二次函数动点问题
二次函数压轴题---动点问题解答方法技巧总结（含例解答案）
⼆次函数压轴题---动点问题解答⽅法技巧总结（含例解答案）⼆次函数压轴题---动点问题解答⽅法技巧总结⑴求⼆次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为⼀元⼆次⽅程；⑵求⼆次函数的最⼤（⼩）值需要利⽤配⽅法将⼆次函数由⼀般式转化为顶点式；⑶根据图象的位置判断⼆次函数ax 2+bx+c=0中a,b,c 的符号，或由⼆次函数中a,b,c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷⼆次函数的图象关于对称轴对称，可利⽤这⼀性质，求和已知⼀点对称的点坐标，或已知与x 轴的⼀个交点坐标，可由对称性求出另⼀个交点坐标. ⑸与⼆次函数有关的还有⼆次三项式，⼆次三项式ax 2+bx+c ﹙a ≠0﹚本⾝就是所含字母x 的⼆次函数；下⾯以a ＞0时为例，揭⽰⼆次函数、⼆次三项式和⼀元⼆次⽅程之间的内在联系：动点问题题型⽅法归纳总结动态⼏何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好⼀般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊⾓、特殊图形的性质、图形的特殊位置。
）动点问题⼀直是中考热点，近⼏年考查探究运动中的特殊性：等腰三⾓形、直⾓三⾓形、相似三⾓形、平⾏四边形、梯形、特殊⾓或其三⾓函数、线段或⾯积的最值。
下⾯就此问题的常见题型作简单介绍，解题⽅法、关键给以点拨。
⼆、抛物线上动点5、（湖北⼗堰市）如图①，已知抛物线32++=bx ax y （a ≠0）与x 轴交于点A (1，0)和点B (－3，0)，与y 轴交于点C ． (1)求抛物线的解析式；(2) 设抛物线的对称轴与x轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三⾓形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．(3) 如图②，若点E为第⼆象限抛物线上⼀动点，连接BE、CE，求四边形BOCE⾯积的最⼤值，并求此时E点的坐标．注意：第（2）问按等腰三⾓形顶点位置分类讨论画图再由图形性质求点P坐标----①C为顶点时，以C为圆⼼CM为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P，②M为顶点时，以M为圆⼼MC为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P，③P为顶点时，线段MC 的垂直平分线与对称轴交点即为所求点P。
二次函数与动点问题
二次函数的动点问题1.如图①，正方形ABCD 的顶点A B ，的坐标分别为()()01084，，，，顶点C D ，在第一象限．点P 从点A 出发，沿正方形按逆时针方向匀速运动，同时，点Q 从点()40E ，出发，沿x 轴正方向以相同速度运动．当点P 到达点C 时，P Q ，两点同时停止运动，设运动的时间为t 秒． （1）求正方形ABCD 的边长．（2）当点P 在AB 边上运动时，OPQ △的面积S （平方单位）与时间t （秒）之间的函数图象为抛物线的一部分（如图②所示），求P Q ，两点的运动速度．（3）求（2）中面积S （平方单位）与时间t （秒）的函数关系式及面积S 取最大值时点P 的坐标．（4）若点P Q ，保持（2）中的速度不变，则点P 沿着AB 边运动时，OPQ ∠的大小随着时间t 的增大而增大；沿着BC 边运动时，OPQ ∠的大小随着时间t 的增大而减小．当点P 沿着这两边运动时，使90OPQ =∠的点P 有 个．（抛物线()20y ax bx c a =++≠的顶点坐标是2424b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．[解] （1）作BF y ⊥轴于F ．()()01084A B ，，，，86FB FA ∴==，．10AB ∴=．（2）由图②可知，点P 从点A 运动到点B 用了10秒．又1010101AB =÷=，．图①图②P Q ∴，两点的运动速度均为每秒1个单位．（3）方法一：作PG y ⊥轴于G ，则PG BF ∥．GA AP FA AB ∴=，即610GA t=． 35GA t ∴=．3105OG t ∴=-．4OQ t =+，()113410225S OQ OG t t ⎛⎫∴=⨯⨯=+- ⎪⎝⎭．即231920105S t t =-++．19195323210b a -=-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭，且190103≤≤， ∴当193t =时，S 有最大值．此时4763311051555GP t OG t ===-=，， 点P 的坐标为7631155⎛⎫⎪⎝⎭，．方法二：当5t =时，1637922OG OQ S OG OQ ====，，．设所求函数关系式为220S at bt =++．抛物线过点()63102852⎛⎫⎪⎝⎭，，，，1001020286325520.2a b a b ++=⎧⎪∴⎨++=⎪⎩，31019.5a b ⎧=-⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩，231920105S t t ∴=-++． 19195323210b a -=-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭，且190103≤≤，∴当193t =时，S 有最大值． 此时7631155GP OG ==，，∴点P 的坐标为7631155⎛⎫ ⎪⎝⎭，． （4）2．2.如图①，Rt ABC △中，90B ∠=，30CAB ∠=．