对勾函数
对勾函数的性质及应用
对勾函数的性质及应用一、对勾函数by ax x=+)0,0(>>b a 的图像与性质：1. 定义域：),0()0,(+∞⋃-∞2. 值域：),2[]2,(+∞⋃--∞ab ab3. 奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状，且函数图像关于原点呈中心对称，即0)()(=-+x f x f 4. 图像在一、三象限, 当0x >时，by ax x=+≥ab 2（当且仅当b x a =取等号），即)(x f 在x=ab 时，取最小值ab 2由奇函数性质知：当x<0时，)(x f 在x=ab -时，取最大值ab 2-5. 单调性：增区间为（∞+,a b ），（a b -∞-,）,减区间是（0，ab ），（a b -,0）二、对勾函数的变形形式 类型一：函数by axx=+)0,0(<<b a 的图像与性质 1.定义域：),0()0,(+∞⋃-∞ 2.值域：),2[]2,(+∞⋃--∞ab ab3.奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状.4.图像在二、四象限, 当x<0时，)(x f 在x=ab 时，取最小值ab 2；当0x >时，)(x f 在x=ab -时，取最大值ab 2-5.单调性：增区间为（0，a b ），（a b -,0）减区间是（∞+,ab ），（a b -∞-,）,类型二：斜勾函数by ax x =+)0(<ab①0,0<>b a 作图如下1.定义域：),0()0,(+∞⋃-∞2.值域：R3.奇偶性：奇函数4.图像在二、四象限，无最大值也无最小值.5.单调性：增区间为（-∞，0），（0，+∞）.②0,0><b a 作图如下：1.定义域：),0()0,(+∞⋃-∞2.值域：R3.奇偶性：奇函数4.图像在二、四象限，无最大值也无最小值.5.单调性：减区间为（-∞，0），（0，+∞）.类型三：函数)0()(2>++=ac xc bx ax x f 。
对勾函数详细分析
对勾函数详细分析对勾函数是一种经典的激活函数，在人工神经网络中被广泛使用。
它的主要特点是非线性，能够接受任意实数作为输入，输出范围在0和1之间。
在本文中，我们会详细分析对勾函数的定义、数学性质、应用以及优缺点。
对勾函数的定义为 f(x) = 1 / (1 + exp(-x))，其中 exp(x) 表示自然指数函数。
这个函数的图像是在x轴上下限分别为负无穷大和正无穷大，y轴上下限分别为0和1的S形曲线。
当 x 趋近正无穷大时，f(x) 趋近于1；当 x 趋近负无穷大时，f(x) 趋近于0。
对勾函数的主要数学性质如下：1.非线性：对勾函数是一种非线性函数，这是它被广泛使用的主要原因之一、它可以通过增加网络的复杂度来学习复杂的非线性模式。
2.可微性：对勾函数是连续可导的函数，这使得它可以与其他函数进行组合，形成复杂的神经网络结构。
对勾函数的导数f'(x)可以通过对f(x)进行求导得到，其表达式为f'(x)=f(x)(1-f(x))。
3.单调性：对勾函数是单调递增的，这意味着当输入值增加时，输出值也会增加。
这种单调性有助于网络的学习过程。
对勾函数在人工神经网络中的应用非常广泛，包括但不限于以下几个方面：1.模式识别：对勾函数可以用于二分类问题的模式识别。
例如，在人脸识别中，可以使用对勾函数作为分类器来判断输入图像是人脸还是非人脸。
2.概率估计：对勾函数可以将实数映射到概率值的范围（0到1之间）。
这在机器学习中经常用于估计事件发生的概率。
3.深度学习：对勾函数是目前最流行的神经网络模型，深度神经网络中的常用激活函数。
它可以通过复杂的网络结构来学习高级的非线性模式。
虽然对勾函数有许多优点，但它也有一些缺点。
1.饱和性：当输入值较大或较小时，对勾函数的导数值会趋近于0，导致梯度消失的问题。
这会导致网络训练过程中的梯度更新过小，使得学习过程变得缓慢。
2.输出范围限制：对勾函数的输出范围为0和1之间，这意味着对勾函数不能表示负数的情况。
对勾函数
对勾函数是一种类似于反比例函数的一般双曲函数，是形如f(x)=ax+b/x（a>0）的函数。
