吉林省数学高考复习专题02：函数的图像与性质
函数图像知识点高三
函数图像知识点高三函数图像是高中数学中的重要内容之一，也是高三学生需要掌握的知识点之一。
了解函数图像的性质和特点，对于解决实际问题以及科学研究具有重要意义。
本文将从以下几个方面介绍高三学生需要了解的函数图像知识点。
一、函数的概念与性质函数是自变量和因变量之间的一种关系，通常用$f(x)$来表示。
函数的自变量是$x$，因变量是$f(x)$。
函数的主要性质包括：定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等。
1. 定义域：函数的自变量的取值范围。
2. 值域：函数的因变量的取值范围。
3. 单调性：函数在定义域内的增减趋势。
4. 奇偶性：函数的对称性，即$f(-x)=-f(x)$为奇函数，$f(-x)=f(x)$为偶函数。
5. 周期性：函数在定义域内以一定的周期重复出现。
二、常见函数的图像高三学生需要了解的常见函数及其图像包括：线性函数、二次函数、指数函数和对数函数。
1. 线性函数：线性函数的图像为一条直线，表达式为$f(x)=ax+b$，其中$a$为斜率，$b$为截距。
2. 二次函数：二次函数的图像为一条抛物线，表达式为$f(x)=ax^2+bx+c$，其中$a$为抛物线的开口方向，$b$和$c$则决定了抛物线的位置和形状。
3. 指数函数：指数函数的图像为一条逐渐增长或逐渐衰减的曲线，表达式为$f(x)=a^x$，其中$a>0$且$a\neq 1$。
4. 对数函数：对数函数的图像为一条逐渐增长或逐渐衰减的曲线，表达式为$f(x)=\log_a{x}$，其中$a>0$且$a \neq 1$。
三、函数图像的性质与变换函数图像具有一些常见的性质与变换，包括平移、伸缩、翻转等。
1. 平移：函数图像的平移是指将函数图像沿着坐标轴进行移动。
水平平移会使函数图像在横坐标方向上发生变化，垂直平移会使函数图像在纵坐标方向上发生变化。
2. 伸缩：函数图像的伸缩是指通过改变函数表达式中的参数来改变函数图像的形状和位置。
函数的图像与性质课件
函数的图像与性质课件函数是数学中一个非常重要且广泛应用的概念。
它将输入值映射到输出值，可以用图像来直观地表示函数的性质。
本课件将介绍函数的图像与性质，帮助读者更好地理解和应用函数。
一、函数的定义与图像表示函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每个元素都对应到另一个集合中的唯一元素上。
数学上常用的表示函数的方式有函数符号法、图像法和映射关系法。
其中，图像法是最直观且常用的一种方式。
图像法通过将函数的输入值和输出值表示在坐标系中，从而形成一个函数的图像。
在直角坐标系中，横轴表示输入值，纵轴表示输出值，将函数的所有点连接起来，就得到了函数的图像。
函数图像可以帮助我们观察函数的性质，如增减性、奇偶性等。
二、常见函数的图像与性质1. 线性函数线性函数是函数中最简单且最重要的一类函数。
它的图像呈现为一条直线，表达式为y=ax+b，其中a和b是常数。
线性函数的特点是斜率恒定，图像可以通过斜率和截距来确定。
2. 幂函数幂函数是一类以自变量为底数的函数，常见的有平方函数、立方函数等。
幂函数的图像呈现为一条曲线，其形状受幂指数的正负和大小的影响。
根据幂指数的奇偶性，可以确定幂函数的对称性。
3. 指数函数指数函数是以指数为变量的函数，常见的有以e为底的自然指数函数。
指数函数的特点是增长速度快，图像在原点处必过(0,1)，具有递增性质。
4. 对数函数对数函数是指以某个正常数为底数的函数，常见的有自然对数函数。
对数函数的图像在正半轴递增，并且在(1,0)处必过，具有递增性质。
5. 三角函数三角函数是以角度或弧度为自变量的函数，常见的有正弦函数、余弦函数等。
三角函数的图像周期性重复出现，并且具有交替性。
三、函数图像的应用函数图像不仅能够直观地展示函数的性质，还有很多实际应用。
以下是一些常见的应用领域：1. 物理学中的运动轨迹函数图像可以用于描述物体在不同时间的位置变化情况，常见的有抛物线轨迹、圆周运动等。
2. 经济学中的供需关系函数图像可以用于表示市场的供给和需求关系，帮助分析市场的平衡点和价格变化。
吉林省东北师范大学附属中学高考数学二轮专题复习 函数、基本初等函数的图象与性质教案 文
第2讲 函数、基本初等函数的图象与性质【高考考情解读】 1.高考对函数的三要素，函数的表示方法等内容的考查以基础知识为主，难度中等偏下.2.函数图象和性质是历年高考的重要内容，也是热点内容，对图象的考查主要有两个方面：一是识图，二是用图，即利用函数的图象，通过数形结合的思想解决问题；对函数性质的考查，则主要是将单调性、奇偶性、周期性等综合一起考查，既有具体函数也有抽象函数．常以填空题的形式考查，且常与新定义问题相结合，难度较大．1． 函数的概念及其表示两个函数只有当它们的三要素完全相同时才表示同一函数，定义域和对应关系相同的两个函数是同一函数． 2． 函数的性质(1)单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质．利用定义证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、判断符号、下结论．复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则．(2)奇偶性：奇偶性是函数在定义域上的整体性质．偶函数的图象关于y 轴对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相反的单调性；奇函数的图象关于坐标原点对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相同的单调性．(3)周期性：周期性是函数在定义域上的整体性质．若函数满足f(a ＋x)＝f(x)(a 不等于0)，则其一个周期T ＝|a|.3． 指数函数、对数函数和幂函数的图象和性质(1)指数函数y ＝ax(a>0，a≠1)与对数函数y ＝logax(a>0，a≠1)的图象和性质，分0<a<1，a>1两种情况，着重关注两函数图象中的两种情况的公共性质． 4． 熟记对数式的五个运算公式loga(MN)＝logaM ＋logaN ；loga M N ＝logaM －logaN ；logaMn ＝nlogaM ；alogaN ＝N ；logaN ＝logbNlogba (a>0且a≠1，b>0且b≠1，M>0，N>0)．考点一 函数及其表示例1(1)若函数y ＝f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝f 2xln x的定义域是________．答案 (0,1)解析 由函数y ＝f(x)的定义域是[0,2]得，函数g(x)有意义的条件为0≤2x≤2且x>0，x≠1，故x ∈(0,1)．(2)设函数y ＝f(x)在R 上有定义，对于给定的正数M ，定义函数fM(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧f x ，f x ≤M ，M ，f x >M ，则称函数fM(x)为f(x)的“孪生函数”．若给定函数f(x)＝2－x2，M ＝1，则fM(fM(0))的值为________．答案 1解析 由题意，令f(x)＝2－x2＝1，得x ＝±1， 因此当x≤－1或x≥1时，fM(x)＝2－x2； 当－1<x<1时，fM(x)＝1，所以fM(0)＝1，fM(fM(0))＝fM(1)＝2－12＝1.(1)求函数定义域的类型和相应方法①若已知函数的解析式，则这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围，只需构建并解不等式(组)即可，函数f(g(x))的定义域应由不等式a≤g(x)≤b 解出．②实际问题或几何问题除要考虑解析式有意义外，还应使实际问题有意义． (2)求函数值时应注意形如f(g(x))的函数求值时，应遵循先内后外的原则；而对于分段函数的求值(解不等式)问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解．(1)若函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x≥4，f x ＋3，x<4，则f(log23)＝________.(2)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x2＋1， x≥0，1， x<0，则满足不等式f(1－x2)>f(2x)的x 的取值范围是________．答案 (1)24 (2)(－1，2－1)解析 (1)f(log23)＝f(log23＋3) ＝f(log224)＝2log224＝24.(2)当x≥0时，f(x)＝x2＋1是增函数； 当x<0时f(x)＝1，因此由题设f(1－x2)>f(2x)得，⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x2>02x<0或⎩⎪⎨⎪⎧1－x2>2x ，2x≥0.解之得－1<x<0或0≤x<2－1.故所求实数x 的取值范围是(－1，2－1)． 考点二 函数的性质例2 (1)已知函数f(x)＝x3＋x ，对任意的m ∈[－2,2]，f(mx －2)＋f(x)<0恒成立，则x 的取值范围为________． 答案 ⎝⎛⎭⎫－2，23 解析 f′(x)＝3x2＋1>0，∴f(x)为增函数．又f(x)为奇函数，由f(mx －2)＋f(x)<0知， f(mx －2)<f(－x)．∴mx －2<－x ，即mx ＋x －2<0，令g(m)＝mx ＋x －2，由m ∈[－2,2]知g(m)<0恒成立，即⎩⎪⎨⎪⎧g －2＝－x －2<0g 2＝3x －2<0，∴－2<x<23.(2)设奇函数y ＝f(x) (x ∈R)，满足对任意t ∈R 都有f(t)＝f(1－t)，且x ∈⎣⎡⎦⎤0，12时，f(x)＝－x2，则f(3)＋f ⎝⎛⎭⎫－32的值等于________． 答案 －14解析 根据对任意t ∈R 都有f(t)＝f(1－t)可得f(－t)＝f(1＋t)，即f(t ＋1)＝－f(t)，进而得到f(t ＋2)＝－f(t ＋1)＝－[－f(t)]＝f(t)，得函数y ＝f(x)的一个周期为2，故f(3)＝f(1)＝f(0＋1)＝－f(0)＝0，f ⎝⎛⎭⎫－32＝f ⎝⎛⎭⎫12＝－14.所以f(3)＋f ⎝⎛⎭⎫－32＝0＋⎝⎛⎭⎫－14＝－14.函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．(1)(2013·天津改编)已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a 满足f(log2a)＋f(log 12a)≤2f(1)，则a 的取值范围是________．(2)已知f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝ex ＋a ，若f(x)在R 上是单调函数，则实数a 的最小值是________． 答案 (1)⎣⎡⎦⎤12，2 (2)－1解析 (1)由题意知a>0，又log 12a ＝log2a －1＝－log2a.∵f(x)是R 上的偶函数， ∴f(log2a)＝f(－log2a)＝f(log 12a)．∵f(log2a)＋f(log 12a)≤2f(1)，∴2f(log2a)≤2f(1)，即f(log2a)≤f(1)． 又因f(x)在[0，＋∞)上递增． ∴|log2a|≤1，－1≤log2a≤1， ∴a ∈⎣⎡⎦⎤12，2.(2)依题意得f(0)＝0.当x>0时，f(x)>e0＋a ＝a ＋1.若函数f(x)在R 上是单调函数，则有a ＋1≥0，a≥－1， 因此实数a 的最小值是－1. 考点三 函数的图象例3形如y＝b|x|－a(a>0，b>0)的函数，因其图象类似于汉字中的“囧”字，故我们把它称为“囧函数”．若当a ＝1，b ＝1时的“囧函数”与函数y ＝lg|x|图象的交点个数为n ，则n ＝________. 答案 4解析 由题意知，当a ＝1，b ＝1时，y ＝1|x|－1＝⎩⎨⎧1x －1x≥0且x≠1，－1x ＋1x<0且x≠－1，在同一坐标系中画出“囧函数”与函数y ＝lg|x|的图象如图所示，易知它们有4个交点．(1)作图：常用描点法和图象变换法．图象变换法常用的有平移变换、伸缩变换和对称变换．尤其注意y ＝f(x)与y ＝f(－x)、y ＝－f(x)、y ＝－f(－x)、y ＝f(|x|)、y ＝|f(x)|及y ＝af(x)＋b 的相互关系．(2)识图：从图象与轴的交点及左、右、上、下分布范围、变化趋势、对称性等方面找准解析式与图象的对应关系．(3)用图：图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象数形结合研究．(2013·课标全国Ⅰ)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x2＋2x ，x≤0，ln x ＋1，x>0.若|f(x)|≥ax ，则a 的取值范围是________．答案 [－2,0]解析 函数y ＝|f(x)|的图象如图． ①当a ＝0时，|f(x)|≥ax 显然成立． ②当a>0时，只需在x>0时， ln(x ＋1)≥ax 成立．比较对数函数与一次函数y ＝ax 的增长速度． 显然不存在a>0使ln(x ＋1)≥ax 在x>0上恒成立．