圆锥曲线齐次式与点乘双根法
圆锥曲线大题11，向量内积为定值，点乘双根法更便捷
圆锥曲线大题11，向量内积为定值，点乘双根法更便捷
这里的计算使用点乘双根法更便捷哦：
【方法点睛】本题的关键点就在于
【方法点睛】证明向量内积为定值的方法与前面的题目中证明方法大同小异：
（1）对于较为复杂的问题，可先采用特殊位置（例如斜率不存在的直线等）求出定值，进而给后面一般情况的处理提供一个方向.
（2）在运算过程中，尽量减少所求表达式中变量的个数，以便于向定值靠拢
（3）巧妙利用变量间的关系，例如点的坐标符合曲线方程等，尽量做到整体代入，简化运算
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解圆锥曲线问题常用方法大全
解圆锥曲线问题常用方法大全专题：解圆锥曲线问题常用方法（一）【学习要点】解圆锥曲线问题常用以下方法： 1、定义法（1）椭圆有两种定义。
第一定义中，r 1+r 2=2a 。
第二定义中，r 1=ed 1 r 2=ed 2。
（2）双曲线有两种定义。
第一定义中，a r r 221=-，当r 1>r 2时，注意r 2的最小值为c-a ：第二定义中，r 1=ed 1，r 2=ed 2，尤其应注意第二定义的应用，常常将半径与“点到准线距离”互相转化。
（3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。
2、韦达定理法因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。
3、解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。
设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),弦AB 中点为M(x 0,y 0)，将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有：（1）)0(12222>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有02020=+k b y a x 。
（2）)0,0(12222>>=-b a b y a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有02020=-k by a x （3）y 2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p.【典型例题】例1、(1)抛物线C:y 2=4x 上一点P 到点A(3,42) (2)抛物线C: y 2=4x 上一点Q 到点B(4,1)与到焦点F 的距离和最小,分析：（1）A 在抛物线外，如图，连PF ，则PF PH =点共线时，距离和最小。
圆锥曲线齐次式与点乘双根法
+ = y 圆锥曲线齐次式与点乘双根法一，圆锥曲线齐次式与斜率之积（和）为定值x 2 y 2例 1：Q 1 , Q 2 为椭圆 2b 2 + b2 线OD ，求 D 的轨迹方程.= 1上两个动点，且OQ 1 ⊥ OQ 2 ，过原点O 作直线Q 1Q 2 的垂解法一（常规方法）：设Q 1 (x 1 , y 1 ),Q 2 (x 2 , y 2 ) ， D (x 0 , y 0 ) ,设直线Q 1Q 2 方程为 y = kx + m ，⎧ y = kx + m⎪联立⎨ x 2 ⎪⎩ 2b 2 y 2b2 1 化简可得:(2b 2k 2 + b 2 )x 2 + 4kmb 2 x + 2b 2 (m 2 - b 2 ) = 0 ，所以x 1x 2 = 2b 2 (m 2 + b 2 ) 2b 2k 2 + b 2, y 1 y 2 = b 2 (m 2 - 2b 2k 2 ) 2b 2k 2 + b 2因为OQ 1 ⊥ OQ 2 所以2b 2 (m 2 + b 2 ) b 2 (m 2 - 2b 2k 2 ) 2(m 2 - b 2 )m 2 - 2b 2k 2x 1x 2 + y 1 y 2 = 2b 2k 2 + b 2 + 2b 2k 2 + b 2 = 2k 2+1 + 2k 2 +1 =0∴3m 2 = 2b 2 (1+ k 2 ) *又因为直线 Q Q 方程等价于为 y - y = - x0 (x - xx x 2) ， 即 y = - 0 x + 0 + y对比于1 2 0y 0 y 0⎨ 20 00 0y y ⎧- x 0 = k y = kx + m ，则⎪ y 0x 代入* 中，化简可得： x 2 + y 2= 2b 2. 3 ⎪ 0 + y = m ⎪ y 0 ⎩ 0解法二（齐次式）：⎧ mx + ny= 1 ⎧ mx + ny = 1 ⎪ ⎪ 设直线Q 1Q 2 方程为 mx + ny = 1，联立⎨ x 2 + y 2 =⇒ ⎨ x 2 + y 2- =⎪⎩ 2b2b21⎪⎩ 2b2 b21 0x 2 y22x 2 y 2 2 2 2 22b 2 + (m x + ny ) b 2= 0 化简可得: 2b 2 + m x b 2- n y- 2mnxy = 0 整理成关于 x , y x , y 的齐次式： (2 - 2b 2n 2 ) y 2 + (1- 2m 2b 2 ) x 2 - 4mnb 2xy = 0 ，进而两边同时除以 x 2，则2 2 2 2 2 21- 2m 2b 2(2 - 2b n )k - 4mnb k +1- 2m b= 0 ⇒ k 1k 2 =2 - 2b 2n 21- 2m 2b 2因为OQ 1 ⊥ OQ 2 OQ 1 ⊥ OQ 2 所以 k 1k 2 = -1，2 - 2b 2n2= -1∴3 = 2b 2 (m 2 + n 2 ) *又因为直线 Q Q 方程等价于为 y - y = - x0 (x - xx x 2) ， 即 y = - 0 x + 0 + y 对比于1 2⎧x 0= my 0 y 0⎪ x 2 + y 22mx + ny = 1，则⎨ 0 0y 代入* 中，化简可得： x 2+ y 2= b 2 .3 0 = n ⎪ x 2 + y 2 ⎩ 0 0例 2：已知椭圆 x 2 + 24= 1，设直线l 不经过点P (0,1) 的直线交于 A , B 两点，若直线 PA , PB 的斜率之和为-1，证明：直线l 恒过定点.⎩ ⎩解：以点 P 为坐标原点，建立新的直角坐标系 x ' py ' ，如图所示：旧坐标 新坐标(x , y ) ⇒ (x ', y ')即(0,1) ⇒ (0, 0)⎧ x ' = x ⎧ A → A ' 所以⎨ y ' = y -1 ⇒ ⎨B → B '原来 k + k = -1⇒y 1 -1 + y 2 -1 = -1 则转换到新坐标就成为： y 1 ' + y 2 '= -1PAPBx x x ' x ' 1 21 2即k 1 '+ k 2 ' = -1设直线l 方程为： mx '+ ny ' = 1原方程： x 2 + 4 y 2 = 4 则转换到新坐标就成为： x '2 + 4( y '+1)2= 4展开得： x '2 + 4 y '2+ 8 y ' = 0⎨⎪x' ⎩ ⎩ 构造齐次式： x '2 + 4 y '2+ 8 y '(mx '+ ny ') = 0整理为： (4 + 8n ) y '2 + 8mx ' y '+ x '2= 0两边同时除以 x '2 ，则(4 + 8n )k '2+ 8mk '+1 = 0所以 k '+ k ' = -8m= -1 所以 2m - 2n = 1 ⇒ m = n + 1124 + 8n 21 x '而 mx '+ ny ' = 1 ∴(n + )x '+ ny ' = 1 ⇒ n (x '+ y ') + -1 = 0 对于任意 n 都成立.2 2⎧x '+ y ' = 0则： ⎪⇒ -1 = 0 ⎩ 2⎧ x ' = 2 ⎨ y ' = -2，故对应原坐标为⎧ x = 2 ⎨ y = -1所以恒过定点(2, -1) .x 2例 3：已知椭圆y 2+ = 1，过其上一定点 P (2,1) 作倾斜角互补的两条直线，分别交于椭 8 2圆于 A , B 两点，证明：直线 AB 斜率为定值.