第九章 数项级数

∞
∑ 定理 1 正项级数 un 收敛 ⇔ 它的部分和数列{ Sn}有上界。 n=1
∞
∑ 证明：由于对 ∀n ， un > 0 ，故 {Sn }是递增的，因此，有 un 收敛 ⇔ {Sn }收敛 ⇔ {Sn }有界。 n=1
∑ 例
∞
讨论
1 的收敛性.
n=1 n!
解
由于 1 =
1
n! 1⋅ 2⋅3 L n
n=1
n=1
n=1
为α S1 + β S2 定理 3 若级数收敛，其和为 S ，则可对该级数任意加括号，不改变其收敛性，也不改变其和。
∞
∑ 注: 对发散级数，不可以随意加括号，否则会改变其敛散性。例如,级数 (−1)n 发散，但加括号后: n=0
(1 −1) + (1 −1) + L → 0 .
5.级数与数列的关系
根据定理 1，取 p = 1，有 | Sn+1 − Sn | = un < ε ，于是有下面结论
2
《数学分析》教案 ---- 数项级数
∞
∑ 推论 1
级数 un
n=1
收敛的必要条件为
lim
n→∞
u
n
= 0.
华中科技大学数学系汤燕斌
注意:
推论
1
可以方便的用来判断级数发散。但要注意
lim
n→∞
un
= 0 只是级数收敛的必要条件，不是充分条件。
+
n 2n
,⇒
1 2
Sn
=
1 22
+
2 23
+
3 24
+
L+
n −1 2n
+
n 2 n +1
,
1 2 Sn
= Sn
−
1 2
Sn
=
1+ 1 2 22
+
1 23
+
L
+
1 2n
−
n 2 n+1
=
1 2
⎜⎛1 ⎝
−
1 2n
1− 1
⎟⎞
⎠
−
n 2 n+1
→1(n →∞).
2
⇒ Sn → 2 ( n → ∞ ) . 因此, 该级数收敛.
∑ 例 1 判断级数 ∞ n sin 1 的敛散性.
n=1
n
解 验证 un →/ 0 .级数发散(级数判敛时应首先验证是否满足收敛的必要条件).
例2
讨论调和级数1
+
1 2
+
1 3
+
L+
1 n
+
L
的敛散性。
解显然
lim
n→∞
un
=
0 ，但是，取
p
=
m,|
u m +1
+
um+2
+L+
u2m
|
≥
|
1 2m
和；如果存在，和等于什么。
定义 1 给定一个数列 {un }，将它的各项依次用加号“+”连接起来的表达式
u1 + u2 + u3 + L + un + L
（1）
∞
∑ ∑ 称为数项级数或无穷级数（简称级数），其中 un 称为级数（1）的通项。级数（1）简记为 un 或 un 。 n=1
2.级数的收敛性
∑ ∑ un 对 应 部 分 和 数 列 { Sn }, un 收 敛 ⇔ { Sn } 收 敛 ; 对 每 个 数 列 { xn }, 对 应 级 数
3
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∞
∞
∑ ∑ x1 + (xn − xn−1 ) , 对该级数,有 Sn = xn .于是,数列{ xn }收敛 ⇔ 级数 x1 + (xn − xn−1 ) 收敛.可见 ,
∑∞
例 4 讨论级数
2n 的敛散性.
n=1 5n − 3
解 2n > 2n = 2 , 5n − 3 5n 5
⇒
Sn
> n⋅2 5
→
+∞
(n→∞).
级数发散.
3. 级数收敛的柯西准则
因为级数的敛散性等价于部分和数列的敛散性，由数列收敛的柯西准则，得到级数收敛的柯西准则.
∞
∑ 定理 1（柯西准则）级数 un 收敛 ⇔ ∀ε > 0 , ∃ N , ∀ n > N , ∀ p ∈ N ,有 | Sn+ p − Sn |< ε . n=1
解 按照级数收敛性的定义，其敛散性可通过部分和数列的敛散性判断。由等比数列前 n 项和的计算公式，
当r ≠1
时， Sn
=
a
+
ar
+L+
ar n−1
=
a − ar n 1− r
= a − a rn. 1−r 1−r
1)当
| r |<1
时，
lim
n→∞
S
n
=a 1− r
，
几何级数收敛，其和为
a ；2)当 1− r
由柯西收敛准则，级数收敛.