③当a<0时，只需在x<0时，x2－2x≥ax 成立． 即a≥x －2成立，∴a≥－2. 综上所述：－2≤a≤0.考点四 基本初等函数的图象及性质例4 (1)若函数f(x)＝212log ,0,log (),0,x x x x >⎧⎪⎨-<⎪⎩若f(a)>f(－a)，则实数a 的取值范围是________．(2)已知a ＝ 3.42log5，b ＝ 3.64log5，c ＝0.33log15（），则a 、b 、c 大小关系为________．答案 (1)(－1,0)∪(1，＋∞) (2)a>c>b解析 (1)方法一 由题意作出y ＝f(x)的图象如图．显然当a>1或－1<a<0时，满足f(a)>f(－a)． 方法二 对a 分类讨论：当a>0时，log2a>log 12a ，即log2a>0，∴a>1.当a<0时，log 12(－a)>log2(－a)，即log2(－a)<0，∴－1<a<0，故－1<a<0或a>1. (2)∵a ＝ 3.42log5，b ＝ 3.64log5，c ＝0.33log 15（）＝5log3313，根据y ＝ax 且a ＝5，知y 是增函数． 又∵log23.4>log3313>1,0<log43.6<1，∴5log23.4>(15)log30.3>5log43.6，即a>c>b.(1)指数函数、对数函数、幂函数是中学阶段所学的基本初等函数，是高考的必考内容之一，重点考查图象、性质及其应用，同时考查分类讨论、等价转化等数学思想方法及其运算能力．(2)比较指数函数值、对数函数值、幂函数值大小有三种方法：一是根据同类函数的单调性进行比较；二是采用中间值0或1等进行比较；三是将对数式转化为指数式，或将指数式转化为对数式，通过转化进行比较．(1)(2012·天津)已知a ＝21.2，b ＝⎝⎛⎭⎫12－0.8，c ＝2log52，则a ，b ，c 的大小关系为________．(2)使log2(－x)<x ＋1成立的x 的取值范围是________．答案 (1)c<b<a (2)(－1,0)解析 (1)利用中间值判断大小．b ＝⎝⎛⎭⎫12－0.8＝20.8<21.2＝a ，c ＝2log52＝log522<log55＝1<20.8＝b ， 故c<b<a.(2)作出函数y ＝log2(－x)及y ＝x ＋1的图象．其中y ＝log2(－x)及y ＝log2x 的图象关于 y 轴对称，观察图象(如图所示)知，－1<x<0，即x ∈(－1,0)．也可把原不等式化为⎩⎪⎨⎪⎧－x>0，－x<2x ＋1后作图．1． 判断函数单调性的常用方法(1)能画出图象的一般用数形结合法去观察．(2)由基本初等函数通过加、减运算或复合而成的函数，常转化为基本初等函数单调性的判断问题． (3)对于解析式较复杂的一般用导数法． (4)对于抽象函数一般用定义法． 2． 函数奇偶性的应用函数的奇偶性反映了函数图象的对称性，是函数的整体特性．利用函数的奇偶性可以把研究整个函数具有的性质问题转化到只研究部分(一半)区间上，是简化问题的一种途径．尤其注意偶函数f(x)的性质：f(|x|)＝f(x)． 3． 函数图象的对称性(1)若函数y ＝f(x)满足f(a ＋x)＝f(a －x)，即f(x)＝f(2a －x)，则f(x)的图象关于直线x ＝a 对称．提醒：函数y ＝f(a ＋x)与y ＝f(a －x)的图象对称轴为x ＝0，并非直线x ＝a.(2)若f(x)满足f(a ＋x)＝f(b －x)，则函数f(x)的图象关于直线x ＝a ＋b2对称．(3)若函数y ＝f(x)满足f(x)＝2b －f(2a －x)，则该函数图象关于点(a ，b)成中心对称．4． 二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体，要深刻理解它们之间的相互关系，能用函数与方程、分类讨论、数形结合思想来研究与“三个二次”有关的问题，高考对“三个二次”知识的考查往往渗透在其他知识之中，并且大都出现在解答题中．5． 指数函数、对数函数的图象和性质受底数a 的影响，解决与指、对数函数特别是与单调性有关的问题时，首先要看底数a 的范围．比较两个对数的大小或解对数不等式或解对数方程时，一般是构造同底的对数函数，若底数不同，可运用换底公式化为同底的对数，三数比较大小时，注意与0比较或与1比较．6． 解决与本讲有关的问题应注意函数与方程、数形结合、分类讨论、化归与转化等思想的运用．1． 关于x 的方程exln x ＝1的实根个数是________． 答案 1解析 由原方程可得ln x ＝e －x. 设y1＝ln x ，y2＝e －x ， 两函数的图象如图所示：两曲线有且只有一个交点，所以方程有唯一解． 2． 定义在R 上的奇函数f(x)，当x ∈(0，＋∞)时，f(x)＝log2x ，则不等式f(x)<－1的解集是________________． 答案 (－∞，－2)∪⎝⎛⎭⎫0，12 解析 由已知条件可知，当x ∈(－∞，0)时，f(x)＝－log2(－x)． 当x ∈(0，＋∞)时，f(x)<－1， 即为log2x<－1，解得0<x<12；当x ∈(－∞，0)时，f(x)<－1， 即为－log2(－x)<－1，解得x<－2. 所以f(x)<－1的解集为(－∞，－2)∪⎝⎛⎭⎫0，12. 3． 定义域为R 的偶函数f(x)满足对∀x ∈R ，有f(x ＋2)＝f(x)－f(1)，且当x ∈[2,3]时，f(x)＝－2x2＋12x －18，若函数y ＝f(x)与函数y ＝loga(x ＋1)在x ∈(0，＋∞)上至少有三个交点，则a 的取值范围是________． 答案 ⎝⎛⎭⎫0，33解析 ∵f(x ＋2)＝f(x)－f(1)，∴令x ＝－3得f(1)＝0，∴f(x ＋2)＝f(x)，周期T ＝2.x ∈[0,1]时，f(x)＝f(x ＋2)＝－2(x －1)2. 根据函数f(x)的奇偶性与周期性画出图象．要使y ＝f(x)与y ＝loga(x ＋1)在x ∈(0，＋∞)上至少有三个交点，只须满足⎩⎪⎨⎪⎧0<a<1loga3>－2，解得0<a<33.(推荐时间：40分钟)1． 已知函数y ＝f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝lg x ，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫1100的值等于________． 答案 －lg 2解析 当x<0时，－x>0，则f(－x)＝lg(－x)． 又函数f(x)为奇函数，f(－x)＝－f(x)， 所以当x<0时，f(x)＝－lg(－x)． 所以f ⎝⎛⎭⎫1100＝lg 1100＝－2， f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫1100＝f(－2)＝－lg 2.2． 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log2x ，x≥1，x ＋c ，x<1，则“c ＝－1”是“函数f(x)在R 上递增”的________条件． 答案 充分不必要解析 当c ＝－1时，易知f(x)在R 上递增；反之，若f(x)在R 上递增，则需有1＋c≤0，即c≤－1.所以“c ＝－1”是“函数f(x)在R 上递增”的充分不必要条件．3． (2013·课标全国Ⅱ改编)设a ＝log36，b ＝log510，c ＝log714，则a 、b 、c 的大小关系为_______． 答案 a>b>c解析 设a ＝log36＝1＋log32＝1＋1log23，b ＝log510＝1＋log52＝1＋1log25，c ＝log714＝1＋log72＝1＋1log27，显然a>b>c. 4． 设偶函数f(x)满足f(x)＝2x －4(x≥0)，则{x|f(x －2)>0}＝________.答案 {x|x<0或x>4}解析 由于函数f(x)是偶函数，因此有f(|x|)＝f(x)，不等式f(x －2)>0，即f(|x －2|)>0，f(|x －2|)＝2|x －2|－4>0，|x －2|>2，即x －2<－2或x －2>2，由此解得x<0或x>4.于是有{x|f(x －2)>0}＝{x|x<0或x>4}．5． 设函数f(x)＝x(ex ＋ae －x)(x ∈R)是偶函数，则实数a 的值为________．答案 －1解析 因为f(x)是偶函数，所以恒有f(－x)＝f(x)，即－x(e －x ＋aex)＝x(ex ＋ae －x)，化简得x(e －x ＋ex)(a ＋1)＝0.因为上式对任意实数x 都成立，所以a ＝－1.6． 设函数f(x)＝x|x －a|，若对任意的x1，x2∈[2，＋∞)，x1≠x2，不等式f x1－f x2x1－x2>0恒成立，则实数a 的取值范围是________．答案 a≤2解析 f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x2－ax ，x≥a ，－x2＋ax ，x<a ， 如图，作出函数图象，当a 变化时，易得a 的取值范围为a≤2.7． 已知f(x)＝asin x ＋b 3x ＋4(a ，b ∈R)，且f[lg(log210)]＝5，则f[lg(lg 2)]＝________.答案 3解析 lg(log210)＝－lg(lg 2)，f(－x)＝asin(－x)＋b 3－x ＋4＝－(asin x ＋b 3x)＋4.又f[lg(log210)]＝5，∴f[lg(lg 2)]＝4－5＋4＝3.8． 设f(x)是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x<0，bx ＋2x ＋1，0≤x≤1，其中a ，b ∈R.若f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫32，则a ＋3b 的值为________． 答案 －10 解析 因为f(x)的周期为2，所以f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫32－2＝f ⎝⎛⎭⎫－12，即f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫－12.又因为f ⎝⎛⎭⎫－12＝－12a ＋1，f ⎝⎛⎭⎫12＝b 2＋212＋1＝b ＋43， 所以－12a ＋1＝b ＋43. 整理，得a ＝－23(b ＋1)． ①又因为f(－1)＝f(1)，所以－a ＋1＝b ＋22，即b ＝－2a. ② 将②代入①，得a ＝2，b ＝－4.所以a ＋3b ＝2＋3×(－4)＝－10.9． 直线y ＝1与曲线y ＝x2－|x|＋a 有四个交点，则a 的取值范围是________．答案 1<a<54解析 y ＝x2－|x|＋a 是偶函数，图象如图所示．由图象可知直线y ＝1与曲线y ＝x2－|x|＋a 有四个交点需满足a －14<1<a ， ∴1<a<54. 10．已知实数a ，b 满足等式⎝⎛⎭⎫12a ＝⎝⎛⎭⎫13b ，下列五个关系式：①0<b<a ；②a<b<0；③0<a<b ；④b<a<0；⑤a ＝b.其中不可能成立的关系式有________．(填序号)答案 ③④解析 函数y1＝⎝⎛⎭⎫12x 与y2＝⎝⎛⎭⎫13x 的图象如图所示． 由⎝⎛⎭⎫12a ＝⎝⎛⎭⎫13b 得，a<b<0或0<b<a 或a ＝b ＝0.故①②⑤可能成立，③④不可能成立．11．已知奇函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x2－2x x≥0，ax2＋bx x<0，给出下列结论：①f(f(1))＝1；②函数y ＝f(x)有三个零点；③f(x)的递增区间是[1，＋∞)；④直线x ＝1是函数y ＝f(x)图象的一条对称轴；⑤函数y ＝f(x ＋1)＋2图象的对称中心是点(1,2)．其中，正确结论的序号是________．(写出所有正确结论的序号)．答案 ①②解析 因为f(x)是奇函数，所以x<0时，f(－x)＝x2＋2x ，即f(x)＝－x2－2x.可求得a ＝－1，b ＝－2.即f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x2－2x ， x≥0，－x2－2x ， x<0. ①f(f(1))＝f(－1)＝－f(1)＝1，①正确；②易知f(x)的三个零点是－2,0,2，②正确；③当x ∈(－∞，－1]时，f(x)也单调递增，③错误；④由奇函数图象的特点知，题中的函数f(x)无对称轴，④错误；⑤奇函数f(x)图象关于原点对称，故函数y ＝f(x ＋1)＋2图象的对称中心应是点(－1,2)，⑤错误．故填①②.12．给出下列四个函数：①y ＝2x ；②y ＝log2x ；③y ＝x2；④y ＝x. 当0<x1<x2<1时，使f ⎝⎛⎭⎫x1＋x22>f x1＋f x22恒成立的函数的序号是________． 答案 ②④解析 由题意知满足条件的图象形状为：故符合图象形状的函数为y ＝log2x ，y ＝x.[本题考查函数的凸凹性]13．已知定义在R 上的偶函数满足：f(x ＋4)＝f(x)＋f(2)，且当x ∈[0,2]时，y ＝f(x)单调递减，给出以下四个命题：①f(2)＝0；②x ＝－4为函数y ＝f(x)图象的一条对称轴；③函数y ＝f(x)在[8,10]上单调递增；④若方程f(x)＝m 在[－6，－2]上的两根为x1，x2，则x1＋x2＝－8.则所有正确命题的序号为________．答案 ①②④解析 令x ＝－2，得f(2)＝f(－2)＋f(2)，又函数f(x)是偶函数，故f(2)＝0；根据①可得f(x ＋4)＝f(x)，可得函数f(x)的周期是4，由于偶函数的图象关于y 轴对称，故x ＝－4也是函数y ＝f(x)图象的一条对称轴；根据函数的周期性可知，函数f(x)在[8,10]上单调递减，③不正确；由于函数f(x)的图象关于直线x ＝－4对称，故如果方程f(x)＝m 在区间[－6，－2]上的两根为x1，x2，则x1＋x22＝－4，即x1＋x2＝－8. 故正确命题的序号为①②④.14．已知直线y ＝mx 与函数f(x)＝⎩⎨⎧ 2－⎝⎛⎭⎫13x ，x≤0，12x2＋1，x>0的图象恰好有3个不同的公共点，则实数m 的取值范围是________．答案 (2，＋∞) 解析 作出函数f(x)＝⎩⎨⎧ 2－⎝⎛⎭⎫13x ，x≤0，12x2＋1，x>0的图象，如图所示．直线y ＝mx 的图象是绕坐标原点旋转的动直线．当斜率m≤0时，直线y ＝mx 与函数f(x)的图象只有一个公共点；当m>0时，直线y ＝mx 始终与函数y ＝2－⎝⎛⎭⎫13x (x≤0)的图象有一个公共点，故要使直线y ＝mx 与函数f(x)的图象有三个公共点，必须使直线y ＝mx 与函数y ＝12x2＋1 (x>0)的图象有两个公共点，即方程mx ＝12x2＋1在x>0时有两个不相等的实数根，即方程x2－2mx ＋2＝0的判别式Δ＝4m2－4×2>0，解得m> 2.故所求实数m 的取值范围是(2，＋∞)．。