解：以点 P 为坐标原点，建立新的直角坐标系 x ' py ' ，如图所示：旧坐标新坐标(x , y ) ⇒ (x ', y ')即(2,1) ⇒ (0, 0)所以⎧x ' =x - 2⇒⎧A →A '⎨y '=y -1⎨B →B '⎩⎩原来k +k = 0 ⇒ y1-1+y2-1= 0 则转换到新坐标就成为：y1'+y2'= 0PA PB x - 2 x -1 x ' x '1 2 1 2即k1 '+k2' = 0设直线 AB 方程为： mx '+ny ' = 1原方程： x2 + 4 y2 = 8 则转换到新坐标就成为： (x '+ 2)2 + 4( y '+1)2 = 8 展开得： x '2 + 4 y '2 + 4x '+ 8 y ' = 0构造齐次式： x '2 + 4 y '2 + 4x '(mx '+ny ') + 8 y '(mx '+ny ') = 0整理为： y '2 (4 + 8n) +x ' y '(4n + 8m) + (1 + 4m)x '2 = 0两边同时除以 x '2 ，则(4 + 8n)k '2 + (4n + 8m)k '+1+ 4m = 0所以 k '+k ' =-4n + 8m= 0 所以 n =-2m1 2 4 +8n1而mx '+ny ' = 1 ∴mx '+ (-2m) y ' = 1 ⇒mx - 2my -1 = 0 .所以k =21平移变换，斜率不变，所以直线AB 斜率为定值.21 2 1 1 2 2 1 2 1 21 二，点乘双根法例 4：设椭圆中心在原点O ，长轴在 x 轴上，上顶点为 A ，左右顶点分别为 F 1 , F 2 ，线段OF 1 ,OF 2 中点分别为 B 1 , B 2 ，且△AB 1B 2 是面积为 4 的直角三角形.（1） 求其椭圆的方程（2） 过 B 1 作直线l 交椭圆于 P , Q 两点，使 PB 2 ⊥ QB 2 ，求直线l 的方程.x 2y 2解：（1） + = 20 4（2）易知：直线l 不与轴垂直，则设直线l 方程为： y = k (x + 2) ， P (x 1, y 1 ), Q (x 2 , y 2 )因为 PB ⊥ QB，则，22PB 2 QB 2 =0所以(x - 2, y )(x - 2, y ) = 0 ⇒ (x - 2)(x - 2) + k 2(x + 2)(x + 2) = 0 *⎧ y = k (x + 2) ⎪2 2 2现联立⎨ x 2+ y 2 = ⇒ x ⎩ 20 4+ 5k (x + 2) - 20 = 0则方程 x 2 + 5k 2 (x + 2)2 - 20 = 0 可以等价转化(1+ 5k 2)( x - x )( x - x ) = 012即 x 2 + 5k 2 (x + 2)2 - 20 = (1+ 5k 2)(x - x )(x - x )令 x = 2 ， 4 + 80k 2- 20 = (1+ 5k 2)( x 1 - 2)( x 2 - 2) ⇒ ( x 1 - 2)( x 2 - 2) =80k 2 -16 1+ 5k 2令 x = -2 ， 4 + 0 - 20 = (1+ 5k 2)( x + 2)( x + 2) ⇒ ( x + 2)( x + 2) = -161 2 1 21+ 5k 21结合(x1 - 2)(x2- 2) +k (x1 + 2)(x2 + 2) = 0 *化简可得：80k 2 -161+ 5k 2+-16= 01+ 5k 280k 2 -16k 2 -16 = 0 ⇒ 64k 2 =16 ⇒k 2 =1∴k =±1 4 2所以直线l 方程为： y =± 1(x + 2) . 22。
数学分析：点乘双根法
数学分析：点乘双根法知识与方法1．预备知识（二次函数的两根式）：一般地，设=++≠f x ax bx c a 02)()(，若一元二次方程++=ax bx c 02有两根x 1和x 2，则必有=−−f x a x x x x 12)()()(， 即++=−−ax bx c a x x x x 122)()(.2．点乘双根法：若我们将直线与圆锥曲线方程联立，得到关于x 的一元二次方程++=ax bx c 02≠a 0)(，并且假设该方程的两根为x 1和x 2，现在我们要计算−−x t x t 12)()(这个量，此时当然可以将其展开，利用韦达定理来进行计算，但更简单的操作方法是利用二次函数的两根式，得出++=−−ax bx c a x x x x 122)()(，并在两端同时令=x t ，即可得到++=−−at bt c a t x t x 122)()(，从而−−=++ax t x t at bt c122)()(，这样就求出了我们想要的量，这种技巧叫做“点乘双根法”，其一般的步骤是“化两根式→赋值→求得结采”.【例题】已知抛物线=>E y px p :202)(的焦点为F ，A y 1,0)(>y 00)(为抛物线E 上一点，=AF 45 （1）求p 和y 0的值；（2）过F 作两条互相垂直的直线与抛物线E 交于另外两点B 和C ，证明：直线BC 过定点. 【解析】（1）由题意，=+=AF p 2415，解得：=p 21，所以抛物线C 的方程为=y x 2，将A y 1,0)(代入=y x 2得：=y 102，又>y 00，所以=y 10. （2）解法1：显然直线BC 不与坐标轴垂直，可设其方程为=+x my t ≠m 0)(，设B y y ,112)(，C y y ,222)(，易得直线AB 和AC 斜率均存在，因为⊥AB AC ，所以−−⋅=−−−y y y y 11111122212，从而++=−y y 11112)()(①，联立⎩=⎨⎧=+y xx my t2消去x 整理得：−−=y my t 02②，因为y 1和y 2是方程②的两根，所以−−=−−y my t y y y y 122)()(，令=−y 1得：+−=−−−−m t y y 11112)()(，所以++=+−y y m t 11112)()(代入式①得：+−=−m t 11，所以=+t m 2，故直线BC 的方程为=++x my m 2，即=++x m y 12)(，所以直线BC 过定点−2,1)(.解法2：显然直线BC 不与坐标轴垂直，可设其方程为=+x my t ≠m 0)(，设B x y ,11)(，C x y ,22)(，联立，消去x 整理得：①，则和是方程①的两根，所以，令=y 1得：−−=−−m t y y 11112)()(，所以−−=−−y y m t 11112)()(联立消去y 整理得：−++=x t m x t 20222)(②，则x 1和x 2是方程②的两根，所以−++=−−x t m x t x x x x 212222)()()(令=x 1得：−−+=−−t m t x x 12111222)()(，所以−−=−−+x x t m t 11121222)()(，由（1）知点A 的坐标为1,1)(，所以=−−AB x y 1,111)(，=−−AC x y 1,122)(， 由题意，⊥AB AC ，所以⋅=−−+−−=AB AC x x y y 111101212)()()()(， 从而−−++−−=t m t m t 121022)()(整理得：+−−−=t m t m 120)()(，所以=−t m 1或=+t m 2， 若=−t m 1，则直线BC 的方程为=+−x my m 1 即=−+x m y 11)(，显然直线BC 过点A ，不合题意， 所以=+t m 2，从而直线BC 的方程为=++x my m 2， 即=++x m y 12)(，故直线BC 过定点−2,1)(.【反思】当涉及到−−x t x t 12)()(或−−y t y t 12)()(这种结构计算时，就可以考虑使用点乘双根法，这是一种能够降低计算复杂度的优越算法.强化训练1.（★★★★）椭圆+=>>a ba b x y 102222)(的左焦点为F ，左、右顶点分别为A 、B ，离心率为，=AB .（1）求椭圆的方程；（2）过F 且斜率为k 的直线l 与椭圆交于C 、D 两点，若⋅+⋅=AC DB AD CB 8，求k 的值. 【解析】（1）由题意，==AB a 2=a又椭圆的离心率eb ， 故椭圆的方程为+=x y 32122. （2）由（1）可得A )(，B)，−F 1,0)(，所以直线l 的方程为=+y k x 1)(，设C x y ,11)(，D x y ,22)(，则=+AC x y 3,11)(，=−−DB x y 3,22)(，=+AD x y 3,22)(，=−−CB x y 3,11)(，从而⋅+⋅=+−−++−−AC DB AD CB x x y y x x y y 333312122112)()()()(=−+−+−=−−=−−++x x x x y y x x y y x x k x x 3362262211112212112121212122)()(，由题意，⋅+⋅=AC DB AD CB 8，所以−−++=x x k x x 62211812122)()(，故+++=−x x kx x 11112122)()(①，联立⎩⎪+=⎨⎪⎧=+x y y k x 321122)(消去y 整理得：+++−=k x k x k 3263602222)(②，因为x 1和x 2是方程②的两根，所以+++−=+−−k x k x k k x x x x 32636321222222)()()()(③，在③中取=−x 1可得：+++=−k x x 32114212)()(，又由方程②的韦达定理，+=−k x x k 32362122，代入①得：⎝⎭++ ⎪+⋅−=−⎛⎫−k k k k 323213642222，解得：=k2.