离散点插值方法、等值线的绘制及平滑技巧
如何根据离散点自动绘制等值线(等高线)之 客观分析
如何根据离散点自动绘制等值线(等高线)之客观分析
另一种离散点分析等值线的方法是将离散的资料分析到网格点上然后进行格点的曲线拟合或者等值线追踪。
常用的插值方案很多，一般来说比较精确的是逐步订正法和最优插值。
最优插值着重于各插值点之间的物理或者其他的关系，在所有的插值中最为准确，并且物理意义明确。
但是有的时候并不需要这么复杂，或者你所提供的资料仅仅有一项，没有相互关联的几组资料。
下面介绍逐步订正法。
主要包括几步1、选取预备场2、进行客观分析3、输出资料的平滑其中心思想顾名思义，就是用实际资料与预备场之差去改变和订正预备场或初值场，得到一个新场，在由新场去求出和实际值之差，去订正上一次的场，直到订正场逼近实际资料为止。
在资料离待分析的格点太远时，初值将不改变。
对于在网格点以内的区域可以使用二次全区间插值即可，大家应该比较熟悉，不再详述。
对于在所选取的网格区域以外的点，则使用cressman插值。
cressman 插值权重系数为
Wij=(i**2-d**2)/(Ri**2+d**2) 当d<=Ri 当
d>=Ri 时Wij=0 其中Ri为影响半径，d为离散点到格点的2位或三维距离。
经过每次比较插值点和实际资料的误差，生成订正值，直到订正值和实际资料的误差达到你所满意的精度时，可以进行下。
实习三根据离散点数据勾绘等值线
3. 等高线的绘制
1 ） 野外测量时，我们首先选定一些地形特征 点。山脊和山谷上的坡度转折点便是地形特征 点。此外，山顶、鞍部、山脚也是坡度转折点。 因为所选点间的坡度比较一致，测定这些转折 点后便能控制全局。
2)
经过测量，这些点的高程值如下图所示。既
然沿山谷线或山脊线的转折点之间是等坡度的。 我们就可以用内插法插入整数值的等高线线段。
测量与地图学课程
实习指导
实习三 根据离散点数据勾绘等值线
1. 等高线是常用的一种等值线。下图表示 了航空测量时的一种立体量测方法。航空像 片上一座山岭在立体判读下构成一个虚像的 三维模型 P ，山顶的高程为 90m ， 80m 的水 平面与山岭虚模型相割，它的垂直投影在图 纸上绘制出 90m 的等高线。测标依次下降到 水平面 80m 、 70m…… 与山岭虚模型相割而 垂直投影成图纸上的 80m 、 70m…… 的等高 线。
4. 从上图中我们继续知道：
等高线间距愈宽 , 表示坡度愈缓；间距愈狭， 表示坡度愈陡。
顶部的等高线是一个闭合的小圆，山谷等高线 指向顶部，山脊等高线背离顶部，即山谷线向 等高线高数值的地方弯曲，山脊线向等高线数 值低的地方弯曲。
5. 目的要求
等值线是表示空间数据体积——三维的 线状符号，等高线是其中主要的一种。通 过本实习勾绘一张等高线图，可深入了解 等值线的特性及制作过程。
6. 实习步骤提要
1. 内插等高线，把它表示在山顶、山脊线、 山谷线 和山脚之间；勾绘等高线；
2. 在相应位置注记等高线高程值。 3. 在 CorelDraw12.0 中绘出等高线； 4. 在不同高程带内，填入不同的颜色， 完成分层设色等高线地势图。
102m （高程值）
观测数据的圆滑,插值与网格化
-450 -500 -550 -600 -650 -700 -750 -800 -850 -900 -950 -1000 -1050 -1100 -1150 -1200 -1250 -1300 -1350 -1400
14000
12000
10000
8000
9点平滑5次
6000
4000
2000
0 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 18000
14000
12000
10000
8000
9点平滑20次
6000
4000
2000
0
-450 -500 -550 -600 -650 -700 -750 -800 -850 -900 -950 -1000 -1050 -1100 -1150 -1200 -1250 -1300 -1350 -1400
平滑次 数越多， 则平滑 效果越 明显。
线性平滑实例
4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 18000
14000
12000
10000
8000
6000
4000
2000
0
-450 -500 -550 -600 -650 -700 -750 -800 -850 -900 -950 -1000 -1050 -1100 -1150 -1200 -1250 -1300 -1350 -1400
对5点二次曲线平滑分析：不改变平滑点数，只改变平滑次数，结果如下：
5点1次平滑 5点500次平滑
5点5次平滑
5点1000次平滑
5点100次平滑
从图中可以看出，采用二次曲线平滑对于保 持信号的曲线性质是有利的。采用何种平滑 方式要考虑到平滑目标。
地质模型中离散数据点的等值线绘制方法
２００ ３ ５ １ ０ ．山 东 轻 工 业 学 院 经 济 管 理 学 院 ， 东 济 南 山
捅 要 ： 给出 了多种 策略 相结合 绘制 等值 线 的方法 。先 用 Ｉ ｌ ｎｙ三角 化 的 Ｗａｓ ）ａ ａ ｅｕ ｔ ｎ算 法 ， 生成 网 格 ｏ 将
和 产 生 新 结 点 一体 化 ， 成 三 角 网 格 ， 省 了 计 算 时 间 。 然 后 用 Ｋｒ ｉｇ算 法 ， 过 设 计 不 同 的 权 值 ， 现 了 对 形 节 ｉｎ ｇ 通 实 离 散 点 的插 值 。 最 后 用 三 次 抛 物 线 的 滑 动 平 均 法 将 街 值 点 连 接 成 光 滑 的 曲 线 ， 对 曲 线 所 表 示 的 数 值 进 行 了 并
