2020年湖南省普通高中学业水平考试合格性考试数学试卷(清晰版)
2020年湖南省高中数学学业水平考试仿真试题(原卷+答案)
（1）当 ＝λ 时，求实数λ和 tanx 的值； （2）设函数 f（x）＝ • ，求 f（x）的最小正周期和单调递减区间． 18．（8 分）如图，在三棱锥 P﹣ABC 中，平面 PAB⊥平面 ABC，△PAB 是等边三角形，AC⊥BC，且 AC＝BC＝2， O、D 分别是 AB，PB 的中点． （1）求证：PA∥平面 COD； （2）求三棱锥 P﹣ABC 的体积．
2020 年湖南省高中数学学业水平考试仿真试卷
一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分）
1．（4 分）已知集合 M＝{0，1}，集合 N 满足 M∪N＝{0，1}，则集合 N 共有（ ）个．
A．1
B．2
C．3
D．4
2．（4 分）直线 x+2y+2＝0 与直线 2x+y﹣2＝0 的交点坐标是（ ）
则 N⊆M，
故 N＝∅，{0}，{1}，{0，1}共 4 种可能，
故选：D．
2．（4 分）直线 x+2y+2＝0 与直线 2x+y﹣2＝0 的交点坐标是（ ）
A．（2，﹣2）
B．（﹣2，2）
C．（﹣2，1）
D．（3，﹣4）
【解答】解：根据题意，联立
，
解可得
，
即直线 x+2y+2＝0 与直线 2x+y﹣2＝0 的交点坐标是（2，﹣2）； 故选：A． 3．（4 分）不等式 2x+y﹣3≤0 表示的平面区域（用阴影表示）是（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【解答】解：根据指数函数的性质：
当 x＝1 时，f（x）取得最大值，那么 x＝2 取得最小值， 或者 x＝1 时，f（x）取得最小值，那么 x＝2 取得最大值． ∴a+a2＝6． ∵a＞0，a≠1， ∴a＝2． 故选：A．
2020年湖南省普通高中学业水平考试样卷
2020年湖南省普通高中学业水平考试样卷一、选择题（共本大题10个小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个正确选项）1.下列几何体中为圆锥的是（ ）2.已知集合A a A ∈=4},,3,2,1{，则=a （ ） A.1 B.2 C.3 D.43.函数x y 2sin =的最小正周期是（ ） A.π4 B.π2 C.π D.2π 4.某班有男生30人，女生20人，现用分层抽样的方法从中抽取10人参加一项活动，则抽取的男生的人数为（ ）A.5B.6C.7D.8 5.为了得到函数y =cos(x +π4)的图象，只需将y =cosx 的图象向左平移（ ） A.12个单位长度 B.π2个单位长度 C.14个单位长度 D.π4个单位长度6.已知向量)0,2(),1,1(==b a ，则=⋅b a （ ）A.0B.1C.2D.3 7.已知R c b a ∈>,，则下列不等式恒成立的是（ ）A.c b b a +>+B.bc ac >C.c b c a -<-D.22b a < 8.函数xx f 2)(=的图象大致为（ ）9.设ABC ∆的内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，若120,2===C b a ，则=c （ ） A.2 B.22 C.3 D.3210.已知直线043=++y x 与圆心在)0,2(的圆C 相切，则圆C 的方程为（ ） A.3)2(22=+-y x B.9)2(22=+-y x C.3)2(22=++y x D.9)2(22=++y x二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 11.若则1log 2=x ,则=x13.已知数列{a n }满足a 1=1，且a n+1−a n =2,a n =__________________.14.若关于x 的不等式0))((≤--n x m x 的解集为}42|{≤≤x x ，则=+n m . 15.已知棱长为2的正方体的顶点都在球面上，则球的表面积为___________.三、解答题（本大题共4小题，共40分，解答应写了相应的文字说明，证明过程及演算步骤） 16.（本小题10分）甲乙两个学习小组各有7名同学，在某次数学测试中，测试成绩的茎叶图如图所示. （1）求甲组同学成绩的中位数和乙组同学成绩的众数；（2）从这次测试成绩在90分以上的学生中，随机抽取1名学生，求抽到的这名学生来自甲组的概率.17. (本小题10分） 已知α为锐角，且sinα=45（1）求cosα的值； (2)求sin(2α+π4)的值.18. (本小题10分）如图所示，三棱柱111C B A ABC -中，⊥1AA 底面ABC ，AC AB ⊥. （1）求证：⊥AB 平面11A ACC ;（2）已知4,3==AC AB ，且异面直线1BB 与C A 1所成的角为 45，求三棱柱111C B A ABC -的体积.CABA 1B 1C 119. (本小题10分）已知二次函数1)1(2)(2--+=x a ax x f . （1）若)(x f 为偶函数，求a 的值；（2）判断函数)(x f 在区间)2,0(内是否有零点，请说明理由； （3）已知函数)22)((sin ππ<<-=x x f y 存在最小值)(a h ，求)(a h 的最大值.。
2020年湖南省普通高中学业水平考试数学模拟试题
A BC 正视图 侧视图 俯视图侧视图 俯视图2020年湖南省普通高中学业水平考试数学模拟试题一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1.如图是一个几何体的三视图,则该几何体为（ ）A ．球B ．圆柱C ．圆台D ．圆锥2．下列命题正确的是（ ）A ．如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行B ．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行C ．垂直于同一条直线的两条直线相互垂直D ．若两条直线与第三条直线所成的角相等，则这两条直线互相平行3、如右图为一个几何体的三视图，其中俯视图为正三角形，A 1B 1=2，AA 1=4，则该几何体的表面积为（ ） A 、6+3 B 、24+3C 、24+23D 、32 4．在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的几何体的体积是（ ）A ．23B ．76C ．45D ．56 5. 已知直线l ：1y x =+和圆C: 221x y +=，则直线l 和圆C 的位置关系为（ ）.A.相交B. 相切C.相离D. 不能确定6、直线053=-+y x 的倾斜角为（ ）A 、300B 、600C 、1200D 、15007．直线1x y +=与圆2220(0)x y ay a +-=>没有公共点，则a 的取值范围是（ ）A．1) B．1) C．(1) D．1) 8.已知直线012=--y x 与直线30x my ++=平行，则m 的值为 （ ）A ．21B ．21- C ．2- D ．2 9、直线2x+y+5=0上的点到原点距离的最小值为 ( ) A.5 B.10 C.52 D.10210.12:(3)(1)30:(1)(23)20l k x k y l k x k y ++--=-++-=和互相垂直，则k 的值是A. -3B. 0C. 0或-3D. 0或1二、填空题：（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11.直线123=-y x 的斜率是 ，在y 轴的截距为 12. 已知直线l 过点（0，7），且与直线42y x =-+垂直，则直线l 的方程为13．经过圆2220x x y ++=的圆心C ，且与直线0x y +=平行的直线方程是 ．14.已知圆C ：22(1)(2)x y -+-=4及直线l ：x-y+3=0，则直线l 被C 截得的弦长为15．设有四个条件：①平面γ与平面α、β所成的锐二面角相等；②直线a //b ，a ⊥平面α，b ⊥平面β；③a 、b 是异面直线，a α⊂，b β⊂，且a //β，b //α；④平面α内距离为d 的两条直线在平面β内的射影仍为两条距离为d 的平行线。
湖南省2024年高中学业水平合格考数学试卷试题(含答案详解)