（★★★★）已知椭圆+=C x y 42:122和点P 1,1)(，过点P 且斜率为2的直线与椭圆C 交于A 、B 两点.（1）求⋅PA PB 的值；（2）直线l 过点P 与椭圆C 交于不与A 、B 重合的M 、N 两点，若⋅=⋅PA PB PM PN ，求直线l 的方程.【解析】（1）由题意，直线AB 的方程为−=−y x 121)(，即=−y x 21，设A x y ,11)(，B x y ,22)(联立⎩⎪+=⎨⎪⎧=−x y y x 4212122消去y 整理得：−−=x x 98202①，则x 1和x 2是方程①的两根，所以−−=−−x x x x x x 9829122)()(，令=x 1可得−−=−x x 911112)()(，故−−=−x x 911112)()(从而⋅=−−=−−=PA PB x x x x 91151151212)()(.（2）当直线l 的斜率不存在时，其方程为=x 1，代入椭圆C的方程可求得=y所以⎝⎭⎪ ⎪⋅=−=≠⋅⎛⎫PM PN PA PB 2111，不合题意， 当直线l 斜率存在时，设其方程为−=−y k x 11)(，即=+−y kx k 1，设M x y ,33)(，N x y ,44)(， 联立⎩⎪=+−+=⎨⎪⎧x y y kx k142122消去y 整理得：++−+−−=k x k k x k 12412140222)()()(②，则x 3和x 4是方程②的两根，所以++−+−−=+−−k x k k x k k x x x x 124121412342222)()()()()()(令=x 1可得++−+−−=+−−k k k k k x x 1241214121134222)()()()()()(， 所以+−−=−k x x 12111234)()(从而+⋅=−−=+⋅−−=+k PM PN x x k x x k 121111112343422)()()(，因为⋅=⋅PA PB PM PN所以+=+k k 1291522，解得：=±k 2，因为M 、N 不与A 、B 重合， 所以≠k 2，故=−k 2，从而直线l 的方程为=−+y x 23.。
圆锥曲线齐次式与点乘双根法
1一，圆锥曲线齐次式与斜率之积（和）为定值例1：12,Q Q 为椭圆222212x y b b+=上两个动点，且12OQ OQ ⊥，过原点O 作直线12Q Q 的垂线OD ，求D 的轨迹方程.解法一（常规方法）：设111222(,),(,)Q x y Q x y ，00(,)D x y ,设直线12Q Q 方程为y kx m =+，联立222212y kx mx y b b=+⎧⎪⎨+=⎪⎩化简可得: 22222222(2)42()0b k b x kmb x b m b +++-=，所以222222212122222222()(2),22b m b b m b k x x y y b k b b k b +-==++因为12OQ OQ ⊥所以2222222222221212222222222()(2)2()2=0222121b m b b m b k m b m b k x x y y b k b b k b k k +---+=+=+++++22232(1)m b k ∴=+*又因为直线12Q Q 方程等价于为0000()x y y x x y -=--，即200000x x y x y y y =-++对比于2y kx m =+，则00200x k y x y my ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩代入*中，化简可得：2220023x y b +=. 解法二（齐次式）：设直线12Q Q 方程为1mx ny +=，联立222222221111022mx ny mx ny x y x y b b b b+=+=⎧⎧⎪⎪⇒⎨⎨+=+-=⎪⎪⎩⎩ 22222()02x y mx ny b b +-+=化简可得:22222222202x y m x n y mnxy b b+---= 整理成关于,x y ,x y 的齐次式：2222222(22)(12)40b n y m b x mnb xy -+--=，进而两边同时除以2x ，则22222222122212(22)412022m b b n k mnb k m b k k b n ---+-=⇒=- 因为12OQ OQ ⊥12OQ OQ ⊥所以121k k =-，222212122m b b n -=-- 22232()b m n ∴=+*又因为直线12Q Q 方程等价于为0000()x y y x x y -=--，即200000x x y x y y y =-++对比于1mx ny +=，则0220002200x mx y y n x y ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩代入*中，化简可得：2220023x y b +=. 例2：已知椭圆2214x y +=，设直线l 不经过点(0,1)P 的直线交于,A B 两点，若直线,PA PB 的斜率之和为1-，证明：直线l 恒过定点.3解：以点P 为坐标原点，建立新的直角坐标系''x py ，如图所示：旧坐标 新坐标(,)(',')x y x y ⇒即(0,1)(0,0)⇒所以'''1'x x A A y y B B =→⎧⎧⇒⎨⎨=-→⎩⎩原来12121111PA PB y y k k x x --+=-⇒+=-则转换到新坐标就成为：1212''1''y y x x +=- 12''1k k +=-即设直线l 方程为：''1mx ny +=原方程：2244x y +=则转换到新坐标就成为：22'4('1)4x y ++=4展开得：22'4'8'0x y y ++=构造齐次式：22'4'8'('')0x y y mx ny +++=整理为：22(48)'8'''0n y mx y x +++=两边同时除以2'x ，则2(48)'8'10n k mk +++=所以128''148m k k n +=-=-+所以12212m n m n -=⇒=+而''1mx ny +=1'()''1('')1022x n x ny n x y ∴++=⇒++-=对于任意n 都成立. 则：''0'2''2102x y x x y +=⎧=⎧⎪⇒⎨⎨=--=⎩⎪⎩，故对应原坐标为21x y =⎧⎨=-⎩所以恒过定点(2,1)-. 例3：已知椭圆22182x y +=，过其上一定点(2,1)P 作倾斜角互补的两条直线，分别交于椭圆于,A B 两点，证明：直线AB 斜率为定值.解：以点P 为坐标原点，建立新的直角坐标系''x py ，如图所示：5旧坐标 新坐标(,)(',')x y x y ⇒即(2,1)(0,0)⇒所以'2''1'x x A A y y B B =-→⎧⎧⇒⎨⎨=-→⎩⎩ 原来1212110021PA PB y y k k x x --+=⇒+=--则转换到新坐标就成为：1212''0''y y x x += 12''0k k +=即设直线AB 方程为：''1mx ny +=原方程：2248x y +=则转换到新坐标就成为：22('2)4('1)8x y +++=展开得：22'4'4'8'0x y x y +++=构造齐次式：22'4'4'('')8'('')0x y x mx ny y mx ny +++++=整理为：22'(48)''(48)(14)'0y n x y n m m x +++++=两边同时除以2'x ，则2(48)'(48)'140n k n m k m +++++=所以1248''048n mk k n++=-=+所以2n m =-而''1mx ny +='(2)'1'2'10mx m y mx my ∴+-=⇒--=.所以1=2k 平移变换，斜率不变，所以直线AB 斜率为定值12.6二，点乘双根法例4：设椭圆中心在原点O ，长轴在x 轴上，上顶点为A ，左右顶点分别为12,F F ，线段12,OF OF 中点分别为12,B B ，且12AB B △是面积为4的直角三角形.（1）求其椭圆的方程（2）过1B 作直线l 交椭圆于,P Q 两点，使22PB QB ⊥，求直线l 的方程.