它的顶点A 的坐标为(100)，，顶点B 的坐标为(5，10AB =，点P 从点A 出发，沿A B C →→的方向匀速运动，同时点Q 从点(02)D ，出发，沿y 轴正方向以相同速度运动，当点P 到达点C 时，两点同时停止运动，设运动的时间为t 秒．（1）求BAO ∠的度数．（2）当点P 在AB 上运动时，OPQ △的面积S （平方单位）与时间t （秒）之间的函数图象为抛物线的一部分，（如图②），求点P 的运动速度．（3）求（2）中面积S 与时间t 之间的函数关系式及面积S 取最大值时点P 的坐标． （4）如果点P Q ，保持（2）中的速度不变，那么点P 沿AB 边运动时，OPQ ∠的大小随着时间t 的增大而增大；沿着BC 边运动时，OPQ ∠的大小随着时间t 的增大而减小，当点P 沿这两边运动时，使90OPQ ∠=的点P 有几个？请说明理由．602个单位/秒． （01(22)(10)2t t =+-2912124t ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭．∴当92t =时，S 有最大值为1214，此时112P ⎛ ⎝⎭． （4）当点P 沿这两边运动时，90OPQ =∠的点P 有2个．①当点P 与点A 重合时，90OPQ <∠，当点P 运动到与点B 重合时，OQ 的长是12单位长度，作90OPM =∠交y 轴于点M ，作PH y ⊥轴于点H ， 由OPH OPM △∽△得：11.53OM ==，所以OQ OM >，从而90OPQ >∠． 所以当点P 在AB 边上运动时，90OPQ =∠的点P 有1个． ②同理当点P 在BC 边上运动时，可算得1217.83OQ =+=． 而构成直角时交y 轴于03⎛ ⎝⎭，，20.217.83=>，所以90OCQ <∠，从而90OPQ =∠的点P 也有1个． 所以当点P 沿这两边运动时，90OPQ =∠的点P 有2个．（第29题图①）x t （第29题图②）第29题图①3.如图12，直线434+-=x y 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，已知二次函数的图象经过点A 、C 和点()0,1-B .（1）求该二次函数的关系式；（2）设该二次函数的图象的顶点为M ，求四边形AOCM 的面积；（3）有两动点D 、E 同时从点O 出发，其中点D 以每秒23个单位长度的速度沿折线OAC 按O →A →C 的路线运动，点E 以每秒4个单位长度的速度沿折线OCA 按O →C →A 的路线运动，当D 、E 两点相遇时，它们都停止运动.设D 、E 同时从点O 出发t 秒时，ODE ∆的面积为S . ①请问D 、E 两点在运动过程中，是否存在DE ∥OC ，若存在，请求出此时t 的值；若不存在，请说明理由；②请求出S 关于t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围； ③设0S 是②中函数S 的最大值，那么0S =.解：（1）令0=x ，则4=y ；令0=y 则3=x ．∴()30A ，．()04C ， ∵二次函数的图象过点()04C ，，∴可设二次函数的关系式为42++=bx ax y又∵该函数图象过点()30A ，．()10B -，∴093404a b a b =++⎧⎨=-+⎩，．解之，得34-=a ，38=b ． ∴所求二次函数的关系式为438342++-=x x y（2）∵438342++-=x x y=()3161342+--x ∴顶点M 的坐标为1613⎛⎫ ⎪⎝⎭，过点M 作MF x ⊥轴于F ∴AFM AOCM FOCM S S S =+△四边形梯形=()1013164213161321=⨯⎪⎭⎫⎝⎛+⨯+⨯-⨯∴四边形AOCM （3）①不存在DE ∥OC∵若DE ∥OC ，则点D ，E 应分别在线段OA ，CA 上，此时12t <<，在Rt AOC △中，5AC =． 设点E 的坐标为()11x y ，∴54431-=t x ，∴512121-=t x ∵DE OC ∥，∴t t 2351212=-∴38=t ∵38=t >2，不满足12t <<．∴不存在DE OC ∥．②根据题意得D ，E 两点相遇的时间为1124423543=+++（秒）现分情况讨论如下： ⅰ）当01t <≤时，2134322S t t t =⨯=；ⅱ）当12t <≤时，设点E 的坐标为()22x y ， ∴()544542--=t y ，∴516362t y -=∴t t t t S 5275125163623212+-=-⨯⨯=ⅲ）当2 <t <1124时，设点E 的坐标为()33x y ，，类似ⅱ可得516363ty -=设点D 的坐标为()44,y x∴532344-=t y ， ∴51264-=t y∴AOE AOD S S S =-△△512632151636321-⨯⨯--⨯⨯=t t =572533+-t③802430=S4.关于x 的二次函数22(4)22y x k x k =-+-+-以y 轴为对称轴，且与y 轴的交点在x 轴上方． （1）求此抛物线的解析式，并在下面的直角坐标系中画出函数的草图；（2）设A 是y 轴右侧抛物线上的一个动点，过点A 作AB 垂直于x 轴于点B ，再过点A 作x 轴的平行线交抛物线于点D ，过点D 作DC 垂直于x 轴于点C ，得到矩形ABCD ．设矩形ABCD 的周长为l ，点A 的横坐标为x ，试求l 关于x 的函数关系式；（3）当点A 在y 轴右侧的抛物线上运动时，矩形ABCD 能否成为正方形．若能，请求出此时正方形的周长；若不能，请说明理由．参考资料：抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标是2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，对称轴是直线2bx a=-． 解：（1）据题意得：240k -=，2k ∴=±．当2k =时，2220k -=>． 