第4章___数字滤波器设计要点
数字滤波器的设计与优化方法
数字滤波器的设计与优化方法数字滤波器是一种用于信号处理的重要工具，广泛应用于通信、图像处理、音频处理等领域。
它能够实现对信号的去噪、平滑、提取等功能，可以有效地改善信号的质量和准确性。
在数字滤波器的设计和优化过程中，有多种方法和技巧可以帮助我们获得更好的滤波效果。
一、数字滤波器的基本原理数字滤波器是利用数字信号处理的方法对模拟信号进行滤波处理的一种滤波器。
它可以通过对信号进行采样、量化、数字化等步骤将模拟信号转换为数字信号，并在数字域上进行滤波处理。
数字滤波器通常由滤波器系数和滤波器结构两部分组成。
滤波器系数决定了滤波器的频率响应特性，滤波器结构决定了滤波器的计算复杂度和实现方式。
二、数字滤波器的设计方法1. 滤波器设计的基本流程（1）确定滤波器的性能指标和要求，如截止频率、通带增益、阻带衰减等；（2）选择合适的滤波器类型和结构，如FIR滤波器、IIR滤波器等；（3）设计滤波器的系数，可以通过窗函数法、最小二乘法、频率采样法等方法来实现；（4）验证滤波器的性能指标是否满足要求，可以通过频率响应曲线、时域响应曲线等方式进行。
2. 滤波器设计的常用方法（1）窗函数法：通过在频域上选择合适的窗函数，在时域上将滤波器的频率响应通过傅里叶变换推导出来。
（2）最小二乘法：通过最小化滤波器的输出与期望响应之间的误差，得到最优的滤波器系数。
（3）频率采样法：直接对滤波器的频率响应进行采样，在频域上选取一组离散频率点，并要求滤波器在这些频率点上的响应与期望响应相等。
三、数字滤波器的优化方法数字滤波器的优化方法主要包括滤波器结构的优化和滤波器性能的优化。
1. 滤波器结构的优化滤波器的结构优化是指通过改变滤波器的计算结构和参数，以降低滤波器的计算复杂度和存储需求，提高滤波器的实时性和运行效率。
常见的滤波器结构包括直接型结构、级联型结构、并行型结构等，可以根据具体需求选择合适的结构。
2. 滤波器性能的优化滤波器的性能优化是指通过选择合适的设计方法和参数，以获得更好的滤波效果。
实验四FIR数字滤波器的设计
实验四FIR数字滤波器的设计
FIR（有限冲击响应）数字滤波器是一种常见的数字信号处理器件，
可以用于滤波、降噪等应用。
下面是一种FIR数字滤波器的设计流程：
1.确定滤波器的需求：首先确定需要滤除的频率范围和滤波的类型，
例如低通、高通、带通、带阻等等。
2.设计滤波器的频率响应：根据滤波器的需求，设计其理想的频率响应。
可以使用窗函数、最小二乘法等方法获得一个理想的滤波器响应。
3.确定滤波器的阶数：根据设计的频率响应，确定滤波器的阶数。
阶
数越高，滤波器的响应越陡峭，但计算复杂度也会增加。
4.确定滤波器的系数：根据滤波器的阶数和频率响应，计算滤波器的
系数。
可以使用频域窗函数或时域设计方法。
5.实现滤波器：根据计算得到的滤波器系数，实现滤波器的计算算法。
可以使用直接形式、级联形式、传输函数形式等。
6.评估滤波器的性能：使用所设计的FIR滤波器对输入信号进行滤波，评估其滤波效果。
可以使用频率响应曲线、幅频响应、群延时等指标进行
评估。
7.调整滤波器设计：根据实际的滤波效果，如果不满足需求，可以调
整滤波器的频率响应和阶数，重新计算滤波器系数，重新实现滤波器。
以上是FIR数字滤波器的基本设计流程，设计过程中需要考虑滤波器
的性能、计算复杂度、实际应用需求等因素。
数字滤波器设计与实现
数字滤波器设计与实现数字滤波器是一种用于信号处理的重要工具，它可以对信号进行滤波、去噪和频率分析等操作。
在现代通信、音频处理、图像处理等领域，数字滤波器的应用越来越广泛。
本文将探讨数字滤波器的设计与实现，介绍其基本原理和常见的实现方法。
一、数字滤波器的基本原理数字滤波器是通过对信号进行采样和离散处理来实现的。
它的基本原理是将连续时间域的信号转化为离散时间域的信号，然后对离散信号进行加权求和，得到滤波后的输出信号。
数字滤波器的核心是滤波器系数，它决定了滤波器的频率响应和滤波效果。
常见的数字滤波器类型包括低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器和带阻滤波器等。
不同类型的滤波器有不同的滤波特性，可以根据实际需求选择合适的滤波器类型。
二、数字滤波器的设计方法数字滤波器的设计方法有很多种，其中最常用的方法是基于频域分析和时域分析。
频域分析方法主要包括傅里叶变换法和Z变换法，时域分析方法主要包括差分方程法和脉冲响应法。
1. 傅里叶变换法傅里叶变换法是一种基于频域分析的设计方法，它将信号从时域转换到频域，通过对频域信号进行滤波来实现去噪和频率分析等操作。
常用的傅里叶变换方法有快速傅里叶变换（FFT）和离散傅里叶变换（DFT）等。
2. 差分方程法差分方程法是一种基于时域分析的设计方法，它通过对滤波器的差分方程进行求解，得到滤波器的传递函数和滤波器系数。
差分方程法适用于各种类型的数字滤波器设计，具有较高的灵活性和可调性。
三、数字滤波器的实现方法数字滤波器的实现方法有很多种，常见的实现方法包括有限冲激响应（FIR）滤波器和无限冲激响应（IIR）滤波器等。
