高等数学7-5可降价高阶微分方程

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高等数学-第七章-微分方程

工程应用
在工程领域中，微分方程组被广泛应用于控制论、信号处理、流体力学等方面。通过求解微分方程组，可以优化工程设计、提高系统性能等。
经济应用
在经济学中，微分方程组被用来描述经济系统的动态行为，如经济增长模型、金融市场模型等。通过求解这些微分方程组，可以分析经济现象的发展趋势和内在机制。
05 微分方程的数值解法
常数变易法
对于某些特殊形式的高阶微分方程组，可以通过常数变易的方法，将其转化为易于求解的方程或方程组。
幂级数解法
对于某些高阶线性微分方程组，可以通过幂级数展开的方法，将其转化为无穷级数进行求解。
微分方程组的应用
物理应用
在物理学中，许多现象可以用微分方程组来描述，如力学中的运动方程、电磁学中的麦克斯韦方程等。通过求解这些微分方程组，可以揭示物理现象的本质和规律。
非线性微分方程
不满足线性条件的微分方程，称为非线性微分方程。
微分方程解的性质
唯一性定理在一定条件下，微分方程的解是唯一的。
边值问题给定边界条件的微分方程求解问题，称为边值问题。边值问题的解可能不唯一，也可能不存在。
叠加原理
对于线性微分方程，若$y_1$和 $y_2$分别是方程的两个解，则它们的线性组合 $c_1y_1+c_2y_2$（其中$c_1$ 和$c_2$是任意常数）也是方程的解。
首次积分法
利用首次积分的方法，将一阶微分方程组转化为可分离变量的方程或可降阶的方程，然后求解得到原方程组的解。
特征线法
对于一阶偏微分方程组，可以通过引入特征线的概念，将偏微分方程转化为常微分方程进行求解。
高阶微分方程组法
变量代换法
通过适当的变量代换，将高阶微分方程组转化为一阶微分方程组或可降阶的方程，然后求解得到原方程组的解。

高数同济六版课件D75可降阶高阶微分方程

例题一
求解一阶线性微分方程$y' - 2xy = x^2e^{x^2}$，并给出初始条件$y(0) = 1$下的特解
01
例题二
分析一阶线性微分方程$y'
+
frac{2}{x}y = x^2$的解的结构，并讨
论初始条件对解的影响
02
03
例题三
通过常数变易法求解一阶线性微分方程$y' - y = xe^x$，并验证所得解的正确性
物理应用
在物理学中，许多实际问题可以抽象为可降阶高阶微分方程的形式，如振动、波动、电磁场等问题。通过求解这些方程，可以得到实际问题的解析解或近似解。
解题方法概述
变量替换法
通过引入新的变量或函数，将原方程转化为低阶微分方程或易于求解的形式。
积分法
利用积分公式或技巧，对方程进行逐次积分，从而降低微分方程的阶数。
常用变量代换技巧
幂函数代换
将方程中的某一项或几项用幂函数代替，降低方程阶数或化简方程。
三角函数代换
利用三角函数的性质进行代换，将方程转化为三角函数方程进行求解。
指数函数与对数函数代换
根据指数函数与对数函数的性质进行代换，简化方程形式。
通过变量代换化简复杂方程
分析方程结构，选择合适的代换方法。
01
方程特点
方程中不显含未知数y，但可能显含y的导数。
02
03
求解方法
示例
通过变量代换，将原方程转化为新变量的微分方程，进而求解得到通解。
x^2y'' + 3xy' = 0，通过变量代换t = y'，可将其转化为一阶线性微分方程。
显含未知数y但可化为不显含形式型微分方程

微分方程—高阶微分方程(高等数学课件)

本文档深入探讨了高等数学中微分方程的重要内容和解法。首先，介绍了可降阶的高阶微分方程，通过积分和变量替换等方法，将复杂的高阶方程转化为更易解决的一阶方程。其次，详细阐述了高阶线性微分方程解的结构，包括齐次和非齐次方程的通解形式，为理解和解决这类方程提供了坚实的理论基础。进一步，重点讲解了二阶常系数齐次线性微分方程的解法，通过特征方程和特征根的概念，给出了不同情况下的通解公式。同时，也讨论了二阶常系数非齐次线性微分方程的解法，特解形式。最后，通过习题讲解部分，具体展示了如何应用这些理论和方法来解决实际问题，增强了理解和应用能力。