当2k =-时，2260k -=-<．又抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，2k ∴=．∴抛物线的解析式为：22y x =-+．函数的草图如图所示．（只要与坐标轴 的三个交点的位置及图象大致形状正确 即可）（2）解：令220x -+=，得x =不0x <<112A D x =，2112A B x =-+，211112()244l A B A D x x ∴=+=-++．当x >222A D x =，2222(2)2A B x x =--+=-． 222222()244l A D A B x x ∴=+=+-． l ∴关于x 的函数关系是：当0x <<2244l x x =-++；当x >2244l x x =+-．（3）解法一：当0x <<1111A B A D =，得2220x x +-=．解得1x =-1x =-．将1x =-代入2244l x x =-++， 得8l =．当x >2222A B A D =，得2220x x --=．解得1x =1x =1x =2244l x x =+-，得8l =． 综上，矩形ABCD 能成为正方形，且当1x =时正方形的周长为8；当1x =时，正方形的周长为8．解法二：当0x <<1x =-．∴正方形的周长11488l A D x ===．当x >1x =∴正方形的周长22488l A D x ===．综上，矩形ABCD 能成为正方形，且当1x =时正方形的周长为8；当1x =时，正方形的周长为8．解法三：点A 在y 轴右侧的抛物线上，0x ∴>，且点A 的坐标为2(2)x x -+，． 令AB AD =，则222x x -+=．∴222x x -+=，①或222x x-+=-②由①解得1x =-1x =-；由②解得1x =1x =又8l x =，∴当1x =-8l =；当1x =+8l =．综上，矩形ABCD 能成为正方形，且当1x =时正方形的周长为8；当1x =时，正方形的周长为8．5.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OB<OC）是方程x2－10x＋16＝0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x＝－2．（1）求A、B、C三点的坐标；（2）求此抛物线的表达式；（3）连接AC、BC，若点E是线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），过点E 作EF∥AC交BC于点F，连接CE，设AE的长为m，△CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；（4）在（3）的基础上试说明S是否存在最大值，若存在，请求出S的最大值，并求出此时点E的坐标，判断此时△BCE的形状；若不存在，请说明理由．解：（1）解方程x2－10x＋16＝0得x1＝2，x2＝8∵点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，且OB＜OC∴点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，8）又∵抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线x＝－2∴由抛物线的对称性可得点A的坐标为（－6，0）（2）∵点C（0，8）在抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象上∴c＝8，将A（－6，0）、B（2，0）代入表达式，得第26题图⎩⎪⎨⎪⎧0＝36a －6b ＋80＝4a ＋2b ＋8解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－23b ＝－83∴所求抛物线的表达式为y ＝－23x 2－83x ＋8（3）依题意，AE ＝m ，则BE ＝8－m ， ∵OA ＝6，OC ＝8，∴AC ＝10 ∵EF ∥AC ∴△BEF ∽△BAC ∴EFAC ＝BEAB即EF 10＝8－m8∴EF ＝40－5m4过点F 作FG ⊥AB ，垂足为G ，则sin ∠FEG ＝sin ∠CAB ＝45∴FG EF ＝45 ∴FG ＝45·40－5m4＝8－m ∴S ＝S △BCE －S △BFE ＝12（8－m ）×8－12（8－m ）（8－m ）＝12（8－m ）（8－8＋m ）＝12（8－m ）m ＝－12m 2＋4m 自变量m 的取值范围是0＜m ＜8 （4）存在． 理由：∵S ＝－12m 2＋4m ＝－12（m －4）2＋8且－12＜0，∴当m ＝4时，S 有最大值，S 最大值＝8 ∵m ＝4，∴点E 的坐标为（－2，0）∴△BCE 为等腰三角形．6.（14分）如图：抛物线经过A （-3，0）、B （0，4）、C （4，0）三点. （1）求抛物线的解析式.（2）已知AD = AB （D 在线段AC 上），有一动点P 从点A 沿线段AC 以每秒1个单位长度的速度移动；同时另一个动点Q 以某一速度从点B 沿线段BC 移动，经过t 秒的移动，线段PQ 被BD 垂直平分，求t 的值；（3）在（2）的情况下，抛物线的对称轴上是否存在一点M ，使MQ+MC 的值最小？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由。
二次函数中的动点问题
二次函数中的动点问题二次函数是高中数学课程中比较重要的一种函数类型，它的图像是一个开口朝上或朝下的抛物线，可以用来表达很多实际问题中的关系。
其中，二次函数中的动点问题是一个常见的问题，主要涉及到了抛物线上某点的运动轨迹，对于此类问题的讨论可以帮助我们深入理解二次函数以及抛物线的特点和应用。
一、动点问题的形式通过一个具体的例子来展示二次函数中的动点问题。