高考数学二轮复习 专题一 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数 第二讲 函数的图象与性质教案 理-
第二讲函数的图象与性质年份卷别考查角度及命题位置命题分析2018Ⅱ卷函数图象的识别·T3 1.高考对此部分内容的命题多集中于函数的概念、函数的性质及分段函数等方面，多以选择、填空题形式考查，一般出现在第5～10或第13～15题的位置上，难度一般．主要考查函数的定义域，分段函数求值或分段函数中参数的求解及函数图象的判断．2.此部分内容有时出现在选择、填空题压轴题的位置，多与导数、不等式、创新性问题结合命题，难度较大.函数奇偶性、周期性的应用·T11Ⅲ卷函数图象的识别·T72017Ⅰ卷函数单调性、奇偶性与不等式解法·T5Ⅲ卷分段函数与不等式解法·T152016Ⅰ卷函数的图象判断·T7Ⅱ卷函数图象的对称性·T12函数及其表示授课提示：对应学生用书第5页[悟通——方法结论]求解函数的定义域时要注意三式——分式、根式、对数式，分式中的分母不为零，偶次方根中的被开方数非负，对数的真数大于零．底数大于零且不大于1．解决此类问题的关键在于准确列出不等式(或不等式组)，求解即可．确定条件时应先看整体，后看部分，约束条件一个也不能少．[全练——快速解答]1．(2016·高考全国卷Ⅱ)以下函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lg x的定义域和值域相同的是( )A．y＝x B．y＝lg xC ．y ＝2xD ．y ＝1x解析：函数y ＝10lg x的定义域与值域均为(0，＋∞)．结合选项知，只有函数y ＝1x的定义域与值域均为(0，＋∞)．应选D.答案：D2．(2018·某某名校联考)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x －4)，x >2，e x，－2≤x ≤2，f (－x )，x <－2，那么f (－2 017)＝( )A ．1B ．eC ．1eD ．e 2解析：由题意f (－2 017)＝f (2 017)，当x ＞2时，4是函数f (x )的周期，所以f (2 017)＝f (1＋4×504)＝f (1)＝e.答案：B3．函数f (x )＝x －1ln (1－ln x )的定义域为________．解析：由函数解析式可知，x 需满足⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥01－ln x >0x >01－ln x ≠1，解得1<xf (x )＝x －1ln (1－ln x )的定义域为(1，e)．答案：(1，e)4．(2017·高考全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x，x >0，那么满足f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12>1的x 的取值X 围是__________．解析： 当x ≤0时，原不等式为x ＋1＋x ＋12>1，解得x >－14，∴－14<x ≤0.当0<x ≤12时，原不等式为2x＋x ＋12>1，显然成立．当x >12时，原不等式为2x＋2x －12>1，显然成立．综上可知，x 的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准那么，列出不等式或不等式组，然后求出解集即可．2．分段函数问题的5种常见类型及解题策略 常见类型 解题策略求函数值弄清自变量所在区间，然后代入对应的解析式，求“层层套〞的函数值，要从最内层逐层往外计算求函数最值 分别求出每个区间上的最值，然后比较大小解不等式根据分段函数中自变量取值X 围的界定，代入相应的解析式求解，但要注意取值X 围的大前提求参数 “分段处理〞，采用代入法列出各区间上的方程利用函数性质求值必须依据条件找到函数满足的性质，利用该性质求解函数图象及应用授课提示：对应学生用书第5页[悟通——方法结论]1．作函数图象有两种基本方法：一是描点法、二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换等．2．利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性，作图时要准确画出图象的特点．(1)(2017·高考全国卷Ⅰ)函数y ＝sin 2x1－cos x的部分图象大致为( )解析：令函数f (x )＝sin 2x 1－cos x ，其定义域为{x |x ≠2k π，k ∈Z }，又f (－x )＝sin (－2x )1－cos (－x )＝－sin 2x 1－cos x ＝－f (x )，所以f (x )＝sin 2x1－cos x 为奇函数，其图象关于原点对称，故排除B ；因为f (1)＝sin 2 1－cos 1>0，f (π)＝sin 2π1－cos π＝0，故排除A 、D ，选C.答案：C(2)(2017·高考全国卷Ⅲ)函数y ＝1＋x ＋sin xx2的部分图象大致为( )解析：法一：易知函数g (x )＝x ＋sin xx2是奇函数，其函数图象关于原点对称，所以函数y ＝1＋x ＋sin xx2的图象只需把g (x )的图象向上平移一个单位长度，结合选项知选D.法二：当x →＋∞时，sin x x 2→0,1＋x →＋∞，y ＝1＋x ＋sin xx2→＋∞，故排除选项B.当0<x <π2时，y ＝1＋x ＋sin xx2>0，故排除选项A 、C.选D.答案：D由函数解析式识别函数图象的策略[练通——即学即用]1．(2018·高考全国卷Ⅲ)函数y ＝－x 4＋x 2＋2的图象大致为( )解析：法一：ƒ′(x )＝－4x 3＋2x ，那么ƒ′(x )＞0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－22∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22，ƒ(x )单调递增；ƒ′(x )＜0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞，ƒ(x )单调递减． 应选D.法二：当x ＝1时，y ＝2，所以排除A ，B 选项．当x ＝0时，y ＝2，而当x ＝12时，y ＝－116＋14＋2＝2316＞2，所以排除C 选项．应选D. 答案：D 2．函数f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫21＋e x －1cos x 的图象的大致形状是( )解析：∵f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫21＋e x －1cos x ，∴f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋e －x －1cos(－x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋e x －1cosx ＝－f (x )，∴函数f (x )为奇函数，其图象关于原点对称，可排除选项A ，C ，又当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，e x >e 0＝1，21＋ex －1<0，cos x >0，∴f (x )<0，可排除选项D ，应选B.答案：B3．(2018·某某调研)函数f (x )的图象如下图，那么f (x )的解析式可以是( )A ．f (x )＝ln|x |xB ．f (x )＝e xxC ．f (x )＝1x2－1D ．f (x )＝x －1x解析：由函数图象可知，函数f (xf (x )＝x －1x，那么当x →＋∞时，f (x )→＋∞，排除D ，应选A.答案：A函数的性质及应用授课提示：对应学生用书第6页[悟通——方法结论]1．判断函数单调性的一般规律对于选择、填空题，假设能画出图象，一般用数形结合法；而对于由基本初等函数通过加、减运算或复合运算而成的函数常转化为基本初等函数单调性的判断问题；对于解析式为分式、指数函数式、对数函数式等较复杂的函数，用导数法；对于抽象函数，一般用定义法．2．函数的奇偶性(1)确定函数的奇偶性，务必先判断函数的定义域是否关于原点对称．(2)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称．3．记住几个周期性结论(1)假设函数f(x)满足f(x＋a)＝－f(x)(a>0)，那么f(x)为周期函数，且2a是它的一个周期．(2)假设函数f(x)满足f(x＋a)＝1f(x)(a>0)，那么f(x)为周期函数，且2a是它的一个周期．(1)(2017·高考全国卷Ⅱ)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是( )A．(－∞，－2) B．(－∞，1)C．(1，＋∞)D．(4，＋∞)解析：由x2－2x－8>0，得x>4或x<－2.因此，函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的定义域是(－∞，－2)∪(4，＋∞)．注意到函数y＝x2－2x－8在(4，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性知，f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(4，＋∞)．答案：D(2)(2017·高考全国卷Ⅰ)函数f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．假设f(1)＝－1，那么满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值X围是( )A．[－2,2] B．[－1,1]C．[0,4] D．[1,3]解析：∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．∵f(1)＝－1，∴f(－1)＝－f(1)＝1.故由－1≤f(x－2)≤1，得f(1)≤f(x－2)≤f(－1)．又f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，∴－1≤x－2≤1，∴1≤x≤3.答案：D(3)(2018·高考全国卷Ⅲ)函数ƒ(x )＝ln(1＋x 2－x )＋1，ƒ(a )＝4，那么ƒ(－a )＝________.解析：∵ƒ(x )＋ƒ(－x )＝ln(1＋x 2－x )＋1＋ln(1＋x 2＋x )＋1＝ln(1＋x 2－x 2)＋2＝2，∴ƒ(a )＋ƒ(－a )＝2，∴ƒ(－a )＝－2. 答案：－21．掌握判断函数单调性的常用方法数形结合法、结论法(“增＋增〞得增、“减＋减〞得减及复合函数的“同增异减〞)、定义法和导数法．2．熟知函数奇偶性的3个特点(1)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称． (2)确定函数的奇偶性，务必先判断函数的定义域是否关于原点对称． (3)对于偶函数而言，有f (－x )＝f (x )＝f (|x |)．3．周期性：利用周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在区间上的问题，转化到区间上求解．4．注意数形结合思想的应用．[练通——即学即用]1．(2018·某某模拟)以下函数中，既是奇函数又在(0，＋∞)上单调递增的是( ) A ．y ＝e x＋e －xB ．y ＝ln(|x |＋1)C ．y ＝sin x |x |D ．y ＝x －1x解析：选项A 、B 显然是偶函数，排除；选项C 是奇函数，但在(0，＋∞)上不是单调递增函数，不符合题意；选项D 中，y ＝x －1x 是奇函数，且y ＝x 和y ＝－1x在(0，＋∞)上均为增函数，故y ＝x －1x在(0，＋∞)上为增函数，所以选项D 正确．答案：D2．