不等式概念及性质知识点详解与练习
不等式概念及性质知识点详解与练习
不等式的概念及性质知识点详解及练习一、不等式的概念及列不等式不等式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧→→≤≥≠→→表示出不等关系列出代数式设未知数步骤列不等式””、“”、“”、“”、““不等号概念 1、不等式的概念及其分类（1）定义：用“＞”、“﹤”、“≠”、“≥”及“≤”等不等号把代数式连接起来，表示不等关系的式子。
a-b>0a>b, a-b=0a=b, a-b<0a<b 。
?（2）分类：①矛盾不等式：不等式只是表示了某种不等关系，它表示的关系可能在任何条件下都不成立，这样的不等式叫矛盾不等式；如2＞3，x 2﹤0②绝对不等式：它表示的关系可能在任何条件下都成立，这样的不等式叫绝对不等式； ③条件不等式：在一定条件下才能成立的不等式叫条件不等式。
（3）不等号的类型：①“≠”读作“不等于”，它说明两个量之间关系是不等的，但不能明确两个量谁大谁小； ②“＞”读作“大于”，它表示左边的数比右边的数大；③“﹤”读作“小于”， 它表示左边的数比右边的数小；④“≥”读作“大于或等于”， 它表示左边的数不小于右边的数；⑤“≤”读作“小于或等于”， 它表示左边的数不大于右边的数；注意：要正确理解“非负数”、“非正数”、“不大于”、“不小于”等数学术语的含义。
（4）常见不等式基本语言的含义：①若x ＞0，则x 是正数；②若x ﹤0，则x 是负数；③若x ≥0，则x 是非负数；④若x ≤0，则x 是非正数；⑤若x-y ＞0，则x 大于y ；⑥若x-y ﹤0，则x 小于y ；⑦若x-y ≥0，则x 不小于y ；⑧若x-y ≤0，则x 不大于y ；⑨若xy ＞0（或yx ＞0），则x ，y 同号；⑩若xy ﹤0（或yx ﹤0），则x ，y 异号； （5）等式与不等式的关系：等式与不等式都用来表示现实中的数量关系，等式表示相等关系，不等式表示不等关系，但不论是等式还是不等式，都是同类量比较所得的关系，不是同类量不能比较。
不等式的表示与解答(知识点总结)
不等式的表示与解答（知识点总结）一、基本概念不等式是数学中常见的一种关系式，用于比较两个数的大小关系。
不等号的种类包括大于号(>)、小于号(<)、大于等于号(≥)和小于等于号(≤)。
不等式可以由数字、变量和运算符组成，例如：2x + 3 > 5，其中2x + 3和5是表达式，>是不等号，整个表达式称为一个不等式。
二、不等式的表示形式根据不等号的种类和式子的形式，不等式可以分为以下几种表示形式：1. 明确表示的不等式：例如 x > 3，表示x的取值范围大于3。
2. 含有未知数的不等式：例如 2x + 3 > 5，表示未知数x的取值范围满足2x + 3大于5。
3. 绝对值不等式：例如 |x - 3| > 2，表示x距离3的绝对值大于2。
4. 分数不等式：例如 1/x < 2，表示x的倒数小于2。
三、一元一次不等式的解法一元一次不等式是指只含有一个未知数的一次式，并且不等式成立范围是实数集合。
解一元一次不等式需要以下步骤：1. 整理不等式，将未知数放在一边，常数放在另一边，使不等式成为“未知数 > (或<) 常数”的形式。
2. 对于系数为正数的情况，不等式的解集为从第一个系数所在的数开始到无穷(∞)。
3. 对于系数为负数的情况，不等式的解集为从无穷(∞)到第一个系数所在的数。
四、一元二次不等式的解法一元二次不等式是指含有一个未知数的二次式，并且不等式成立范围是实数集合。
解一元二次不等式需要以下步骤：1. 整理不等式，将未知数放在一边，常数放在另一边，使不等式成为“未知数 > (或<) 0”的形式。
2. 解一元二次不等式需要先求出其对应的二次函数的顶点和开口方向。
3. 判断顶点是否在不等式的解集中，若在，则解集为顶点所在的区间；若不在，则根据开口方向确定解集。
五、不等式的组合与求解1. 不等式的组合：当给出多个不等式时，需要将它们整合成一个集合表示，根据逻辑运算符(如与、或)来连接不等式。
专题 不等式有关概念及性质(知识点精讲)(学生版)
专题03不等式有关概念及性质重难突破知识点一不等式及基本性质1、不等式一般地，用符号“<”、“>”、“ ”、“ ”、“≠”连接的式子叫做不等式．2、不等式基本性质基本性质1：不等式的两边都加（或减）同一整式，不等号的方向不变．如果a b >，那么a c b c ±>±；基本性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．如果a b >，0c >，那么ac bc >a b c c ⎛⎫> ⎪⎝⎭或；基本性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．如果a b >，0c <，那么ac bc <a b c c ⎛⎫< ⎪⎝⎭或．补充性质：对称性：若a b >，则b a ＜；传递性：若a b >，b c >，则a c ＞；注意：①不等式的两边同乘（或除以）同一个负数时，不等号的方向一定要改变；②不等式的两边不能同乘零，否则就变为等式，没有意义．（2020春•邛崃市期中）下列式子：①30>；②450x +>；③3x <；④2x x +；⑤4x ≠-；⑥21x x +>+，其中不等式有()个A ．3B ．4C ．5D ．6典例2（2021春•罗湖区校级期中）已知a b >，则下列结论错误的是()A ．44a b ->-B ．22a b -<-C ．33a b -<-D ．11a b -+<-+典例3（2021春•东坡区校级期末）下列不等式变形错误的是()A ．若a b >，则11a b-<-B ．若a b <，则22ax bx C ．若ac bc >，则a b>D ．若m n >，则2211m n x x >++典例4若关于x 的不等式(1)1a x a +>+的解集为1x >，则a 的取值范围是．知识点二不等式的解及解集1、不等式的解能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解．2、不等式的解集一般情况下，不等式有无数个解，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集．注意：（1）在数轴上表示不等式的解集，大于向右画，小于向左画；有等号用实心圆点，无等号用空心圆圈．（2）不等式的解和不等式的解集是两个不同的概念，不等式的解是指满足这个不等式的未知数的某个值，而不等式的解集是由满足这个不等式的未知数的所有的值组成的，解集中包含了每一个解.典例1（2019春•商河县期末）下列说法中，错误的是()A ．不等式5x <的整数解有无数多个B ．不等式5x >-的负整数解为有限个C ．不等式28x -<的解集是4x <-D ．40-是不等式28x <-的一个解（2019春•龙华区期末）下列x 的值中，能使不等式11x -<成立的是()A ．3-B ．2C ．3D ．5巩固训练一、单选题（共6小题）1．（2020春•揭阳期中）①30>；②41x y + ；③30x +=；④7y -；⑤ 2.53m ->．其中不等式有()A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．（2019春•宝安区期末）下列各数中，能使不等式1202x -<成立的是()A ．6B ．5C ．4D ．23．（2021春•龙华区期中）已知x y >，则下列不等式成立的是()A ．33x y <B ．33x y -<-C ．22x y ->-D ．55x y +>+4．（2020春•龙岗区校级期末）若a b >，则下列不等式成立的是()A ．55a b -<-B ．22a b -<-C ．3322a b ++<D ．22a b >5．（2020春•市北区期末）设a 、b 、c 表示三种不同物体的质量，用天平称两次，情况如图所示，则这三种物体的质量从小到大排序正确的是()A ．c b a <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．a b c<<6．（2020春•顺德区期末）如图表示一个不等式的解集，则该不等式是()A ．1x - B ．1x >-C ．1x - D ．1x <-二、填空题（共5小题）7．如果a b >，0c <，则33ac bc >．．8．（2019春•槐荫区期中）x 的35与12的差不小于6，用不等式表示为．9．（2019春•晋州市期末）若不等式(3)1a x ->的解集为13x a <-，则a 的取值范围是．10．当12x 时，20ax +>，则a 的取值范围是．11．（2021春•青羊区校级期中）已知非负数x ，y 满足36x y +=，若2M x y =+，则M 的取值范围．三、解答题（共2小题）12．将下列不等式化成“x a >”或“x a <”的形式：（1）175x -<-；（2）132x ->-．13．（2019春•济南期中）若23132a b a b +->+，试比较a ，b 的大小．。