中文名对勾函数别称耐克函数、双勾函数、对号函数、双飞燕函数表达式f(x)=ax+b/x (a>0)1定义定义所谓的对勾函数（双曲函数），是形如（a>0)的函数。
名称由图像得名，又被称为“双勾函数”、“勾函数”、"对号函数"、“双飞燕函数”等。
也被形象称为“耐克函数”或“耐克曲线”。
2性质图像对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数，见图示，在作图时最好画出渐近线最值当x>0时，有最小值（这里为了研究方便，规定a>0，b>0），也就是当时，f(x)取最小值。
奇偶性、单调性奇偶性双勾函数是奇函数。
单调性令k=，那么：增区间：{x|x≤-k}和{x|x≥k}；减区间：{x|-k≤x<0}和{x|0<x≤k}变化趋势：在y轴左边先增后减，在y轴右边先减后增，是两个勾。
渐近线对勾函数的图像是分别以y轴和y=ax为渐近线的两支曲线，且图像上任意一对勾函数点到两条渐近线的距离之积恰为渐近线夹角(0-180°)的正弦值与|b|的乘积。
3对勾函数最小值与均值不等式对勾函数性质的研究离不开均值不等式。
说到均值不等式，其实也是根据二次函数得来的。
我们都知道展开，得，即两边同时加上2ab，整理得，两边开平方，就得到了均值定理的公式：将中看做a，看做b代入上式，得这里有个规定：当且仅当ax=b/x时取到最小值，解出x=sqrt(b/a），对应的f(x)=2sqrt(ab）。
我们再来看看均值不等式，它也可以写成这样：（a+b)/2≥sqrt(ab），前式大家都知道，是求平均数的公式。
那么后面的式子呢？也是平均数的公式，但不同的是，前面的称为算术平均数，而后面的则称为几何平均数，总结一下就是算术平均数绝对不会小于几何平均数。
4导数求解其实用导数也可以研究对勾函数的性质。
对勾函数
对勾函数对勾函数，又称为符号函数，是一种常见的数学函数，其定义如下：$$f(x) = \begin{cases}1, & x>0 \\0, & x= 0 \\-1, & x<0 \\\end{cases}$$对勾函数是一个以0为界限，将实数轴分为三个区间的函数。
当$x>0$时，对勾函数的输出为1；当$x=0$时，对勾函数的输出为0；当$x<0$时，对勾函数的输出为-1。
对勾函数在数学和应用领域都有广泛的应用。
在数学上，它常被用来描述分段函数的行为或定义符号。
在实际应用中，对勾函数可以用来表示正负号、描述一些变化的特征等。
首先，让我们来看一下对勾函数的一些基本性质。
对勾函数是一个分段函数，其图像可以用一条竖直的线段来表示。
当$x>0$时，对勾函数的取值为1，表示正号；当$x=0$时，对勾函数的取值为0；当$x<0$时，对勾函数的取值为-1，表示负号。
这一特性使得对勾函数在描述正负关系时非常方便，例如在表示数轴上的正负数时，我们可以使用对勾函数。
其次，对勾函数还可以用来描述一些变化的特征。
在某些数学问题中，我们需要考虑某个变量的增减性或者是一个函数在不同区间的取值情况。
对勾函数可以帮助我们简洁地描述这些特征。
以$x$为自变量的函数$f(x)$为例，如果我们想要描述$f(x)$在不同区间的增减性，我们可以将$x$的取值范围分为多个区间，并在每个区间里使用对勾函数来表示该区间内$f(x)$的增减性。
这样一来，我们可以更加清晰地描述函数的特性。
此外，对勾函数在数学问题的解法中也有一定的应用。
在某些问题中，我们需要考虑多个条件的约束，而对勾函数可以帮助我们将这些条件转化为可计算的形式。
例如，在一些最优化问题中，我们希望找到一个变量的取值范围，在这个范围内函数取得最大或最小值。
这时，我们可以将这个范围用对勾函数表示出来，然后通过对这个函数进行求导、分析等数学方法来求解问题。
换元法之对勾函数(双飘函数)模型
再次换元 （注意范围）
t
x
4
1
,
S
3 2
( x2
2x x
1)
3 2
(x
1 x
2)
Hale Waihona Puke 8y= x 1 在（3，+∞)为增函数，
x
头重脚轻分式，
S 8
对勾模型
三、高考真题
3 1
三、高考真题
43
四、课堂小结与作业布置
（一）课堂小结
1.对勾函数和飘带函数模型是高考的热门考点，一般这种题型用换元法来处理，再进一步转化用对勾函数图像性 质或基本不等式处理.