(2018·某某八中摸底)函数y ＝f (x )在区间[0,2]上单调递增，且函数f (x ＋2)是偶函数，那么以下结论成立的是( )A ．f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f (1)D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72 解析：因为函数f (x ＋2)是偶函数， 所以f (x ＋2)＝f (－x ＋2)， 即函数f (x )的图象关于x ＝2对称． 又因为函数y ＝f (x )在[0,2]上单调递增， 所以函数y ＝f (x )在区间[2,4]上单调递减． 因为f (1)＝f (3)，72>3>52，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f (3)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52， 即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52. 答案：B授课提示：对应学生用书第116页一、选择题1．以下四个函数： ①y ＝3－x ；②y ＝2x －1(x >0)；③y ＝x 2＋2x －10；④y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x ≤0)，1x(x >0).其中定义域与值域相同的函数的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：①y ＝3－x 的定义域和值域均为R ，②y ＝2x －1(x >0)的定义域为(0，＋∞)，值域为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，③y ＝x 2＋2x －10的定义域为R ，值域为[－11，＋∞)，④y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x ≤0)，1x(x >0)的定义域和值域均为R ，所以定义域与值域相同的函数是①④，共有2个，应选B.答案：B2．设定义在R 上的奇函数y ＝f (x )满足对任意的x ∈R ，都有f (x )＝f (1－x )，且当x ∈[0，12]时，f (x )＝(x ＋1)，那么f (3)＋f (－32)的值为( )A ．0B ．1C ．－1D ．2解析：由于函数f (x )是奇函数，所以f (x )＝f (1－x )⇒f (x )＝－f (x ＋1)⇒f (x ＋1)＝－f (x )⇒f (x ＋2)＝f (x )，所以f (3)＝f (1)＝f (1－1)＝f (0)＝0，f (－32)＝f (12)＝32f (3)＋f (－32)＝－1.答案：C3．函数f (x )＝1＋ln ()x 2＋2的图象大致是( )解析：因为f (0)＝1＋ln 2>0，即函数f (x )的图象过点(0，ln 2)，所以排除A 、B 、C ，选D.答案：D4．(2017·高考某某卷)奇函数f (x )在R 上是增函数，g (x )＝xf (x )．假设a ＝g (－log 2 5.1)，b ＝g (2)，c ＝g (3)，那么a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．b <a <cD ．b <c <a解析：奇函数f (x )在R 上是增函数，当x >0时，f (x )>f (0)＝0，当x 1>x 2>0时，f (x 1)>f (x 2)>0，∴x 1f (x 1)>x 2f (x 2)，∴g (x )在(0，＋∞)上单调递增，且g (x )＝xf (x )是偶函数，∴a ＝g (－log 2 5.1)＝g (log 2 5.1)．易知2<log 2 5.1<3,1<2<2，由g (x )在(0，＋∞)上单调递增，得g (2)<g (log 2 5.1)<g (3)，∴b <a <c ，应选C.答案：C5．(2018·某某模拟)函数f (x )＝e xx 的图象大致为( )解析：由f (x )＝e x x ，可得f ′(x )＝x e x －e x x 2＝(x －1)e x x2， 那么当x ∈(－∞，0)和x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．又当x <0时，f (x )<0，应选B.答案：B6．定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，那么( )A ．f (－25)<f (11)<f (80)B ．f (80)<f (11)<f (－25)C ．f (11)<f (80)<f (－25)D ．f (－25)<f (80)<f (11)解析：因为f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，所以f (x －8)＝f (x )，所以函数f (x )是以8为周期的周期函数，那么f (－25)＝f (－1)，f (80)＝f (0)，f (11)＝f (3)．由f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (x －4)＝－f (x )，得f (11)＝f (3)＝－f (－1)＝f (1)．因为f (x )在区间[0,2]上是增函数，f (x )在R 上是奇函数，所以f (x )在区间[－2,2]上是增函数，所以f (－1)<f (0)<f (1)，即f (－25)<f (80)<f (11)．答案：D7．(2018·某某模拟)函数f (x )＝ex －1＋4x －4，g (x )＝ln x －1x ，假设f (x 1)＝g (x 2)＝0，那么( )A ．0<g (x 1)<f (x 2)B ．f (x 2)<g (x 1)<0C ．f (x 2)<0<g (x 1)D ．g (x 1)<0<f (x 2) 解析：易知f (x )＝e x －1＋4x －4，g (x )＝ln x －1x在各自的定义域内是增函数，而f (0)＝e －1＋0－4＝1e －4<0，f (1)＝e 0＋4×1－4＝1>0，g (1)＝ln 1－11＝－1<0，g (2)＝ln 2－12＝ln 2e f (x 1)＝g (x 2)＝0，所以0<x 1<1,1<x 2<2，所以f (x 2)>f (1)>0，g (x 1)<g (1)<0，故g (x 1)<0<f (x 2)．答案：D8．函数f (x )＝(x 2－2x )·sin(x －1)＋x ＋1在[－1,3]上的最大值为M ，最小值为m ，那么M ＋m ＝( )A ．4B ．2C ．1D ．0 解析：f (x )＝[(x －1)2－1]sin(x －1)＋x －1＋2，令t ＝x －1，g (t)＝(t 2－1)sin t ＋t ，那么y ＝f (x )＝g (t)＋2，t ∈[－2,2]．显然M ＝g (t)max ＋2，m ＝g (t)min ＋2.又g (t)为奇函数，那么g (t)max ＋g (t)min ＝0，所以M ＋m ＝4，应选A.答案：A9．g (x )是定义在R 上的奇函数，且当x <0时，g (x )＝－ln(1－x )，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 3，x ≤0，g (x )，x >0，假设f (2－x 2)>f (x )，那么x 的取值X 围是( ) A ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)B ．(－∞，1)∪(2，＋∞)C ．(－2,1)D ．(1,2)解析：因为g (x )是定义在R 上的奇函数，且当x <0时，g (x )＝－ln(1－x )，所以当x >0时，－x <0，g (－x )＝－ln(1＋x )，即当x >0时，g (x )＝ln(1＋x )，那么函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 3，x ≤0，ln (1＋x )，x >0，作出函数f (x )的图象，如图：由图象可知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 3，x ≤0，ln (1＋x )，x >0在(－∞，＋∞)上单调递增． 因为f (2－x 2)>f (x )，所以2－x 2>x ，解得－2<x <1，应选C.答案：C10．(2018·高考全国卷Ⅱ)ƒ(x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足ƒ(1－x )＝ƒ(1＋x )．假设ƒ(1)＝2，那么ƒ(1)＋ƒ(2)＋ƒ(3)＋…＋ƒ(50)＝( )A ．－50B ．0C ．2D ．50解析：∵ƒ(x )是奇函数，∴ƒ(－x )＝－ƒ(x )，∴ƒ(1－x )＝－ƒ(x －1)．由ƒ(1－x )＝ƒ(1＋x )，∴－ƒ(x －1)＝ƒ(x ＋1)，∴ƒ(x ＋2)＝－ƒ(x )，∴ƒ(x ＋4)＝－ƒ(x ＋2)＝－[－ƒ(x )]＝ƒ(x )，∴函数ƒ(x )是周期为4的周期函数．由ƒ(x )为奇函数得ƒ(0)＝0.又∵ƒ(1－x )＝ƒ(1＋x )，∴ƒ(x )的图象关于直线x ＝1对称，∴ƒ(2)＝ƒ(0)＝0，∴ƒ(－2)＝0.又ƒ(1)＝2，∴ƒ(－1)＝－2，∴ƒ(1)＋ƒ(2)＋ƒ(3)＋ƒ(4)＝ƒ(1)＋ƒ(2)＋ƒ(－1)＋ƒ(0)＝2＋0－2＋0＝0，∴ƒ(1)＋ƒ(2)＋ƒ(3)＋ƒ(4)＋…＋ƒ(49)＋ƒ(50)＝0×12＋ƒ(49)＋ƒ(50)＝ƒ(1)＋ƒ(2)＝2＋0＝2.应选C.答案：C11．定义在R 上的函数f (x )对任意0<x 2<x 1都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<1，且函数y ＝f (x )的图象关于原点对称，假设f (2)＝2，那么不等式f (x )－x >0的解集是( )A ．(－2,0)∪(0,2)B ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(0,2)D ．(－2,0)∪(2，＋∞) 解析：由f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<1， 可得[f (x 1)－x 1]－[f (x 2)－x 2]x 1－x 2<0.令F (x )＝f (x )－x ，由题意知F (x )在(－∞，0)，(0，＋∞)上是减函数，又是奇函数，且F (2)＝0，F (－2)＝0，所以结合图象，令F (x )>0，得x <－2或0<x <2，应选C.答案：C12．(2018·某某三市联考)函数f (x )＝e |x |，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ e x ，x ≤4，4e 5－x ，x >4对任意的x ∈[1，m ](m >1)，都有f (x －2)≤g (x )，那么m 的取值X 围是( )A ．(1,2＋ln 2) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，72＋ln 2 C ．(ln 2,2] D.⎝ ⎛⎦⎥⎤1，72＋ln 2 解析：作出函数y 1＝e |x －2|和y ＝g (x )的图象，如下图，由图可知当x＝1时，y 1＝g (1)，又当x ＝4时，y 1＝e 2<g (4)＝4e ，当x >4时，由ex －2≤4e 5－x ，得e 2x －7≤4，即2x －7≤ln 4，解得x ≤72＋ln 2，又m >1，∴1<m ≤72＋ln 2.答案：D二、填空题13．设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，那么f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝________.解析：由题意得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－12. 答案：－1214．假设函数f (x )＝x (x －1)(x ＋a )为奇函数，那么a ＝________.解析：法一：因为函数f (x )＝x (x －1)(x ＋a )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )对x ∈R 恒成立，所以－x ·(－x －1)(－x ＋a )＝－x (x －1)(x ＋a )对x ∈R 恒成立，所以x (a －1)＝0对x ∈R 恒成立，所以a ＝1.法二：因为函数f (x )＝x (x －1)(x ＋a )为奇函数，所以f (－1)＝－f (1)，所以－1×(－1－1)×(－1＋a )＝－1×(1－1)×(1＋a )，解得a ＝1.答案：115．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ (1－2a )x ＋3a ，x <1，2x －1，x ≥1的值域为R ，那么实数a 的取值X 围是________．解析： 当x ≥1时，f (x )＝2x －1≥1，∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ (1－2a )x ＋3a ，x <1，2x －1，x ≥1的值域为R ，∴当x <1时，(1－2a )x ＋3a 必须取遍(－∞，1)内的所有实数，那么⎩⎪⎨⎪⎧ 1－2a >0，1－2a ＋3a ≥1，解得0≤a ＜12. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12 16．如图放置的边长为1的正方形PABC 沿x 轴滚动，点B 恰好经过原点，设顶点P (x ，y )的轨迹方程是y ＝f (x )，那么对函数y ＝f (x )有以下判断：①函数y ＝f (x )是偶函数；②对任意的x ∈R ，都有f (x ＋2)＝f (x －2)；③函数y ＝f (x )在区间[2,3]上单调递减；④函数y ＝f (x )在区间[4,6]上是减函数．其中判断正确的序号是________．解析：如图，从函数y ＝f (x )的图象可以判断出，图象关于y 轴对称，每4个单位图象重复出现一次，在区间[2,3]上，随x 增大，图象是往上的，在区间[4,6]上图象是往下的，所以①②④正确，③错误．答案：①②④。