湖南省2024年普通高中学业水平合格性考试考前押题卷（三）数学时量：90分钟，满分：100分本试题卷包括选择题､填空题和解答题三部分，共4页.注意事项：1.答题前，请考生先将自己的姓名､准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名､准考证号､考室和座位号；2.必须在答题卡上答题，在草稿纸､试题卷上答题无效；3.答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示；4.请勿折叠答题卡，保证字体工整､笔迹清晰､卡面清洁.一､单选题：本大题共18小题，每小题3分，共54分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}1,3A =，{}2,3,4B =，则A B ⋂等于（）A ．{}1B ．{}3C ．{}1,3D ．{}1,2,3,42．命题“0x ∃∈R ，2001x x +≥”的否定是（）A ．0x ∃∈R ，2001x x +<B ．0x ∃∈R ，2001x x +≤C ．x ∀∈R ，21x x +<D ．x ∀∈R ，21x x +≤3．设p ：四棱柱是正方体，q ：四棱柱是长方体，则p 是q 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．函数()ln(1)f x x =+的定义域是（）A ．(0,)+∞B ．[0,)+∞C ．[1,)-+∞D ．(1,)-+∞5．已知23m =，25n =，则2m n +的值为（）A ．53B ．2C ．8D ．156．图象中，最有可能是2log y x =的图象是（）A ．B ．C ．D ．7．复数1i z =+（i 为虚数单位）的模是（）A ．1B ．iC D ．28．已知扇形的半径为1，圆心角为60 ，则这个扇形的弧长为（）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．609．如图，在平行四边形ABCD 中，AB a=，AD b = ，则BD 可以表示为（）A ．a b +B ．b a- C ．()12a b+ D ．()12b a- 10．已知角θ的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点()4,3，则tan θ值为（）A ．35B ．45C ．43D ．3411．为了调查某地三所高中未成年人思想道德建设情况，省文明办采用分层抽样的方法从该地的A ，B ，C 三所中学抽取80名学生进行调查，已知A ，B ，C 三所学校中分别有400，560，320名学生，则从C 学校中应抽取的人数为（）A ．10B ．20C ．30D ．4012．已知a为非零向量，则()43a -⨯= （）A ．12a -B ．4a- C ．3a D ．10a13．下列命题为真命题的是（）A ．若a b >，则22a b >B ．若a b >，则ac bc >C ．若a b >，c d >，则a c b d +>+D ．若a b >，c d >，则ac bd >14．已知2nm =，则22m n +的最小值为（）A ．1B ．2C ．3D ．415．从5张分别写有数字1，2，3，4，5的卡片中随机抽取1张，则所取卡片上的数字是奇数的概率是（）A ．15B ．25C ．35D ．4516．已知sin y x =，则sin y x =上的所有点全部向右移动π6个单位的函数解析式是（）A ．πsin(6y x =+B ．πsin()6y x =-C ．πsin()3y x =+D ．πsin()3y x =-17．已知圆锥的底面半径是1，高是2，则这个圆锥的体积为（）A ．2π3B ．πC ．4π3D ．2π18．已知四棱锥S ABCD -底面为正方形，SD ⊥平面ABCD ，则（）A ．SB SC ⊥B ．SD AB ⊥C ．SA ⊥平面ABCDD ．//SA 平面SBC二､填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.19．函数,0(),0x x f x x x -<⎧=⎨≥⎩，则()3f =.20．函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期T=．21．函数()2f x x x =+的零点个数为．22．在ABC 中，3BC =，30A =︒，60B =︒，则AC =．三､解答题：本大题共3小题，每小题10分，共30分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.23．已知向量()1,2a =r ，()2,b x = ，()3,c y = ，且a b ⊥ ，a c ∥.(1)求向量b 与c的坐标；(2)若m a b =+ ，n a c =- ，求向量m 与n的夹角的大小.24．从某高校随机抽样1000名学生，获得了它们一周课外阅读时间（单位：小时）的样本数据，整理得到样本数据的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据的分组区间为：[]0,2，(]2,4，(]4,6，(]6,8，(]8,10，(]10,12，(]12,14.（1）求这1000名学生中该周课外阅读时间在(]8,10范围内的学生人数；（2）估计该校学生每周课外阅读时间超过6小时的概率.25．如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形，PD ⊥平面ABCD ，M ，N 分别是BC ，PC 的中点.(1)求证：//MN 平面PDB ；(2)求证：AC ⊥平面PDB .1．B【分析】根据交集的定义求解即可.【详解】集合{}1,3A =，{}2,3,4B =，则A B ⋂等于{}3.故选：B 2．C【分析】根据特称命题的否定形式的相关知识直接判断.【详解】命题“0x ∃∈R ，2001x x +≥”的否定为“x ∀∈R ，21x x +<”，故选：C.3．A【分析】结合正方体和长方体的定义，根据充分条件和必要条件的定义判断即可.【详解】正方体是特殊的长方体，而长方体不一定是正方体，所以p 是q 的充分不必要条件.故选：A.4．D【分析】根据真数大于0，即可求解.【详解】由题意可得10x +>，解得1x >-，所以函数()ln(1)f x x =+的定义域是(1,)-+∞.故选：D 5．D【分析】根据指数的运算求解即可.【详解】2223515m n m n +=⨯=⨯=.故选：D 6．C【分析】利用对数函数的定义域，确定图象位置即可判断作答.【详解】函数2log y x =的定义域为(0,)+∞，因此函数2log y x =的图象总在y 轴右侧，选项ABD 不满足，C 满足.故选：C 7．C【分析】由复数模计算公式可得答案.【详解】由题可得z =.故选：C 8．B【分析】根据扇形的弧长公式计算即可.【详解】易知π603=，由扇形弧长公式可得ππ133l =⨯=.故选：B 9．B【分析】根据向量减法运算法则直接计算.【详解】由题意得，BD AD AB =-，因为AB a=，AD b = ，所以BD AD AB b a =-=- .故选：B 10．D【分析】由三角函数的定义可得出tan θ的值.【详解】已知角θ的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点()4,3，由三角函数的定义可得3tan 4θ=.故选：D.11．B【分析】根据分层抽样原理求出从C 学校抽取的人数作答.【详解】依题意，从三所中学抽取80名学生，应从C 学校抽取的人数为3208020400560320⨯=++.故选：B 12．A【分析】根据数乘运算的运算性质计算即可.【详解】()4312a a -⨯=-.故选：A.13．C【分析】根据不等式的性质，结合特殊值判断.【详解】对于A ，取特殊值，1a =-，2b =-，满足条件，但不满足结论，故A 错误；对于B ，由a b >，若0c =，则ac bc =，故B 错误；对于C ，由同向不等式的性质知，a b >，c d >可推出a c b d +>+，故C 正确；对于D ，取3,0,1,2a b c d ===-=-，满足条件，但ac bd <，故D 错误.故选：C.14．D【分析】由基本不等式求解即可.【详解】2224m n mn +≥=，当且仅当“m n =”时取等.故22m n +的最小值为4.故选：D.15．C【分析】由古典概型计算公式可得答案.【详解】设随机抽取一张卡片为事件A ，抽取卡片数字为奇数为事件B ，则()()53,n A n B ==，则相应概率为()()35n B P n A ==.故选：C 16．B【分析】根据给定条件，利用函数图象变换求出函数解析式作答.【详解】把sin y x =上的所有点全部向右移动π6个单位的函数解析式是πsin()6y x =-.故选：B 17．A【分析】根据圆锥体积公式直接计算.【详解】由题意知，圆锥底面积为2π1πS =⨯=，圆锥的高2h =，则圆锥的体积为311π2332πV Sh ==⨯⨯=.故选：A 18．B【分析】推导出BC SC ⊥，可判断A 选项；利用线面垂直的性质可判断B 选项；利用反证法可判断CD 选项.【详解】对于A 选项，因为SD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，则BC SD ⊥，因为四边形ABCD 为正方形，则BC CD ⊥，因为SD CD D = ，SD 、CD ⊂平面SCD ，所以，BC ⊥平面SCD ，因为SC ⊂平面SCD ，则BC SC ⊥，故SBC ∠为锐角，A 错；对于B 选项，因为SD ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，则SD AB ⊥，B 对；对于C 选项，若SA ⊥平面ABCD ，且SD ⊥平面ABCD ，则SA 、SD 平行或重合，矛盾，假设不成立，C 错；对于D 选项，若//SA 平面SBC ，则SA 与平面SBC 无公共点，这与SA 平面SBC S =矛盾，假设不成立，D 错.