4.收敛级数的性质
由柯西收敛准则，级数收敛与否，仅与充分远的项有关，与前面有限项的大小无关，因此级数有如下性质
∞
∑ 定理 1 去掉、增加或改变级数 un 的有限项，不影响级数的敛散性。 n=1
∞
∞
∞
∑ ∑ ∑ 定理 2（线性性质）若级数 un 和 vn 收敛，其和分别为 S1, S2 ，则级数 (α un + β vn ) 也收敛，其和
9-1 级数的收敛性
4
〖教学目的和要求〗掌握数项级数收敛性的定义和收敛级数的性质, 深刻理解数项级数收敛的定义及与数列 收敛的关系 〖教学重点〗掌握数项级数收敛性的定义和基本性质；掌握等比级数与调和级数的敛散性． 〖教学难点〗柯西收敛准则判别级数的敛散性 〖教学过程〗 1.级数的概念
在初等数学中，任意有限个实数 u1, u2 ,L, un 相加，其结果仍是一个实数. 对无限多个实数相加,结果又
n=2
n=2
级数与数列是同一问题的两种不同形式. 〖课外作业〗
9-2 正项级数
6
〖教学目的和要求〗掌握判别正项级数敛散性的各种方法
〖教学重点〗正项级数的比较判别法、比值判别法、根值判别法、积分判别法． 〖教学难点〗拉贝判别法 〖教学过程〗 1.正项级数收敛性的一般判别原则
若级数各项的符号都相同，则称为同号级数。而对于同号级数，只须研究各项都由正数组成的级数—— 正项级数。因负项级数同正项级数仅相差一个负号，而这并不影响其收敛性。显然, 正项级数的部分和数列 是单调递增的，由单调有界定理，得到正项级数收敛的充分必要条件.
如何? 例如，1 + (−1) + 1 + (−1) + L 其和无意义；若将其改写为：(1 −1) + (1 −1) + (1 −1) + L,则其和为 0；
若写为：1 + [(−1) + 1] + [(−1) + 1] + L , 则和为 1（其结果完全不同）。问题是, 无限多个实数相加是否存在
n=1
n=1
∞
∞
∞
∞
∑ ∑ ∑ ∑ 1) 若级数 vn 收敛，则级数 un 也收敛；2) 若级数 un 发散，则级数 vn 也发散。
n=1
n=1
n=1
n=1
证明：由定义及正项级数收敛性的一般判别原则即可得。
∑ 例1
∞
考察
1 的收敛性。
n=1 n 2 − n + 1
解：由于当 n ≥ 2 时，有
4
n=1 n(n + 1)
∑ 解 利用
1 =1− 1 n(n + 1) n n + 1
求出部分和 Sn
=1−
1 → 1(n n +1
→ ∞) ,
于是
∞ n=1
1 n(n + 1)
=1.
∑∞
例 3 讨论级数
n 的敛散性.
2n
n=1
∑ 解
设 Sn
=
nk 2k
k =1
=1+ 2 2 22
+3 23
+L
+
n −1 2 n −1
n=1
n=1
k =n+1
n=1
∞
∑ 的余和。若部分和数列 {Sn }发散，则称数项级数 un 发散。 n=1
注: 以上定义说明,级数的敛散性可通过数列的敛散性来判断。
1
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∞
∑ 例 1 讨论几何级数 ar n−1, a ≠ 0 的敛散性。 n=1
| r |>1
时，lim n→∞
S
n
= ∞ ，此时几何级数发散，和不存在；3)当
| r |=1
∑ 时，显然{ Sn}发散.
∞
于是,几何级数 时收敛，其和为 a ；当 1− r
| r |≥1
时，几
何级数发散，和不存在.
∑∞
例 2 讨论级数
1 的敛散性.
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第九章 数项级数
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〖教学要求〗 掌握数项级数敛散性的概念，理解数列上级限与下极限的概念，熟练运用各种判别法判别正项 级数，任意项级数与无穷乘积的敛散性。 〖教学内容〗 §1 数项级数的收敛性 §2 正项级数 §3 任意项级数 §4 无穷乘积