1. FIR滤波器FIR滤波器是一种基于有限冲激响应的滤波器，它的特点是稳定性好、相位响应线性和易于设计。
FIR滤波器可以通过窗函数法、频率采样法和最小二乘法等方法进行设计。
FIR滤波器的实现较为简单，适用于实时滤波和高精度滤波等应用。
2. IIR滤波器IIR滤波器是一种基于无限冲激响应的滤波器，它的特点是具有较窄的带宽和较高的滤波效果。
如何设计电子电路的数字滤波器
如何设计电子电路的数字滤波器数字滤波器在电子电路设计中扮演重要角色，它能够滤除数字信号中的噪声和干扰，并提取出我们感兴趣的频率成分。
本文将介绍如何设计电子电路中的数字滤波器，包括滤波器的基本原理、常见的滤波器类型以及设计流程。
1. 数字滤波器的基本原理数字滤波器的基本原理是根据滤波器的特性函数来对数字信号进行滤波操作。
滤波器的特性函数描述了滤波器对不同频率成分的响应，常用的特性函数包括低通、高通、带通和带阻等。
通过调整滤波器的特性函数，我们可以实现对特定频率范围内的信号进行滤波。
2. 常见的数字滤波器类型在实际应用中，常见的数字滤波器类型包括FIR（有限冲激响应）滤波器和IIR（无限冲激响应）滤波器。
FIR滤波器的特点是稳定性好、易于设计，而IIR滤波器的特点是计算效率高、适用于实时处理。
根据具体应用需求，我们可以选择适合的滤波器类型。
3. 数字滤波器的设计流程设计一个数字滤波器通常需要以下几个步骤：3.1 确定滤波器的类型和特性函数。
根据信号处理的要求，选择合适的滤波器类型和特性函数。
3.2 确定滤波器的阶数。
滤波器的阶数决定了滤波器的陡峭程度，通常阶数越高，滤波器的陡峭程度越高。
3.3 设计滤波器的传递函数。
传递函数描述了滤波器对输入信号的处理方式，可以通过数学公式或者系统函数来表示。
3.4 进行滤波器的频率响应分析。
通过对滤波器的传递函数进行频率响应分析，可以了解滤波器的滤波效果以及在不同频率下的增益情况。
3.5 选择合适的滤波器参数。
根据频率响应分析的结果，调整滤波器的参数，使其满足设计要求。
3.6 实施滤波器的实现。
将设计好的滤波器转换为数字滤波器的实现形式，可以采用差分方程、滤波器结构等方法。
4. 数字滤波器设计的注意事项在进行数字滤波器设计时，需要注意以下几个方面：4.1 频率响应的平滑度。
滤波器的频率响应应该尽可能平滑，避免出现过多的波纹或泄漏现象。
4.2 滤波器的延时性。
滤波器在信号处理过程中会引入一定的延时，需要根据具体应用需求合理处理。
数字滤波器的原理和设计方法
� 2. v平面的单位圆内部映射成z平面的单位 圆内部。
� 最简单的映射：把一个LPF变换成另一个 LPF
� 由图可见，除a = 0外，频率标度有明显的扭 曲。
� 如果数字原型低通滤波器的截止频率 θ p ， � 要求的数字低通滤波器的截止频率为ωp， � 则有
实现方法： IIR：N阶IIR，常采用递归结构； FIR： N阶FIR，常采用非递归结构
4.2 IIR数字滤波器的基本网络结构
� 无限脉冲响应（IIR）滤波器有以下特点 � (1)系统的单位脉冲响应是无限长的； � (2)系统函数在有限z平面上有极点存在； � (3)结构上存在着输出到输入的反馈，也就是
� �表示方法：线性差分方程、系统函数、框
图或流图。
N
M
� �差分方程： y(n) = ∑ ak y(n − k) + ∑ bk x(n − k)
k =1
k=0
� �系统函数：
M
∑ H (z) =
bk z −k
k =0
= Y(z)
∑N
1− ak z −k
X (z)
k =1
基本运算的方框图及流图表示图
双线性变换法的频率变换关系
� 如果采用双线性变换法，边界频率要先预畸 变，转换关系为
21 ΩP = T tan( 2 ωP )
21 ΩS = T tan( 2 ωS )
� 双线性变换是一种稳定的变换。
(1)双线性变换是简单映射； (2)双线性变换是稳定的变换；即模拟滤 波器在s平面左半平面的所有极点经映射 后均在z平面的单位园内。
� 例 设IIR数字滤波器的系统函数为
数字滤波器设计方法
数字滤波器设计方法数字滤波器是数字信号处理中重要的一个组成部分，其作用是对数字信号进行滤波处理，消除噪声和干扰，提高信号的质量和可靠性。
数字滤波器的设计是数字信号处理中重要的一个环节，本文将介绍数字滤波器的设计方法及其步骤。
一、数字滤波器的设计方法数字滤波器的设计方法主要分为模拟滤波器设计法和数字滤波器设计法两种。
模拟滤波器设计法是在模拟域内进行滤波器设计，再将其转换为数字域中，而数字滤波器设计法是基于数字信号处理的理论和方法进行设计。
数字滤波器的设计方法可以分为两类，即基于时域设计和基于频域设计。
基于时域设计主要是对数字信号进行时域上的处理，通过调整滤波器传递函数中的系数来实现滤波器设计。
基于频域设计则是对频率响应进行优化设计，通过傅里叶变换将时域信号转换为频率域信号，进而对其进行频率响应设计。
在实际滤波器设计中，两种方法可以相互结合，实现更加灵活有效的数字滤波器设计。
二、数字滤波器设计的步骤数字滤波器设计主要包括以下步骤：1. 滤波器的性能评估首先要明确数字滤波器设计的目的和要求，如要过滤的信号频率范围、所要达到的滤波器性能指标和运算速度等。