复合型
y
ax
1 ax
(
y
ax
ax
)
为偶函数）
③单调区间：当a>0,b>0时单调递增区间： ,
b a
，
b a
,
，单调递减区间：
ba，0
，
0，
b a
；
当a<0,b<0时单调递增区间： ba，0
④值域：, 2 ab 2 ab,
，当且仅当
ax
b x
，即
，0，ba
x b a
，单调递减区间： ,
微专题：
双飘函数
一、对勾函数的性质与图像
对 对勾函数是一种类似于反比例函数的一般双曲函数，又被称为“双勾函数”、“对勾函数”、“耐克函数”；
对勾函数是形如
f (x) ax b x
（ ab 0 ）的函数，常见
y
x
4 x
，
y 2x 3 x
；
对勾函数考点：①定义域： ，0，0， ； ②奇偶性：奇函数；（
对勾函数
对勾函数图象性质对勾函数:数学中一种常见而又特殊的函数。
如图一、对勾函数f(x)=ax+ 的图象与性质对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。
它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。
(一) 对勾函数的图像对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+（接下来写作f(x)=ax+b/x）。
当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x是正比例函数f(x)=ax与反比例函数f(x)= b/x “叠加”而成的函数。
这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。
当a，b同号时，f(x)=ax+b/x的图象是由直线y＝ax与双曲线y= b/x构成，形状酷似双勾。
故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。
如下图所示：a>0 b>0 a<0 b<0对勾函数的图像（ab同号）当a，b异号时，f(x)=ax+b/x的图象发生了质的变化。
但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。
（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。
）对勾函数的图像（ab异号）一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。
接下来，为了研究方便，我们规定a>0，b>0。
之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了。
(二) 对勾函数的顶点对勾函数性质的研究离不开均值不等式。
利用均值不等式可以得到： 当x>0时，。
当x<0时，。
即对勾函数的定点坐标：(三) 对勾函数的定义域、值域由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。
(四) 对勾函数的单调性(五) 对勾函数的渐进线由图像我们不难得到：(六) 对勾函数的奇偶性 ：对勾函数在定义域内是奇函数， 二、类耐克函数性质探讨 函数xbax y +=，在时或00==b a 为简单的单调函数，不予讨论。
对勾函数(目前最全面的版本了吧)
对勾函数f(x)=ax+的图象与性质繁华分享对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。
它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。
(一) 对勾函数的图像对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+（接下来写作f(x)=ax+b/x）。
当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x是正比例函数f(x)=ax与反比例函数f(x)= b/x“叠加”而成的函数。
这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。
当a，b同号时，f(x)=ax+b/x的图象是由直线y＝ax与双曲线y= b/x构成，形状酷似双勾。
故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。
如下图所示：a>0 b>0 a<0 b<0对勾函数的图像（ab同号）当a，b异号时，f(x)=ax+b/x的图象发生了质的变化。
但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。
（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。
）对勾函数的图像（ab异号）一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。
接下来，为了研究方便，我们规定a>0，b>0。
之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了。
(二)对勾函数的顶点对勾函数性质的研究离不开均值不等式。
利用均值不等式可以得到：当x>0时，。
当x<0时，。
即对勾函数的定点坐标：(三)对勾函数的定义域、值域由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。
(四)对勾函数的单调性(五)对勾函数的渐进线由图像我们不难得到：(六)对勾函数的奇偶性对勾函数在定义域内是奇函数，yXOy=ax。
对勾函数模型
