21间接平差--求平差值一般原理
测量误差与数据处理(3)
（3）根据改正数方程，可求得改正数为：
V P1ATK
0.5 1.0
1 1
4.8
1 2.4 2.4
0.5 1
4.8
（4）由此得高差的平差值为：
hˆ hV
即：
1.004 4.8
0.9992
1.504
2.4
103
1.5064
2.512 4.8
2.5072
h 1 0 .99 m ， h 9 2 1 2 .50 m ， h 6 3 2 4 .50 m 7
示例的解算
解：（1）此例n = 3，t = 2，故r = 1，列出 如下平差值条件方程：
H A h ˆ 1 h ˆ 2 h ˆ 3 H B 0
以代入上式，可得条件方程为：
v 1 v 2 v 3 ( H A h 1 h 2 h 3 H B ) 0
将已知高程和观测高差代入计算闭合差（ 单位mm），然后用矩阵表示如下：
1. 根据平差的具体问题，确定条件方程的个 数，列出条件方程式，条件方程的个数等于 多余观测数r；
条件方程
➢平差值条件方程：
a1 Lˆ1
a 2 Lˆ 2
a n Lˆ n
a0
0
b1 Lˆ1
b 2 Lˆ 2
b n Lˆ n
b0
0
r1 Lˆ1
r2 Lˆ 2
rn Lˆ n
r0
0
➢改正数条件方程：
0 0 p
n
1
p1
0 1 0
p2
0 0 1
pn
基于闭合差条件的条件平差
❖条件平差原理 ➢ 由于高程控制网中存在r个多余观测，就会产生r 条件方程。
➢高程控制网平差归结为以r个条件方程为基础，根 据最小二乘法求出一组高差改正数。
第四章 间接平差课件ppt课件
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jk
ˆj, y ˆ j 和x ˆk , y ˆk 设这两点的近似坐标的改正数为 x 即 0 ˆ X ˆ0 x ˆ ˆ ˆ X ˆ X X j j j k k xk , . 0 0 ˆ Y ˆ Y ˆ ˆ Y ˆ Y ˆ Y Y j j j k k k
0 0 0 ˆ x L f X , X , , X i i 1 2 t t 0
f i f i bi1 X , bi 2 X 1 0 2
0 li Li f i X 10 , X 2 ,, X t0 Li L0 i
ˆ i b12 x ˆ 2 b1t x ˆ t d1 L1 V1 b11 x ˆ i b22 x ˆ 2 b2t x ˆt d 2 L2 V2 b21 x ˆ i bn 2 x ˆ t bmt x ˆt d n L1 Vn bn1 x
0 K 0 K
ˆ k Y j0 y ˆi y
k 0 j
ˆ X x
ˆ x
i
将上式右端按台劳公式展开，得
ˆ jk a ˆ jk arctg 0 a 0 XK X j X j ˆ jk a x ˆ Y 0 j ˆ jk a y ˆ X k 0 ˆ jk a ˆk x Y 0 K ˆk , y 0
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需要指出，线性化的误差方程是个近似式，因为它略 去了的、二次上的各项。当很小时，略去高次项是不会影 响计算精度的。如果由于某种原因不能求得较为准确的参 数近似值，即都很大，这样，平差值之间仍然会存在不符 值。此时，就要把第一次平差结果作为参数的近似值再进 行一次平差。 下面结合测角和测边两种情况，来讲相应误差方程的 线性化问题。
测量平差测量误差及其传播定律课件
数据预处理
数据清洗 数据转换 数据集成
数据处理方法
统计分析 数据挖掘 预测分析
数据后处理
结果验证
1பைடு நூலகம்
报告生成
2
数据存储
3
CHAPTER
测量误差实例分析
实例一：水准测量误差分析
总结词
详细描述
仪器误差包括望远镜调焦误差、十字 丝分划板误差等；人为误差包括读数 误差和仪器对中误差；外界环境因素 包括大气折射和地球曲率的影响。
测量平差测量误差及 其传播定律课件
• 测量误差概述 • 平差测量原理 • 误差传播定律 • 测量数据处理 • 测量误差实例分析
CHAPTER
测量误差概述
测量误差的定义
测量误差
不可避免性
测量结果与被测量真值之间的差异。
由于受到多种因素的影响，测量误差 不可避免。
产生原因
测量设备、环境、操作方法、人员等 因素的影响。
实例二：角度测量误差分析
总结词
角度测量误差主要来源于仪器误差、人为误差和目标偏心。
详细描述
仪器误差包括照准误差、度盘刻划误差等；人为误差包括瞄准误差和读数误差； 目标偏心则是指目标偏离了理想位置，导致观测值失真。
实例三：距离测量误差分析
总结词
详细描述
WATCHING
测量误差的来源
01
测量设备误差
02
环境误差
03
操作误差
04