高阶微分方程

高阶微分方程高阶微分方程是微积分中重要的研究对象。

它的研究内容涉及到高等数学、物理学、工程学等学科领域。

在这篇文章中，我们将对高阶微分方程的定义、求解方法及其应用进行全面介绍。

一、高阶微分方程的定义高阶微分方程是指包含导数的方程中，导数的阶数高于一阶的微分方程。

一般形式可以表示为：\[F(x, y, y', y'', ..., y^{(n)}) = 0\]其中，$x$ 是自变量，$y = y(x)$ 是因变量，$y', y'', ..., y^{(n)}$ 分别表示$y$ 相对于$x$ 的各阶导数。

二、高阶微分方程的求解方法1. 分离变量法分离变量法是指将微分方程中的自变量和因变量分别放在方程两侧，并进行积分求解的方法。

这种方法适用于一些具有特殊形式的高阶微分方程。

2. 常系数线性微分方程的特征方程法对于常系数线性微分方程，可以通过特征方程法求解。

首先，假设原微分方程的解为指数函数形式，然后将其代入方程中，得到一个关于未知常数的方程，通过求解这个特征方程即可得到原方程的通解。

3. 常数变易法常数变易法是指假设微分方程的特解形式为常数乘以一个已知的函数形式。

通过求解这个常数变易方程，可以得到特解，再将特解与齐次方程的通解相加，即可得到原方程的通解。

4. 线性非齐次微分方程的待定系数法对于线性非齐次微分方程，可以通过待定系数法求解。

假设非齐次方程的解为线性组合形式，将其代入方程中，得到关于未知系数的代数方程组。

通过求解这个方程组，可以得到方程的特解，再将特解与齐次方程的通解相加，即可得到原方程的通解。

三、高阶微分方程的应用高阶微分方程在物理学、工程学等领域中有广泛的应用。

以下是几个典型的应用示例：1. 振动方程振动方程描述了各种振动系统的运动规律。

例如，弹簧振子的运动可以由高阶微分方程进行建模。

2. 电路方程电路方程可以描述电子电路中电流和电压的关系。

高等数学课件--D75可降阶高阶微分方程-PPT文档资料

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f( y ,y ) 三、y 型的微分方程
d p d y d p d p 令y p ( y ), p 则 y dy dx d y d x dp 故方程化为 p f (y, p) dy 即得设其通解为 p ( y , C ), 1
O
T t
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2 d x F t 0(t )C 1 dt m 2 T dx 利用初始条件 C 0 ,于是 t 0 0 得 1 dt 2 dx F t 0 (t ) dt m 2T 2 3 F t t C 两边再积分得 x 0( ) 2 m 2 6 T
x x 两端积分得 Ar y 0 得 C 0 , sh p C ,由 0 1 1 a
设 OA a ,则得定解问题: 1 2 y 1 y a
y
悬链线
M

T
则有
x y sh a
x
两端积分得 y a ch C ,由 yx a , 得 C 0 2 0 2 a x x a x a a 故所求绳索的形状为 y a ch (e e ) a 2 2019/3/12 同济版高等数学课件
第七章第五节可降阶高阶微分方程
(n ) y f (x ) 型的微分方程一、
f ( x ,y ) 二、 y 型的微分方程
f( y ,y ) 三、 y 型的微分方程
2019/3/12
同济版高等数学课件
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(n ) 一、 y f (x ) 型的微分方程
例4. 设有一均匀, 柔软的绳索, 两端固定, 绳索仅受重力作用而下垂, 问该绳索的平衡状态是怎样的曲线 ? 解: 取坐标系如图. 考察最低点 A 到

高等数学上7.5可降阶的高阶微分方程

2
1 2、 y = − ln(ax + 1)； a
1 3、 y = ( x + 1)4. 2 1 1 y = x3 + x + 1. 三、 6 2
四、恰当导数方程
例 4
求方程 yy′′ + y′2 = 0的通解.
解 1 将方程写成 d ( yy′) = 0,
dx
故有 yy′ = C1 ,
即 ydy = C1dx,
.
五、变量代换降阶法
例 6 解
求方程 xyy′′ − xy′2 = yy′ 的通解.
∫ zdx , 设y=e
∫ zdx , y′ = z ⋅ e
∫ zdx + z ⋅ ze∫ zdx , y′′ = z′e
代入原方程, 代入原方程,得
解其通解为 z = C x,
z′x = z，
2
∫ Cxdx = C eC x . 原方程通解为 y = e 2
d2x m 2 = F（t） dt 由题设, 由题设 t = 0时，F(0) = F0 , 且力随时间的增大而均匀地减小; 匀地减小所以 F(t ) = F0 − kt;
又当t = T时, F(T ) = 0, 从而 t F(t ) = F0 (1 − ) T d 2 x F0 t 方程为 (1 − ) 2 = m T dt 初始条件为 x |t =0 = 0, dx |t =0 = 0 dt dx F0 t2 两端积分得 = (t − ) +C1 dt m 2T
′′ = ( y − xy′)2 的通解. 例 5 求方程 x yy
2
解
∫ zdx , 代入原方程得 z′ + 2 z = 1 , 代入原方程,得设y=e x x2

