小升初专项复习一 定义新运算
小学数学定义新运算
小学数学定义新运算一.什么是定义新运算我们已经学过了加、减、乘、除运算。
在有些情况下，常把「有多步含加、减、乘、除的运算」用某种新的符号表示，这就是定义了新的运算。
见到了这种用新的符号所定义的运算后，就按它所规定的「运算程序」进行运算，直到得出最后结果。
例如，设A、B表示自然数，如果定义符号「※」表示的运算如下：A※B＝3×A+4×B那么，根据新运算「※」的定义，就可以计算6※7如下：6※7＝3×6+4×7＝46。
如果定义符号「※」表示的运算为：A※B＝A÷B×2+3×A-2，那么，按此定义去计算4※2的话，就有：4※2＝4÷2×2+3×4-2＝2×2＋12－2＝14。
二.定义新运算需要注意的几个问题按照新定义的运算求某个算式的结果，关键是要正确理解这种新运算的意义，如上面举例中的运算符号「※」所表示的运算并不是一种固定的算法，而是因题而异，不同的题目有不同的规定，我们应当严格按不同的规定进行运算。
需要注意的是：（1）有括号时，应当先算括号里的；（2）新定义的运算往往不一定具备交换律和结合律，不能随便套用这些运算定律来解题。
（3）上面例举中所定义的运算使用了符号「※」来定义，但并不是说只有「※」才是规定运算的符号，可能用△，＃，…等符号。
符号的种类是次要的，符号所定义的运算按照怎样的程序来进行才是主要的。
三．典型例题例1设a，b表示整数(包括0)，规定「*」的运算为a*b＝a÷b×2+3×a-b，计算：169*13。
分析与解答动手算之前，先让我们弄清「*」是怎么一种运算程序，按规定，a*b的值是用a除以b，把商数乘2之后，再加上a的3倍，最后减去b，这些运算有两个特点：(1)各步运算都是大家熟悉的四则运算；(2)各步运算的先后次序要按规定的顺序办。
那么，根据「*」的规定，我们可以计算得到：169*13＝169÷13×2+3×169-13＝520。
定义新运算附答案
定义新运算附答案定义新运算附答案我们学过的常⽤运算有：＋、－、×、÷等.如：2＋3＝52×3＝6都是2和3，为什么运算结果不同呢？主要是运算⽅式不同，实际是对应法则不同.可见⼀种运算实际就是两个数与⼀个数的⼀种对应⽅法，对应法则不同就是不同的运算.当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有⼀个唯⼀确定的数与它们对应.只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算.在这⼀讲中，我们定义了⼀些新的运算形式，它们与我们常⽤的“＋”，“－”，“×”，“÷”运算不相同.我们先通过具体的运算来了解和熟悉“定义新运算”.例1、设a、b都表⽰数，规定a△b＝3×a－2×b，①求 3△2， 2△3；②这个运算“△”有交换律吗？③求（17△6）△2，17△（6△2）；④这个运算“△”有结合律吗？⑤如果已知4△b＝2，求b.分析：解定义新运算这类题的关键是抓住定义的本质，本题规定的运算的本质是：⽤运算符号前⾯的数的3倍减去符号后⾯的数的2倍.解：① 3△2＝3×3－2×2＝9－4＝52△3＝3×2－2×3＝6－6＝0.②由①的例⼦可知“△”没有交换律.③要计算（17△6）△2，先计算括号内的数，有：17△6＝3×17－2×6＝39；再计算第⼆步39△2＝3 × 39－2×2＝113，所以（17△6）△2＝113.对于17△（6△2），同样先计算括号内的数，6△2＝3×6－2×2＝14，其次17△14＝3×17－2×14＝23，所以17△（6△2）＝23.④由③的例⼦可知“△”也没有结合律.⑤因为4△b＝3×4－2×b＝12－2b，那么12－2b＝2，解出b＝5.例2、定义运算※为 a※b＝a×b－（a＋b），①求5※7，7※5；②求12※（3※4），（12※3）※4；③这个运算“※”有交换律、结合律吗？④如果3※（5※x）＝3，求x.解：①5※7＝5×7－（5＋7）＝35－12＝23，7※5＝7×5－（7＋5）＝35－12＝23.②要计算12※（3※4），先计算括号内的数，有：3※4＝3×4－（3＋4）＝5，再计算第⼆步12※5＝12×5－（12＋5）＝43，所以 12※（3※4）＝43.对于（12※3）※4，同样先计算括号内的数，12※3＝12×3－（12＋3）＝21，其次21※4＝21×4－（21＋4）＝59，所以（12※ 3）※4＝59.③由于a※b＝a×b－（a＋b）；b※a＝b×a－（b＋a）＝a×b－（a＋b）（普通加法、乘法交换律）所以有a※b＝b※a，因此“※”有交换律.由②的例⼦可知，运算“※”没有结合律.④5※x＝5x－（5＋x）＝4x－5；3※（5※x）＝3※（4x－5）＝3（4x－5）－（3＋4x－5）＝12x－15－（4x－2）＝ 8x－ 13那么 8x－13＝3 解出x＝2.例3、定义新的运算a ⊕ b＝a×b＋a＋b.①求6 ⊕ 2，2 ⊕ 6；②求（1 ⊕ 2）⊕ 3，1 ⊕（2 ⊕ 3）；③这个运算有交换律和结合律吗？解：① 6 ⊕ 2＝6×2＋6＋2＝20，2 ⊕ 6＝2×6＋2＋6＝20.②（1 ⊕ 2）⊕ 3＝（1×2＋1＋2）⊕ 3＝5 ⊕ 3＝5×3＋5＋3＝231 ⊕（2 ⊕ 3）＝1 ⊕（2×3＋2＋3）＝1 ⊕ 11＝1×11＋1＋11＝23.③先看“⊕”是否满⾜交换律：a ⊕ b＝a×b＋a＋bb ⊕ a＝b×a＋b＋a＝a×b＋a＋b（普通加法与乘法的交换律）所以a ⊕ b＝b ⊕ a，因此“⊕”满⾜交换律.再看“⊕”是否满⾜结合律：（a ⊕ b）⊕ c＝（a×b＋a＋b）⊕ c＝（a×b＋a＋b）×c＋a×b＋a＋b＋c＝abc＋ac＋bc＋ab＋a＋b＋c.a ⊕（b ⊕ c）＝a ⊕（b×c＋b＋c）＝a×（b×c＋b＋c）＋a＋b×c＋b＋c＝abc＋ab＋ac＋a＋bc＋b＋c＝abc＋ac＋bc＋ab＋a＋b＋c.（普通加法的交换律）所以（a ⊕ b）⊕ c＝a ⊕（b ⊕ c），因此“⊕”满⾜结合律.说明：“⊕”对于普通的加法不满⾜分配律，看反例：1 ⊕（2＋3）＝1 ⊕ 5＝1×5＋1＋5＝11；1 ⊕ 2＋1 ⊕ 3＝1×2＋1＋2＋1×3＋1＋3＝5＋7＝12；因此1 ⊕（2＋3）≠ 1 ⊕ 2＋1 ⊕ 3.例4、有⼀个数学运算符号“?”，使下列算式成⽴：2?4＝8，5?3＝13，3?5＝11，9?7＝25，求7?3＝？解：通过对2?4＝8，5?3＝13，3?5＝11，9?7＝25这⼏个算式的观察，找到规律： a ?b ＝2a ＋b ，因此7?3＝2×7＋3＝17.例5、x 、y 表⽰两个数，规定新运算“*”及“△”如下：x*y=mx+ny ，x △y=kxy ，其中 m 、 n 、k 均为⾃然数，已知 1*2=5，（2*3）△4=64，求（1△2）*3的值.分析：我们采⽤分析法，从要求的问题⼊⼿，题⽬要求1△2）*3的值，⾸先我们要计算1△2，根据“△”的定义：1△2=k ×1×2=2k ，由于k 的值不知道，所以⾸先要计算出k 的值，k 值求出后，l △2的值也就计算出来了.我们设1△2=a ， (1△2）*3=a*3，按“*”的定义： a*3=ma+3n ，在只有求出m 、n 时，我们才能计算a*3的值.因此要计算（1△2）*3的值，我们就要先求出 k 、m 、n 的值.通过1*2 =5可以求出m 、n 的值，通过（2*3）△4=64求出 k 的值.解：因为1*2=m ×1+n ×2=m+2n ，所以有m+2n=5.