高中数学最新学案第1章第8课时正、余弦定理的应用(2)(教师版)新人教A版必修5

听课随笔 第8课时正、余弦定理的应用（2）

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⎪⎨⎧数学问题航海

测量学正、余弦定理的应用 学习要求

1．利用正弦定理和余弦定理解决有关测量问题时，要注意分清仰角、俯角、张角和方位角等概念。

2. 在运用正弦定理、余弦定理解决实际问题时，通常都根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过这些三角形，得出实际问题的解。

【课堂互动】

自学评价

运用正弦定理、余弦定理解决实际问题的基本步骤是： ①分析：理解题意，弄清清与未知，画出示意图（一个或几个三角形）； ②建模：根据书籍条件与求解目标，把书籍量与待求量尽可能地集中在有关三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型； ③求解：利用正弦定理、余弦定理理解这些三角形，求得数学模型的解； ④检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解。

【精典范例】

【例1】作用在同一点的三个力123,,F F F 平衡.已知130F N =，250F N =，1F 与2F 之间的夹角是60，求3F 的大小与方向（精确到0.1）.

【解】3F 应和12,F F 合力F 平衡，所以3F 和F 在同一直线上，

并且大小相等，方向相反.

如图1-3-3，在1OF F ∆中，由余弦定理，得

()70F N =再由正弦定理，得

1

50sin1205sin 70FOF ∠==， 所以138.2FOF ∠≈，从而13141.8FOF ∠≈. 答 3F 为70N ，3F 与1F 之间的夹角是141.8.

【例2】半圆O 的直径为2，A 为直径延长线上的一点，2OA =，B 为半圆上任意一点，以AB 为一边作等边三角形

ABC .问：点B 在什么位置时，四边形OACB 面积最大？

分析：四边形的面积由点B 的位置唯一确定，而点B 由AOB ∠唯一确定，因此可设AOB α∠=，再用α的三角函数来表示四边形OACB 的面积.

【解】设AOB α∠=.在AOB ∆中，由余弦定理，得

22212212cos 54cos AB αα=+-⨯⨯=-.

于是，四边形OACB 的面积为

AOB ABC S S S ∆∆=+21sin 2OA OB AB α=⋅+

)121sin 54cos 2αα=⨯⨯⨯-

sin αα=

2sin 3πα⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭

因为0απ<<，所以当32π

π

α-=时，56απ=，即56

AOB π∠=时，四边形OACB 的面积最大.

追踪训练一

1. 如图，用两根绳子牵引重为Ｆ１＝１００Ｎ的物体，两根绳子拉力分别为Ｆ２，Ｆ３，保持平衡．如果Ｆ２＝８０Ｎ，Ｆ２与Ｆ３夹角α＝１３５°．

（１）求Ｆ３的大小（精确到１Ｎ）；

（２）求Ｆ３与Ｆ１的夹角β的值

（精确到０.１°）．

答案：（１）)(13945

sin 6.100sin 10000

3N F ≈= （２）06.145=β

2. 从２００ｍ高的电视塔顶Ａ测得地面上某两点Ｂ，Ｃ的俯角分别为３０°和

４５°，∠ＢＡＣ＝４５°，求这两个点之间的距离．

答案：8.2822200≈

3．在△ABC 中，若1=a ，B=450，△ABC 的面积为2，那么，△ABC 的外接圆直径为25

【选修延伸】

【例3】ABC ∆中，若已知三边为连续正整数，最大角为钝角，

① 求最大角的余弦值；

② 求以此最大角为内角，夹此角两边之和为4的平行四边形的最大面积.

【解】①设三边1,,1+==-=k c k b k a ， *∈N k 且1>k ，

∵C 为钝角， ∴2224cos 022(1)

a b c k C ab k +--==<-， 解得41<

∵*∈N k ， ∴2=k 或3，但2=k 时不能构成三角形应舍去，

当3=k 时，12,3,4,cos 4

a b c C ====-

； ②设夹C 角的两边为y x ,，4=+y x ，

所以，2sin (4)(4)S xy C x x x x ==-=-+，当2=x

时，max S 追踪训练二

1．我国潜艇外出执行任务，在向正东方向航行时，测得某国的雷达站在潜艇的东偏北30

0方向的100n mile 处，已知该国的雷达扫描半径为70n mile ，若我国潜艇不改变航向，则行驶多少路程后会有暴露目标？（ B ） A 50 B )225(310- C 620 D 350

2．在△ABC 中，若B A >，则A sin 与B sin 的大小关系是 （ A ）

A 大于

B 大于等于

C 小于

D 小于等于

解：2sin A B a b r A >⇔>⇔ 2sin sin sin r B A B >⇔>

3．两艘快艇在水面上一前一后前进，后一艘快艇的速度是前一艘的两倍，前一艘快艇突然

向与原前进方向成300角行驶，若后一快艇需想在最短的时间内赶上前艇，则它行驶的方向

应与原方向的夹角为 41arcsin

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