高等数学第七章微分方程微分方程

常数变易法
则有令
以下推导的前提
联立 (3)、(4) 构成方程组解此方程组，再积分，并取积分常数为零，即可得到
于是对上式两边关于 x 求导，得
这两部分为零。
即
例
解由常数变易法，解方程组
13
两边积分，取积分常数为零，得
两边积分，取积分常数为零，得故原方程有一特解从而，原方程的通解为
18
例.
的通解.
解: 特征方程为
其根为
对应齐次方程的通解为
为特征方程的单根 ,因此设非齐次方程特解为
代入方程: 比较系数, 得因此特解为所求通解为
2013/9/23
19
你认为方程应该有什么样子的特解？
单根二重根一对共轭复根
假设方程
有下列形式的特解：
则
代入方程 (2) ，得即
方程 (3) 的系数与方程 (2) 的特征根有关。
由方程 (3) 及多项式求导的特点可知，应有方程 (2) 有下列形式的特解:
由多项式求导的特点可知，应有方程 (2) 有下列形式的特解:
由多项式求导的特点可知，应有方程 (2) 有下列形式的特解:
16
定理 1 当二阶常系数非齐线性方程它有下列形式的特解：
其中：
例
解对应的齐方程的特征方程为
特征根为对应的齐方程的通解为
将它代入原方程，得
2013/9/23
比较两边同类项的系数，得
故原方程有一特解为综上所述，原方程的通解为
例求微分方程
7
例1
解所以，方程的通解为
2013/9/23
例2 解：
课堂练习
解
课堂练习

(完整版)高等数学第七章微分方程试题及答案

解：特征根为
i ，齐次方程的通解为： y c1 cos x c2 sin x
y' ' y x ， y ? c1 c2 x c1 0, c2 1 y ? x
?
0x
y' ' y 3sin 2 x ， y x e c1 cos x c2 sin x c1 sin 2x c2 cos 2x
待入原式得出： c1 1, c2 0 ，所以 y ? sin 2 x
Байду номын сангаас
解：变形得： dx x y 4 即 dx 1 x y3 ，是一阶线性方程
dy
y
dy y
P( y)
1
3
,Q ( y) y
y
1 dy
x ey
1 dy
y3e y dy C
1 y 4 Cy 3
三、伯努力方程 xy ' y x 3y 6
解： xy 6 y' y 5 x 3 ，
dy y 6 y 5 x 2 ，
dx
dx
du
du
u y , 所以 u y
dy
dy
dy
yu .( 将 y 看成自变量 )
eu (u 1)
u
1e
du ueu eu
y
u
u
dy 1 e
u eu
u
1e
1 eu u eu du
dy
d (u eu )
,
y
u eu
dy
u eu
, ln
y
c
1 ln y ln
y
1 u eu
,
yc
c y u eu
二、一阶线形微分方程
2

高等数学中的微分方程求解

高等数学中的微分方程求解引言：微分方程是数学中的一个重要分支，广泛应用于物理、经济、生物等领域。

在高等数学课程中，微分方程的求解是一个重要的内容，也是学生们较为困惑的部分。

本教案将以高等数学中的微分方程求解为主题，通过分析、归纳和实例演示等方式，帮助学生理解和掌握微分方程的求解方法。

第一部分：一阶微分方程的求解一阶微分方程是微分方程中最基础的一类，其求解方法有多种，下面将逐一介绍。

1. 分离变量法分离变量法是一种常用的一阶微分方程求解方法。

对于形如dy/dx=f(x)g(y)的微分方程，可以通过将变量分离并进行积分的方式求解。

例如，对于dy/dx=x^2y，我们可以将方程改写为dy/y=x^2dx，然后两边同时积分得到ln|y|=x^3/3+C，再通过指数函数的性质解出y的表达式。

2. 齐次微分方程法齐次微分方程是指形如dy/dx=f(y/x)的微分方程。

通过令u=y/x，可以将齐次微分方程转化为分离变量的形式，然后按照分离变量法进行求解。

例如，对于dy/dx=(2x+3y)/(3x+4y)，我们可以令u=y/x，得到du/(1-u)=dx/(2+3u)，然后两边同时积分求解出u的表达式，再代入u=y/x得到y的表达式。

