高考数学讲义不等式.知识框架

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高考数学复习专题基本不等式 (文精讲)

专题7.3 基本不等式【核心素养分析】1.了解基本不等式的证明过程；2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 【知识梳理】知识点一基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b . 知识点二几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R)；(2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)；(3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R)；(4)⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b22(a ，b ∈R)； (5)2ab a ＋b≤ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22(a ＞0，b ＞0)．知识点三算术平均数与几何平均数设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．知识点四利用基本不等式求最值问题已知x ＞0，y ＞0，则(1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)． (2)如果x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q 24(简记：和定积最大)．【特别提醒】1.此结论应用的前提是“一正”“二定”“三相等”.“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指等号成立.2.连续使用基本不等式时，牢记等号要同时成立. 【典例剖析】高频考点一利用基本不等式求最值【例1】【2020·江苏卷】已知22451(,)x y y x y +=∈R ，则22x y +的最小值是 ▲ ．【举一反三】（2020·江苏省南京模拟）函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________【方法技巧】利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要有三种思路： (1)对条件使用基本不等式直接求解．(直接法)(2)针对待求最值的式子，通过拆项(添项)、分离常数、变系数、凑因子等方法配凑出和或积为常数的两项，然后用基本不等式求解．(配凑法)(3)已知条件中有值为1的式子，把待求最值的式子和值为1的式子相乘，再用基本不等式求解．(常数代换法)【变式探究】(2019·天津卷)设x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＝4，则(x ＋1)(2y ＋1)xy 的最小值为．【变式探究】（2020·辽宁省葫芦岛模拟）已知a ＞0，b ＞0，且2a ＋b ＝ab －1，则a ＋2b 的最小值为( ) A ．5＋2 6B ．8 2C ．5D ．9高频考点二利用基本不等式解决实际问题【例2】【2019·北京卷】李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当x =10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为__________．，，，，，，，，【方法技巧】利用基本不等式解决实际问题的三个注意点 (1)设变量时，一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数． (2)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．(3)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解．【变式探究】（2020·山西省大同模拟）经测算，某型号汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量y (L)与速度x (km /h )(50≤x ≤120)的关系可近似表示为y ＝⎩⎨⎧175（x 2－130x ＋4 900），x ∈[50，80），12－x60，x ∈[80，120].(1)该型号汽车的速度为多少时，可使得每小时耗油量最少？(2)已知A ，B 两地相距120 km ，假定该型号汽车匀速从A 地驶向B 地，则汽车速度为多少时总耗油量最少？专题7.3 基本不等式【核心素养分析】1.了解基本不等式的证明过程；2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 【知识梳理】知识点一基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b . 知识点二几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R)；(2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)；(3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R)；(4)⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b22(a ，b ∈R)； (5)2ab a ＋b≤ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22(a ＞0，b ＞0)．知识点三算术平均数与几何平均数设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．知识点四利用基本不等式求最值问题已知x ＞0，y ＞0，则(1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)． (2)如果x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q 24(简记：和定积最大)．【特别提醒】1.此结论应用的前提是“一正”“二定”“三相等”.“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指等号成立.2.连续使用基本不等式时，牢记等号要同时成立. 【典例剖析】高频考点一利用基本不等式求最值【例1】【2020·江苏卷】已知22451(,)x y y x y +=∈R ，则22x y +的最小值是 ▲ ．【答案】45【解析】∵22451x y y +=∴0y ≠且42215y x y -=∴422222222114144+2555555y y y x y y y y y-+=+=≥⋅=，当且仅当221455y y =，即2231,102x y ==时取等号. ∴22xy +的最小值为45. 【举一反三】（2020·江苏省南京模拟）函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________【答案】23＋2【解析】∵x >1，∴x －1>0，∴y ＝x 2＋2x －1＝（x 2－2x ＋1）＋（2x －2）＋3x －1＝（x －1）2＋2（x －1）＋3x －1＝(x －1)＋3x －1＋2≥23＋2.当且仅当x －1＝3x －1，即x ＝3＋1时，等号成立．【方法技巧】利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要有三种思路： (1)对条件使用基本不等式直接求解．(直接法)(2)针对待求最值的式子，通过拆项(添项)、分离常数、变系数、凑因子等方法配凑出和或积为常数的两项，然后用基本不等式求解．(配凑法)(3)已知条件中有值为1的式子，把待求最值的式子和值为1的式子相乘，再用基本不等式求解．(常数代换法)【变式探究】(2019·天津卷)设x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＝4，则(x ＋1)(2y ＋1)xy 的最小值为．【答案】92【解析】(x ＋1)(2y ＋1)xy ＝2xy ＋x ＋2y ＋1xy ＝2xy ＋5xy ＝2＋5xy ，∵x ＞0，y ＞0且x ＋2y ＝4， ∴4＝x ＋2y ≥22xy ，∴xy ≤2，∴1xy ≥12，∴2＋5xy ≥2＋52＝92.【变式探究】（2020·辽宁省葫芦岛模拟）已知a ＞0，b ＞0，且2a ＋b ＝ab －1，则a ＋2b 的最小值为( ) A ．5＋2 6 B ．8 2 C ．5 D ．9【答案】A【答案】∵a ＞0，b ＞0，且2a ＋b ＝ab －1， ∴a ＝b ＋1b －2＞0，∴b ＞2，∴a ＋2b ＝b ＋1b －2＋2b ＝2(b －2)＋3b －2＋5≥5＋22（b －2）·3b －2＝5＋2 6.当且仅当2(b －2)＝3b －2，即b ＝2＋62时取等号．∴a ＋2b 的最小值为5＋26，故选A 。

高考数学知识点：不等式

高考数学知识点：不等式1500字高考数学中的不等式是一个重要的知识点，几乎在每年的高考试卷中都会出现。

不等式在很多实际问题中都有重要的应用，如经济学中的利润最大化问题、几何学中的面积最大最小问题等。

下面将对高考数学中常见的不等式知识点进行详细介绍。

一、一元一次不等式一元一次不等式的形式为ax+b>0（或ax+b≥0）、ax+b<0（或ax+b≤0），其中a和b为已知实数，x为未知数。

要求解这类不等式，需要注意以下几点：1. 若a>0，则当a>0时，不等式两侧都乘以正数a；当a<0时，不等式两侧都乘以负数a，不等号方向不变。

2. 若a<0，则当a>0时，解的不等式两侧都乘以负数a，不等号方向相反；当a<0时，解的不等式两侧都乘以正数a，不等号方向不变。

3. 若a=0，则不等式只有在b>0（或b≥0）和b<0（或b≤0）时有解。

二、一元二次不等式一元二次不等式是形如ax²+bx+c>0（或ax²+bx+c≥0）、ax²+bx+c<0（或ax²+bx+c≤0）的不等式，其中a、b、c为已知实数，a≠0。

要求解一元二次不等式，需要经过以下几个步骤：1. 确定a的正负性，若a>0则为开口向上的抛物线，若a<0则为开口向下的抛物线。

2. 计算抛物线的顶点坐标，即x₀=-b/2a。

3. 根据a的正负性确定抛物线的上升段或下降段。

4. 根据a的正负性确定不等式的解集。

三、绝对值不等式绝对值不等式是形如|ax+b|>c（或|ax+b|≥c）、|ax+b<c（或|ax+b|≤c）的不等式，其中a、b、c为已知实数，a≠0且c>0。