维普资讯
第 １ ６卷 第 ２期
２０ ０ ２年 ６月
山 东 轻
工
业
学 院
学
报
Ｖｏ． ６ Ｎｏ ２ １１ ．
Ｊ ｎ２ ０ ｕ ．０ ２
Ｊ ＲＮＡＬ ＯＦＳ ＡＮＥ ＯＵ Ｈ ＤＮＧ Ｉ Ｓ Ｉ Ｎ Ｔ ＴＵＴＥ ＯＦ Ｌ ＧＨ Ｉ ） ＲＹ Ｉ Ｔ Ｕ
地 质 模 型 中 离 散 数 据 点 的 等 值 线 绘 制 方 法
孟 庆 生 ， 玉 清 孔 庆 馥 樊 ，
（ ．山东 轻 工 业 学 院 计 算 机 科 学 技 术 系 ， １ 山东 济 南 化学工程 系 ， 东 济南 山 ２ ０ ０ ； 山 东 轻 工 业 学 院 ５ １ ０ ２． ２００ ） ５ １ ０
是 闭 合 的 ， 可 能 是 不 闭合 的 ； 值 线 一般 不 相 互 交 错 。 针 对 不 同 的应 用 产 生 等 值 线 的 方 法 也 也 等 不 尽 相 同 。 由 于 能 在 计 算 机 上 处 理 的 数 据 都 是 离散 化 的 ． 且 地 质 问 题 中 涉 及 到 的 数 据 都 是 而 散 乱 的 、 规 则 的离 散 数 据 点 。 我 们 可 根 据 这 些 离 散 分 布 的数 据 点 建 立 不 规 则 的 三 角 形 网 ， 不 然 后 在 三 角形 网 上绘 制 等 值 线 。 本 文 用 一 种 改 进 的 Ｄ ｌｕ ａ ｅａ ｎ ｙ算 法 对 散 乱 的 数 据 体 进 行 三 角 网 格 化 用 Ｋｒ ｉｇ方 法 对 ｌ， Ｊ ｉｎ ｇ 三 角 网进 行 插 值 ， 用 Ｍａｌｂ完 成 了 程 序 设 计 Ｊ 并 ｔ ａ ２。所 形 成 的 软 件 具 有 运 算 速 度 快 ， 值 精 度 插
等值线生成方法发展历程
等值线生成方法发展历程等值线是地理信息系统（GIS）、气象学、地质学等领域中常用的一种图形表达方式，它能够直观地展示出空间数据的分布特征。
随着计算机技术的飞速发展，等值线生成方法也在不断演进。
本文将为您详细介绍等值线生成方法的发展历程。
一、手工绘制阶段在计算机技术尚未普及之前，人们主要依靠手工方法绘制等值线。
这一阶段的主要方法有：1.费马原理法：通过在数据点上画切线，找出曲率半径最小的点，连接相邻的切线交点，从而生成等值线。
2.插值法：在已知数据点之间进行插值，得到未知点的数值，然后根据这些数值绘制等值线。
3.方格网法：将研究区域划分为方格网，计算每个方格内的平均值，然后根据方格网的等值线绘制等值线图。
二、计算机辅助绘制阶段随着计算机技术的发展，人们开始利用计算机辅助绘制等值线。
这一阶段的主要方法有：1.直接法：将离散数据点输入计算机，通过插值方法生成等值线。
2.间接法：首先生成一系列规则网格点，然后在这些点上进行插值，最后生成等值线。
3.等高线追踪法：在已知数据点之间进行等高线追踪，生成等值线。
三、基于网格的等值线生成方法随着GIS技术的普及，基于网格的等值线生成方法逐渐成为主流。
这一阶段的主要方法有：1.网格插值法：对规则网格点进行插值，得到等值线。
2.等值线追踪法：在网格点上直接进行等值线追踪。
3.Marching Squares算法：通过对网格单元的编码，查找等值线经过的网格单元，从而生成等值线。
4.虚拟等值线法：在网格点上进行虚拟等值线追踪，生成等值线。
四、基于不规则三角网的等值线生成方法针对复杂地形，基于不规则三角网的等值线生成方法应运而生。
这一阶段的主要方法有：1.Delaunay三角网：首先生成不规则三角网，然后在三角网上进行等值线追踪。
2.Alpha Shapes算法：通过对三角网进行Alpha剪裁，生成等值线。
3.三角网插值法：在三角网内进行插值，得到等值线。
五、基于图形硬件加速的等值线生成方法近年来，随着图形硬件性能的提升，基于图形硬件加速的等值线生成方法逐渐受到关注。
如何根据离散点自动绘制等值线
如何根据离散点自动绘制等值线(等高线)之三角形法2001-04-06 16:35 6683人阅读评论(1) 收藏举报算法网格图形c自动绘制等值线的方法从技术方向上看可以分为两大类,插值和曲线拟合.其中曲线拟合总的来说效果不如插值算法经典和应用广泛,效果也较逊色.这里着重介绍插值算法.其中插值算法中,按照方式不同分为离散点客观化和三角网方式.两者区别在于三角网计算主要在生成三角网过程,省去了插值到格点的过程.而客观分析过程则是将离散点分析到格点后再内插到细网格,然后大多利用追踪法生成等值线,也有在这里再使用曲线拟合.1、三角形算法a、首先生成delaunay三角形，这一点在我的帖子"delaunay triangulation之丰衣足食“内有源程序，大家可以参考。
b、随后需要在三角形的边上插补等值点。
要确定某个三角形的边上是否有等值点，需要进行判断和处理。
注意：如果某原始数据点和等值线值相同，将该点改变一个微量。
如果一个三角形三顶点的值相同则各边无等值点。
如果一个三角形的任意边两端点（A、B〕的Z值（Za、Zb）满足满足（Zd-Za）*（Zd-Zb）<0,其中Zd代表等值线的值，则该边必有等值点，其平面位置是Xd=Xa+(Xb-Xa)*(Zd-Za)/(Zd-Za) , Yd=Ya+(Yb-Ya)*(Zd-Za)/(Zb-Za)。
每个三角形上不可能三边都有同值的等值点，另一边上必定有同值的等值点。
c、等值点的追踪。
为了能将内插的等值点顺序追踪排列，绘出等值线，还必须找出相互重叠的环形网内所计算的等值点间的平面位置关系。