第十周对勾函数模型重点知识梳理1．对勾函数定义对勾函数是指形如：y＝ax＋bx(ab>0)的一类函数，因其图象形态极像对勾，因此被称为“对勾函数”，又被称为“双勾函数”、“勾函数”、“耐克函数”或“耐克曲线”．2．对勾函数y＝ax＋bx(a>0，b>0)的性质(1)定义域：(－∞，0)∪(0，＋∞)．(2)值域：(－∞， ]∪[，＋∞)．(3)奇偶性：在定义域内为奇函数．(4)单调性：(－∞，－ba)，(ba，＋∞)上是增函数；(－ba，0)，(0，ba)上是减函数．(5)渐近线：y轴与y=ax(或y=-ax)3．y＝ax＋bx(a>0，b>0)的单调区间的分界点：±ba.求分界点方法：令ax＝bx?x＝±ba.特殊的，a>0时，y＝x＋ax的单调区间的分界点：±a.4．对勾函数应用时主要是利用对勾函数单调性求其最值，解题时要先找出对应的单调区间，然后求解．5．利用对勾函数求最值，常常用到如下的重要不等式：若a>0，b>0，则x>0时，ax＋bx≥2ab.当且仅当ax＝bx，x＝ba时取等号．在应用这个不等式时，要注意使用的前提条件是“一正、二定、三相等”，即加号两边的项ax和bx都是正项，且二者乘积为定值，同时ax＝bx中等号可取到．若等号取不到，则应根据对勾函数单调性求解．典型例题剖析例1 已知f(x)＝x＋5x，求f(x)在下列区间的最小值．(1)[1,2]; (2)[3,4]; (3)[－3，－1]．．【解析】如图，f(x)在 (－∞，－5)，(5，＋∞)上是增函数，在(－5，0)，(0，5)上是减函数．(1)由对勾函数性质可知f(x)在[1,2]上单调递减，∴f(x)min＝f(2)＝412.(2)因为f(x)在[3,4]上单调递增，所以f(x)min＝f(3)＝423.(3)因为f(x)在[－3，－5 ]上单调递增，在(－5，－1]上单调递减，且f(－3)＝－423，f(－1)＝－6，所以f(x)min＝－6.变式训练已知函数f(x)＝x2＋5x2＋4，求f(x)的最小值，并求此时x的值．【解析】f(x)＝x2＋5x2＋4＝x2＋4＋1x2＋4＝x2＋4＋1x2＋4令t＝x2＋4，则t≥2，y＝t＋1t.∵y＝t＋1t在[2，＋∞)单调递增，∴当t＝2时，y min＝2＋12＝52，此时，x2＋4＝2，x＝0.综上，f(x)的最小值为52，此时x的值为0.例2 求函数f(x)＝x2－2x－1x＋2(0≤x≤3)的值域．【解析】令t＝x＋2，则x＝t－2, 2≤t≤5，y＝(t－2)2－2(t－2)－1t＝t2－6t＋7t＝t＋7t－6,2≤t≤5.∵y＝t＋7t－6在[2，7 ]上单调递减，在[7， 5]上单调递增，∴当t＝7时，y min＝27－6，且当t＝2时，y＝2＋72－6＝－12，当t＝5时，y＝5＋75－6＝25，∴y max＝25.综上，f(x)的值域为[27－6，25]．变式训练求函数f(x)＝x2－4x＋12x－1，x∈[]2，5的值域．【解析】f(x)＝x2－4x＋12x－1＝(x－1)2－2(x－1)＋9x－1＝x－1＋9x－1－2，令t＝x－1，则f(t)＝t＋9t－2，t∈[1,4]．．结合y＝t＋9t的图象与性质，可知当t∈[1,3]时，函数单调递减，当t∈[3,4]时，函数单调递增，又f(1)＝8，f(3)＝4，f(4)＝174，所以f(x)∈[4,8]．．例3 某工厂去年的某产品的年产量为100万只，每只产品的销售价为10元，固定成本为8元．今年，工厂第一次投入100万元(科技成本)，并计划以后每年比上一年多投入100万元(科技成本)，预计产量年递增10万只，第n次投入后，每只产品的固定成本为g(n)＝kn＋1(k>0，k为常数，n∈Z且n≥0)，若产品销售价保持不变，第n次投入后的年利润为f(n)万元．(1)求k的值，并求出f(n)的表达式；(2)问从今年算起第几年利润最高？最高利润为多少万元？【解析】(1)由g(n)＝kn＋1，当n＝0时，由题意，可得k＝8，所以f(n)＝(100＋10n)(10－8n＋1)－100n(n∈Z且n≥0)．(2)由f(n)＝(100＋10n)(10－8n＋1)－100n＝1 000－80(n＋1＋9n＋1)≤1 000－80×29＝520，当且仅当n＋1＝9n＋1，即n＝8时取等号，所以第8年工厂的利润最高，最高为520万元．变式训练建筑一个容积为800米3，深8米的长方体水池(无盖)．池壁，池底造价分别为a元/米2和2a元/ 米2.底面一边长为x米，总造价为y.写出y与x的函数式，问底面边长x为何值时总造价y最低，是多少？【解析】长方体底面积S＝8008＝100米2，地面一边长为x米，因此另一边长为100x米，池壁总面积为8·(2x＋200x)米2，∴总造价y＝100×2a＋(2x＋200x)·8·a＝200a＋16a(x＋100x)(x>0)．∵函数y＝200a＋16a(x＋100x)在(0,10]上是减函数，在(10，＋∞)上是增函数，∴当x＝10时，总造价最低，且y min＝520a(元)．跟踪训练1．下列函数中最小值是4的是( )A．y＝x＋4xB．y＝x＋2xC．y＝21＋x＋21－xD．y＝x2＋1x2＋1＋3，(x≠0)2．函数y＝x＋4x，x∈(1,3]的值域为( )A．[133，5)B．[4,5)C．[133，4)D．(4,5)3．函数y＝－x＋41－x＋3，x∈[)－1，0的值域为____________．．4．y＝2x2＋31＋x2的最小值是________．．5．已知x>0，则2＋x＋4x的最小值是________．．6．函数y＝x＋3x在区间[1,2]上的最小值为____________．．7．若函数y＝x＋a x(a＞0)在区间(5，＋∞)上单调递增，则a∈________________.8．建造一个容积为8m3，深为2 m的无盖水池，如果池底与池壁的造价每平方米分别是120元和80元，则水池的最低造价为____________元．