故选：B.19．3【分析】根据给定的分段函数，代入计算作答.【详解】函数,0(),0x x f x x x -<⎧=⎨≥⎩，所以()33f =.故答案为：320．π【分析】根据正余弦函数的周期公式2T πω=即可求解.【详解】根据正余弦函数的周期公式2T πω=可知：函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期22T ππ==，故答案为：π.21．2【分析】函数的零点个数就是对应方程的实数根的个数，直接解方程求解.【详解】令20x x +=，解得：0x =或=1x -，函数的零点个数就是方程20x x +=的实数根的个数，所以函数的零点有2个.故答案为：2【点睛】本题考查函数零点个数，属于基础题型.22．【分析】根据给定条件，利用正弦定理计算作答.【详解】在ABC 中，3BC =，30A =︒，60B =︒，由正弦定理sin sin AC BCB A =，得sin 3sin 60sin sin 30BC B AC A ︒===︒故答案为：23．(1)()2,1b =-r，()3,6c = (2)3π4【分析】（1）根据向量垂直和平行列方程，化简求得,x y ，进而求得b 与c.（2）先求得m 与n，然后根据夹角公式求得正确答案.【详解】（1）由于a b ⊥ ，a c ∥，所以22=01=23x y +⎧⎨⨯⨯⎩，解得1,6x y =-=，所以()2,1b =-r，()3,6c = .（2）()==3,1m a b + ，()==2,4n a c ---，=64=10m n m n ⋅---，所以cos ,=2m n m n m n⋅-⋅，由于0,πm n ≤≤ ，所以3π,=4m n .24．（1）200人；（2）0.700.【分析】（1）根据频数和为1，求出(]8,10的频率，即可求解；（2）根据频率分布直方图，求出(]6,8，(]8,10，(]10,12，(]12,14频率和，即可得出结论.【详解】（1）该周课外阅读时间在(]8,10的频率为：12(0.0250.0500.0750.1500.0750.025)0.200-⨯+++++=，该周课外阅读时间在(]8,10范围内的学生人数10000.200200⨯=人；（2）阅读时间超过6小时的概率为：2(0.1500.1000.0750.025)0.700⨯+++=，所以估计该校学生每周课外阅读时间超过6小时的概率为0.700.【点睛】本题考查补全频率分布直方图以及应用，属于基础题.25．(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）根据中位线的性质证明MN PB ∥即可；（2）根据线面垂直的判定与性质，证明AC BD ⊥，AC PD ⊥即可【详解】（1）因为M ，N 分别是BC ，PC 的中点，故MN PB ∥.又PB ⊂平面PDB ，MN ⊄平面PDB ，故//MN 平面PDB.（2）因为PD ⊥平面ABCD ，且AC ⊂平面ABCD ，故AC PD ⊥.又因为四棱锥P ABCD -的底面是正方形，则AC BD ⊥.又BD PD D = ，,BD PD ⊂平面PDB ，故AC ⊥平面PDB.。
2020年湖南省普通高中学业水平合格性仿真考试数学试卷参考答案
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2020年湖南省仿普真通考高中数学学业参水考平答合案格!性第仿!真页考试数学试卷
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2020年湖南省普通高中学业水平合格性考试仿真模拟试题数学试题(解析版)
2020年湖南省普通高中学业水平合格性考试仿真模拟试题数 学全卷共19小题，满分100分，考试时间为90分钟一､选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1.2sin 22.5cos22.5︒︒的值为（ ）A.2B.4C.12D.22.已知集合{}1,0,2A =-，}3{B x =，，若{}2A B ⋂=，则x 的值为（ ） A. 3B. 2C. 0D. 1-3.函数()(1)(2)f x x x =-+的零点个数是（ ） A. 0B. 1C. 2D. 34.函数()22log 4y x =-的定义域为（ ） A. RB. (,2)(2,)-∞-+∞UC. (,2)(2,)-∞⋃+∞D. (2,)+∞5.已知两个平面相互垂直，下列命题①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线 ②一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线 ③一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面 其中正确命题个数是（ ） A. 3B. 2C. 1D. 06.已知直线l 1:y=2x+1,l 2:y=2x+5,则直线l 1与l 2的位置关系是( ) A. 重合 B. 垂直 C. 相交但不垂直D. 平行7.袋内装的红､白､黑球分别有3，2，1个，从中任取两个球，则互斥而不对立的事件是（ ） A. 至少一个白球；都白球 B. 至少一个白球；至少一个黑球 C. 至少一个白球；一个白球一个黑球D. 至少一个白球；红球､黑球各一个8．在△ABC 中，ab b c a =+-222，则角C 为（ ）A ．45°或135°B ．60°C ．120°D ．30°9.在等差数列{}n a 中，21a =，33a =，则其前10项和为（ ） A. 60B. 80C. 100D. 12010.在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下面一组实验数据(见下表)：现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是( )x 1.99 3 4 5.1 6.12 y1.54.047.51218.01A. y ＝2x －2B. y ＝12(x 2－1) C. y ＝log 2xD. y ＝12x⎛⎫ ⎪⎝⎭二､填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分）11．经过圆2220x x y ++=的圆心C ，且与直线0x y +=垂直的直线方程是 ．12.已知3a =r ，4b =r ，()(2)23a b a b +⋅+=r r r r，那么a r 与b r 的夹角为____________.13.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是平行四边形，PA AD =，则异面直线PD 与BC 所成角的大小是_______________.14．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，且14a =，*1,n n a S n +=∈N ，则5a =________．15．已知236()(0)1x x f x x x ++=>+，则()f x 的最小值是___________.三､解答题（本大题共4小题，每小题10分，满分40分）16.已知函数()4sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. （1）求()f x 最小正周期.。
2024年湖南省普通高中学业水平合格性考试(压轴卷)数学试题(解析版)
湖南省普通高中学业水平合格性考试（压轴卷）数学时量：90分钟满分：100分一、选择题：本大题共18小题，每小题3分，共54分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合{}|24A x x =<<，{}|13B x x =≤≤，则A B ⋃=（）A.{}|23x x <≤B.{}|23x x <≤C.{}|14x x ≤< D.{}|14<<x x 【答案】C 【解析】【分析】由并集的定义可得出答案.【详解】因为{}|24A x x =<<，{}|13B x x =≤≤，所以{}|14A B x x =≤< ，故选：C.2.“1x >”是“21x >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据充分条件与必要条件的定义判断即可.【详解】解：因为1x >，则21x >，但是21x >不一定有1x >，所以“1x >”是“21x >”成立的充分不必要条件．故选：A ．3.已知角θ的终边经过点(1,P ，则cos θ的值为（）A.B.C.1 D.12【答案】D【解析】【分析】根据三角函数定义求解即可.【详解】由任意角的三角函数定义可得1cos 2θ==.故选：D.4.命题“(0,),ln 1x x x ∃∈+∞=-”的否定是（）A.(0,),ln 1x x x ∃∈+∞≠-B.(0,),ln 1x x x ∃∉+∞=-C.(0,),ln 1x x x ∀∈+∞≠-D.(0,),ln 1x x x ∀∉+∞=-【答案】C 【解析】【分析】根据存在量词命题的否定形式，即可求解.