第二讲间接效用函数与支出函数 第一节间接效用函数 间接效用函数的定义

第二讲间接效用函数与支出函数
第一节间接效用函数
一、间接效用函数的定义
直接效用函数：()
u x
价格和收入发生变化后，消费者最优选择也会发生变化从而带来消费者效用的变化。

也就是说，消费者最大化效用是收入和价格向量的函数。

记这种效用函数为： 间接效用函数：()()max ,..v p y u s t y =≤x px x
()()()*,,v y u y ==p x x p
间接效用函数的政策意义：通过价格政策（
p ）和收入政
策（y ）可以控制消费者行为。

二、间接效用函数的特征：
间接效用函数),(y v p
1) 在n
+++⨯　上连续
2) 在(),y p 上零次齐次性
3) 在y 上严格递增
4) 在p 上严格递减
5) 在(),y p 上拟凹
6) 罗伊恒等式：如果(),v y p 在()00,y p 上可导，并且()
00,0v y y δδ≠p ，有：
()()
()000000,,,1,...,,i i v y p x y i n v
y y δδδδ==p p p 间接效用函数()()max ,..v y u s t y =
≤p x px x 的特征 1、间接效用函数在n
+++⨯　上连续
最大值定理：如果目标函数和约束条件在参数上连续，定义域为紧集，则值函数在参数上连续。

含义：当收入和价格有微量变化时，极大化了的效用也会有微量变化。

2、间接效用函数在(),y p 上零次齐次性
()()max
,..v y u s t y ==p x px x
间接效用函数在(),y p 上零次齐次性：
()()()0
,,,,0v t ty t v y v y t ==>p p p ()()()()()ma max ,,..x ..,u v t u v t ty s ty v t t t y y s y
t ===⇒==x p p x px x p x
px
3、间接效用函数(),v y p 对于y 严格递增，(),0v y y
δδ>p 应用包络定理：
构造拉格朗日函数()()(),L x u y λλ=+-x px
根据包络定理，()(),,v y L x y y
δδλλδδ==p ：λ的符号？ ()(){{()?00
,,000i i i L u v y p x x y δλδδλλδδδλ>>=-=⇒>⇒=>x x p 123
4.间接效用函数(),v y p 关于价格p 递减
设*i x 0,>用与（3）同样的方法可证：
**
**
i
i i
v(p,y)L(x ,)x p p λλ∂∂==-∂∂〈
5、间接效用函数(),v y p 在(),y p 上拟凸
定义A1.27：一个函数:f D →¡是拟凸函数，当且仅当对于所
有D ∈2
1X ,X ，有：)](),(m ax [)(21t X X X f f f ≤。

即凸组合的函数值小于其中一个的函数值。

6、罗伊恒等式：如果(),v y p 在()00,y p 上可导，并且()00
,0v y y
δδ≠p ，有： ()()()000000,,,1,...,,i
i v y p x y i n v y y
δδδδ==p p p 。

例题：
三、间接效用函数的应用
收入所得税vs.商品税
设效用函数为：12u(x ,x )=
消费者效用最大化：
1122max s.t.p x p x y +=
构造拉格朗日乘数，解得
**1
212y y x ,x 2p 2p == 如果p 1=0.25,p 2=1,y=2,代入效用函数有：
v(.)2==
1、0. 5元收入所得税
v(.)== 2、对x1征收0.25元商品税 这时x1的购买量为：
*
1
1y 2x 22p 2*0.5=== 税收总量=2*0.25=0.5。

与所得税相同。

v(.)==% 商品税带来的效用损失大于所得税。

为什么？
第二节支出函数
一、 支出函数的定义
x*
给定价格p 实现某一效用水平u 所需的最小支出：
=
),(u e P ()min ,..,s t u u ≥px x x
二、希克斯需求函数
支出函数的最优解为希克斯需求函数(),h
u x p ，最小支出为(),h u px p
支出函数:n
e ++⨯
→　?为：
()()(){}
()(){}
,,,
,,min ,
..,,
,,h h n
n
e u u u u u s t u u
u u u ++=∈∈≥∈
=≥≤∈∈≥∈
p px p x x x x px x x px x x x x
两元空间支出最小化：
()()()
()()()11
1222121112221212
12,,,,,min ,,,,,
,..,,h h
e u p x p p u p x p p u p x p p u p x p p u x x s t u x x u
=+=
+≥p
希克斯需求函数（补偿需求函数，或实际收入不变的需求函数）：效用函数()u x 严格单调递增，所以有唯一的无差异曲线与u 相对应，因此可以把所要实现的效用水平u 写作()u x 。

()min ,..,s t u u ≥px x x
可以写为：
()()min ,..,s t u u ≥px x x x
支出函数可以表述为在给定价格p 下，实现消费束x 所带来的效用，所需的最小支出。

三、支出函数(),e u p 的特征
1. 在u 取最低效用水平时，支出函数(),e u p 为零
2. 在定义域:n
e ++
⨯→　?上连续 3. 对于所有的p 0?，支出函数在u 上递增并且关于u 无上界 4. 在价格p 上递增 5. 在价格p 上一次齐次性 6. 如果效用函数严格拟凹，有谢泼特引理：
()()0
,,h i
i
e u
x
u p δδ=p p
证明：
7、如果效用函数严格拟凹，有谢菲尔德引理：
()()0
,,h i
i
e u
x
u p δδ=p p 。

根据包络定理。

例子：消费者的效用函数为()11212,u x x x x αα
-=，求希克斯需求函
数和支出函数。

解：
()11122
1212
12
max ..,,,p x p x s t u x x x x u x x αα
-+=≥
构造拉格朗日函数，利用一阶条件，解得希克斯需求函数：
()()121
121,,1h
p x p p u u p α
αα-⎛⎫
= ⎪
-⎝
⎭，
()()12
1221,,h
p x p p u u p α
αα⎛⎫
-= ⎪⎝⎭
()()()111212,,1e p p u p p u αααααα----⎡⎤=-⎣⎦
2x
四、预算分额
预算份额：i i
i
p x S y =，即花在商品x i 上的支出占总收入的份额。

例：Cobb-Douglass 效用函数中的指数的经济含义
Cobb-Douglass 效用函数：1212u(x ,x )x x αα
=
求对应的需求函数：
12112211211
122
1122
L x x (y p x p x )
x x p x x p y p x p x αβ
αβ
α
βλαλβλ--=+--===+
*
11
y p x αβα
+⇒=
如果1α
β+=
*1
1
y
x p α⇒=
*
2
2y
x p α⇒=。