在确定这些要素后，可以选择适当的滤波器设计方法和算法。
2. 数字滤波器的类型选择按照数字滤波器传递函数的形式，可将其分为FIR滤波器和IIR滤波器两种类型。
FIR滤波器是有限脉冲响应滤波器，具有线性相位和时域上的线性性质。
其优点在于简单可靠，易于实现，且滤波器响应的改变仅与滤波器系数有关，具有较好的稳定性和可重现性。
而IIR滤波器则是无限脉冲响应滤波器，其传递函数在分母中包含反馈因子，因此具有频域上的非线性性质。
IIR滤波器的优点是设计具有更快的计算速度和更窄的频带滤波器响应，但其稳定性和阶数选择需进行充分考虑。
3. 滤波器的设计在实际滤波器设计中，可以根据所选波形的性质来设计滤波器的系数。
根据所选择的滤波器类型和具体算法，可以采用各种滤波器设计工具进行滤波器系数计算。
第4章5-7 数字滤波器的原理和设计方法
为了减小波纹幅度，一方面可以加大窗的长度N，但效果并不 显著；另一方面可采用不同的窗函数来改善不均匀收敛性。图 4.50所示的是几种常用的窗函数：
它们的定义式和频谱函数分述如下： 1、矩形窗
2、Bartlett窗（三角形窗）
3、汉宁(Hanning)窗(升余弦窗)
或
ห้องสมุดไป่ตู้
利用傅里叶变换的调制特性，即利用 和
图4.53所示的是用这5种窗函数设计的低通FIR数字滤波器的频 率响应特性。窗函数的长度N＝51，理想低通滤波器的截止频 ωc=π/2。 从图中可看出，用矩形窗设计的滤波器的过渡带最窄，但阻带 衰减指标最差，仅有-21dB左右。而用布莱克曼窗设计的阻带衰 减指标最好，可达-74dB，但过渡带最宽，约为矩形窗的3倍。
对比等式两边，有
如果把变量代换的有理函数F(z-1)看成是一个系统函数，那么该系 统的幅频特性曲线在任何ω处恒为1，这样的函数就是全通函数。 任何全通函数都可表示为
其中αk是F(z-1)的极点。为了满足稳定性的要求，必须有|αk|<1。这 样，通过选择适当的N值和αk值，可以得出各种各样的映射。
1)低通→低通的z平面变换
这里用v-1是因为系统函数的标准形 式,一般写成z-1的形式，换到v平面 即是v-1。
频率变换中的变量代换公式必须满足下列条件： (1)F(z-1)必须是z-1的有理函数； (2)v平面的单位圆内部映射到z平面的单位圆内部。
从这些条件出发，我们可推导出频率变换的实用公式。 设v平面单位圆是v=ejθ，z平面单位圆是z=ejω，则
其中 矩形窗ωR(n)的频谱的图形如下 图所示。
ω从-2π/N到-2π/N之间的WR(ω)称 为窗函数的主瓣，主瓣两侧呈衰 减振荡的部分称为旁瓣。
数字滤波器的设计方法
数字滤波器的设计方法数字滤波器是一种用于信号处理的重要工具，可以从输入信号中提取出特定的频率成分或者对信号进行去噪。
数字滤波器的设计方法包括滤波器类型选择、频率响应设计和滤波器参数计算等。
选择合适的滤波器类型是数字滤波器设计的第一步。
常见的滤波器类型包括低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器和带阻滤波器。
根据信号处理的需求，选择适合的滤波器类型可以有效地提取或者去除特定的频率成分。
接下来，设计滤波器的频率响应是数字滤波器设计的关键。
频率响应描述了滤波器在不同频率下的增益特性。
常见的频率响应形状包括理想频率响应、巴特沃斯频率响应和切比雪夫频率响应等。
根据信号处理的要求，选择合适的频率响应形状可以满足滤波器的性能要求。
在设计滤波器的过程中，需要确定滤波器的参数。
这些参数包括截止频率、通带最大衰减、阻带最小衰减等。
通过选择合适的参数，可以调整滤波器的性能以满足信号处理的要求。
在实际的数字滤波器设计中，可以使用各种工具和方法来辅助设计过程。
其中，数字滤波器设计软件是一种常用的工具，可以根据输入的设计要求自动生成滤波器的参数和频率响应。
此外，还可以使用模拟滤波器的设计方法来设计数字滤波器，例如使用模拟滤波器的频率转换方法将模拟滤波器转换为数字滤波器。
需要注意的是，在数字滤波器设计中，经常会遇到一些问题和挑战。
例如，滤波器的设计目标可能会与实际应用中的信号相冲突，需要在设计过程中进行权衡。
此外，数字滤波器的设计也需要考虑计算量和存储量等资源的限制，以保证设计的可实现性。
数字滤波器的设计方法涉及滤波器类型选择、频率响应设计和滤波器参数计算等步骤。
通过选择合适的滤波器类型、设计合理的频率响应和确定适当的滤波器参数，可以设计出满足信号处理要求的数字滤波器。
在设计过程中，可以借助各种工具和方法来辅助设计，同时需要考虑实际应用中的问题和挑战，以确保设计的可行性和有效性。
数字滤波器的原理和设计方法
数字滤波器的原理和设计方法数字滤波器是一种用于信号处理的重要工具，其通过对输入信号进行滤波操作，可以去除噪声、改变信号频谱分布等。
本文将介绍数字滤波器的原理和设计方法，以提供对该领域的基本了解。
一、数字滤波器的原理数字滤波器是由数字信号处理器实现的算法，其原理基于离散时间信号的滤波理论。
离散时间信号是在离散时间点处取样得到的信号，而数字滤波器则是对这些取样数据进行加工处理，从而改变信号的频谱特性。