观测误差
测量误差的分类
系统误差
随机误差 过失误差
CHAPTER
平差测量原理
平差测量基本概念
01
02
平差测量
测量误差
03 误差传播定律
条件平差与间接平差的相互关系
条件平差与间接平差的相互关系
一、条件平差与间接平差
1、条件平差与间接平差是指：条件平差是指基础数据是现有被观
测坐标信息，假定各点位置坐标值满足一定近似关系时（即解算中假
定有约束关系或条件，以达到所求结果的平差方法）；而间接平差是指，基础数据是待测点的被观测量，包括方位量、距离量等，无任何
关系的前提条件，是一种完全无条件的平差方法。
二、条件平差
2、条件平差一般会把条件设置为两个系统中坐标值的差值最小，
这样就能够更容易地实现平差。
条件平差的典型应用是重叠法平差，
它会利用各观测值之间的内在联系，并通过设定一定的几何条件，使
其之间被观测量满足某一关系，以解决无条件方程组的平差问题。
三、间接平差
3、间接平差是指以被观测量构成的方程组，可以以各种迭代方法
求解，但是必须有一定的条件限制才能使解出的坐标值符合实际要求。
加拿大匹兹堡大学的Bloch教授认为，从下面几个原因考虑起，最好
用间接平差来解决坐标转换的问题：
（1）传统的解算序号很容易引起原点偏移和比例错误；
（2）间接平差可以很好地表示待解系统中的不确定性；
（3）使用间接平差可以很好地降低待解系统中分量精度和消隐关
系统时发生的偏差。
四、条件平差与间接平差的关系
4、条件平差与间接平差是有联系的，相互之间的联系是：可以把
条件平差看做是一种特殊的间接平差，即在无条件间接平差的基础上，再加入解算中的限制条件，以达到所求结果。
可以说，条件平差是间
接平差的分支，而间接平差是条件平差的总集合。
(整理)测量平差
测量平差一．测量平差基本知识 1.测量平差定义及目的在设法消除系统误差、粗差影响下，其基本任务是求待定量的最优估量和评定其精度。
人们把这一数据处理的整个过程叫测量平差。
测量平差的目的：一是通过数据处理求待定量的最优估值；二是评定观测成果的质量。
2.协方差传播律及协方差传播律是观测值(向量)与其函数(向量)之间精度传递的规律。
①观测值线性函数的方差： 函数向量：Y=F(X) Z=K(X)其误差向量为：ΔY=F ΔX ΔZ=K ΔX则随机向量与其函数向量间的方差传递公式为⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫====F D K D K D F D K D K D F D F D TXZYTXYZTXZTXY②多个观测值线性函数的协方差阵t×n×n ×t×n T n XX t t ZZ K D K D =③非线性的协方差传播T XX ZZ K KD D =3.权及常用的定权方法①权表示比例关系的数字特征称之为权，也就是权是表征精度的相对指标。
权的意义不在于它们本身数值的大小，而在于它们之间所存在的比例关系。
()n i iiP ,...,2,1220==σσi P 为观测值i L 的权，20σ是可以任意选定的比例常数。
②单位权方差权的作用是衡量观测值的相对精度，称其为相对精度指标。
确定一组权时，只能用同一个0σ，令0σσ=i ，则得:iiP ===02202021σσσσ上式说明20σ是单位权(权为1)观测值的方差，简称为单位权方差。
凡是方差等于20σ的观测值，其权必等于1。
权为1的观测值，称为单位权观测值。
无论20σ取何值，权之间的比例关系不变。
③ ⅰ.水准测量的权NC P h =式中，N 为测站数。
SC P h =式中，S 为水准路线的长度。
ⅱ.距离量测的权ii S C P =式中，i S 为丈量距离。
ⅲ.等精度观测算术平均值的权CP ii N=式中，i N 为i 次时同精度观测值的平均值。
间接平差
b1t xˆt d1 2 b2t xˆt d
2
L1 Vn bn1xˆ i bn2 xˆt bmt xˆt d n
（1）
6
§4-1 间接平差原理
L1
L
L2
Ln
V1
V
V2 Vn
Xˆ1
Xˆ
Xˆ
2
Xˆ
n
b11
B
b21
b12
b22
b1t b2t
bn1 bnt bnt
d1
d
d2
dn
（2）
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§4-1 间接平差原理
则平方值方程的矩阵形式为:
L V BXˆ d （3）
令 式中
Xˆ X 0 xˆ
l L BX 0 d （4）
n,1
为X参0 数的近似值，于是得误差方程为:
V Bxˆ l （5）
的，故平差值 不Lˆ因方L法不V 同而异。
单位权方差 的 02估值 ，计ˆ 02算式是
除以其自由度，即：
V T PV
ˆ
2 0
V T PV
r
V T PV