9．某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD，公园由长方形休闲区A1B1C1D1和环公园人行道(阴影部分)组成．已知休闲区A1B1C1D1的面积为4 000 m2，人行道的宽分别为4 m和10 m(如图所示)．(1)若设休闲区的长和宽的比A1B1B1C1＝x，求公园ABCD所占面积S关于x的函数解析式；(2)要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1的长和宽应如何设计？10．如图，某单位准备修建一个面积为600平方米的矩形场地(图中ABCD)的围墙，且要求中间用围墙EF隔开，使得ABEF为矩形，EFDC为正方形，设AB＝x米，已知围墙(包括EF)的修建费用均为800元每米，设围墙(包括EF)的修建总费用为y元．(1)求出y关于x的函数解析式；(2)当x为何值时，设围墙(包括EF)的的修建总费用y最小？并求出y的最小值．11．已知函数f(x)＝x2＋2x＋3x (x∈[2，＋∞))．(1)求f(x)的最小值；(2)若f(x)>a恒成立，求a的取值范围．12．已知函数f(x)＝x＋ax，x∈[1，＋∞)，a>0.(1) 当a＝12时，求函数f(x)的最小值；(2) 若函数f(x)的最小值为4，求实数a.13．为了降低能源损耗，某体育馆的外墙需要建造隔热层．体育馆要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系：C(x)＝k3x＋ 5 (0≤x≤10，k为常数)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小？并求出最小值．参考答案1．C A选项，由于x可取负值，显然最小值不是4，排除A；B选项，由于x可取负值，显然最小值也不是4，排除B；C选项，由于y＝2·2x＋22x＝2(2x＋12x)，换元，令t＝2x，t>0，则y＝2(t＋1t)≥4，当且仅当t＝1即x＝0时，函数有最小值4，D选项，由于y＝x2＋1x2＋1＋3＝x2＋1＋1x2＋1＋2，换元，令t＝x2＋1，t>1，则y＝t＋1t＋2，函数在(1，＋∞)上单调递增，因此y>4，排除D选项．综上，答案为C.2．B 由对勾函数性质可知，当x＝4x，即x＝2时，表达式有最小值4，又函数在(1,2)上单调递减，在(2,3]上单调递增，f(1)＝5，f(3)＝3＋43＝133，所以值域为[4,5)，答案为B.3．[6,7)解析y＝－x＋41－x＋3＝1－x＋41－x＋2，换元，令t＝1－x，则x∈[)－1，0时t∈(1,2]，y＝t＋4t＋2，函数在(1,2]上单调递减，若t＝1，则y＝1＋41＋2＝7，若t＝2，则y＝2＋42＋2＝6，故函数值域为[6,7)．4．26－2解析换元，令t＝1＋x2，则t≥1，x2＝t－1，y＝2(t－1)＋3t＝2t＋3t－2，函数在[1，32]上单调递减，在[32，＋∞)上单调递增，所以当t＝32时，函数有最小值26－2.5．6解析由对勾函数性质可知，当x＝4x，即x＝2时，表达式有最小值6.6．23解析因为y＝x＋3x在区间[1, 3 ]上单调递减，在[3，2]上单调递增，所以当x＝3时函数有最小值23.7．(0,5]8．1 760解析池底面积为82＝4 cm2，设池底宽为x cm，则长为4x cm，则水池的造价为4×120＋2(4x×2＋x×2)×80＝480＋1 280x＋320x≥480＋21 280x×320x＝1 760.9．解析 (1)设休闲区的宽为a米，则其长为ax米．由a2x＝4 000，得a＝2010，则S＝(a＋8)(ax＋20)＝a2x＋(8x＋20)a＋160＝4 000＋(8x＋20)·2010x＋160＝8010(2x＋5x)＋4 160，即S＝8010(2x＋5x)＋4 160.(2)S＝8010(2x＋5x)＋4 160≥16010·10＋4 160＝ 5 760，当且仅当2x＝5x，即x＝2.5时取等号，此时a＝40，ax＝100.所以要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1应设计为长100米，宽40米．10．解析 (1)设AD＝t米，则由题意得xt＝600，且t>x，故t＝600x>x，可得0<x<106，则y＝800(3x＋2t)＝800(3x＋2×600x)＝2 400(x＋400x)，所以y关于x的函数解析式为y＝2 400(x＋400x)(0<x<106)．(2)y＝2400(x＋400x)≥2 400×2x·400x＝96 000，当且仅当x＝400x，即x＝20时等号成立．故当x为20米时，y最小．y的最小值为96 000元．11．解析 (1)任取x1，x2∈[2，＋∞)，且x1<x2，f(x)＝x＋3x＋2.则f(x1)－f(x2)＝(x1－x2) (1－3x1x2)，∵x1<x2，∴x1－x2<0，又∵x1≥2，x2>2，∴x1x2>4,1－3x1x2>0，∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)．故f(x)在[2，＋∞)上是增函数，∴当x＝2时，f(x)有最小值f(2)＝11 2.(2)∵f(x)>a恒成立，∴只需f(x)min>a.又∵f(x)min＝112，∴a<11 2.12．解析 (1) a＝12时，f(x)＝x＋12x，x∈[1，＋∞)．令x＝12x(x>0)，得x＝22?[1，＋∞)，∴不能用不等式求最值．设1≤x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)＋(12x1－12x2)＝(x1－x2)(1－12x1x2)<0，∴函数f(x) 在[1，＋∞)上是单调递增函数，∴f min(x)＝f(1)＝32.