初三不等式必考知识点
初三不等式必考知识点不等式是初中数学中的一种重要的数学概念，也是初三数学的必考知识点之一。
通过学习不等式，可以帮助学生提高数学推理能力和问题解决能力。
本文将介绍初三不等式的基本概念、性质以及解题方法，帮助同学们系统地掌握这一知识点。
一、不等式的基本概念不等式是用不等号（>、<、≥、≤）连接的两个数或者两个代数式。
其中，大于（>）和小于（<）表示严格不等关系，大于等于（≥）和小于等于（≤）表示不严格不等关系。
例如，2x + 3 > 5是一个不等式。
二、不等式的性质 1. 两个不等式的加法性质：如果a > b，那么a + c > b + c，其中c是任意实数。
2. 两个不等式的减法性质：如果a > b，那么a - c > b - c，其中c是任意实数。
3. 两个不等式的乘法性质：如果a > b，且c > 0，那么ac > bc；如果a > b，且c < 0，那么ac < bc。
4. 两个不等式的除法性质：如果a > b，且c > 0，那么a/c > b/c；如果a > b，且c < 0，那么a/c < b/c。
5. 不等式的对称性：如果a > b，则b < a；如果a ≥ b，则b ≤ a。
6. 不等式的传递性：如果a > b，且b > c，则a > c。
三、不等式的解题方法 1. 代数法代数法是解不等式的一种常用方法。
通过运用不等式的性质和运算法则，将不等式转化为简单的形式，从而求得不等式的解集。
常用的代数法有以下几种： - 加减消元法：根据不等式的加法性质和减法性质，通过加或减相同的数使不等式两端的系数相等，从而得到简单的不等式。
- 乘除消元法：根据不等式的乘法性质和除法性质，通过乘或除相同的数使不等式两端的系数相等，从而得到简单的不等式。
完整版的不等式知识点和基本题型
完整版的不等式知识点和基本题型不等式是数学中一种重要的关系符号，它用来描述数值之间的大小关系。
以下是不等式的基本知识点和常见题型：1. 不等式基本概念- 不等式是指在两个数之间用不同的关系符号来表示大小关系，比如大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）、小于等于（≤）等。
- 不等式的解集是使不等式成立的所有实数的集合。
2. 不等式的性质- 若 a > b，则 b < a。
- 若 a > b 且 b > c，则 a > c。
- 若 a > b 且 a > 0，则 ac > bc（c > 0）。
- 若 a > b 且 c < 0，则 ac < bc（c < 0）。
- 若 a > b 且c ≠ 0，则 ac > bc。
3. 不等式的解法- 在不等式两边同时加（减）相同的数，不等式的方向不变。
- 在不等式两边同时乘（除）正数，不等式的方向不变。
- 在不等式两边同时乘（除）负数，不等式的方向反向。
- 若不等式两边有平方根，应考虑正负情况。
4. 不等式的常见题型4.1. 一元一次不等式- 形如 ax + b > c 或 ax + b < c 的不等式，其中 a、b、c 为常数，x 为变量。
- 解法类似一元一次方程，通过移项和化简来求解。
4.2. 一元一次绝对值不等式- 形如 |ax + b| > c 或 |ax + b| < c 的不等式，其中 a、b、c 为常数，x 为变量。
- 需要根据绝对值的定义来分情况讨论和求解。
4.3. 二元一次不等式- 形如 ax + by > c 或 ax + by < c 的不等式，其中 a、b、c 为常数，x、y 为变量。
- 解法类似于解一元一次不等式，通过移项和化简来求解。
4.4. 二次不等式- 形如 ax^2 + bx + c > 0 或 ax^2 + bx + c < 0 的不等式，其中 a、b、c 为常数，x 为变量。
高三不等式复习知识点
高三不等式复习知识点在高三数学中，不等式是一个重要的知识点，它在解决实际问题和推理推导中有广泛的应用。
接下来，我们将回顾一些高三不等式的基本概念和解题方法。
一、不等式的基本概念不等式是一种数学表达式，它描述了两个数之间的大小关系。
常见的不等式符号有"<"（小于）、">"（大于）、"≤"（小于等于）和"≥"（大于等于）。
例如，对于实数a和b，如果a<b，则我们可以写作a<b；如果a≤b，则表示a小于或等于b。
二、不等式的性质1. 等式性质：不等式两边同时加（减）一个相同的数，不等式保持不变。
例如，对于不等式a<b，如果两边同时加上一个相同的数c，则不等式变为a+c<b+c。
2. 倍数性质：不等式两边同时乘以（或除以）一个正数，不等式的方向保持不变；如果乘以（或除以）一个负数，不等式的方向则反向。
例如，对于不等式a<b，如果两边同时乘以一个正数c，则不等式变为ac<bc；如果乘以一个负数c，则不等式变为ac>bc。
3. 倒置性质：不等式两边同时取倒数，不等式的方向需要反向。
例如，对于不等式a<b，如果两边同时取倒数，则不等式变为1/a>1/b。
三、不等式的解法1. 图解法：对于一元一次不等式，我们可以将其在数轴上进行图解。
根据不等式的形式，判断出解的范围。
2. 等效变形法：通过一系列的等式性质和倍数性质的变形，将不等式转化为更简单的形式，从而得到解。
例如，对于不等式3x-5<2x+7，我们可以通过将同类项合并，得到x<12。
3. 区间法：对于一些复杂的不等式，我们可以通过设定合适的区间范围来求解。
例如，对于不等式2x^2-7x+3>0，我们可以通过解二次方程2x^2-7x+3=0得到其零点，然后通过分析函数图像和函数值的正负来确定解的范围。
初中数学不等式及不等式组知识点
初中数学不等式及不等式组知识点一、不等式的基本概念和性质：1.不等式的定义：不等式是含有“大于”（>）、“小于”（<）、“大于等于”（≥）、“小于等于”（≤）等关系符号的数学表达式，用来表示两个数之间的大小关系。
2.不等式的解：对于一个不等式，使得该不等式成立的数值称为该不等式的解。
例如，对于不等式3x+2>10，当x>2时，不等式成立，所以x>2是不等式的解。
3.不等式的性质：a.相等的不等式，其解集相同。
例如，2x<10与2x≤9的解集相同，都是x<5b.不等式两边同时加减一个数，不等号方向不变。
例如，若a<b，则a+c<b+c，且a-c<b-c。
c. 不等式两边同时乘以（或除以）一个正数，则不等号方向不变。
例如，若a<b且c>0，则ac<bc。
d. 不等式两边同时乘以（或除以）一个负数，则不等号方向改变。
例如，若a<b且c<0，则ac>bc。
e.在不等式两边同时开平方时，需注意正负号问题。
例如，对于不等式x^2<4，开平方后得到，x，<2，解集为x>-2且x<2二、一元不等式求解方法：1.由不等式的基本性质，可以得到一元不等式的求解方法：a.将不等式看作等式求解，确定不等式中的未知数的取值范围。
b.根据等式求解的结果，确定不等号的方向，确定不等式的解集。
三、一元一次不等式及一元一次不等式组：1. 一元一次不等式：形如ax+b>0（或<0）的不等式，其中a、b为已知实数，且a≠0。
一元一次不等式的解集是一个实数区间。
解法：将不等式化为等式ax+b=0，求得等式的解x0，然后根据不等号的方向，确定不等式的解集：当a>0时，如果0≤x0≤+∞，则解集为(x0,+∞)；如果x0<0，则解集为(-∞,+∞)；当a<0时，如果-∞≤x0≤0，则解集为(-∞,x0)；如果x0>0，则解集为(-∞,+∞)。
初中数学知识点——不等式
初中数学知识点——不等式引言：在初中数学中，不等式是一个非常重要的知识点，它是解决一元一次方程组和二元一次方程组的基础。
在本文中，我们将详细介绍不等式的相关知识点，并提供大量的练习题和参考答案，以帮助学生们深入了解和掌握这一知识点。
一、概念和性质1.1 不等式的类型不等式有三种类型：严格不等式、非严格不等式和混合不等式。
① 严格不等式：用“<”或“>”表示，例如：x > 5。
② 非严格不等式：用“≤”或“≥”表示，例如：x ≤ 5。
③ 混合不等式：既包括严格不等式，又包括非严格不等式，例如：3 < x ≤ 5。
1.2 不等式的解集不等式的解集是指所有满足不等式的数的集合。
例如：x + 2 > 5 的解集是{x | x > 3}。
1.3 不等式的性质不等式的性质包括：① 两个不等式相加或相减仍是不等式；② 不等式两边同时乘或除以一个正数，不等式方向不变；③ 不等式两边同时乘或除以一个负数，不等式方向反转。
