高考数学讲义不等式.知识框架

不等式

要求层次

重难点

基本不等式：

2

a b

ab +≥（,0a b ≥）

C

用基本不等式解决简单的最大（小）值

问题

不等式

要求层次 重难点

一元二次不等式

C

解一元二次不等式

版块一．不等式的性质

1．用不等号()<>≠，，≤，≥，表示不等关系的式子叫做不等式．

2．对于任意两个实数a 和b ，在,,a b a b a b =><三种关系中，有且仅有一种关系成立．

知识内容

高考要求

模块框架

不等式

3．两个实数的大小比较：

对于任意两个实数,a b ，对应数轴上的两点，右边的点对应的实数比左边点对应的实数大．

作差比较法：0a b a b ->⇔>；0a b a b -<⇔<；0a b a b -=⇔=．

其中符号⇔表示它的左边与右边能够互相推出．

4．不等式的性质： 性质1：（对称性）如果a b >，那么b a <；如果b a <，那么a b >． 性质2：（传递性）如果a b >，且b c >，则a c >． 性质3：如果a b >，则a c b c +>+． 推论1：（移项法则）不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号后，从不等

式的一边移到另一边．

推论2：如果,a b c d >>，则a c b d +>+．

我们把a b >和c d >（或a b <和c d <）这类不等号方向相同的不等式，叫做同向不等式．

推论2说明：同向不等式的两边可以分别相加，所得的不等式与原不等式同向． 推广：几个同向不等式的两边分别相加，所得到的不等式与原不等式同向． 性质4：如果a b >，0c >，则ac bc >；如果a b >，0c <，则ac bc <．

实数大小的作商比较法：当0b ≠时，若1a b >，且0b >，则a b >；若1a

b

>，且0b <，

则a b <．

推论1：如果0,0a b c d >>>>，则ac bd >．

推广：几个两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘，所得到的不等式与原不等式同向．

推论2：如果0a b >>，则(,1)n n a b n n +>∈>N ．

推论3：如果0a b >>,1)n n +>∈>N

<教师备案>1． 对于任意两个实数,a b ，有0a b a b ->⇔>；0a b a b -<⇔<；

0a b a b -=⇔=，这几个等价符号的左边反映的是实数的运算性质，右边反

映的是实数的大小顺序．由此知：比较两个实数的大小，可以归结为判断它们的差的符号．这是不等式这一章的理论基础，是不等式性质的证明，证明不等式和解不等式的主要依据．

在学习了不等式的性质后，比较两个实数的大小还可以用作商法，与1比较，但这时要注意分母的正负情况．

2．比较两个代数式的大小关系，实际上是比较它们的值的大小，又归结为判断

它们的差的符号，要引导学生意识到比较法是不等式证明的基本方法．它有两个基本步骤：先作差，再变形判断正负号，难点是后者．这里的代数式的字母是有范围的，省略不写时就表示取值范围是实数集，它的主要变形方法有两种，一是因式分解法，二是配方法，变形时要尽量避免讨论，让依据尽量简便．

3．可以介绍异向不等式，并提醒学生注意什么样的不等式可以相加相减．对于不等式的性质与推论，可以根据学生的情况适当进行推导（比如性质４的推论３可以用反证法证明），让学生知道这些定理的来龙去脉，在不等式的证明中减少想当然，对数学证明的严格化有一定的认识．

版块二．均值不等式

1．均值定理：如果,a b +∈R （+R 表示正实数）

，那么

2

a b

+，当且仅当a b =时，有等号成立．此结论又称均值不等式或基本不等式．

2．对于任意两个实数,a b ，2

a b

+叫做,a b

,a b 的几何平均值．

均值定理可以表述为：两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值．

3．两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；两个正数的和为常数时，它们的积有最大值．

<教师备案>1．在利用均值定理求某些函数的最值时，要注意以下几点： ⑴函数式中的各项必须都是正数，在异号时不能运用均值不等式，在同负时可

以先进行

转化，再运用均值不等式；

⑵函数式中含变数的各项的和或积必须是常数；

⑶只有具备了不等式中等号成立的条件，才能使函数式取到最大或最小值．否

则不能由

均值不等式求最值，只能用函数的单调性求最值． 运用均值不等式的前提有口诀：一正二定三相等． 2．均值不等式的几何解释：半径不小于半弦．

⑴对于任意正实数,a b ，作线段AB a b =+，使,AD a DB b ==； ⑵以AB 为直径作半圆O ，并过D 点作CD AB ⊥于D ， 且交半圆于点C ；

⑶连结,,AC BC OC ，则2

a b

OC +=， ∵,AC BC CD AB ⊥⊥

∴CD 当a b ≠时，在Rt COD ∆中，

有2

a b

OC CD +=>

当且仅当a b =时，,O D

两点重合，有2

a b

OC CD +=== 3．已知：a b +∈R 、（其中+R 表示正实数），

2

2112a b a b +⎝⎭+

≥

2

a b +称为算术平均数，

2

11a b

+称为调和平均数．

证明：()2

22

1024a b a b +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭≥ C

O D

B

A