⼜因为m 、n 均为⾃然数，所以解出：①当m=1，n=2时：（2*3）△4=（1×2+2×3）△4 =8△4=k ×8×4=32k 有32k=64，解出k=2. ②当m=3，n=1时：（2*3）△4=（3×2+1×3）△4 =9△4=k ×9×4=36k有36k=64，解出k=971，这与k 是⾃然数⽭盾，因此m=3，n =1，k=971 这组值应舍去. 所以m=l ，n=2，k=2.（1△2）*3=（2×1×2）*3=4*3=1×4+2×3=10.在上⾯这⼀类定义新运算的问题中，关键的⼀条是：抓住定义这⼀点不放，在计算时，严格遵照规定的法则代⼊数值.还有⼀个值得注意的问题是：定义⼀个新运算，这个新运算常常不满⾜加法、乘法所满⾜的运算定律，因此在没有确定新运算是否具有这些性质之前，不能运⽤这些运算律来解题.课后习题m=1n =2m=2n =23（舍去）m=3 n =11.a*b 表⽰a 的3倍减去b 的21，例如： 1*2=1×3－2×21=2，根据以上的规定，计算：①10*6；②7*（2*1）. 2.定义新运算为 a ⼀b ＝b1a +，①求2⼀（3⼀4）的值；②若x ⼀4＝1.35，则x ＝？ 3.有⼀个数学运算符号○，使下列算式成⽴： 21○32=63，54○97=4511，65○71=426，求113○54的值.4.定义两种运算“⊕”、“?”，对于任意两个整数a 、b ， a ⊕b ＝a ＋b ＋1， a ?b=a ×b －1，①计算4?[（6⊕8）⊕（3⊕5）]的值；②若x ⊕（x ?4）=30，求x 的值.5.对于任意的整数x 、y ，定义新运算“△”， x △y=y×2x ×m y×x ×6+（其中m 是⼀个确定的整数），如果1△2=2，则2△9=？6.对于数a 、b 规定运算“▽”为a ▽b=（a ＋1）×（1－b ），若等式（a ▽a ）▽（a ＋1）=（a ＋1）▽（a ▽a ）成⽴，求a 的值.7.“*”表⽰⼀种运算符号，它的含义是： x*y=xy 1＋））（（A y 1x 1++，已知2*1=1×21＋））（（A 1121++=32，求1998*1999的值.8.a ※b=b÷a ba +，在x ※（5※1）=6中，求x 的值. 9.规定 a △b=a ＋（a ＋1）＋（a ＋2）＋…＋（a ＋b －1），（a 、b 均为⾃然数，b>a ）如果x △10=65，那么x=？10.我们规定：符号◇表⽰选择两数中较⼤数的运算，例如：5◇3=3◇5=5，符号△表⽰选择两数中较⼩数的运算，例如：5△3=3△5=3，计算：)25.2◇106237()9934△3.0()3323△625.0()2617◇6.0(++&&=？课后习题解答1.2.3.所以有5x-2=30，解出x=6.4左边：8.解：由于9.解：按照规定的运算：x△10=x +（x+1）+（x+2）+…+（x+10－1） =10x +（1+2+3+?+9）=10x + 45因此有10x + 45=65，解出x=2.欢迎您的下载，资料仅供参考！致⼒为企业和个⼈提供合同协议，策划案计划书，学习资料等等打造全⽹⼀站式需求。
小升初定义新运算
第一讲定义新运算【知识精讲】1、基本概念：定义新运算是指用一个符号和已知运算表达式表达一种新的运算，这个新的运算符号包含很多种基本运算。
1、基本类型：①直接运算型；②反解未知型；③观察规律型；④其他类型综合2、解题须知：①解决此类问题：关键是正确理解新定义的算式含义，严格按照新定义的计算顺序，讲数值带入算式，再把它化为一般的四则运算，最后进行计算。
②定义新运算是一种特别设计的算式形式，它使特殊的运算符号，与四则运算中的加、减、乘、除符号是不一样的。
如：☉、¤、※、△、▽、◇、☆等来表示的一种运算。
③定义新运算中，同一运算符号，应从左至右一次计算；若有括号，要先计算括号里面的。
【经典例题】例1(直接计算型）设 a、b 都表示两个不同的数，规定 a△b＝3×a＋2×b，表示 a 的 3 倍加上 b 的 2 倍的和.（1）求 4△3 的值。
（2）求 3△4 的值。
例2（直接计算型）设 m、n 都表示两个不同的数，规定 m▽n＝(m＋2n)÷2. （1）求 4▽8▽3 的值；（2）求 12▽(4▽6)的值。
例3（复合型）设a、b都表示两个不同的数，定义：a△b=ab-3b；a◇b=4a-b÷a。
（1）求4△5◇1的值（2）求（4△3）△（2◇6）例4（反解未知数）规定运算“*”及“&”如下：a*b=2ab，a&b=2a+b。
当2*（4&2）+5*x+3&x=57，求x的值例5（观察规律型）已知：2*3=7,5*3=13,4*5=13,7*9=23，……（1）求4*9的值（2）求7*11的值【课堂练习】1、对于任意的两个数p、q规定：q△p=(p+q)÷4。
例如：2△8=(2+8)÷4 。
已知x△(8△4) =6 ，求x的值？2、已知:3□2＝3×4，4□5＝4×5×6×7×8，4□3=4×5×6，按照此规律计算 6□4和3□5分别各是多少?3、设a、b都表示两个不同的数，规定：a▽b=a×b-(a+b)。
六年级小升初常考奥数题型 第1讲定义新运算(例题和答案、讲解)
第1讲 定义新运算一、知识要点定义新运算是指运用某种特殊符号来表示特定的意义，从而解答某些算式的一种运算。
解答定义新运算，关键是要正确地理解新定义的算式含义，然后严格按照新定义的计算程序，将数值代入，转化为常规的四则运算算式进行计算。
定义新运算是一种人为的、临时性的运算形式，它使用的是一些特殊的运算符号，如：*、△、⊙等，这是与四则运算中的“＋、－、×、÷”不同的。
新定义的算式中有括号的，要先算括号里面的。
但它在没有转化前，是不适合于各种运算定律的。
二、精讲精练【例题1】假设a*b=(a+b)+(a-b)，求13*5和13*（5*4）。
练习1：1、将新运算“*”定义为：a*b=(a+b)×(a-b).。
求27*9。
2、设a*b=a 2+2b ，那么求10*6和5*（2*8）。
3、设a*b=3a －b ×1/2，求（25*12）*（10*5）。
【答案】1.648 2.112、65 3.193.25【例题2】设p 、q 是两个数，规定：p △q=4×q-(p+q)÷2。
求3△(4△6)。
练习2：1、设p 、q 是两个数，规定p △q ＝4×q －（p+q ）÷2，求5△（6△4）。
2、设p 、q 是两个数，规定p △q ＝p2+（p －q ）×2。
求30△（5△3）。
3、设M 、N 是两个数，规定M*N ＝M/N+N/M ，求10*20－1/4。
【答案】1.36 2.902 3.412【例题3】如果1*5=1+11+111+1111+11111，2*4=2+22+222+2222，3*3=3+33+333，4*2=4+44，那么7*4=________；210*2=________。
练习3：1、如果1*5=1+11+111+1111+11111，2*4=2+22+222+2222，7*4=7+77+777+7777=8638210*2=210+210210=2104203*3=3+33+333，……那么4*4=________。
小升初数学复习重点大全 ：定义新运算_知识点总结
小升初数学复习重点大全：定义新运算_知识点总结基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。