二、解不等式2.1 解一元一次不等式解一元一次不等式的步骤如下：① 移项：将所有项移到一边；② 合并同类项：将同类项合并；③ 系数化为正数：如果某一项系数为负数，则将不等式两边同时乘上-1，使此项系数变为正数；④ 除以系数：将所有项的系数化为1。
例如：2x - 5 > 7步骤①：2x > 12；步骤②：2x - 12 > 0；步骤③：-2x + 12 > 0；步骤④：x > 6。
2.2 解一元一次不等式组解一元一次不等式组的方法和解一元一次方程组的方法类似，但是要注意不等式方向的改变，即如果某个不等式的符号反转了，则对应的不等式方向也要反转。
例如：{2x + y > 5; x - y ≤ 3}解法如下：① 将不等式组化为标准形式：{2x + y - 5 > 0; x - y - 3 ≤ 0}② 解方程x - y - 3 ≤ 0，得到x ≤ y + 3；③ 将x ≤ y + 3 代入2x + y - 5 > 0 中，得到3y > -1；④ 解不等式3y > -1，得到y > -1/3；⑤ 将y > -1/3 代入x ≤ y + 3 中，得到x ≤ 8/3。
不等式常用公式概念及拓展详细
不等式常用公式概念及拓展详细在高中数学中，不等式是一个非常重要且常见的概念。
它们经常用来描述数值的大小关系。
本文将详细介绍不等式的常用公式、概念以及一些拓展知识。
1.不等式的基本定义和性质不等式是一个表示两个数或两个代数式关于大小关系的陈述，包括大于、小于、大于等于和小于等于四种情况。
例如，a>b表示a大于b，a<b 表示a小于b，a≥b表示a大于等于b，a≤b表示a小于等于b。
不等式的性质：-若a>b，那么b<a；-若a>b，且b>c，那么a>c；-若a>b，那么a+c>b+c（这个性质可以推广到减法、乘法和除法）；-若a>0，那么a·b>a·c（若a<0，则反号）。
2.一元一次不等式一元一次不等式是一个以一个变量为未知数的一次方程。
例如，2x+1>5是一个一元一次不等式。
解一元一次不等式的方法与解一元一次方程类似，但需要注意在乘除法时要根据不等式的符号进行判断。
3.二元一次不等式二元一次不等式是含有两个变量的不等式，例如，2x+3y>6、要解二元一次不等式，需要将其转化为图形来表示。
可以通过绘制直线、曲线等方式来确定不等式的解集。
4.绝对值不等式绝对值不等式是含有绝对值的不等式。
例如，x-2，>3、解绝对值不等式时，需要考虑绝对值的两个情况，即x-2>3和x-2<-3、解出这两个方程后，将求得的解集取并集即可得到绝对值不等式的解集。
5.分式不等式分式不等式是含有分式的不等式。
例如，x/(x+3)>1、解分式不等式时，需要注意分母不能为0。
可以通过绘制函数图像的方法来确定不等式的解集。
6.不等式的加减法不等式的加减法是指对不等式的两边同时加上或减去相同的数，而保持不等式成立。
例如，若a>b，则a+c>b+c。
但是需要注意，当不等式两边乘以负数时，不等号的方向会发生翻转。
初中数学知识归纳不等式的基本概念和性质
初中数学知识归纳不等式的基本概念和性质初中数学知识归纳——不等式的基本概念和性质不等式是数学中常见的一种关系表示方法，用于描述数值的大小关系。
在初中数学学习中，不等式是一个重要的知识点，掌握不等式的基本概念和性质对于解题和拓展数学思维非常关键。
本文将对初中数学中不等式的基本概念、不等式的性质以及一些相关的解题方法进行归纳总结。
一、不等式的基本概念1. 不等式的定义：不等式是用不等号（<、>、≤、≥）表示的两个数之间的大小关系。
例如，a < b表示a小于b，a > b表示a大于b，a ≤ b 表示a小于等于b，a ≥ b表示a大于等于b。
2. 不等式的解：对于单个不等式，解是使得不等式成立的数的取值范围。
解可以是有限集合，也可以是无限集合。
二、不等式的性质1. 不等式的传递性：对于任意实数a、b、c，如果a < b且b < c，则有a < c。
这意味着如果不等式链中的不等号方向一致，则整个不等式链成立。
2. 不等式的加减性：对于不等式a < b和任意实数c，有a + c < b + c。
同样地，如果a > b，则有a - c > b - c。
这就是不等式的加减性质。
3. 不等式的乘除性：对于不等式a < b和正实数c，有ac < bc；如果a > b且c为负实数，则有ac > bc。
同样地，如果c为正实数，且a > b，则ac > bc。
这就是不等式的乘除性质。
4. 反向不等式：对于不等式a < b，取相反数得到-a > -b。
同样地，如果a > b，则-a < -b。
反向不等式是指改变不等号方向后得到的不等式。
三、不等式的解题方法1. 图解法：对于简单的不等式，可通过图形来解决。
将不等式表示的数轴上的点标出，并根据不等号表示的关系确定解的范围。
2. 存在性法：对于含未知数的不等式，可以通过判断某个特定数是否满足不等式，并验证该数范围的其他数是否满足不等式来确定解的范围。
不等式数学知识点高一
不等式数学知识点高一一、不等式的概念和性质1. 不等式的定义不等式是数之间不相等关系的表示形式，可分为大于、小于、大于等于、小于等于四种不等式类型。
2. 不等式的解集表示法当不等式成立时，将满足不等式的数值表示为解集，用集合的形式表示。
3. 不等式的性质（1）对于同一不等式，两边同时加（减）同一个数，不等式的成立关系不变。
（2）对于同一不等式，两边同时乘（除）同一个正数，不等式的成立关系不变，但若同除，需考虑除数不能为零。
（3）对于同一不等式，两边同时乘以同一个负数，不等式的成立关系改变。
二、一元一次不等式1. 一元一次不等式的解法针对一元一次不等式，通过图像法或数值法求解。
2. 一元一次不等式的图像法（1）将一元一次不等式转化为方程，得到直线的方程。
（2）绘制直线图像，并根据不等式的符号确定阴影部分，即为不等式的解集。
3. 一元一次不等式的数值法（1）根据不等式的性质，将x的系数乘以-1，使其系数为正数。
（2）列出方程，求解x的值，并根据解的大小关系确定不等式的解集。
三、一元二次不等式1. 一元二次不等式的解法针对一元二次不等式，通过图像法或配方法（改变形式法）求解。
2. 一元二次不等式的图像法（1）将一元二次不等式转化为方程，得到抛物线的方程。
（2）绘制抛物线图像，并根据不等式的符号确定阴影部分，即为不等式的解集。
3. 一元二次不等式的配方法（1）根据不等式的性质，将一元二次不等式化为标准形式。
（2）通过配方法（改变形式法）将不等式化简为平方项的形式。
（3）根据不等式的解集性质，确定不等式的解集。
四、绝对值不等式1. 绝对值不等式的解法针对绝对值不等式，通过正负号讨论法求解。
2. 绝对值不等式的正负号讨论法（1）根据绝对值的性质，将绝对值不等式拆分为正负号的形式。
（2）分别讨论正负号情况下的不等式，并求解不等式的解集。
五、不等式的运算和复合不等式1. 不等式的运算法则（1）对于同一不等式，两边同时加、减、乘、除同一个数，不等式的成立关系不变。
初中数学不等式知识点
初中数学不等式知识点一、不等式的定义与性质1.不等关系：对于任意两个实数a和b，只有以下三种情况之一成立：a>b，a=b，a<b。
2.不等式：由不等关系得到的表达式称为不等式。
3.不等式的解：使得不等式成立的数字的范围。
4.不等式的性质：a)若a>b且b>c，则a>c。
b)若a>b，则a+c>b+c。
c) 若a>b且c>0，则ac>bc。
d) 若a>b且c<0，则ac<bc。
二、一元一次不等式1.解一元一次不等式的方法：a)变形法：根据不等式性质对不等式进行变形，以求得解的范围。
b)试值法：取不等式两边的中心值，带入不等式进行判断。
c)图解法：将不等式转化为数轴上的表示，并用图形确定解的范围。
2.一元一次不等式的特殊情况：a)严格不等式：不等号中的大于或小于号是有实际意义的，例如x>3b)非严格不等式：不等号中的大于等于或小于等于号是有实际意义的，例如x≥33.一元一次不等式的解集表示方法：a)区间表示法：解集用区间表示，如(3,+∞)表示大于3的所有实数。
b)不等式表示法：通过不等式的形式表示解集，如x>3三、一元二次不等式1.解一元二次不等式的方法：a)求解开头为正负的二次不等式：将二次不等式化为二次方程，再通过求解二次方程得到解的范围。
b)求解开头为非负的二次不等式：直接观察二次不等式的开头，确定解的范围。
2.一元二次不等式的特殊情况：a)严格不等式：不等号中的大于或小于号是有实际意义的，例如x^2>4b)非严格不等式：不等号中的大于等于或小于等于号是有实际意义的，例如x^2≥43.一元二次不等式的解集表示方法：a)区间表示法：解集用区间表示，如(-∞,-2)∪(2,+∞)表示不在(-2,2)范围内的所有实数。