因每个环形网都是由多个三角形组成的，我们先简单分析一下单个三角形中存在等值点的情况。
由于不必考虑等值线穿过端点，如果一个三角形的边上存在等值点的话，只可能在某两条边上存在等值点，而不可能三条边上同时都有。
也就是说，只要三角形一边上存在等值点，则其余的两条边中必有一边存在等值点。
离散点插值方法、等值线的绘制及平滑技巧
离散点插值方法、等值线的绘制及平滑技巧离散点插值方法、等值线的绘制及平滑技巧2008-06-10 22:45由于等值线图看起来非常直观、形象,因此在天气预报、气候预测分析等方面用得非常多,已成为预报员不可缺少的工具之一。
如各等压面层的位势高度图、高空环流、温度及降水分布图等等。
目前也有一些非常好的微机用绘图软件,如SUFER、GRADS 等。
这些软件一般都只有DOS 版,在流行的WINDOWS平台上,虽然可以调用,但不能使用鼠标操作,故不如使用在WINDOWS 环境中开发的软件方便。
因此,许多希望在自己开发的应用程序中能方便地显示及打印各类等值线图的人,都想知道绘制等值线图的原理方法。
如何用格点资料绘制等值线图在文献〔1〕中已有介绍,而离散点(如气象台站) 的资料必须通过插值才能绘制等值线图。
插值的方法有几种,比如三角网插值,它是将相邻的三个点连成一个个三角形,然后用文献〔1〕介绍的追踪法或其它方法在三角形边上进行插值。
此方法的优点是需要插的值少,插值算法简单,数据处理量少。
缺点是三角网的生成随意性很大,任意四个点可生成二组不同的三角形,不同的三角网插值得出的等值线也不可能完全相同。
若人为固定三角网,当有资料缺测时,就不得不重新调整三角网,因此程序的通用性不高。
目前比较流行的是通用性好的网格化方法。
1 离散点网格化理论上,离散点网格化可采用局部曲面拟合方法,用多元回归方法建立V ( X , Y) = a + bX + c Y或二次方程V ( X , Y) = a + bX + c Y + dX2 + eY2 + f X Y所谓局部,是指采用拟合点周围一定范围的部分离散点进行拟合。
这种做法虽然在许多情况下效果不错,但通常总是有些地方与实际情况有较大出入。
因此根据人工绘制等值线时的直接内插方式,采用以下几个步骤。
111 定点(1) 根据离散点的分布范围确定整个网格的范围及网格距,网格距不宜过大或过细。
怎么画出平滑的趋势
怎么画出平滑的趋势
画出平滑的趋势通常需要使用平滑曲线拟合方法，具体步骤如下：
1. 收集数据，并将数据绘制成散点图。
2. 选择适当的平滑曲线拟合方法，如贝塞尔曲线、样条曲线等。
3. 使用统计软件或编程语言，将数据进行平滑拟合。
4. 绘制拟合曲线，并与原始数据散点图进行比较，确保拟合曲线与数据趋势相符。
5. 分析拟合曲线的特征，如变化趋势、拐点等，以便得出有关数据的结论。
需要注意的是，选择适当的平滑曲线方法对于得出平滑趋势非常重要，不同的方法可能会得出不同的结果，因此需要谨慎选择。
等值线绘制算法
1.等值线绘制的过程分为三个步骤，离散数据网格化、等值线生成
以及等值线图的填充。
项目中的数学模型将离散数据进行了网格化，本模块需要提供等值线的生成和等值线几何体的绘制。
2.等值线的生成方法。
规则化的网格数据提供了每一个网格点上的
坐标和浓度值，基本思路是从区域边界开始，利用线性插值逐网格跟踪等值线得到等值线在其所穿过的网格边上等值点的坐标，保存这些坐标并根据一定的方位判别法对这些等值点进行排序，为下一步绘制几何体做准备。
3.等值线几何体的绘制。
一个网格内的等值线确定为直线，不需要
进行平滑处理。
首先对上一步骤中得到的各条等值线按照其起点的位置进行排序，排序的顺序与等值线追踪的顺序一致，即区域左、上、右、下、内部等值线，内部等值线按照横坐标递增排序，这样排好序的等值线按照起点坐标左、上、右、下、内部的顺序保存起来。
整个算法的基本描述如下:
1) 按起点纵坐标从下至上的顺序对起点在左边界上的等值线排序;
2) 按起点横坐标从左至右的顺序对起点在上边界上的等值线排序;
3) 按起点纵坐标从上至下的顺序对起点在右边界上的等值线排序;
4) 按起点横坐标从右至左的顺序对起点在下边界上的等值线排序;
5) 按起点横坐标从左至右的顺序对内部封闭的等值线排序;
6) 填充第三种等值线与网格下边界或左边界以及起点和终点所在的边界所围的区域。
对最后一条等值线, 则还需填充与网格上边界或右边界所围的区域;
7) 填充第二种等值线与起点和终点所在的边界以及这二边界相交的顶点所围的区域;
8) 填充第一种等值线与起点和终点所在的边界的顶点所围的区域;
9) 填充内部封闭等值线所围的区域.。
基于MapGIS的离散点追踪剖分等值线技巧探讨
基于MapGIS的离散点追踪剖分等值线技巧探讨【摘要】等值线图是在二维平面上把一种空间分布现象中具有相同数值的点连接而成的图形。
它是数据与图像的结合，使人能够很好地看到数据变化的趋势，直观地看到计算机模拟的结果，因此它是众多领域成果表示的重要图件之一。
本文通过对MapGIS软件DTM模块中根据不均匀离散点做等值线的探讨，指出了运用DTM模块绘制等值线时应注意的一些问题，详细介绍了绘制等值线的方法步骤以及笔者在工作中的经验技巧。
【关键词】MapGIS，DTM，不均匀离散点，等值线1、前言MapGIS是具有自主版权的大型基础地理信息系统软件。
在计算机软、硬件支持下，集数字制图、数据库管理及空间分析为一体的空间信息系统，是进行现代化管理与决策的先进工具。
它的主要功能包括数据采集与编辑、空间数据管理、空间分析、数据输出等。
等值线图是一种应用非常广的图形，它是在二维平面上把一种空间分布现象中具有相同数值的点连接而成的图形。