nt
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§4-1 间接平差原理
三、精度评定
1、单位权中误差的计算
中误差为 ˆ 0
V T PV nt
计算VTPV，可将误差方程代入后计算，即
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§4-1 间接平差原理
按最小二乘原理，上式的 必xˆ须满足 V T PV min
的要求，因为t个参数为独立量，故可按数学上求函
数自由极值的方法，得：
V T PV 2V T P V V T PB 0 （6）
第五章条件平差
二、法方程及改正数方程
将V T PV min的原则作用于条件方程 。
组成新函数:
V T PV－2k T AV W
式中
r 1
k k a , kb , k r 条件方程联系数
T
对新函数求导： T T 2V P 2A k ---改正数方程
dSCD ˆ f T dL SCD ˆ SCD T 2 T ˆ f D f f QL ˆL ˆ ˆL ˆ f 0 L S CD
得测边相对中误差为： 3、大地四边形测角网
2
ˆS
CD
SCD
＝
ˆ 0 f T QL ˆL ˆ f
设
F ( f1 , f 2 , f m )
T T
G ( g1 , g 2 , g m ) 有
均为m维向量函数，且 f i、g i 均为x的函数， d F G dG F T dG T dF F G dx dx dx dx
注意：当N为满秩方阵时，才有 N 1唯一存在,法方程才有唯
测方向网
测角网
测角网
三角网
测边网
测边长
测边＋测方向
边角网
（导线网） 测边＋测角
三、三角网的布设－－从高级到低级逐级布设 四、三角网平差的方法 1。严密平差 ----遵守VTPV=min原则 ； 2。近似平差
5.3 测角网条件平差
独立网（经典自由网）－-－只有必要起算数据d。
非独立网（附合网）－-－已知条件超过必要起算数据。
3 图形条件： n=12 t=2×2+4=8 r =4 1 极条件：
v2 v1 v6 v5 v11 v10 W1 0
条件平差与间接平差的内在关系研究
条件平差与间接平差的内在关系研究作者：曹白金王兵张健来源：《城市建设理论研究》2013年第23期摘要：条件平差和间接平差是测量平差的两大基础,本文从条件平差原理和间接平差原理入手，利用矩阵分析理论,导出了条件平差与间接平差法的计算公式，揭示了平差模型计算公式的内在规律，并给出了相应的实例，从根本上解决了这两大平差基础之间的关系问题，并以此为基础证明了这两种平差方法结果之间的一致性。
关键词：平差方法;一致性;条件平差;间接平差中图分类号： P207 文献标识码： A 文章编号：Abstract:Condition adjustment and indirect adjustment are the two basic methods of the measurement adjustment.To start with the methods of condition adjustment and indirect adjustment,the formula was deduced using matrix theory in this paper,and the internal rules have been revealed of the adjustment models.The corresponding example is also been given in the paper.The basic relationship between the two adjustment methods has been solved,and it is also the foundation to prove the consistency of two different adjustment methods.Key words:adjustment method,consistency,condition adjustment,indirect adjustment1 条件平差与间接平差原理1.1 条件平差的原理条件平差是以个观测量的平差值作为未知数，并通过它们之间存在的个条件方程来消除观测值之间的不符值，同时运用求条件极值的原理解出改正数，从而求得各观测量的平差值。
条件平差原理
§9.1 条件平差原理在条件观测平差中，以n 个观测值的平差值1ˆ⨯n L 作为未知数，列出v 个未知数的条件式，在min =PV V T 情况下，用条件极值的方法求出一组v 值，进而求出平差值。