(2)当0<a<1时，令x＝ax，得x＝a<1,∵a?[1，＋∞) ，∴类似于(1)可知函数f(x)在[1，＋∞)上是单调递增函数，∴f min(x)＝f(1)＝1＋a＝4，得a＝3，与0<a<1不符(舍)；当a≥1时，a≥1，∴由不等式知x＋ax≥2a，当x＝ax，即x＝a时，f min(x)＝2a＝4，解得a＝4.综上所述，函数f(x)的最小值为4时，a＝4.13．解析 (1)依题意，当x＝0 时，C＝8，∴k＝40 ，∴C(x)＝403x＋5，∴f(x)＝6x＋20×403x＋5＝6x＋8003x＋5(0≤x≤10)．(2)f(x)＝2(3x＋5)＋8003x＋5－10，设3x＋5＝t，t∈[5,35]，∴y＝2t＋800t－10≥22t·800t－10＝70，当且仅当2t＝800t，即t＝20时等号成立．这时x＝5 ，因此f(x)的最小值为70.即隔热层修建5 cm厚时，总费用f(x)达到最小，最小值为70万元．特殊对勾函数f(x)＝x＋x1234f(x)4322234‘'(1)定义域：(－∞，0)∪(0，＋∞)．(2)值域：(－∞，-2 ]∪[2，＋∞)．(3)奇偶性：在定义域内为奇函数．(4)单调性：(－∞，－1)，(1，＋∞)上↗；(－1，0)，(0，1)上↘．(5)分界点(拐点)坐标P(1,2) ; Q(-1,-2)(6)渐近线(7)Y=x和x=0。
对勾函数专题讲解
对勾函数专题讲解专题：对勾函数及其应用1.对勾函数定义对勾函数是指形如 y = ax + (a>0.b>0) 的一类函数，因其图像形态极像对勾，因此被称为“对勾函数”。
2.对勾函数 y = ax + (a>0，b>0) 的性质1) 定义域：(-∞。
0) ∪ (0.+∞)。
2) 值域：(-∞。
-2ab] ∪ [2ab。
+∞)。
3) 奇偶性：在定义域内为奇函数。
4) 单调性：(-∞。
-a/b)，(a/b。
+∞) 上是增函数；(-a/b。
0)，(0.a/b) 上是减函数。
3.对勾函数 y = ax + (a>0，b>0) 的单调区间的分界点：±a/b。
求分界点方法：令 ax = 0，即可得到 x = ±a/b。
特殊的，当 a>0 时，y = x + 的单调区间的分界点为 ±a。
4.对勾函数应用时主要是利用其单调性求其最值，解题时要先找出对应的单调区间，然后求解。
5.利用对勾函数求最值，常常用到如下的重要不等式：若 a>0，b>0，则 x>0 时，ax + b ≥ 2ab。
当且仅当 ax = b，x = a/b 时取等号。
例1：已知 f(x) = x + (x>0)，求 f(x) 在下列区间的最小值：(1) [1,2]。
(2) [3,4]。
(3) [-3,-1]。
变式训练：已知函数 f(x) = x^2 - 2x - 1，求其值域。
例2：求函数 f(x) = (x+2)/((1+x^2)(x^2+5)) 的最小值，并求此时 x 的值。
变式训练：求函数 f(x) = (x-1)/(x-1) 的值域。
强化训练：1.下列函数中最小值是 4 的是 ()。
A。
y = x^4 + x^2B。
y = x^4 + xC。
y = x^4 - xD。
y = x^2 + 42.函数 y = x/(x^2+1)。
x∈(1,3] 的值域为 ()。
对勾函数知识点
对勾函数知识点对勾函数是一种常见的数学函数，也是离散数学中的一个重要概念。
它在逻辑学、集合论等领域有着广泛的应用。
本文将从对勾函数的定义、性质以及实际应用等方面进行介绍，以帮助读者更好地理解和运用对勾函数。
一、对勾函数的定义和性质对勾函数，又称为特征函数、示性函数或指示函数，是一种从一个集合到一个二元集合（通常是{0, 1}）的函数。
对于给定的集合A，对勾函数的定义如下：f(x) = {1, if x ∈ A;0, if x ∉ A.其中，x表示集合A中的元素，∈表示属于的关系。
对勾函数的性质如下：1. 对勾函数的值只能是0或1，表示元素是否属于集合A。
2. 对勾函数是一种离散函数，它只对集合A中的元素有定义。
3. 对勾函数是一种分段函数，对于集合A中的元素，对勾函数的值为1，对于不属于集合A的元素，对勾函数的值为0。
4. 对勾函数的定义域是集合A的全体元素组成的集合，值域是{0, 1}。
二、对勾函数的实际应用对勾函数在逻辑学、集合论以及计算机科学等领域有着广泛的应用。
下面我们将介绍对勾函数在这些领域中的具体应用。
1. 逻辑学中的应用：在逻辑学中，对勾函数常被用来表示命题的真假。
如果一个命题为真，则对应的对勾函数值为1；如果一个命题为假，则对应的对勾函数值为0。
通过对勾函数，我们可以方便地进行逻辑推理和证明。
2. 集合论中的应用：对勾函数在集合论中起到了重要的作用。
通过对勾函数，我们可以方便地表示集合之间的关系和运算。
例如，两个集合的交集可以用对勾函数表示为两个对勾函数的乘积；两个集合的并集可以用对勾函数表示为两个对勾函数的最大值。
3. 计算机科学中的应用：对勾函数在计算机科学中有着广泛的应用。
例如，在算法设计中，对勾函数可以用来表示某个元素是否满足某个条件，从而方便地进行选择和判断。
在数据结构中，对勾函数可以用来表示一个集合是否为空，从而实现集合的操作和处理。
三、对勾函数的扩展除了上述介绍的基本对勾函数外，还有一些对勾函数的扩展形式。
对勾函数
对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数。
所谓的对勾函数，是形如f(x)=ax+b/x的函数，是一种教材上没有但考试老喜欢考的函数，所以更加要注意和学习。
一般的函数图像形似两个中心对称的对勾，故名。
当x>0时，f(x)=ax+b/x有最小值（这里为了研究方便，规定a>0，b>0），也就是当x=sqrt(b/a)的时候（sqrt表示求二次方根）。