高考数学冲刺函数性质与图像变换全解析
高考数学冲刺函数性质与图像变换全解析高考对于每一位学子来说都是人生中的一次重要挑战，而数学作为其中的关键学科，更是备受关注。
在数学的众多知识点中，函数的性质与图像变换一直是重点和难点。
在高考冲刺阶段，对这部分内容进行全面、深入的复习和理解，将有助于我们在考试中取得更好的成绩。
一、函数的基本性质1、单调性函数的单调性是指函数在定义域内的某个区间上，函数值随自变量的增大而增大或减小的性质。
判断函数单调性的方法通常有定义法、导数法等。
定义法：设函数$f(x)＄的定义域为$I$，对于定义域$I$内某个区间$D$上的任意两个自变量的值$x_1$，＄x_2$，当$x_1 ＜ x_2$时，都有$f(x_1) ＜ f(x_2)＄（或$f(x_1) ＞ f(x_2)＄），那么就说函数$f(x)＄在区间$D$上是增函数（或减函数）。
导数法：若函数$f(x)＄在区间$（a,b)＄内可导，当$f'（x) ＞0$时，函数$f(x)＄在区间$（a,b)＄内单调递增；当$f'（x) ＜ 0$时，函数$f(x)＄在区间$（a,b)＄内单调递减。
2、奇偶性奇偶性是函数的另一个重要性质。
若对于函数$f(x)＄定义域内的任意一个$x$，都有$f(x) ＝ f(x)＄，则称$f(x)＄为偶函数；若对于函数$f(x)＄定义域内的任意一个$x$，都有$f(x) ＝ f(x)＄，则称$f(x)＄为奇函数。
判断函数奇偶性的一般步骤为：首先确定函数的定义域是否关于原点对称，如果不对称，则函数既不是奇函数也不是偶函数；如果对称，再判断$f(x)＄与$f(x)＄的关系。
3、周期性对于函数$f(x)＄，如果存在一个不为零的常数$T$，使得当$x$取定义域内的每一个值时，＄f(x ＋ T) ＝ f(x)＄都成立，那么就把函数$y＝ f(x)＄叫做周期函数，周期为$T$。
常见的周期函数如正弦函数、余弦函数等。
4、对称性函数的对称性包括轴对称和中心对称。
吉林高三数学知识点汇总
吉林高三数学知识点汇总一、函数与极限1. 函数的定义与性质函数是一个或多个变量之间的依赖关系，具有定义域、值域和函数图像等基本性质。
2. 函数的运算函数之间可以进行加减乘除、复合等运算，同时还有反函数的概念和运算。
3. 极限的概念极限是研究函数变化趋势的重要概念，包括数列极限和函数极限。
4. 极限的性质和计算方法包括极限的唯一性、四则运算法则、夹逼准则等。
5. 函数的连续性与间断点连续性描述了函数图像的连贯性，间断点是连续性中的一类特殊情况。
二、导数与微分1. 导数的定义与性质导数是函数在某一点处的变化率，具有导函数的概念及其运算性质。
2. 导数的计算法则包括常用函数的导数、复合函数的导数、隐函数求导、参数方程求导等。
3. 函数的增减性与极值点通过导数的正负性判断函数的增减性和极值点的存在与求解。
4. 函数的凹凸性与拐点通过导数的增减性判断函数的凹凸性和拐点的存在与求解。
5. 微分的概念与微分中值定理微分是函数在某一点处的线性近似，微分中值定理描述了导数和函数在某一区间内的关系。
三、积分与定积分1. 不定积分的定义与性质不定积分是给定函数的一类原函数，同时具有基本积分的概念。
2. 不定积分的计算方法包括常用函数的不定积分、分部积分、换元积分、特殊函数的积分等方法。
3. 定积分的定义与性质定积分描述了函数在一定区间上的变化量，具有区间加法性和定积分的性质。
4. 定积分的计算方法包括定积分的几何意义、换元法、分部积分法、定积分与导数的关系等。
5. 定积分的应用定积分在几何学、物理学、经济学等领域有着广泛的应用，如面积计算、曲线长度、质量、物体质心、平均值等。
四、向量与平面解析几何1. 向量的基本概念与运算向量的表示、模长、方向角、共线性、平行、垂直、夹角、数量积、向量积等。
2. 平面的基本概念与方程平面的方程、点到平面的距离、平面与直线的位置关系等。
3. 直线的基本概念与方程直线的方程、直线与平面的位置关系、直线与直线的位置关系等。
吉林省东北师范大学附属中学高考数学二轮专题复习 三角函数的图象与性质教案 理
专题二—三角函数与平面向量 第1讲 三角函数的图象与性质【高考考情解读】 1.对三角函数的图象和性质的考查中，以图象的变换，函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值等作为热点内容，并且往往与三角变换公式相互联系，有时也与平面向量，解三角形或不等式内容相互交汇.2.题型多以客观题来呈现，如果设置解答题一般与三角变换、解三角形、平面向量等知识进行综合考查，题目难度为中、低档．1． 三角函数定义、同角关系与诱导公式(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x ，y)，则sin α＝y ，co s α＝x ，tan α＝yx .各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦．(2)同角关系：sin2α＋cos2α＝1，sin αcos α＝tan α.(3)诱导公式：在kπ2＋α，k ∈Z 的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”．函数 y ＝sin xy ＝cos xy ＝tan x图象单调性在[－π2＋2kπ，π2＋2kπ](k∈Z)上单调递增；在[π2＋2kπ，3π2＋2kπ](k ∈Z)上单调递减在[－π＋2kπ，2kπ](k ∈Z)上单调递增；在[2kπ，π＋2kπ](k ∈Z)上单调递减在(－π2＋kπ，π2＋kπ)(k ∈Z)上单调递增对称性对称中心：(kπ，0)(k ∈Z)；对称轴：x ＝π2＋kπ(k ∈Z)对称中心：(π2＋kπ，0)(k∈Z)；对称轴：x ＝kπ(k ∈Z)对称中心：(kπ2，0)(k ∈Z)3． 三角函数的两种常见变换考点一 三角函数的概念、诱导公式及同角三角函数的基本关系问题例1 (1)如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针针尖位置P(x ，y)．若初始位置为P0⎝⎛⎭⎫32，12，当秒针从P0(此时t ＝0)正常开始走时，那么点P 的纵坐标y 与时间t 的函数关系为________．(2)(2012·山东)如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心 的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P 的位置在(0,0)，圆在x 轴上 沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于(2,1)时，OP →的坐标为________． 答案 (1)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π30t ＋π6 (2)(2－sin 2,1－cos 2) 解析 (1)由三角函数的定义可知，初始位置点P0的弧度为π6，由于秒针每秒转过的弧度为－π30，针尖位置P 到坐标原点的距离为1，故点P 的纵坐标y 与时间t 的函数关系可能为y＝sin ⎝⎛⎭⎫－π30t ＋π6. (2)利用平面向量的坐标定义、解三角形知识以及数形结合思想求解． 设A(2,0)，B(2,1)，由题意知劣弧PA 长为2，∠ABP ＝21＝2.设P(x ，y)，则x ＝2－1×cos ⎝⎛⎭⎫2－π2＝2－sin 2， y ＝1＋1×sin ⎝⎛⎭⎫2－π2 ＝1－cos 2，∴OP →的坐标为(2－sin 2,1－cos 2)．(1)涉及与圆及角有关的函数建模问题(如钟表、摩天轮、水车等)，常常借助三角函数的定义求解．应用定义时，注意三角函数值仅与终边位置有关，与终边上点的位置无关． (2)应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限内的符号；利用同角三角函数的关系化简过程要遵循一定的原则，如化切为弦、化异为同、化高为低、化繁为简等．(1)若sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝a ，则cos ⎝⎛⎭⎫2π3－α＝________. 答案 －a解析 cos ⎝⎛⎭⎫2π3－α＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π3＋α ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π3＋α ＝－sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π3＋α ＝－sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝－a.(2)如图，以Ox 为始边作角α(0<α<π)，终边与单位圆相交于点P ， 已知点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫－35，45. 求sin 2α＋cos 2α＋11＋tan α的值．解 由三角函数定义， 得cos α＝－35，sin α＝45，∴原式＝2sin αcos α＋2cos2α1＋sin αcos α＝2cos αsin α＋cos αsin α＋cos αcos α＝2cos2α＝2×⎝⎛⎭⎫－352＝1825. 考点二 三角函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象及解析式例2 如图，它是函数y ＝Asin(ωx ＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)的部分图象， 由图中条件，写出该函数的解析式．本题考查已知图象上的点，求三角函数的解析式，解题的关键是正确理解参数A ，ω，φ的含义，以及它们对函数图象的作 用，抓住两者联系解决问题． 解 由图知A ＝5，由T 2＝5π2－π＝3π2，得T ＝3π， ∴ω＝2πT ＝23，此时y ＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x 3＋φ. 下面求初相φ.方法一 (单调性法)：∵点(π，0)在递减的那段曲线上， ∴2π3＋φ∈⎣⎡⎦⎤2kπ＋π2，2kπ＋3π2(k ∈Z)． 由sin ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＝0得2π3＋φ＝2kπ＋π(k ∈Z)， ∴φ＝2kπ＋π3(k ∈Z)．∵|φ|<π，∴φ＝π3.∴该函数的解析式为y ＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x 3＋π3. 方法二 (最值点法)：将最高点坐标⎝⎛⎭⎫π4，5代入y ＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x3＋φ， 得5sin ⎝⎛⎭⎫π6＋φ＝5， ∴π6＋φ＝2kπ＋π2(k ∈Z)， ∴φ＝2kπ＋π3(k ∈Z)．又|φ|<π，∴φ＝π3.∴该函数的解析式为y ＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x 3＋π3.(1)已知函数y ＝Asin(ωx ＋φ)(A>0，ω>0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A ；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置． (2)在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量x 而言的，如果x 的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向．(1)(2013·四川改编)函数f(x)＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是________． 答案 2，－π3解析 ∵34T ＝5π12－⎝⎛⎭⎫－π3，T ＝π，∴ω＝2， 又2×5π12＋φ＝2kπ＋π2，k ∈Z ，∴φ＝2kπ－π3，又φ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，∴φ＝－π3. (2)(2013·山东)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋c ＝6，b ＝2， cos B ＝79.