解：（1）221204x y +=（2）易知：直线l 不与轴垂直，则设直线l 方程为：(2)y k x =+，1122(,),(,)P x y Q x y因为22PB QB ⊥，则22=0PB QB ，所以211221212(2,)(2,)0(2)(2)(2)(2)0x y x y x x k x x --=⇒--+++=*现联立22222(2)5(2)2001204y k x x k x x y =+⎧⎪⇒++-=⎨+=⎪⎩则方程2225(2)200x k x ++-=可以等价转化212(15)()()0k x x x x +--=7即2222125(2)20(15)()()x k x k x x x x ++-=+--令2x =，22212122801648020(15)(2)(2)(2)(2)15k k k x x x x k -+-=+--⇒--=+令2x =-，212122164020(15)(2)(2)(2)(2)15k x x x x k -+-=+++⇒++=+结合21212(2)(2)(2)(2)0x x k x x --+++=*化简可得：22280161601515k k k --+=++2222118016160641642k k k k k --=⇒=⇒=∴=±所以直线l 方程为：1(2)2y x =±+.。
高中解析几何简化计算之点乘双根法
（ Ⅰ）
设 P（ m，0）
则→PA = （ →PA·P→B
x1 =（
，－Am（ ，xy1 ，1 ）y1，）P→，BB=（
x1 － m） （ x2 －
x2 ，y2 ） ， （ x2 － m，y2 m） + y1 y2
）， =（
x1
－
m）
（
x2
－
m） + k2 （ x1 － 1） （ x2 － 1） ．
解题技巧与方法
JIETI JIQIAO YU FANGFA
131
高中解析几何简化计算之点乘双根法
◎陈俊健 （ 广西南宁市第三中学（ 青山校区） ，广西 南宁 530021）
【摘要】高中解析几何在求解圆锥曲线与直线问题的时 候，通常需要联立方程，利用韦达定理去求解． 利用韦达定 理进行运算求解时，稍不注意就容易出错． 在求解点乘或者 斜率乘积为定值，甚至求 x1 x2 ，y1 y2 的时候，我们可以改进 解法，引入 点 乘 双 根 法，避 开 韦 达 定 理，简 化 计 算，减 少 失误．
C：
x2 a2
+
y2 b2
= 1 （ a ＞ b ＞ 0） 上，且椭圆的
离心率为
1 2
．
（ 1） 求椭圆 C 的方程．
（ 2） 若 M 为椭圆 C 的右顶点，点 A，B 是椭圆 C 上不同
的两点（
均异于
M）
且满足直线
MA
与
MB
斜率之积为
1 4
．
试判断直线 AB 是否过定点？ 若是，求出定点坐标； 若不是，
定理进行繁杂计算的过程，达到简化计算、提高解题速度的
效果，下面举例说明．
例 1 （ 2018 年西南四省名校高三第一次大联考） 已知
圆锥曲线齐次式与点乘双根法
一、圆锥曲线齐次式与斜率之积（和）为定值且OQ 11OQ 2，过原点O 作直线Q 1Q 2的垂D (X, V0)，设直线 Q 1Q 2 方程为 V= kx +m ，V = kx + m X 2 V 2 化简可得: ——+ — = 1 〔2b 2 b 2(2b 2k 2 + b 2)x 2 + 4kmb 2x + 2b 2(m 2 一b 2) = 0，所以2b 2(m 2 + b 2)b 2(m 2 -2b 2k 2)解法二（齐次式）:w r k r第十讲 锥曲线齐次式与点乘双根法V = kx +m ，x]—0-二kV代入*中， 化简可得: x 2 -0- + V = mV 0x x 2V = --0-x + T- + V 对比于V VX 2 V 2 一例1：4%为椭圆乐+b=1上两个动点,线OD ，求D 的轨迹方程.解法一（常规方法）：设Q ",V j Q 2a 2,V 2）x 2 y 2 x 2 y 2----------- 1 ---------(mx + ny )2 = 0 化简可得 --- 1 ------------ m 2x 2 一 n 2y 2 一 2mnxy = 02 b 2 b 22 b 2 b 2整理成关于 X , J X , J 的齐次式：(2 - 2b 2n 2)y 2 + (1 - 2m 2b 2)x 2 - 4mnb 2xy = 0，进而两边同时除以x 2，则1 -2 m 2 b 2(2 一 2b 2n 2)k 2 一 4mnb 2k +1 一 2m 2b 2 = 0 n k k = ---------1 2 2 - 2 b 2 n 2因为OQ 1 OQ OQ 1 OQ 所以kk =—1:.3 = 2b 2(m 2 + n 2)・・・*设直线Q 1Q 2方程为mx + ny=1，又因为直线Q1Q2方程等价于为y-y 0 =-x0- (x - x )y0x x 2y = -i x + t- + y对比于mx + ny = 1，则<x--------- 0—x 2 + y 0 (y2i代入*中，化简可得：x 2 + y 2 = -b2. x 2 , ____ __ .一例2：已知椭圆了+y2 =1，设直线,不经过点P(0，D的直线交于A，B两点若直线PA, PB的斜率之和为-1，证明：直线/恒过定点.解：以点P为坐标原点，建立新的直角坐标系x' py '，如图所示:即 k 「+ k 2' ―-1设直线l 方程为：mx '+ ny ' = 1原方程：X 2+ 4y 2 = 4则转换到新坐标就成为：x '2 + 4(y '+1)2 = 4 展开得：x '2 + 4y '2 + 8y' = 0构造齐次式：x '2 + 4y '2 + 8y '(mx '+ ny ') = 0 整理为：(4 + 8n )y '2 + 8mx'y '+ x '2 = 0 两边同时除以 x '2，则(4 + 8n )k '2 + 8mk '+1 = 08 m 1所以 k + k = ---- = —1 所以 2 m — 2 n — 1 n m — n + —1 2 4 + 8 n 2 , ,< ,1 ............................................. x’ “八而 mx + ny = 1「. (n + -)x + ny = 1 n n (x + y ) + --1 = 0 对于任意 n 都成立.x 2 y 2 ~ _ _例3：已知椭圆7 + 4- = 1，过其上一定点尸(2,1)作倾斜角互补的两条直线，分别交于椭所以原来 k pA +k pB =T ny -1, y -1 —t —+——x1—-1则转换到新坐标就成为：十,二一1 12x'+ y' — 0x ' n --1 — 0 [2x' = 2 t c ，故对应原坐标为 y =-2x = 2 1所以恒过定点(2,-1). y = -1即(0,1) n (0,0)8 2圆于A ,B 两点，证明：直线AB 斜率为定值.解：以点P 为坐标原点，建立新的直角坐标系x' py '，如图所示:旧坐标 新坐标即(2,1) n (0,0)所以原来『女。
用齐次式解圆锥曲线定值问题的注意事项
用齐次式解圆锥曲线定值问题的注意事项齐次式解圆锥曲线定值问题是高等数学中的一个重要内容，它是解析几何的一个重要分支。
在解决定值问题时，我们需要注意一些事项，这些事项对于正确解题非常重要。
本文将从圆锥曲线的概念、齐次式解题的基本原理和注意事项等方面进行介绍。
一、圆锥曲线的概念圆锥曲线是解析几何中的一个重要内容，它包括圆、椭圆、双曲线和抛物线。
圆锥曲线是通过平面和圆锥体的相交而成的曲线，它具有很多重要的数学性质和应用。
在圆锥曲线中，椭圆、双曲线和抛物线都可以用二次方程的形式表示，而圆则有特殊的表示形式。
在解定值问题时，我们主要关注的是椭圆、双曲线和抛物线。
二、齐次式解题的基本原理在解析几何中，齐次式是解决几何问题的一种基本方法。
齐次式解题的基本原理是将空间中的几何问题转化为代数问题，通过代数的方法来求解几何问题。
齐次式解题的一个核心思想是将几何问题转化为代数问题，然后用代数的方法来解决问题。
对于圆锥曲线定值问题，我们通常采用齐次式解题的方法。
通过齐次式的方法，我们可以将定值问题转化为一个齐次方程组的解法问题，然后通过求解齐次方程组来得到几何问题的解答。
三、注意事项在使用齐次式解题的过程中，我们需要注意以下几个方面。
1.确定问题的类型和条件在解决定值问题时，我们首先要确定问题的类型和条件。
例如，在解决椭圆、双曲线和抛物线的定值问题时，我们要确定问题的类型，然后根据问题的条件来确定解题的方法和步骤。
不同类型的圆锥曲线问题有不同的解题方法和步骤，我们需要根据具体问题的条件来确定解题的思路。
2.转化为标准形式在使用齐次式解题的过程中，我们通常要将问题转化为标准形式。