要求解绝对值不等式，需要根据绝对值的定义和性质进行推导，具体步骤如下：1. 根据绝对值的定义，将不等式分为正数和负数两个部分。

2. 对于正数部分，去掉绝对值符号，并得到一个二次不等式。

高考不等式知识点汇总

高考不等式知识点汇总不等式是高考数学中的重要知识点，是解决数学问题中常用的一种工具。

它不仅涉及到基本的不等式性质，还包括不等式的求解、图像表示以及应用等方面。

下面将对高考中常见的不等式知识点进行汇总。

一、不等式的基本性质1. 不等式的传递性：若a < b，且b < c，则有a < c。

传递性是不等式推导中常用的重要性质。

2. 不等式的加减性：若a < b，则有a±c < b±c，其中c为实数。

加减性运算是在不等式两边同时加减一个数时成立的性质。

3. 不等式的倍乘性：若a < b，且c > 0，则有ac < bc；若a < b，且c < 0，则有ac > bc。

倍乘性是在不等式两边同时乘以一个正数或负数时成立的性质。

二、不等式的求解1. 一元一次不等式：例如ax + b < c或ax + b > c，其中a、b、c 为已知实数，x为未知数。

求解一元一次不等式时，可以采用移项和分段讨论等方法。

2. 一元二次不等式：例如ax^2 + bx + c < 0或ax^2 + bx + c > 0，其中a、b、c为已知实数，x为未知数。

求解一元二次不等式时，可以利用函数图像、判别式、因式分解等方法来进行求解。

3. 绝对值不等式：例如|ax + b| < c或|ax + b| > c，其中a、b、c为已知实数，x为未知数。

求解绝对值不等式时，可以利用绝对值的性质，将其转化为对应的复合不等式进行求解。

三、不等式的图像表示1. 不等式的区间表示：例如a < x < b或a ≤ x ≤ b，其中a、b为已知实数，x为未知数。

不等式的区间表示可以通过画数轴，标示出解集所在的区间。

2. 不等式的图像表示：例如y < ax + b或y > ax + b，其中a、b 为已知实数，x、y为未知数。

高考数学不等式知识点解析

高考数学不等式知识点解析不等式在高考数学中占据着重要的地位，它不仅是数学知识体系中的关键组成部分，也是解决各种数学问题和实际应用问题的有力工具。

掌握不等式的相关知识，对于提高数学解题能力和思维水平具有重要意义。

一、不等式的基本性质1、对称性：若 a＞b，则 b＜a；若 a＜b，则 b＞a。

比如，5＞3，那么 3＜5。

这一性质非常直观，也很好理解。

2、传递性：若 a＞b 且 b＞c，则 a＞c。

例如，7＞5，5＞3，所以 7＞3。

传递性在比较多个数的大小时经常用到。

3、加法性质：若 a＞b，则 a ＋ c ＞ b ＋ c。

比如，因为 8＞5，那么 8 ＋ 2 ＞ 5 ＋ 2，也就是 10 ＞ 7。

4、乘法性质：若 a＞b 且 c＞0，则 ac＞bc。

若 a＞b 且 c＜0，则 ac＜bc。

例如，4＞2，当 c ＝ 3 时，4×3 ＞ 2×3，即 12 ＞ 6；当 c ＝－2 时，4×（－2) ＜ 2×（－2)，即－8 ＜－4。

这些基本性质是解决不等式问题的基础，必须牢记并能熟练运用。

二、一元一次不等式形如 ax ＋ b ＞ 0 或 ax ＋ b ＜ 0（a ≠ 0）的不等式称为一元一次不等式。

解一元一次不等式的一般步骤：1、去分母（如果有分母的话）：在不等式两边同时乘以分母的最小公倍数，注意当乘以一个负数时，不等号方向要改变。

2、去括号：根据乘法分配律去掉括号。

3、移项：将含有未知数的项移到不等式的一边，常数项移到另一边，注意移项要变号。

4、合并同类项：将同类项合并。

5、系数化为 1：在不等式两边同时除以未知数的系数，如果系数是负数，不等号方向要改变。

例如，解不等式 3x 5 ＞ 2x ＋ 1。

首先，移项得到 3x 2x ＞ 1 ＋ 5，即 x ＞ 6。

三、一元二次不等式形如 ax²＋ bx ＋ c ＞ 0 或 ax²＋ bx ＋ c ＜ 0（a ≠ 0）的不等式称为一元二次不等式。

高考数学讲义：等式性质与不等式性质(解析版)