9.1.1基础方程和它的解设某平差问题，有n 个带有相互独立的正态随机误差的观测值 ，其相应的权阵为 ， 它是对角阵，改正数为 ，平差值为 。
当有r 个多余观测时，则平差值 应满足r 个平差值条件方程为：⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=++++=++++=++++0ˆˆˆ0ˆˆˆ0ˆˆˆ221122112211οοοr L r L r L r b L b L b L b a L a L a L a n n n n n n ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ （9-1） 式中i a 、i b 、…i r （i =1、2、…n ）——为条件方程的系数；0a 、0b 、…0r ——为条件方程的常项数以ii i v L L +=ˆ（i =1、2、…n ）代入(9-1)得条件方程（9-2）式中a w 、b w 、……r w 为条件方程的闭合差，或称为条件方程的不符值，即（9-3） 令⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⨯n n n n r r r r b b b a a a A ΛΛΛΛΛΛΛ212121⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅++=++++=022110221102211r L r L r L r w b L b L b L b w a L a L a L a w n n n n n b n n a ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅++000221122112211r n n b n n a n n w v r v r v r w v b v b v b w v a v a v a ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯n n L L L L M 211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯n n L L L L ˆˆˆˆ211M 1⨯n L nn P ⨯1⨯n V 1ˆ⨯n L 1ˆ⨯n L则(9-1)及（9-2）上两式的矩阵表达式为0ˆ0=+A LA （9-4） 0=+W AV （9-5）上改正数条件方程式中V 的解不是唯一的解，根据最小二乘原理，在V 的无穷多组解中，取PV V T = 最小的一组解是唯一的，V 的这一组解，可用拉格朗日乘数法解出。
第20讲间接平差的精度评定
5/3 8 / 3
1.667 2.667
1 0
0 5 / 3 1.667
V 1 0 1
1
1
0
5/3 8 / 3
7
0
2
8 / 3
8 / 1/ 3
3
测绘工程系
间接平差的精度评定
四、精度评定示例
由4-5 解得法方程为： 5
1
1
2
x1 x2
11 7
0
解算法方程得：
N 1 bb
5 1
11 2 / 9
2
1/ 9
1/ 9 5 / 9
误差改正数：
x
Nbb1W
在间接平差中，未知参数的估值 Xˆ X 0 x ，X0为选
定常数，未知参数的协因数阵以 QXˆXˆ 来表示。 协因数传播律：
Xˆ
X0
x QXˆXˆ
Q x x
l L d Qll QLL P1 Q
Nbb Xˆ W 0 Xˆ Nbb1W Nbb1BT Pl
2.667
lT Pl (BT Pl)T x lT Pl W T x
即：
V T PV lT Pl W T x
纯量形式：
V T PV pll pal x1 pbl x2 ptl xt
误差理论与测量平差
测绘工程系
间接平差的精度评定
二、参数的中误差
1
v3
v4
测量平差知识大全
➢绪论➢测量平差理论➢4种基本平差方法➢讨论点位精度➢统计假设检验的知识➢近代平差概论✧绪论§1-1观测误差测量数据（观测数据）是指用一定的仪器、工具、传感器或其他手段获取的反映地球与其它实体的空间分布有关信息的数据，包含信息和干扰（误差）两部分。
一、误差来源观测值中包含有观测误差，其来源主要有以下三个方面：1. 测量仪器；2. 观测者；3. 外界条件。
二、观测误差分类1. 偶然误差定义，例如估读小数；2. 系统误差定义，例如用具有某一尺长误差的钢尺量距；系统误差与偶然误差在观测过程中总是同时产生的。
3. 粗差定义，例如观测时大数读错。
误差分布与精度指标§2-1 正态分布概率论中的正态分布是误差理论与测量平差基础中随机变量的基本分布。
一、一维正态分布§2-2偶然误差的规律性2. 直方图由表2-1、表2-2可以得到直方图2-1和图2-2（注意纵、横坐标各表示什么？），直方图形象地表示了误差分布情况。