数字滤波器的原理可以分为两大类：时域滤波和频域滤波。
时域滤波器是通过对信号在时间域上的加工处理实现滤波效果，常见的时域滤波器有移动平均滤波器、巴特沃斯滤波器等。
频域滤波器则是通过将信号进行傅里叶变换，将频谱域上不需要的频率成分置零来实现滤波效果。
常见的频域滤波器有低通滤波器、高通滤波器等。
二、数字滤波器的设计方法数字滤波器的设计是指根据特定的滤波要求来确定相应的滤波器参数，以使其能够满足信号处理的需求。
下面介绍几种常见的数字滤波器设计方法。
1. IIR滤波器设计IIR滤波器是指具有无限长单位响应的滤波器，其设计方法主要有两种：一是基于模拟滤波器设计的方法，二是基于数字滤波器变换的方法。
基于模拟滤波器设计的方法使用了模拟滤波器的设计技术，将连续时间滤波器进行离散化处理，得到离散时间IIR滤波器。
而基于数字滤波器变换的方法则直接对数字滤波器进行设计，无需通过模拟滤波器。
2. FIR滤波器设计FIR滤波器是指具有有限长单位响应的滤波器，其设计方法主要有窗函数法、频率采样法和最优化法。
窗函数法通过选择不同的窗函数来实现滤波器的设计，常见的窗函数有矩形窗、汉宁窗、海明窗等。
频率采样法则是基于滤波器在频率域上的采样点来设计滤波器。
最优化法是通过将滤波器设计问题转化为一个最优化问题，使用数学优化算法得到最优解。
3. 自适应滤波器设计自适应滤波器是根据输入信号的统计特性和滤波器自身的适应能力，来实现对输入信号进行滤波的一种方法。
数字滤波器的原理与设计
数字滤波器的原理与设计数字滤波器（Digital Filter）是一种用数字信号处理技术实现的滤波器，其主要作用是对输入的数字信号进行滤波处理，去除或弱化信号中的某些频率成分，从而得到期望的输出信号。
数字滤波器可应用于音频处理、图像处理、通信系统等多个领域。
本文将详细介绍数字滤波器的原理与设计。
数字滤波器的原理基于数字信号处理技术，其主要原理是将连续时间的模拟信号经过采样和量化处理后，转换成离散时间的数字信号，再通过数字滤波器对数字信号进行频域或时域的滤波处理。
以下是数字滤波器的设计流程：1. 确定滤波器的性能要求：首先需要明确设计滤波器的性能要求，例如滤波器类型（低通、高通、带通、带阻）、通带和阻带的频率范围、通带和阻带的增益或衰减等。
2. 选择滤波器结构：根据性能要求选择滤波器的结构，常见的数字滤波器结构包括IIR滤波器（Infinite Impulse Response）和FIR滤波器（Finite Impulse Response）。
IIR滤波器基于差分方程实现，具有较好的频率响应特性和较高的计算效率；FIR滤波器基于冲激响应实现，具有较好的稳定性和线性相位特性。
3. 设计滤波器传递函数：根据选择的滤波器结构，设计滤波器的传递函数。
对于IIR滤波器，可以采用脉冲响应不变法（Impulse Invariant）或双线性变换法（Bilinear Transform）等方法，将模拟滤波器的传递函数转换成数字滤波器的传递函数。
对于FIR滤波器，通常采用窗函数设计法或最优化设计法等方法得到滤波器的冲激响应。
4. 数字滤波器实现：根据设计好的传递函数，采用离散时间卷积的方法实现数字滤波器。
对于IIR滤波器，可以通过递归差分方程的形式实现，其中需要考虑滤波器的稳定性；对于FIR 滤波器，可以利用冲激响应的线性卷积运算实现。
5. 数字滤波器的优化与实现：对于滤波器的性能要求更高或计算资源有限的情况，可以对数字滤波器进行优化与实现。
第四章-数字滤波器的基本结构
将(4-7)式关系代入上式，得
H ( z)
N 11 2
h(n)
[zn
z(N 1n) ]
h(
N
1)
N 1
z2
(4-9)
n0
2
(4-8)(4-9)式中+号代表偶对称，-号代表奇对称。
当h(n)奇对称时，由于
h(n)
h(
N
1
n), 故h(
N 1) 2
0
下面的图19、图20分别画出N为偶数和N为奇数时 的线性相位FIR滤波器的结构。
W k N
WN( N k )
各并联支路的极点为
r
j 2 k
e N
,k
0,1, 2,
, N 1
为使系数为实数，可将共轭根合并，在z平面上 这些共轭根在半径为r的圆周上以实轴为轴成对 称分布，即 zN k zk
也就是 W (N k )
j 2 ( N k )
e N
(e
j
2 k N
)
WNk
27
4.3 有限长单位冲激响应(FIR)滤波器 的基本结构
级联型的每级对应一组由 (0i , 1i , 2i ) 参数决定的零点
6
4.3 有限长单位冲激响应(FIR)滤波器 的基本结构
三、线性相位的FIR滤波器结构： 在许多实际应用，如图像处理中，要求数字滤波器具
有线性相位 具有线性相位特性的滤波器传输函数H(ej)为
H(e j ) H() e j ()
则（4-12）式可写成：
1
N 1
H (z)
N
HC (z)
k 0
HK (z)
(4-13)
N 1
上式表明H(z)可看成是由 HC (z)和 HK (z) 两部分级 k 0
数字滤波器的设计方法与实现
数字滤波器的设计方法与实现数字滤波器是一种用于信号处理的重要工具，它可以消除信号中的噪音和干扰，提高信号的质量和可靠性。