①求a ，c 的值；②求sin(A －B)的值． 解 ①由余弦定理得：cos B ＝a2＋c2－b22ac ＝a2＋c2－42ac ＝79，即a2＋c2－4＝149ac.∴(a ＋c)2－2ac －4＝149ac ，∴ac ＝9.由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝6，ac ＝9得a ＝c ＝3. ②在△ABC 中，cos B ＝79，∴sin B ＝1－cos2B ＝1－⎝⎛⎭⎫792＝429.由正弦定理得：a sin A ＝bsin B ，∴sin A ＝asin B b ＝3×4292＝223.又A ＝C ，∴0<A<π2，∴cos A ＝1－sin2A ＝13，∴sin (A －B)＝sin Acos B －cos Asin B ＝223×79－13×429＝10227.考点三 三角函数的性质 例3 (2012·北京)已知函数f(x)＝sin x －cos x sin 2xsin x.(1)求f(x)的定义域及最小正周期； (2)求f(x)的单调递增区间．先化简函数解析式，再求函数的性质．解 (1)由sin x≠0得x≠kπ(k ∈Z)，故f(x)的定义域为{x ∈R|x≠kπ，k ∈Z}． 因为f(x)＝sin x －cos xsin 2xsin x＝2cos x(sin x －cos x) ＝sin 2x －cos 2x －1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4－1， 所以f(x)的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2kπ－π2，2kπ＋π2(k ∈Z)．由2kπ－π2≤2x －π4≤2kπ＋π2，x≠kπ(k ∈Z)，得kπ－π8≤x≤kπ＋3π8，x≠kπ(k ∈Z)．所以f(x)的单调递增区间为⎣⎡⎭⎫kπ－π8，kπ和⎝⎛⎦⎤kπ，kπ＋3π8(k ∈Z)． 函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的性质及应用的求解思路 第一步：先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成y ＝Asin(ωx ＋φ)＋B 的形式；第二步：把“ωx ＋φ”视为一个整体，借助复合函数性质求y ＝Asin(ωx ＋φ)＋B 的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题．(1)已知函数f(x)＝sin x ＋cos x ，g(x)＝sin x －cos x ，有下列四个命题：①将f(x)的图象向右平移π2个单位可得到g(x)的图象；②y ＝f(x)g(x)是偶函数；③f(x)与g(x)均在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上单调递增； ④y ＝f xg x的最小正周期为2π. 其中真命题是________．(填序号) 答案 ①②③解析 f(x)＝2sin(x ＋π4)，g(x)＝sin x －cos x ＝2sin(x －π4)，显然①正确；函数y ＝f(x)g(x)＝sin2x －cos2x ＝－cos 2x ， 其为偶函数，故②正确；由0≤x ＋π4≤π2及－π2≤x －π4≤0都可得－π4≤x≤π4，所以由图象可判断函数f(x)＝2sin(x ＋π4)和函数g(x)＝2sin(x －π4)在[－π4，π4]上都为增函数，故③正确；函数y ＝f xg x ＝sin x ＋cos x sin x －cos x ＝1＋tan x tan x －1＝－tan(x ＋π4)，由周期性定义可判断其周期为π，故④不正确．(2)(2013·安徽)已知函数f(x)＝4cos ωx·sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)的最小正周期为π. ①求ω的值；②讨论f(x)在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的单调性． 解 ①f(x)＝4cos ωx·sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4 ＝22sin ωx·cos ωx ＋22cos2ωx＝2(sin 2ωx ＋cos 2ωx)＋ 2 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π4＋ 2. 因为f(x)的最小正周期为π，且ω>0. 从而有2π2ω＝π，故ω＝1.②由①知，f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋ 2. 若0≤x≤π2，则π4≤2x ＋π4≤5π4. 当π4≤2x ＋π4≤π2， 即0≤x≤π8时，f(x)单调递增；当π2≤2x ＋π4≤5π4， 即π8≤x≤π2时，f(x)单调递减． 综上可知，f(x)在区间⎣⎡⎦⎤0，π8上单调递增， 在区间⎣⎡⎦⎤π8，π2上单调递减．1． 求函数y ＝Asin(ωx ＋φ)(或y ＝Acos(ωx ＋φ)，或y ＝Atan(ωx ＋φ))的单调区间 (1)将ω化为正．(2)将ωx ＋φ看成一个整体，由三角函数的单调性求解．2． 已知函数y ＝Asin(ωx ＋φ)＋B(A>0，ω>0)的图象求解析式 (1)A ＝ymax －ymin 2，B ＝ymax ＋ymin 2.(2)由函数的周期T 求ω，ω＝2πT.(3)利用与“五点法”中相对应的特殊点求φ.3． 函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的对称轴一定经过图象的最高点或最低点． 4． 求三角函数式最值的方法(1)将三角函数式化为y ＝Asin(ωx ＋φ)＋B 的形式，进而结合三角函数的性质求解．(2)将三角函数式化为关于sin x ，cos x 的二次函数的形式，进而借助二次函数的性质求解． 5． 特别提醒：进行三角函数的图象变换时，要注意无论进行什么样的变换都是变换变量本身.1． 假设若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“互为生成函数”．给出下列函数：①f(x)＝sin x －cos x ；②f(x)＝2(sin x ＋cos x)； ③f(x)＝2sin x ＋2；④f(x)＝sin x.则其中属于“互为生成函数”的是________．(填序号) 答案 ①②2． 已知函数f(x)＝sin ωx·cos ωx ＋3cos2ωx －32(ω>0)，直线x ＝x1，x ＝x2是y ＝f(x)图象的任意两条对称轴，且|x1－x2|的最小值为π4.(1)求f(x)的表达式；(2)将函数f(x)的图象向右平移π8个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g(x)的图象，若关于x 的方程g(x)＋k ＝0在区间[0，π2]上有且只有一个实数解，求实数k 的取值范围． 解 (1)f(x)＝12sin 2ωx ＋3×1＋cos 2ωx 2－32＝12sin 2ωx ＋32cos 2ωx ＝sin(2ωx ＋π3)， 由题意知，最小正周期T ＝2×π4＝π2，T ＝2π2ω＝πω＝π2，所以ω＝2，∴f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3. (2)将f(x)的图象向右平移π8个单位后，得到y ＝sin(4x －π6)的图象，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍， 纵坐标不变，得到y ＝sin(2x －π6)的图象．所以g(x)＝sin(2x －π6)．令2x －π6＝t ，∵0≤x≤π2，∴－π6≤t≤5π6.g(x)＋k ＝0在区间[0，π2]上有且只有一个实数解，即函数g(t)＝sin t 与y ＝－k 在区间[－π6，5π6]上有且只有一个交点．如图，由正弦函数的图象可知－12≤－k<12或－k ＝1.∴－12<k≤12或k ＝－1.(推荐时间：60分钟) 一、填空题1． 点P 从(1,0)出发，沿单位圆x2＋y2＝1逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为________． 答案 ⎝⎛⎭⎫－12，32解析 记α＝∠POQ ，由三角函数的定义可知， Q 点的坐标(x ，y)满足x ＝cos α＝cos 2π3＝－12， y ＝sin α＝sin2π3＝32. 2． 已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________.答案 －8解析 因为sin θ＝y 42＋y2＝－255，所以y<0，且y2＝64，所以y ＝－8. 3． 已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos 2α等于________． 答案 －53解析 因为sin α＋cos α＝33， 两边平方得1＋2sin αcos α＝13，所以sin 2α＝－23.由于sin α＋cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝33>0， 且α为第二象限角，所以2kπ＋π2<α<2kπ＋3π4，k ∈Z ，所以4kπ＋π<2α<4kπ＋3π2，k ∈Z ，所以cos 2α＝－1－sin22α＝－1－49＝－53. 4． 将函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π3的图象上各点横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移π6个单位，所得函数的解析式为________． 答案 y ＝cos ⎝⎛⎭⎫12x －π4解析 y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π3―――――――――→横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变5． 若函数y ＝Asin(ωx ＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的图象如图所示，M ，N 分别是这段图象的最高点与最低点，且OM →·ON →＝0，则A·ω 等于________． 答案7π6解析 由题中图象知T 4＝π3－π12，所以T ＝π，所以ω＝2. 则M ⎝⎛⎭⎫π12，A ，N ⎝⎛⎭⎫7π12，－A 由OM →·ON →＝0，得7π2122＝A2，所以A ＝7π12，所以A·ω＝7π6. 6． 已知函数f(x)＝2sin(ωx ＋φ) (ω>0)的图象关于直线x ＝π3对称，且f ⎝⎛⎭⎫π12＝0，则ω的最小值为________．答案 2解析 由f ⎝⎛⎭⎫π12＝0知⎝⎛⎭⎫π12，0是f(x)图象的一个对称中心，又x ＝π3是一条对称轴，所以应有⎩⎪⎨⎪⎧ω>02πω≤4⎝⎛⎭⎫π3－π12， 解得ω≥2，即ω的最小值为2.7． (2012·课标全国改编)已知ω>0，函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是________．答案 ⎣⎡⎦⎤12，54解析 由π2<x<π， ω>0得ωπ2＋π4<ωx ＋π4<ωπ＋π4， 又y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎫π2，3π2上递减， 所以⎩⎨⎧ ωπ2＋π4≥π2ωπ＋π4≤3π2，解得12≤ωπ≤54. 8． 函数f(x)＝sin πx ＋cos πx ＋|sin πx －cos πx|对任意的x ∈R 都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x2－x1|的最小值为________．答案 34解析 依题意得，当sin πx －cos πx≥0，即sin πx≥cos πx 时，f(x)＝2sin πx ；当sin πx －cos πx<0，即si n πx<cos πx 时，f(x)＝2cos πx.令f(x1)、f(x2)分别是函数f(x)的最小值与最大值，结合函数y ＝f(x)的图象可知，|x2－x1|的最小值是34. 9．已知f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－m 在x ∈[0，π2]上有两个不同的零点，则m 的取值范围为________． 答案 [1,2)解析 函数f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－m 在x ∈[0，π2]上有两个不同的零 点，等价于方程m ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6在区间[0，π2]上有两解．作出如图的图象，由于右端点的坐标是⎝⎛⎭⎫π2，1，由图可知，m ∈[1,2)．10．