例如，在解决椭圆的定值问题时，我们通常要将椭圆的方程转化为标准形式，然后再利用齐次式解题的方法来求解问题。
转化为标准形式可以使问题更清晰地呈现在我们面前，有利于我们进行后续的解题过程。
3.利用齐次式解题的方法在解决定值问题时，我们要善于利用齐次式解题的方法。
【经典高考】高考数学 圆锥曲线齐次式与点乘双根法
一，圆锥曲线齐次式与斜率之积（和）为定值例1：12,Q Q 为椭圆222212x y b b+=上两个动点，且12OQ OQ ⊥，过原点O 作直线12Q Q 的垂线OD ，求D 的轨迹方程.解法一（常规方法）：设111222(,),(,)Q x y Q x y ，00(,)D x y ,设直线12Q Q 方程为y kx m =+，联立222212y kx mx y bb =+⎧⎪⎨+=⎪⎩化简可得: 22222222(2)42()0b k b x kmb x b m b +++-=，所以 222222212122222222()(2),22b m b b m b k x x y y b k b b k b+-==++ 因为12OQ OQ ⊥所以2222222222221212222222222()(2)2()2=0222121b m b b m b k m b m b k x x y y b k b b k b k k +---+=+=+++++ 22232(1)m b k ∴=+*又因为直线12Q Q 方程等价于为0000()x y y x x y -=--，即200000x x y x y y y =-++对比于y kx m =+，则00200x k y x y my ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩代入*中，化简可得：2220023x y b +=.解法二（齐次式）：设直线12Q Q 方程为1mx ny +=，联立222222221111022mx ny mx ny x y x y b b b b+=+=⎧⎧⎪⎪⇒⎨⎨+=+-=⎪⎪⎩⎩ 22222()02x y mx ny b b +-+=化简可得:22222222202x y m x n y mnxy b b+---= 整理成关于,x y ,x y 的齐次式：2222222(22)(12)40b n y m b x mnb xy -+--=，进而两边同时除以2x ，则22222222122212(22)412022m b b n k mnb k m b k k b n---+-=⇒=- 因为12OQ OQ ⊥12OQ OQ ⊥所以121k k =-，222212122m b b n-=-- 22232()b m n ∴=+*又因为直线12Q Q 方程等价于为0000()x y y x x y -=--，即200000x x y x y y y =-++对比于1mx ny +=，则0220002200x m x y y n x y ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩代入*中，化简可得：2220023x y b +=.例2：已知椭圆2214x y +=，设直线l 不经过点(0,1)P 的直线交于,A B 两点，若直线,PA PB的斜率之和为1-，证明：直线l 恒过定点.解：以点P 为坐标原点，建立新的直角坐标系''x py ，如图所示：旧坐标 新坐标(,)(',')x y x y ⇒即(0,1)(0,0)⇒所以'''1'x x A A y y B B =→⎧⎧⇒⎨⎨=-→⎩⎩原来12121111PA PB y y k k x x --+=-⇒+=-则转换到新坐标就成为：1212''1''y y x x +=- 12''1k k +=-即设直线l 方程为：''1mx ny +=原方程：2244x y +=则转换到新坐标就成为：22'4('1)4x y ++=展开得：22'4'8'0x y y ++=构造齐次式：22'4'8'('')0x y y mx ny +++=整理为：22(48)'8'''0n y mx y x +++=两边同时除以2'x ，则2(48)'8'10n k mk +++=所以128''148m k k n +=-=-+所以12212m n m n -=⇒=+而''1mx ny +=1'()''1('')1022x n x ny n x y ∴++=⇒++-=对于任意n 都成立. 则：''0'2''2102x y x x y +=⎧=⎧⎪⇒⎨⎨=--=⎩⎪⎩，故对应原坐标为21x y =⎧⎨=-⎩所以恒过定点(2,1)-. 例3：已知椭圆22182x y +=，过其上一定点(2,1)P 作倾斜角互补的两条直线，分别交于椭圆于,A B 两点，证明：直线AB 斜率为定值.解：以点P 为坐标原点，建立新的直角坐标系''x py ，如图所示：旧坐标 新坐标(,)(',')x y x y ⇒即(2,1)(0,0)⇒所以'2''1'x x A A y y B B =-→⎧⎧⇒⎨⎨=-→⎩⎩原来1212110021PA PB y y k k x x --+=⇒+=--则转换到新坐标就成为：1212''0''y y x x += 12''0k k +=即设直线AB 方程为：''1mx ny +=原方程：2248x y +=则转换到新坐标就成为：22('2)4('1)8x y +++=展开得：22'4'4'8'0x y x y +++=构造齐次式：22'4'4'('')8'('')0x y x mx ny y mx ny +++++=整理为：22'(48)''(48)(14)'0y n x y n m m x +++++=两边同时除以2'x ，则2(48)'(48)'140n k n m k m +++++=所以1248''048n mk k n++=-=+所以2n m =-而''1mx ny +='(2)'1210mx m y mx my ∴+-=⇒--=.所以1=2k 平移变换，斜率不变，所以直线AB 斜率为定值12.二，点乘双根法例4：设椭圆中心在原点O ，长轴在x 轴上，上顶点为A ，左右顶点分别为12,F F ，线段12,OF OF 中点分别为12,B B ，且12AB B △是面积为4的直角三角形.（1）求其椭圆的方程（2）过1B 作直线l 交椭圆于,P Q 两点，使22PB QB ⊥，求直线l 的方程.解：（1）221204x y +=（2）易知：直线l 不与轴垂直，则设直线l 方程为：(2)y k x =+，1122(,),(,)P x y Q x y 因为22PB QB ⊥，则22=0PB QB ，所以211221212(2,)(2,)0(2)(2)(2)(2)0x y x y x x k x x --=⇒--+++=*现联立22222(2)5(2)2001204y k x x k x x y =+⎧⎪⇒++-=⎨+=⎪⎩则方程2225(2)200x k x ++-=可以等价转化212(15)()()0k x x x x +--= 即2222125(2)20(15)()()x k x k x x x x ++-=+--令2x =，22212122801648020(15)(2)(2)(2)(2)15k k k x x x x k -+-=+--⇒--=+令2x =-，212122164020(15)(2)(2)(2)(2)15k x x x x k -+-=+++⇒++=+结合21212(2)(2)(2)(2)0x x k x x --+++=*化简可得：22280161601515k k k --+=++2222118016160641642k k k k k --=⇒=⇒=∴=±所以直线l 方程为：1(2)2y x =±+.。
圆锥曲线齐次化
圆锥曲线齐次化
圆锥曲线是数学中的一个重要分支，它在几何、代数、三角学、物理学等多个领域都有广泛的应用。
而圆锥曲线齐次化是圆锥曲线理论中的一种重要方法，它可以将圆锥曲线方程转化为标准形式，从而方便我们对其进行研究和应用。
圆锥曲线齐次化的基本思想是通过一系列的坐标变换，将圆锥曲线方程转化为标准形式。
具体来说，我们可以将圆锥曲线方程中的变量视为矩阵，然后通过一系列的矩阵变换，将原方程化为标准形式。
这个过程可以通过一系列的代数运算来实现。
圆锥曲线齐次化的具体步骤如下：
1、将圆锥曲线方程中的变量视为矩阵。
2、通过一系列的矩阵变换，将原方程化为标准形式。
这个过程可以通过一系列的代数运算来实现。
3、对标准形式的方程进行分析和研究，得出圆锥曲线的性质和特征。
圆锥曲线齐次化在实际应用中有许多应用。
例如，在物理学中，圆锥曲线齐次化可以用于研究行星的运动轨迹；在计算机图形学中，圆锥曲线齐次化可以用于绘制各种复杂的曲线和曲面。