本文将介绍数字滤波器的设计方法与实现，并探讨一些常用的数字滤波器类型。
一、数字滤波器的基本原理和作用数字滤波器可以将满足一定数学规律的输入信号通过一系列运算，输出满足特定要求的信号。
其基本原理是对输入信号进行采样和量化，然后利用滤波算法对采样后的信号进行处理，最后通过重构输出滤波后的信号。
数字滤波器的作用主要有两个方面。
首先，它可以实现降低信号中噪音和干扰的功效，提高信号的质量。
其次，数字滤波器还可以提取信号中特定频率成分，并对信号进行频率选择性处理，从而满足特定的信号处理需求。
二、数字滤波器的设计方法1. 滤波器的类型选择数字滤波器的类型选择根据实际信号处理需求。
常见的数字滤波器类型包括有限冲激响应（FIR）滤波器和无限冲激响应（IIR）滤波器。
FIR滤波器的特点是稳定性好、幅频特性易于设计；IIR滤波器的特点是具有较高的处理效率和较窄的幅频特性。
2. 设计滤波器的幅频特性幅频特性描述了滤波器对输入信号幅度的影响。
常见的幅频特性包括低通、高通、带通和带阻。
根据实际需求，设计出合适的幅频特性。
设计幅频特性的方法有很多，包括窗口法、最佳近似法和频率变换法等。
3. 计算滤波器的系数滤波器系数是用于实现滤波器算法的关键参数。
根据所选的滤波器类型和幅频特性，可以通过不同的设计方法计算出滤波器的系数。
常见的设计方法包括巴特沃斯法、切比雪夫法和椭圆法等。
4. 实现滤波器算法滤波器算法的实现可以采用直接形式或间接形式。
直接形式基于滤波器的数学模型，通过块图或框图实现算法。
间接形式则是通过差分方程或状态空间方程描述滤波器，并利用计算机进行模拟和实现。
三、数字滤波器的应用实例数字滤波器广泛应用于各个领域，包括音频、图像、通信和生物医学等。
以音频处理为例，数字滤波器可以用于音频降噪、音频特效和音频编解码等。
数字滤波器的原理和设计方法
H1 ( z)
H1 ( z) 对应的差分方程
H 2 ( z)
N
Q(n) bk x(n k )
k 0
H 2 ( z ) 对应的差分方程
y(n) ak y(n k ) Q(n)
k 1 k 0 N M
有 ak 0 系统有极点 所有 ak 0 系统只有零点
FIR系统的系统函数为
Y z H z bk z k X z k 1
M
18 copyright ©赵越
ise_zhaoy1@
第４章 数字滤波器的原理和设计方法
k 1
25 copyright ©赵越 ise_zhaoy1@
N
第４章 数字滤波器的原理和设计方法
假设IIRDF是线性非移变系统，那么交换 H1 ( z) 和 H 2 ( z ) 的次序不会影响系统的传输效 两条延迟链都是 果，即 对中间变量 (n) 进 H ( z) H1( z) H 2 ( z) H 2 (行延迟，因此可以进 z) H1( z)
1.直接I型
由差分方程
y (n) ak yn k bk x(n k )
N M k 1 k 0
或系统函数
Y ( z) H ( z) X ( z)
bk z k 1 ak z k
k 1 k 0 N
M
直接画出IIRDF的方框图和流程图
23 copyright ©赵越
17 copyright ©赵越
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第４章 数字滤波器的原理和设计方法
数字滤波器有无限冲激响应（IIR）和有限 冲激响应（FIR）两种。 一般从以下几方面区分两类系统： 1、IIR系统的系统函数为
模拟低通滤波器设计
2、切比雪夫I（CB I）型模拟低通滤波器
sinh(x)=[exp(x) - exp(-x)] / 2 5. CB I型 LP的设计步骤 cosh(x)=[exp(x) + exp(-x)] / 2 arcsin h(1/ ) (4)求滤波器的极点Sk： 其中， N (2k 1) π (2k 1) π sk wC [ sinh( ) sin jcosh( ) cos ], k 1, 2, , N 2N 2N k k 或者,s wc a cos( ) jwcb sin( ), k 1,......, N
k k s k wc a cos( ) jwcb sin( ), k 0,1,......, 2 N 1 2N N 2N N
2、切比雪夫I（CB I）型模拟低通滤波器
3. CB I型 LPF极点分布特点
(1) H(s)和H(-s)的2N个极点分布在一个中心在原点，长半轴 为ωcb(长轴与虚轴重合)，短半轴为ωca(短轴与实轴重合)的 椭圆上； (2) 极点分布对称于虚轴，且虚轴上无极点，也对称于实轴； (3) N为奇数时，实轴上有极点(- ωca，0)和(ωca，0)， N为偶数时，实轴上无极点。
2、切比雪夫I（CB I）型模拟低通滤波器
4. CB I型 LPF极点坐标的确定
(1) 确定纵坐标
作一个圆心在原点、半径为ωcb的大圆，在圆上均布2N个 点，且虚轴上无点，点的分布对称于虚轴，则这2N个点的纵 坐标即是2N个极点的纵坐标。 (2) 确定横坐标 作一个圆心在原点、半径为ωca的小圆，在圆上均布2N个 点，且虚轴上无点，点的分布对称于虚轴，则这2N个点的横 坐标即是2N个极点的横坐标。
脉冲响应不变法.