【详解】存在量词命题的否定为全称量词命题，所以命题“(0,),ln 1x x x ∃∈+∞=-”的否定是“(0,),ln 1x x x ∀∈+∞≠-”.故选：C5.如图，一只转盘，均匀标有8个数，现转动转盘，则转盘停止转动时，指针指向偶数的概率是（）A.12B.25C.35D.23【答案】A 【解析】【分析】利用概率公式计算即可得.【详解】共有8个数，其中偶数的个数为4个，故4182P ==.故选：A.6.在ABC 中，1c =，2a =，30C =︒，则A =（）A.60︒ B.90︒C.45︒D.120︒【答案】B 【解析】【分析】利用正弦定理，求出sin A ，从而求出角A .【详解】由正弦定理得，sin sin a cA C=，所以21sin sin 30A =︒，解得sin 1A =，由A 为三角形内角，所以90A =︒，故选：B.7.若平面//α平面β，l ⊂α，则l 与β的位置关系是（）A.l 与β相交B.l 与β平行C.l 在β内D.无法判定【答案】B 【解析】【分析】利用面面平行的性质定理即可得解.【详解】//αβ ，l ⊂α，利用线面平行的性质定理可得l //β.故选：B8.函数()2log 2y x =-在区间[]3,4上的最大值为（）A.0 B.1C.2D.4【答案】B 【解析】【分析】由定义域求出2x -的范围，进而求出y 的范围与最大值.【详解】因为[]3,4x ∈，所以[]21,2x -∈，所以()2log 2[0,1]x -∈，最大值为1，故选：B.9.sin690︒的值为（）A.12B.2C.12-D.32【解析】【分析】直接用诱导公式可求解.【详解】()1sin 690sin 72030sin 302︒=︒-︒=-︒=-故选：C10.若函数()225f x x ax =-+在区间[)1,+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是（）A.(],2∞- B.[)2,∞+ C.[)4,+∞ D.(],4-∞【答案】D 【解析】【分析】结合二次函数的对称轴，列式求实数a 的取值范围.【详解】由题意，得函数()f x 的图象的对称轴为直线4a x =．∵函数()225f x x ax =-+在区间[)1,+∞上是增函数，∴14a≤，解得4a ≤，∴实数a 的取值范围是(],4-∞．故选:D ．11.某射击运动员在同一条件下射击的成绩记录如表所示：射击次数501002004001000射中8环以上的次数4478158320800根据表中的数据，估计该射击运动员射击一次射中8环以上的概率为（）A.0.78B.0.79C.0.80D.0.82【答案】C 【解析】【分析】利用频率估计概率即可求解.【详解】大量重复试验，由表格知射击运动员射中8环以上的频率稳定在0.8，所以这名运动员射击一次射中8环以上的概率为0.8，故选：C.12.已知函数,0()ln ,0x e x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则((1))=f f （）A.e B.-1C.0D.1【答案】D【分析】先求得()1f ，然后求得()()1f f .【详解】()1ln10f ==，()()()0101f f f e ===.故选：D13.若函数()()sin R,0,02πy x x ωϕωϕ=+∈>≤<的部分图象如图，则（）A.π2=ω，π4ϕ=B.π3ω=，π2ϕ=C.π4ω=，π4ϕ=D.π4ω=，5π4ϕ=【答案】C 【解析】【分析】根据最小正周期求出ω，根据函数过点()1,1求出ϕ.【详解】由图可知3124T =-=，所以8T =，又0ω>，所以2π8ω=，解得π4ω=；所以πsin 4y x ϕ⎛⎫=+⎪⎝⎭，又函数过点()1,1，所以πsin 14ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为0πϕ≤<2，所以ππ9π444ϕ≤+<，所以ππ42ϕ+=，所以π4ϕ=.故选：C14.关于函数()x x f x e e -=-，下列判断正确的是（）A.图象关于y 轴对称，且在(,)∞∞-+上是减函数B.图象关于y 轴对称，且在(,)∞∞-+上是增函数C.图象关于原点对称，且在(,)∞∞-+上是减函数D.图象关于原点对称，且在(,)∞∞-+上是增函数【解析】【分析】根据指数函数的单调性，结合函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性及单调性即可得解.【详解】解：函数的定义域为R ，因为()()xxf x e f x e--=-=-，所以函数是奇函数，图象关于原点对称，又因为,x x y e y e -==-都是R 上的减函数，所以函数()f x 在(,)∞∞-+上是减函数.故选：C .15.在空间四边形ABCD 中，AC=BD ，E ，F ，G ，H 分别是边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，顺次连接各边中点E ，F ，G ，H ，所得四边形EFGH 的形状是（）A.梯形 B.矩形C.正方形 D.菱形【答案】D 【解析】【分析】根据空间四边形中各点的位置，结合中位线的性质可得EFGH 是平行四边形，再由AC=BD 即可判断四边形EFGH 的形状.【详解】如图所示，空间四边形ABCD 中，连接AC ，BD 可得一个三棱锥，将四个中点连接，得到四边形EFGH ，由中位线的性质及基本性质4知，EH ∥FG ，EF ∥HG ；∴四边形EFGH 是平行四边形，又AC=BD ，∴HG=12AC=12BD=EH ，∴四边形EFGH 是菱形.故选：D 16.设10,,2,32α⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭，则使幂函数()f x x α=的定义域为R ，且为偶函数的α的值是（）A.0B.12C.2D.3【答案】C 【解析】【分析】分别对0α=，12，2，3时的幂函数分析判断即可【详解】当0α=时，()0f x x =，其定义域为{}0x x ≠，所以不合题意，当12α=时，()12f x x =，其定义域为{}0x x ≥，所以不合题意，当2α=时，2()f x x =，其定义域为R ，且为偶函数，所以符合题意，当3α=时，3()f x x =，其定义域为R ，而此函数为奇函数，所以不合题意，故选：C17.《九章算术》是我国古代的数学名著.其“商功”中记载：“正四面形棱台（即正四棱台）建筑物为方亭.”现有如图所示的烽火台，其主体部分为一方亭，将它的主体部分抽象成1111ABCD A B C D -的正四棱台（如图所示，其中上底面与下底面的面积之比为1:16，方亭的高为棱台上底面边长的3倍.已知方亭的体积为3567m ，则该方亭的上底面边长为（）mA.3B.4C.6D.12【答案】A 【解析】【分析】设11A B x =，表达出4AB x =，方亭的高为3x ，由棱台的体积公式列出方程，求出3x =，得到答案.【详解】因为上底面与下底面的面积之比为1:16，设11A B x =，则4AB x =，故方亭的高为3x ，故方亭的体积为(22221161635673x x x x x ++⋅⋅=，解得3x =，故113A B =m ，即该方亭的上底面边长为3m.故选：A18.已知函数()()252,13,1x a x x f x a x ⎧-+-≥=⎨-<⎩在(),∞∞-+上是增函数，则a 的取值范围为（）A.51,2⎛⎫⎪⎝⎭B.()1,2 C.52,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.(]1,2【答案】D 【解析】【分析】根据函数的单调性列不等式，由此求得a 的取值范围.【详解】由于()f x 在()-∞+∞，上是增函数，所以()1250125123a a a a ⎧-+>⎪>⎨⎪-+⨯-≥-⎩，解得12a <≤，所以a 的取值范围是(]1,2.故选：D二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，19.已知-组数据为1-，0，1，2，3．则该样本的平均数为______，中位数为______．【答案】①.1②.1【解析】【分析】根据题意，利用平均数的计算公式和中位数的概念及求法，即可求解.【详解】由样本数据1,0,1,2,3-，可则样本的平均数为1012315x -++++==，根据样本中位数的求法，可得样本数据的中位数为1.故答案为：1；1.20.已知i 是复数的虚数单位，且32ii ia b -=+(),a b ∈R ，则a b +的值为______．【答案】5-【解析】【分析】计算出32ii-，从而求出a ，b 以及a b +的值.【详解】因为232i (32i)i 3i 223i i i 1--+===---，所以2a =-，3b =-，所以5a b +=-，故答案为：5-.21.在ABC 中，若0AB AC ⋅<，则三角形ABC 为___________三角形.（填“锐角”､“钝角”或“直角”）【答案】钝角【解析】【分析】根据数量积的性质，判断出A 的范围，可得结论.【详解】解：因为cos 0AB AC AB AC A ⋅=<，故cos 0A <，而A 为三角内角，故A 为钝角，所以ABC 是钝角三角形.