它是数据与图像的结合，使人能够很好地看到数据变化的趋势，直观地看到计算机模拟的结果，因此它是众多领域成果表示的重要图件之一。
DTM（数字地面模型）的发展应用为各种地形特征及专题属性的定量分析和不同类型专题图的自动绘制提供了基本数据。
MapGIS的DTM分析模块就是从离散数据构造出相互连接的网络结构，以此作为地形的数字模型基础，然后利用计算机自动生成各类专业地学图件并进行各类专业分析。
因此采用MapGIS的DTM分析模块，根据离散高程点（或者其他特征点）绘制等值线是一种很科学有效的方法。
2、用MapGIS做等值线的流程2.1 准备工作原始数据很可能是最基本的文本或表格，比如包含离散点的x，y坐标和特征值以及其他属性字段的Excel或者txt文件。
因此首先应当对基本数据进行整理，筛选出满足专题图需要的属性字段(x,y坐标和特征值这三个字段必不可少，其他属性可选择性保留)，做成txt文件。
这样这些原始数据就可以通过MapGIS的“用户文件投影变换”功能生成需要的离散点文件，为后续做等值线提供基础数据。
Surfer8.0十二种空间插值方法
2. 等值线绘制基本原理和十二种空间插值方法介绍2.1 等值线绘制基本原理等值线绘制的基本原理是，根据空间上若干离散点的属性数据（如地面高程数据、水文观测站测得的降水量和蒸发量数据、气象站测得的气压、风力、风向值等），通过内插法生成一系列光滑曲线，即等值线（同一条等值线上任意一点的属性值相等）。
需要指出的是，有的软件又将上述空间数据内插的过程称为格网化，其实二者略有不同。
所谓格网化是指采用一定的格网化方法（即数学模型）对不规则分布的原始数据点进行插值，生成在原始数据分布范围内规则间距的数据点分布[2]。
格网化最终形成的是空间上离散的格网，而不是连续的线。
无论是绘制等值线或是格网化，构建或选用合适的数学模型均是其核心关键[3]。
2.2 S urfer 8.0十二种空间插值方法介绍2.2.1反距离加权插值法（Inverse Distance to a Power）反距离加权插值法，又称谢别德法（Shepard）[4]，其插值原理是将待插值点邻域内已知散乱点属性值进行加权平均，权的大小与待插点的邻域内散乱点之间的距离有关，是距离k次方的倒数（0≤k≤2，k一般取值为2）。
反距离加权插值法综合了泰森多边形的邻近点法和多元回归法等渐变方法的长处，它假设A点的属性值是在局部邻域内中所有数据点的距离加权平均值，可以进行确切的或者圆滑的方式插值。
当计算一个格网结点时，给予一个特定数据点的权值，该权值与指定方次的结点到观测点的距离倒数成比例，给每个格网结点配给的权重是一个分数，所有权重的总和等于1.0。
当一个观测点与一个格网结点重合时，该观测点被给予一个实际为1.0的权重，所有其它观测点被给予一个几乎为0.0的权重[5][6]，并且其必须指定一个大于0的平滑系数，平滑系数通过修匀已被插值的格网来降低某些“凸显”数据展现。
反距离加权插值法是一种精确性插值法，插值生成的表面的最大值和最小值只会出现在已知样本点的位置。
化探元素等值线图绘制技巧初探之离散数据网格化方法选择及白化方法简介PPT课件
其权重降低的程度。随着power逼近0，生成的表面逼 近一个水平面，该平面通过数据文件中的所有观测点的 平均值。随着权重系数的增加，生成的表面由最邻近点 插值，导致表面变成多边形。多边形表现了最接近内插 节点的观测表面。可接受的权重系数通常在1和3之间。 • 平滑参数Smoothing把“不确定性”因素与用户输入 的数据联系起来，平滑参数愈大，计算相邻网格节点Z 值时特异观察点的绝对影响就愈小。平滑参数大于0， 则没有任何一个数据点对于某个节点的权重为1，即使
第18页/共65页
7、径向基函数法
• 是一种准确插值的方法。其中的多重二次曲面法被许多人认为是最好的方 法。在插值生成一个网格结点时，这些函数确定了使用数据点的最优权重 组。
• 径向基本函数法的函数类型包括： • 反比多重二次曲面法； • 多重对数； • 多重二次曲面法； • 自然三次样条和薄板样条。
第7页/共65页
变异图模型
• 克里金法中包含了几个因子：变异图模型，漂移类型 和矿块效应。 • 其中变异图模型（Variogram Model）是用来确定插值每一个结点时所
用数据点的邻域，以及在计算结点时给予数据点的权重。 Surfer提供了多种最常用的变异图模型，它们是指数、高斯模型、线性、 对数、矿块效应、幂、二次模型、有理数二次模型、球面模型和波（空洞 效应）。如果拿不准用哪一种变异图，可选用线性变异图，大多数情况下， 效果较好。
一、离散数据网格化方法简介
• 一般实施采样方法为不规则测网法。 • 绘制化探元素异常等值线图时，要根据客观环境特征和数据本身的
特点，选择合适的网格化方法 • 网格化方法的特征及应用条件 • 网格化概念——是指通过一定的插值方法，将稀疏的、不规则分布
python离散点插值拟合面
python离散点插值拟合面离散点拟合插值是一种常用的数据处理技术，它可以用来对一些离散的数据点进行拟合，从而得到一个连续的函数描述。
这个函数没有严格的数学定义式子，但可以通过一些算法来近似地得到它。
在本文中，我们将通过Python语言实现一个离散点插值拟合面的案例来演示这个技术的使用。
具体来说，我们将使用Python中的SciPy库的插值模块来实现这个任务。
这个模块提供了许多插值算法的实现，包括线性插值、二次插值、三次样条插值等等。
这里我们使用三次样条插值算法，它是一种更为复杂的插值方法，可以生成一条光滑的曲线来拟合离散的数据点。
1.导入库首先我们需要导入所有所需的库和模块。