极点为s1= 0.567 8 + 0.565 4j, s2= 0.567 8 0.565 4j
利用
Al ssi
1eAsilTz1
可得DF的系统函数为：
H(z)
0.348z41
10.951z710.322z12
例2：利用BW模拟滤波器及脉冲响应不变法设计一数字
滤波器，满足Wp=0.2p, Ws=0.6p, Ap2dB, As15dB。
1
Normalized frequency
原因：BW型滤波器不是带限的，脉冲响应不变法设计的 数字滤波器存在频谱混叠。
例3：利用BW模拟滤波器及脉冲响应不变法设计一数
字滤波器，满足Wp=0.2p, Ws=0.6p, Ap2dB, As25dB 。
措施：1)增加待设计DF的阻带衰减
Gain in dB
wp,ws 滤波器
H(s)
H(z)
的转换
如何将模拟滤波器转变为数字滤波器? 1. 脉冲响应不变法 2. 双线性变换法
1、脉冲响应不变法的基本原理
对模拟滤波器的单位冲激响应h(t)等间隔抽样 来获得数字滤波器的单位脉冲响应h[k]：
h[k]h(t)tkT
即，数字滤波器的单位脉冲响应h[k] = 模拟 滤波器的单位冲激响应h(t)的取样值h(kT) 。
%Design DF BW low-pass filter using impulse invariance %DF BW LP specfication Wp=0.2*pi; Ws=0.6*pi; Ap=2; As=15; Fs=1; %Sampling frequency(Hz) %Analog Butterworth specfication wp=Wp*Fs; ws=Ws*Fs; %determine the order of AF filter N=buttord(wp,ws,Ap,As,'s'); %determine the 3-db cutoff frequency of BW filter from pass-band specfication wc=wp/(10^(0.1*Ap)-1)^(1/N/2); %determine the AF-BW filter
第四章数字滤波器
数字滤波器一般可以用两种方法实现：一种是根据描 述数字滤波器的数学模型或信号流图，用数字硬件构成专 用的数字信号处理机；另一种是编写滤波运算程序，在计 算机上运行。
由前面的滤波器差分方程看出，实现数字滤波器需要3 种基本运算单元，即加法器、单位延迟器和常数乘法器。 这些单元有方框图和信号流程图两种表示法。方框图和流 程图两种表示法中的3种基本运算单元如下图所示。
阻带允许的最小衰减：
H (e j0 )
s 20 lg H (e js ) 20 lg H (e js ) (dB)
式中均假定： H e j0 1
数字滤波器的性能要求
通常具体技术指标
3dB截止频率ωc：
H (e jc ) 1/ 2
20lg H (e jc ) 3dB
I型
x(n) 8
y(n)
Z-1 -4 Z-1 11 Z-1 -2
5/4 Z-1 -3/4 Z-1 1/8 Z-1
II型
x(n)
8 y(n)
Z-1 5/4 -4
Z-1 -3/4 11
1/8
Z-1 -2
3、IIR系统的级联结构
如果将N阶IIR系统函数分解成二阶因式连乘积，则可得到 级联结构，即
H z H1zH2zHM z
然而，这些要求有时是互相矛盾的，例如，为了获 得具有较小运算误差的结构，使用的乘法器和延迟器的 数目往往不是最少的。对于同一个系统函数，可以有多 种不同的结构。下面讨IIR系统的几种结构。
1、IIR系统的直接I型结构
IIR数字滤波器是一种递归系统，描述它的差分方程如下
式所示
N
M
yn ak yn k bk xn k
DF的设计内容
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第四章数字滤波第二节数字滤波的设计通信与电子信息当中，在对信号作分析与处理时，常会用到有用信号叠加无用噪声的问题。
这些噪声信号有的是与信号同时产生的，有的是在传输过程中混入的，在接收的信号中，必须消除或减弱噪声干扰，这是信号处理中十分重要的问题。
根据有用信号与噪声的不同特性，消除或减弱噪声，提取有用信号的过程就称为滤波。
滤波器的种类很多，实现方法也多种多样，本章利用Matlab来进行数字滤波器的设计。
数字滤波器是一离散时间系统，它对输入序列x(n)进行加工处理后，输出序列y(n)，并使y(n)的频谱与x(n)的频谱相比发生某种变化。
由DSP理论得知，无限长冲激响应（IIR）需要递归模型来实现，有限长冲激响应（FIR）滤波器可以采用递归的方式也可采用非递归的方式实现。
本章把FIR与IIR滤波器分别用Matlab进行分析与设计。
数字滤波器的结构参看《数字信号处理》一书。
数字滤波器的设计一般经过三个步骤：1．给出所需滤波器的技术指标。
2．设计一个H（Z），使其逼近所需要的技术指标。
3．实现所设计的H（Z）。
4.2.1 IIR数字滤波器设计设计IIR数字滤波器的任务就是寻求一个因果、物理可实现的系统函数H(z)，使它的频响H(e jω)满足所希望得到的低通频域指标，即通带衰减A p、阻带衰减A r、通带截频ωp、阻带截频ωr。
而其它形式的滤波器由低通的变化得到。
采用间接法设计IIR数字滤波器就是按给定的指标，先设计一个模拟滤波器，进而通过模拟域与数字域的变换，求得物理可实现的数字滤波器。
从模拟滤波器变换到数字滤波器常用的有：脉冲响应不变法和双线性变换法。