3. 误差分布曲线（误差的概率分布曲线）在一定的观测条件下得到一组独立的误差，对应着一种确定的误差分布。
当观测值个数的情况下，频率稳定，误差区间间隔无限缩小，图2-1和图2-2中各长方条顶边所形成的折线将分别变成如图2-3所示的两条光滑的曲线，称为误差分布曲线，随着n增大，以正态分布为其极限。
因此，在以后的讨论中，都是以正态分布作为描述偶然误差分布的数学模型。
4. 偶然误差的特性第三章协方差传播律及权在测量实际工作中，往往会遇到某些量的大小并不是直接测定的，而是由观测值通过一定的函数关系间接计算出来的，显然，这些量是观测值的函数。
例如，在一个三角形中同精度观测了3个内角L1，L2和L3，其闭合差w和各角度的平差值分别又如图3—1中用侧方交会求交会点的坐标等。
现在提出这样一个问题：观测值函数的精度如何评定？其中误差与观测值的中误差存在怎样的关系？如何从后者得到前者？这是本章所要讨论的重要内容，阐述这种关系的公式称为协方差传播律。
测量平差基础课件——间接平差原理
令： Xˆ X 0 xˆ
l L (BX 0 d ) L L0
则有： V Bxˆ l
一、间接平差原理
设有n个观测值L ，必要观测个数为t,
选定t个独立参数 Xˆ 近似值取为X 0，有
Xˆ X 0 xˆ
L LV
平差值方程为：
Li vi ai X 1 bi X 2 ti X t di
P 0 0
1 0
0 1
0 0
2
0 0 0 2
6
第一节 间接平差原理
3.组成法方程
Nbb
BT PB
5 1
1
2
W
BT Pl
11 7
5 1
1
2
xˆ1 xˆ2
11 7
0
4.解算法方程
Xˆ 1
Xˆ 2
观测值 平差值
V Bxˆ l [1.7,2.7,2.7,0.3] xˆ1
令：L n,1
L1
L2 Ln T
a1 b1 t1
V
n,1
V1
V2 Vn T
B a2
b2
t
2
Xˆ
t ,1
Xˆ 1
d
n,1
d1
Xˆ 2 Xˆ t T n,t
d 2 d n T
an
bn
t
n
L V BXˆ d
3
第一节 间接平差原理
L V BXˆ d
xˆ
2
5 1
1 1
2
11 7
1 9
2 1
5.求改正数
1 11 1.7 5 7 2.7(mm)
T
hhˆˆ12 hhˆˆ43
h1 h2 hh43
间接平差
§4-1 间接平差原理2学时间接平差法（参数平差法）是通过选定t 个与观测值有一定关系的独立未知量作为参数，将每个观测值都分别表达成这t 个参数的函数，建立函数模型，按最小二乘原理，用求自由极值的方法解出参数的最或然值，从而求得各观测值的平差值。
例如，在一个三角形中，等精度独立观测了三个角，观测值分别为L 1、L 2和L 3。
求此三角形各内角的最或然值。
若能选取两个内角的最或然值作为参数 1ˆX 、 2ˆX ，则可以建立参数与观测值之间的函数关系式⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫--=+=+=+2133222111ˆˆ180ˆˆX X v L Xv L X v L（4-1-1）可得⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫---=-=-=3213222111ˆˆ180ˆˆL X X v L Xv L Xv （4-1-2）为了计算方便和计算数值的稳定性，通常引入未知参数的近似值，这一点在实际计算中是非常重要的，令 x X X ˆˆ0+=，则（4-1-2）式可写成如下形式：⎪⎭⎪⎬⎫-++---=--=--=)180(ˆˆ)(ˆ)(ˆ020132130222201111X X L x x v X L x v X L xv （4-1-3）式（4-1-2）叫做误差方程，也可以称为某种意义上的条件方程（包含改正数、观测值和参数，“条件个数=观测值个数”），每个条件方程中仅只含有一个观测值，且系数为1。
单纯为消除矛盾， 1v 、 2v 、 3v 可有多组解，为此引入最小二乘原则： min =PV V T可求得唯一解。
因此，间接平差是选取与观测值有一定关系的独立未知量作为参数，建立参数与观测值之间的函数关系，按最小二乘原则，求解未知参数的最或然值，再根据观测值与参数间的函数关系，求出观测值的最或然值，故又称为参数平差。
