形的边长为 a2＋b2.
标
前
自
课
主
时
导
作
学
业
课 堂 互 动 探 究
菜单
教
师
备
图(1)
课 资
源
Hale Waihona Puke 新课标 ·数学 必修5教
学
易
教
错
法 分
易
1．根据抽象的图形，你能从中得到一个什么样的不等关 误
析
辨
析
教 系？
学
当
方
堂
案
双
设
基
计
达
标
课
前
自
课
主
时
导
作
学
业
课 堂 互 动 探 究
图(2)
教 师
备
“a＝b”时取“＝” 作 业
课 堂 互 动 探 究
教 师 备 课 资 源
菜单
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教
学
易
教
错
法
易
分
误
析
利用基本不等式比较代数式的大小
辨 析
教
学
当
方 案
若 0<a<1,0<b<1，且 a≠b.
堂 双
设
基
计
试比较出 a＋b，a2＋b2,2 ab，2ab 中最大者．
达 标
课
前 自
【思路探究】 (1)a＋b 与 2 ab的大小关系是怎样的？a2 课
析
●教学建议
辨 析
教 学
基本不等式是后面应用基本不等式求最大(小)值的基础，在 当
方
堂
案 设
高中数学中有着比较重要的地位，在工业生产等有比较广的实
双 基
计
达
课 际应用．本节宜采用分组讨论，多媒体展示、引导启发法来突 标
前
自 出基本不等式的推导．可以采用重复法(在课堂的每一环节，以 课
主
时
导 学
各种方式进行强调基本不等式和其成立的条件)，变式教学等来
双 基
计
达
课
1．知识与技能
标
前
自 主 导
(1)会推导基本不等式：a＋2 b≥ ab；
课 时 作
学
业
课 堂
(2)理解a＋2 b≥ ab的几何意义；
互
动 探
(3)会利用基本不等式求最值．
究
教 师 备 课 资 源
菜单
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教
学
易
教
错
法
易
分
误
析
2．过程方法与能力
辨 析
教 学
(1)探索并了解基本不等式的形成和证明过程；
课 堂 互 动 探 究
菜单
演示结束
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易 错 易 误 辨 析
当 堂 双 基 达 标
课 时 作 业
教 师 备 课 资 源
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教
学
易
教
错
法
易
分
误
析
辨
析
教
1.了解基本不等式的证明过程．
学 方
2.能利用基本不等式证明简单的
当 堂
案 设 计
课标解读
不等式及比较代数式的大小． (重点、难点)
当 堂 双 基 达 标
课 时 作 业
教 师 备 课 资 源
教 学 教 法 分 析
教 学 方 案 设 计
课 前 自 主 导 学
课 堂 互 动 探 究
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易 错 易 误 辨 析
当 堂 双 基 达 标
课 时 作 业
教 师 备 课 资 源
教 学 教 法 分 析
教 学 方 案 设 计
教 学 方 案 设 计
课 前 自 主 导 学
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易 错 易 误 辨 析
当 堂 双 基 达 标
课 时 作 业
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教 学 教 法 分 析
教 学 方 案 设 计
课 前 自 主 导 学
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课 前 自 主 导 学
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当 堂 双 基 达 标
课 时 作 业
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教 学 教 法 分 析
教 学 方 案 设 计
课 前 自 主 导 学
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当 堂 双 基 达 标
菜单
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教
学
易
教
错
法
易
分
误
析
辨
析
教
学
●重点难点
当
方
堂
案 设
重点：基本不等式成立的条件及应用．
双 基
计
达
课
难点：基本不等式成立的条件以及应用基本不等式求最大 标
前
自 值和最小值．
课
主
时
导
作
学
业
课 堂 互 动 探 究
教 师 备 课 资 源
菜单
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教
学
易
教
错
法
易
分
误
课 时 作 业
教 师 备 课 资 源
教 学 教 法 分 析
教 学 方 案 设 计
课 前 自 主 导 学
课 堂 互 动 探 究
菜单
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易 错 易 误 辨 析
当 堂 双 基 达 标
课 时 作 业
教 师 备 课 资 源
教 学 教 法 分 析
教 学 方 案 设 计
课 前 自 主 导 学
作 业
课 突破基本不等式成立的条件这个难点．
堂 互 动 探 究
教 师 备 课 资 源
菜单
教
学
教
法
●教学流程
分
析
教 学 方 案 设 计