b)不等式表示法：通过不等式的形式表示解集，如x<-2或x>2四、两个不等式的关系1. 不等式的加减乘除运算：若a>b且c>0，则有a+c>b+c、ac>bc （或ac<bc）、a/c>b/c（或a/c<b/c）。
不等式的基础知识点与习题(含答案)
不等式的基本知识（一）不等式与不等关系1、应用不等式（组）表示不等关系；不等式的主要性质：(1)对称性：a b b a <⇔> (2)传递性：c a c b b a >⇒>>,(3)加法法则：c b c a b a +>+⇒>；d b c a d c b a +>+⇒>>,(同向可加)(4)乘法法则：bc ac c b a >⇒>>0,； bc ac c b a <⇒<>0,bd ac d c b a >⇒>>>>0,0(同向同正可乘)(5)倒数法则：ba ab b a 110,<⇒>> (6)乘方法则：)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a n n 且(7)开方法则：)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a n n 且2、应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法（作差——变形——判断符号——结论）3、应用不等式性质证明不等式（二）解不等式1、一元二次不等式的解法一元二次不等式()00022≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集： 设相应的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42-=∆，则不等式的解的各种情况如下表：2、简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿偶不穿；（3）根据曲线显现()f x 的符号变化规律，写出不等式的解集。
()()()如：x x x +--<1120233、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。
不等式及其性质(基础)知识讲解
不等式及其性质（基础）知识讲解知识梳理要点一、不等式的概念一般地，用“＜”、“＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式．要点诠释：(1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大．(2)五种不等号的读法及其意义：(3)有些不等式中不含未知数，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如2x＞5中，x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立．要点二、不等式的基本性质不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或a bc c >)．不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或a bc c <)．要点诠释：对不等式的基本性质的理解应注意以下几点：(1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条性质既有联系，又有区别，注意总结、比较、体会．(2)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变．【典型例题】类型一、不等式的概念1．用不等式表示：(1)x与-3的和是负数；(2)x与5的和的28％不大于-6;(3)m除以4的商加上3至多为5．【思路点拨】列不等式时，应抓住“大于”、“不大于”、“不是”、“至多”、“非负数”等表示不等关系的关键性词语，进而根据这些关键词的内涵列出不等式．【答案与解析】解：(1)x-3＜0；(2)28％(x+5)≤-6；(3)34m +≤5． 【总结升华】在不等式及其应用的题目中，经常会出现一些表示不等关系的词语．正确理解这些关键词很重要．如：若x 是非负数，则x ≥0；若x 是非正数，则x ≤0；若x 大于y ，则有x-y ＞0；若x 小于y ，则有x-y ＜0等．举一反三：【变式】a a +的值一定是（ ）．A.大于零B.小于零C.不大于零D. 不小于零【答案】D.2.下列叙述：①a 是非负数则a ≥0；②“a 2减去10不大于2”可表示为a 2-10＜2； ③“x 的倒数超过10”可表示为1x ＞10；④“a ，b 两数的平方和为正数”可表示为a 2+b 2＞0．其中正确的个数是（ ）.A.1个B.2个C.3个D. 4个【答案与解析】①非负数是大于等于零的实数，即a ≥0．故①正确；②“a 2减去10不大于2”可表示为a 2-10≤2；故②错误；③“x 的倒数超过10”就是“③“x 的倒数大于10”，可表示为1x＞10．故③正确；④“a ，b 两数的平方和为正数”，即“；④“a ，b 两数的平方和大于零”，可表示为a 2+b 2＞0．故④正确．综上所述，正确的说法有3个．故选C ．【总结升华】考查了不等式的定义．一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．解答此类题关键是要识别常见不等号：＞、＜、≤、≥、≠． 类型二、不等式的基本性质3.（2015春•天津期末）判断以下各题的结论是否正确（对的打“√”，错的打“×”）．（1）若 b ﹣3a ＜0，则b ＜3a ；（2）如果﹣5x ＞20，那么x ＞﹣4；（3）若a ＞b ，则 ac 2＞bc 2；（4）若ac 2＞bc 2，则a ＞b ；（5）若a ＞b ，则 a （c 2+1）＞b （c 2+1）．（6）若a ＞b ＞0，则＜． ．【答案与解析】解：（1）若由b ﹣3a ＜0，移项即可得到b ＜3a ，故正确；（2）如果﹣5x ＞20，两边同除以﹣5不等号方向改变，故错误；（3）若a ＞b ，当c=0时则 ac 2＞bc 2错误，故错误；（4）由ac 2＞bc 2得c 2＞0，故正确；（5）若a ＞b ，根据c 2+1，则 a （c 2+1）＞b （c 2+1）正确．（6）若a＞b＞0，如a=2，b=1，则＜正确．故答案为：√、×、×、√、√、√．【总结升华】本题考查了不等式的性质，两边同乘以或除以一个不为零的负数，不等号方向改变．4.如果a＞b，c＜0，那么下列不等式成立的是( ).A．a+c＞b+c B．c-a＞c-b C．ac＞bc D．a b c c【思路点拨】根据不等式的性质分析判断．【答案】A.【解析】A、在不等式的两边同时加上c不等号方向不变，故本选项正确；B、在不等式的两边同时乘以-1，加上c后不等号方向改变，故本选项错误；C、两边同时乘以负数c，不等号方向改变，故本选项错误；D、两边同时除以负数c，不等号方向改变，故本选项错误；【总结升华】不等式的性质是不等式变形的重要依据．关键要注意不等号的方向．性质1和性质2类似于等式的性质但性质3中，当不等式两边乘以或除以同一个负数时，不等号的方向要改变．举一反三：【变式】（2015春•秦淮区期末）根据不等式的基本性质，将“mx＜3”变形为“x＞3m”，则m的取值范围是．【答案】m＜0.解：∵将“mx＜3”变形为“x＞3m”，∴m的取值范围是m＜0．故答案为：m＜0．。
等式性质与不等式性质(基础知识+基本题型)(含解析)
2.1 等式性质与不等式性质（基础知识+基本题型）知识点一不等式的有关概念1．不等式的定义在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号，，≥，≤，连接两个数或代数式以表示它们之间的不等关系．含有这些不等号的式子，叫做不等式．2．同向不等式和异向不等式对于两个不等式，如果每一个不等式的左边都大于（或大于等于）右边或每一个不等式的左边都小于（或小于等于）右边，那么这两个不等式叫做同向不等式．例如，f x g x 与S x T x是同向不等式，()()f x g x ≤与()()S x T x ≤也是同向不等式．对于两个不等式，如果一个不等式的左边都大于（或大于等于）右边，而另一个不等式的左边小于（或小于等于）右边，那么这两个不等式叫做异向不等式．例如，f x g x 与S x T x是异向不等式，()()f x g x ≤与()()S x T x ≥也是异向不等式．提示文字语言 大于，高于，超过 小于，低于，少于大于等于，至少，不低于 小于等于，至多，不超过符号语言≥≤知识点二比较实数大小的依据与方法1．比较实数大小的依据在数轴上，不同的点A与点B分别表示两个不同的实数a与b，右边的点表示的数比左边的点表示的数大，从实数减法在数轴上的表示（如图 3.11所示），可以看出a，b之间具有以下性质：如果a b-等于零，那么>；如果a b-是正数，那么a ba b；如果a b<．