基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。
关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。
注意事项：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。
②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。
定义新运算是用某些特殊的符号，表示特定的意义，从而解答某些特殊算式的运算。
在定义新运算中的※，〇，※……与＋、－、×、÷是有严格区别的。
解答定义新运算问题，必须先理解先定义的含义，遵循新定义的关系式把问题转化为一般的＋、－、×、÷运算问题。
典型例题例【1】若A*B表示（A＋3B）×（A＋B），求5*7的值。
分析A*B是这样结果这样计算出来：先计算A＋3B的结果，再计算A＋B的结果，最后两个结果求乘积。
解由A*B＝（A＋3B）×（A＋B）可知：5*7＝（5＋3×7）×（5＋7）＝（5＋21）×12＝26×12＝312例【2】定义新运算为a※b＝（a＋1）÷b，求的值。
6※（3※4）分析所求算式是两重运算，先计算括号，所得结果再计算。
解由a※b＝（a＋1）÷b得，3※4＝（3＋1）÷4＝4÷4＝1；6※（3※4）＝6※1＝（6＋1）÷1＝7例【3】对于数a、b、c、d，规定，＝2ab－c＋d，已知＝7，求x的值。
分析根据新定义的算式，列出关于x的等式，解出x即可。
解将1、3、5、x代入新定义的运算得：2×1×3－5＋x＝1＋x，又根据已知＝7，故1＋x＝7，x＝6。
例【4】规定：符号“&”为选择两数中较大数的运算，“※”为选择两数中较小数的运算。
计算下式：[（7※3）& 5]×[ 5※（3 & 7）]分析新定义运算进行计算时如果遇到有括号的，要先计算小括号里的，再计算中括号里的。
小升初奥数定义新运算
小学奥数——定义新运算(一)1、设a,b都表示数，规定a△b=3×a-2×b。
①求4△3，3△4。
②求（17△6）△2，③如果已知5△b=5，求b。
2、定义运算※为a※b＝a×b－（a＋b），①求5※7，7※5；②求12※（3※4），③如果3※（5※x）＝3，求x.3、如果4※2=14，5※3=22，3※5=4，7※18=31，求6※9的值。
4、设a ▽b=a ×b+a-b,求5▽8。
6、规定：a △b=a+(a+1)+(a+2)+……(a+b-1),其中a,b 表示自然数。
（1）求1△100的值；7、有一个数学运算符号“⊗”,使下列算式成立:4⊗8=16，10⊗6=26，6⊗10=22，18⊗14=50.求7⊗3=?8. 规定a ba b a b +⨯=.求2 （10 10）的值.小学奥数——定义新运算(二)1. 设b a ,表示两个不同的数,规定b a b a 43+=∆.求6)78(∆∆.2. 定义运算⊖为a ⊖b =5×)(b a b a +-⨯.求11⊖12.3. b a ,表示两个数,记为:a ※b =2×b b a 41-⨯.求8※(4※16).4. 设y x ,为两个不同的数,规定x □y4)(÷+=y x .求a □16=10中a 的值.5. Q P ,表示两个数,P ※Q =2QP +,如3※4=243+=3.5.求4※(6※8);如果x ※(6※8)=6,那么=x ?6. 定义新运算x ⊕yx y 1+=.求3⊕(2⊕4)的值.7. 有一个数学运算符号“⊗”,使下列算式成立:4⊗8=16，10⊗6=26，6⊗10=22，18⊗14=50.求7⊗3=?8. “▽”表示一种新运算,它表示:)8)(1(11+++=∇y x xy y x .求3▽5的值.9. b a b a b a ÷+=∆,在6)15(=∆∆x 中.求x 的值.10. 对于数b a ,规定运算“▽”为)5()3(-⨯+=∇b a b a .求)76(5∇∇的值.。
小升初专练-计算问题-定义新运算通用版(含答案)
小升初专练-计算问题-定义新运算【知识点归纳】定义新运算是指用一个符号和已知运算表达式表示一种新的运算．注意：（1）解决此类问题，关键是要正确理解新定义的算式含义，严格按照新定义的计算顺序，将数值代入算式中，再把它转化为一般的四则运算，然后进行计算．（2）我们还要知道，这是一种人为的运算形式．它是使用特殊的运算符号，如：*、▲、★、◎、△、◆、■等来表示的一种运算．（3）新定义的算式中，有括号的，要先算括号里面的．【常考题型】例1：规定：a△b=3a-2b．已知x△（4△1）=7，那么x△5=（ ）A、7B、17C、9D、19分析：根据所给出是等式，知道a△b等于3与a的积减去2与b的积，由此用此方法计算4△1的值，再求出x的值，进而求出x△5的值．解：4△1=3×4-2×1，=10，x△（4△1）=7，x△10=7，3x-2×10=7，3x-20=7，3x=20+7，3x=27，x=27÷3，x=9；x△5=9△5，=3×9-2×5，=27-10，=17，故选：B．点评：解答此题的关键是，根据所给出的等式找出新的运算方法，再根据新的运算方法解决问题．【经典题型】例2：定义新运算aVb=a+b-1，aWb=ab-1，若xV （xW4）=30，那么这个式子中x 的值为（ ）A 、4.3B 、3.2C 、6.4D 、12.8分析：由所给算式得出新运算方法为：aVb 等于两个数的和减去1，aWb 等于两个数的乘积减去1，据此计算xV （xW4）=30即可解出x 的值．解：xV （xW4）=30，xV （x ×4-1）=30，xV （4x-1）=30，x+4x-1-1=30，5x-2=30，5x=32，x=32÷5，x=6.4．故选：C ．点评：解决本题的关键是找出新运算方法，根据这个方法计算．【解题方法点拨】（1）解决此类问题，关键是要正确理解新定义的算式含义，严格按照新定义的计算顺序，将数值代入算式中，再把它转化为一般的四则运算，然后进行计算．（2）我们还要知道，这是一种人为的运算形式．它是使用特殊的运算符号，如：*、▲、★、◎、△、◆、■等来表示的一种运算．（3）新定义的算式中，有括号的，要先算括号里面的．一．选择题1．、表示两个数，规定新运算“※”及“△”如下：※，△，则※△ A ．441B ．812C ．8822．规定一种新运算“”， ，例如，那么 A ．2B ．C ．D ．83．规定※，则5※，同理可得：3※ A ．24B ．30C ．26D ．404．我们规定一种运算“”； ，，，，如x y x 65y x y =+x 3y xy =(45)6(=)**b b a b a a a a a ==⨯⨯⨯⋯⋯⨯ 个23*239==*1(4(2=)18116a (2)b a b =⨯+25(22)20=⨯+=8(=)⊕2123=⨯⨯⊕3234=⨯⨯⊕4345=⨯⨯⊕5456=⨯⨯⊕果，那么 A ．B ．C ．D ．5．对于两个数、，规定，求 A ．15B ．30C ．25D ．106．我们规定运算：，，并且满足运算律，那么仿照上述规定计算： A ．11B ．C ．4D ．7．规定一种新运算，则 A ．7B ．12C ．D ．8．假设◎一，已知◎◎，那么◎ A ．19B ．7C ．9二．填空题9．有这样一种运算，规定※，若2※，则 ．10．如果规定符号“△”为选择两数中的较大数，“”为选择两数中较小数，例如：3△，，那么△△ 11．规定一种新运算，★，若★，那么的值是 ．