第13讲：等式性质与不等式性质【学习目标】1.了解等式的性质.2.掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题．【基础知识】知识点一：等式的基本性质1．如果a ＝b ，那么b ＝a .2．如果a ＝b ，b ＝c ，那么a ＝c .3．如果a ＝b ，那么a ±c ＝b ±c .4．如果a ＝b ，那么ac ＝bc .5．如果a ＝b ，c ≠0，那么a c ＝bc .知识点二：不等式的性质性质别名性质内容注意1对称性a >b ⇔b <a ⇔2传递性a >b ，b >c ⇒a >c 不可逆3可加性a >b ⇔a ＋c >b ＋c 可逆4可乘性a >b ，c >0⇒ac >bc a >b ，c <0⇒ac <bc c 的符号5同向可加性a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d 同向6同向同正可乘性a >b >0，c >d >0⇒ac >bd 同向7可乘方性a >b >0⇒a n >b n (n ∈N ，n ≥2)同正【考点剖析】考点一：不等式性质判断真假例1．对于任意实数a ，b ，c ，d ，下列命题正确的是（）A．若a b ，则22ac bc B．若a b ，则11a bC．若22ac bc ，则a bD．若0a b ，c d ，则ac bd【答案】C 【详解】A：若0c =，则220ac bc ，故A 错误；B：若1,1a b ，则,1111a b，则11a b ，故B 错误；C：因为22ac bc ，则20c ，两边同除以2c ，得a b ，故C 正确；D：若2,1,1,2a b c d ，则2,2ac bd ，故D 错误.故选：C.变式训练1：若0,10a b ，则下列不等关系一定正确的是（）A．a b B．2a b C．a bD．0a b 【答案】B 【详解】0a ，20b ，所以2a b 故选：B变式训练2：已知0b a ，则下列不等式一定成立的是（）A．a b B．2b abC．11a bD．22a b 【答案】D 【详解】00b a b a b a b a∵故A 错误;2()b ab b b a ∵00b a b a ∵20b ab 2b ab 故B 错误;11b a a b ab∵00,0b a b a ab ∵110a b 11a b 故C 错误; 22a b a b a b ∵00,0b a a b a b ∵22220a b a b 故D 正确.故选:D变式训练3：下列结论正确的是（）A．若a b ，则ac bc B．若a b ，则11a bC．若22ac bc ，则a b D．若a b ，则22a b 【答案】C 【详解】对于A：当a b 时，若取0c ，则有ac bc .故A 不正确；对于B：当a b 时，取1,1a b 时，有11a b.故B 不正确；对于C：当22ac bc ，两边同乘以21c ，则a b .故C 正确；对于D：当a b ，取1,1a b 时，有22=a b .故D 不正确.故选：C.考点二：利用不等式性质证明例2．已知0a b ，0c d ，b c ，求证：（1）0b c ；（2）b aa cb d.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【详解】证明：（1）∵b c 且0b ，0c ，∴b c 即0b c ；（2）∵0c d ，∴0c d ，又0a b ，∴0a c b d ，∴110b d a c ，∴b b aa cb d b d.变式训练1：若0,0ab m .求证bb ma a m.【答案】证明见解析.【详解】由0,0ab m ，得0am bm ，故得am ab bm ab ，即 am b b m a ，又因为0,0ab m ，在不等式两边同时乘以1a a m 得：b b ma a m，不等式得证.变式训练2：已知,0a b c a b c ，求证：c c a c b c【答案】见解析【详解】因为a b c ，故0,0a b b c ，要证c ca cb c，即证 c b c c a c ，即证cb ca ，即证： 0c b a ，因为,0a b c a b c ，故03c c c c ，故0c ，因为b a ，故0b a ，故 0c b a ，故原不等式成立.变式训练3：已知0a b ，0c d .证明：（1）ac bd ；（2）a aa cb c.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【详解】解：证明：（1）∵0a b ，0c ，∴0ac bc ，又0c d Q ，0b ，∴0bc bd ，故ac bd ；（2）由0c ，得0c ，又0a b ∵，∴0a c b c ，即110a c b c，又0a ∵，∴a aa cb c.考点三：不等式求解范围（一）例3．已知23a ，21b ，求2a b 的范围.【答案】225a b 【详解】解：23a ∵，426a ，又21b ∵，225a b .变式训练1：已知13a ，26b ，则23a b 的取值范围是________【答案】 16,12 【分析】由条件可得226a ，1836b ，然后可得答案.【详解】因为13a ，26b ，所以226a ，1836b 所以16<2312a b 故答案为：16,12 变式训练2：若23a b ，则b a 的取值范围是_________.【答案】(0,5)【详解】因为23a b ，故>0b a ，且32a ，所以55b a ，故05b a .故答案为：(0,5).变式训练3：若角, 满足2，则的取值范围是_________，的取值范围是__________．【答案】 ,2 ；,02【详解】由2，则2 ，2，2且0 ，所以2 ，02，所以的取值范围是 ,2 ，的取值范围是,02.故答案为： ,2 ；,02考点四：不等式求解范围（二）例4．已知23a ，21b ,则2a b 的范围___________2a b 的范围___________.【答案】(2,5)；4,7【详解】由23a ，可得426a ，又由21b ，所以4(2)26(1)a b ，即225a b ，所以2a b 的范围(2,5)；由21b ，可得12b ，所以224b ，又由23a ，所以22234a b ，即427a b ，所以2a b 的范围 4,7.变式训练1：已知实数x ，y 满足023x y ，21x y ，则45x y 的最大值是________.【答案】13【详解】解：令 452x y m x y n x y ，解得：3m ，2n ，又023x y ∵，21x y ，24513x y ，即45x y 的最大值是13.故答案为：13.变式训练2：已知13a b ，则a b 的取值范围是_________，ab的取值范围是________．【答案】 2,6；1,13【详解】13a b ∵，即1a b ，3a b ，13a a b b ，又12a ，36b ，26a b ；又1113b a ，13a a b ，又133a ，113a b.综上所述：a b 的取值范围为 2,6；a b 的取值范围为1,13.故答案为： 2,6；1,13.变式训练3：已知14x y ，23x y ，则x 的范围是_________，32x y 的范围是________．【答案】17,22 ；323,22【详解】14x y ∵，23x y ，两个不等式相加可得127x ，解得1722x ，设 32 x y m x y n x y m n x m n y ，所以，32m n m n ，解得52m ，12n ，因为 551022x y， 13122x y ，由不等式的基本性质可得3233222x y .故答案为：17,22；323,22.【过关检测】1、若0a b ，则下列不等式中，不能成立的是（）A．11a bB．11a b aC．a bD．22a b 【答案】B 【详解】若0a b ，则110b aa b ab ，即11a b，A 成立；11()0()()a a b b a b a a a b a a b ，即11a b a，B 不成立；a b ，C 成立；22a b ，D 成立；故选：B2、如果,a b 那么下列说法正确的是（）A．ac bc B．22ac bc C．ac bcD．0b a 【答案】D 【详解】因为a b ，不等式两边同时减去a 得0b a ，D 正确，若0c =，则AB 错误，若0c ，C 错误．故选：D．3、已知,,a b c R ，且a b ，那么下列各式中正确的是（）A．1abB．11a bC．22ac bc D．33a b 【答案】D 【详解】对于A 选项：举反例1,1a b ，则11ab，则A 不成立；对于B 选项：举反例1,1a b ，则,1111a b，所以11a b ，则B 不成立；对于C 选项：举反例0c =，则220,0a c b c ，所以22a c b c ，则C 不成立；对于D 选项： 2332221324a b a b a ab b a b a b b∵a b ，∴0a b 又∵2213024a b b∴330a b ，即33a b .则D 成立故选：D.4、已知,a b R ，满足0ab ，0a b ，a b ，则（）A．11a bB．0b a a bC．22a b D．a b【答案】C 【详解】因0ab ，a b ，则a>0，b<0，110,0a b，A 不正确；0,0b a a b ，则0b aa b ，B 不正确；又0a b ，即0a b ，则22()a b ，22a b ，C 正确；由0a b 得||a b ，D 不正确.故选：C5、下列命题中，正确的是（）A．若a b ，则11a bB．若ac bc ，则a b C．若22a bc c ，则a b D．若a b ，cd ，则ac bd【答案】C 【详解】对于A，当1a ，1b 时，满足a b ，但不满足11a b，故A 不正确；对于B，当0c 时，由ac bc 可得a b ，故B 不正确；对于C，若22a b c c ，则2222a b c c c c，即a b ，故C 正确；对于D，当4,1a b ，1,2c d 时，满足,a b c d ，但是42ac bd ，故D 不正确.故选：C6、若,,a b c 为实数，且0a b ，则下列命题正确的是（）A．22ac bc B．11a bC．b a a bD．22a ab b【答案】D 【详解】对于A，当0c =时，220ac bc ，A 错误；对于B，当2a ，1b 时，112a ，11b ，此时11a b，B 错误；对于C，220b a b a a b ab∵，b a a b ，C 错误；对于D，0a b Q ，0a b ， 20 a ab a a b ， 20ab b b a b ，22a ab b ，D 正确.故选：D.7、下列说法不正确的是（）A．若..a b m 都是正数，则a m ab m b B．若0c a b ，则a bc a c bC．若...a b c d 都是正数，且bc ad 则a a c cb b d dD．若0.0a b c d ，则a b c d【答案】A 【详解】A 中，由a mb b m a b a m a m a b m b b m b b m b ，当b a 时，a m ab m b，故A 错；B 中，由 0a c b b c a ac ab bc ab a b c 所以 a c b b c a 则a bc a c b，故B 正确；C 中，由 0a b d b a c ab ad ab bc ad bc ，则 0a b d b a c 所以 a b d b a c 得a c ab b d ；由 0acd b d c ad cd bc dc ad bc 所以a c db dc 即a c c b dd ，所以a a c cb b d d，C 正确；D 中，由0.0a b c d 所以ad bc ，则a bc d，D 正确故选：A8、对于任意实数,,,a b c d ，有下列结论：①若a b ，0c ，则ac bc ；②若a b ，则22ac bc ；③若22ac bc ，则a b ；④若a b ，则11a b其中正确的是（）A．①B．②C．③D．④【答案】C 【详解】对于①：若a b ，0c ，则ac bc ；故①错误；对于②：若a b ，=0c 则22=ac bc ；故②错误；对于③：若22ac bc ，则0c ，所以210c ，把22ac bc 乘以21c ，得：a b .故③正确；对于④：若a b ，取a=1，b=-1，此时11a b；故④错误.故选：C9、若1,2 a b ，则a b 的取值范围是（）A． 3 ，B． ,3 C． 3 ，D．3 ，【答案】C 【详解】因为1,2 a b ，所以3a b ，即a b 的取值范围是 3 ，．故选：C．10、角,x y 满足22x y，则x y 的取值范围是（）A． ,0 B． , C．(,0)2D．(,)22【答案】A 【详解】因为22x y，则22y ，所以2222x y，即x y ，又0x y ，所以0x y .故选：A.11、设，满足180180 ，则的取值范围是（）A．3600 B．180180 C．1800 D．360360【答案】A 【详解】∵ ，满足180180 ，∴180180 ，180180 ，∴180180 ，∴180180180180 ，∴360360 ，∵ ，∴0 ，∴3600 ，故选：A12、已知13,24a b ，则2a b 的取值范围是（）A．624a b B．0210a b C．422a b D．521a b 【答案】A因为13,24a b ，可得226,42a b ，所以24262a b ，即624a b ；故选：A.13、已知实数,x y 满足322,124,x y x y 则（）A．x 的取值范围为(1,2) B．y 的取值范围为(2,1) C．x y 的取值范围为()3,3 D．x y 的取值范围为(1,3)【答案】ABD 【详解】因为124x y ，所以2428x y .因为322x y ，所以5510x ，则12x ，故A 正确；因为322x y ，所以6244x y .因为124x y ，所以421x y ，所以1055y ，所以21y ，故B 正确；因为322124x y x y ，，所以9361142,2555555x y x y（）（），则22x y ，故C 错误；因为322124x y x y ，，所以213331222555555x y x y（），（），则13x y ，故D 正确.故选：ABD.14、已知660a ，1518b ，则下列正确的是（）A．1,43a bB． 21,78a b C．9,42a b D．739,59a b b【答案】AB因为660a ，1518b ，所以1111815b ，1815b ，则6601815a b ，6156018a b ，6186015a b ，即143a b ，2178a b ，1245a b ，则41,53a b a b b；故AB 正确，CD 错.故选：AB.15、已知实数,x y 满足13,429x y x y ，则（）A．14x B．21y C．2415x y D．163x y 【答案】AC 【详解】因为13,429,3312x y x y x ，所以14x ，A 正确；因为6222429x y x y，所以2311y ，解得11233y ，B 错误；因为 422x y x y x y ， 226,429x y x y ，所以2415x y ，C 正确；12233x y x y x y， 11821,263333x y x y ，所以51933x y ，D 错误.故选：AC.16、已知14,263x y x y ，则34z x y 的取值范围是________________.【答案】[0,11]；【详解】解： 3426z x y x y x y ，因为14,263x y x y ，所以 228x y ，所以 02611x y x y ，故答案为:[0,11]17、已知122,34a b a b ，则4a b 的取值范围是____________.【答案】(5,10)【详解】解：令4(2)()(2)()a b m a b n a b m n a m n b ，则241m n m n ，解得12m n，所以4(2)2()a b a b a b ，因为34a b ，所以62()8a b ，因为122a b ，所以1622()28a b a b ，所以5410a b ，所以4a b 的取值范围为(5,10)，故答案为：(5,10)18、已知14,24x y x y ，则32x y 的取值范围是_____．【答案】3(,12)2【详解】设,x y m x y n ，因此得：,22m n m nx y，14,24m n ，532322222m n m n m nx y，因为14,24m n ，所以5510,12222m n，因此3512222m n ，所以332122x y.故答案为：3(,12)219、若810x ，24y ，则2x y 的范围是___________，xy的范围是___________．【答案】 12,18； 2,5【详解】因为810x ，所以16220x ，由24y 可得42y ，所以12218x y ，由24y 可得11142y ，因为810x ，所以25xy，所以2x y 的范围是 12,18，xy的范围是 2,5，故答案为： 12,18； 2,5.20、设46,12a b ，则aa b的取值范围是________（取值范围写成区间形式）【答案】(0,3)【详解】解：由12b ，得1112b，所以1112b，所以1111112b ，即11012b ，因为46a ，所以1140(162a b ，即03aa b，所以aa b的取值范围是(0,3)，故答案为：(0,3)21、已知,,a b c R ，满足a b c .（1）求证：1110a b b c c a；（2）现推广：把1c a 的分子改为另一个大于1的正整数p ，使110pa b b c c a对任意a b c 恒成立，试写出一个p ，并证明之.【答案】（1）证明见解析；（2）2p ，证明见解析.【详解】（1）由于a b c ，所以0a b ，0b c ，0a c ，要证1110a b b c c a，只需证明111()()0a c a b b c c a.左边111[()()](a b b c a b b c c a130b c a b a b b c（2）要使110p a b b c c a，只需11()()0pa c ab bc c a ，左边11[()()]()24p b c a ba b b c p p a b b c c a a b b c，所以只需40p 即可，即4p ，所以可以取2p ，3代入上面过程即可.22、（1）已知,a b c d ，求证：a c b d ；（2）已知,0a b ab ，求证：11a b；（3）已知0,0a b c d ，求证：a bc d.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【详解】证明：（1）因为,a b c d ，所以,a b c d .则a c b d .（2）因为0ab ，所以10ab.又因为a b ，所以1a b ab ab，即11b a ，因此11a b .（3）因为0c d ，根据（2）的结论，得110c d.又因为0a b ，则11a b c d，即a b c d.23、若0a b ，0c d ,||||b c （1）求证：0b c ；（2）求证：22()()b c a da cb d ；（3）在（2）中的不等式中，能否找到一个代数式，满足2()b c a c 所求式2()a db d ？若能，请直接写出该代数式；若不能，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）能，222()()()b c b c a da cb d b d .【详解】（1）因为||||b c ，且0,0b c ，所以b c ，所以0b c .（2）因为0c d ，所以0c d ．又因为0a b ，所以由同向不等式的相加性可将以上两式相加得0a c b d ．所以22()()0a c b d ．所以22110()()a c b d，因为,a b d c ，所以由同向不等式的相加性可将以上两式相加得a d b c ．所以0a d b c ，所以由两边都是正数的同向不等式的相乘可得22()()b c a da cb d .（3）因为0b c ，22110()()a c b d，所以22()()b c b ca cb d ，因为0b c a d ，210()b d ，所以22()()b c a db d b d ，所以222()()()b c b c a da cb d b d .所以在（2）中的不等式中，能找到一个代数式2()b cb d 满足题意.24、设27a ，12b ，求 a b ， a b ，ab的范围．【答案】19a b ，46a b ，27ab．【详解】∵27a ，12b ，∴19a b ，21b ，1112b，∴46a b ；当20a 时，02a ，则02a b ，所以20ab；当0a 时，0ab；当07a 时，07a b，综上，27a b ，故19a b ，46a b ，27a b．25、实数,a b 满足32a b ，14a b ．（1）求实数,a b 的取值范围；（2）求32a b 的取值范围．【答案】（1）23a ，7322b；（2）43211a b ．【分析】（1）直接利用不等式的性质即可求得a ，b 的取值范围；（2）设32()()a b m a b n a b ，求解m ，n 的值，再由不等式的可乘积性与可加性求得32a b 的取值范围．【详解】（1）由32a b ，14a b ，两式相加得，426a ，则23a ，由14a b ，得41a b ，又32a b ，两式相加得，723b ，即7322b ；（2）设 32a b m a b n a b m n a m n b ，则32m n m n ，解得1252m n，∴ 153222a b a b a b ，∵32,14a b a b ，∴ 31551,102222a b a b ，则43211a b ．。