反之也成立．它是本章内容的理论基础，是不等式性质的证明、证-是负数，那么a b明不等式和解不等式的主要依据．2．比较两个实数大小的方法⑴作差法：对于两个实数a，b，通过比较a b-与0的大小关系，从而得到实数a，b的大小关系，具体方法如下：a b a b-=⇔=；0-<⇔<．a b a b->⇔>；0a b a b⑵作商法：对于任意两个正数a ，b ，通过比较a b与1的大小关系，从而得到正数a ，b 的大小关系，具体方法如下：当0a ，0b 时，1a a bb >⇔>；1aa b b=⇔=；1aa b b<⇔<．知识点三 等式的性质等式有下面的基本性质：性质1 如果a b =，那么b a =；性质2 如果a b =，b c =，那么a c =；性质3 如果a b =，那么a c b c ±=±；性质4 如果a b =，那么ac bc =；性质5 如果a b =，0c ≠，那么a b c c=． 知识点四 不等式的性质性质 具体名称 性质内容注意 1 对称性 a b b a >⇔< ⇔ 2 传递性 a b ，b c a c >⇒> ⇒ 3 可加性a b a c b c >⇔+>+ ⇔4 可乘性 0a b ac bc c >⎫⇒>⎬>⎭c 的符号0a b ac bc c >⎫⇒<⎬<⎭5 同向可加性 a b a c b d c d >⎫⇒+>+⎬>⎭⇒ 6 同向同正可乘性 00a b ac bd c d >>⎫⇒>⎬>>⎭⇒7 可乘方性 0n n a b a b >>⇒>（n N ∈，1n ≥） 同正8可开方性0n n a b a b >>⇒>（n N ∈，2n ≥）9 取倒数11a bab a b>⎫⇒<⎬>⎭a，b同号考点一：用不等式表示不等关系180m，拟分割成大、例1.某人有楼房一幢，室内面积共218m，小两类房间作为旅游客房，大房间面积为215m 可住游客5人，每名游客每天住宿费40元；小房间每间面积为2，可住游客3人，每名游客每天住宿费50元；装修大房间每间需要1000元，装修小房间每间需要600元，如果他只能筹款8000元用于装修，试写出满足上述所有不等关系的不等式.【思路点拨】把已知条件用等式或不等式列出来（代数化），把目标用代数式表示，再研究条件和目标的关系。
高考数学复习知识点讲解与练习3 不等式的概念及基本性质
高考数学复习知识点讲解与练习专题3不等式的概念及基本性质[基础强化]一、选择题1．如果a＜b＜0，那么下列各式一定成立的是()A．a－b＞0 B．ac＜bcC．a2＞b2 D．1a＜1b【解析】C∵a＜b＜0，∴a2＞b2.2．下列不等式中，正确的是() A．若ac2>bc2，则a>bB．若a>b，则a＋c<b＋c C．若a>b，c>d，则ac>bdD．若a>b，c>d，则a c> b d【解析】A∵ac2>bc2，c2>0，∴a>b.A正确．3．使得a＞b＞0成立的一个充分不必要条件是()A．1b＞1a B．ea＞e bC．a b＞b a D．ln a＞ln b＞0 【解析】D当a＞b＞0时，1b＞1a，ea＞e b成立，即1b＞1a，ea＞e b是a>b>0的必要条件，不符合题意，排除A，B.当a b＞b a时，可取a＝1，b＝－1，但a >b >0不成立，故a b ＞b a 不是a ＞b ＞0的充分条件，排除C.函数y ＝ln x 在(0，＋∞)上单调递增，当ln a ＞ln b ＞0时，a ＞b ＞1＞0；当a ＞b ＞0时，取a ＝1e ，b ＝1e 2，则ln b ＜ln a ＜0.综上，ln a ＞ln b ＞0是a ＞b ＞0的充分不必要条件．4．已知x ，y ∈R ，且x ＞y ＞0，则()A ．1x －1y ＞0B ．sin x －sin y ＞0C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12y ＜0 D ．ln x ＋ln y ＞0 【解析】C方法一 (取特殊值进行验证)因为x ＞y ＞0，选项A ，取x ＝1，y ＝12，则1x －1y ＝1－2＝－1＜0，排除A ；选项B ，取x ＝π，y ＝π2，则sin x －sin y ＝sin π－sin π2＝－1＜0，排除B ；选项D ，取x ＝2，y ＝12，则ln x ＋ln y ＝ln (xy )＝ln 1＝0，排除D.方法二 (利用函数的单调性)因为函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在R 上单调递减，且x ＞y ＞0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12y ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12y ＜0.故选C.5．若a ，b ∈R ，且a >|b |，则()A ．a <－bB ．a >bC ．a 2<b 2D ．1a >1b【解析】B可取a ＝2，b ＝±1逐一验证，B 正确6．若a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，则下列不等式一定成立的是()A ．ac >bcB ．ab >bcC ．ab <bcD ．ac <bc【解析】D∵a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0∴a >0，c <0，b 不确定∴ac <bc .7．若α，β满足－π2<α<β<π2，则2α－β的取值范围是()A ．－π<2α－β<0B ．－π<2α－β<πC ．－3π2<2α－β<π2D ．0<2α－β<π【解析】C∵－π2<α<β<π2，∴－π2<α<π2，－π<α－β<0，∴－3π2<2α－β<π2.8．已知实数a ，b ，c ，满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则a ，b ，c 的大小关系是()A ．c ≥b >aB ．a >c ≥bC ．c >b >aD ．a >c >b【解析】A因为c －b ＝4－4a ＋a 2＝(a －2)2≥0，所以c ≥b .又b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，所以2b ＝2＋2a 2，b ＝a 2＋1，所以b －a ＝a 2－a ＋1＝(a －12)2＋34>0，所以b >a ，所以c ≥b >a .9．(多选)[2023·山东淄博实验中学检测]若a >b >0，则下列不等式中一定不成立的是()A ．b a >b ＋1a ＋1B ．a ＋1a >b ＋1bC ．a ＋1b >b ＋1aD ．2a ＋b a ＋2b >a b【解析】AD∵a >b >0，则b a －b ＋1a ＋1＝b （a ＋1）－a （b ＋1）a （a ＋1）＝b －a a （a ＋1）<0，∴b a >b ＋1a ＋1一定不成立；a ＋1a －b －1b ＝(a －b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1ab ，当ab >1时，a ＋1a －b －1b >0，故a ＋1a >b ＋1b 可能成立；a ＋1b －b －1a ＝(a －b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1ab >0，故a ＋1b >b ＋1a 恒成立；2a ＋b a ＋2b －a b＝b 2－a 2b （a ＋2b ）<0，故2a ＋b a ＋2b >a b一定不成立．故选AD.二、填空题10．若a <0，b <0，则p ＝b 2a ＋a 2b 与q ＝a ＋b 的大小关系为________．【解析】p ≤qp －q ＝(b 2a ＋a 2b )－(a ＋b )＝(b 2a －a )＋(a 2b －b )＝(1a －1b )(b 2－a 2)＝（b －a ）2（b ＋a ）ab， 又a <0，b <0，所以b ＋a <0，ab >0，(b －a )2≥0，所以(b 2a ＋a 2b )－(a ＋b )≤0，所以p ≤q .11．若实数a ，b 满足0<a <2，0<b <1，则a －b 的取值范围是________．【解析】(－1，2)∵0<b <1，∴－1<－b <0又∵0<a <2∴－1<a －b <2.12．[2023·山东济南外国语学校检测]已知a ，b ，c ，d 均为实数，有下列命题：①若ab >0，bc －ad >0，则c a －d b >0；②若ab >0，c a －d b >0，则bc －ad >0；③若bc －ad >0，c a －d b >0，则ab >0.