总之，圆锥曲线齐次化是圆锥曲线理论中的一种重要方法，它可以将
圆锥曲线方程转化为标准形式，从而方便我们对其进行研究和应用。
它的应用范围广泛，值得我们深入研究和掌握。
齐次化法解圆锥曲线
齐次化法解圆锥曲线
齐次化法是一种解圆锥曲线的常见方法。
它通过引入一个额外的齐次
坐标来将圆锥曲线的方程转化为一个更简单的形式。
对于一个一般的圆锥曲线方程，我们可以使用如下步骤来进行齐次化：
1. 首先，我们引入一个新的齐次坐标变量z，使得原来的二维坐标点(x, y)现在变成了三维坐标点(x, y, z)。
2. 接下来，我们将圆锥曲线方程中的所有项都乘以相同的倍数，使得
方程中的次数最高的项的系数为1。
这样可以简化方程，使得我们的变量z的次数与x和y的次数相同。
3. 然后，我们将方程中的各个项按照次数从高到低的顺序排列，方便
我们进行后续的计算。
同时，我们将方程中的每一项表示为x、y和z
的幂次乘积。
4. 此时，我们可以将齐次坐标中的z变量替换为1，得到一个新的方程。
这个新方程就是原圆锥曲线方程的齐次化形式。
通过进行齐次化，我们可以将原来的二维圆锥曲线方程转化为一个更
容易处理和求解的三维方程。
这样，我们可以使用代数、几何或者其
他数学方法来研究和解决圆锥曲线的问题。
齐次式法与圆锥曲线斜率有关的一类问题
齐次式法与圆锥曲线斜率有关的一类问题本文介绍了利用“齐次式”法解决圆锥曲线斜率有关的顶点定值问题。
针对定点问题，文章提出了引入变量参数表示直线方程、数量积、比例关系等的方法，以寻找不受参数影响的量。
对于直线过定点问题，可以通过设出直线方程，利用韦达定理和已知条件找出k和m的一次函数关系式，代入直线方程解决。
在圆锥曲线中，有很多常见的定点模型，熟练掌握这些结论可以事半功倍。
举例来说，文章给出了一个07山东省的例题。
该题要求证明直线l过定点，并求出该定点的坐标。
通过设定直线方程，利用已知条件和韦达定理，可以求出直线方程中的k和m的关系式，代入方程解得定点坐标。
文章还提供了一些解题技巧，例如如何选择直线，如何转化题目条件等。
总的来说，本文介绍了一种解决定点问题的方法，并以圆锥曲线为例，详细说明了几种常见的定点模型。
文章语言简洁明了，逻辑清晰，对于解决类似问题有很大的帮助。
练7：已知点A（-1，0），B（1，-1）和抛物线C：y=4x，O为坐标原点，过点A的动直线l交抛物线C于M、P，直线MB交抛物线C于另一点Q，如图。
I）证明：OM·OP为定值；II）若△POM的面积为5，求向量OM与OP的夹角；III）证明直线PQ恒过一个定点。
解：（I）设点M（m，4m），则动直线l的斜率为k=4/m。
由于A、M、P三点共线，故有k·(-1)+4=m，即m=4/(k+1)。
又因为直线MB与抛物线C有两个交点，设另一点为Q（q，4q），则有q=-1/4.因此，OM·OP=|(m，4m)·(q，4q)|=|16(mq)^2|=|16/(k+1)^2|，为定值。
II）设∠PO M=α，则OM·OP·cosα=5.又因为△POM的面积为5，所以OM·OP·sinα=5.由此可得tanα=1，又因为α∈(0，π)，所以α=45°。
因此，向量OM与OP的夹角为45°。
第607期：抛砖引玉——圆锥曲线齐次式与点乘双根法
第607期：抛砖引玉——圆锥曲线齐次式与点乘双根法
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●抛砖引玉——圆锥曲线的第三定义
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其次式、点乘双根算法是解决解析几何问题的一种简便算法，多见于解析几何与向量相结合的题目中，与传统方法相比，它可以神奇的大幅减少计算量。
一：圆锥曲线齐次式与斜率之积（和）为定值
解法一：通解
解法二：其次法
二，点乘双ห้องสมุดไป่ตู้法
圆锥曲线中的齐次化方法
圆锥曲线中的齐次化方法
圆锥曲线的齐次化方法是一种将圆锥曲线转换为一个齐次方程的方法。
它通过将圆锥曲线的参数表示式转换为一个齐次方程，可以使得求解曲线上的点成为可能。
首先，要将圆锥曲线的参数表示式转换为一个齐次方程，需要将参数表示式中的变量转换为齐次坐标。
具体来说，将圆锥曲线的参数表示式中的变量u和v转换为齐次坐标x、y、z，即：
x = u cos v
y = u sin v
z = f(u, v)
其中f(u, v)表示圆锥曲线的参数表示式。
然后，将上述参数表示式代入齐次坐标，可以得到如下齐次方程：
x^2 + y^2 + z^2 - u^2 = 0
最后，可以将该齐次方程代入求解器，以求解曲线上的点。
圆锥曲线的齐次化
圆锥曲线的齐次化
圆锥曲线的齐次化是一种用于简化对圆锥曲线的研究和描述的方法。
通过齐次化，可以将圆锥曲线的方程表示为更简洁和统一的形式。
为了进行齐次化，可以引入一个额外的变量，通常表示为w。
然后，将圆锥曲线的方程中的变量和参数乘以适当的权重（通常是w的幂）来实现齐次化。
这样，圆锥曲线方程在齐次坐标系中表示为一个齐次方程。
通过这种变换，可以将直线和圆等特殊情况与椭圆、双曲线和抛物线等一般圆锥曲线放在统一的框架下进行研究。
齐次化的好处之一是可以将平面上的点表示为齐次坐标，从而简化了进行线性运算和几何变换的计算。
此外，齐次化还允许使用射影几何的方法来研究圆锥曲线的性质和相交关系。
需要注意的是，齐次化并不改变原始曲线的本质特征，而只是改变了方程的表示形式。
一旦进行了齐次化，可以使用各种技术和理论来研究圆锥曲线，例如射影几何、矩阵运算和齐次坐标变换等。
总之，圆锥曲线的齐次化是一种将曲线方程表示为统一形式的方法，使得对曲线的研究和分析更加方便和简洁。
高中数学圆锥曲线解题思路
高中数学圆锥曲线解题思路
一、基本方法
1、待定系数法，基本量，求直线方程中的参数，求曲线方程中的a、b、c、
e、p。
2、齐次方程法，比值问题，解决离心率渐近线夹角等比值问题。
3、韦达定理法，直线和曲线的相交问题。
对交点设而不求，勇韦达定理实现转化，如果根很容易求得，需要直接求根。
4、点差法，弦中点问题，对端点设而不求。
也叫五条等式法，点满足方程2个，中点公式2个，斜率公式1个。
5、距离转化法，将斜线上的长度问题，比例问题，向量问题，转化为直线上的问题。
二、基本思想
1、常规求值需要找等式，求范围找不等式。
2、是否存在”当存在解决不存在的自然无解。
3、过“定点”“定值”先设参变量，然后说明和变量无关。
定点问题：常把参数的齐次项放在一起，令=0。
或者特殊值探解。
定值问题：把变动的参数表示出来，然后证明和参数无关，或者特殊求值，在进行一般证明。
最值问题：几何法，二次配方法，三角代换法，均值不等式，切线方法
4、有些题思路易成，但是难以实施，需要优化方法，才具有可行性，积累经验。
5、大部分题目只要忠诚的准确的将条件表达出来，一般都会产生思路。
三、解题套路
1、一化（点，直线，曲线化成代数式）
2、二代（点代入线，点代入曲线）
3、图形特点的代数化
4、解方程组出答案。
巧用齐次化联立方法解答圆锥曲线中的定值、定点问题
张茜郑轩宇圆锥曲线是数学高考中的重要内容,而定值、定点问题常以压轴题的形式出现.这两类问题较为复杂，运算量较大，且综合性较强，是很多同学感到困难的问题.对这两类问题，大部分同学只会采用常规方法：联立曲线的方程，然后根据韦达定理求解.而这种方法对同学们的运算能力要求很高,很多同学往往在得出关键方程后无法继续解下去.用齐次化联立解答圆锥曲线定值定点问题,可以有效提高运算的效率.齐次化联立主要用于处理以下问题:过圆锥曲线C 上的一点P 作两条直线l 1,l 2,两条直线的斜率k 1,k 2存在某种等量关系（和或积为定值）,两条直线又分别与C 有另外两个交点A ,B ,则直线AB 的斜率为定值或过定点.运用齐次化联立方法解答此类问题的基本思路是，将两条直线合起来写成一个二次方程，并将这个二次方程与圆锥曲线方程联立，再通过消项将所得到的方程变为一次方程.只要在消项过程中没有消去A 点或B 点对应的解，那么所得到的一次方程也就仍然满足A 、B 的坐标.由“两点确定一条直线”知所得一次方程即为直线AB 的方程.最后消去方程中的参数，得到过定点的直线系方程即可求出定点或者定值.下面结合实例来分析一下如何用这种方法解题.例1.记G æèöø1,32,M ,N 是椭圆C :x 24+y 23=1上的两个动点,若k GM +k GN =0,证明:直线MN 的斜率为定值.证法1:设直线GM 的方程为y -32=k (x -1),则直线GN 的方程为y -32=-k (x -1).