IIR滤波器的设计过程如下数字频域指标→模拟频域指标→设计模拟滤波器H(S) →设计数字滤波器H(z) 1. 模拟滤波器简介模拟滤波器的设计方法已经发展得十分成熟，常用的高性能模拟低通滤波器有巴特沃斯型、切比雪夫型和椭圆型，而高通、带通、带阻滤波器则可以通过对低通进行频率变换来求得。
必须指出，这三种滤波器都是非线性的相频特性。
具体设计方法参见《数字信号处理》一书。
（1）巴特沃斯低通滤波器的特点是：通、阻带均为单调下降。
这种单调下降的特性使得系统的误差分布不均匀。
在设计中，如果在通带满足指标，阻带指标就过于好了。
或者说，在阻带满足指标，通带指标也过于好了。
这样不利于以最小的阶数来满足设计指标。
（2）切比雪夫模拟低通滤波器分成Ι型和ΙΙ型：Ι型是通带等波纹，阻带单调下降；ΙΙ型滤波器是通带单调下降，阻带等波纹。
切比雪夫的等波纹特性使得可以用较小的阶数设计出符合指标的滤波器。
（3）椭圆滤波器特点是通、阻带均为等波纹。
椭圆滤波器的误差均匀分布在通、阻带，比较上面几种滤波器，在同样衰耗指标下，椭圆滤波器所要求的阶数最小。
在同样阶数情况下，椭圆滤波器的通带到阻带的变化最陡峭、性能最好。
2．模拟滤波器映射到数字滤波器从模拟滤波器变换到数字滤波器常用的有：冲激响应不变法和双线性变换法。
（1）冲激响应不变法冲激响应不变法的基本思路为：设模拟滤波器的单位冲激响应为h a （t ），数 字滤波器的单位脉冲响应h(n)，是对h a （t ）的均匀取样，即H(S)−−−→−拉氏逆变换h(t)−−→−抽样 h(n)= h(nT) −−→−变换z H(z)冲激响应不变法由于保持了模拟滤波器的冲激响应在取样时刻的取样值，所以 具有较好的时间特性。
但由于从模拟域（s 域）变换到数字域（z 域）的映射关系 不是一一对应的关系，因而频谱混叠难以避免, 所以在实际应用中有它的局限性。
3． Matlab 滤波器设计函数简介使用MATLAB 信号处理工具箱中提供的函数可以很容易地实现IIR 滤波器设计。
常用的IIR 数字滤波器设计函数有：（1）IIR 滤波器阶数（order ）选择buttord - 巴特沃斯（Butterworth ）滤波器阶数选择cheb1ord - 切比雪夫（Chebyshev ）I 型滤波器阶数选择cheb2ord - 切比雪夫（Chebyshev ）II 型滤波器阶数选择ellipord - 椭圆（Elliptic ）滤波器阶数选择buttord 用来确定巴特沃斯滤波器的阶数：[N,Wc] = buttord (Wp,Wr,Ap,Ar,option s)Ap,Ar 为通带最大衰减和阻带最小衰减，以dB 为单位；Wp,Wr 为归一化通带截频和阻带截频。
Option s=’low’, ’high’, ’bandpass’, ’stop’, ’s’, 分别对应低通、高通、带通、带阻、 模拟滤波器，默认情况下，为低通或带通。
对于带通和带阻滤波器Wp=[Wp1,Wp2]， Wp1和 Wp2为通带的上、下截频，Wr=[Wr1,Wr2]，Wr1和Wr2分别为阻带的上、 下截频。
若为模拟滤波器定阶，令Option s= ’s’, 则Wp 和Wr 以（归一或非归一） 给出，因此可大于1。
输出参数N 为滤波器的阶数，Wc 为归一化3dB 截频。
若Ap=3dB ，则Wc= Wp 。
其他滤波器的定阶函数类似buttord的格式：切比雪夫I型滤波器[N,Wc] = cheb1ord(Wp, Wr, Ap, Ar)切比雪夫II型滤波器[N,Wc] = cheb2ord(Wp, Wr, Ap, Ar)椭圆滤波器[N,Wc] = ellipord(Wp, Wr, Ap, Ar)（2）完整的滤波器设计函数，根据滤波器阶数和通带截频设计出实际数字滤波器的H(z)（模拟域到数字域的变换只采用双线性变换法）：butter - 巴特沃斯（Butterworth）滤波器设计cheby1 -切比雪夫（Chebyshev）I型滤波器设计cheby2 - -切比雪夫（Chebyshev）II型滤波器设计ellip - 椭圆（Elliptic）滤波器设计maxflat - 通用的巴特沃斯（Butterworth）低通滤波器设计yulewalk - Yule-Walker滤波器设计（直接数字滤波器设计法）butter的格式如下：[b,a] = butter(N,Wc,option s)[z,p,k] = butter(N,Wc,option s)[A,B,C,D] = butter(N,Wc,option s)N为滤波器的阶数，Wc为频率归一化后的3dB截频：0 < Wc < 1。
Option s=’low’, ’high’, ’bandpass’, ’stop’, ’s’, 分别对应低通、高通、带通、带阻、模拟滤波器，默认情况下，为低通或带通。
对于带通和带阻滤波器，Wc=[W1,W2]，W1和W2分别为通带的上、下截频。
输出变量的三种格式对应着滤波器系统函数H (z)的分子分母多项式形式、零极点-增益形式和状态空间形式。
若设计模拟滤波器，令Option s= ’s’, 则Wc以rad/ s（归一化或非归一化）给出，因此可大于1。
例1．设计一个数字低通滤波器，要求在0~0.2π内衰耗不大于3dB，在0.6π~π内衰耗不小于60dB。
解：若模拟低通原型采用巴特沃斯滤波器：[N,Wc]=buttord(0.2,0.6,3,60);[b,a]=butter(N,Wc);freqz(b,a);axis([0,1,-120,0]);可见，相位为非线性。