12．假设★，如：1★，则2★ ．13．设表示的3倍减去的2倍，已知，则 ．14．如果表示，那么 15．规定运算符号表示：，那么 ．16．如果定义，，，，那么，0，1， ．三．判断题17．假设，那么． 四．计算题18．设、表示两个数，规定．111677A -=⨯⊕⊕⊕(A =)23351647A B *2A B A B =⨯÷5*6()25(52)3-=--=-4(3)(43)12⨯-=-⨯=-2552-=-+3(6)7(⨯-+=)11-4-11*11a b a b a b⨯=+11*(34=)127712A 3B A =2B X (41)7=X 4(=)a ()b a a b =⨯+44x =x = 55=533= [(63) 5][6(3⨯ 5)]=.m 53n m n =+x 937=x a ()b a b a =+÷2(12)13=+÷=3=&x y x y &(4&1)7a =a =&a b ()2a b +÷5&(4&8)=.&&321x y x y =++2&(0.14&1)9 §(a b c (3))10a c d c d a b+⨯+=+§(28)=*4()2a b a a b =⨯-+÷4*611=a b *0.010.01a b a b =÷-⨯求：19．△表示一种运算符号，其意义是△，计算△△7．20．定义新运算：△，计算：△△21．五．应用题21．对于数、，我们定义一种新运算，由这种运算得到的数，我们称之为“吉祥数”，记为，这时，叫做吉祥数对，如（1）若，则，，等于多少？（2）已知，，，求的值六．解答题22．定义一种新运算；，其中和为任意两个不为0的数，为常数，比如：。
小升初数学复习重点大全__：定义新运算
小升初数学复习重点大全__：定义新运算基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。
基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。
关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。
注意事项：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。
②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。
定义新运算是用某些特殊的符号，表示特定的意义，从而解答某些特殊算式的运算。
在定义新运算中的※，〇，△……与＋、－、×、÷是有严格区别的。
解答定义新运算问题，必须先理解先定义的含义，遵循新定义的关系式把问题转化为一般的＋、－、×、÷运算问题。
典型例题例【1】若A*B表示（A＋3B）×（A＋B），求5*7的值。
分析A*B是这样结果这样计算出来：先计算A＋3B的结果，再计算A＋B的结果，最后两个结果求乘积。
解由A*B＝（A＋3B）×（A＋B）可知：5*7＝（5＋3×7）×（5＋7）＝（5＋21）×12＝26×12＝312例【2】定义新运算为a△b＝（a＋1）÷b，求的值。
6△（3△4）分析所求算式是两重运算，先计算括号，所得结果再计算。
解由a△b＝（a＋1）÷b得，3△4＝（3＋1）÷4＝4÷4＝1；6△（3△4）＝6△1＝（6＋1）÷1＝7例【3】对于数a、b、c、d，规定，＝2ab－c＋d，已知＝7，求x的值。
分析根据新定义的算式，列出关于x的等式，解出x即可。
解将1、3、5、x代入新定义的运算得：2×1×3－5＋x＝1＋x，又根据已知＝7，故1＋x＝7，x＝6。
例【4】规定：符号“&”为选择两数中较大数的运算，“◎”为选择两数中较小数的运算。
计算下式：[（7◎3）&5]×[5◎（3&7）] 分析新定义运算进行计算时如果遇到有括号的，要先计算小括号里的，再计算中括号里的。
小升初定义新运算
9、规定（25）=2+5=7（123）=1+2+3=6（65）=6+5=（11）=1+1=2
则计算（1）（56489）（2）（92045）+（90÷5）÷（12）
10、规定64=2×2×2×2×2×2表示成F（64）=6；
243=3×3×3×3×3表示成G（243）=5；试求下面各题的值
（1）F（128）= ( )
教师：学生：时间:年月日__________段
小升初定义新运算复习
在加.减.乘.除四则运算之外，还有其它许多种法则的运算。在这一讲里，我们学习的新运算就是用“#”“*”“Δ”等多种符号按照一定的关系“临时”规定的一种运算法则进行的运算。
例1：如果A*B=3A+2B，那么7*5的值是多少？
例2：如果A#B表示 照这样的规定，6#（8#5）的结果是多少？
例7：规定X*Y= ，且5*6=6*5则（3*2）*（1*10）的值是多少？
例8：▽表示一种运算符号1、已知2▽3=2+22+222=246； 3▽4=3+33+333+3333=3702；按此规则类推
（1）3▽2（2）5▽3
（3）1▽X=123，求X的值
5、N为自然数，规定F（N）=3N-2例如F（4）=3×4-2=10
试求：F（1）+F（2）+F（3）+F（4）+F（5）+……+F（100）的值
6、如果1=1！
1×2=2！
1×2×3=3！
……
1×2×3×4×……×100=100!
小升初数学课程：第三讲 定义新运算
第三讲定义新运算一、知识梳理定义新运算经常出现在小学四至六年级思维数学和部分初一衔接学习中,有别于我们已熟悉的“＋”、“－”、“×”、“÷”基础四则运算,不再只是简单传统的运算意义和计算法则,而是通过人为赋予数或式利用各种不同的运算符号创新运算定义和算理,更融入例如字母运算、方程,甚至是找规律思想在内的一种综合计算形式,系统学习这些知识,不仅可以开阔我们的视野,而且还能进一步拓展数学思维.1、基础运算型定义新运算基础题型是指通过字母表示,依据四则运算组合和运用括号进行计算的一种简单运算方式.2、复合运算型定义新运算复合运算题型是指反复利用字母表示及其结合四则运算,在符合运算定律基础上的一种混合运算方式.3、方程思想引入型定义新运算方程思想引入题型是指在基础和复合运算基础上,把方程计算引入的一种高级运算方式.4、找规律思想引入型定义新运算找规律思想引入题型是指在基础和复合运算基础上,把找规律计算引入的一种更高级运算方式.5、综合运算型定义新运算综合运算题型是指在探索规律背景下,融合四则基础和复合运算内容,进一步拓展方程思想参与计算的一种最高级运算方式.二、例题精讲例1：设a、b为两个数,规定a&b=a×5－b×3,试计算：4&2=？.【解析】该题运算最重要的是抓住定义的本质,即a、b是怎样去运算,然后运用这样的定义进行运算.这种新的运算方法还要很快的适应,并能很好的应用,以达到解题的目的.本题规定的运算本质是：用“&”前面的数乘以5减去“&”后面的数乘以3进行计算.∴4&2=4×5－2×3=14变式1：定义运算☆为A☆B=（A＋B）÷3,试算：11☆7=？.【解析】这种新运算的本质是用符号“☆”前面的数加上“☆”后面的数的和除以3 .∴11☆7=（11+7）÷3=18÷3=6变式2：设a◎b=a×b－(a＋b),试求：3◎4=？.【解析】这种新运算的本质是用符号◎前后两个数的积减去两个数的和,请注意运算顺序：有括号先算括号里面的.∴3◎4=3×4-（3+4）=12-7=5例2：设p、q是两个数,规定：p△q = 3×p－（p＋q）÷2,试求7△（2△4）=？. 