对上述三角形，引入最小二乘原则，要求：min =PV V T ，设观测值为等精度独立观测，则有：[]min )180ˆˆ()ˆ()ˆ(2321222211=-+--+-+-=L X X L X L X vv按数学上求自由极值的方法对上式分别求偏导数并令等于零，可得60313132ˆ60313231ˆ02180ˆ3)1(2)2()2()1(0180ˆ2ˆ0180ˆˆ20)ˆˆ180(2)ˆ(2ˆ][0)ˆˆ180(2)ˆ(2ˆ][32113212321232213121321222321111+--+=⇒+-+-=⇒=+-+-⇒-⨯⎭⎬⎫=+--+=+--+⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=-----=∂∂=-----=∂∂L L L X L L L X L L L X L L X X L L X X L X X L X X vv L X X L X X vv代入误差方程式，得到观测值的最或然值603231316031323160313132321332123211++--=+-+-=+--+=∧∧∧L L L L L L L L L L L L此结果显然与采用条件平差方法解算的结果一致，说明只要遵循相同的平差原则、定权方法相同，平差结果与具体平差方法无关。
1-1条件平差原理--求取最或是值
V P 1 AT K
Lˆ L V
理论
感谢聆听，批评指导
公式
思考
平差
算例
转置
PTV AT K
两边左乘权逆阵P–1 V P 1 AT K
条件平差的平差值求取原理（第一任务）
2.基础方程
3.法方程
条件平差的基础方程
AV W 0
令
V P 1 AT K
构法方程
将改正数方程带入条件方程，得
AP 1 AT K W 0
令令
N aa AP 1 AT
1.条件方程
纯量形式
ab11LLˆˆ11 ab22LLˆˆ22 bannLLˆˆnnba0000 r1Lˆ1 r2Lˆ2 rnLˆn r0 0
带入
Lˆi Li vi
令
ALˆ A0 0
平差值条件方程
条件平差是经典平差的重要方法之一，其实质是观测值的改正数在满足一定条 件下，求改正数带权平方和的极值问题，可采用拉格朗日乘任务）
1.条件方程
设在某个测量几何模型中，必要观测数为 t ，观测了 n 个只含偶然误差的独立观测值 ，相应的权为 p1、p2、...、pn ，改正数 v1、v2、...、vn 、平差值 Lˆ1、Lˆ2、、Lˆn 。
将它们用向量（矩阵）表示为：
L1
L
L2
n,1
Ln
v1
V
v2
n,1
vn
p1
P
n,n
0
0
0 0
p2
0
第七章 间接平差
其中:
0 l1 L1 F1 X 10 , X 2 , , X t0 0 l 2 L2 F2 X 10 , X 2 , , X t0 0 l n Ln Fn X 10 , X 2 , , X t0
令:
3、计算误差方程常数项 l
l1 h1 X 10 H A 0 0 23 l2 h2 X 10 X 2 0 l3 h3 X 2 H A 0 0 0 14 l4 h4 X 2 X3 0 l5 h5 X 3 H A 0
第七章 间接平差 6、求观测值改正数 、观测值平差值和高程平差值。
v1 1 v 1 2 v3 0 v4 0 0 v5 0 1 1 1 0 0 0 12 ˆ1 23 9 x 0 ˆ 2 0 2 m m 0 x ˆ x 1 14 3 9 1 0 7
第七章 间接平差
4、列误差方程，确定观测值的权：
ˆ1 v1 x ˆ1 x ˆ2 v2 x v3 v4 v5
p1 0 P0 0 0
ˆ2 x ˆ2 x ˆ3 x ˆ3 x
0 p2 0 0 0 0
令c=10，则由定权公式
0 0 0 p4 0 0 p3 0 0
间接平差原理
§ 4-1 间接平差原理2学时间接平差法（参数平差法）是通过选定t个与观测值有一定关系的独立未知量作为参数，将每个观测值都分别表达成这t个参数的函数，建立函数模型，按最小二乘原理，用求自由极值的方法解出参数的最或然值，从而求得各观测值的平差值。
例如，在一个三角形中，等精度独立观测了三个角，观测值分别为L i、L2和L3。
求此三角形各内角的最或然值。
若能选取两个内角的最或然值作为参数:则可以建立参数与观测值之间的函数关系式(4-1-1)可得叶二£ -厶= £ - 厶v}= 180-^-^a-£(4-1-2)为了计算方便和计算数值的稳定性，通常引入未知参数的近似值，这一点在实际计算中是非常重要的，令，则（4-1-2 ）式可写成如下形式：气二务_厲_萃）乃=岛-込—离）v3二-爲_（厶+启+ 兄-180）(4-1-3)式（4-1-2 ）叫做误差方程，也可以称为某种意义上的条件方程（包含改正数、观测值和参数，“条件个数二观测值个数”），每个条件方程中仅只含有一个观测值，且系数为1。
单纯为消除矛盾，门、「、二可有多组解，为此引入最小二乘原则「-1-可求得唯一解。
因此，间接平差是选取与观测值有一定关系的独立未知量作为参数，建立参数与观测值之间的函数关系，按最小二乘原则，求解未知参数的最或然值，再根据观测值与参数间的函数关系，求出观测值的最或然值，故又称为参数平差。