3. 线性微分方程法线性微分方程是指形如dy/dx+p(x)y=q(x)的微分方程。

通过利用线性微分方程的特殊性质，可以采用常数变易法求解。

例如，对于dy/dx+2xy=e^x，我们可以猜测y=Ce^(-x)为方程的一个特解，然后通过代入方程求解出C的值。

第二部分：高阶微分方程的求解高阶微分方程是指微分方程中含有高阶导数的方程，其求解方法相对复杂一些，下面将介绍两种常用的方法。

1. 常系数线性齐次微分方程法常系数线性齐次微分方程是指形如a_ny^(n)+a_(n-1)y^(n-1)+...+a_0y=0的微分方程，其中a_n,a_(n-1),...,a_0为常数。

通过猜测y=e^(rx)为方程的一个特解，然后代入方程求解出r的值，再根据r的值得到y的表达式。

高等数学第7章(第8节)

原方程通解为
y C 1 e x C 2 e x x e x
x e
k x
i x i x
第四步分析 y 的特点
y y1 y1 k x

x e
因
~ Rm cos x Rm sin x
y1 y1
y

y1 y1

y1 y1
y*
~ 所以 y 本质上为实函数 , 因此 Rm , Rm 均为 m 次实
因此特解为 y* x ( 1 x 1) e 2 x . 2
所求通解为
1 ( 2
x 2 x ) e2 x .
y 3 y 2 y 1 例3. 求解初值问题 y (0) y (0) y (0) 0
解: 本题 0 , 特征方程为
y* e x [ Q ( x) Q ( x) ] y* e x [ 2 Q ( x) 2 Q ( x) Q ( x) ]
代入原方程 , 得
(1) 若不是特征方程的根, 则取 x e为[ m 次待定系数多项式 ( x) (2 p q ) Q ( x) ] Q ( x) ( 2 p ) Q Q (x) 从而得到特解
x
i 为特征方程的 k (＝0, 1 )重根, 则设特解为
y* x e
k x
~ [ Rm ( x) cos x Rm ( x) sin x]
3. 上述结论也可推广到高阶方程的情形.
思考与练习
1 . (填空) 设
时可设特解为
y* x (a x b) cos x (cx d )sin x
y p y q y Pm ( x) e( i ) x

高等数学练习册答案

高等数学练习册答案【篇一：高等数学练习册答案(下)】>7.5可降阶的高阶微分方程一、填空题答：1. y?xarctanx?ln?x2?c1x?c22.y?c1ex?x2?x?c2 3．y?c2e 二、求微分方程xy???y??0的通解?y?c1ln x?c2 ?三、求微分方程y3 y???1?0满足初始条件y|x?1?1? y?|x?1?0的特解?y?x?x2?7.6高阶线性微分方程一、判断题1．设y1(x)，y2(x)，y3(x)是某个二阶齐次线性微分方程的三个解，且y1(x)，y2(x)，y3(x).线性无关，则微分方程的通解为：y?c1y1(x)?c2y2(x)?(1?c1?c2)y3(x) （√ ）2．设y1(x)，y2(x) 是某个二阶齐次线性微分方程的二个特解，则y?c1y1(x)?c2y2(x) (c1 ，c2是任意常数)是该方程的通解。

（╳） 3．y=c1x2+c2x2lnx(c1 ，c2是任意常数)是方程xy???3xy??4y?0的通解。

（√ ）二、选择题答：1.c 2.c 3.c 4.b7.7常系数齐次线性微分方程一、判断题1．方程212c1x?1 y???y?0的解y1?ex,y2?e?x线性无关。