高考不等式知识点总结

高考不等式知识点总结高考数学中不等式是一个非常重要的知识点，占据着较大的比重。

下面是对高考数学中不等式知识点的完整总结：一、基本概念和性质1.不等关系：对于实数a和b，如果a=b，则称a等于b；如果a≠b，则称a不等于b。

当a不等于b时，可以断定a大于b（记作a>b），或者a小于b（记作a<b）。

2.不等式：不等式是由不等关系得到的等式，包括大于等于不等式（a≥b）和小于等于不等式（a≤b）。

3.基本性质：(1)若a>b且b>c，则a>c；(2) 若a>b且c>0，则ac>bc；(3) 若a>b且c<0，则ac<bc；(4)若a>b且c≥0，则a+c>b+c；(5)若a>b且c≤0，则a+c>b+c。

4.解不等式：与解方程类似，解不等式是指寻找满足不等式的解的过程。

5.不等式的性质：对于不等式两边同时加减一个相同的数，不等号方向不变；对于不等式两边同时乘除一个同号的数，不等号方向不变；对于不等式两边同时乘除一个异号的数，不等号方向改变。

二、一元一次不等式1.解一元一次不等式：求解一元一次不等式的关键是确定x的取值范围。

在解过程中，可以通过加减法、乘除法保持不等式不变。

2.不等式组：由多个不等式组成的方程组，称为不等式组。

求解不等式组的关键是确定每个不等式的集合和并集。

三、一元二次不等式1.解一元二次不等式：求解一元二次不等式的关键是确定不等式的根及开口方向。

可以根据系数的正负、零点的位置和变号法等来确定解的范围。

2.二次函数与一元二次不等式：通过对一元二次不等式的解法，可以进一步理解和应用二次函数的性质。

四、绝对值不等式1.绝对值不等式的性质：对于绝对值不等式，可以利用绝对值的性质将其拆分为多个实数的不等式。

2.解绝对值不等式的关键是分情况讨论。

将绝对值不等式中的绝对值拆分出来，分别讨论绝对值内外的情况，从而得到解的范围。

高考数学复习讲义不等式(学生版)

高考数学复习讲义不等式【要点提炼】考点一不等式的性质与解法1．不等式的倒数性质(1)a>b ，ab>0⇒1a <1b. (2)a<0<b ⇒1a <1b. (3)a>b>0,0<c<d ⇒a c >b d. 2．不等式恒成立问题的解题方法(1)f(x)>a 对一切x ∈I 恒成立⇔f(x)min >a ，x ∈I ；f(x)<a 对一切x ∈I 恒成立⇔f(x)max <a ，x ∈I.(2)f(x)>g(x)对一切x ∈I 恒成立⇔当x ∈I 时，f(x)的图象在g(x)的图象的上方．(3)解决恒成立问题还可以利用分离参数法．【热点突破】【典例】1 (1)若p>1,0<m<n<1，则下列不等式正确的是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫m n p >1 B.p －m p －n <m n C ．m －p <n －p D ．log m p>log n p(2)(2020·北京市昌平区新学道临川学校模拟)已知关于x 的不等式ax －b ≤0的解集是[2，＋∞)，则关于x 的不等式ax 2＋(3a －b)x －3b<0的解集是( )A ．(－∞，－3)∪(2，＋∞)B ．(－3,2)C ．(－∞，－2)∪(3，＋∞)D ．(－2,3)【拓展训练】1 (1)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3，x<12，1x ，x ≥12，则不等式x 2f(x)＋x －2≤0的解集是________________． (2)若不等式(a 2－4)x 2＋(a ＋2)x －1≥0的解集是空集，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，65B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，65C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，65D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，65∪{2}【要点提炼】考点二基本不等式基本不等式求最值的三种解题技巧(1)凑项：通过调整项的符号，配凑项的系数，使其积或和为定值．(2)凑系数：若无法直接运用基本不等式求解，通过凑系数后可得到和或积为定值，从而利用基本不等式求最值．(3)换元：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开，即化为y ＝m ＋A g x＋Bg(x)(AB>0)，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式求最值．【典例】2 (1)下列不等式的证明过程正确的是( )A ．若a ，b ∈R ，则b a ＋a b≥2b a ·a b ＝2 B ．若a<0，则a ＋4a ≥－2a ·4a＝－4 C ．若a ，b ∈(0，＋∞)，则lg a ＋lg b ≥2lg a ·lg bD ．若a ∈R ，则2a ＋2－a ≥22a ·2－a ＝2(2)(2019·天津)设x>0，y>0，x ＋2y ＝5，则x ＋12y ＋1xy 的最小值为________．【拓展训练】2 (1)(2020·北京市中国人民大学附属中学模拟)已知a>0，b>0，且a －b ＝1，则2a ＋1b的最小值为________． (2)(2020·江苏)已知5x 2y 2＋y 4＝1(x ，y ∈R )，则x 2＋y 2的最小值是________．专题训练一、单项选择题1．不等式(－x ＋3)(x －1)<0的解集是( )A ．{x|－1<x<3}B ．{x|1<x<3}C ．{x|x<－1或x>3}D ．{x|x<1或x >3}2．下列命题中正确的是( )A ．若a>b ，则ac 2>bc 2B ．若a>b ，c<d ，则a c >b dC ．若a>b ，c>d ，则a －c>b －dD ．若ab>0，a>b ，则1a <1b 3．(2020·北京市昌平区新学道临川学校模拟)已知一元二次不等式f(x)<0的解集为{x|x<－2或x>3}，则f(10x)>0的解集为( )A ．{x|x<－2或x>lg 3}B ．{x|－2<x<lg 3}C ．{x|x>lg 3}D ．{x|x<lg 3} 4．若a>b>0，且ab ＝1，则下列不等式成立的是( )A ．a ＋1b <b 2a <log 2(a ＋b) B.b 2a <log 2(a ＋b)<a ＋1bC ．a ＋1b <log 2(a ＋b)<b 2aD ．log 2(a ＋b)<a ＋1b <b 2a 5．(2018·全国Ⅲ)设a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，则( )A ．a ＋b<ab<0B ．ab<a ＋b<0C ．a ＋b<0<abD ．ab<0<a ＋b6．已知x>0，y>0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是( )A ．3B ．4 C.92 D.1127．已知a>－1，b>－2，(a ＋1)(b ＋2)＝16，则a ＋b 的最小值是( )A ．4B ．5C ．6D ．78．已知正实数a ，b ，c 满足a 2－2ab ＋9b 2－c ＝0，则当ab c 取得最大值时，3a ＋1b －12c的最大值为( )A ．3 B.94C ．1D ．0 二、多项选择题9．设f(x)＝ln x,0<a<b ，若p ＝f(ab)，q ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，r ＝12[f(a)＋f(b)]，则下列关系式中正确的是( )A ．q ＝rB ．p<qC ．p ＝rD ．p>q10．已知a ∈Z ，关于x 的一元二次不等式x 2－6x ＋a ≤0的解集中有且仅有3个整数，则a 的值可以是( )A ．6B ．7C ．8D ．911．(2020·威海模拟)若a ，b 为正实数，则a>b 的充要条件为( )A.1a >1bB ．ln a>ln bC ．aln a<bln bD ．a －b<e a －e b12．(2020·新高考全国Ⅰ)已知a>0，b>0，且a ＋b ＝1，则( )A ．a 2＋b 2≥12B ．2a －b >12C ．log 2a ＋log 2b ≥－2 D.a ＋b ≤ 2三、填空题 13．对于0<a<1，给出下列四个不等式：①log a (1＋a)<log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ；②log a (1＋a)>log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ；③a 1＋a <11a a +；④a 1＋a >a1＋1a.其中正确的是________．(填序号) 14．当x ∈(0，＋∞)时，关于x 的不等式mx 2－(m ＋1)x ＋m>0恒成立，则实数m 的取值范围是________．15．已知函数f(x)＝x 3－2x ＋e x －1e x ，其中e 是自然对数的底数，若f(a －1)＋f(2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是________．16．已知实数x ，y 满足x>1，y>0且x ＋4y ＋1x －1＋1y ＝11，则1x －1＋1y 的最大值为________．。