【解析】这种新运算的本质是用符号△前后两个数的积减去两个数的和的一半,请注意运算顺序：有括号先算括号里面的.∴7△（2△4）= 7△【3×2－（2＋4）÷2】= 7△3 = 3×7－（7＋3）÷2 = 16变式1：设a%b = 4×a－b,试求（5%4）%（10%6）=？.【解析】这种新运算的本质是用符号*前数的4倍减去后一个数,请注意运算顺序：有括号先算括号里面的.∴（5%4 ）%（10%6）= （4×5－4 ）%（4×10－6）= 16%34=16×4－34 = 30. 变式2：设a,b表示两个不同的数,规定a^b=3a+4b,试求(8^7)^6=？.【解析】这种新运算的本质是用符号△前数的3倍加上后一个数的4倍,请注意运算顺序：有括号先算括号里面的.∴(8^7)=3×8+4×7 52^6=3×52+4×6=24+28 =156+24=52 =180例3：设a※b = 5a－3b,已知x※（3※2）= 18,求x.【解析】这种新运算的本质是用符号※前数的5倍减去后一个数的3倍,请注意运算顺序：有括号先算括号里面的；还应留意方程算理融入特点.∴3※2 = 5×3－3×2 = 9,x※9 = 5x－3×95x－27=18x=9变式1：规定a*3 = a＋（a＋1）＋（a＋2）,那么x*5 = 45,x = ________.【解析】这种新运算的本质是用符号*前的数开始算起,依次相差1累加连续自然数,直至加到比后一个数少1的数为止,请注意运算顺序：有括号先算括号里面的；还应留意方程算理融入特点.∴x＋（x＋1）＋（x＋2）＋（x＋3）＋（x＋4）= 45,5x =35x =7变式2：有两个整数是m和n,m☆n表示 m和n的平均数,如果m☆6=17,那么,m是多少？.【解析】这种新运算的本质是用符号☆前后的数计算平均数,请注意方程算理融入特点.∴m☆6=17（m+6）÷2=17m+6=34m=28例4：如果1★3=1＋2＋3,4★5=4＋5＋6＋7＋8,那么,3★6=？.【解析】这种新运算的本质是用符号★前的数开始算起,依次相差1累加连续自然数,直至加到★后的数位为止.∴3★6=3+4+5+6+7+8=33变式1：如果1▽3=1×2×3,5▽3=5×6×7,根据此规律计算：6▽3=？.【解析】这种新运算的本质是用符号▽前的数开始算起,依次相差1累积连续自然数,直到加到▽后的数位为止.∴6▽3=6×7×8=336变式2：如果1#5 = 1＋11＋111＋1111＋11111,2#4 = 2＋22＋222＋2222,3#3 = 3＋33＋333,……,那么4#3 = ________；105#2 = ________.【解析】这种新运算的本质是用符号#前的数开始算起,依次增加1个数位的相同数累加,直至加到#后的数位为止.∴4#3 = 4＋44＋444 = 492；105#2 = 105＋105105 = 105210例5：定义两种运算“☆”,“○”,对于任意两个整数a、b,a☆b = a＋b－1,a○b = a ×b－1,求：（1） 4○【（6☆8）☆（3☆5）】的值；（2）若x☆（x○4）= 30,求x的值是多少？.【解析】这种新运算的本质是分别利用符号☆和○前后的数的和或积减去1,请注意运算顺序：有括号先算括号里面的；还应留意方程算理融入特点.∴（1） 6☆8 = 6＋8－1 = 133☆5 = 3＋5－1 = 713☆7 = 13＋7－1 = 194○19 = 4×19－1 = 75（2） x☆（4x－1）= 30x＋4x－1－1 = 305x－2 = 30x = 6.4变式1：设x,y表示两个数,规定新运算“*”及“△”如下:x*y=mx+ny,x△y=kxy,其中 m,n,k 均为自然数,已知 1*2=5,(2*3)△4=64,试求(1△2)*3的值.【解析】本题我们应采用逐级运算分析法.首先计算1*2,根据"*"的定义:1*2=5可以分类讨论求出m,n的值,然后通过(2*3)△4=64求出 k的值,最后再求(1△2)*3的值.∴由1*2=m×1+n×2=m+2n,则m+2n=5.又m,n均为自然数,故解出:①当m=1,n=2时:(2*3)△4=(1×2+2×3)△4=8△4=k×8×4=32k有32k=64,解出k=2.②当m=3,n=1时:(2*3)△4=(3×2+1×3)△4=9△4=k×9×4=36k=64,则k不为自然数,故不符合题意,舍去该种可能性.所以m=1,n=2,k=2.(1△2)*3=(2×1×2)*3=4*3=1×4+2×3=10.变式2：▽表示一种运算符号,它的意义是X▽Y=1/XY+1/【(X+1) ×(Y+1) 】,已知2▽1=1/2+1/【3×（1+A）】=2/3,那么2015▽2016=？.【解析】本题应从已知条件入手,首选通过方程运算计算出A值,然后代入到新运算中得出运算式,最后计算2015▽2016的值.∴2▽1=1/2+1/【3×（1+A）】=2/3A=1则： X▽Y=1/XY+1/【(X+1) ×(Y+1)】2015▽2016=1/（2015×2016）+1/（2016×2017）=1/2015-1/2017=2/4064255三、课堂总结（1）解决此类问题,关键是应首选准确且透彻地理解新运算的算式含义,然后严格按照新定义的计算顺序,逐步将符合要求的数值代入算式中进行运算,最后再把它转化为四则混合或方程运算等予以计算,得出合理结果.（2）我们还应知晓,这是一种人为规定的运算形式,它是使用特殊的运算符号,如：*、▲、★、◎、、Δ、◆、■等来表示的一种创新运算.（3）新定义的算式中,如有括号的,要先算括号里面的,还须格外留意方程和找规律思想引入对解题计算的特殊要求.四、课后作业1、如果A*B=3A+2B,那么7*5=？.【解析】这种新运算的本质是用符号*前数的3倍加上后数的2倍的和进行计算.∴7*5=3×7+2×5=21+10=312、如果任何数A和B有A¤B=（A+B）×（A-B）,试求（5¤3）¤4=？.【解析】这种新运算的本质是用符号¤前后数的乘积减去前后两数的和,请注意运算顺序：有括号先算括号里面的.∴（5¤3）¤4=【（5+3）×（5-3）】¤4=（8×2）¤4=16¤4=（16+4）×（16-4）=20×12=2403、规定a$b=a+(a+1)+(a+2)+…(a+b-1),(a,b均为自然数,b>a).如果x$10=65,那么x的值是多少？.【解析】这种新运算的本质是用符号$前的数开始算起,依次相差1累加连续自然数,直至加到$后的数位少1为止,还应留意方程算理融入特点.∴X$10=x+(x+1)+(x+2)+…(x+10-1)=10x+45则: 10x+45=6510x=20X=24、有一个数学符号“@”,使下列等式成立：2@4=8,5@3=13,3@4=10,9@7=25,那么,7@3=？. 【解析】这种新运算的本质是用等式左边符号@前数的2倍加上后数的和等于等式右边的数进行计算.∴7@3=7×2+3=175、如果：1⊕2=1＋11=12,2⊕3=2＋22＋222=246,3⊕4=3＋33＋333＋3333=3702,那么1⊕5=（）.【解析】这种新运算的本质是用符号⊕前的数开始算起,依次增加1个数位的相同数累加,直至加到⊕后的数位为止.∴1⊕5=1+11+111+1111+11111=12345。
小升初数学专题训练—“小升初计算专题之定义新运算(全国通用)
定义新运算【知识要点】加、减、乘、除这四种运算的意义和法则我们很熟悉。
