有限重复博弈

命题 考虑有限重复博弈（G,T），其 中G = {Si, i; i = 1, 2, …, N}。假如 阶段博弈 G 恰好只有一个纳什均衡， 设为（s1*, s2*, …, sN*）。那么重复 博弈有唯一的子博弈完美均衡。在 这个均衡中，不管局中人i或其他任 何局中人，在任何一个以前的阶段 中采取了什么样的行动，局中人i在 T个阶段的每一个中都取si*。
这个博弈叫做无限重复囚徒困境；此术语归因于博弈没 有固定终点这一事实。无限重复囚徒困境的盈利计算 如下。假设在第t阶段，局中人i得到盈利it。在实际中 实施到第t阶段的可能性是 t。从而第t阶段的期望盈利 是 tit。总期望盈利是这些阶段博弈期望盈利之和； 即,等于 i 0 i1 2 i 2 t it
75, l
50h, 50l 75h, 25l 40l, 60l 50 l, 50l
考察缩小了的单价拍卖：
购买者2 75, h 50h , 50h 购 75, h 买 25l , 75l 者 75, l 75, l 75l , 25l 50l , 50l
购买者2 75, h 75, h 50h , 50h 25l , 75h 购 75, l
情况II：共谋串通情况
•在多重价格拍卖中，l是优策略（从而，购买者由于 报低价而“亏待”财政部）。 •在单价拍卖中，阶段博弈存在唯一的混合策略纳什 均衡. •唯一的阶段博弈均衡策略也是唯一的子博弈完美均 衡策略。因此，在多重价格拍卖中，（ l, l ）被重复 地实施，而在单价拍卖中，l和h的对等混合（纳什均 衡）重复地实施。因为在后者均衡中，财政部发现 至少在某些时候为高价格，显然财政部觉得这样更 可取。 •总的来说，单价拍卖总是受到财政部的青睐。在竞 争场合，它一直确保高价格，而在共谋串通情况， 有些时候保证高价格。
有限重复博弈
• T次重复囚徒困境的唯一子博弈完美均衡是，在每 一突发事件中局中人认罪。 • 假如修改版囚徒困境进行T次。考虑如下策略对： 从（n, n）开始，除了最后一次以外，在所有阶段 继续取（n, n） [在最后阶段，采取（p,p）]。沿着 所提供的这个程序，没有一个局中人会偏离它（并 在首T个阶段中的任何一个阶段中采取非n的其他策 略）。倘若发生了偏离，从随后的阶段起并一直下 去都采取（c, c）。所述的策略是子博弈完美均衡。
如果每个购买者都想以高价购买，那么在这个价格上 的总需求至少是100并且所有国库券都以这个价格出 售。同样，如果两个购买者都希望以低价购入，那么 市场价格就低。但是，如果购买者之一想以h购买而 另一个想以l购买，那么价格结局依赖于拍卖形式。 在单价拍卖中，市场价格将为低，而在多重价格拍卖 中，一个购买者将支付h而另一个支付l。在任何一种 情况，高投标者得到他要求的所有数量，剩下的数量 则分配给低投标者。最终，如果价格投标相同，那么 数量以需求比例进行分配。例如，如果一个购买者想 要75单元而另一个想得到50单元，那么前者得到现成 的100单元中的60单元。
有限重复博弈
的在 组每 件一 博个 弈重 复 博 有弈 时中 候， 称有 作一 阶个 段实 博施 弈许 。多 遍
——
博弈中的盈利是每个阶段的盈利之和
修改版囚徒困境
• 我们对标准的囚徒困境添入一个策略；除了 c 与 n 之外，每个局中人有第三个策略，设为 p ，表示 “部分认罪”。考虑如下阶段博弈：
案例分析：短期无息国库券拍卖
• 对某些有价证券，存在单价拍卖。 其间所有购买者支付同样价钱。对 某些其它的有价证券，存在多重价 格拍卖，其间不同的购买者支付不 同的价格。现在我们要研究的问题 如下：如果财政部希望极大化它的 筹资数量，它应该采用两种拍卖形 式中的哪一种？
简化假设。
第一，我们将假设在这次拍卖中有两家金融机构，或 者局中人。 第二，财政部在一次又一次的拍卖中所出售的量保持 不变；令这个量等于100。 第三，我们将假设每个购买者可以报两种价格和两个 购买量；称为高（h）及低（l）和数量50及75。 第四，购买者只关心利润；每种有价证券的利润，如 果价格为h，则表示为h，同样地如果价格是l 则利 润表示为l。假定两种利润水平都是正的（当然， l >h）。
单价拍卖的策略型如下：
购买者1 50, h 75, h 50, l 75, l 购买者2 50, h 50h , 50h 40h, 60h 50l, 50l 50l, 50l 75, h 60h , 40h 50h, 50h 75l, 25l 75l, 25l 50, l 50l, 50l 25l, 75l 50l, 50l 40l, 60l 75, l 50l, 50l 25l, 75l 60l, 40l 50l, 50l
定义 重复博弈由阶段博弈G和它的重复次数（设为T） 确定。阶段博弈G是策略型博弈： G S i , i ; i 1, N 其中Si是局中人i的策略集，i是他的盈利函数［它依赖 于（s1, s2, …, sN）］。
经济应用
1. 2. 3. 4. 短期国库券拍卖。 专利药品市场的竞争。 NASDAQ市场制作。 国际石油市场——或OPEC。
多重价格拍卖的策略型
购买者2 50, h 购买者1 50, h 50h, 50h 75, h 60h, 40h 50, l 50l, 50h 75, l 50l, 50h 75, h
40h, 60h 50h, 50h 25l, 75h 25l, 75h
50, l
50h, 50l 75h, 25l 50l, 50l 60l, 40l
买 者 1
1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
缩小了的多重价格拍卖：
75, l 75h , 25l 50l , 50l
情况I：竞争的情况
假设，即使以低价格购买一半数量是无利可图的；即，假 如50h > 25l。那么在缩小了的单价拍卖中h是优策略。 因此阶段博弈中唯一的纳什均衡是（h, h）。财政部特 别喜欢，因为在每一个阶段中的（h, h）也就成为唯一 的子博弈完美。（为什么？）如财政部所作的那样，重 复拍卖，使得在市场上竞争的剧烈程度不起作用并且不 允许参与者为保持低价格而作确实有效的交易。 现在考虑缩小的多重价格拍卖。如果对于低价格的最优反 应也是出低价，即，如果50l> 75h，那么这次就可能 有第二个纳什均衡了。在那种场合，（l, l）也是纳什均 衡；即，购买者企图无保留地进行串通，使价格保持低 位。因而一个子博弈完美均衡是双方购买者一直都出价l。
1
2 c n p
c 0, 0 -2, 7 -1, 3
n 7, -2 5, 5 6, 0
p 3, -1 0, 6 3, 3
无限重复囚徒困境
假设在每一个阶段两个局中人参与 囚徒困境。但是，没有固定的重复 次数。他们每一次参与阶段博弈， 存在概率 使相同的局中人再次参 与阶段博弈。反过来，存在着概率 1 使当前的相互作用成为最后 一次相互作用。