故答案为：钝角.22.设0a ＞，0b ＞，且21a b +=，则12a a a b++的最小值是_______．【答案】1+##1【解析】【分析】由换元法与基本不等式求解即可.【详解】设a xa b y=⎧⎨+=⎩，则b y x =-，21a b x y +=+=，12122211a x x y x y xa ab x y x y x y++=+=+=++≥+，当且仅当2y x xy=即1x =，2y =-时等号成立，故当1a =-，3b =-时，12aa a b++取最小值1+.故答案为：1+.三、解答题：本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，23.某工厂为了解甲、乙两条生产线所生产产品的质量，分别从甲、乙两条生产线生产的产品中各随机抽取了100件产品，并对所抽取产品的某一质量指数进行检测，根据检测结果按[2，4），[4，6），[6，8），[8，10]分组，得到如图所示的频率分布直方图．（1）分别求甲、乙生产线所生产产品的质量指数的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）若产品的质量指数在[8，10]内，则该产品为优等品．现采用分层抽样的方法从样品中的优等品中抽取6件产品，再从这6件产品中随机抽取2件产品进一步进行检测，求抽取的这2件产品中恰有1件产品是甲生产线生产的概率．【答案】（1）6X =甲，5X =乙（2）815【解析】【分析】（1）由频率分布直方图直接求甲、乙生产线所生产产品的质量指数的平均数即可；（2）先确定甲、乙生产线的样品中抽取的优等品的个数，再利用列举法写出所有情况，利用古典概率模型求解即可．【小问1详解】解：甲生产线所生产产品的质量指数的平均数为：30.05250.15270.2290.12 6.4x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=甲；乙生产线所生产产品的质量指数的平均数为：30.15250.1270.2290.052 5.6x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=乙．【小问2详解】由题意可知，甲生产线的样品中优等品有100×0.1×2＝20件，乙生产线的样品中优等品有100×0.05×2＝10件．从甲生产线的样品中抽取的优等品有20642010⨯=+件，记为a ，b ，c ，d ；从乙生产线的样品中抽取的优等品有10622010⨯=+件，记为E ，F ；从这6件产品中随机抽取2件的情况有：（a ，b ），（a ，c ），（a ，d ），（a ，E ），（a ，F ），（b ，c ），（b ，d ），（b ，E ），（b ，F ），（c ，d ），（c ，E ），（c ，F ），（d ，E ），（d ，F ），（E ，F ），共15种；其中符合条件的情况有：（a ，E ），（a ，F ），（b ，E ），（b ，F ），（c ，E ），（c ，F ），（d ，E ），（d ，F ），共8种．故所求概率815P =．24.如图，直三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别是AB ，1BB 的中点，122AA AC CB AB ===．（1）证明：1BC ∥平面1ACD ；（2）求异面直线1BC 和1A D 所成角的大小；【答案】（1）证明见解析（2）π6.【解析】【分析】（1）连接1AC 交1AC 于点F ，由三角形中位线定理得1//BC DF ，由此能证明1BC ∥平面1ACD ；（2）以C 为坐标原点，CA 的方向为轴正方向，CB 的方向为轴正方向，1CC 的方向为z 轴正方向，建立空间直角坐标系．利用向量法能求出异面直线1BC 与1A D 所成角．【小问1详解】证明：连接1AC 与1AC 相交于点F ，连接DF ，由矩形11ACC A 可得点F 是1AC 的中点，又D 是AB 的中点，1//BC DF ，1BC ⊄ 平面1A CD ，DF ⊂平面1A CD ，故1//BC 平面1ACD 【小问2详解】∵122AA AC CB AB ===，不失一般性令12AA AC CB ===，22AB =则222AC CB AB +=，∴AC BC ⊥．以C 为坐标原点，CA的方向为轴正方向，CB的方向为轴正方向，1CC 的方向为z 轴正方向，建立空间直角坐标系．则(1,1,0)D ，()10,0,2C ，()12,0,2A ，(0,2,0)B ，()10,2,2BC =- ，()11,1,2A D =-- ,设异面直线1BC 与1A D 所成角为θ，π(0]2,θ∈，则1111110243cos cos ,286BC A D BC A D BC A Dθ--⋅=〈〉==⋅ ，∴π6θ=，∴异面直线1BC 与1A D 所成角为π6.另解：由（1）得1A DF ∠或其补角为异面直线1BC 和1A D 所在角，设2AB =，则1112DF BC====，1A D ==11112A F A C==．在1A DF中，由余弦定理得，2221113cos 2A DF +-∠==，且()10,πA DF ∠∈，1π6A DF ∴∠=，∴异面直线1BC 和1A D 所成角的大小为π6..25.已知函数()1f x ax x=+．（1）判断()f x 的奇偶性；（2）若0a >，判断()f x 在⎛⎝的单调性，并用定义法证明；（3）若1a =，()()e 18xg x f =-，判断函数()g x 的零点个数，并说明理由．【答案】（1）奇函数（2）()f x 在⎛⎝上单调递减，证明见解析（3）()g x有两个不同的零点，理由见解析【解析】【分析】（1）根据奇偶性定义直接判断即可；（2）任取120x x <<<，可得()()()21211210f x f x x x a x x ⎛⎫-=--< ⎪⎝⎭，由单调性定义可得结论；（3）令e x t =，()()1180h t t t t =+->，令()0h t =可求得t 的值，由此可求得对应的x 的取值，即()g x 的零点.【小问1详解】由题意知：()f x 的定义域为()(),00,∞-+∞U ，()()1f x ax f x x-=--=- ，()f x \为定义在()(),00,∞-+∞U 上的奇函数.【小问2详解】()f x 在⎛ ⎝上单调递减，证明如下：任取120x x <<<()()()2121212112111f x f x ax ax x x a x x x x ⎛⎫-=+--=-- ⎪⎝⎭；120x x <<<，121x x a ∴<，1210a x x ∴-<，又210x x ->，()()210f x f x ∴-<，()f x \在⎛⎝上单调递减.【小问3详解】当1a =时，()1f x x x =+，()1e 18e x x g x ∴=+-；令e x t =，则0t >，()()1180h t t t t =+->；令()0h t =，解得：18852t ±=，e x t = 在R 上单调递增，∴当1885ln2x -=或1885ln 2x +=时，()0g x =，()g x ∴有两个不同的零点.。
2020年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷及答案
（第3题图）俯视图侧视图正视图2020年普通高中学业水平考试数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分. 1．已知集合{0,1,2}M =，{}N x =，若{0,1,2,3}M N =，则x 的值为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．02．设1,(1)()2,(1)x f x x x ⎧≥⎪=⎨⎪<⎩，则(1)f 的值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．-13．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体是（ ）. A.圆柱 B. 三棱柱 C.球 D.四棱柱4．函数2cos ,y x x R =∈的最小值是（ ）A ．-3B ．-1C ．1D ．35．已知向量(1,2),(,4)x ==a b ，若a ∥b ，则实数x 的值为（ ）A ．8B ．2C ．-2D ．-86．某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为600,400，800，为了了解教师的教学情况，该校采用分层抽样的方法，从这三个年级中抽取45名学生进行座谈，则高一、高二、高三年级抽取的人数分别为（ ） A ．15,5,25B ．15,15,15C ．10,5,30D ．15,10,207．某袋中有9个大小相同的球，其中有5个红球，4个白球，现从中任意取出1个，则取出的球恰好是白球的概率为（ ）A ．15 B ．14 C ．49 D ．598．已知点(,)x y 在如图所示的平面区域（阴影部分）内运动，则z x y =+的最大值是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．59．