但重点中学在招生命题中除了考查四种混合运算的基本能力外，还要考查一些定义的其他的运算，一般占分在8~10分之间，特别是在2011年的小升初考试中，开始加大考察力度。
解定义新运算题的方法是认真审题、读懂题意、深刻理解新定义运算符号的含义，排除干扰条件，按照新定义运算的关系把新运算符号去掉，把问题转化成已有的数学知识。
【例题精讲】例1 P 、Q 表示数，P*Q 表示2P Q +，求3*（6*8）的值。
例2 如果A B A B B A ⊗=+，那么(32)(23)⊗-⊗=＿＿＿＿＿。
例3 定义“∆”，a b a b a b+∆=⨯，()234=______∆∆。
例 4 规定x y Axy ∆=、()2÷x y x y ∇=+，且()()133133=∆∇∆∇。
则()133_______∆∇=。
例5 对于数a 、b 、c 、d 规定()2b c d d a ab c =-、、、，已知 ()1232,,,x =，则x ______=。
例6 若规定112332234××*=，112344778910=*⨯⨯⨯，那么114325*+=_____.*—例7 对于任意的两个自然数a和b ，规定新的运算：()()()121a b a a a a b*=⨯+⨯+⨯⋅⋅⋅⨯+-，如果()323660x**=，则x_____=。
例8 如图是一个运算器的示意图，A、B是输入的两个数据，C是输出的结果。
下表为输入A、B数据后，运算器输出C的对应值。
请你据此判断，当输入A值1999，输入B值是9时，运算器输出的C值是___________。
六年级数学计算专题(七)定义新运算练习试卷简介全卷共5题，全部为选择题，共100分。
整套试卷立足基础，又有一定思考性。
虽然只是30分钟的小测试，但包含了不少小升初考试中经常见到试题类型。
不仅在知识上和能力上有不同方面及不同程度考查，而且在测试的过程中也能够发现整张试卷题目对学生能力考查深度的不断提升。
五年级：定义新运算
专题一：定义新运算姓名“定义新运算”是针对已有的常规运算而言的。
例如常见的加、减、乘、除运算，有一定的运算定义，一定的运算符号，一定的运算法则，这些是约定俗成的四则运算。
而新运算的定义，是题目规定的，只在对应题目里有效，相同的符号，在不同的题目里可能有不同的定义。
新定义的运算往往由已学过的四则运算，按照一定的顺序组合而成。
解答这类习题的关键是，认真观察、分析，明确“新运算”的定义，再根据运算定义，找准要计算的习题中的数据与定义中的字母的对应关系，严格遵照定义规定代入数值，完成计算。
注意：①新定义运算中，括号的作用不变；②新定义运算都有自己的特点，不一定满足加法、乘法所满足的运算定律。
1、如果3*2=3+33=36；2*3=2+22+222=246；1*4=1+11+111+1111=1234.那么4*5等于多少？2、对于数a，b定义运算“▽”为：a▽b=（a+3）×（b-5），求5▽（6▽7）等于多少？3、对于数x，y，定义两种运算“*”及“△”如下：x*y=6×x+5×y，x△y=3×x×y，求（2*3）△4等于多少？4、规定a△b=a+（a+1）+（a+2）+…+(a+b-1)，（a，b均为自然数，b＞a）。
如果x△10=65，求x。
5、对自然数a，b，规定a※b=3a＋2b－2。
求11※10。
6、对自然数a，b，规定a△b=a÷b×2＋3。
⑴求702△6的值；⑵若256△x=19，求x的值。
7、对自然数a，b，规定a※b=a＋b－1。
⑴计算：（7※8）※6；⑵已知：（5※x）※x=85，求x。
8、对于自然数a，b，规定a﹡b=a×b－a－b＋1。
已知（2﹡a）﹡2=0，求a。
9、若“＋”，“－”，“×”，“÷”，“（）”的意义与通常相同，而式子中的数字却不是原来的数字，试问下面的4个算式：⑴8×7=8；⑵7×7×7=6；⑶（7＋8＋3）×9=39；⑷3×3=3，应该是我们通常的哪4个算式？。
11【小升初专项训练】 定义新运算
第11讲定义新运算第一关1个新运算符【学问点】定义新运算是指用一个符号和已知运算表达式表示一种新的运算．留意：（1）解决此类问题，关键是要正确理解新定义的算式含义，严格依据新定义的计算挨次，将数值代入算式中，再把它转化为一般的四则运算，然后进行计算．（2）我们还要知道，这是一种人为的运算形式．它是使用特殊的运算符号，如：*、▲、★、◎、△、◆、■等来表示的一种运算．（3）新定义的算式中，有括号的，要先算括号里面的．【例1】规定：a△b=3a-2b．已知x△（4△1）=7，求x△5。
【答案】17【例2】定义a⊕b=2a+b，求（3⊕4）⊕5。
【答案】25【例3】设a、b为自然数，定义a⊕b=4a+b+2，求3⊕2。
【答案】16【例4】定义：a⊕b=a+b+ab，则（2⊕3）⊕4的值是多少？【答案】59【例5】已知a@b=2×a+b，求99@1。
【答案】199【例6】定义：a☆b=a1b-，求2☆（3☆4）。
【答案】2【例7】A、B表示两个数，若规定A*B=3243A B-，求12*6。
【答案】5【例8】把“△”定义为一种运算符号，其意义为：a△b=ba，求2△1+3△1+6△1。
【答案】1【例9】定义：△（A，B，C，D）=A×4+B×3+C×2+D×1，那么，△（2，0，1，6）【答案】16【例10】对不为零的自然数a，b，c，规定新运算“☆”：☆（a，b，c）=a-b ca+b c÷⨯，求☆（1，2，3）。
【答案】1 21【例11】规定一种运算“～”，a～b表示a，b中较大的数减较小的数的差，例如6～3=6-3=3，2～5=5-2=3．试求：（9～4）+（1～8）×（2～6）。
【答案】33【例12】定义a*b=a×b+a-2b，若3*m=17，求m。
【答案】14【例13】已知a、b为自然数，a∨b=2a+b，a∨2a∨3a∨4a∨5a∨6a∨7a∨8a∨9a=3039，求a。
小升初奥数-定义新运算
第一讲：定义新运算计算是基础，看谁算得又快又准确，比一比。
1、333833 3.7544⨯-+⨯ 2、40.19 1.25 1.095÷+⨯3、55513.75 2.75888⨯-⨯- 4、512924514343⨯+⨯我们已经学习过加、减、乘、除运算，这些运算，即四则运算是数学中最基本的运算，它们的意义、符号及运算律已被同学们熟知。
除此之外，还会有什么别的运算吗？这两讲我们就来研究这个问题。
这些新的运算及其符号，在中、小学课本中没有统一的定义及运算符号，但学习讨论这些新运算，对于开拓思路及今后的学习都大有益处。
一、课前考察知识点：1.将新运算“*”定义为：a*b=(a+b)×(a-b).求27*9。
6482．设p、q是两个数，规定：p△q=4×q-(p+q)÷2。
求3△(4△6).653．如果1*5=1+11+111+1111+11111，2*4=2+22+222+2222，3*3=3+33+333，4*2=4+44。
那么7*4=？86385 。
设a⊙b=4a-2b+1/2×ab,求x⊙（4⊙1）＝34中的未知数x。
5.5二、定义新运算1、<1，2，3，x>=2，求x的值。
x=6。
2、3、37035。
4、对于任意自然数，定义：n！=1×2×… ×n。
例如 4！=1×2×3×4。
那么1！+2！+3！+…+100！的个位数字是几？3。
5、如果m，n表示两个数，那么规定：m¤n=4n-（m+n）÷2。
求3¤（4¤6）¤12的值。
9.5。