这里我们主要使用SciPy库的插值模块，以及Matplotlib库的plot函数，来绘制我们的拟合面。
import numpy as npfrom scipy.interpolate import griddataimport matplotlib.pyplot as plt2.设置离散点数据现在我们需要设置一些离散的数据点，来演示我们的插值算法。
这里我们使用 numpy 库的 random 函数来生成一些在(0, 1)范围内的随机点。
我们将使用这些点来设置我们的离散数据点。
# Generate some random pointsn = 1000x = np.random.uniform(0, 1, n)y = np.random.uniform(0, 1, n)z = np.sin(x*2*np.pi)*np.sin(y*2*np.pi)# Plot the pointsfig = plt.figure()ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')ax.scatter(x, y, z, c='r', marker='o')ax.set_xlabel('X')ax.set_ylabel('Y')ax.set_zlabel('Z')plt.show()这个代码段生成了1000个随机点，并使用蓝色球体将它们绘制在3D空间中。
离散光滑插值算法
离散光滑插值算法离散光滑插值是一种通过给定的离散数据点来推导出一个连续的函数的方法。
在传统的插值算法中，通常使用拉格朗日插值法来得到一个多项式，但是这种方法在高阶插值时会出现振荡（Runge现象），并且插值函数不易被优化。
为了解决这些问题，离散光滑插值算法应运而生。
离散光滑插值算法的基本思想是将插值函数表示成若干个小区间上的低阶多项式函数，并要求这些小区间上的函数之间在相邻点处有一定的连续性和相互衔接性，从而达到插值函数光滑的效果。
常见的离散光滑插值算法有分段线性插值、分段二次插值和分段三次插值。
分段线性插值算法是一种最简单的离散光滑插值方法，它将插值区间分成若干小区间，在每一个小区间上使用一次多项式函数进行插值。
虽然分段线性插值算法的运算速度快，但是它不能满足高阶函数的连续性的要求，因此无法得到光滑的插值函数。
分段二次插值算法是一种更高阶的离散光滑插值方法，它将插值区间分成若干小区间，在每一个小区间上使用二次多项式函数进行插值。
分段二次插值算法能够满足抛物线函数的连续性要求，在一定程度上能够得到光滑的插值函数，但是如果插值区间较长，则会出现龟裂现象。
分段三次插值算法是一种最常用的离散光滑插值方法，它将插值区间分成若干小区间，在每一个小区间上使用三次多项式函数进行插值。
分段三次插值算法能够满足三次函数的连续性、一阶导数连续性和二阶导数连续性要求，确保得到的插值函数光滑且有较高的精度。
在实际应用中，分段三次插值算法被广泛应用于CAD、地理信息、医学成像等领域。
总的来说，离散光滑插值算法是一种高效且精准的插值方法，能够在一定程度上解决传统插值算法中存在的问题。
在实际应用中，需要根据具体的问题场景选择合适的离散光滑插值算法，并对插值的结果进行评估和验证，以保证得到的插值函数具有一定的准确性和可靠性。
如何根据离散点自动绘制等值线（等高线）之三角形法
如何根据离散点自动绘制等值线（等高线）之三角形法
1、三角形算法
a、首先生成delaunay三角形，这一点在我的帖子"delaunay triangulation之丰衣足食“内有源程序，大家可以参考。
b、随后需要在三角形的边上插补等值点。
要确定某个三角形的边上是否有等值点，需要进行判断和处理。
注意：如果某原始数据点和等值线值相同，将该点改变一个微量。
如果一个三角形三顶点的值相同则各边无等值点。
如果一个三角形的任意边两端点（A、B〕的Z值（Za、Zb）满足满足（Zd-Za）*（Zd-Zb）<0,其中Zd代表等值线的值，则该边必有等值点，其平面位置是Xd=Xa+(Xb-Xa)*(Zd-Za)/(Zd-Za) , Yd=Ya+(Yb-Ya)*(Zd-Za)/(Zb-Za)。
每个三角形上不可能三边都有同值的等值点，另一边上必定有同值的等值点。
c、等值点的追踪。
python 等值线插值的原理
python 等值线插值的原理Python是一种功能强大的编程语言，它提供了许多用于数据分析和可视化的工具和库。
在地理信息系统（GIS）领域中，等值线插值是一种常用的技术，用于根据已知数据点的数值，在地图上绘制出连续变化的等值线，以便更好地理解和分析数据分布。
本文将介绍Python中等值线插值的原理和实现方法。
等值线插值的原理是基于插值算法，通过已知的离散数据点推断出未知位置的数值。
在地理空间中，我们通常有一些离散的采样点，每个点上都有一个数值。
等值线插值的目标是通过这些已知点之间的关系，推断出整个区域上的数值分布。
常用的等值线插值方法有反距离加权插值（IDW）、三角剖分线性插值（TIN）和克里金插值等。
这些方法都有各自的特点和适用范围。
以反距离加权插值（IDW）为例，它的基本思想是根据距离远近对各个点的权重进行加权求和。
即离目标点越近的点权重越大，离目标点越远的点权重越小。
通过这种方式，可以将离散的采样点的数值推断到连续的区域上。
在Python中，可以使用SciPy库中的插值函数来实现等值线插值。
首先，需要将已知的数据点表示为一个二维数组，其中每个元素包含坐标和数值。
然后，可以使用scipy.interpolate模块中的interp2d函数创建一个插值函数。