关于函数f(x)＝sin 2x －cos 2x 有下列命题：①y ＝f(x)的周期为π；②x ＝π4是y ＝f(x)的一条对称轴；③⎝⎛⎭⎫π8，0是y ＝f(x)的一个对称中心；④将y ＝f(x)的图象向左平移π4个单位，可得到y ＝2sin 2x 的图象，其中正确命题的序号是______(把你认为正确命题的序号都写上)．答案 ①③解析 由f(x)＝sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4， 得T ＝2π2＝π，故①对； f ⎝⎛⎭⎫π4＝2sin π4≠±2，故②错； f ⎝⎛⎭⎫π8＝2sin 0＝0，故③对；y ＝f(x)的图象向左平移π4个单位， 得y ＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π4－π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， 故④错．故填①③.二、解答题11．已知函数f(x)＝12sin 2xsin φ＋cos2xcos φ－12·sin ⎝⎛⎭⎫π2＋φ(0<φ<π)，其图象过点⎝⎛⎭⎫π6，12. (1)求φ的值；(2)将函数y ＝f(x)的图象上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g(x)的图象，求函数g(x)在⎣⎡⎦⎤0，π4上的最大值和最小值． 解 (1)∵f(x)的图象过点⎝⎛⎭⎫π6，12，∴12＝12sin π3sin φ＋cos2π6cos φ－12sin ⎝⎛⎭⎫π2＋φ. 化简得32sin φ＋12cos φ＝1，即sin ⎝⎛⎭⎫φ＋π6＝1. ∵0<φ<π，∴π6<φ＋π6<7π6. 因此φ＝π3. (2)由(1)知f(x)＝34sin 2x ＋12cos2x －14 ＝34sin 2x ＋14cos 2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.将f(x)图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，得函数y ＝g(x)的图象， ∴g(x)＝12sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6. ∵0≤x≤π4，∴π6≤4x ＋π6≤76π. 因此当4x ＋π6＝π2时，g(x)有最大值12； 当4x ＋π6＝76π时，g(x)有最小值－14. 故g(x)的最大值、最小值分别为12与－14. 12． (2012·湖南)已知函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫x ∈R ，ω>0，0<φ<π2的部分图象如图所示．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数g(x)＝f ⎝⎛⎭⎫x －π12－f ⎝⎛⎭⎫x ＋π12的单调递增区间． 解 (1)由题设图象知，周期T ＝2⎝⎛⎭⎫11π12－5π12＝π，所以ω＝2πT ＝2. 因为点⎝⎛⎭⎫5π12，0在函数图象上，所以Asin ⎝⎛⎭⎫2×5π12＋φ＝0， 即sin ⎝⎛⎭⎫5π6＋φ＝0. 又因为0<φ<π2，所以5π6<5π6＋φ<4π3. 从而5π6＋φ＝π，即φ＝π6. 又点(0,1)在函数图象上，所以Asin π6＝1，解得A ＝2. 故函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. (2)g(x)＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12＋π6－2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π12＋π6 ＝2sin 2x －2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝2sin 2x －2⎝⎛⎭⎫12sin 2x ＋32cos 2x ＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 由2kπ－π2≤2x －π3≤2kπ＋π2，k ∈Z ， 得kπ－π12≤x≤kπ＋5π12，k ∈Z. 所以函数g(x)的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤kπ－π12，kπ＋5π12，k ∈Z.13．已知函数f(x)＝3sin 2x －2sin2x ＋2，x ∈R.(1)求函数f(x)的最大值及对应的x 的取值集合；(2)画出函数y ＝f(x)在[0，π]上的图象．解 (1)f(x)＝3sin 2x ＋cos 2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋1，当2x ＋π6＝2kπ＋π2 (k ∈Z)时，f(x)取最大值3，此时x 的取值集合为{x|x ＝kπ＋π6，k ∈Z}．(2)列表如下：x 0 π6 5π12 2π3 11π12 π2x ＋π6 π6 π2 π 3π2 2π 13π6y 2 3 1 －1 1 2图象如下：。
高中数学(理)知识清单-专题02 函数的图像与性质(考点解读)(原卷+解析版)
关于直线 x＝a 对称
y＝f(x)
――→
y＝f(2a－x)，
关于原点对称
y＝f(x) ――→ y＝－f(－x)．
高频考点一 函数表示及定义域、值域
例 1、【2019 年高考江苏】函数 y 7 6x x2 的定义域是
。
【举一反三】（2018 年江苏卷）函数
的定义域为______ _
_。
【变式探究】 (1)已知函数 f(x)的定义域为(－1,0)，则函数 f(2x＋1)的定义域为( )
②存在 x0∈I，使 f(x0)＝M，那么称 M 是函数 y＝f(x)的最大值(或最小值)．
知识点 3．函数图象
(1)函数图象部分的复习应该解决好画图、识图、用图三个基本问题，即对函数图象的掌握有三方面的
要求：
①会画各种简单函数的图象；
②能依据函数的图象判断相应函数的性质；
③能用数形结合的思想以图辅助解题．
知识点 1．函数 对应法则 f
(1)映射：集合 A(A 中任意 x) ――→ 集合 B(B 中有唯一 y 与 A 中的 x 对应)． (2)函数：非空数集 A―→非空数集 B 的映射，其三要素：定义域 A、值域 C(C⊆B)、对应法则 f. ①求函数定义域的主要依据： (Ⅰ)分式的分母不为零； (Ⅱ)偶次方根被开方数不小于零； (Ⅲ)对数函数的真数必须大于零； (Ⅳ)指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于 1； (Ⅴ)正切函数 y＝tanx 中，x 的取值范围是 x∈R，且 x≠kπ＋π2，k∈Z. ②求函数值域的方法：无论用什么方法求值域，都要优先考虑定义域，常用的方法有基本函数法、配 方法、换元法、不等式法、函数的单调性法、函数的有界性法、导数法． ③函数图象在 x 轴上的正投影对应函数的定义域；函数图象在 y 轴上的正投影对应函数的值域． 知识点 2．函数的性质 (1)函数的奇偶性 如果对于函数 y＝f(x)定义域内的任意一个 x，都有 f(－x)＝－f(x)(或 f(－x)＝f(x))，那么函数 f(x)就叫做 奇函数(或偶函数)． (2)函数的单调性 函数的单调性是函数的又一个重要性质．给定区间 D 上的函数 f(x)，若对于任意 x1、x2∈D，当 x1<x2 时，都有 f(x1)<f(x2)(或 f(x1)>f(x2))，则称 f(x)在区间 D 上为单调增(或减)函数．反映在图象上，若函数 f(x)是
高考函数的图像与性质
3．已知实数
x 4 ，x≥0 a≠1，函数 f(x)＝ a－x 2 ，x<0
，若 f(1－a)＝f(a－1)，
则 a 的值为________．
解析：当 a<1 时，4 1 答案：2
1－a
1 ＝2 ，a＝2，当 a>1 时，代入不成立．
1
a 4．在同一直角坐标系中，函数 y＝ax －x＋ 与 y＝a2x3－2ax2＋x 2 ＋a(a∈R)的图象不可能 的是( B ) ．．．
Байду номын сангаас
[方法规律] (1)求函数定义域实质是解不等式或不等式组，注意 相关不等式的解法． (2)在分段函数中求解形如 f(g(x))的函数， 要遵循先内后外的原则， 在不确定自变量在哪一段时应注意分类讨论.
热点考向二 函数的图象及其应用 [典例 2] (1)如图是张大爷离开家晨练过程中离家距离 y 与行走 时间 x 的函数 y＝f(x)的图象．若用黑点表示张大爷家的位置，则张大 爷行走的路线可能是( D )
解析：当 x≥0 时，函数 g(x)的零点即方程 f(x)＝x－3 的根，由 x2 －3x＝x－3，解得 x＝1 或 3； 当 x<0 时，由 f(x)是奇函数得－f(x)＝f(－ x)＝x2－3(－x)，即 f(x)＝－x2－3x.由 f(x)＝x－3 得 x＝－2－ 7(正根舍 去)．故选 D. 答案：D
高考数学第二轮总复习第2讲-函数的图象与性质
即 2x 2 2x
1 a
2x 2 2x
1 a
0，所以a
2，
所以fx1 2源自(12x2x )． 1
2证明：设x1 x2，
则f
x1
f
x2
1 2x1 22x1 1
1 2x2 22x2 1
2x2 2x1
.
2x1 12x2 1
因为x1 x2，所以2x1 2x2，所以f x1 f x2 ， 故f x是R上的减函数．
必考点．周期性问题往往根据特殊值探究． 观察函数值的规律或由图象的对称性特点归 纳函数的周期性进行探讨．
2 掌握好各种基本初等函数的单调性条件，
同时注意分段函数的单调性讨论时各段之 间的关系．
三、函数的图象及应用
例31函数f x 1 log2 x与g x 2x1在同
一直角坐标系下的图象大致是( )
(4)函数单调性的判定与应用，常利用基本初等函 数的单调性或运用单调性的定义及导数法处理． (5)函数的值域或最值的求解常应用函数单调性、 基本不等式，化归为一元二次函数或应用导数理 论． (6)函数图象问题常借助基本初等函数的图象，通 过平移、翻折、伸缩、对称变换进行探究．
一、函数的概念及三要素
B．(2， )
C．(1，3 4)
D．( 3 4，2)
解析：1 f x 1 log2 x的图象由y log2 x
的图象向上平移一个单位长度得到，
对于g x 2x1，当x 0时，g x 2.故选C. 2由f x 2 f x 2，知f x是周期为4的
周期函数，于是可得f x在2,6上的草图
x
2x 2x1
b a
是奇函数．
1求a，b的值；
2证明：函数f x在R上是减函数；
高三数学图像与性质知识点
高三数学图像与性质知识点数学是一门抽象而又具有广泛应用的学科，图像与性质是其中重要的知识点之一。
通过研究数学图像的特性与性质，我们可以更好地理解数学概念，掌握解题方法，提高数学水平。
下面将介绍一些高三数学中常见的图像与性质知识点。
一、函数图像的性质函数是数学中的一种关系。
函数图像的性质是我们研究函数的基础。
常见函数图像的性质有：1. 奇偶性：若函数 f(x) 满足 f(-x) = f(x)，则函数具有偶性；若函数 f(x) 满足 f(-x) = -f(x)，则函数具有奇性。
奇偶性可以通过函数的图像对称性来判断。
2. 单调性：若函数 f(x) 在区间 I 上任意两点 x₁和 x₂，若 x₁< x₂，则有 f(x₁) <= f(x₂)，则函数 f(x) 在区间 I 上是递增的；若f(x₁) >= f(x₂)，则函数 f(x) 在区间 I 上是递减的。
3. 周期性：若函数 f(x) 满足 f(x + T) = f(x)，其中 T 为常数>0，则函数具有周期性。
其中最常见的是三角函数的周期性。
二、曲线的方程与图像曲线是数学中研究的重要对象，它是函数图像的一种特殊情况。
在高三数学中，我们需要掌握曲线的方程与图像之间的关系。
1. 一次函数：一次函数的方程为 y = kx + b，其中 k 和 b 是常数。
一次函数的图像是一条直线，其斜率 k 决定了直线的斜率，而常数 b 决定了直线与 y 轴的截距。
2. 二次函数：二次函数的方程为 y = ax² + bx + c，其中 a、b 和c 是常数，且a ≠ 0。
二次函数的图像是一条抛物线，其开口的方向由 a 的正负决定，常数 c 决定了抛物线与 y 轴的截距。
3. 三角函数：三角函数是以单位圆上一点的坐标作为函数值的函数。
常见的三角函数有正弦函数 y = sin(x)，余弦函数 y = cos(x) 和正切函数 y = tan(x) 等。
高二函数图像的性质知识点
高二函数图像的性质知识点函数图像的性质是高中数学中一个重要的知识点，尤其在高二学习中更加突出。
在本文中，我们将介绍高二函数图像的性质，包括函数的奇偶性、对称性、单调性和周期性等方面。
一、函数的奇偶性在研究函数的性质时，奇偶性是一个重要的方面。
函数的奇偶性是指函数的图像关于y轴或者原点的对称性。
具体而言，如果对于函数中的任意一个点(x, y)，当x取相反数时，y的值也取相反数，那么这个函数就是偶函数；如果对于函数中的任意一个点(x, y)，当x取相反数时，y的值取相反数的相反数，即：y=-y，那么这个函数就是奇函数。
二、函数的对称性除了奇偶性之外，函数还具有其他的对称性。
在函数图像中，如果图像关于y轴对称，也就是说函数中的任意一个点(x, y)对应的点(-x, y)也在函数图像中，那么这个函数就具有关于y轴的对称性。