（√ ） 2．二阶常系数齐次线性微分方程任意两个解都线性无关。

（╳）3．二阶常系数齐次线性微分方程y???y??5y?0无解。

（╳）二、填空题x?2x 1、y?c1e?c2e2、 x?c1e?c2te? 3、y?e?3x(c1cos2x?c2sin2x)? 5t25t24、 y?c1?c2x?c3ex?c4xex5、y?e2xsin3x三、选择题答：1.b 2.b 3.a 4.c 5.b四、求下列微分方程(1)求微分方程y???4y??0的通解?y?c1?c2e4x?(2)求微分方程y???4y??5y?0的通解?y?e2x(c1cos x?c2sin x)?(3)求微分方程y(4)?2y????y???0的通解?y?c1?c2x?c3ex?c4xex?(4)求微分方程4y???4y??y?0? 满足所给初始条件y|x?0?2? y?|x?0?0的特解?7.8 常系数非齐次线性微分方程一、填空题答：1、1xy?c1e2?c2e?x?ex，2、 ?1xy?e2(2?x)?y?ex(c1cos2x?c2sin2x)?1xexcos2x? 41xsinx?cosx 223、y??cosx??sinx?sin2x 4、y?二、选择题答：1.d 2.b 3.a 4.c 5.d 6.d程y???3y??2y?3xe?x的通解?原方程的通解为y?c1e?x?c2e?2x?e?x(x2?3x) 131332四、求微分方程y???3y??2y?5?满足已给初始条件 y|x?0?1? y?|x?0?2的特解?原方程的通解为y?c1ex?c2e2x?特解为 5? 25? 2 y??51ex?e2x?72第12章无穷级数12.1常数项级数的概念与性质一、判断题二、填空题答：1. 1/2、3/8 、5/16 2. [（-1）^(n-1)]*[(n+1)/n] 3.[x^(n/2)]*(1/2*n!)三、选择题答：1.c 2.a 3.c 4.c四、判定下列级数的收敛性 (1)111?3?13?5?15?7? ? ? ? ?(2n?1)(2n?1)? ? ? ? ?级数收敛?(2)sin?6?sin2?6?sin3?6? ? ? ? sinn?6? ? ? ? ?该级数发散? (3)13?1?1? ? ? ? ?1? ? ? ? ;级数发散?12.2 常数项级数的审敛法一、判断题二、填空题4. 0答：1.p1 2. ?sn?有界 3. 绝对收敛 4. 收敛5.??limun?0 ?un?un?1三、选择题答：1. d 2.c 3.d 4.a5.c四、用比较审敛法或极限形式的比较审敛法判定下列级数的收敛性?(1)1??? ? ? ? ?级数发散? (4)sin11351? ? ? ? ?(2n?1)??sin??sin?? ? ? ? ?sin?? ? ? ? ? 2222级数收敛?五、用比值审敛法判定下列级数的收敛性?23n3333(1)??? ? ? ? ?n? ? ? ? ? 1?22?223?23n?2级数发散?n2?n! (2)?n?n?1n?级数收敛?六、用根值审敛法判定下列级数的收敛性?(1)?(n?1?n)n? 2n?1级数收敛(2)?(n?1?b)n? 其中a?a(n??)? a? b? a均为正数?nnan当b?a时级数收敛? 当b?a时级数发散?七、判定下列级数是否收敛？如果是收敛的? 是绝对收敛还是条件收敛？(1)1?1?1?1? ? ? ? ? 此级数是收敛的?条件收敛的?(2)?(?1)n?1n?1?n? 3?- 5 -解n?1?|(?1)n?1n|??n? ?3n?1n?13n?1级数收敛? 并且绝对收敛?12.3幂级数一、判断题二、填空题答：1.[-1/2、1/2] 2. [-1，5) 3. (-1,1) ,三、选择题答：1.d 2.b3d四、求下列幂级数的收敛域?(1)x?2x2?3x3? ? ? ? ?nxn? ? ? ??收敛域为(?1? 1)?2n?1x（2）?(?1)? 2n?1n?1n?1?xln 4. 绝对收敛 2?x收敛域为[?1? 1]?五、利用逐项求导或逐项积分? 求下列级数的和函数?(1)?nxn?1?n?1?s(x)?1 (?1?x?1 )(1?x2)? 352n?1xxx(2)x??? ? ? ? ?? ? ? ?? 352n?111?x s(x)?ln (?1?x?1) 21?x【篇二：高等数学练习册上答案】1 函数一、是非判断题1、f(x)在x上有界，g(x)在x上无界，则f(x)?g(x)在x上无界. [ √ ]2、函数f(x)?lnex与函数g(x)?elnx是表示同一函数. [ ╳] 答：不是同一函数，因为f(x)的定义域是(??，??)而g(x)的定义域(0，??)3、函数1f(x)?(1?cosx)2二、单项选择题1、下面四个函数中，与y=|x|不同的是( a ) （a）y?|elnx| （b）y?x2 （c）y?x4（d）y?xsgnx2、f(x)?(cos3x)2在其定义域(??，??)上是（b）(a)最小正周期为3?的周期函数；(b)的周期函数；32?(c)的周期函数；(d)非周期函数。