该函数可以在指定的区域上进行插值，并返回插值结果。
下面是一个简单的示例代码，演示了如何使用反距离加权插值方法在地图上绘制等值线：```pythonimport numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltfrom scipy.interpolate import interp2d# 已知的数据点x = [1, 2, 3, 4, 5]y = [1, 2, 3, 4, 5]z = [10, 20, 30, 40, 50]# 创建插值函数f = interp2d(x, y, z, kind='linear')# 在区域上进行插值x_new = np.linspace(1, 5, 100)y_new = np.linspace(1, 5, 100)z_new = f(x_new, y_new)# 绘制等值线图plt.contour(x_new, y_new, z_new, levels=10)plt.scatter(x, y, c=z, cmap='jet')plt.colorbar()plt.show()```在这个例子中，我们首先定义了一些已知的数据点，分别表示为x、y和z。
离散光滑插值算法
离散光滑插值算法引言离散光滑插值算法是一种用于处理离散数据的插值方法。
在实际问题中，我们经常遇到只有少量数据点的情况，但我们希望能够通过这些离散的数据点来推测出整个数据集的情况。
离散光滑插值算法就能够帮助我们实现这一目标。
算法原理离散光滑插值算法的原理是基于光滑函数的概念。
在插值问题中，我们希望通过已知的离散数据点来构造一个光滑的函数曲线，使得曲线能够经过这些数据点，并且在数据点之间也能够保持光滑。
为了实现这个目标，离散光滑插值算法采用了多项式函数作为插值函数。
具体而言，离散光滑插值算法首先将给定的离散数据点进行排序，然后利用这些数据点构造一个多项式函数。
多项式函数的次数取决于数据点的数量，一般来说，数据点越多，多项式函数的次数也就越高。
通过调整多项式函数的系数，使得函数曲线经过所有的数据点。
为了保证插值函数的光滑性，离散光滑插值算法还引入了正则化项。
正则化项是一个惩罚项，它能够约束插值函数的光滑性。
通过调整正则化项的权重，可以控制插值函数的光滑程度。
当正则化项的权重趋近于零时，插值函数将变得越光滑；当正则化项的权重趋近于无穷大时，插值函数将变得越接近离散数据点。
算法实现离散光滑插值算法的实现过程相对简单。
首先，将给定的离散数据点进行排序，然后构造一个多项式函数。
多项式函数的系数可以通过解线性方程组来确定。
接下来，通过调整正则化项的权重，可以得到不同光滑程度的插值函数。
最后，将插值函数应用于需要插值的点，即可得到插值结果。
算法应用离散光滑插值算法在实际问题中有着广泛的应用。
例如，在地理信息系统中，我们经常需要根据离散的地理数据点来构造地形图或者地图等。
离散光滑插值算法可以帮助我们通过这些离散的数据点来构造出光滑的地形图或者地图。
同样，在工程设计中，离散光滑插值算法也可以用来构造光滑的曲线或者曲面，以满足实际需求。
总结离散光滑插值算法是一种用于处理离散数据的插值方法。
通过构造光滑的多项式函数，并引入正则化项来保证插值函数的光滑性，离散光滑插值算法能够通过离散的数据点来推测整个数据集的情况。
离散数据的差值方法及特点
离散数据的差值方法是指对于一组离散的数据点，通过计算相邻数据点之间的差值来获得一组新的差值数据。
常见的差值方法有以下几种：
1.算术差值法：对于相邻两个数据点之间的差值，直接用后一个数据点的值减去前一个数据点的值即可得到差值。
2.几何差值法：对于相邻两个数据点之间的差值，通过计算两个数据点之间的比值来得到差值。
3.平滑差值法：对于一组离散的数据点，通过对相邻数据点之间的差值进行加权平均，来获得一组平滑的差值数据。
4.插值差值法：对于一组离散的数据点，通过对相邻数据点之间的差值进行插值，来获得一组连续的差值数据。
离散数据的差值方法的特点如下：
1.简单易行：离散数据的差值方法计算简单，易于实现，适用于各种类型的离散数据。
2.能够反映数据变化趋势：差值数据能够反映出数据的变化趋势和变化速率，有助于分析和预测数据的发展趋势。
3.可能存在误差：差值方法的计算结果可能存在误差，特别是在数据点之间存在较大的间隔或者数据点本身存在较大的误差时，误差更为明显。
4.需要选择合适的差值方法：不同的差值方法适用于不同类型的离散数据，需要根据具体情况选择合适的差值方法。
五点光滑法
五点光滑法分类：GIS算法2009-12-27 16:17 575人阅读评论(4) 收藏举报由离散点绘制光滑曲线的方法—五点光滑法在GIS开发中，我们经常会遇到一些由离散点绘制光滑曲线的问题，比如用不规则三角网生成等值线，我们求出了等值线上的各个点，怎么把这些点连成一条光滑的曲线，就需要用到光滑算法。
光滑算法有很多种，比如线性跌代、分段三次多项式插值法(又称五点法)，二次多项式加权平均法、张力样条函数法等。
本文主要介绍五点法，也是用来光滑等高线的常用方法。
五点法的基本思路如下：1）每两个数据点之间建立一条三次多项式曲线方程。
2）曲线具有连续的一阶导数3）各节点的导数是以一点为中心，左右两边各相邻的两个点，一共五个点来确定的。
由条件三，我们可以认为我们已经得到了该曲线在每一个点的一阶导数（方法见后面的介绍），那么在任意两个相邻的离散点之间，我们可以得到下面四个方程：设曲线方程为y = f(x)，已求出的各点的导数为设则可由上述方程组求出a、b、c、d的值，即得到两点之间的函数表达式。