例2 使用脉冲响应不变法设计一个数字带通滤器，其指标为：1）3dB 通带中心频率在 0Ω ＝ 0.5π 2）上截频2c Ω = 0.55π,下截频1c Ω ＝ 0.45π 3） 在阻带r Ω ＝ 0.6π处，最小衰耗A ＝10dB设取样周期T ＝5π×10－6s,要求｜Ω｜>0Ω衰耗曲线单调增加。
解：（1）确定数字频率指标omega0=0.5*pi; %通带中心频率omegac1=0.45*pi ; omegac2=0.55*pi; Apmax=3; %通带截频omegar2=0.6*pi; Armin=10;T=5*pi*10^(-6); %取样间隔（2）利用脉冲响应不变法设计数字滤波器1） 按给定数字频率求得相应的模拟角频率wc1=omegac1/T; wc2=omegac2/T;w0=omega0/T;omegar1=omega0-(omegar2-omega0);wr1=omegar1/T; wr2=omegar2/T;B=wc2-wc1;2) 将指标转换为归一化模拟低通频率指标norm_wr1=(((wr1^2)-(w0^2))/(B*wr1));norm_wr2=(((wr2^2)-(w0^2))/(B*wr2));norm_wc1=(((wc1^2)-(w0^2))/(B*wc1));norm_wc2=(((wc2^2)-(w0^2))/(B*wc2));3) 设计归一化模拟低通滤波器确定归一化截频if (abs(norm_wr1)-abs(norm_wr2))>0norm_wr=abs(norm_wr2);elsenorm_wr=abs(norm_wr1);endnorm_wc=1;确定归一化模拟低通滤波器阶数N=buttord(norm_wc,norm_wr,Apmax ,Armin,'s');设计归一化模拟低通滤波器[b_LP,a_LP]=butter(N,norm_wc,'s');4) 把归一化模拟低通滤波器转换为模拟带通滤波器[b_BP,a_BP]=lp2bp(b_LP,a_LP,w0, B);5) 利用脉冲响应不变法把模拟滤波器转换为数字滤波器Fs=1/T;[b,a]=impinvar(b_BP,a_BP,Fs);w=linspace(0,2*pi,500);h=freqz(b,a,w);plot(w,20*log10(abs(h))); axis([0,2*pi,-50,20]); gridxlabel('frequency (rad)');ylabel('gain (dB)');sys=tf(b,a,T)(2) 双线性变换法双线性变换法克服了脉冲响应不变法存在频谱混叠的缺点, 但在设计过程中一定要注意，由于宽频带压缩到较窄的频率范围，导致了频率畸变。
其基本思想是：首先按给定的指标设计一个模拟滤波器，通过适当的数学变换方法将s域映射到z 域，把无限宽的频带变换成有限宽频带。
由于在实现数字化以前已经对频带进行了压缩，所以在数字化以后的频响可以做到无频谱混叠。
该法可以用来设计各种不同频带要求的数字滤波器，所以获得广泛应用。
例3：按[例2]的指标使用双线性变换法设计一个数字带通滤波器。
解：（1）给定数字频率指标omega0=0.5*pi; %通带中心频率omegac1=0.45*pi; omegac2=0.55*pi; Apmax=3; %通带截频omegar2=0.6*pi; Armin=10;T=5*pi*10^(-6); %取样间隔（2）用双线性变换法设计滤波器1）按给定数字频率求得相应的模拟角频率：频率预畸变omegar1=omega0-(omegar2 - omega0);wc1=(2/T)*tan(omegac1/2); wc2=(2/T)*tan(omegac2/2);wr1=(2/T)*tan(omegar1/2); wr2=(2/T)*tan(omegar2/2);w0=(2/T)*tan(omega0/2);B=wc2-wc1;2) 将指标转换为归一化模拟低通频率指标norm_wr1=(((wr1^2)-(w0^2))/(B*wr1));norm_wr2=(((wr2^2)-(w0^2))/(B*wr2));norm_wc1=(((wc1^2)-(w0^2))/(B*wc1));norm_wc2=(((wc2^2)-(w0^2))/(B*wc2));3) 设计归一化模拟低通滤波器确定归一化截频：if (abs(norm_wr1)-abs(norm_wr2))>0norm_wr=abs(norm_wr2);elsenorm_wr=abs(norm_wr1);endnorm_wc=1;确定归一化模拟低通滤波器阶数：N=buttord(norm_wc,norm_wr,Apmax,Armin,'s');设计归一化模拟低通滤波器：[b_LP,a_LP]=butter(N,norm_wc,'s');4) 把归一化模拟低通滤波器转换为模拟带通滤波器[b_BP,a_BP]=lp2bp(b_LP,a_LP,w0,B);5) 转换为数字滤波器Fs=1/T;[b,a]=bilinear(b_BP,a_BP,Fs);w=linspace(0,2*pi,500);h=freqz(b,a,w);plot(w,20*log10(abs(h))); axis([0,2*pi,-120,20]); gridxlabel('frequency (rad)');ylabel('gain (dB)');sys=tf(b,a,T)例4 ：若信号由5Hz、15Hz和30Hz三个正弦频率成分构成。