设有一根长60m、重量为100N的弹性绳悬挂于两个点P、Q 之间，弹性绳呈现一个U形。
现有一质量为m的物体从点P 处自由下落，然后受到弹性绳的支撑反弹，反弹高度为h，再落回原点P处。
此时，假设物体在下落或反弹的任意时刻都在弹性绳的中垂线上，我们可以通过求出物体在任意时刻的高度求解出反弹的高度h与物体的质量m的关系。
初步分析这个问题，可以列出物体所在的位置函数，即h(t)。
我们假设物体下落时时间t=0s，其高度为0m，则有：h(t) = at^2 + bt其中，a和b都是常数，t是时间。
物体在弹性绳上下运动，向下运动的时候速度会不断加快，直到反弹的时候速度为0，然后速度逐渐加快，到达下落的时候又达到最大值。
因此，可以得出物体的速度函数v(t)：v(t) = 2at + b而物体的位置函数是速度函数的积分，因此可以解出：h(t) = at^2 + bt + c其中，c是一个常数，其值等于物体下落的初速度的平方除以2g（g为重力加速度，约为9.8m/s^2）。
由于物体在任意时刻都在弹性绳中垂线上，因此可以确定物体的运动轨迹为抛物线。
在上述问题中，我们可以确定抛物线的顶点V的坐标为（30，hmax），其中hmax即为物体下落时的最大高度。
二、动点问题的解法对于二次函数中的动点问题，主要通过求出抛物线的顶点来解决。
通过求解出顶点的坐标、抛物线的开口方向和方程等，可以确定抛物线的形状和运动轨迹，进而判断动点的位置、速度和加速度等物理量。
具体来说，解决二次函数动点问题的步骤如下：1. 确定抛物线的形状和开口方向。
数学人教版九年级上册二次函数与动点问题
（2）过点P作PF垂直AB，垂足为F 因为AQ=t，所以QB=8-t，PB=t由图可知，PF//CE,所以PFCE=PBBC，即PF4=t5, PF=45t,所以S=12QB∙PF=12∙45t（8-t）=-25t2+165t=-25（t-4)2+325故，当t=4时，S取得最大值，最大值为32 5.（1）解：过点C作CE垂直AB，垂足为E 求得CE=4，BE=3，BC=5，所以，当t=5时，P、Q两点停止运动。
（3）当PQ=PB时，过P作PF垂直AB，垂足直为F，则有BF=12 BQ,由PF//CE可得，BFBE=BPBC,即BF3=t5，BF=35t,所以35t=12（8-t），t=4011.当BQ=BP时，有8-t=t，t=4.当QB=QP 时，过Q 作QG 垂直BC ，垂足为G ，则BG=12BP=12t.此时，ΔBGQ~ΔBEC ，所以BG BE =BQ BC,即，12t 3=8-t 4，t=245.所以，当t=4011或4或245时，ΔPQB 为等腰三角形.（2）1.当EFG 在梯形内部，重叠部分面积就是ΔEFG 的面积，∴y=12x 2.2.当2<x≤3时，重叠部分为四边形EMNF,其面积为S ΔEFG -SΔ 因为NF=FC=6-2x ，∴GN=x-(6-2x)=3x-6, GM=1∴2-12•12(3x-6)23.当3≤x ≤6因为EC=6-x, ∴EM=12（ ∴y=12•12(6-x)2(3) 当0<x ≤2时，42, 当x>0时，y 随x 的增大而增大， ∴当x=2时，y 有最大值为 3.当2<x ≤3时，8222当x=187时，y 7当3≤x ≤6时，822当x<6时，y 随x 的增大而减小，∴当x=3时，y综上所述，当x=187时，y。
二次函数动点问题
二次函数动点问题
“二次函数动点问题”是数学中常用的一种问题，它可以用来求解在二次函数图像上的某些特殊点的位置。
它也叫做动点理论，有时也会简称为DPT（Dynamic Point Theory）。
二次函数动点问题的关键思想是，我们可以通过分析一个二次函数的表达式和曲线的形状，来确定它的某些特殊点的位置。
这样就能够同时求出二次函数的极大值、极小值以及它的拐点。
具体来说，二次函数动点问题就是要求解一个二次函数在特定曲线上的某些特殊点的位置。
对于一个二次函数，可以用它的二次项的系数a来决定曲线的形状，如果a>0，曲线会变得曲折，如果a<0，曲线会变得平滑等。
而拐点的位置则可以用它的一次项的系数b来确定，即拐点的横坐标为-b/2a。
此外，我们还可以使用一些其他方法来求解这类问题，比如可以使用微分来求出极值、拐点，也可以使用一元函数的性质来直接求解。
总之，二次函数动点问题是一个比较重要的数学问题，它可以用来求解一个二次函数在特定曲线上的某些特殊点的位置。
我们可以使用微分或一元函数的性质来求
解，也可以根据二次函数的表达式和曲线的形状来确定特定点的位置。
二次函数动点问题解答方法技巧(含例解标准答案)
下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。
二、抛物线上动点
5、（湖北十堰市）如图①，已知抛物线 （a≠0）与 轴交于点A(1，0)和点B(－3，0)，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)设抛物线的对称轴与 轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）当 为何值时，四边形 的面积 有最大值，并求出此最大值；
（4）在运动过程中，四边形 能否形成矩形？若能，求出此时 的值；若不能，请说明理由．
[解]（1）点 ，点 ，点 关于原点的对称点分别为 ， ， ．
设抛物线 的解析式是
，
则
解得
所以所求抛物线的解析式是 ．
（2）由（1）可计算得点 ．
过点 作 ，垂足为 ．
⑶ 根据图象的位置判断二次函数ax²+bx+c=0中a,b,c的符号，或由二次函数中a,b,c的符号判断图象的位置，要数形结合；
⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.
⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax²+bx+c﹙a≠0﹚本身就是所含字母x的二次函数；下面以a＞0时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：