2024新高考数学基础知识梳理与课本优秀题目巩固-模块02-不等式的性质及基本不等式

模块二：不等式的性质及基本不等式1、不等关系与不等式
3）常见的文字语言转化为符号语言的对应关系：
2、实数大小比较的依据
3、等式的性质
4、不等式的性质
2、基本不等式
（1）重要不等式：()222,R a b ab a b +≥∈
对任意实数a ，b ，都有222a b ab +≥，当且仅当a b =时，等号成立．证明：
（2）基本不等式
如果0a >，0b >
2
a b
+≤
，当且仅当a b =是，等号成立．其中
2
a b
+叫做正数a ，b
叫做正数a ，b 的几何平均数．基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
（3）基本不等式与重要不等式的区别与联系
（4）基本不等式变形
（5）最值定理
（6）基本不等式拓展
1）三元基本不等式
2）n元基本不等式
【课本优质习题汇总】新人教A版必修一P43
新人教A版必修一P58
新人教B版必修一P60
新人教B版必修一P80
新人教B版必修一P81
新人教B版必修一P84
新人教B版必修一P85
新人教B版必修一P86。

高考数学一轮复习讲义(新高考版) 第2章第3讲基本不等式

第3讲基本不等式一、知识梳理 1．基本不等式:ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件:a ≥0,b ≥0. (2)等号成立的条件:当且仅当a ＝b 时取等号．(3)其中a ＋b2称为正数a ,b ,ab a ,b 的几何平均数．[点拨] 应用基本不等式求最值要注意:“一正、二定、三相等”．忽略某个条件,就会出错．2．利用基本不等式求最值已知x ≥0,y ≥0,则(1)如果积xy 是定值p ,那么当且仅当x ＝y 时,x ＋y 有最小值是2p ．(简记:积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值s ,那么当且仅当x ＝y 时,xy 有最大值是s 24．(简记:和定积最大)[点拨] 在利用不等式求最值时,一定要尽量避免多次使用基本不等式．若必须多次使用,则一定要保证它们等号成立的条件一致．常用结论几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ,b ∈R ),当且仅当a ＝b 时取等号． (2)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ,b ∈R ),当且仅当a ＝b 时取等号． (3)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ,b ∈R ),当且仅当a ＝b 时取等号． (4)b a ＋ab ≥2(a ,b 同号),当且仅当a ＝b 时取等号．二、教材衍化1．设x ＞0,y ＞0,且x ＋y ＝18,则xy 的最大值为( ) A ．80 B ．77 C ．81D ．82解析:选C ．xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22＝⎝⎛⎭⎫1822＝81,当且仅当x ＝y ＝9时等号成立,故选C ． 2．若把总长为20 m 的篱笆围成一个矩形场地,则矩形场地的最大面积是________．解析:设矩形的长为x m ,宽为y m ,则x ＋y ＝10,所以S ＝xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22＝25,当且仅当x ＝y ＝5时取等号．答案:25 m 2一、思考辨析判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)函数y ＝x ＋1x 的最小值是2.( )(2)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22成立的条件是ab >0.( )(3)“x >0且y >0”是“x y ＋yx ≥2”的充要条件．( )(4)若a >0,则a 3＋1a 2的最小值是2a .( )答案:(1)× (2)× (3)× (4)× 二、易错纠偏常见误区| (1)忽视不等式成立的条件a >0且b >0; (2)忽视定值存在; (3)忽视等号成立的条件． 1．若x <0,则x ＋1x ( )A ．有最小值,且最小值为2B ．有最大值,且最大值为2C ．有最小值,且最小值为－2D ．有最大值,且最大值为－2解析:选D ．因为x <0,所以－x >0,－x ＋1－x ≥21＝2,当且仅当x ＝－1时,等号成立,所以x ＋1x≤－2.2．若x >1,则x ＋4x －1的最小值为________．解析:x ＋4x －1＝x －1＋4x －1＋1≥4＋1＝5. 当且仅当x －1＝4x －1,即x ＝3时等号成立．答案:53．设0<x <1,则函数y ＝2x (1－x )的最大值为________．解析:y ＝2x (1－x )≤2⎝⎛⎭⎫x ＋1－x 22＝12.当且仅当x ＝1－x ,即x ＝12时,等号成立．答案:12考点一利用基本不等式求最值(基础型) 复习指导| 探索并了解基本不等式的证明过程,会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．核心素养:逻辑推理角度一通过配凑法求最值(1)已知0<x <1,则x (4－3x )取得最大值时x 的值为________． (2)已知x <54,则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为________．【解析】 (1)x (4－3x )＝13·(3x )(4－3x )≤13·⎣⎡⎦⎤3x ＋（4－3x ）22＝43, 当且仅当3x ＝4－3x , 即x ＝23时,取等号．(2)因为x <54,所以5－4x >0,则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－(5－4x ＋15－4x)＋3≤－2（5－4x ）15－4x＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x ＝15－4x ,即x ＝1时,等号成立．故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1. 【答案】 (1)23(2)1通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略拼凑法的实质在于代数式的灵活变形,拼系数、凑常数是关键,利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题:(1)拼凑的技巧,以整式为基础,注意利用系数的变化以及等式中常数的调整,做到等价变形;(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标; (3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．角度二通过常数代换法求最值已知a >0,b >0,a ＋b ＝1,则⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b 的最小值为________．【解析】 ⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝⎝⎛⎭⎫1＋a ＋b a ⎝⎛⎭⎫1＋a ＋b b ＝⎝⎛⎭⎫2＋b a · ⎝⎛⎭⎫2＋a b ＝5＋2⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ≥5＋4＝9.当且仅当a ＝b ＝12时,取等号．【答案】 9【迁移探究1】 (变问法)若本例中的条件不变,则1a ＋1b 的最小值为________．解析:因为a >0,b >0,a ＋b ＝1,所以1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋b a ＋a b ≥2＋2b a ·a b ＝4,即1a ＋1b的最小值为4,当且仅当a ＝b ＝12时等号成立．答案:4【迁移探究2】 (变条件)若本例条件变为:已知a >0,b >0,4a ＋b ＝4,则⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b 的最小值为________．解析:由4a ＋b ＝4得a ＋b4＝1,⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a ＋b 4a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a ＋b 4b ＝⎝⎛⎭⎫2＋b 4a ⎝⎛⎭⎫54＋a b ＝52＋2a b ＋5b 16a ＋14≥114＋258＝114＋102.当且仅当42a ＝5b 时取等号．答案:114＋102常数代换法求最值的步骤(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数); (2)把确定的定值(常数)变形为1;(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除,进而构造和或积的形式; (4)利用基本不等式求解最值．角度三通过消元法求最值若正数x ,y 满足x 2＋6xy －1＝0,则x ＋2y 的最小值是( )A ．223B ．23C ．33D ．233【解析】因为正数x ,y 满足x 2＋6xy －1＝0,所以y ＝1－x26x .由⎩⎨⎧x >0y >0即⎩⎨⎧x >01－x 26x>0解得0<x <1.所以x ＋2y ＝x ＋1－x 23x ＝2x 3＋13x ≥22x 3·13x ＝223,当且仅当2x 3＝13x ,即x ＝22,y ＝212时取等号．故x ＋2y 的最小值为223.【答案】 A通过消元法求最值的方法消元法,即根据条件建立两个量之间的函数关系,然后代入代数式转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题,解决方法是消元后利用基本不等式求解．但应注意保留元的范围．1．(2020·辽宁大连第一次(3月)双基测试)已知正实数a ,b 满足a ＋b ＝(ab )32,则ab 的最小值为( )A ．1B ． 2C ．2D ．4解析:选C ．(ab )32＝a ＋b ≥2ab ＝2(ab )12,所以ab ≥2,当且仅当a ＝b ＝2时取等号,故ab 的最小值为2,故选C ．2．已知x ,y 为正实数,则4x x ＋3y ＋3y x 的最小值为( )A ．53B ．103C ．32D ．3解析:选D ．由题意得x >0,y >0,4x x ＋3y ＋3y x ＝4xx ＋3y ＋x ＋3y x －1≥24x x ＋3y ·x ＋3yx－1＝4－1＝3(当且仅当x ＝3y 时等号成立)．