其中正确的命题是________．【解析】①②③解析：对于①，若ab >0，bc －ad >0，不等式两边同时除以ab 得c a －d b >0，所以①正确；对于②，若ab >0，c a －d b >0，不等式两边同时乘以ab 得bc －ad >0，所以②正确；对于③，若c a －d b >0，当两边同时乘以ab 时可得bc －ad >0，所以ab >0，所以③正确．[能力提升]13．已知下列四个条件：①b ＞0＞a ；②0＞a ＞b ；③a ＞0＞b ；④a ＞b ＞0，能推出1a ＜1b 成立的有()A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】C①中，因为b ＞0＞a ，所以1b ＞0＞1a ，因此①能推出1a ＜1b 成立，所以①正确；②中，因为0＞a ＞b ，所以ab ＞0，所以a ab ＞b ab ，所以1b ＞1a ，所以②正确；③中，因为a ＞0＞b ，所以1a ＞0＞1b ，所以1a ＞1b ，所以③不正确；④中，因为a ＞b ＞0，所以a ab ＞b ab ，所以1b ＞1a ，所以④正确．故选C.14．(多选)若a ＜b ＜－1，c ＞0，则下列不等式一定成立的是()A ．a －1a ＞b －1bB ．a －1b ＜b －1aC ．ln (b －a )＞0D ．(a b )c ＞(b a )c【解析】BD利用取特殊值法，令a ＝－3，b ＝－2，代入各选项，验证可得正确的选项为BD.15．已知有三个条件：①ac 2>bc 2；②a c >b c ；③a 2>b 2，其中能成为a >b 的充分条件是________．(填序号)【解析】①①由ac 2>bc 2可知c 2>0，即a >b ，故“ac 2>bc 2”是“a >b ”的充分条件；②当c <0时，a <b ；③当a <0，b <0时，a <b ，故②③不是a >b 的充分条件．16．已知2b <a <－b ，则a b 的取值范围是________．【解析】(－1，2)解析：∵2b <a <－b ，∴2b <－b ，∴b <0，∴1b <0，∴－b b <a b <2b b ，即－1<a b <2.。
不等式的概念、性质和解法
一、不等式的概念和性质 不等式的概念1.不等式：用不等号表示不相等关系的式子，叫做不等式，例如：252,314,10,10,0,35a x a x a a -<-+>-++≤+>≥≠等都是不等式．2.常见的不等号有５种：“≠”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”．注意：不等式３≥２成立；而不等式３≥３也成立，因为３＝３成立，所以不等式３≥３成立．3.不等号“>”和“<”称为互为相反方向的符号，所谓不等号的方向改变，就是指原来的不等号的方向改变成与其相反的方向，如：“>”改变方向后，就变成了“<”。
【例1】用不等式表示数量的不等关系．（1）a 是正数 （2）a 是非负数（3）a 的相反数不大于1 （4）x 与y 的差是负数 （5）m 的4倍不小于8（6）q 的相反数与q 的一半的差不是正数（7）x 的3倍不大于x 的13（8） a 不比0大【巩固】用不等式表示：⑴ x 的15与6的差大于2； ⑵ y 的23与4的和小于x ；⑶ a 的3倍与b 的12的差是非负数； ⑷ x 与5的和的30%不大于2-． 【巩固】用不等式表示：⑴a 是非负数； ⑵y 的3倍小于2； ⑶x 与1的和大于0；⑷x 与4的和大于1不等式的性质 不等式基本性质：基本性质１：不等式两边都加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号方向不变．如果a b >，那么a c b c ±>± 如果a b <，那么32(1)x a x +≥-基本性质２：不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．如果a b >，并且0c >，那么ac bc >(或a b c c >) 如果a b <，并且0c >，那么ac bc <(或a b c c<) 基本性质３：不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．如果a b >，并且0c <，那么ac bc <(或a b c c<) 如果a b <，并且0c <，那么ac bc >(或ax b >)不等式的互逆性：如果a b >，那么b a <；如果b a <，那么a b >． 不等式的传递性：如果a b >，b c >，那么a c >．易错点：①不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．②在计算的时候符号方向容易忘记改变．【例2】⑴ 如果a b >，则2a a b >+，是根据 ；⑵ 如果a b >，则33a b >，是根据 ；⑶ 如果a b >，则a b -<-，是根据 ； ⑷ 如果1a >，则2a a >，是根据 ； ⑸ 如果1a <-，则2a a >-，是根据 ．【巩固】利用不等式的基本性质，用“＜”或“＞”号填空．⑴ 若a b <，则2a _______2b ； ⑵ 若a b >，则4a -______4b -；⑶ 若362x ->，则x ______4-；⑷ 若a b >，0c >，则ac ______bc ；⑸ 若0x <，0y >，0z <，则()x y z -_______0．【巩固】若a b <，用“>”或“<”填空⑴2_____2a b ++； ⑵2_____2a b --⑶11______33a b ； ⑷____a b -- 【巩固】若a b <，则下列各式中不正确的是（ ）A.88a b -<+B.1188a b < C. 1212a b -<- D.22a b -<-【例3】已知a b >，要使bm am -<-成立，则m 必须满足( )A ．0m >B ．0m =C ．0m <D ．m 为任意数【巩固】如果关于x 的不等式(1)1a x a +>+的解集为1x <，那么a 的取值范围是（ ）A.0a >B.0a <C.1a >-D.1a <-【巩固】若0a b <<，则下列不等成立的是( )A ．11a b< B ． 2ab b < C ． 2a ab > D ．||||a b <【巩固】如果a b >，可知下面哪个不等式一定成立( )A ． a b ->-B ．11a b< C ． 2a b b +> D ．2a ab >【巩固】如果2x >，那么下列四个式子中：①22x x > ②2xy y > ③2x x > ④112x <正确的式子的个数共有 ( ) A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【巩固】根据a b >，则下面哪个不等式不一定成立( )A ．22a c b c +>+B ． 22a c b c ->-C ． 22ac bc >D ．2211a bc c >++ 不等式的解集 1.不等式的解：使不等式成立的每一个未知数的值叫做不等式的解．例如：4-，2-，0，1，2都是不等式2x ≤的解，当然它的解还有许多． 2.不等式的解集：能使不等式成立的所有未知数的集合，叫做不等式的解集．不等式的解集是一个范围，在这个范围内的每一个值都是不等式的解． 不等式的解集可以用数轴来表示．不等式的解与不等式的解集是两个不同的概念，不等式的解是指使这个不等式成立的未知数的某个值，而不等式的解集，是指使这个不等式成立的未知数的所有的值；不等式的所有解组成了解集，解集包括了每一个解． 在数轴上表示不等式的解集(示意图)：【例4】下列说法中错误的是（ ）A.不等式28x -<的解集是4x >-；B.40-是不等式28x <-的一个解C.不等式6x <的正整数解有无数多个D.不等式6x <正整数解有无限个【例5】在数轴上表示下列不等式的解集：⑴1x <； ⑵2x ≥-； ⑶2x <-或1x ≥； ⑷21x -≤<【巩固】在12-、1-、2-、0、3-、12、32-中，能使不等式32x +<成立的有（ ）A.4个B.3个C.2个D.1个【巩固】下列不等式：①76->-；②a a >-；③1a a +>；④0a >；⑤210a +>，其中一定成立的有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个二、一元一次不等式的解法1.一元一次不等式：经过去分母、去括号、移项、合并同类项等变形后，能化为ax b<或ax b>的形式，其中x是未知数，,a b是已知数，并且0a≠，这样的不等式叫一元一次不等式．ax b<或ax b>(0a≠)叫做一元一次不等式的标准形式．2.