当运动到时刻 时， ， ．
根据中心对称的性质 ，所以四边形 是平行四边形．
所以 ．
所以，四边形 的面积 ．
因为运动至点 与点 重合为止，据题意可知 ．
所以，所求关系式是 ， 的取值范围是 ．
（3） ，（ ）．
二次函数压轴题---动点问题解答方法技巧总结 (含例解答案)
07 动点个数 问题背景 两个 特殊菱形两边上移动 一个
08 两个
09
特殊直角梯形三边 上移动
抛物线中特殊直角梯形底 边上移动
考查难点
探究相似三角形
探究三角形面积函 数关系式
探究等腰三角形
考 点
①菱形性质 ②特殊角三角函数 ③求直线、抛物线解析式 ④相似三角形 ⑤不等式
①求直线解析式 ②四边形面积的表 示 ③动三角形面积函 数④矩形性质
2
（2）由（1）可计算得点 M (3 ， 1)，N (31) ，． 过点 N 作 NH AD ，垂足为 H ． 当运动到时刻 t 时， AD 2OD 8 2t ， NH 1 2t ． 根据中心对称的性质 OA OD ，OM ON ，所以四边形 MDNA 是平行四边形． 所以 S 2S△ ADN ． 所以，四边形 MDNA 的面积 S (8 2t )(1 2t ) 4t 14t 8 ．
动点问题题型方法归纳总结
动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好 一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形 的性质、图形的特殊位置。 ） 动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直 角三角形、 相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或 其三角函数、线段或面积的最值。 下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。
二、
抛物线上动点
5、 （湖北十堰市）如图①， 已知抛物线 y ax 2 bx 3 （a≠0）与 x 轴交于点 A(1，0)和 点 B (－3，0)，与 y 轴交于点 C． (1) 求抛物线的解析式；
(2) 设抛物线的对称轴与 x 轴交于点 M ，问在对称轴上是否存在点 P，使△CMP 为等腰三 角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由． (3) 如图②，若点 E 为第二象限抛物线上一动点，连接 BE、CE，求四边形 BOCE 面积的 最大值，并求此时 E 点的坐标数的图象与 x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； ⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶 点式； ⑶ 根据图象的位置判断二次函数 ax²+bx+c=0 中 a,b,c 的符号， 或由二次函数 中 a,b,c 的符号判断图象的位置，要数形结合； ⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的 点坐标，或已知与 x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式 ax²+bx+c﹙a≠0﹚本身就 是所含字母 x 的二次函数；下面以 a＞0 时为例，揭示二次函数、二次三项式 和一元二次方程之间的内在联系：
二次函数动点问题
二次函数动点问题动点问题是中考中的热点也是难点，这类问题的关键在于不要被动点牵着鼻子走，而是要根据图形的特性先确定要求的点的位置再根据几何关系求出点的坐标。
对于涉及函数的动点问题，还应考虑到借助代数的方法，通过建立方程、构建函数模型等方法来求解。
比较典型的动点问题类型一般有：求等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角（或其三角函数）的存在性、求线段或面积的最值等。
类型一：求线段或面积的最值要点：求面积或线段的最值时，关键在于将长度或面积用代数式表示出来，构建一个函数关系式，再利用函数关系式求出最值。
例1 如图1，已知抛物线经过坐标原点O 和x 轴上另一点E ，顶点M 的坐标为 (2,4)；矩形ABCD 的顶点A 与点O 重合，AD 、AB 分别在x 轴、y 轴上，且AD=2，AB=3. （1）求该抛物线的函数关系式；（2）将矩形ABCD 以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x 轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P 也以相同的速度．．．．．从点A 出发向B 匀速移动，设它们运动的时间为t 秒（0≤t ≤3），直线AB 与该抛物线的交点为N （如图2所示） ① 当t=时，判断点P 是否在直线ME 上，并说明理由；② 设以P 、N 、C 、D 为顶点的多边形面积为S ，试问S 是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．25图2BCOA D EMyxPN· 图1BCO (A )DE Myx类型二：等腰三角形或直角三角形的存在性要点：证明等腰三角形或直角三角形的存在性需要注意分类讨论，即讨论直角顶点或者两腰的情况。