类似地，如果图像关于原点对称，也就是说函数中的任意一个点(x, y)对应的点(-x, -y)也在函数图像中，那么这个函数就具有关于原点的对称性。
三、函数的单调性函数的单调性是函数图像的一个重要性质。
在函数中，如果对于任意两个实数x1和x2，当x1小于x2时，对应的y1和y2也满足y1小于y2，那么这个函数就是增函数；如果对于任意两个实数x1和x2，当x1小于x2时，对应的y1和y2也满足y1大于y2，那么这个函数就是减函数。
增函数的图像呈现逐渐上升的趋势，减函数的图像呈现逐渐下降的趋势。
四、函数的周期性某些函数具有周期性，即函数图像在一定范围内重复出现。
周期性可以通过函数的图像观察得到，当函数在一个周期内的取值规律与整个函数的取值规律相似时，就具有周期性。
例如，三角函数就是一类常见的周期函数，如正弦函数和余弦函数等。
综上所述，高二函数图像的性质包括函数的奇偶性、对称性、单调性和周期性等方面。
这些性质能够帮助我们更好地理解函数的图像，从而更好地解决与函数相关的问题。
对于高二学生来说，掌握这些性质是非常重要的，它们不仅能够帮助我们在学习中深入理解函数的本质，还能够应用到实际问题的解决中。
吉林数学高三复习知识点2023
吉林数学高三复习知识点2023 2023年吉林数学高三复习知识点随着时间的推移，2023年即将迈向我们的生活。
对于即将参加吉林省高三数学考试的学生们来说，复习各个知识点显得尤为重要。
本文将为大家整理出2023年吉林数学高三复习的主要知识点，希望能为大家的备考提供帮助。
一、函数与方程1. 函数的定义与性质- 函数的概念和表示方法- 奇偶函数、周期函数和单调性- 反函数与复合函数2. 一次函数与二次函数- 一次函数的性质和图像- 二次函数的图像和性质- 函数式、参数与正负号的应用3. 三角函数与指数函数- 常见三角函数及其性质- 三角函数的图像和变换- 指数函数的性质和图像4. 根式函数与对数函数- 幂函数、根式函数、绝对值函数和双曲函数的性质- 对数函数的性质和图像- 指数方程与对数方程的解法二、平面解析几何1. 点、直线和平面- 直线与平面的位置关系- 点到直线距离的计算- 直线的斜率和截距2. 圆与圆锥曲线- 圆的性质和方程- 椭圆、双曲线和抛物线的基本性质- 圆锥曲线的参数方程和一般方程3. 向量的基本概念- 向量的表示方法- 向量的加减和数量积- 平面几何问题的向量解法三、立体几何1. 空间几何体- 点、直线和平面的性质- 多面体的名称和性质- 对称性与轴对称体2. 空间向量和坐标- 空间向量的基本运算- 向量方程和参数方程- 空间平面和直线的方程3. 空间解析几何- 空间中的点、直线和平面的位置关系- 点到直线和点到平面的距离- 空间几何问题的向量解法四、概率与统计1. 概率的基本概念- 随机事件和样本空间- 概率的计算方法- 事件的独立性和条件概率2. 排列与组合- 排列与组合的概念和计算- 二项式定理的应用- 概率与排列组合的联系3. 统计的基本概念- 数据的收集和整理- 中心位置和离散程度的度量- 统计图表和频率分布总结：本文总结了2023年吉林数学高三复习的主要知识点，包括函数与方程、平面解析几何、立体几何以及概率与统计。
吉林省高三数学知识点归纳
吉林省高三数学知识点归纳在高三数学的复习过程中，吉林省的学生需要对各种数学知识点进行归纳和总结。
本文将以吉林省高三数学的内容为基础，结合常见题型和易错知识点，对数学知识进行归纳概述。
一、函数及其应用1. 函数的定义和基本性质：函数的定义、反函数、奇偶性、周期性等基本概念与性质，关于函数的四则运算和复合运算等基本知识。
2. 一次函数：直线的斜率、函数的图像与解析式之间的关系，求解线性方程组，线性函数与图像的特征，解决相关问题。
3. 二次函数：二次函数图像的性质和变换、二次函数解析式、二次函数解的性质，解决与二次函数相关的最值、方程和不等式问题。
4. 指数与对数函数：指数函数和对数函数的概念与性质，指数与对数的运算与化简，指数和对数等式与不等式的解法，指数函数和对数函数在实际问题中的应用。
5. 三角函数：三角函数的概念与性质，三角函数图像、函数值的计算，三角函数的性质和简单变换，及其在实际问题中的应用。
6. 一元二次方程及不等式：一元二次方程和一元二次不等式的基本概念与性质，解一元二次方程和不等式的方法，一元二次方程和不等式在实际问题中的应用。
二、解析几何1. 直线和圆的方程和性质：直线的方程及其性质，直线的位置关系和夹角，圆的方程及其性质，圆与直线的位置关系和夹角，解决与直线和圆相关的几何问题。
2. 平面向量：向量的基本概念与性质，向量的坐标表示和运算，向量的数量积和向量积，向量的共线性和垂直性，解决与平面向量相关的几何问题。
3. 空间向量：空间向量的基本概念与性质，空间向量的坐标表示和运算，空间向量的数量积和向量积，空间向量的共面性和垂直性，解决与空间向量相关的几何问题。
4. 空间几何体的参数方程：点、直线和平面的参数方程的应用，解决与参数方程相关的几何问题。
三、概率与统计1. 随机事件与概率：随机事件、样本空间和概率的基本概念和性质，概率的计算公式，事件的独立性和互斥性，解决与随机事件和概率相关的问题。
吉林省数学高考复习专题02： 函数的图像与性质
吉林省数学高考复习专题02：函数的图像与性质姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）设为定义在上的奇函数，当时，(b为常数)，则A . 3B . 1C . -1D . -32. （2分）函数的零点个数为（）A . 0B . 1C . 2D . 33. （2分）函数零点所在大致区间是（）A . (1,2)B . (2,3)C . (3,4)D . (4,5)4. （2分） (2017高一上·佛山月考) 关于奇函数与偶函数，以下说法正确的是：（）A . 任何函数都可以表示成一个偶函数与一个奇函数的和；B . 任何函数都可以表示成一个偶函数与一个奇函数的差；C . 任何函数都可以表示成一个偶函数与一个奇函数的和，并且这种表示方法不唯一；D . 有些函数不能表示成一个偶函数与一个奇函数之和5. （2分）定义两种运算：，，则函数为（）A . 奇函数B . 偶函数C . 既奇且偶函数D . 非奇非偶函数6. （2分）(2018·黄山模拟) 已知图①中的图象对应的函数为，则图②中的图象对应的函数为（）A .B .C .D .7. （2分） (2020高一上·池州期中) 符号表示不超过x的最大整数，如，，定义函数．给出下列结论：①函数的定义域是R，值域为；②方程有无数个解；③函数是增函数；④函数为奇函数，其中正确结论的个数是（）A . 0B . 1C . 2D . 38. （2分） (2020高一上·湖州期末) 已知实数满足，下列五个关系式：① ；②；③ ；④ ；⑤ ，其中不可能成立的是（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个9. （2分）已知函数满足：和都是偶函数，当时，则下列说法错误的是（）A . 函数在区间[3，4]上单调递减；B . 函数没有对称中心；C . 方程在上一定有偶数个解；D . 函数存在极值点，且10. （2分）方程cosx=lgx的实根的个数是（）A . 1B . 2C . 3D . 无数11. （2分）已知函数f（x）=|lgx|，若0＜a＜b，且f（a）=f（b），则2a+b的取值范围是（）A . （2 ，+∞）B . [2 ，+∞）C . （3，+∞）D . [3，+∞）12. （2分） (2020高三上·双鸭山开学考) 已知函数是上的偶函数，且，当时，，则函数的零点个数是（）A . 3B . 4C . 5D . 6二、解答题 (共5题；共32分)13. （5分）已知函数f（x）=ax﹣1（a＞0且a≠1）（1）若函数y=f（x）的图象经过P（3，4）点，求a的值；（2）比较f(lg)与f(-2.1)大小，并写出比较过程；（3）若f（lga）=100，求a的值．14. （10分）已知函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R），满足f（0）=1，f（1）=0，且f（x+1）是偶函数．（1）求函数f（x）的解析式；（2）设h（x）= ，若对任意的x∈[t，t+2]，不等式h（x+t）≤h（x2）恒成立，求实数t 的取值范围．15. （5分）已知函数f（x）=ax（a＞0，a≠1）在[﹣2，2]上函数值总小于2，求实数a的取值范围．16. （2分） (2019高一上·嘉兴月考) 已知函数，则的单调递增区间是________，值域是________．17. （10分）(2020·成都模拟) 设函数．（1）当时，求不等式的解集；（2）若对任意都有，求实数的取值范围．三、填空题 (共4题；共5分)18. （1分） (2019高二下·玉林期末) 已知函数的定义域和值域都是，则 ________.19. （1分） (2019高二上·集宁月考) 给出以下四个命题：⑴命题，使得，则，都有；⑵已知函数f(x)＝|log2x|，若a≠b，且f(a)＝f(b)，则ab＝1；⑶若平面α内存在不共线的三点到平面β的距离相等，则平面α平行于平面β；⑷已知定义在上的函数满足函数为奇函数，则函数的图象关于点对称．其中真命题的序号为________．（写出所有真命题的序号）20. （1分） (2016高一上·铜仁期中) 函数的定义域是________21. （2分） (2018高一上·温州期中) 函数y=ln（x-1）的定义域为________；函数y=ln（x-1）的值域为________．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、解答题 (共5题；共32分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、答案：14-2、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：三、填空题 (共4题；共5分)答案：18-1、考点：解析：答案：19-1、考点：解析：答案：20-1、考点：解析：答案：21-1、考点：解析：。
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吉林省数学高考复习专题02：函数的图像与性质
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、单选题 (共11题；共22分)
1. （2分）(2018·淮南模拟) 设，， ,则（）
A .
B .
C .
D .
2. （2分）已知，则f[f（﹣7）]的值为（）
A . 100
B . 10
C . -10
D . -100
3. （2分） (2019高一上·长春期中) 函数的定义域为（）
A .
B .
C .
D .
4. （2分） (2017高一上·安庆期末) 下列函数中，与函数的定义域相同的函数是（）
A . y（x）=x•ex
B .
C .
D .
5. （2分）函数f(x)在区间[-4,7]上是增函数,则的一个单调增区间为（）
A . [-2,3]
B . [-1,7]
C . [-1,10]
D . [-10,-4]
6. （2分）若函数是奇函数，则常数a的值等于（）
A . -1
B . 1
C . -
D .
7. （2分） (2018高一上·舒兰月考) 若函数（，且）的图象经过第二、三、四象限，则一定有（）
A . 且
B . 且
C . 且
D . 且
8. （2分）已知45°＜α＜90°，函数f（x）=ax+b的图象如图，则函数g（x）=loga（x+b）的图象可能为（）
A .
B .
C .
D .
9. （2分）函数的图象如图所示，其中为常数，则下列结论正确的是（）
A .
B .
C .
D .
10. （2分） (2016高一上·桂林期中) 下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）
A . y=x+1
B . y=﹣x2
C . y=
D . y=x|x|
11. （2分） (2016高一上·临沂期中) 函数f（x）= 的定义域是（）
A . （﹣∞，3）
B . [2，+∞）
C . （2，3）
D . [2，3）
二、填空题 (共5题；共6分)
12. （1分） (2020高一上·天津期末) 若，则 ________．
13. （1分） (2020高三上·静安期末) 设我们可以证明对数的运算性质如下：
.我们将式称为证明的“关键步骤”.则证明（其中）的“关键步骤”为________.
14. （2分）已知定义在上的函数满足，且在上是增函数,不等式
对任意恒成立,则实数的取值范围是（）
A .
B .
C .
D .
15. （1分） (2020高一下·成都期末) 已知，若数列的前项和，则 ________．
16. （1分） (2019高一上·张家港月考) 设函数，若，则 ________．
参考答案一、单选题 (共11题；共22分)
答案：1-1、
考点：
解析：
答案：2-1、
考点：
解析：
答案：3-1、
考点：
解析：
答案：4-1、考点：
解析：
答案：5-1、考点：
解析：
答案：6-1、考点：
解析：
答案：7-1、考点：
解析：
答案：8-1、考点：
解析：
答案：9-1、考点：
解析：
答案：10-1、考点：
解析：
答案：11-1、考点：
解析：
二、填空题 (共5题；共6分)答案：12-1、
考点：
解析：
答案：13-1、
考点：
解析：
答案：14-1、
考点：
解析：
答案：15-1、考点：
解析：
答案：16-1、考点：
解析：。