21间接平差--求平差值一般原理

,
通过选定 t 个与观测值有一定关系的独立未知量作为参数，将每个观测值都分别表达成这t
个参数的函数，建立函数模型，按最小二乘原理，用求自由极值的方法解出参数的最或然值，
从而求得各观测值的平差值。
h1
A
h2
令
P1
P2
h3
B
h4
水准网示例图
F
C
S7
S13
C
B
S2
S14
S3
S4
E
S6
S15
H
S12
S11
S9
S5
S10
G
A
D
测边网示例图
间接平差求平差值一般原理（第一任务）
1. 误差方程
设平差问题中有n 个观测值 L，已知其协因数阵 Q P 1，必要观测数为t，选定t个独立参 数 Xˆ X 0 xˆ，其近似值为 X 0，观测值 L 与改正数 V 之和 Lˆ L V ，称为观测量的平差值。 按具体平差问题，可列出n 个平差值方程为：
求VTPV=min。
解决 该平差问题转化为求函数
VTPV，的极值问题。
采用拉格朗日自由极值法可解。
间接平差求平差值一般原理（第一任务）
2.基础方程
按最小二乘原理，式 V Bxˆ l 中
的 xˆ 必须满足 V T PV min 的要求，
因为 t 个参数为独立量，故可按数学上
求函数自由极值的方法，得
Xi’an University of Science & Technology
举一 反三
治学 严谨
Error Theory and Surveying Adjustment
逻辑
性强
主讲人：史经俭 张静 席晶
本讲内容
间接平差求平差值一般原理
间接平差求平差值一般原理（第一任务）
间接平差法（参数平差法）概念
令V T PV 2V T P V V T PB 0
xˆ
xˆ
BT PV 0
转置
间接平差的基础方程
V Bxˆ l
n,1
BT PV 0
t,n
n+t 的方程解n+t 个未知数，有
唯一解。 此二式称为间接平差的基础方程。
间接平差求平差值一般原理（第一任务）
3.法方程
4.解法方程
Lˆn an Xˆ1 bn Xˆ 2 tn Xˆ t dn
带入
v1 a1xˆ1 b1xˆ2 t1xˆt l1
v2 a2 xˆ1 b2 xˆ2 t2 xˆt l2
Lˆi Li vi
Lˆ1 a1Xˆ1 b1Xˆ 2 t1Xˆ t d1 Lˆ2 a2 Xˆ1 b2 Xˆ 2 t2 Xˆ t d2


Lˆn an Xˆ1 bn Xˆ 2 tn Xˆ t dn
纯量形式
令
V Bxˆ l Lˆ L V
理论
感谢聆听，批评指导
公式
思考
平差
算例
a1 B a2 n,t
b1 b2

t1
d1
t2

d

d
2

n,1
an
bn

tn

d
n

Lˆ BXˆ d
矩阵形式
系数阵
常数项
间接平差求平差值一般原理（第一任务）
1. 误差方程
纯量形式
Lˆ1 a1Xˆ1 b1Xˆ 2 t1Xˆ t d1 Lˆ2 a2 Xˆ1 b2 Xˆ 2 t2 Xˆ t d2
存在
令
解得
xˆ

N
W 1
bb
或 xˆ (BT PB)1 BT Pl
间接平差求平差值一般原理（第一任务）
5.计算参数平差值
6. 计算观测值平差值
参数平差值计算：
Xˆ X 0 xˆ 令
观测值改正数计算
V Bxˆ l
令 观测值平差值计算
Lˆ L V
间接平差求平差值一般原理（第一任务）
X
0 2

tn
X
0 t

dn)
Lˆ BXˆ d
平差值误差方程
wenku.baidu.com
矩阵形式
V Bxˆ l
改正数误差方程
记 L0 BX 0 d 令 l L L0
n,1
间接平差求平差值一般原理（第一任务）
2.基础方程
转化
问题
V Bxˆ l
？ n<n+t，得不到唯一解
为此按最小二乘原理，
本节内容 1.误差方程 2.基础方程 3.法方程 4.解法方程 5.计算参数平差值 6.计算观测值平差值
Lˆ BXˆ d V Bxˆ l
+ V Bxˆ l
BT PV 0
Nbb xˆ W 0 Nbb BT PB
W BT Pl
xˆ

N
W 1
aa
Xˆ X 0 xˆ
Xˆ i

X
0 i

xˆi
vn an xˆ1 bn xˆ2 tn xˆt ln
其中
l1

L1

(a1 X 10

b1
X
0 2


t1 X
0 t

d1)
l2

L2

(a2 X10

b2
X
0 2

t2
X
0 t

d2)

ln

Ln

(an X10

bn
BT PV 0 V Bxˆ l
得 BT PBxˆ BT Pl 0
令
令
Nbb
t ,t
BT PB,
W BT Pl
t ,1
得 Nbb xˆ W 0
将该式称为间接平差法方程
可以证明法方程系数阵是满秩方阵，即
R(Nbb ) R(BT PB) t
故 Nbb
的凯利逆阵
N 1 bb