例2 如图，已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为Q(2,-1)，且与y轴交于点C(0,3)，与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），点P是该抛物线上一个动点，从点C沿抛物线向点A 运动（点P与A不重合），过点P作PD∥y轴，交AC于点D．(1)求该抛物线的函数关系式；(2)当△ADP是直角三角形时，求点P的坐标．例3 已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC 在x轴的正半轴上，OA＝2，OC＝3，过原点O作 AOC的平分线交AB于点D，连接DC，过点D作DE⊥DC，交OA于点E．（1）求过点E、D、C的抛物线的解析式；（2）将△EDC绕点D按顺时针方向旋转后，角的一边与y轴的正半轴交于点F，另一边与线段OC交于点G．如果DF与（1）中的抛物线交于另一点M，点M的横坐标为65，那么EF＝2GO是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）对于（2）中的点G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q，使得直线GQ与AB的交点P与点C、G构成的△PCG是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在成立，请说明理由．要点：证明相似三角形的存在性时，本质是要注意三角形的内角的变化情况。
二次函数-动点问题
专题十：二次函数之动点问题一般类动点例题1 ：如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与y轴相交于点A（0，3），与x正半轴相交于点B，对称轴是直线x=1（1）求此抛物线的解析式以及点B的坐标．（2）动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向运动，同时动点N从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿y轴正方向运动，当N点到达A点时，M、N同时停止运动．过动点M作x轴的垂线交线段AB于点Q，交抛物线于点P，设运动时间为t秒．①当t为何值时，四边形OMPN为矩形．②当t＞0时，△BOQ能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．练习1 . 如图，二次函数的图象与x轴相交于点A（﹣3，0）、B（﹣1，0），与y轴相交于点C（0，3），点P是该图象上的动点；一次函数y=k x﹣4k（k≠0）的图象过点P交x轴于点Q．（1）求该二次函数的解析式；（2）当点P的坐标为（﹣4，m）时，求证：∠OPC=∠AQC；（3）点M，N分别在线段AQ、CQ上，点M以每秒3个单位长度的速度从点A 向点Q运动，同时，点N以每秒1个单位长度的速度从点C向点Q运动，当点M，N中有一点到达Q点时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒．①连接AN，当△AMN的面积最大时，求t的值；②直线PQ能否垂直平分线段MN？若能，请求出此时点P的坐标；若不能，请说明你的理由．最值类动点例题1 ：如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣3，0），B（9，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．点P沿AC以每秒1个单位长度的速度由点A向点C运动，同时，点Q沿BO以每秒2个单位长度的速度由点B向点O运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动，连接PQ，过点Q作QD⊥x轴，与抛物线交于点D，连接PD与BC交于点E．设点P的运动时间为t秒（t＞0）（1）求抛物线的表达式；（2）①直接写出P，D两点的坐标（用含t的代数式表示）．②在点P，Q运动的过程中，当PQ＝PD时，求t的值；（3）点M为线段BC上一点，在点P，Q运动的过程中，当点E为PD中点时，是否存在点M使得PM+BM的值最小？若存在，请求出PM+BM的最小值；若不存在，请说明理由．练习1 . 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线经过点D（﹣2，﹣3）和点E（3，2），点P是第一象限抛物线上的一个动点．（1）求直线DE和抛物线的表达式；（2）在y轴上取点F（0，1），连接PF，PB，当四边形OBPF的面积是7时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，当点P在抛物线对称轴的右侧时，直线DE上存在两点M，N（点M在点N的上方），且MN＝2，动点Q从点P出发，沿P→M→N →A的路线运动到终点A，当点Q的运动路程最短时，请写出此时点N的坐标．存在类动点x2+bx+c 例题1 ：如图，直线y=x﹣4与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y=13经过A、B两点，与x轴的另一个交点为C，连接BC．（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；（2）点M在抛物线上，连接MB，当∠MBA+∠CBO=45°时，求点M的坐标；（3）点P从点C出发，沿线段CA由C向A运动，同时点Q从点B出发，沿线段BC由B向C运动，P、Q的运动速度都是每秒1个单位长度，当Q点到达C 点时，P、Q同时停止运动，试问在坐标平面内是否存在点D，使P、Q运动过程中的某一时刻，以C、D、P、Q为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出点D 的坐标；若不存在，说明理由．x2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，8）、B（8，练习1 . 