对上述三角形，引入最小二乘原则，要求:▼丄…，设观测值为等精度独立观测，则有：[vv]= （£-厶）□（£ -厶）2 +（-禺-禺+180-厶）2 = min按数学上求自由极值的方法对上式分别求偏导数并令等于零，可得鱼理二遮-伫丿-玄⑻-名-乙■。
二0今2名+% —⑶―厶+厶=ol(l)X x亠痣-1E0 二■!■厶=oj (2)(2) x2-(5 =＞隔-180 + 珀 _费切 + & 二Q代入误差方程式，得到观测值的最或然值此结果显然与采用条件平差方法解算的结果一致，说明只要遵循相同的平差原则、定权方法相同，平差结果与具体平差方法无关。
间接平差中协因数传播定律的应用
１
ｌ
广 ２ ；
１－ ＿－ Ｊ
Ｏ
．
Ｊｌ
＝
０
ｌ １－ ＿ ●Ｊ
．
一
＝
一 ３
一
●
一 ３
２
２ ３
１
１● ● ● ， ●● ● ● ｊ
１
ｌ
３
ｌ
３ ２ ３
３
一 ２３ ３ —
３ ｌ
一 ２
则
法 方程 系数为
ｒ １ ０ ］
Ⅳ船
朋
：
－１
—
０－ 】 Ｌ Ｉ Ｕ １
—
ｌＪ
。１ － ２ 】
参数 平差 值 的协 因数 为
Ｑ＝ ＝ 】 艘 托
利用 式 （ ） ４ 计算
广 １ ０ ］
Ｑｗ
３ ＱＮＢＥＪ －ｌ —： × 一 一 Ｉ＿ １ ３ ＝ 一 ｌ ｌ ＝ １・ 【 】 ‘ Ｌ Ｉ Ｉ ｌ Ｕ
Ｑ ＝ 寻
由于这两种方法只是针对误差方程求得的协因数值 ， 没有考虑观测误差对闭合差的影响
Ｑ ＜Ｑ”
所以， 计算 的协 因数 比第 一种 方法精 度低 。
３ 平 差模 型 正确 性统 计 检 验
利 用 检验 法对结 果进行 检验 ， 对母 体方差 是 否 与某 一 已 知方 差相 符 进 行假 设 检验 ， 统 计 量 用
Ｑ ，＝了 １
利用协因数传播定律求解全部或部分改正数的协 因数的闭合差 已经算出 ， 在不考虑观测数据对 闭 合差影响的情况下给出的误差方程表达式见 （ ） ，是 已计算 出的常数项 ， ５式 ｚ 利用协 因数传播定律直接
计 算 ， 算结 果相 同 计
测量平差知识点
测量平差知识点1、测量学的研究内容：测定和测设。
2、测定：将地⾯上客观存在的物体通过测量的⼿段将其测成数据或图形。
3、测设：就是将测量的⼿段标定在地⾯上。
4、⽔准⾯：静⽌的⽔⾯。
5、⼤地⽔准⾯：⽔准⾯与静⽌的平均海⽔⾯相重合的闭合⽔准⾯。
6、铅垂线：重⼒⽅向线，是测量⼯作的基准线。
7、地球椭球⾯是测量⼯作的基准⾯。
8、地物：地⾯上⼈造或天然固定的物体：地貌：地⾯⾼低起伏形态。
9、测量上常⽤坐标系：天⽂、⼤地、⾼斯平⾯直⾓、独⽴平⾯直⾓。
10、绝对⾼程：地⾯点沿铅垂线到⼤地⽔准⾯的距离。
相对⾼程：某点到任意⽔准⾯的距离。
11、⾼差：地⾯上两点之间⾼程差。
12、半径为10km范围内⾯积为320km2之内可以⽤⽔平⾯代替⽔准⾯时距离产⽣的误差可忽略不计；测距范围的100km2时，⽤平⾯代替⽔准⾯时对⾓度的影响可忽略不计；在⾼程测量中即使很短的距离也不可忽略。
13、测量⼯作的原则：a由整体到局部、由控制到碎部；b步步检核。
14、测量的基本⼯作：测⾓、量边、测⾼程。
15、测绘的基本⼯作：确定地⾯点的基本位置。
16、施⼯测量包括：建筑物施⼯放样、建筑物变形监测、⼯程竣⼯测量。
17、⾼程测量：测量地⾯上各点⾼程的⼯作。
18、⽔准测量的实质：测量地⾯上两点之间的⾼差，是利⽤⽔准仪所提供的⼀条⽔平视线来实现的。
19、⾼差计算⽅法：⾼差法、仪⾼法。
20、⽔准仪按构造可分为：微倾式、⾃动安平、数字⽔准仪，及⽔准尺和尺垫。
21、DS3构造：望远镜、⽔准器，基座。
22、⽔准仪轴线之间的⼏何条件：a圆⽔准器轴平⾏于竖轴b⼗字丝横丝垂直于竖丝c ⽔准管轴平⾏于视准轴。
23、尺垫的作⽤：减少⽔准尺下沉和标志转点。
24、⽔准尺的使⽤：粗平、瞄准、精平、读数。
24、⽔准点的分类：永久性和临时性。
25、测站的检核⽅法：双⾯尺法和双仪⾼法。
26、⽔准路线检核⽅法：闭合⽔准路线、附合⽔准路线、⽀⽔准路线、⽔准⽹。
27、误差：仪器误差，观测误差、外界条件的影响。
浅谈条件平差和间接平差的一致性
Ａ Ｃ
Ｖｌ Ｖ３ Ｖ４ ｌ ３ １ ＋ 一 ＝ Ｉ —４ ＋ｌ
≤
即 ： ＋ 一 ４（＋３１＝ ，将 一１ ｌ ｌ 化 为 ：｛ ％ ＨＡｈ＋ 。 Ｈ Ｖ１ Ｖ一１ ｌ ０ ０ Ｖ３ １ — （＋３ ｌ一 一Ｈ － — ｌＨ ” 一
一
ｈ－ＨＦＨ — ４ ３（ Ｏ ｃｈ） ｝ 整 理 得 ：（＋３１＝ Ｈ ＋ １ｈ一 ４ｗ 即得 到 条 件 式 ： ｖ ４ 一１ ｌ ４ Ｈ 一 ｈ＋ ３ｈ＝ ， —） ｖ＋ ｒ ｖ＋
２１ ０ １年
第３ ５期
Ｓ ＩＮ Ｅ＆Ｔ Ｃ Ｎ ＯＧ Ｆ Ｒ Ｔ Ｏ ＣＥ Ｃ Ｅ Ｈ ＯＬ ＹＩ Ｏ ＭＡ Ｉ Ｎ Ｎ
