第一章 控制系统的状态空间表达式

1.1 状态变量及状态空间表达式
控制u
执行器
被控过程 x
被控对象
传感器
控制器
控制输入
典型控制系统方框图
u1
y1
u2
x1, x2 , xn
y2
up
yq
观测y 反馈控制
被控过程
典型控制系统由被控对象、传感器、执行器和控制器 组成。
被控过程具有若干输入端和输出端。
数学描述方法：
1、输入－输出描述（外部描述）:高阶微分方程、 传递函数矩阵。
1.2 状态变量及状态空间表达式的模拟结构图
常用符号： 积分器
比例器
ki
加法器

注：有几个状态变量，就建几个积分器
注:负反馈时为“－”
系统框图：
U
B
D
•
X

A
X C Y
X•

AX
BU
Y CX DU
• 状态空间描述的结构图绘制步骤： ⑴画出所有积分器； • 积分器的个数等于状态变量数，每个积分器的 输出表示相应的某个状态变量。 ⑵根据状态方程和输出方程，画出相应的加法器和 比例器； ⑶用箭头将这些元件连接起来。
y1 c11x1 c12 x2 c1n xn d11u1 d12u2 d1rur y2 a21 x1 a22 x2 c2n xn d21u1 d22u2 d2rur ym cm1 x1 cm2 x2 cmn xn bm1u1 dm2u2 dmr ur
程，输出方程是向量代数方程。例如，线性连续时间系统动态方 程的一般形式为
x&(t) A(t) x(t) B(t)u(t) y(t) C(t)x(t) D(t)u(t)
线性定常系统：线性系统的A，B，C，D或G，H，C，D中
的各元素全部是常数。即
或离散形式
x&(t) Ax(t) Bu(t) y(t) Cx(t) Du(t)
x&(t) f x(t),u(t),t
输出方程：描述系统输出变量与系统状态变量和输入变量之
间函数关系的代数方程称为输出方程，当输出由传感器得到 时，又称为观测方程。输出方程的一般形式为
y(t) g x(t),u(t),t
动态方程：状态方程与输出方程的组合称为动态方程，又
称为状态空间表达式 。一般形式为
一、由系统框图建立状态空间描述
1、由系统框图建立
［关键］：将积分部分单独表述出来，对结构图进行等效变换 ［例1］：系统框图如下：
u
k1
T1s 1
k2 T2 s 1
k3 T3 s
等效变换如下：
u
k1
T1
x3
x3 k2

T2
k4
x2
x2 k3 x1
T3
1
1
T1
T2
k4

n n维系统矩阵,表征各状态变量间的关 系
b11 b12 B b21 b22
bn1 bn2
b1r
b2r
,

bnr

n r维输入矩阵,表征输入对每个变量的 作用
y y1 y2 ym T, m1维输出矢量
c11
C

y
x1 y
图中有三个积分环节，三阶系统，取三个状态变量如上图（选择
积分环节后的变量为状态变量），则有：
x1
k3 T1
x2
x2
1 T2
2、用状态变量构成输入、输出与状态之间的关系方程组即为状态 空间描述。状态空间描述是状态方程、输出方程的组合：
（1）状态变量的一阶导数与状态变量、输入变量关系的数学 表达式称为状态方程。
（2）在指定输出的情况下，该输出与状态变量和输入之间的 函数关系称为输出方程。反映系统中输出变量与状态变量和输入 变量的因果关系。
n维状态矢量，A