已知两点(4,0),(0,2)P Q ，则以线段PQ 为直径的圆的方程是（ ） A ．22(2)(1)5x y +++= B ．22(2)(1)10x y -+-=C ．22(2)(1)5x y -+-=D ．22(2)(1)10x y +++=10．如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点,A B 到点C 的距离1AC BC ==km ，且0120ACB ∠=，则,A B 两点间的距离为（ ）A B km C ．1.5km D ．2km（第14题图）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分． 11．计算：22log 1log 4+= .．12．已知1,,9x 成等比数列，则实数x = ．13．经过点(0,3)A ，且与直线2y x =-+垂直的直线方程是 ．14．某程序框图如图所示，若输入的x 的值为2，则输出的y 值为 .15．已知向量a 与b 的夹角为4π，2a =，且4a b =，则b = .三、解答题：本大题共5小题，满分40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分6分）已知1cos ,(0,22παα=∈（1）求tan α的值；（2）求sin()6πα+的值.某公司为了了解本公司职员的早餐费用情况，抽样调査了100位职员的早餐日平均费用（单位：元），得到如下图所示的频率分布直方图，图中标注a 的数字模糊不清.(1) 试根据频率分布直方图求a 的值，并估计该公司职员早餐日平均费用的众数；(2) 已知该公司有1000名职员，试估计该公司有多少职员早餐日平均费用不少于8元？18．（本小题满分8分） 如图，在三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，BC BD ⊥，3BC =，4BD =，直线AD 与平面BCD 所成的角为045，点,E F 分别是,AC AD 的中点. （1）求证：EF ∥平面BCD ； （2）求三棱锥A BCD -的体积.a （第17题图）FEDCBA（第18题图）已知数列{}n a 满足：313a =-，14n n a a -=+(1,)n n N >∈. （1）求12,a a 及通项n a ；（2）设n S 是数列{}n a 的前n 项和n S ，则数列1S ，2S ，3S ，…中哪一项最小？并求出这个最小值. 20．（本小题满分10分）已知函数()22x x f x λ-=+⋅()R λ∈ （1）当1λ=-时，求函数()f x 的零点； （2）若函数()f x 为偶函数，求实数λ的值; （3）若不等式12≤()f x ≤4在[0,1]x ∈上恒成立，求实数λ的取值范围.参考答案一、选择题二、填空题11、 2 ； 12、 ±3 ； 13、30x y -+=； 14； 15、 4三、解答题：16、（1）(0,),cos 02παα∈∴>，从而cos α=（2）2sin 2cos22sin cos 12sin ααααα+=+-=17、（1）高一有：20012001202000⨯=（人）；高二有20012080-=（人） （2）频率为0.015100.03100.025100.005100.75⨯+⨯+⨯+⨯=∴人数为0.7520001500⨯=（人） 18、（1）2(0)62()26(1)156f b a f x x x f a b b ===-⎧⎧⇒⇒=-+⎨⎨=++==⎩⎩ （2）22()26(1)5,[2,2]f x x x x x =-+=-+∈-1x ∴=时，()f x 的最小值为5，2x =-时，()f x 的最大值为14.19、(1)11232,2,4,8n n a a a a a -==∴==*12(2,)nn a n n N a -=≥∈，{}n a ∴为首项为2，公比为2的等比数列，1222n n n a -∴=⋅= (2)22log log 2n n n b a n ===，(1)1232n n n S n +∴=++++=20、（1）22:(1)(2)5C x y k ++-=-，(1,2)C ∴-（2）由505k k ->⇒< （3）由22224051680(1)(2)5x y y y k x y k-+=⎧⇒-++=⎨++-=-⎩设1122(,),(,),M x y N x y 则1212168,55k y y y y ++==，2241620(8)05k k ∆=-+>⇒<112212*********24,24,(24)(24)4[2()4]5k x y x y x x y y y y y y -=-=-∴=--=-++= 1212,0,OM ON x x y y ⊥∴+=即41688240()5555k k k k -++=⇒=<满足2014年湖南省普通高中学业水平考试试卷数 学本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共5页时量120分钟，满分100分.一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．如图是一个几何体的三视图，则该几何体为 A.圆柱 B.圆锥 C.圆台 D.球2.已知元素{0,1,2,3}a ∈，且{0,1,2}a ∉，则a 的值为 A.0 B.1 C.2 D.33.在区间[0,5]内任取一个实数，则此数大于3的概率为A.15 B. 25C.35 D.454.某程序框图如图所示，若输入x 的值为1，则输出y 的值是A.2B.3C.4D.55.在△ABC 中，若0AB AC ⋅=，则△ABC 的形状是 A.直角三角形 B.等腰三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形6.sin120的值为A.22B.1-C. 32D. 22-7.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线BD 与11A C 的位置关系是A.平行B.相交C.异面但不垂直D. 异面且垂直 8.不等式(1)(2)0x x +-≤的解集为A.{|12}x x -≤≤B. {|12}x x -<<C. {|12}x x x ≤-≥或D. {|12}x x x <->或9.点(,1)P m 不在不等式02<-+y x 表示的平面区域内，则实数m 的取值范围是 A.1m < B. 1m ≤ C.1m ≥ D.1m >10. 某同学从家里骑车一路匀速行驶到学校，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽误了一些时间，下列函数的图像最能符合上述情况的是二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分. 11. 样本数据2,0,6,3,6-的众数是 .12. 在ABC ∆中, 角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，已知11,2,sin 3a b A ===，则sin B ＝ .13. 已知a 是函数()22log f x x =-的零点, 则实数a 的值为 . 14.已知函数sin (0)y x ωω=>在一个周期内的图像如图所示，则ω的值为 .15. 如图1，矩形ABCD 中，2,,AB BC E F =分别是,AB CD 的中点，现在沿EF 把这个矩形折成一个二面角A EF C --（如图2）则在图2中直线AF 与平面EBCF 所成的角为 .三、解答题：本大题共5小题，满分40分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 16.（本小题满分6分）已知函数,[0,2],()4,(2,4].x x f x x x∈⎧⎪=⎨∈⎪⎩（1）画出函数()f x 的大致图像；（2）写出函数()f x 的最大值和单调递减区间.17.（本小题满分8分）某班有学生50人，期中男同学300人，用分层抽样的方法从该班抽取5人去参加某社区服务活动.（1）求从该班男、女同学中各抽取的人数；（2）从抽取的5名同学中任选2名谈此活动的感受，求选出的2名同学中恰有1名男同学的概率.18. （本小题满分8分）已知等比数列{}n a 的公比2q =，且234,1,a a a +成等差数列. （1）求1n a a 及；（2）设n n b a n =+，求数列{}n b 的前5项和5S .19. （本小题满分8分） 已知向量(1,sin ),(2,1).a b θ== （1）当6πθ=时，求向量2a b +的坐标；（2）若a ∥b ，且(0,)2πθ∈，求sin()4πθ+的值.20. （本小题满分10分）已知圆22:230C x y x ++-=. （1）求圆的圆心C 的坐标和半径长；（2）直线l 经过坐标原点且不与y 轴重合，l 与圆C 相交于1122(,),B(,)A x y x y 两点，求证：1211x x +为定值； （3）斜率为1的直线m 与圆C 相交于,D E 两点，求直线m 的方程，使△CDE 的面积最大.参考答案及评分标准一、选择题（每小题4分，满分40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案CDBBACDACA二 、填空题（每小题4分，满分20分） 11.6 12.23 13.4 14.2 15. 