高等数学7-5可降价高阶微分方程

y(n) f ( y, y(k) , , y(n1) ) 型
特点： 右端不显含自变量 x.
解法： 设 y p( y) 则 y dp dy p dP ,
dy dx dy
y P 2 d 2 P P(dP )2 , ,
dy 2
dy
代入原方程得到新函数 P( y)的(n 1)阶方程，
4、 y 2 y2 0 . 1 y
二、求下列各微分方程满足所给初始条件的特解:
1、 y 3 y 1 0 , y x1 1 , yx1 0； 2、 y ay 2 0 , y x0 0 , yx0 1；
3、 y 3
y
,
y
x0
解 y 1 e2x sin x C 2
y

1 4
e2x

cos
x

Cx

C1
y

1 8
e2x
sin x

C 2
x2
C1 x
C2.
＝
y

1 8
e2x

sin
x

D1
D1 x2

D2
x

D3 .
二、 y f ( x, y) 型微分方程
特点： 不显含未知函数 y.
4、 y 1 1 . C1 x C2 x
二、1、 y 2 x x2 ；
2、 y 1 ln(ax 1)； a
3、 y (1 x 1)4 . 2
三、 y 1 x3 1 x 1. 62
作业
P292: 1（1，3，6，9），2（偶），4
则 y dp dy p dP , dy dx dy
代入原方程, 得
P dP f ( y, P). dy
求得 P ( y,C1 ),
关于y,P的一阶方程
即 dy dx

(
y, C1 ),
积分,
dy
( y,C1) x C2,
可得通解.
例 4 求方程 yy y2 0 的通解. P290-5
y

1 2
C1
x
2
C2,

,
y

C1 120
x5

C2 6
x3

C3 2
x2

C4 x

C5
,
原方程通解为 y d1 x5 d2 x3 d3 x2 d4 x d5
三、 y f ( y, y) 型微分方程
特点： 右端不显含自变量 x.
解法： 设 y p
§5. 可降阶的高阶微分方程 一、 y(n) f ( x) 型微分方程
特点：右端仅含自变量x 解法：方程两端连续积分n次
y(n1) f ( x)dx C1 y(n2) [ f ( x)dx C1]dx C2
以此继续，便得到含有n个任意常数的通解.
例1 y e2x cos x. P286-1
特点： 不显含未知函数y及 y, , y(k1).
解法： 令 y(k) P( x)
则 y(k1) P,
y P . (n)
(nk )
代入原方程, 得
P(x)的(n-k)阶方程
P (nk) f ( x, P( x), , P (nk1) ( x)). 求得 P( x),

1,
y

x

0

2.
三、试 求 y x 的 经 过 点 M (0 , 1) 且 在 此 点 与 直 线 y x 1相切的积分曲线 . 2
练习题答案
一、1、 y

xe x

3e x

C1 2
x

C2 x

C3；
2、 y ln cos( x C1 ) C2 ；
3、 y arcsin(C2e x ) C1 ；
解法： 令 y P,
代入原方程, 得
P f (x, P).
求得 P ( x,C1 ),
则 y dP P, dx
关于x,P的一阶方程
即 dy dx

( x,C1),
积分, y ( x,C1 )dx C2 , 可得通解.
例2
求解
(1

y
x2 ) y 1,
求得其解为 dy dx

P( y) ( y,
C1 ,

,
Cn1 ),
原方程通解为
( y,
dy C1,
,
Cn1 )
x Cn,
xf (x) f (x) 0,
练习题
一、求下列各微分方程的通解:
1、 y xe x；
2、 y 1 y2；
3、 y ( y)3 y；
解 设 y p( y), 则 y p dP , dy
代入原方程得 y P dP P 2 0, 即 P( y dP P) 0,
dy
dy
由 y dP P 0， dy
可得 P C1 y,
dy dx C1 y,
原方程通解为 y C2eC1x .

C,
于是 y C1(1 x2 ), 由y x0 3，得C1 3 y 3(1 x2 ), 从而 y 3x x3 C2 , 由y x0 1，得C2 1,
y x3 3x 1,
为所求特解.
y(n) f ( x, y(k ) , , y(n1) ) 型
将 y(k) P( x) 连续积分k次, 可得通解.
例 3 求方程 xy(5) y(4) 0 的通解.
解 设 y(4) P( x), y(5) P( x)
代入原方程 xP P 0, （P 0）
解线性方程, 得 P C1 x 即 y(4) C1 x,
两端积分,得
x0
2xy y
x0

. 3
解 方程为 y f (x, y) 型
令 yห้องสมุดไป่ตู้ P,
代入方程，得
y dP , dx
P288-3
(1 x2 ) dP 2xP dx

dP P

2x 1 x2
dx,
ln P ln(1 x2 ) C1,

P 1 x2

eC1