6、定义运算：a⊙b=3a+5ab+kb，其中a，b为任意两个数，k为常数。
比如：2⊙7=3×2+5×2×7+7k。
（1）已知5⊙2=73。
问：8⊙5与5⊙8的值相等吗？（2）当k 取什么值时，对于任何不同的数a，b，都有a⊙b=b⊙a，即新运算“⊙”符合交换律？解：（1）首先应当确定新运算中的常数k。
小升初专项复习一--定义新运算
小升初专项复习一--定义新运算专题一定义新运算一、课前热身在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“＋”，“－”，“×”，“÷”运算不相同。
我们还是先通过具体的运算来了解和熟悉“定义新运算”吧：1.对于任意数a、b，定义运算“☆”，使a☆b=2a×b 求:(1)1☆2(2)2☆12.定义一种运算“□”：a□b=3a-2b 求（1）（17□6）□2; (2) 17□(6□2)二、归纳总结按照新定义的运算计算算式的结果，一定要掌握解题的关键和注意点。
1.解题关键：要正确理解新运算的意义，并严格按新定义的要求，将数值代入新定义的式子进行运算。
2.新定义的的算式中有括号，要先算括号里面的。
但它没转化前，是不适合于各种运算定律。
3.注意点：一是新定义的运算不一定符合交换律，结合律和分配律，二是新定义的运算所采用的符号是任意的，而不是确定的，通用的，在具体的题目中使用，到另一题中将失去原题中特定的意义。
三、拓展演练第一组：直接计算型1.“★”表示一种新运算，规定A★B=5A+7B，求4★5。
2. “◎”表示一种新的运算，它是这样定义的：a◎b=a×b-a÷b求6◎3和（6◎3）◎2。
3.对于任意两个整数a、b，定义两种运算“☆”、“★”：a☆b=a+b-1，a★b=a×b-1。
计算（6☆8）★（3☆5）的值。
例1.如果1※3=1+2+3=6，5※4=5+6+7+8=26,那么9※5=？例 2.“☆”表示一种新运算，使下列等式成立：2☆3=7，4☆2=10，5☆3=13，7☆10=24。
按此规律计算：8☆5。
练一练：1.规定：3☆2=3+33 5☆3=5+55+555 2☆4=2+22+222+2222 求4☆4=？2.根据下列规律2☆3=7 3☆5=11 6☆2=14 4☆5=13求：（1）5☆10= （2）10☆5=例3.定义一种运算◆，m ◆n 表示把算m 和n 加起来除以4。
2023-2024部编版小升初专题——新定义运算(讲义)苏教版六年级下册数学
学生姓名：年级： X6 科目：数学授课日期： 2023 年月日上课时间：时 00 分～时 00 分合计： 2 小时授课章节新定义运算教学目标1、熟悉定义新运算的意义，熟悉定义新运算的类型；2、掌握新旧转化的方法；3、培养学生在寻找正确解题方法的同时，不断地开拓解题思路。
重点难点【教学重点】理解新定义运算的含义【教学难点】能够举一反三，掌握新运算新旧换新的方法教学方法︻六步1 对1 教学法︼一、【回顾】（学生讲，教师纠正）□完成□未完成完成评价：□优□良□中□差二、【作业】（作业难点讲解）□完成□未完成完成评价：□优□良□中□差三、【提优】（拓展或新课讲解）□完成□未完成完成评价：□优□良□中□差四、【习惯】（坚持培养习惯）□粘贴错题本□艾宾浩斯记忆本□语文积累□5R三色笔记□审题八字诀□草稿纸的使用□圈划预习法□一拖三记忆学习法五、【检测】( 出门考 )□完成□未完成完成评价：□优□良□中□差六、【反馈】( 3+1+X )□已反馈□未反馈教师备注学生签字：（课后）教师签字：（课后）主管审核签字：盖章一、夯实基础我们都知道四则运算包括加、减、乘、除，我们接触到的运算符号也无外乎“＋”、“－”、“×”、“÷”。
而在升学考试中，经常会出现一些崭新的题目，这种题目中又出现了新的运算符号，如：⊙、⊙、◎……并赋予它们一种新的运算方法。
这种运算符号本身并不重要，重要的是在题目中，各种运算符号规定了某种运算以及运算顺序。
这种运算非常有趣，同学们，你们想了解吗？这一节我们就来学习定义新运算。
二、典型例题例1．（1）a◎b=a＋b，求95的值。
（2）定义新运算“⊙ ”，m⊙n=m÷n×2.5。
求：⊙ 60.4⊙0.4的值是多少？⊙ 351⊙0.3的值是多少？分析（1）：本题中的新运算符号“◎”表示的是求“◎”前后两个数的和，也就是求9与5的和是多少。
解（1）：9◎5=9＋5=14分析（2）：本题中新运算“⊙”的含义是求“⊙”前后两个数的商的2.5倍是多少。
定义新运算(一)
三、定义新运算（一）一、填空题1.规定a ☉b =a b b a -,则2☉(5☉3)之值为 .2.规定“※”为一种运算,对任意两数a ,b ,有a ※b 32b a +=,若6※x 322=,则x =.3.设a ,b ,c ,d 是自然数,定义bc ad d c b a +>=<,,,.则<><><<,3,2,1,4,4,3,2,13, 4, 1, 2>>=<>1,4,3,2, .4.[A ]表示自然数A 的约数的个数.例如,4有1,2,4三个约数,可以表示成[4]=3.计算:]7[])22[]18([÷+= .5.规定新运算※:a ※b=3a -2b .若x ※(4※1)=7,则x= .6.两个整数a 和b ,a 除以b 的余数记为a ☆b .例如,13☆5=3,5☆13=5,12☆4=0.根据这样定义的运算,(26☆9) ☆4= .7.对于数a ,b ,c ,d 规定d c ab d c b a +->=<2,,,.如果7,5,3,1>=<x ,那么x = .8.规定:6※2=6+66=72,2※3=2+22+222=246,1※4=1+11+111+1111=1234.7※5= .9.规定:符号“△”为选择两数中较大数,“☉”为选择两数中较小数.例如:3△5=5,3☉5=3.那么,[(7☉3)△5]×[5☉(3△7)]= .10.假设式子b a a ⨯#表示经过计算后,a 的值变为原来a 与b 的值的积,而式子b a b -#表示经过计算后,b 的值为原来a 与b 的值的差.设开始时a =2,b =2,依次进行计算b a a ⨯#,b a b -#,b a a ⨯#,b a b -#,则计算结束时,a 与b 的和是 .二、解答题11.设a ,b ,c ,d 是自然数,对每两个数组(a ,b ),(c ,d ),我们定义运算※如下: (a ,b )※(c ,d )= (a+c ,b +d );又定义运算△如下: (a ,b )△(c ,d )= (ac+bd ,ad+bc ).试计算((1,2) ※(3,6))△((5,4)※(1,3)).12.羊和狼在一起时,狼要吃掉羊,所以关于羊及狼,我们规定一种运算,用符号△表示羊△羊=羊;羊△狼=狼;狼△羊=狼;狼△狼=狼.运算意思是羊与羊在一起还是羊,狼与狼在一起还是狼,但是狼与羊在一起便只剩下狼了.小朋友总是希望羊能战胜狼,所以我们规定另一种运算,用符号☆表示为羊☆羊=羊;羊☆狼=羊;狼☆羊=羊;狼☆狼=狼.运算意思是羊与羊在一起还是羊,狼与狼在一起还是狼,由于羊能战胜狼,当狼与羊在一起时,它便被羊赶走而只剩下羊了.对羊或狼,可用上面规定的运算作混合运算,混合运算的法则是从左到右,括号内先算.运算的结果是羊,或是狼.求下式的结果:羊△(狼☆羊)☆羊△(狼△狼).13.22264⨯⨯=222⨯⨯⨯表示成()664=f ;33333243⨯⨯⨯⨯=表示成()5243=g .