45（或4π）三 、解答题（满分40分）16. 解：(1)函数()f x 的大致图象如图所示; ……………………………2分 (2)由函数()f x 的图象得出,()f x 的最大值为2, ………………4分其单调递减区间为[]2,4.…………6分17. 解: (1)305350⨯=(人), 205250⨯=(人), 所以从男同学中抽取3人, 女同学中抽取2人; ……………………………………4分 (2)过程略. 3()5P A =. ……………………………………………………………………………8分18. 解: (1)12n n a -=; ………………………………………………………………4分 (2)546S =. ……………………………………………………………………………8分 19. 解: (1)()4,2; …………………………………………………………………4分 (2)264+. ………………………………………………………………………8分 20. 解: (1)配方得()2214x y ++=, 则圆心C 的坐标为()1,0-,……………………2分 圆的半径长为2; ………………………………………………………………………4分 (2)设直线l 的方程为y kx =, 联立方程组22230x y x y kx⎧++-=⎨=⎩,消去y 得()221230k x x ++-=, ………………………………………………5分则有: 1221222131x x k x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩………………………………………………6分所以1212121123x x x x x x ++==为定值. ………………………………………………7分 (3)解法一 设直线m 的方程为y kx b =+, 则圆心C 到直线m 的距离d =所以DE =, …………………………………8分()2241222CDEd d S DE d d ∆-+=⋅=≤=,当且仅当d =即d =时, CDE ∆的面积最大, …………………………9分=解之得3b =或1b =-, 故所求直线方程为30x y -+=或10x y --=.……………………………………10分解法二 由(1)知2CD CE R ===, 所以1sin 2sin 22CDE S CD CE DCE DCE ∆=⋅⋅∠=∠≤,当且仅当CD CE ⊥时, CDE ∆的面积最大,此时DE = ………………………………………………………8分 设直线m 的方程为y x b =+ 则圆心C 到直线m的距离d =…………………………………………………9分由DE ===,得d=得3b =或1b =-, 故所求直线方程为30x y -+=或10x y --=.……………………………………10分普通高中学业水平考试数学试卷本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，时量120分钟，满分100分 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
2020年湖南省普通高中学业水平考试数学试题
2020年湖南省普通高中学业水平考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图所示的几何体是（ ）A ．圆锥B ．棱锥C ．圆台D ．棱柱2．已知向量()2,1a =，()11b =-,，若(),2a b x +=，则x =（ ） A ．0B ．1C ．2D ．33．圆C : x 2+y 2= 1的面积是（ ） A ．4πB ．2π C ．π D ．2π4．盒子里装有大小相同的2个红球和1个白球，从中随机取出1个球，取到白球的概率是（ ） A ．13B ．12C ．23D ．15．要得到函数y =1+sin x 的图象，只需将函数y =sin x 的图象（ ） A ．向上平移1个单位长度 B ．向下平移1个单位长度 C ．向右平移1个单位长度D ．向左平移1个单位长度6．已知数列{a n }满足a 1=1，a n +1=2a n ，则a 4=（ ） A ．4B ．8C ．16D ．327．已知函数2,0()0x x f x x +≤⎧⎪=>，若f (0)=a ，则f (a )=（ ）A ．4B ．2CD ．08．函数()2sin cos f x x x =的最小正周期是（ ） A ．2πB ．πC ．2πD ．4π9．用12cm 长的铁丝折成一个面积最大的矩形，则这个矩形的面积是（ ）A ．3cm 2B ．6cm 2C ．9cm 2D ．12cm 210．已知定义在[3,3]-上的函数y =f (x )的图象如图所示.下述四个结论:①函数y =f (x )的值域为[2,2]- ②函数y =f (x )的单调递减区间为[1,1]- ③函数y =f (x )仅有两个零点④存在实数a 满足()()0f a f a +-= 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①② B ．②③C ．③④D ．②④二、填空题11．已知集合2{|1},{|}A x x B x x a ====，若A B ⊆，则a =______________. 12．某班视力近视的学生有15人，视力正常的学生有30人.为了解该班学生近视形成的原因，拟采用分层抽样的方法抽取部分学生，调查相关信息，则抽取的学生中视力近视与视力正常的人数之比为_____________13．已知直线l 1:y =x ，l 2:y =kx .若l 1⊥l 2，则k =______________.14．已知等差数列{a n }满足a 1=1，a 2=2，则{ a n }的前5项和S 5= __________. 15．已知角α的终边经过点(3，4)，则cos α=______________.三、解答题16．2020年春季，受疫情的影响，学校推迟了开学时间.上级部门倡导“停课不停学”，鼓励学生在家学习，复课后，某校为了解学生在家学习的周均时长(单位:小时)， 随机调查了部分学生，根据他们学习的周均时长，得到如图所示的频率分布直方图.（1）求该校学生学习的周均时长的众数的估计值; （2）估计该校学生学习的周均时长不少于30小时的概率.17．如图所示，△ABC 中，AB =AC =2，BC（1）求内角B 的大小;（2）设函数f (x )=2sin(x +B )，求f (x )的最大值，并指出此时x 的值.18．如图所示，三棱锥P -ABC 中，P A ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，且E ，F 分别为BC ，PC 的中点.（1）求证: EF //平面P AB ;（2）已知AB =AC =4，P A =6，求三棱锥F -AEC 的体积. 19．已知函数(())x x f x a g x a -==，，其中0a >，且1a ≠. （1）判断()f x 的奇偶性，并说明理由;（2）若不等式()()f x g x ≥对x ∈R 都成立，求a 的取值范围;（3）设(1)2f =，直线1y t =与()y f x =的图象交于A B ，两点，直线2y t =与()y g x =的图象交于C D ，两点，得到四边形ABCD .证明:存在实数12t t ，，使四边形ABCD 为正方形.参考答案1．D 【分析】分析几何体的结构，可得出合适的选项. 【详解】由图形可知，该几何体有两个面平行且全等，侧棱平行且相等，故该几何体为棱柱. 故选：D. 【点睛】本题考查几何体的识别，属于基础题. 2．B 【分析】根据平面向量的坐标运算可求得x 的值. 【详解】已知向量()2,1a =，()11b =-,，则()()1,2,2a b x +==，因此，1x =. 故选：B. 【点睛】本题考查利用平面向量的坐标运算求参数的值，考查计算能力，属于基础题. 3．C 【分析】根据圆的方程即可知圆的半径，由圆的面积公式即可求其面积. 【详解】由圆的方程知：圆C 的半径为1，所以面积2S r ππ==， 故选：C 【点睛】本题考查了圆的标准方程，由圆的方程求面积，属于简单题. 4．A 【分析】直接由古典概型的概率公式求解即可 【详解】解：由题意可知盒子里装有大小相同的红球和白球共3 个，其中1个白球，所以从中随机取出1个球，取到白球的概率是13, 故选：A 【点睛】此题考查古典概型的概率的计算，属于基础题 5．A 【分析】由函数图象平移原则即可知如何平移y =sin x 的图象得到y =1+sin x 的图象. 【详解】根据“左加右减，上加下减”的原则，将函数y =sin x 的图象向上平移1个单位可得y =1+sin x 的图象，故选：A. 【点睛】本题考查了由平移前后的函数解析式描述图象变换过程，属于简单题. 6．B 【分析】由已知可得通项公式12n n a ，即可求a 4的值.【详解】由题意a n +1=2a n 可知，数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列， 故可得数列的通项公式为12n na ，∴3428a ==，故选：B. 