3．已知x >0,y >0,且x ＋16y ＝xy ,则x ＋y 的最小值为________．解析:已知x >0,y >0,且x ＋16y ＝xy .即16x ＋1y ＝1,则x ＋y ＝(x ＋y )·⎝⎛⎭⎫16x ＋1y ＝16＋1＋16y x ＋x y≥17＋2 16y x ·xy＝25,当且仅当x ＝4y ＝20时等号成立,所以x ＋y 的最小值为25. 答案:25考点二利用基本不等式解决实际问题(应用型) 复习指导| 利用基本不等式解决实际问题,关键是把实际问题抽象出数学模型,列出函数关系,然后利用基本不等式求最值．某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,采用了新工艺,把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨,最多为600吨,月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为y ＝12x 2－200x ＋80 000,且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．(1)该单位每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利,求出最大利润;如果不获利,则需要国家至少补贴多少元才能使单位不亏损？【解】 (1)由题意可知,二氧化碳每吨的平均处理成本为y x ＝12x ＋80 000x －200≥212x ·80 000x－200＝200, 当且仅当12x ＝80 000x ,即x ＝400时等号成立,故该单位月处理量为400吨时,才能使每吨的平均处理成本最低,最低成本为200元．(2)不获利．设该单位每月获利为S 元,则S ＝100x －y ＝100x －⎝⎛⎭⎫12x 2－200x ＋80 000＝－12x 2＋300x －80 000＝－12(x －300)2－35 000,因为x ∈[400,600],所以S ∈[－80 000,－40 000]．故该单位每月不获利,需要国家每月至少补贴40 000元才能不亏损．应用基本不等式解决实际问题的基本步骤(1)理解题意,设出变量,建立相应的函数关系式,把实际问题抽象为函数的最值问题; (2)在定义域内,利用基本不等式求出函数的最值; (3)还原为实际问题,写出答案．某游泳馆拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的泳池,池的深度为1米,池的四周墙壁建造单价为每米400元,中间一条隔壁建造单价为每米100元,池底建造单价每平方米60元(池壁厚忽略不计),则泳池的长设计为多少米时,可使总造价最低．解:设泳池的长为x 米,则宽为200x 米,总造价f (x )＝400×⎝⎛⎭⎫2x ＋2×200x ＋100×200x＋60×200＝800×⎝⎛⎭⎫x ＋225x ＋12 000≥1 600x ·225x ＋12 000＝36 000(元),当且仅当x ＝225x(x >0),即x ＝15时等号成立．即泳池的长设计为15米时,可使总造价最低．[基础题组练]1．(2020·安徽省六校联考)若正实数x ,y 满足x ＋y ＝2,则1xy 的最小值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析:选A ．因为正实数x ,y 满足x ＋y ＝2, 所以xy ≤（x ＋y ）24＝224＝1,所以1xy ≥1.2．若2x ＋2y ＝1,则x ＋y 的取值范围是( ) A ．[0,2] B ．[－2,0] C ．[－2,＋∞)D ．(－∞,－2] 解析:选D ．因为1＝2x ＋2y ≥22x ·2y ＝22x ＋y ,(当且仅当2x ＝2y ＝12,即x ＝y ＝－1时等号成立)所以2x ＋y ≤12,所以2x ＋y ≤14,得x ＋y ≤－2.3．若实数a ,b 满足1a ＋2b ＝ab ,则ab 的最小值为( )A ． 2B ．2C ．2 2D ．4解析:选C ．因为1a ＋2b ＝ab ,所以a ＞0,b ＞0,由ab ＝1a ＋2b≥21a ×2b＝22ab, 所以ab ≥22(当且仅当b ＝2a 时取等号), 所以ab 的最小值为2 2.4．(多选)若a ,b ∈R ,且ab >0,则下列不等式中,恒成立的是( ) A ．a ＋b ≥2ab B ．1a ＋1b >1abC ．b a ＋ab≥2D ．a 2＋b 2≥2ab解析:选CD ．因为ab >0,所以b a >0,a b >0,所以b a ＋ab≥2b a ·ab＝2,当且仅当a ＝b 时取等号．所以选项C 正确,又a ,b ∈R ,所以(a －b )2≥0,即a 2＋b 2≥2ab 一定成立．5．已知x >0,y >0,lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2,则1x ＋13y 的最小值是( )A ．2B ．2 2C ．4D ．2 3解析:选C ．因为lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2,所以lg(2x ·8y )＝lg 2,所以2x ＋3y＝2,所以x ＋3y ＝1.因为x >0,y >0,所以1x ＋13y ＝(x ＋3y )·⎝⎛⎭⎫1x ＋13y ＝2＋3y x ＋x 3y ≥2＋23y x ·x3y＝4,当且仅当x ＝3y ＝12时取等号,所以1x ＋13y的最小值为4.故选C ．6．设P (x ,y )是函数y ＝2x(x >0)图象上的点,则x ＋y 的最小值为________．解析:因为x >0,所以y >0,且xy ＝2.由基本不等式得x ＋y ≥2xy ＝22,当且仅当x ＝y 时等号成立．所以x ＋y 的最小值为2 2.答案:2 27．函数y ＝x 2x ＋1(x >－1)的最小值为________．解析:因为y ＝x 2－1＋1x ＋1＝x －1＋1x ＋1＝x ＋1＋1x ＋1－2(x >－1),所以y ≥21－2＝0,当且仅当x ＝0时,等号成立．答案:08．(2020·湖南岳阳期末改编)若a >0,b >0,且a ＋2b －4＝0,则ab 的最大值为________,1a ＋2b的最小值为________．解析:因为a >0,b >0,且a ＋2b －4＝0,所以a ＋2b ＝4,所以ab ＝12a ·2b ≤12×⎝⎛⎭⎫a ＋2b 22＝2,当且仅当a ＝2b ,即a ＝2,b ＝1时等号成立,所以ab 的最大值为2,因为1a ＋2b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋2b ·a ＋2b4＝14(5＋2b a ＋2a b )≥14⎝⎛⎭⎫5＋2·2b a ·2a b ＝94,当且仅当a ＝b 时等号成立,所以1a ＋2b 的最小值为94. 答案:2 949．(1)当x <32时,求函数y ＝x ＋82x －3的最大值;(2)设0<x <2,求函数y ＝x （4－2x ）的最大值．解:(1)y ＝12(2x －3)＋82x －3＋32＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2x 2＋83－2x ＋32.当x <32时,有3－2x >0,所以3－2x 2＋83－2x ≥23－2x 2·83－2x＝4, 当且仅当3－2x 2＝83－2x ,即x ＝－12时取等号．于是y ≤－4＋32＝－52,故函数的最大值为－52.(2)因为0<x <2,所以2－x >0,所以y ＝x （4－2x ）＝2·x （2－x ）≤2·x ＋2－x2＝2,当且仅当x ＝2－x ,即x ＝1时取等号,所以当x ＝1时,函数y ＝x （4－2x ）的最大值为 2. 10．已知x >0,y >0,且2x ＋8y －xy ＝0,求 (1)xy 的最小值; (2)x ＋y 的最小值．解:(1)由2x ＋8y －xy ＝0, 得8x ＋2y ＝1, 又x >0,y >0, 则1＝8x ＋2y ≥28x ·2y ＝8xy. 得xy ≥64,当且仅当x ＝16,y ＝4时,等号成立．所以xy 的最小值为64.(2)由2x ＋8y －xy ＝0,得8x ＋2y ＝1,则x ＋y ＝⎝⎛⎭⎫8x ＋2y ·(x ＋y ) ＝10＋2x y ＋8yx≥10＋22x y ·8yx＝18. 当且仅当x ＝12,y ＝6时等号成立,所以x ＋y 的最小值为18.[综合题组练]1．设a >0,若关于x 的不等式x ＋ax －1≥5在(1,＋∞)上恒成立,则a 的最小值为( ) A ．16 B ．9 C ．4D ．2解析:选C ．在(1,＋∞)上,x ＋a x －1＝(x －1)＋a x －1＋1≥2 （x －1）×a（x －1）＋1＝2a ＋1(当且仅当x ＝1＋a 时取等号)．由题意知2a ＋1≥5,所以a ≥4. 2．(2020·福建龙岩一模)已知x >0,y >0,且1x ＋1＋1y ＝12,则x ＋y 的最小值为( ) A ．3 B ．5 C ．7D ．9解析:选C ．因为x >0,y >0.且1x ＋1＋1y ＝12,所以x ＋1＋y ＝2⎝⎛⎭⎫1x ＋1＋1y (x ＋1＋y )＝2(1＋1＋y x ＋1＋x ＋1y )≥2(2＋2y x ＋1·x ＋1y )＝8,当且仅当yx ＋1＝x ＋1y ,即x ＝3,y ＝4时取等号,所以x ＋y ≥7,故x ＋y 的最小值为7,故选C ．3．已知正实数x ,y 满足x ＋y ＝1,①则x 2＋y 2的最小值为________;②若1x ＋4y ≥a 恒成立,则实数a 的取值范围是________．解析:因为x ＋y ＝1,所以xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22＝14,所以x 2＋y 2＝(x ＋y )2－2xy ≥1－14×2＝12,所以x 2＋y 2的最小值为12.若a ≤1x ＋4y 恒成立,则a 小于等于⎝⎛⎭⎫1x ＋4y 的最小值,因为1x ＋4y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋4y (x ＋y )＝5＋y x ＋4x y ≥5＋2y x ×4x y ＝9,所以1x ＋4y的最小值为9,所以a ≤9,故实数a 的取值范围是(－∞,9]．答案:12(－∞,9]4．(2020·洛阳市统考)已知x >0,y >0,且1x ＋2y ＝1,则xy ＋x ＋y 的最小值为________．解析:因为1x ＋2y ＝1,所以2x ＋y ＝xy ,所以xy ＋x ＋y ＝3x ＋2y ,因为3x ＋2y ＝(3x ＋2y )·(1x ＋2y )＝7＋6x y ＋2yx,且x >0,y >0,所以3x ＋2y ≥7＋43,所以xy ＋x ＋y 的最小值为7＋4 3. 答案:7＋4 3教案、讲义、课件、试卷、PPT 模板、实用文案，请关注【春暖文案】，进店下载。