下面介绍如何根据一个点的前两点及后两点来确定该点的一阶导数值：如下图所示：图中是待一阶导数的点，AB为曲线的切线，由AKIMA条件可得：既可求出点的一阶导数。
对于第一个点和第二个点以及倒数第二个点及第一个点，采用补点的方法，来求他们的导数，补点采用增量相等的原则来补，举个例子：P0为第一个点，P1为第二个点，p2为第三点，如果我要求P1的导数，就必须补出A点，这样它的前面才会有两个点。
P0和P1的坐标已知，则由：p2p1增量-p1p0增量=p1p0增量-p0A增量可补出A点，同理补出B点，这样P0、p1的一阶导数均可用五点法求出。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
离散点插值方法、等值线的绘制及平滑技巧2008-06-10 22:45由于等值线图看起来非常直观、形象,因此在天气预报、气候预测分析等方面用得非常多,已成为预报员不可缺少的工具之一。
如各等压面层的位势高度图、高空环流、温度及降水分布图等等。
目前也有一些非常好的微机用绘图软件,如SUFER、GRADS 等。
这些软件一般都只有DOS 版,在流行的WINDOWS平台上,虽然可以调用,但不能使用鼠标操作,故不如使用在WINDOWS 环境中开发的软件方便。
因此,许多希望在自己开发的应用程序中能方便地显示及打印各类等值线图的人,都想知道绘制等值线图的原理方法。
如何用格点资料绘制等值线图在文献〔1〕中已有介绍,而离散点(如气象台站) 的资料必须通过插值才能绘制等值线图。
插值的方法有几种,比如三角网插值,它是将相邻的三个点连成一个个三角形,然后用文献〔1〕介绍的追踪法或其它方法在三角形边上进行插值。
此方法的优点是需要插的值少,插值算法简单,数据处理量少。
缺点是三角网的生成随意性很大,任意四个点可生成二组不同的三角形,不同的三角网插值得出的等值线也不可能完全相同。
若人为固定三角网,当有资料缺测时,就不得不重新调整三角网,因此程序的通用性不高。
目前比较流行的是通用性好的网格化方法。
1 离散点网格化理论上,离散点网格化可采用局部曲面拟合方法,用多元回归方法建立V ( X , Y) = a + bX + c Y或二次方程V ( X , Y) = a + bX + c Y + dX2 + eY2 + f X Y所谓局部,是指采用拟合点周围一定范围的部分离散点进行拟合。
这种做法虽然在许多情况下效果不错,但通常总是有些地方与实际情况有较大出入。
因此根据人工绘制等值线时的直接内插方式,采用以下几个步骤。
111 定点(1) 根据离散点的分布范围确定整个网格的范围及网格距,网格距不宜过大或过细。
(2) 确定每个离散点属于哪一个网格,也即每个网格包含哪些离散点。
(3) 在欲插值的网格点周围一定范围内(约3～4 个网格距如图1) ,按其4 个象限各找一个合适的离散点,剔除距离插值点最远的一个点(或其对面象限的点,使网格点处于另三点组成的三角形之内) 。
若有2 个象限找不到离散点,则要判别是否有已插值的格点值可替代,若也没有已插值可替代,则该格点暂时不插值,并记下该格点位置,留最后补插值。
图1 离散点网格化找合适点的原则:A bs ( Xi - X0) ×A + A bs ( Yi - Y0) ×B = 最小式中:X0 、Y0 ———为网格点坐标,A、B ———为权重系数, (可根据其相邻象限有无离散点不断调整) 。
112 插值当某离散点与网格点距离小于011 个网格距时,可近似作为该网格点值。
一般情况下,先由3 个点插出与纬向线相交点的2 个值,最后这2 个值内插出网格点上的值。
为了使内插值更准确,可以考虑所选的3 个离散点各点与网格点的距离,内插时乘上权重系数,距离越近权重系数越大。
当4 个离散点的值如图2 的情况时,有可能是高中心,正常插值肯定小于这4 个点的最大值,不成为高中心,因此要根据周围离散点的值作特殊处理。
图2 高中心特殊处理113 补插将初次无法进行插值记录下来的格点,重新检查是否可插值。
114 外围点插值采用此方法插值,得到的网格点值只能在外围离散点所包的范围内。
为了使插值的网格点尽可能包围外围离散点,可以在外围采用外延的方法,将插值网格点扩大一圈。
方法是:对于任一个无插值网格点,在其周围应有8 个(边线上5 个) 方向,任何一个方向,只要最近的两个格点有值,则可外推出该格点值,将8 方向可能推出的两个以上的值求算术平均作为该格点的插值。
115 技巧为方便下一步连等值线,所有格点的值不要与等值线的值相等,可对插出的格点值增减一个非常小的值ε(如0101) 。
若周围有一个格点的值比该值大,则减去ε,否则加上ε。
2 绘制等值线网格点资料如何绘制等值线,文献〔1〕介绍了直接追踪法, 这里介绍另一种方法。
(1) 先将每个已插值的网格点与其右边及下边两个网格点值进行比较,若满足条件Sgn ( Z( x , y) - Z0) + Sgn ( Z ( x + 1 , y) - Z0) = 0 则记录一竖线段两个坐标Sgn ( Z( x , y) - Z0) + Sgn ( Z ( x , y + 1) - Z0) = 0 则记录一横线段两个坐标式中: Z ( 3 ) ———格点值;Z0 ———等值线的值;Sgn ( ) ———求正负号函数。
即把所有格点值看成只有两值,一是大于Z0 ,一是小于Z0 (前面插值处理使任何一格点值不等于Z0) ,最后可得到若干条线段(图3) 。
图3 两值化的等值线图(2) 线段连接。
对于某一线段X , 根据其终点,顺序查找与之共点的起点或终点的线段Y ,确定他们相连关系,根据线段X 两边格点值插出等值线值的位置,作为等值线的一个点坐标并记录下来。