【点睛】本题考查了等比数列，由定义法求等比数列通项公式，进而求项，属于简单题. 7．C 【分析】先由f (0)=a ，可得2a =，从而可求出f (a )的值 【详解】解：因为f (0)=a ，代入分段函数中可得02a +=，得2a =，所以()(2)f a f ==，故选：C 【点睛】此题考查分段函数求值问题，属于基础题 8．B 【分析】利用二倍角的正弦公式化简函数()f x 的解析式，利用正弦型函数的周期公式可求得结果. 【详解】()2sin cos sin 2f x x x x ==，所以，函数()f x 的最小正周期为22T ππ==. 故选：B. 【点睛】本题考查正弦型函数周期的求解，同时也考查了二倍角正弦公式的应用，考查计算能力，属于基础题. 9．C 【分析】由已知可得6x y +=，而矩形的面积S xy =，应用基本不等式即可求矩形的最大面积.【详解】设矩形的长、宽分别为,x y cm ，则有2()12x y +=，即6x y +=， ∵矩形的面积Sxy =，∴2()94x y S xy +=≤= cm 2，当且仅当3x y ==时等号成立，故选：C 【点睛】本题考查了基本不等式的应用，由和定求积的最大值，属于简单题. 10．D 【分析】由图像直接得其最小值和最大值，单调区间，由图像与x 轴交点的个数可得其零点的个数，当1a =时，可得()()0f a f a +-= 【详解】解：由图像可知函数的最大值大于2，最小值小于2-，所以①错误； 由图像可知函数y =f (x )的单调递减区间为[1,1]-，所以②正确；由图像可知其图像与x 轴交点的个数为3，所以函数有3个零点，所以③错误； 当1a =时，有()()(1)(1)220f a f a f f +-=+-=-+=，所以④正确， 故选：D 【点睛】此题考查函数图像的应用，考查函数的零点，单调性，考查数形结合的思想，属于基础题 11．1 【分析】由A B ⊆，得到1是方程2x a =是方程的根，代入即可求解. 【详解】由题意，集合2{|1},{|}A x x B x x a ====，因为A B ⊆，所以1B ∈，即1是方程2x a =是方程的根，解得1a =， 当1a =，可得集合{}1,1b =-,此时满足A B ⊆， 所以1a =. 故答案为：1. 【点睛】本题主要考查了根据集合间的关系求解参数问题，其中解答中熟记集合件的包含关系，结合元素与集合的关系，列出方程求解是解答的关键，属于基础题. 12．12【分析】利用分层抽样的定义直接求解即可 【详解】解：因为某班视力近视的学生有15人，视力正常的学生有30人， 所以用分层抽样的方法抽取部分学生中，视力近视与视力正常的人数之比为151302=， 故答案为：12【点睛】此题考查分层抽样的应用，属于基础题 13．-1 【分析】由两直线垂直有斜率之积为-1，即可求k 值. 【详解】由l 1⊥l 2，知：1k =-， 故答案为：-1. 【点睛】本题考查了根据直线垂直求斜率，属于简单题. 14．15 【分析】由题意可得等差数列通项公式n a n =，结合1()2n n n a a S +=可得前n 项和公式，进而求5S 即可. 【详解】由等差数列{a n }满足a 1=1，a 2=2，知：公差1d =，∴{a n }是首项为1，公差为1的等差数列，故通项公式为1(1)n a a n d n =+-=， ∴由等差数列前n 项和公式1()(1)22n n n a a n n S ++==， 即可得55(51)152S ⨯+==， 故答案为：15. 【点睛】本题考查了求等差数列前n 项和，属于简单题. 15．35【分析】利用任意角的三角函数的定义直接求解即可 【详解】解：因为角α的终边经过点(3，4)，所以3cos 5x r α===， 故答案：35【点睛】此题考查任意角的三角函数的定义的应用，属于基础题 16．（1）25小时；（2）0.3. 【分析】（1）根据直方图，频率最大的区间中点横坐标为众数即可求众数；（2）由学习的周均时长不少于30小时的区间有[30,40)、[40,50)，它们的频率之和，即为该校学生学习的周均时长不少于30小时的概率. 【详解】（1）根据直方图知：频率最大的区间中点横坐标即为众数， ∴由频率最大区间为[20,30)，则众数为2030252+=； （2）由图知：不少于30小时的区间有[30,40)、[40,50)，∴该校学生学习的周均时长不少于30小时的概率0.03100.3P =⨯=. 【点睛】本题考查了根据直方图求众数、概率，应用了众数的概念、频率法求概率，属于简单题. 17．（1）6B π=，（2）f (x )的最大值为2，此时2,3x k k Z ππ=+∈【分析】（1）利用余弦定理求解即可；（2）利用正弦函数的性质直接求其最大值 【详解】解：（1）因为△ABC 中，AB =AC =2，BC所以222cos 2AB BC AC B AB BC +-===⋅ 因为(0,)B π∈，所以6B π=，（2）由（1）可知()2sin()6f x x π=+， 所以当2,62x k k Z πππ+=+∈时，()f x 取最大值2，即2,3x k k Z ππ=+∈【点睛】 此题考查余弦定理的应用，考查正弦函数的性质的应用，属于基础题18．（1）证明见解析；（2）4.【分析】（1）连接EF 有中位线//EF PB ，结合,EF PB 与面PAB 的关系，由线面平行的判定即可证//EF 面PAB ；（2）过F 作//FG PA 交AC 于G 易知FG 是三棱锥F -AEC 的高，结合已知有2ABC AEC S S=即可求三棱锥F -AEC 的体积.【详解】（1）连接EF ，在△PBC 中EF 为中位线，故//EF PB ，∵EF ⊄面PAB ，PB ⊂面PAB∴//EF 面PAB ；（2）过F 作//FG PA 交AC 于G ，如下图示：∵P A ⊥平面ABC ，∴FG ⊥平面ABC ，即FG 是三棱锥F -AEC 的高，又F 为PC 的中点，∴由P A =6，则32PA FG ==， 又AB =AC =4，E 为BC 的中点且AB ⊥AC ，知：44424ABC AEC S S ⨯===， ∴三棱锥F -AEC 的体积143AEC V FG S =⋅⋅=.【点睛】 本题考查了应用线面平行的判定证明线面平行，应用三棱锥体积公式求体积，属于简单题. 19．（1）偶函数，理由见解析；（2）1a >；（3）证明见解析 【分析】 （1）利用函数的奇偶性做出判断;（2）()()x x x f x g a a -⇔≥≥对x ∈R 都成立，可求出a 的范围（3）由(1)2f =，求出2a =，由已知AB BC =得到000222x x x -=-，求得121t t =得证.【详解】 (1) ()f x 是偶函数 ()x f x a =，))((x x f x aa f x -∴==-=,()f x ∴是偶函数 （2）))((x x f x a g a x -==，(())x x x f x g a a -≥⇔≥∴ 当1a >时0x x x x R ≥-⇒≥⇒∈ 满足题意， 当01a <<时00x x x x ≥-⇒≤⇒= 不满足题意所以1a >（3）(1)2,2f a =∴= ()22()x x f x g x -∴==，因为四边形ABCD 为正方形，所以AB BC = ,设01(,)B x t 则02(,)C x t 0122x t t ∴=- ，又00122,2,x x t t -== 02122log log x t t ∴==-212212log log 01t t t t ∴+=⇒=故存在实数12t t ，当121t t =使得四边形ABCD 为正方形.【点睛】本题考查函数奇偶性、不等式求参数范围及利用函数图象交点判断方程有解，属于中档题.。
2020年湖南省普通高中学业水平和合格性考试仿真卷数学试题PDF版含答案
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2020年湖南省普通高中学业水平考试合格性考试(真题)
数学
本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共4页。
时量120分钟。
满分100分。
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．如图1所示的几何体是
A．圆锥
B．棱锥
C．圆台
D．棱柱
2．已知向量．若，则
A．0 B．1 C．2 D．3
3．圆的面积是
A．B．C．D．
4．盒子里装有大小相同的2个红球和1个白球，从中随机取出1个球，取到白球的概率是A．B．C．D．
5．要得到函数的图象，只需将函数的图象
A．向上平移1个单位长度B．向下平移1个单位长度
C．向右平移1个单位长度D．向左平移1个单位长度
6．已知数列
满足，则 A ．4 B ．8 C ．16
D ．32 7．已知函数若，则
A ．4
B ．2
C ．
D ．0
8．函数的最小正周期是
A ．
B ．
C ．
D ．
9．用
长的铁丝折成一个面积最大的矩形，则这个矩形的面积是 A ． B ． C ． D ．
10．已知定义在上的函数的图象如图2所示．下述四个结论：
①函数的值域为
②函数的单调递减区间为
③函数仅有两个零点
④存在实数满足
其中所有正确结论的编号是
A ．①②
B ．②③
C ．③④
D ．②④。