如图，已知抛物线y=-120）和点E，动点C从原点O开始沿OA方向以每秒1个单位长度移动，动点D 从点B开始沿BO方向以每秒1个单位长度移动，动点C、D同时出发，当动点D到达原点O时，点C、D停止运动．（1）写出抛物线的解析式：________；（2）求△CED的面积S与D点运动时间t的函数解析式；当t为何值时，△CED 的面积最大？最大面积是多少？（3）当△CED的面积最大时，在抛物线上是否存在点P（点E除外），使△PCD 的面积等于△CED的最大面积？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由．综合类动点例题1 ：如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点B（4，0），C（0，﹣2），对称轴为直线x＝1，与x轴的另一个交点为点A．（1）求抛物线的解析式；（2）点M从点A出发，沿AC向点C运动，速度为1个单位长度/秒，同时点N 从点B出发，沿BA向点A运动，速度为2个单位长度/秒，当点M、N有一点到达终点时，运动停止，连接MN，设运动时间为t秒，当t为何值时，AMN的面积S最大，并求出S的最大值；（3）点P在x轴上，点Q在抛物线上，是否存在点P、Q，使得以点P、Q、B、C为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出所有符合条件的点P坐标，若不存在，请说明理由．练习1 . 抛物线y=14x2﹣32x+2与x轴交于A，B两点（OA＜OB），与y轴交于点C．（1）求点A，B，C的坐标；（2）点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时点E也从点O出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动，设点P的运动时间为t秒（0＜t＜2）．①过点E作x轴的平行线，与BC相交于点D（如图所示），当t为何值时，1OP +1ED的值最小，求出最小值并写出此时点E，P的坐标；②在满足①的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点F，使△EFP为直角三角形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．。
二次函数的动点问题(等腰、直角三角形的存在性问题)
_ Q_ G_P_ O二次函数中的动点问题 三角形的存在性问题一、技巧提炼1、利用待定系数法求抛物线解析式的常用形式（1）、【一般式】已知抛物线上任意三点时，通常设解析式为 ，然后解三元方程组求解； （2）、【顶点式】已知抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点时，通常设解析式为 求解； 2、二次函数y=ax 2+bx+c 与x 轴是否有交点，可以用方程ax 2+bx+c = 0是否有根的情况进行判定；判别式ac b 42-=∆ 二次函数与x 轴的交点情况一元二次方程根的情况△ ＞ 0 与x 轴 交点 方程有 的实数根△ ＜ 0 与x 轴 交点 实数根 △ ＝ 0与x 轴 交点方程有 的实数根3、抛物线上有两个点为A （x 1，y ），B （x 2，y ） (1)对称轴是直线2x 21x x +=(2)两点之间距离公式：已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ， 则由勾股定理可得：221221)()(y y x x PQ -+-=练一练：已知A （0，5）和B （－2，3），则AB ＝ 。
4、 常见考察形式1）已知A （1,0），B （0，2），请在下面的平面直角坐标系 坐标轴上找一点C ，使△ABC 是等腰三角形； 总结：两圆一线方法规律:平面直角坐标系中已知一条线段，构造等腰三角形，用的是“两圆一线”：分别以线段的两个端点为圆心，线段长度为半径作圆，再作线段的垂直平分线；2）已知A （-2,0），B （1，3），请在平面直角坐标系中坐标轴 上找一点C ，使△ABC 是直角三角形；总结： 两线一圆方法规律{平面直角坐标系中已知一条线段，构造直角三角形，用的是“两线一圆”：分别过已知线段的两个端点作已知线段的垂线，再以已知线段为直径作圆； 5、求三角形的面积：（1）直接用面积公式计算；（2）割补法；（3）铅垂高法； 如图，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线， 外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”（a ），中间的 这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高”（h ）． 我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S △ABC =12ah ，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半。
二次函数动点问题解答方法技巧(含例解答案)
函数解题思路方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标,需转化为一元二次方程;⑵ 求二次函数的最大(小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式;⑶ 根据图象的位置判断二次函数ax ²+bx+c=0中a ，b ，c 的符号,或由二次函数中a,b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合;⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称,可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标。
⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax ²+bx+c ﹙a ≠0﹚本身就是所含字母x 的二次函数；下面以a ＞0时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系:动点问题题型方法归纳总结动态几何特点-——-问题背景是特殊图形,考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中,特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。
)动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、 相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或 其三角函数、线段或面积的最值。
下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨.二、 抛物线上动点5、（湖北十堰市)如图①， 已知抛物线32++=bx ax y （a ≠0）与x 轴交于点A (1，0）和点B (－3,0），与y 轴交于点C ．(1) 求抛物线的解析式；（2） 设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P ,使△CMP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（3） 如图②,若点E 为第二象限抛物线上一动点,连接BE 、CE ，求四边形BOCE 面积的最大值，并求此时E 点的坐标．注意：第（2）问按等腰三角形顶点位置分类讨论画图再由图形性质求点P坐标—---①C为顶点时,以C为圆心CM 为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P，②M为顶点时,以M为圆心MC为半径画弧,与对称轴交点即为所求点P，③P为顶点时,线段MC的垂直平分线与对称轴交点即为所求点P.第（3）问方法一，先写出面积函数关系式，再求最大值（涉及二次函数最值）；方法二，先求与BC平行且与抛物线相切点的坐标（涉及简单二元二次方程组），再求面积。
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5.如图，等腰直角三角形ABC以2m/s的速度沿直线L向 正方形移动，直到AB与CD重合。设xs时，三角形与正 方形重叠部分的面积为ym² 。 （1）写出y与x的函数关系式； （2）当x=2,3.5时，y分别是多少？
（3）当重叠部分的面积是正方形的面积的一半时， 三角形移动了多长时间？
动面问题
6.如图（1）等腰直角三角形ABC以2m/s的速度沿矩形 DEFG的GF边向右移动，直到BC与GF重合。已知 BC=GF=12m,EF=6m,设xs时，三角形与矩形重叠部分的 面积为ym² (1)参考图②，图③写出y与x之间的关系式； （2）当x1=2.5，x2=5时，y分别是多少？ 7 （3)当重叠部分的面积为矩形面积的 时，三角形 18 移动了多长时间？
图（1）
图（2）
图（3）
P
B
Q
C
3.在梯形ABCD，AD∥BC,AB=BC=10cm,CD=6cm ∠c=90°，点P从A点出发沿线段AB以每秒Icm/s的速 度向终B点运动；动点Q同时从B点出发沿线段BC以每 秒2cm/s的速度向终点C运动．设运动的时间为t秒 (0<t<5)． （1）求AD的长． （2）t为何值时,△PBQ为直角三角形． （3）设△PBQ的面积为y，求y与t之间的函数关系式 （4）是否存在某一时刻t，使△PБайду номын сангаасQ面积等于梯形形 ABCD面积的2/5？若存在， 求出此时的t值；若不存在， 说明理由；
A
P BP=12-2t，BQ=4t △PBQ的面积: S=1/2(12-2t) •4t B 即S=- 4t² +24t=- 4(t-3)² +36
Q
C
2.已知：如图，△ABC是边长3cm的等边三角形， 动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、 BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点 P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动 时间为t（s）， （1）当t为何值时，△PBQ是直角三角形? （2）设四边形APQC的面积为y（cm2），求y与t 的关系式； （3）是否存在某一时刻t，使四边形APQC的面积 是△ABC面积的三分之二？若存在求出t的值，若 不存在说明理由 A
• 4.已知：如图①，在Rt△ABC中,∠C=90°，AC=4cm， BC=3cm，点P由B出发沿BA方向向A点匀速运动，速度 为1cm/s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度 为2cm/s；连接PO．若设运动的时间为t（0<t<2），解 答下列问题： • （1）当t为何值时，PQ∥BC？ • （2）设△AQP的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关 系式； • （3）是否存在某一时刻t，使△AQP面积等于四边形 PQBC的面积？若存在，求出此时的值；若不存在，说明 理由；
1、如图，在△ABC中∠B=90º ，AB=12cm，BC=24cm， 动点P从A开始沿AB边以2cm/s的速度向B运动，动 点Q从B开始沿BC边以4cm/s的速度向C运动，如果P、 Q分别从A、B同时出发。 （1）写出△PBQ的面积S与运动时间t之间的函数 关系式，并写出自变量t的取值范围； （2）当t为何值时，△PBQ的面积S最大，最大值 是多少？