０高校讲￣ ２ ０
科技信 息
浅谈条件平差和问接平差的一致性
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Lˆ1 a1Xˆ1 b1Xˆ 2 t1Xˆ t d1 Lˆ2 a2 Xˆ1 b2 Xˆ 2 t2 Xˆ t d2
Lˆn an Xˆ1 bn Xˆ 2 tn Xˆ t dn
纯量形式
令
Lˆn an Xˆ1 bn Xˆ 2 tn Xˆ t dn
带入
v1 a1xˆ1 b1xˆ2 t1xˆt l1
v2 a2 xˆ1 b2 xˆ2 t2 xˆt l2
Lˆi Li vi
存在
令
解得
xˆ
N
W 1
bb
或 xˆ (BT PB)1 BT Pl
间接平差求平差值一般原理（第一任务）
5.计算参数平差值
6. 计算观测值平差值
参数平差值计算：
Xˆ X 0 xˆ 令
观测值改正数计算
V Bxˆ l
令 观测值平差值计算
Lˆ L V
间接平差求平差值一般原理（第一任务）
X
0 2
BXˆ d
平差值误差方程
矩阵形式
V Bxˆ l
改正数误差方程
记 L0 BX 0 d 令 l L L0
n,1
间接平差求平差值一般原理（第一任务）
2.基础方程
转化
问题
V Bxˆ l
？ n<n+t，得不到唯一解
为此按最小二乘原理，
BT PV 0 V Bxˆ l
得 BT PBxˆ BT Pl 0
令
令
Nbb
t ,t
BT PB,
W BT Pl
t ,1
得 Nbb xˆ W 0
将该式称为间接平差法方程
可以证明法方程系数阵是满秩方阵，即
R(Nbb ) R(BT PB) t
故 Nbb
的凯利逆阵
N 1 bb
S5
S10
G
A
D
测边网示例图
间接平差求平差值一般原理（第一任务）
1. 误差方程
设平差问题中有n 个观测值 L，已知其协因数阵 Q P 1，必要观测数为t，选定t个独立参 数 Xˆ X 0 xˆ，其近似值为 X 0，观测值 L 与改正数 V 之和 Lˆ L V ，称为观测量的平差值。 按具体平差问题，可列出n 个平差值方程为：
令V T PV 2V T P V V T PB 0
xˆ
xˆ
BT PV 0
转置
间接平差的基础方程
V Bxˆ l
n,1
BT PV 0
t,n
n+t 的方程解n+t 个未知数，有
唯一解。 此二式称为间接平差的基础方程。
间接平差求平差值一般原理（第一任务）
3.法方程
4.解法方程
,
通过选定 t 个与观测值有一定关系的独立未知量作为参数，将每个观测值都分别表达成这t
个参数的函数，建立函数模型，按最小二乘原理，用求自由极值的方法解出参数的最或然值，
从而求得各观测值的平差值。
h1
A
h2
令
P1
P2
h3
B
h4
水准网示例图
F
C
S7
S13
C
B
S2
S14
S3
S4
E
S6
S15
H
S12
S11
S9
a1 B a2 n,t
b1 b2
t1
d1
t2
d
d
2
n,1
an
bn
tn
d
n
Lˆ BXˆ d
矩阵形式
系数阵
常数项
间接平差求平差值一般原理（第一任务）
1. 误差方程
纯量形式
Lˆ1 a1Xˆ1 b1Xˆ 2 t1Xˆ t d1 Lˆ2 a2 Xˆ1 b2 Xˆ 2 t2 Xˆ t d2
Xi’an University of Science & Technology
举一 反三
治学 严谨
Error Theory and Surveying Adjustment
逻辑
性强
主讲人：史经俭 张静 席晶
本讲内容
间接平差求平差值一般原理
间接平差求平差值一般原理（第一任务）
间接平差法（参数平差法）概念
Xˆ i
X
0 i
xˆi
vn an xˆ1 bn xˆ2 tn xˆt ln
其中
l1
L1
(a1 X 10
b1
X
0 2
t1 X
0 t
d1)
l2
L2
(a2 X10
b2
X
0 2
t2
X
0 t
d2)
ln
Ln
(an X10
bn
本节内容 1.误差方程 2.基础方程 3.法方程 4.解法方程 5.计算参数平差值 6.计算观测值平差值
Lˆ BXˆ d V Bxˆ l
+ V Bxˆ l
BT PV 0
Nbb xˆ W 0 Nbb BT PB
W BT Pl
xˆ
N
W 1
aa
Xˆ X 0 xˆ
求VTPV=min。
解决 该平差问题转化为求函数
VTPV，的极值问题。
采用拉格朗日自由极值法可解。
间接平差求平差值一般原理（第一任务）
2.基础方程
按最小二乘原理，式 V Bxˆ l 中
的 xˆ 必须满足 V T PV min 的要求，
因为 t 个参数为独立量，故可按数学上
求函数自由极值的方法，得
V Bxˆ l Lˆ L V
理论
感谢聆听，批评指导
公式
思考
平差
算例