同时它是奇函数，就可以推导出x<0时的性质。
令k=sqrt(b/a)，那么，增区间：{x|x≤-k}∪{x|x≥k}；减区间：{x|-k≤x<0}∪{x|0<x≤k}。
由单调区间可见，它的变化趋势是：在y 轴左边，增减，在y轴右边，减增，是两个勾。
对勾函数性质的研究离不开均值不等式。
说到均值不等式，其实也是根据二次函数得来的。
我们都知道，(a-b)2≥0，展开就是a2-2ab+b2≥0，有a2+b2≥2ab，两边同时加上2ab，整理得到(a+b)2≥4ab，同时开根号，就得到了平均值定理的公式：a+b≥2sqrt(ab)。
现在把ax+b/x套用这个公式，得到ax+b/x≥2sqrt(axb/x)＝2sqrt(ab)，这里有个规定：当且仅当ax=b/x时取到最小值，解出x=sqrt(b/a)，对应的f(x)=2sqrt(ab)。
我们再来看看均值不等式，它也可以写成这样：(a+b)/2≥sqrt(ab)，前式大家都知道，是求平均数的公式。
那么后面的式子呢？也是平均数的公式，但不同的是，前面的称为算术平均数，而后面的则称为几何平均数，总结一下就是算术平均数绝对不会小于几何平均数。
这些知识点也是非常重要的。
其实用导数也可以研究对勾函数的性质。
不过首先要会负指数幂的换算，这也很简单，但要熟练掌握。
举几个例子：1/x=x-1，4/x2=4x-2。
明白了吧，x为分母的时候可以转化成负指数幂。
那么就有f(x)=ax+b/x=ax+bx-1，求导方法一样，求的的导函数为a+(-b)x-2，令f'(x)=0，计算得到b=ax2，结果仍然是x=sqrt(b/a)，如果需要的话算出f(x)就行了。
对勾函数
对勾函数图象性质对勾函数:数学中一种常见而又特殊的函数。
如图一、对勾函数f(x)=ax+的图象与性质对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。
它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。
(一) 对勾函数的图像对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+（接下来写作f(x)=ax+b/x ）。
当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x 是正比例函数f(x)=ax 与反比例函数f(x)= b/x “叠加”而成的函数。
这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。
当a ，b 同号时，f(x)=ax+b/x 的图象是由直线y ＝ax 与双曲线y= b/x 构成，形状酷似双勾。
故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。
如下图所示：当a ，b 异号时，f(x)=ax+b/x 的图象发生了质的变化。
但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。
（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。
）一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。
接下来，为了研究方便，我们规定a>0，b>0。
之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了。
a>0 b>0 a<0 b<0 对勾函数的图像（ab 同号） 对勾函数的图像（ab 异号）(二) 对勾函数的顶点对勾函数性质的研究离不开均值不等式。
利用均值不等式可以得到： 当x>0时，。
当x<0时，。
即对勾函数的定点坐标：(三) 对勾函数的定义域、值域由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。
(四) 对勾函数的单调性(五) 对勾函数的渐进线由图像我们不难得到：(六) 对勾函数的奇偶性 ：对勾函数在定义域内是奇函数， 二、类耐克函数性质探讨 函数xbax y +=，在时或00==b a 为简单的单调函数，不予讨论。
对勾函数
对勾函数图象性质对勾函数:数学中一种常见而又特殊的函数。
如图一、对勾函数f(x)=ax+ 错误！未找到引用源。
的图象与性质对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。
它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。
(一) 对勾函数的图像对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+错误！未找到引用源。
（接下来写作f(x)=ax+b/x ）。
当a ≠0，b ≠0时，f(x)=ax+b/x 是正比例函数f(x)=ax 与反比例函数f(x)= b/x “叠加”而成的函数。
这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。
当a ，b 同号时，f(x)=ax+b/x 的图象是由直线y ＝ax 与双曲线y= b/x 构成，形状酷似双勾。
故称“对勾函数”，如下图所示：当a ，b 异号时，f(x)=ax+b/x 的图象发生了质的变化。
但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。
（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。
