第二讲间接效用函数与支出函数 第一节间接效用函数 间接效用函数的定义

第二讲间接效用函数与支出函数

第一节间接效用函数

一、间接效用函数的定义

直接效用函数：()

u x

价格和收入发生变化后，消费者最优选择也会发生变化从而带来消费者效用的变化。

也就是说，消费者最大化效用是收入和价格向量的函数。记这种效用函数为： 间接效用函数：()()max ,..v p y u s t y =≤x px x

()()()*,,v y u y ==p x x p

间接效用函数的政策意义：通过价格政策（

p ）和收入政

策（y ）可以控制消费者行为。

二、间接效用函数的特征：

间接效用函数),(y v p

1) 在n

+++⨯　上连续

2) 在(),y p 上零次齐次性

3) 在y 上严格递增

4) 在p 上严格递减

5) 在(),y p 上拟凹

6) 罗伊恒等式：如果(),v y p 在()00,y p 上可导，并且()

00,0v y y δδ≠p ，有：

()()

()000000,,,1,...,,i i v y p x y i n v

y y δδδδ==p p p 间接效用函数()()max ,..v y u s t y =

≤p x px x 的特征 1、间接效用函数在n

+++⨯　上连续

最大值定理：如果目标函数和约束条件在参数上连续，定义域为紧集，则值函数在参数上连续。

含义：当收入和价格有微量变化时，极大化了的效用也会有微量变化。

2、间接效用函数在(),y p 上零次齐次性

()()max

,..v y u s t y ==p x px x

间接效用函数在(),y p 上零次齐次性：

()()()0

,,,,0v t ty t v y v y t ==>p p p ()()()()()ma max ,,..x ..,u v t u v t ty s ty v t t t y y s y

t ===⇒==x p p x px x p x

px

3、间接效用函数(),v y p 对于y 严格递增，(),0v y y

δδ>p 应用包络定理：

构造拉格朗日函数()()(),L x u y λλ=+-x px

根据包络定理，()(),,v y L x y y

δδλλδδ==p ：λ的符号？ ()(){{()?00

,,000i i i L u v y p x x y δλδδλλδδδλ>>=-=⇒>⇒=>x x p 123

4.间接效用函数(),v y p 关于价格p 递减

设*i x 0,>用与（3）同样的方法可证：

**

**

i

i i

v(p,y)L(x ,)x p p λλ∂∂==-∂∂〈

5、间接效用函数(),v y p 在(),y p 上拟凸

定义A1.27：一个函数:f D →¡是拟凸函数，当且仅当对于所

有D ∈2

1X ,X ，有：)](),(m ax [)(21t X X X f f f ≤。即凸组合的函数值小于其中一个的函数值。

6、罗伊恒等式：如果(),v y p 在()00,y p 上可导，并且()00

,0v y y

δδ≠p ，有： ()()()000000,,,1,...,,i

i v y p x y i n v y y

δδδδ==p p p 。例题：

三、间接效用函数的应用

收入所得税vs.商品税

设效用函数为：12u(x ,x )=

消费者效用最大化：

1122max s.t.p x p x y +=

构造拉格朗日乘数，解得

**1

212y y x ,x 2p 2p == 如果p 1=0.25,p 2=1,y=2,代入效用函数有：

v(.)2==

1、0. 5元收入所得税

v(.)== 2、对x1征收0.25元商品税 这时x1的购买量为：

*

1

1y 2x 22p 2*0.5=== 税收总量=2*0.25=0.5。与所得税相同。

v(.)==% 商品税带来的效用损失大于所得税。 为什么？

第二节支出函数

一、 支出函数的定义

x*

给定价格p 实现某一效用水平u 所需的最小支出：

=

),(u e P ()min ,..,s t u u ≥px x x

二、希克斯需求函数

支出函数的最优解为希克斯需求函数(),h

u x p ，最小支出为(),h u px p

支出函数:n

e ++⨯

→　?为：

()()(){}

()(){}

,,,

,,min ,

..,,

,,h h n

n

e u u u u u s t u u

u u u ++=∈∈≥∈

=≥≤∈∈≥∈

p px p x x x x px x x px x x x x

两元空间支出最小化：

()()()

()()()11

1222121112221212

12,,,,,min ,,,,,

,..,,h h

e u p x p p u p x p p u p x p p u p x p p u x x s t u x x u

=+=

+≥p