数学高考不等式知识点归纳

数学高考不等式知识点归纳数学是高考中不可或缺的一门科目，而数学的不等式是其中一个重要的知识点。

在高考中，会涉及到各种类型的不等式问题，考生需要对不等式的性质和解法有深刻的理解。

下面我将对数学高考中常见的不等式知识点进行归纳整理。

一、基本不等式基本不等式是解决不等式问题的基础，它是数学推理的起点。

基本不等式有两个方面的含义：其一是一个数平方一定大于等于零，即对任意实数x，x²≥0，即x²≥0；其二是有理数的平方的大小关系，即对任意实数x和y，如果x>y，则x²>y²。

二、一元一次不等式一元一次不等式是高考中最简单、最常见的不等式类型。

对于一元一次不等式，考生需要掌握解法的基本思路，如通过移项、乘除法等基本运算，确定不等式的解集。

三、一元二次不等式一元二次不等式是高考中较为复杂的不等式类型。

对于一元二次不等式，考生需要将其转化为二次函数的解析表达式，然后通过解二次方程来求解。

在解决一元二次不等式问题时，应注意借助二次函数的图像进行推理，从而获得正确的解集。

四、有理不等式有理不等式是由有理数构成的不等式。

对于有理不等式，考生需要掌握解法的一般步骤，如将不等式分母消去、确定分界点、绘制数轴图、判断各个区间的正负性等。

五、绝对值不等式绝对值不等式是高考中常见的不等式类型，而且解法相对简单。

对于绝对值不等式，考生需要掌握将其转化为两个简单的不等式，并分别求解的方法。

六、复合不等式复合不等式由多个不等式组合而成，对于复合不等式，考生需要掌握解法的一般步骤，如将多个不等式合并、确定解集的交集或并集等。

在解复合不等式问题时，需要特别注意各个不等式的对应关系。

七、几何不等式几何不等式是利用几何图形的性质来解决不等式问题。

对于几何不等式，考生需要通过合理的假设、推理以及几何图形的性质来求解。

在解决几何不等式问题时，应灵活运用几何知识和不等式知识，结合具体题目进行分析和推导。

高考数学知识点不等式的基本性质详解

高考数学知识点不等式的基本性质详解不等式的考察在高考中从未消逝，以下是不等式的差不多性质详解，请参考。

不等式的差不多性质1.不等式的定义：a-bb,a-b=0a=b,a-b0a①事实上质是运用实数运算来定义两个实数的大小关系。

它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的要紧依据。

②能够结合函数单调性的证明那个熟悉的知识背景，来认识作差法比大小的理论基础是不等式的性质。

作差后，为判定差的符号，需要分解因式，以便使用实数运算的符号法则。

2.不等式的性质：①不等式的性质可分为不等式差不多性质和不等式运算性质两部分。

不等式差不多性质有：(1)abb(2)acac(传递性)(3)ab+c(cR)(4)c0时，abcc0时，abac运算性质有：(1)ada+cb+d。

(2)a0,c0acbd。

(3)a0anbn(nN,n1)。

(4)a0N,n1)。

应注意，上述性质中，条件与结论的逻辑关系有两种：和即推出关系和等价关系。

一样地，证明不等式确实是从条件动身施行一系列的推出变换。

解不等式确实是施行一系列的等价变换。

因此，要正确明白得和应用不等式性质。

②关于不等式的性质的考察，要紧有以下三类问题：(1)依照给定的不等式条件，利用不等式的性质，判定不等式能否成立。

(2)利用不等式的性质及实数的性质，函数性质，判定实数值的大小。

课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是,但学生写作文运用到文章中的甚少,即使运用也专门难做到恰如其分。

什么缘故?依旧没有完全“记死”的缘故。

要解决那个问题,方法专门简单,每天花3-5分钟左右的时刻记一条成语、一则名言警句即可。

能够写在后黑板的“积存专栏”上每日一换,能够在每天课前的3分钟让学生轮番讲解,也可让学生个人搜集,每天往笔记本上抄写,教师定期检查等等。

如此,一年就可记300多条成语、30 0多则名言警句,日积月累,终究会成为一笔不小的财宝。

这些成语典故“贮藏”在学生脑中,自然会出口成章,写作时便会为所欲为地“提取”出来,使文章增色添辉。

高考数学复习知识点讲解教案第3讲等式与不等式

> 1，，， >

0，则

0，则

>
<
+
+
+
+
< 1；
> 1.
◆ 对点演练 ◆
题组一常识题
1.［教材改编］
设 = + 2， = +
[解析] ∵ − = +
2

2

+ 1 − + 2 =
≥
+ 1，则与的大小关系是_______.
2

− 2 + 1 = − 1
不等式中不成立的是(
)
D

D.

A. + > +
B. >
C. <
>
［思路点拨］（1）利用不等式的性质判断选项A，B，利用平方法判断选项C，
进而判断选项D即可.
[解析] ∵ > > > > 0，∴ + > + ， > ，故A，B中不等式成立；
< 0，可得 < < 0，即能推出 > ；反之，
1
0.所以“

<
1

< 0”是“ > ”的充分不必要条件，故B正确.
对于C，若 > ，则当 = −2， = 1时，满足 > ，但 < ；反之，
若 > ，则当 = 2， = −3时，满足 > ，但 < .
<
（2）传递性: > , > ⇒ > （单向性）.

高考数学中的不等式相关知识点详解

高考数学中的不等式相关知识点详解数学是高考必考科目之一，而在数学中，不等式是重要的内容。

不等式是数学中的一个分支，是许多数学理论和应用中的核心。

在高考中，不等式占有很高的比重，因此，在高考中，掌握不等式相关知识点是非常重要的。

本文将详细解析高考中的不等式相关知识点。

一、基本不等式在学习不等式的时候，我们首先要了解基本不等式。

基本不等式是比较基本的不等式，是许多不等式的基础。

基本不等式的表达式为：a2+b2≥2ab。

其中，a和b为任意实数。

利用基本不等式可以解决很多的不等式问题。

我们可以通过基本不等式来证明很多与不等式有关的结论。

例如，证明平均值不小于几何平均值，证明勾股定理等等。

二、一元二次不等式及其解法一元二次不等式就是带有二次项的一元不等式，它的一般形式为：ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0。