解一元一次不等式：去分母→去括号→移项→合并同类项(化成ax b<或ax b>形式)→系数化一(化成bxa>或bxa<的形式)【例6】求不等式3(1)5182x xx+-+>-的解集．【巩固】解不等式：5192311 236x x x+--+≤【巩固】解不等式2110155364x xx++--≥，并把它的解集在数轴上表示出来．【巩固】解不等式2(1)34(1)5x x x+->++【巩固】当x为何值时，代数式2113x+-的值不小于354x+的值？【例7】求不等式4512x-＜1的正整数解．【巩固】不等式132x x+>的负整数解是_______．【巩固】不等式111326y y y+---≥的正整数解为__________．【巩固】求不等式12123x x+-≥的非负整数解．三、一元一次不等式组的解法1.一元一次不等式和它的解法一般地，几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的一元一次不等式组的解集2.解一元一次不等式组的一般步骤：①求出这个不等式组中各个不等式的解集：②利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即可求出这个不等式组的解集注意：①利用数轴表示不等式的解集时，要注意表示数的点的位置上是空心圆圈，还是实心圆点；②若不等式组中各个不等式的解集没有公共部分，则这个不等式组无解3.由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集的情况有如下四种：不等式组的口诀解法（一）同大取大如果两个不等式的解集都是大于某数时，那么不等式的解集就是大于大数（二）同小取小如果两个不等式的解集都是小于某数时，那么不等式组的解集就是小于小数（三）大小小大中间找如果不等式组中的一个不等式的解集是大于小数，另一个不等式的解集是小于大数，那么这个不等式组的解集就是小数与大数之间的部分（四）大大小小找不到如果不等式组中的一个不等式的解集是大于大数，另一个不等式的解集是小于小数，那么不等式组就是无解【例8】解不等式组31422xx x->-⎧⎨<+⎩，并把它的解集表示在数轴上．【巩固】求不等式组2(2)43251x xx x-≤-⎧⎨--⎩＜①②的整数解．【例9】解不等式：32122x--<≤；【巩固】解不等式：23121 42xx-≤≤+【例10】解不等式组：11141010372x x x x x ⎧-+>+⎪⎪--⎨⎪+>+⎪⎩；【巩固】解不等式组：323(1)12123x x x x x +≥--⎧⎪-+⎨->-⎪⎩【例11】解不等式组：2(20)203(34)2521623x x x x x -+≥-+⎧⎪-+⎨<⎪⎩【巩固】解不等式组：734342555(4)2(4)3x x x x x -+⎧-≥-⎪⎪⎨⎪+-≤-⎪⎩【例12】解不等式组()121123621[41]43x x x x x x x --+⎧->-⎪⎪⎨⎪---⎪⎩①≥②。
初二数学一元一次不等式知识点及经典例题
一元一次不等式重点：不等式的性质和一元一次不等式的解法。
难点：一元一次不等式的解法和一元一次不等式解决在现实情景下的实际问题。
知识点一：不等式的概念1. 不等式：用“＜”(或“≤”)，“＞”(或“≥”)等不等号表示大小关系的式子，叫做不等式.用“≠”表示不等关系的式子也是不等式.要点诠释：(1)不等号的类型:①“≠”读作“不等于”，它说明两个量之间的关系是不等的，但不能明确两个量谁大谁小；②“＞”读作“大于”，它表示左边的数比右边的数大；③“＜”读作“小于”，它表示左边的数比右边的数小；④“≥”读作“大于或等于”，它表示左边的数不小于右边的数；⑤“≤”读作“小于或等于”，它表示左边的数不大于右边的数；(2) 等式与不等式的关系：等式与不等式都用来表示现实世界中的数量关系，等式表示相等关系，不等式表示不等关系，但不论是等式还是不等式，都是同类量比较所得的关系，不是同类量不能比较。
(3) 要正确用不等式表示两个量的不等关系，就要正确理解“非负数”、“非正数”、“不大于”、“不小于”等数学术语的含义。
知识点二：不等式的基本性质基本性质1：不等式的两边都加上(或减去)同一个整式，不等号的方向不变。
符号语言表示为：如果，那么。
基本性质2：不等式的两边都乘上(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。
符号语言表示为：如果，并且，那么（或）。
基本性质3：不等式的两边都乘上(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。
符号语言表示为：如果，并且，那么（或）要点诠释：(1)不等式的基本性质1的学习与等式的性质的学习类似，可对比等式的性质掌握；(2)要理解不等式的基本性质1中的“同一个整式”的含义不仅包括相同的数，还有相同的单项式或多项式；(3)“不等号的方向不变”，指的是如果原来是“＞”，那么变化后仍是“＞”；如果原来是“≤”，那么变化后仍是“≤”；“不等号的方向改变”指的是如果原来是“＞”，那么变化后将成为“＜”；如果原来是“≤”，那么变化后将成为“≥”；(4)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质3，在乘(除)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，要记住不等号的方向一定要改变。
不等式知识点归纳
不等式知识点归纳不等式是数学中的一种常见表达方式，用于比较两个数量的大小关系。
它是数学分析、代数和几何中的重要概念之一，有着广泛的应用。
本文将介绍不等式的基本概念、性质、解法以及常见类型的练习题，帮助读者全面了解和掌握不等式知识。
一、不等式的基本概念不等式是将两个数或者表达式进行比较的一种数学符号表达方法。
通常使用不等号（<, >, ≤, ≥）表示大小关系。
其中，< 表示严格小于，> 表示严格大于，≤ 表示小于等于，≥ 表示大于等于。
例如，a < b 表示 a 小于 b，a > b 表示 a 大于 b，a ≤ b 表示 a 小于等于 b，a ≥ b 表示 a 大于等于b。
二、不等式的性质1. 传递性：如果 a < b，b < c，则可以推出 a < c；如果a > b，b > c，则可以推出 a > c。
2. 加减性：如果 a < b，则 a ± c < b ± c；如果 a > b，则 a ± c > b ± c。
其中，c 是常数。
3. 乘除性：如果 a < b，且 c > 0 或 c < 0，则 ac < bc；如果 a < b，且 c < 0 或 c > 0，则 ac > bc。
注意，当 c = 0 时，乘除性不成立。
4. 倒数性：如果 a < b，且 c < 0 或 c > 0，则 1/a > 1/b；如果 a < b，且 c > 0 或 c < 0，则 1/a < 1/b。
注意，当a 或b 为0时，倒数性不成立。
三、不等式的解法解一个不等式，就是找出使得不等式成立的数的范围。
常见的解不等式的方法有以下几种。
1. 加减法：将不等式中的项移项，使得不等式变为一个与变量 x 有关的代数式 f(x)，然后通过分析 f(x) 的符号变化来确定不等式的解集。
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、不等式的概念及列不等式概念 不等号表示出不等关系1不等式的概念及其分类(1 )定义：用“〉”、“<”、“工”、及“w”等不等号把代数式连接起来，表示不等 关系的式子。
a-b>Oa>b, a-b=Oa=b, a-b<Oa<b 。
(2)分类：①矛盾不等式：不等式只是表示了某种不等关系，它表示的关系可能在任何条 件下都不成立，这样的不等式叫矛盾不等式；如2>3, x 2< 0② 绝对不等式：它表示的关系可能在任何条件下都成立，这样的不等式叫绝对不等式； ③ 条件不等式：在一定条件下才能成立的不等式叫条件不等式。
(3 )不等号的类型：① “工”读作“不等于”，它说明两个量之间关系是不等的，但不能明确两个量谁大谁小； ② “〉”读作“大于”，它表示左边的数比右边的数大； ③ “<”读作“小于”，它表示左边的数比右边的数小； ④读作“大于或等于”，它表示左边的数不小于右边的数；⑤ “w”读作“小于或等于”，它表示左边的数不大于右边的数；注意：要正确理解“非负数”、“非正数”、“不大于”、“不小于”等数学术语的含义。