）a>0 b>0 a<0 b<0对勾函数的图像（ab 同号）一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。
接下来，为了研究方便，我们规定a>0，b>0。
之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了。
对勾函数的顶点对勾函数性质的研究离不开均值不等式。
利用均值不等式可以得到：当x>0时，错误！未找到引用源。
当x<0时，。
即对勾函数的定点坐标：对勾函数的定义域、值域对勾函数的图像（ab异号）由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。
对勾函数的单调性对勾函数的渐进线由图像我们不难得到：对勾函数的奇偶性 ：对勾函数在定义域内是奇函数， 二、关于求函数()01>+=x x x y 最小值的十种解法1. 均值不等式0>x ，∴21≥+=x x y ，当且仅当x x 1=，即1=x 的时候不等式取到“=”。
高中数学：对勾函数
高中数学：对勾函数
（一）对勾函数:数学中一种常见而又特殊的函数。
如图
两种情况的图像是关于y轴成轴对称。
（二）对勾函数的顶点
对勾函数性质的研究离不开均值不等式。
利用均值不等式可以得到：
当x>0时，
当x＜0时，
即对勾函数的定点坐标：
(三) 对勾函数的定义域、值域
由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。
定义域：x≠0
值域：
（四）对勾函数的单调性：参考函数图像
(五) 对勾函数的渐进线
(六) 对勾函数的奇偶性：对勾函数在定义域内是奇函数
练习：
▍ ▍ ▍▍。
对勾函数知识点
对勾函数知识点对勾函数是数学中的一种特殊函数，也被称为单位阶跃函数或者阶跃函数。
它在实数轴上以0为起点，以1为终点，形状类似于一个对勾的形状，因此得名对勾函数。
对勾函数的定义如下：对于实数x，对勾函数的值y为：当x小于0时，y等于0；当x等于0时，y等于1；当x大于0时，y等于1。
对勾函数可以用符号表示为：y = u(x)其中u(x)表示对勾函数，x是实数，y是对勾函数的值。
对勾函数在数学和工程中有着广泛的应用。
首先，对勾函数在信号与系统中起着重要的作用。
在控制系统中，对勾函数常用来表示系统的输入和输出之间的关系。
在电路分析中，对勾函数可以用来表示开关电路的状态，例如开关闭合时电路有电流通过，开关断开时电路中没有电流通过。
对勾函数在微积分中也有重要的应用。
对勾函数是一个分段函数，在不同的区间内具有不同的性质。
通过对勾函数的求导和积分，可以得到其他一些常用的函数。
对勾函数的导数是冲激函数，而对勾函数的积分则是斜坡函数。
在数学分析和函数逼近中，对勾函数也常被用作函数的近似表示。
对于一个复杂的函数，可以用对勾函数的线性组合来逼近它的形状，从而简化计算和分析过程。
对勾函数还可以用来描述一些实际问题。
例如，在经济学中，对勾函数可以用来表示市场需求函数或者供给函数。
在生物学中，对勾函数可以用来表示生物体对刺激的响应程度。
总结起来，对勾函数是一种特殊的函数，具有明确的定义和特点。
它在信号与系统、微积分、函数逼近以及其他一些领域中都有广泛的应用。
通过对勾函数的研究和应用，可以更好地理解和解决实际问题，推动数学和工程的发展。
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对勾函数
f(x)=ax+的图象与性质
对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。
它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。
(一) 对勾函数的图像
对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+（接下来写作f(x)=ax+b/x ）。
当a ≠0，b ≠0时，f(x)=ax+b/x 是正比例函数f(x)=ax 与反比例函数f(x)= b/x “叠加”而成的函数。
这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。
当a ，b 同号时，f(x)=ax+b/x 的图象是由直线y ＝ax 与双曲线y= b/x 构成，形状酷似双勾。
故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。
如下图所示：
当a ，b 异号时，f(x)=ax+b/x 的图象发生了质的变化。
但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。
（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。
）
一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。
接下来，为了研究方便，我们规定a>0，b>0。
之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了。
(二) 对勾函数的顶点
对勾函数性质的研究离不开均值不等式。
利用均值不等式可以得到：
当x>0时，。
a>0 b>0 a<0 b<0 对勾函数的图像（ab 同号）
对勾函数的图像（ab 异号）
当x<0时，。
即对勾函数的定点坐标：
(三)对勾函数的定义域、值域
由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。
(四)对勾函数的单调性
(五)对勾函数的渐进线
由图像我们不难得到：
(六)对勾函数的奇偶性
对勾函数在定义域内是奇函数，
X。