由ìíîïïy -32=k (x -1)3x 2+4y 2=12得(3+4k 2)x 2+4k (3-2k )x +4(32-k )2-12=0.则x G x M =x M =4(32-k )2-123+4k 2,所以ìíîïïïïx M =(3-2k )2-123+4k 2，y M =k (x M -1)+32，同理可得ìíîïïïïx N =(3+2k )2-123+4k 2，y N =-k (x M -1）+32，所以k MN =y M -y N x M -x N =k [18+8k 2-2(3+4k 2)]24k=12为定值.证法1是一种常规的解法,先联立直线和椭圆方程得到关键方程,在分别求出两点的坐标后,代入有关斜率的关系式求得参数k 的值.该解法对同学们的计算能力要求较高，尤其在求两点的坐标时运算量较大.证法2:将题目中的直角坐标系向上平移1个单位,再向右平移32个单位,即使G 为新直角坐标系的原点.也就是说,点G ,M ,N 所对应的坐标分别为G '()0,0,M '()x 1,y 1,N '()x 2,y 2.此时椭圆C 在新坐标系中的方程为C ':()x +124+æèöøy +3223=1.由于直线M 'N '不经过原点,可设其直线方程为mx +ny =1,与C '联立可得3x 2+4y 2+6x ()mx +ny +12y ()mx +ny =0.两边同时除以x 2可得()12n +4æèçöø÷y x 2+()6n +12m æèçöø÷y x +()6m +3=0.由k GM +k GN =0知y 1x 1+y 2x 2=0,故-6n +12m 12n +4=0,即n =-2m .又m ,n 不同时为0,则M 'N '的斜率k =-m n =12.综上所述,直线MN 的斜率为定值,其值为12.值得注意的是,无论我们怎样平移直角坐标系,题目中所有直线的斜率都没有发生变化,也就是说,原直角坐标系中所涉及斜率的已知条件,也可以在新直角坐标系中直接使用.证法2以k GM +k GN =0为突破口,通过平移直角坐标系得到关于x ,y 的齐次化方程,将问题转化为关于yx（斜率）的一元二次方程，利用方程的根与系数之间的关系进行求解,巧妙地避开了复杂的运算.解答类似题目，此方法值得推广.例2.记H ()0,3,M ,N 是椭圆C :x 24+y 23=1上的两个动点,若k HM ∙k HN =4,证明:直线MN 过定点.证明:将题目中的坐标系向上平移3个单位,点H ,M ,N 对应的坐标分别为H '()0,0,M '()x 1,y 1,N '()x 2,y 2,即以点H 为坐标原点建立新的直角坐标系.此时,椭圆C 在新直角坐标系中的方程为C ':x 24+()y +323=1.47由于直线M 'N '不经过原点，所以设其直线方程为mx +ny =1,与C '联立可得3x 2+83mxy +()83n +4y 2=0.两边同时除以x 2可得()83n +4æèçöø÷y x 2+83m æèçöø÷y x +3=0.由k HM ∙k HN =4知y 1x 1∙y 2x 2=4,故383n +4=4,即n =.因此M 'N '恒过定点æèçø0,,将定点平移回原直角坐标系中,可知直线MN 过定点æèçø0,.在运用齐次化联立解答定点问题时,应注意平移前后直角坐标系中点的对应关系,得到的定点需要平移回去才是原坐标系中的定点.例3.已知椭圆C 的中心在坐标原点,焦点在x 轴上,椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3,最小值为1.（1）求椭圆C 的标准方程.（2）若直线l :y =kx +m 与椭圆C 相交于A ,B 两点（A ,B 不是椭圆的左、右顶点）,且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点,求证:直线l 过定点,并求出该定点的坐标.解:（1）C :x 24+y 23=1.（过程略）（2）设椭圆的右顶点为D ()2,0,将题目中的坐标系向右平移2个单位,则点D ,A ,B 对应的坐标分别为D '()0,0,A '()x 1,y 1,B '()x 2,y 2.此时椭圆C 在新坐标系中的方程为C ':(x +2)24+y 23=1.由于直线M 'N '不经过原点,设其直线方程为mx +ny =1,与C '联立可得4y 2+12nxy +()12m +3x 2=0.两边同时除以x 2可得4æèçöø÷y x 2+12n æèçöø÷y x +()12m +3=0.因为以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点D ()2,0,所以k AD ∙k BD =-1.由k AD ∙k BD =-1知y 1x 1∙y 2x 2=-1,故12m +34=-1,即m =-712.因此A 'B '恒过定点æèöø-127,0,将定点平移回原直角坐标系中,则直线AB 过定点æèöø27,0.此类题目主要有两个特征:①涉及两条直线的斜率和或斜率积；②两条直线过同一个定点.在遇到此类问题时，要设法将两条直线的斜率表示成一元二次方程的两个根,即使用齐次化联立进行求解.可见，运用齐次化联立的方法解题，可以降低运算的难度.一般地,过圆锥曲线C :f ()x ,y =0上一点P ()x 0,y 0引两弦PA ,PB ,则利用齐次化联立证明直线AB 斜率为定值或直线AB 过定点的一般步骤为:（1）平移坐标轴,建立以P ()x 0,y 0为坐标原点的新直角坐标系；（2）求出曲线C 在新直角坐标系下的方程C ':f ()x +x 0,y +y 0；（3）设直线A 'B '的方程为:mx +ny =1,与C '联立得关键方程；（4）对关键方程进行齐次化处理,处理的原则是将关于x ,y 的一次式乘以()mx +ny ,常数项乘以()mx +ny 2,从而将关键方程转化成关于x ,y 的二次式；（5）将齐次化后的方程除以x 2,得到关于yx（斜率）的一元二次方程,并将题目条件转化为该方程的根与系数之间的关系.在解题时，我们不应停留在对特殊题型的求解上,还应该对题目、解法展开深入的探究,挖掘更具一般性的结论.结论1.已知定点P ()x 0,y 0为椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1上的定点，A ,B 为椭圆C 上的两个动点，则有（1）若k AP +k BP =0,那么直线AB 的斜率为定值b 2x 0a 2y 0.（2）若k AP +k BP =λ()λ≠0,那么直线恒过定点æèçöø÷-2y 0λ+x 0,-2b 2x 0λa 2-y 0.（3）若k AP ∙k BP =λ,那么直线恒过定点æèçöø÷2b 2x 0λa 2-b 2+x 0,-2λa 2y 0λa 2-b 2+y 0.证明:将题目中的直角坐标系向上或向下平移x 0个单位,再向左或向右平移y 0个单位,即使P 为新直角坐标系的原点.也就是说,点P ,A ,B 对应的坐标分别为P '()0,0,A '()x 1,y 1,B '()x 2,y 2.由于直线A 'B '不经过原点,可设其直线方程为mx +ny =1,与椭圆在新直角坐标系中的方程C '联立得ìíîïï()x +x 02a 2+()y +y 02b 2=1mx +ny =1,,整理可得()a 2+2a 2y 0n y 2+()2b 2x 0n +2a 2y 0m xy +()b2+2b 2x 0m x 2=0,将两边同时除以x 2可得()a 2+2a 2y 0n æèçöø÷y x 2+(2b 2x 0n+2a 2y 0m )æèçöø÷y x+(b 2+2b 2x 0m )=0.48。
「高中数学技巧提升篇」圆锥曲线中点乘双根法具体步骤及典型例题
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型例题
圆锥曲线的题目计算量很大，你是知道的，所以在原方法的基础上，给出另外的计算方式
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一道例题的解法，利用圆锥曲线点乘双根法解的！
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下面是我们先来熟悉一下点乘双根法的具体步骤：
例题和两个解法。
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一，圆锥曲线齐次式与斜率之积（和）为定值
例1：12,Q Q 为椭圆22
2212x y b b
+=上两个动点，且12OQ OQ ⊥，过原点O 作直线12Q Q 的垂
线OD ，求D 的轨迹方程.