(4 )常见不等式基本语言的含义：① 若x > 0,则x 是正数；②若x < 0,则x 是负数；③若x > 0,则x 是非负数；④若x w 0, 则x 是非正数；⑤若 x-y >0，则x 大于y ;⑥若x-y < 0,则x 小于y ;⑦若x-y >0,贝U xx不小于y ;⑧若x-y w 0，则x 不大于y ;⑨若xy >0 (或一〉0),则x , y 同号；⑩若xy < 0y（或-< 0）,则x , y 异号;y(5 )等式与不等式的关系：等式与不等式都用来表示现实中的数量关系，等式表示相等关系，不等式表示不等关系， 但不论是等式还是不等式，都是同类量比较所得的关系，不是同类量不能比较。
2、列不等式：(1 )根据已知条件列不等式，实际上就是用不等式表示代数式间的不等关系，重点是抓住 关键词，弄清不等关系。
(2)步骤：①正确列出代数式；②正确使用不等号不等式列不等式步骤设未知数列出代数式例1:列不等式：①x的2倍与y的差是非正数；②x与3的差不小于5x 2y 4m 1例2：已知关于x、y的方程组『，试列出使x w y成立的关于m的不等式x 2y 9二、不等式的解和解集1、相关概念：①不等式的解：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解；②不等式的解集：使不等式成立的未知数的取值范围叫做不等式的解的集合，简称解集；③解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式；2、不等式的解和解集的区别与联系：区别：不等式的解是一些具体数值，有无数个，用符号表示；不等式的解集是一个范围，用不等号表示。
联系：不等式的每一个解都在它的解集的范围内。
3、用数轴表示不等式的解集：①x > -2表示为：②x w -2表示为：③x< 2表示为：④x>2表示为：特别提示：用数轴表示不等式的解集要注意两点：①定界点：一般在数轴上只标出原点和界点即可，定边界点时要注意点是实心还是空心，若边界点含于集合为实心点，不含于解集为空心点；②定方向："小于向左，大于向右”。
例1、表示不等式组的解集如图所示，则不等式组的解集是_ _ •例2、x的解集在数轴上表示为如图所示的不等式组，求x的解集三、不等式的性质1、不等式的性质可分为不等式基本性质和不等式运算性质两部分。
（1）不等式基本性质有：①一个数大于另一个数，则另一个数一定小于这个数；若a>bb<a （对称性）②一个数大于另一个数，另一个数大于其它数，则这个数一定大于其它数；若a>b,b>ca>c （传递性）③不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变；a>ba+c>b+c （c € R）④不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；c>0时，a>bac>bc⑤不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；c<0时，a>bac<bc。
特别提示：①、在不等式两边同乘以（或除以）同一个数（或式）时，必须先确定这个数的性质符号，然后再确定是否改变不等号的方向；②、如果不等式乘以0,那么不等号改为等号，所以在题目中，要求出乘以的数，那么就要看题中是否出现一元一次不等式，如果出现了，那么不等式乘以的数就不能为0，否则不等式不成立；（2 ）、运算性质有：①a>b,c>da+c>b+d 。
②a>b>0,c>d>0ac>bd 。
③a>b>0a n>b n（n € N, n>1）。
④a>b>0>（n € N,n>1）。
应注意，上述性质中，条件与结论的逻辑关系有两种：“”和“”即推出关系和等价关系。
一般地，证明不等式就是从条件出发施行一系列的推出变换。
解不等式就是施行一系列的等价变换。
因此，要正确理解和应用不等式性质。
2、不等式与等式性质的关系3、不等式性质的应用：主要有以下三类问题：（1）根据给定的不等式条件，禾U用不等式的性质，判断不等式能否成立。
⑵禾U用不等式的性质及实数的性质，函数性质，判断实数值的大小。
⑶利用不等式的性质，判断不等式变换中条件与结论间的充分或必要关系。
例1、试判断4m2+4m+5：和2（2m+1）的大小2例2、若关于x的不等式（1-a）x > 2可化为x v 丄，试确定a的取值范围1 - a不等式的概念及性质练习题一、判断题（正确的打“V” ，错误的打“x” ）1、不等式两边同时乘以一个整数，不等号方向不变。
（）2、如果a> b，那么3-2a > 3-2b。
（）3、如果a是有理数，那么—8a>- 5a。
（）2 24、如果a v b，那么a v b。
（）5、如果a为有理数，则a>- a。
（）2 26、如果a> b，那么ac > bc。
（）7、如果一x>8，那么x>—8。
（）8、若a v b,贝U a + c v b+ c。
( )9、x 0, y 0,则-0 y ()10、若x y 0,则1(y2x) 0 ()11、若a b, c 0,则ac2bc20 ()12、若xz 2 yz2,则x y ()13、若a b a,则b 0 ( )14、若ab c,则a —b( )15、若 1a 2,则1 2a ( )、填空题1、若a b，则 1 a 1b2a 1 2b 12 2 2、当a 0 时，b 0时，ab 03、 4、 5、 x yy右x 0,则2 ---- 2 bc 2，则 3a _____ 3b b 在数轴上的位置如图所示，用 若ac 2实数a , “〉”或“v”填空: 2 + b ___ 0, ab ____ 0, a b 2,丄_1 ,| a |a bIb|6、 7、9、 则丄（b — a ） __ 02 用不等式表示“ a 的5倍与b 的和不大于8”为 ...a 是个非负数可表示为 0,则-- a 一2a,则 a 0 若 a v b v 0,10、若 3a 三、选择题1、 在数学表达式 ①-3<0;②4x+5>0; （） 个2、若 A .3、 若 A . 个 个 个 m<n,则下列各式中正确的是（ m- 3 >n — 3 B 。
3m> 3n C 。
a v 0,则下列不等关系错误的是（ 2 ③x=3;④x +x;⑤x -4;⑥x+2>x+1是不等式的有 ) —3m > — 3n D 。
ITJ ^ 3 — 1 > n / 3— 1 )a + 5 v a + 7 B 。
5a >7a C 。
5— a v 7 — a D 。
a /5> a /7 4、 下列各题中，结论正确的是（ A .若 a >0,b v 0，贝U C .若 a v 0, b v 0，贝U 5、 下列变形不正确的是（ A .若 a > b ,贝U b v a ) b /a > 0 ab v 0 ) .若 a > b ,贝U a — b > 0 .若 a > b , a v 0，贝U b /a v 0 .—a > — b ，得 b > a .由 x /2>— y ,得 x >— 2y C.由一2x > a ，得 x > — a / 2 6、有理数b 满足| b |v 3，并且有理数a 使得a v b 恒成立，则a 得取值范围是 A . C . 7、 若A . 小于或等于3的有理数B 小于或等于-3的有理数 D a — b v 0,则下列各式中一定成立的是（ a > b B . ab > 0C .小于3的有理数 .小于一3的有理数 ）.a / b v 0 D . — a > — b 8、若a b ，且c 0 ,那么在下面不等式①a c b c ②ac bc ③2 2ac bc 中成立的个数是（ A . 1 B . 2 9、已知a 、b 、c 都是实数, C 并且 ) .3 a>b>c , D . 4 那么下列式子中正确的是（ A. ab bc B 10、下列由题意列出的不等关系中 A. a 不是是负数可表示为 a>0 C. m 与4的差是非负数，可表示为 四、解答题 1、用不等式表示下列数量关系。
,错误的是（ B. xx-40 D.代数式不大于3可表示为x <3x +3必大于3x-7，可表示为 x +3>3x-7（1） a 与b 的和大于a 的2倍。
1 1（2） a 的-与b 的-的差是负数。
2 3（3）x 与y 之和的绝对值不大于x 的一半的相反数（4）a 与b 两数和的平方不能大于3。
（5）3x的绝对值不小于5。
（6）a的6倍与3的差不大于1。
2、若a b,试比较ac2与bc2的大小，ac与be的大小。
3、若a ba且a是负数，求b的取值范围。
五、应用题1、某校规定期中考试成绩的40%和期末考试成绩的60%的和作为学生成绩总成绩. 该校骆红同学期中数学靠了85分,她希望自己学期总成绩不低于90分, 她在期末考试中数学至少应得多少分?2、某次数学测验,共有1 6道选择题,评分方法是:答对一题得6分,不大或答错一题扣2分, 某同学要想得分为60分以上,他至少应答对多少道题?（只列关系式）3、有一个两位数，个位上的数是m十位上的数是n如果把这个两位数的个位数与十位数对调，得到的两位数大于原来的两位数，那么m与n哪个大？。