有限重复博弈

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情况II:共谋串通情况
•在多重价格拍卖中,l是优策略(从而,购买者由于 报低价而“亏待”财政部)。 •在单价拍卖中,阶段博弈存在唯一的混合策略纳什 均衡. •唯一的阶段博弈均衡策略也是唯一的子博弈完美均 衡策略。因此,在多重价格拍卖中,( l, l )被重复 地实施,而在单价拍卖中,l和h的对等混合(纳什均 衡)重复地实施。因为在后者均衡中,财政部发现 至少在某些时候为高价格,显然财政部觉得这样更 可取。 •总的来说,单价拍卖总是受到财政部的青睐。在竞 争场合,它一直确保高价格,而在共谋串通情况, 有些时候保证高价格。
买 者 1
1
缩小了的多重价格拍卖:
75, l 75h , 25l 50l , 50l
情况I:竞争的情况
假设,即使以低价格购买一半数量是无利可图的;即,假 如50h > 25l。那么在缩小了的单价拍卖中h是优策略。 因此阶段博弈中唯一的纳什均衡是(h, h)。财政部特 别喜欢,因为在每一个阶段中的(h, h)也就成为唯一 的子博弈完美。(为什么?)如财政部所作的那样,重 复拍卖,使得在市场上竞争的剧烈程度不起作用并且不 允许参与者为保持低价格而作确实有效的交易。 现在考虑缩小的多重价格拍卖。如果对于低价格的最优反 应也是出低价,即,如果50l> 75h,那么这次就可能 有第二个纳什均衡了。在那种场合,(l, l)也是纳什均 衡;即,购买者企图无保留地进行串通,使价格保持低 位。因而一个子博弈完美均衡是双方购买者一直都出价l。
有限重复博弈
• T次重复囚徒困境的唯一子博弈完美均衡是,在每 一突发事件中局中人认罪。 • 假如修改版囚徒困境进行T次。考虑如下策略对: 从(n, n)开始,除了最后一次以外,在所有阶段 继续取(n, n) [在最后阶段,采取(p,p)]。沿着 所提供的这个程序,没有一个局中人会偏离它(并 在首T个阶段中的任何一个阶段中采取非n的其他策 略)。倘若发生了偏离,从随后的阶段起并一直下 去都采取(c, c)。所述的策略是子博弈完美均衡。
案例分析:短期无息国库券拍卖
• 对某些有价证券,存在单价拍卖。 其间所有购买者支付同样价钱。对 某些其它的有价证券,存在多重价 格拍卖,其间不同的购买者支付不 同的价格。现在我们要研究的问题 如下:如果财政部希望极大化它的 筹资数量,它应该采用两种拍卖形 式中的哪一种?
简化假设。
第一,我们将假设在这次拍卖中有两家金融机构,或 者局中人。 第二,财政部在一次又一次的拍卖中所出售的量保持 不变;令这个量等于100。 第三,我们将假设每个购买者可以报两种价格和两个 购买量;称为高(h)及低(l)和数量50及75。 第四,购买者只关心利润;每种有价证券的利润,如 果价格为h,则表示为h,同样地如果价格是l 则利 润表示为l。假定两种利润水平都是正的(当然, l >h)。
单价拍卖的策略型如下:
购买者1 50, h 75, h 50, l 75, l 购买者2 50, h 50h , 50h 40h, 60h 50l, 50l 50l, 50l 75, h 60h , 40h 50h, 50h 75l, 25l 75l, 25l 50, l 50l, 50l 25l, 75l 50l, 50l 40l, 60l 75, l 50l, 50l 25l, 75l 60l, 40l 50l, 50l
定义 重复博弈由阶段博弈G和它的重复次数(设为T) 确定。阶段博弈G是策略型博弈: G S i , i ; i 1, N 其中Si是局中人i的策略集,i是他的盈利函数[它依赖 于(s1, s2, …, sN)]。
经济应用
1. 2. 3. 4. 短期国库券拍卖。 专利药品市场的竞争。 NASDAQ市场制作。 国际石油市场——或OPEC。
有限来自百度文库复博弈
的在 组每 件一 博个 弈重 复 博 有弈 时中 候, 称有 作一 阶个 段实 博施 弈许 。多 遍
——
博弈中的盈利是每个阶段的盈利之和
修改版囚徒困境
• 我们对标准的囚徒困境添入一个策略;除了 c 与 n 之外,每个局中人有第三个策略,设为 p ,表示 “部分认罪”。考虑如下阶段博弈:
75, l
50h, 50l 75h, 25l 40l, 60l 50 l, 50l
考察缩小了的单价拍卖:
购买者2 75, h 50h , 50h 购 75, h 买 25l , 75l 者 75, l 75, l 75l , 25l 50l , 50l
购买者2 75, h 75, h 50h , 50h 25l , 75h 购 75, l
多重价格拍卖的策略型
购买者2 50, h 购买者1 50, h 50h, 50h 75, h 60h, 40h 50, l 50l, 50h 75, l 50l, 50h 75, h
40h, 60h 50h, 50h 25l, 75h 25l, 75h
50, l
50h, 50l 75h, 25l 50l, 50l 60l, 40l
命题 考虑有限重复博弈(G,T),其 中G = {Si, i; i = 1, 2, …, N}。假如 阶段博弈 G 恰好只有一个纳什均衡, 设为(s1*, s2*, …, sN*)。那么重复 博弈有唯一的子博弈完美均衡。在 这个均衡中,不管局中人i或其他任 何局中人,在任何一个以前的阶段 中采取了什么样的行动,局中人i在 T个阶段的每一个中都取si*。
这个博弈叫做无限重复囚徒困境;此术语归因于博弈没 有固定终点这一事实。无限重复囚徒困境的盈利计算 如下。假设在第t阶段,局中人i得到盈利it。在实际中 实施到第t阶段的可能性是 t。从而第t阶段的期望盈利 是 tit。总期望盈利是这些阶段博弈期望盈利之和; 即,等于 i 0 i1 2 i 2 t it
1
2 c n p
c 0, 0 -2, 7 -1, 3
n 7, -2 5, 5 6, 0
p 3, -1 0, 6 3, 3
无限重复囚徒困境
假设在每一个阶段两个局中人参与 囚徒困境。但是,没有固定的重复 次数。他们每一次参与阶段博弈, 存在概率 使相同的局中人再次参 与阶段博弈。反过来,存在着概率 1 使当前的相互作用成为最后 一次相互作用。
如果每个购买者都想以高价购买,那么在这个价格上 的总需求至少是100并且所有国库券都以这个价格出 售。同样,如果两个购买者都希望以低价购入,那么 市场价格就低。但是,如果购买者之一想以h购买而 另一个想以l购买,那么价格结局依赖于拍卖形式。 在单价拍卖中,市场价格将为低,而在多重价格拍卖 中,一个购买者将支付h而另一个支付l。在任何一种 情况,高投标者得到他要求的所有数量,剩下的数量 则分配给低投标者。最终,如果价格投标相同,那么 数量以需求比例进行分配。例如,如果一个购买者想 要75单元而另一个想得到50单元,那么前者得到现成 的100单元中的60单元。
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