解法一（常规方法）：设111222(,),(,)Q x y Q x y ，00(,)D x y ,设直线12Q Q 方程为y kx m =+，
联立22
2212y kx m
x y b b
=+⎧⎪⎨+=⎪⎩化简可得: 22222222(2)42()0b k b x kmb x b m b +++-=，所以
22222221212222222
2()(2),22b m b b m b k x x y y b k b b k b +-==++
因为12OQ OQ ⊥所以
222222222222
121222222222
2()(2)2()2=0222121b m b b m b k m b m b k x x y y b k b b k b k k +---+=+=+++++ 22232(1)m b k ∴=+*L
又因为直线12Q Q 方程等价于为0000()x y y x x y -=--，即2
00000
x x y x y y y =-++对比于y kx m =+，则00200
x k y x y m
y ⎧
-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩代入*中，化简可得：22
20023x y b +=.
解法二（齐次式）：
设直线12Q Q 方程为1mx ny +=，联立222
2222
2
11
11022mx ny mx ny x y x y b b b b +=+=⎧⎧⎪⎪⇒⎨⎨+=+-=⎪⎪⎩⎩
222
22()02x y mx ny b b +-+=化简可得:22222222202x y m x n y mnxy b b
+---= 整理成关于,x y ,x y 的齐次式：2
2
2
22
2
2
(22)(12)40b n y m b x mnb xy -+--=，进而两边同时除以2
x ，则
222
2
2
2
22
1222
12(22)412022m b b n k mnb k m b k k b n ---+-=⇒=-
因为12OQ OQ ⊥12OQ OQ ⊥所以121k k =-，22
22
12122m b b n -=-- 22232()b m n ∴=+*L
又因为直线12Q Q 方程等价于为0000()x y y x x y -=--，即2
00000
x x y x y y y =-++对比于1mx ny +=，则0
2200022
00x m
x y y n x y ⎧=⎪+⎪⎨
⎪=⎪+⎩
代入*中，化简可得：22
20023x y b +=. 例2：已知椭圆2
214
x y +=，设直线l 不经过点(0,1)P 的直线交于,A B 两点，若直线,PA PB 的斜率之和为1-，证明：直线l 恒过定点.
解：以点P 为坐标原点，建立新的直角坐标系''x py ，如图所示：
旧坐标 新坐标
(,)(',')x y x y ⇒
即(0,1)(0,0)⇒
所以'''1'x x A A y y B B =→⎧⎧⇒⎨⎨
=-→⎩⎩
原来12121111PA PB y y k k x x --+=-⇒
+=-则转换到新坐标就成为：1212''
1''
y y x x +=- 12''1k k +=-即
设直线l 方程为：''1mx ny +=
原方程：2
2
44x y +=则转换到新坐标就成为：2
2
'4('1)4x y ++= 展开得：2
2
'4'8'0x y y ++=
构造齐次式：2
2
'4'8'('')0x y y mx ny +++= 整理为：2
2
(48)'8'''0n y mx y x +++=
两边同时除以2
'x ，则2
(48)'8'10n k mk +++=
所以128''148m k k n +=-
=-+所以1
2212
m n m n -=⇒=+
而''1mx ny +=1'
()''1('')1022
x n x ny n x y ∴++=⇒++-=对于任意n 都成立.
则：''0
'2''2102
x y x x y +=⎧=⎧⎪
⇒⎨⎨=--=⎩⎪⎩，故对应原坐标为21x y =⎧⎨=-⎩所以恒过定点(2,1)-.
例3：已知椭圆22182
x y +=，过其上一定点(2,1)P 作倾斜角互补的两条直线，分别交于椭圆于,A B 两点，证明：直线AB 斜率为定值.
解：以点P 为坐标原点，建立新的直角坐标系''x py ，如图所示：
旧坐标 新坐标
(,)(',')x y x y ⇒
即(2,1)(0,0)⇒
所以'2'
'1'
x x A A y y B B =-→⎧⎧⇒⎨
⎨
=-→⎩⎩ 原来1212110021PA PB y y k k x x --+=⇒
+=--则转换到新坐标就成为：1212''
0''
y y x x += 12''0k k +=即
设直线AB 方程为：''1mx ny +=
原方程：2
2
48x y +=则转换到新坐标就成为：2
2
('2)4('1)8x y +++= 展开得：2
2
'4'4'8'0x y x y +++=
构造齐次式：2
2
'4'4'('')8'('')0x y x mx ny y mx ny +++++= 整理为：2
2
'(48)''(48)(14)'0y n x y n m m x +++++=
两边同时除以2
'x ，则2
(48)'(48)'140n k n m k m +++++=
所以1248''048n m
k k n
++=-
=+所以2n m =-
而''1mx ny +='(2)'1210mx m y mx my ∴+-=⇒--=.所以1=2
k 平移变换，斜率不变，所以直线AB 斜率为定值12
.
二，点乘双根法
例4：设椭圆中心在原点O ，长轴在x 轴上，上顶点为A ，左右顶点分别为12,F F ，线段
12,OF OF 中点分别为12,B B ，且12AB B △是面积为4的直角三角形.
（1）求其椭圆的方程
（2）过1B 作直线l 交椭圆于,P Q 两点，使22PB QB ⊥，求直线l 的方程.
解：（1）
22
1204x y +=
（2）易知：直线l 不与轴垂直，则设直线l 方程为：(2)y k x =+，1122(,),(,)P x y Q x y
因为22PB QB ⊥，则22=0PB QB u u u u r u u u u r
g ，
所以2
11221212(2,)(2,)0(2)(2)(2)(2)0x y x y x x k x x --=⇒--+++=*L
现联立22222(2)5(2)200
1204y k x x k x x y =+⎧⎪
⇒++-=⎨+
=⎪⎩
则方程222
5(2)200x k x ++-=可以等价转化212(15)()()0k x x x x +--= 即2222
125(2)20(15)()()
x k x k x x x x ++-=+--
令2x =，22
2
121228016
48020(15)(2)(2)(2)(2)15k k k x x x x k -+-=+--⇒--=
+
令2x =-，2
12122164020(15)(2)(2)(2)(2)15k x x x x k -+-=+++⇒++=
+
结合2
1212(2)(2)(2)(2)0x x k x x --+++=*L 化简可得：
222801616
01515k k k --+=++
222211
8016160641642k k k k k --=⇒=⇒=∴=±
所以直线l 方程为：1
(2)2
y x =±+
.。