再根据Y 的终点或起点继续查找..,当再也找不到时,即为该连线的一个端点,同样要插值确定并记录该线终点坐标。
再回过头从线段X 的起点继续找,直至找到另一个端点。
当等值线起点终点属于同一个网格时,该等值线是闭合的。
当某一线段起点终点均找不到与之相连的其它线段时,可以考虑不要该线段。
当某一线段一头与另外3 个线段共点时(如图4) ,即图4 多线段共点当等值线的值为10 时,按顺序会记下4 个线段A、B、C、D ,4 个线段的都有一个共同的端点。
这种情况下则应根据等值线值与4 个格点值,按相互间距离最近的两个相连,另外两个相连来处理(图中虚线) 。
(3) 当组成一条折线的点少于4 时,可以不要该条折线。
3 等值线的平滑前面连成的等值线,其实是一条条折线, 当网格距足够小时(可在粗网格上插细网格) , 这些折线看起来就比较平滑。
但这样处理有两个缺点,一是要做很细的网格插值,但无论如何细,曲线还是会随着图形的放大而逐渐变成了折线。
二是要记录很细的格点值及等值线,可能就要开一个很大的数组,若要存放在磁盘上则会占用较大的磁盘容量。
为节省存储空间,又要较精确地描绘曲线,唯一的办法是增加数据处理工作量,必须从折点数据中找到一系列的函数关系,使之完全通过这些折点。
根据这些函数加密数据点画出的折线是看起来是连续而平滑的。
图形越放大,需加密数据点越多。
目前,采用的平滑方法有多项式拟合、样条函数、拉格郎日插值函数、斜轴抛物线平均加权法等方法进行逐段拟合。
不管是哪种方法,直接使用都可能会出现不合理的情况(图5) ,解决办法是先对拟合点或自变量作些初步处理或称预处理,最后进行坐标(旋转)变换后,用拉格郎日插值函数绘制平滑曲线。
图5 直接插值曲线311 预处理(1) 检查闭合线当一条曲线的第一点与最后一点同属一个网格时,则可以认为这条线是闭合的,在最后点之后加上第一点坐标作为最后点。
(2) 合并紧邻点相连的两个点距离小于012 个网格距时,可在中间插一个点,而将这两个点取消。
(3) 将大折角减小当3 个相邻点之间的夹角小于一定角度时,通过逐步调整3 个点的Y 坐标,将夹角加大(角β减小) 。
可以通过多次的合并及减小折角,使得曲线逐步平滑。
312 配函数绘线加密数据点的拉氏插值函数程序如下:For I = 1 To N :Z( I) = 1 :Next IFor I = 1 To N :For J = 1 To NIf I < >J Then Z(J ) = Z(J ) ×(XX - X( I) ) / (X(J ) - X( I) )Next J :Next IYX = 0 : For I = 1 To N : YX = YX + Z( I) ×Y( I) :Next IN 是样本点数, 对应数组X ( ) 、Y ( ) ,XX 是插值X 坐标, Y X 是插出的Y 坐标。
采用3 点样本插值的具体做法是:(1) 采用3 点在第一、二点之间进行插值。
(2) 为了避免出现如图5 那样的不合理插值,可采用坐标转换方式。
即根据第一点与第二点连线和第二点与第三点连线的夹角来确定新坐标旋转角度γ(图6) ,使角α等于角β。
(3) 在新的坐标系下进行第一、二点之间进行插值。
插值步长可以根据网格距大小及图6 确定新坐标旋转角(下转第73 页)数据文件调入后,返回Random 子菜单选择Output , 填入输出文件名, 扩展名应为1GRD ,然后选择Begin 即可将输入文件网格化,生成输出文件。
Begin 生成的1GRD 文件,产生的数据分布在给定的经、纬度极大值、极小值之间的每一段。
若直接由TOPO1EXE 调用,等值线将布满整张图。
为了不出现等值线,必须使用Modify 进行空白化处理,空白化步骤如下: (1) 编辑一空白化文件, 扩展名为生成1BLN。
格式:第一行: (点数- 1) 0第二行:第一点横坐标(经度) 第一点纵坐标(纬度)第三行:第二点横坐标(经度) 第二点纵坐标(纬度)..这些点相联成的闭合区域外将空白化。
(2) 在主菜单依次选择Modify →Blank ,出现对话框,在Input grid file : 填入欲空白化的1GRD 文件,在Output grid file : 填入输出文件,扩展名1GRD ,在Blank file : 填入上一步生成的1BLN 文件,在Begin creating grid with current param2 eters ? 填YES ,即空白化生成输出文件。
312 运行TOPO1EXE主菜单如下:[ Topo ] Input Level Scale Conline Title Border Xyline Grid Post Output Equip用到的各选项功能如下:Input :填入输入文件名,它是GRID1EXE的输出文件。
Level :调整等值线的最大、最小值、间距。
Scale :调节屏幕图形的大小(F2 键显示) 。
Title :输入标题。
Post :将单点及其数值标注在指定位置,若在此填入地图文件名,可调入地图。
Output :将显示的图形输出打印。
4 全屏幕修改SURFER 软件包绘制的等值线精度高,光滑不足,可进行全屏幕修改。
F2 显示后再按任意键,图上出现一小十字架,按AL T - E ,屏幕底部出现下面的字样: X = 110 Y = 25 Z = 19173 ESCAL T - S OR NEW Z:表示当前小十字架坐标为(110 ,25) ,数值为19173 ,填入新的Z 值,就可部分修改图形。
修改后的图形可按AL T - S 存盘。