机械工程测试技术基础复习(重庆大学出版社,秦树人)

T
8.信号的相关分析与卷积计算
（1）相关函数的计算
Rx ( )
Rxy ( )
R yx ( )



x( t )x( t )dt x( t )x( t )dt



x(t ) y(t )dt

x(t ) y(t )dt
j t0
t 0
x t t0
t 0
FT f ( x) f ( x)e

j ( x t 0 )
dx F ( )
e
j t 0
FT f ( t t0 ) e



f ( x )e
j x
dx e
j t0
j t 0
复习
考试时间：15周
1.多项选择（5小题 ,10） 2.填空(1分/空 ,10) 3.计算(5小题 ,60) 4.综合（1小题 ,20）
主要考试内容： 1.第二章——信号分析基础（58%） 2.第五章——信号采集与数字分析原理及技术 （30%） 3.第四章——模拟信号分析（8%） 4.其他
第二章






E 2
F
频谱图
0
0
2π
0
O

(b)矩形调幅信号的频谱
（4）典型信号的幅值谱密度
例：冲激函数 (t ) 傅立叶变换对
F ( ) (t )e


j t
dt 1
(t )
0
t
F ( )
1 0

例：周期信号的频谱密度
x(t) 的傅立叶变换：
例：求矩形脉冲信号 的频谱密度
X( )
E x( t ) 0
2E
( t T1 ) ( t T1 )

T1
T1
Ee j t dt

sin( T1 )
sin( T1 ) 2 ET Sinc T1 ) 2 ET ( 1 1 T1 2T1 Sinc T1 ), E 1 ( 当

t
2
二．尺度变换性质
1 若f ( t ) F ( ), 则f at F , a为非零函数 a a
意义
(1) 0<a<1 时域扩展，频带压缩。
(2) a>1 时域压缩，频域扩展a倍。
(3) a 1
f t f t , F F 。
则f ( t t0 ) F ( )e ; j ( ) t0 j ( ) 则f ( t t0 ) F ( ) e 若F ( ) F ( ) e
若f (t ) F ( ),
右 幅度频谱无变化，只影响相位频谱， t 0 相移 左
三．时移特性
2 ET1
X(f)
1 2T1 1 T1
O
f
2 ET1
T1
A(f)=|X(f)|
t
O
相位频谱
( f )
f
f
（3）傅立叶变换的性质 线性性质 时移特性 尺度变换 频移特性
一．线性性质
1．性质
若f1 (t ) F1 ( ) , f 2 (t ) F2 ( )
则c1 f1 (t ) c2 f 2 (t ) c1 F1 ( ) c2 F2 ( ) c1 , c2为常数
3.信号的时域统计分析 均值、均方值、方差的含义及其关系
均值：反映了信号变化的中心趋势，也称之为直流分量。
x E[ x(t )] lim
信号的均方值：表达了信号的强度；其正平方根值，又称 为有效值(RMS)，也是信号平均能量的一种表达。

2 x
2
x

2 T 1 T 0 T
x(t ) y(t )dt
x(t ) y(t )dt
单边谱与双边谱、幅值2倍关系 ！！熟练掌握运用欧拉公式
两种频谱图的关系
● 三角函数形式：An ~ ，n ~
单边频谱 双边频谱
C0 A0 a0
指数函数形式： n ~ ，n ~ C
1 Cn An n 0 2
● 指数形式的幅度频谱为偶函数
| Cn || Cn |
j 0 t
0为常数，注意 号
（2）证明
F f (t )e
j 0 t
f (t )e e
j 0 t
j t
dt


f (t )e j 0 t d t F 0
已知矩形调幅信号 f t Gt cos 0 t ,
信号分析基础
1.信号的分类方法及其分类 2.常用函数 （1）单位冲激信号（ (n) 函数） 对称性、比例性、抽样特性（乘积）、 筛选特性（积分） （2）sinc(t)函数
sin t sin t sin c(t ) , or , , ( t ) t t
（3）复指数函数 e jt cost j sin t 欧拉公式：
根据傅立叶变 换的线性性质
F x( t ) F cn e j 2nf 0 t cn F e j 2nf 0 t n n
n




cn ( f nf0 )
n 0
e
j 2nf0 t
f nf0
T 1 T 0 T

x(t )dt
2 x

E[ x (t )] lim

2 x
x 2 (t )dt
方差：反映了信号绕均值的波动程度。
x E[( x(t ) E[ x(t )]) ] lim
2 2
T 1 T 0 T

( x(t ) x ) dt
2
●
或
F (n0 ) F (n0 )
指数形式的相位频谱为奇函数
n n
或
(n0 ) (n0 )
三角形式与指数形式的频谱图对比 三角函数形式的频谱图
cn c 1 c0
2.24 c2
n
0.25 π
1
1
O
1
2 1
1
O
2 1
指数形式的频谱图
F n 1
2．例
求：
f (t )的傅立叶变换
2 1
f (t )

f ( t ) [ u( t 2 ) u( t 2 )] [ u( t ) u( t )] F ( ) [ Sinc / 2 ) 2Sinc )] ( (
2 2