其中，a、b和c为常数，且a≠0。

一元二次不等式的解法有以下方式：1. 求解线性方程组对一元二次不等式的方程左边进行变形得到：ax2+bx+c≥0。

然后再根据二次函数图像上跨过X轴的方法，画出图像并求出x的取值范围。

最后，将图像左侧和右侧的值代入不等式，进而解出不等式的解。

2. 二次函数图像法通过画出二次函数图像，找到函数图像上跨过X轴的点，并根据函数图像上跨过X轴的点，解出不等式的解。

3. 公式法通过求出方程式ax2+bx+c=0的根，即可解出不等式的解。

当a>0时，方程的根为： x1=（-b+√(b2-4ac))/(2a) 和 x2=（-b-√(b2-4ac))/(2a)。

当 a<0时，方程的根为： (-b+√(b2-4ac))/(2a)<x<(-b-√(b2-4ac))/(2a)。

三、二元不等式二元不等式是指包含两个变量的不等式式子，它的一般形式为：f(x,y)≥0或f(x,y)≤0。

其中，x和y是变量，称为未知数，f(x,y)是由x和y组成的表达式。

二元不等式的解法有以下方式：1.用集合表示法通过用集合表示法定义不等式的解集，可以清晰地看到不等式的解集。

高考数学复习《不等式》知识点

不等式考试内容：不等式．不等式的基本性质．不等式的证明．不等式的解法．含绝对值的不等式．考试要求：（1）理解不等式的性质及其证明．（2）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用．（3）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式．（4）掌握简单不等式的解法．（5）理解不等式│a │-│b │≤│a+b │≤│a │+│b │§06. 不等式知识要点1. 不等式的基本概念（1）不等（等）号的定义：.0;0;0b a b a b a b a b a b a <⇔<-=⇔=->⇔>- （2）不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式. （3）同向不等式与异向不等式.（4）同解不等式与不等式的同解变形. 2.不等式的基本性质（1）a b b a <⇔>（对称性）（2）c a c b b a >⇒>>,（传递性）（3）c b c a b a +>+⇒>（加法单调性）（4）d b c a d c b a +>+⇒>>,（同向不等式相加）（5）d b c a d c b a ->-⇒<>,（异向不等式相减）（6）bc ac c b a >⇒>>0,.（7）bc ac c b a <⇒<>0,（乘法单调性）（8）bd ac d c b a >⇒>>>>0,0（同向不等式相乘）(9)0,0a b a b c d c d>><<⇒>（异向不等式相除） 11(10),0a b ab a b>>⇒<（倒数关系）（11）)1,(0>∈>⇒>>n Z n b a b a n n 且（平方法则）（12）)1,(0>∈>⇒>>n Z n b a b a n n 且（开方法则） 3.几个重要不等式（1）0,0||,2≥≥∈a a R a 则若（2）)2||2(2,2222ab ab b a ab b a R b a ≥≥+≥+∈+或则、若（当仅当a=b 时取等号）（3）如果a ,b 都是正数，那么.2a b +（当仅当a=b 时取等号）极值定理：若,,,,x y R x y S xy P +∈+==则：○1如果P 是定值, 那么当x=y 时，S 的值最小； ○2如果S 是定值, 那么当x =y 时，P 的值最大. 利用极值定理求最值的必要条件：一正、二定、三相等.,3a b c a b c R +++∈(4)若、、则a=b=c 时取等号） 0,2b aab a b>+≥(5)若则（当仅当a=b 时取等号）2222(6)0||;||a x a x a x a x a x a x a a x a >>⇔>⇔<-><⇔<⇔-<<时，或（7）||||||||||||,b a b a b a R b a +≤±≤-∈则、若 4.几个著名不等式（1）平均不等式：如果a ,b 都是正数，那么2112a ba b+≤+（当仅当a=b时取等号）即：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a 、b 为正数）：特别地，222()22a b a b ab ++≤≤（当a = b 时，222()22a b a b ab ++==）),,,(332222时取等c b a R c b a c b a c b a ==∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+++≥++ ⇒幂平均不等式：22122221)...(1...n n a a a na a a +++≥+++ 注：例如：22222()()()ac bd a b c d +≤++.常用不等式的放缩法：①21111111(2)1(1)(1)1n n n n n n n n n n -==-≥++--p p1)n ==≥pp（2）柯西不等式：时取等号当且仅当（则若nn n n n n n n b a b a b a b a b b b b a a a a b a b a b a b a R b b b b R a a a a ====+++++++≤++++∈∈ΛΛΛΛΛΛ332211223222122322212332211321321))(();,,,,,,,,（3）琴生不等式（特例）与凸函数、凹函数若定义在某区间上的函数f(x),对于定义域中任意两点1212,(),x x x x ≠有12121212()()()()()().2222x x f x f x x x f x f x f f ++++≤≥或则称f(x)为凸（或凹）函数.5.不等式证明的几种常用方法比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法.6.不等式的解法（1）整式不等式的解法（根轴法）.步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解. 特例① 一元一次不等式ax >b 解的讨论；②一元二次不等式ax 2+bx +c >0(a ≠0)解的讨论.（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则()()0()()0()()0;0()0()()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥⎧>⇔>≥⇔⎨≠⎩ （3）无理不等式：转化为有理不等式求解1()0()0()()f x g x f x g x ⎧≥⎫⇒⎪⎬≥⎨⎭⎪>⎩定义域○2⎩⎨⎧<≥⎪⎩⎪⎨⎧>≥≥⇔>0)(0)()]([)(0)(0)()()(2x g x f x g x f x g x f x g x f 或 ○3⎪⎩⎪⎨⎧<≥≥⇔<2)]([)(0)(0)()()(x g x f x g x f x g x f （4）.指数不等式：转化为代数不等式()()()()()(1)()();(01)()()(0,0)()lg lg f x g x f x g x f x a a a f x g x a a a f x g x a b a b f x a b>>⇔>><<⇔<>>>⇔⋅>（5）对数不等式：转化为代数不等式()0()0log ()log ()(1)()0;log ()log ()(01)()0()()()()a a a a f x f x f x g x a g x f x g x a g x f x g x f x g x >>⎧⎧⎪⎪>>⇔>><<⇔>⎨⎨⎪⎪><⎩⎩（6）含绝对值不等式○1应用分类讨论思想去绝对值； ○2应用数形思想； ○3应用化归思想等价转化 ⎩⎨⎧>-<>≤⇔>⎩⎨⎧<<->⇔<)()()()(0)()0)(),((0)()(|)(|)()()(0)()(|)(|x g x f x g x f x g x g x f x g x g x f x g x f x g x g x g x f 或或不同时为注：常用不等式的解法举例（x 为正数）： ①231124(1)2(1)(1)()22327x x x x x -=⋅--≤=②2222232(1)(1)124(1)()22327x x x y x x y y --=-⇒=≤=⇒≤类似于22sin cos sin (1sin )y x x x x ==-，③111||||||()2x x x x x x+=+≥与同号，故取等。

高考数学必考知识点不等式

高考数学必考知识点不等式：不等式导语：高考数学中，不等式是必考的重要知识点之一，掌握不等式的基本性质和解题方法对提高数学成绩至关重要。

本文将重点介绍不等式的基本概念、性质和解题方法。

一、不等式的基本概念不等式是数学中比较两个数大小关系的一种符号表示法。

常见的不等式符号包括大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）和小于等于（≤）。

二、不等式的性质1. 传递性：若a>b，b>c，则a>c。

即不等式大小关系具有传递性的特点。

2. 加减性质：若a>b，则a+c>b+c；若a>b，c>0，则ac>bc。

即不等式两边同时加上或减去相同的数，不等式的大小关系不变；不等式两边同时乘以一个正数（或除以一个正数），大小关系不变；不等式两边同时乘以一个负数（或除以一个负数），不等式的大小关系发生改变。

3. 倒置性质：若a>b，则-b>-a；若a>b，c<0，则ac<bc。

即不等式两边同时乘以-1，不等式的大小关系发生倒置。

4. 倒数性质：若a>b，c>d且c>0，d>0，则1/a<1/b；若a>b，c>d且c<0，d<0，则1/a>1/b。

5. 平方性质：对于正实数a和b，若a>b，则a²>b²；若a=b，则a²=b²；若a<0，b<0，则a²>b²。

即不等式两边同时平方，不等式的大小关系不变。

三、不等式的解题方法1. 直接比较法：通过观察和比较不等式中数的大小关系，直接求解不等式。

例题1：解不等式3x+5>2x-1。

解：首先将不等式移到等式两边，得3x-2x>-1-5，即x>-6。

例题2：解不等式(x+1)(x-2)<0。

解：使用区间法解不等式，首先找出等式的零点x=-1和x=2，然后根据零点将数轴划分为三个区间：(-∞，-1)，(-1，2)和(2，+∞)。

高考数学高频考点复习不等式知识点

高考数学高频考点复习不等式知识点高考数学中，不等式是高频考点之一，掌握不等式的知识点对于拿到高分至关重要。

在这篇文章中，我们将详细讲解高考数学中的不等式知识点，帮助学生高效备考，提升数学成绩。

一、基本不等式基本不等式是指对于任意正整数n，有$1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{n^2} < 2$ 。

它是不等式的基础，很多不等式的证明都要用到它。

不同年份的高考会涉及不同级别的基本不等式，例如2002年高考考察了一次积分应用的基本不等式。

二、几何不等式1. 三角不等式对于任意三角形ABC，有$AB+AC>BC$ 、$AB+BC>AC$ 、$AC+BC>AB$ 。

这是三角形中最基本的不等式，也是高考中经常出现的题型。

2. AM-GM不等式AM-GM不等式又称算术平均值-几何平均值不等式，是不等式理论中最重要的不等式之一。

对于任意正数$x_1,x_2,...,x_n$，有$\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}\ge\sqrt[n]{x_1x_2...x_n}$ 。

这个不等式在数学中有重要的应用价值，尤其是在最优化问题中。

例如，如果要取得两个正数的和的最大值，可以根据AM-GM不等式的证明过程，得到取值时两个数应该等于其算术平均数。

这个应用在高等数学中的微积分、概率论等方面都有所运用。

三、不等式基本变形在解决很多不等式问题时，常常需要进行变形化简。

这里总结几种常用的变形方法。

1. 等式化简法当不等式中包含有分式或者开方时，可以通过把分子、分母进行约比，或把根内部化为一起相乘的形式简化为更好的形式。

2. 同除法当不等式中的表达式不是很清晰时，可以同时除以一个具体的整数，把不等式中的各个部分的关系凸显出来。

例如，$x^2+3x+4>0$ ，可以考虑同时除以4，得到$\frac{x^2}{4}+\frac{3x}{4}+1>0$，进一步转化数学方程节点的形式。