试求下列的值:(1)()=128f ; (2))()16(g f =; (3)6)27()(=+g f ;(4)如果x , y 分别表示若干个2的数的乘积,试证明:)()()(y f x f y x f +=⋅.14.两个不等的自然数a 和b ,较大的数除以较小的数,余数记为a ☉b ,比如5☉2=1,7☉25=4,6☉8=2.(1)求1991☉2000,(5☉19)☉19,(19☉5)☉5;(2)已知11☉x =2,而x 小于20,求x ;(3)已知(19☉x )☉19=5,而x 小于50,求x .———————————————答 案—————————————————————— 1. 120411. 5☉3=15165335=-, 2☉(5☉3)=2☉12041112016121516151621516==-=. 2. 8.依题意,6※326x x +=,因此322326=+x ,所以x=8. 3. 280.;1421343,2,1,4;1032414,3,2,1=⨯+⨯>=<=⨯+⨯>=<.1443121,4,3,2;1014232,1,4,3=⨯+⨯>=<=⨯+⨯>=<原式2801014141014,10,14,10=⨯+⨯>==<.4. 5.因为23218⨯=有6)12()11(=+⨯+个约数,所以[18]=6,同样可知[22]=4,[7]=2.原式52)46(=÷+=.5. 9.因为4※1=101243=⨯-⨯,所以x ※(4※1)= x ※10=3x -20.故3x -20=7,解得x =9.6. 0.89226+⨯=,26☆9=8,又428⨯=,故(26☆9)☆4=8☆4=0.7. 6.因为x x x +=+-⨯⨯>=<15312,5,3,1,所以71=+x ,故6=x .8. 86415.7※5=7+77+777+7777+77777=86415.9. 25.原式=[3△5]×[5☉7]=5×5=25.10. 14.第1次计算后,422=⨯=a ;第2次计算后,224=-=b ;第3次计算后,824=⨯=a ;第4次计算后,628=-=b .此时1468=+=+b a .11. (1,2)※(3,6)=(1+3,2+6)=(4,8),(5,4)※(1,3)=(5+1,4+3)=(6,7). 原式=(4,8)△(6,7)=(4×6+8×7,4×7+8×6)=(80,76).12. 原式=羊△羊☆羊△狼=羊☆羊△狼=羊△狼=狼.13. (1)()72)128(7==f f ;(2)()())81(342)16(44g g f f ====;(3)因为()())8(233636)27(633f f g g ===-=-=-,所以6)27()8(=+g f ;(4)令,2,2n m y x ==则n y f m x f ==)(,)(.()())()(222)(y f x f n m f f y x f n m n m +=+==⋅=⋅+.14. (1)1991☉2000=9;由5☉19=4,得(5☉19)☉19=4☉19=3;由19☉5=4,得(19☉5)☉5=4☉5=1.(2)我们不知道11和x 哪个大(注意,x ≠11),即哪个作除数,哪个作被除数,这样就要分两种情况讨论.1) x <11,这时x 除11余2, x 整除11-2=9.又x ≥3(因为x 应大于余数2),所以x =3或9.2) x >11,这时11除x 余2,这说明x 是11的倍数加2,但x <20,所以x =11+2=13.因此(2)的解为x =3,9,13.(3)这个方程比(2)又要复杂一些,但我们可以用同样的方法来解.用y 表示19☉x ,不管19作除数还是被除数,19☉x 都比19小,所以y 应小于19.方程y ☉19=5,说明y 除19余5,所以y 整除19-5=14,由于y ≥6,所以y =7,14.当y =7时,分两种情况解19☉x =7.1)x <19,此时x 除19余7,x 整除19-7=12.由于x ≥8,所以x =12.2) x >19,此时19除x 余7, x 是19的倍数加7,由于x <50,所以x =19+7=26或7219+⨯=x =45.当y =14时,分两种情况解19☉x =14.1) x <19,这时x 除19余14, x 整除19-14=5,但x 大于14,这是不可能的.2)x >19,此时19除x 余14,这就表明x 是19的倍数加14,因为x <50,所以x =19+14=33.总之,方程(19☉x )☉19=5有四个解,x =12,26,33,45.。
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专题一定义新运算
一、课前热身
在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“＋”，“－”，“×”，“÷”运算不相同。
我们还是先通过具体的运算来了解和熟悉“定义新运算”吧：
1.对于任意数a、b，定义运算“☆”，使a☆b=2a×b 求:(1)1☆2 (2)2☆1
2.定义一种运算“□”：a□b=3a-2b 求（1）（17□6）□2; (2) 17□(6□2)
二、归纳总结
按照新定义的运算计算算式的结果，一定要掌握解题的关键和注意点。
1.解题关键：要正确理解新运算的意义，并严格按新定义的要求，将数值代入新定义的式子进行运算。
2.新定义的的算式中有括号，要先算括号里面的。
但它没转化前，是不适合于各种运算定律。
3.注意点：一是新定义的运算不一定符合交换律，结合律和分配律，二是新定义的运算所采用的符号是任意的，而不是确定的，通用的，在具体的题目中使用，到另一题中将失去原题中特定的意义。
三、拓展演练
第一组：直接计算型
1.“★”表示一种新运算，规定A★B=5A+7B，求4★5。
2. “◎”表示一种新的运算，它是这样定义的：a◎b=a×b-a÷b
求6◎3和（6◎3）◎2。
3.对于任意两个整数a、b，定义两种运算“☆”、“★”：a☆b=a+b-1，a★b=a×b-1。
计算（6☆8）★（3☆5）的值。
例1.如果1※3=1+2+3=6，5※4=5+6+7+8=26,那么9※5=？
例2.“☆”表示一种新运算，使下列等式成立：2☆3=7，4☆2=10，5☆3=13，7☆10=24。
按此规律计算：8☆5。
练一练：
1.规定：3☆2=3+33 5☆3=5+55+555 2☆4=2+22+222+2222 求4☆4=？
2.根据下列规律2☆3=7 3☆5=11 6☆2=14 4☆5=13
求：（1）5☆10= （2）10☆5=
例3.定义一种运算◆，m ◆n 表示把算m 和n 加起来除以4。
求a ◆16=10中a 的值。
练一练：
1.定义a*b 表示a 的3倍减去b 的2倍，即a*b=3a-2b,计算（1）已知x*(4*1)=1,求x 的值。
2.规定3#5=3+4+5+6+7，5#4=5+6+7+8，……按此规定计算：
（1）1999#6 （2）已知1#x=45,求x.
3.定义一种运算“{}”为：{}d c b a ,,,=a ×b-c ×d.求：{}8,5,4,m =2，求m 的值。
四、综合练习
1.A、B表示两个数，“○”表示一种新的运算，A○B=（A+B）÷2，求4○（1○3）。
2.如果4*3=4×5×6=120，1*4=1×2×3×4=24，那么1*6=？
A. 9
B. 10
C. 11
D. 12
4.若x★y＝2x－3y，那么4★(5★3)值为（）。
A. 2
B. 4
C. 5
D.7。