X ( f ) X ( f ) A( f ) ( f ) 0
1 1
( 当：
n 1 / 2 T1
f nT11 ), n 0 ,1,2
X ( f ) X ( f ) A( f ) ( f )
频谱图
幅度频谱
时域波形
x(t)
E
T1 O
1.12
0.15 π
n
0.5
2 1
0.5
1.12
1
0.15 π
2 1
1
0.25 π
1
O
0.15 π
2 1 1
O
1
2 1
0.25 π
6.非周期信号及其频谱
（1）傅立叶变换对 傅立叶逆变换：F-1[X(f)]
jt
1 x( t ) 2
F( )
例：求图(a)所示三脉冲信号的频谱。 f t 解： E
f t f 0 t f 0 t T f 0 t T
T


2
O

2
T
t
令f 0 t 表示矩形单脉冲
(a)三脉冲信号的波形
信号，其频谱函数 0 , F
E
F0
F0 E S inc 2


X ( )e d , x( t )
jt
X ( f )e
j 2ft
j 2ft
df
X ( ) x( t ) e


dt , X ( f ) x( t ) e

dt
傅立叶正变换：F[X(f)] （2）非周期信号的频谱及其特点
(a) X(ω)是一个密度函数的概念 (b) X(ω)是一个连续谱 (c) X(ω)包含了从零到无限高频的所有频率分 量,分量的频率不成谐波关系。 (d) 周期信号的频谱是对应的非周期信号频谱的 样本；而非周期信号的频谱是对应的周期信号频 谱的包络。
2π
百度文库
O
(b)

因为
f t f 0 t f 0 t T f 0 t T
由时移性质知三脉冲函 f t 数 的频谱函数F 为 :
E
F0
2π

O
F

F F0 1 e

j T
e
j T

O
3 E
E Sinc 2
1 2 cosT
2π 2π 4π T T (c)三脉冲信号的频谱

脉冲个数增多，频谱 包络不变，带宽不变。

（1）性质
若 f (t ) F ( )
四．频移特性
则
F 0 j 0 t f ( t )e F 0 f ( t )e
(a)矩形调幅信号的波形






1 1 F G 0 G 0 2 2 0 E 0 E S inc S inc 2 2 2 2 将包络线的频谱一分为 二，向左、右各平移 0
或者:
X ( f ) 2T1 Sinc( 2fT1 ),当E 1
X ( f ) 2T1 Sinc( 2fT1 ),当E 1 X ( f ) e j ( f ) A( f )e j 2T1 Sinc( 2fT1 ) e j ( f ) A( f ) 2T1 Sinc( 2fT1 ) 2T1 Sinc( 2fT1 )
其中G t 为矩形脉冲，脉冲幅度 E， 为

E
例:
f t
脉宽为 , 试求其频谱函数。 解： 已知矩形脉冲 t 的频谱G 为 G

2
o
t
2
G E Sinc 2 因为 1 f t G t e j 0t e j 0t 2 根据频移性质， t 频谱F 为 f 1 1 F G 0 G 0 2 2
n
Rec ( f nf
) jImcn ( f nf0 )
与傅里叶级数展开得到的幅值谱之区别在于，各谐频点不是有 限值，而是无穷大的脉冲，这正表明了傅里叶变换所得到的是 幅值谱密度。
7.随机信号及其频谱
帕斯瓦尔定理的证明及使用。
1 2 2 1 1 2 x (t )dt X T ( f ) X T ( f )df X T ( f ) df T T 2 T T
4.信号的幅值域分析
概率密度函数、概率分布函数，表示幅值分布。
5.周期信号及其频谱
（1）周期信号的傅立叶级数的三角展开式（计算公式）
（2）周期信号的傅立叶级数的复指数展开式（计算公式） （3）三角展开式与复指数展开式之间的关系 （4）周期信号频谱的计算及其特点 计算公式（与展开式计算公式互逆）
（5）三角形式与复指数形式频谱的区别
0 ( Tn1 f n T11/ 2 ) ( f ) , n 0 ,1,2 n 1 / 2 n 1 ( T1 f T1 )
怎样得到的？!
相位谱的推导： 因：X ( f ) 2T1 Sinc( 2fT1 ), 当E 1 A( f )e j ( f ) 2T1 Sinc( 2fT1 ) e j ( f ) A( f )cos ( f ) j sin ( f ) 2T1 Sinc( 2fT1 ) cos ( f ) j sin ( f ) n 1 所以,当： ( T f nT / 2 ), n 0 ,1,2