a11 a21
L

an1
a12 a22 L an 2
L L L L
a1n
a2
n

:系统矩阵，
L
ann n×n矩阵。
x&1
x&

x&2
M

x&n
b1
b

b2

:输入矩阵，n×1列矩阵。
M
bn

若有
x(k 1) Gx(k ) Hu(k) y(k ) Cx(k ) Du(k )
x& Ax Bu y Cx Du
已知：
x1
x


x
2



x
n

u1
u

u
2


u
p

y1
y


y
2


由于n阶系统有n个独立状态变量，于是状态方程是n个的一阶 微分方程或差分方程。由于状态变量的选取具有非唯一性，所选 取的状态变量不同，状态空间描述也不同，故系统的状态空间描
述也具有非唯一性。
SISO线性定常系统的状态空间描述： 在讨论状态方程时，为简单起见，先假设系统的输入变量为
阶跃函数，即u的导数为零。SISO线性定常连续系统，其状态变量
但传递函数对系统是一种外部描述，它不 能描述处于系统内部的运动变量；且忽略了初 始条件。因此传递函数不能包含系统所有信息。
2、内部描述
由于六十年代以来，控制工程向复杂化、 高性能方向发展，所需利用的信息不局限于输 入量、输出量、误差等，还需要利用系统内部 的状态变化规律，加之利用数字计算机技术进 行分析设计及实时控制，因而可能处理复杂的 时变、非线性、MIMO系统的问题，但传递函 数法在这新领域的应用受到很大限制。于是需 要用新的对系统内部进行描述的新方法：状态 空间分析法。
x&(t) f x(t), u(t), t
或离散形式
y(t) g x(t), u(t), t
x(tk1) f x(tk ), u(tk ), tk
y(tk ) g x(tk ), u(tk ), tk
线性系统：线性系统的状态方程是一阶向量线性微分或差分方

y
q

写出状态矩阵 A、控制矩阵 B、输出矩阵 C、直接传递矩阵 D :
a11 a12 a1n
A a21
a22

a2n



an1
an2
ann

b11 b12 b1p
B b21
b22

b2
p



bn1 bn2
1、外部描述 经典控制理论中，系统一般可用常微分方
程在时域内描述，对复杂系统要求解高阶微分 方程，这是相当困难的。
经典控制理论中采用拉氏变换法在复频域 内描述系统，得到联系输入-输出关系的传递函 数，基于传递函数设计SISO系统极为有效，可 从传递函数的零点、极点分布得出系统定性特 性，并已建立起一整套图解分析设计法，至今 仍得到广泛成功地应用。
写成矩阵形式有： x Ax Bu y Cx Du
其中：x x1 x2 xn T , n 1维状态矢量
u u1 u2
a11 a12
A


aBiblioteka Baidu1
a22


an1 an2
ur T , r 1维输入矢量
a1n
a2
n
,

ann
为 x1 x2 xn ，则一般形式的状态空间描述写作：
x1 a11x1 a12 x2 a1n xn b1u x2 a21x1 a22 x2 a2n xn b2u xn an1x1 an2 x2 ann xn bnu
线性系统的结构图 ：线性系统的动态方程常用结构图表示。
图中，I为( n n )单位矩阵，s是拉普拉斯算子，z为单位延时算子。
注意：
1、状态变量的选取具有非唯一性，即可用某一组、也可用另一组 数目最少的变量。状态变量不一定要象系统输出量那样，在物理 上是可测量或可观察的量，但在实用上毕竟还是选择容易测量的 一些量，以便满足实现状态反馈、改善系统性能的需要。
y c1x1 c2 x2 cn xn du
式中常系数 a11，L ，ann；b1，L , bn c1，L ，cn；d 与系统特性有 关。
上面2个方程可写成矩阵形式： x Ax bu
y cx du
式中：
x

x1

xM2 :

xn

状态轨线：系统在某个时刻的状态，在状态空间可以看作是
一个点。随着时间的推移，系统状态不断变化，并在状态空 间中描述出一条轨迹，这种轨迹称为状态轨线或状态轨迹。
状态方程：描述系统状态变量与输入变量之间关系的一阶向
量微分或差分方程称为系统的状态方程，它不含输入的微积 分项。一般情况下，状态方程既是非线性的，又是时变的， 可以表示为
例1 画出一阶微分方程的状态结构图。
再以三阶微分方程为例： 将最高阶导数留在等式左边，上式可改写成
同样，已知状态空间表达式，也可画出相应的模拟结构 图，下图是下列三阶系统的模拟结构图。
下图是下列二输出的二阶系统的模拟结构图。
1.3 状态变量及状态空间表达式的建立（一）
建立状态空间表达式的三个途径： 1、由系统框图建立 2、由系统物理或化学机理进行推导 3 、由微分方程或传递函数演化而得

c21

c12 c22
cm1 cm2
c1n
c2n
,

cmn

m n维输出矩阵 表征输出和每个状态变量的关系
d11
D


d21

d12 d22
dm1 dm2
d1r
d2
r
,

dmr

m r维前馈矩阵,又称为直接传递矩阵 表征输入对输出的直接传递关系 通常D＝0
绪论 第一章 控制系统的状态空间表达式 第二章 控制系统状态空间表达式的解
第三章 线性控制系统的能控性和能观性 第四章 稳定性与李雅普诺夫方法 第五章 线性定常系统的综合 第六章 最优控制
第1章 控制系统的状态空间表达式
1.1 状态变量及状态空间表达式 1.2 状态变量及状态空间表达式的模拟结构图 1.3 状态变量及状态空间表达式的建立（一） 1.4 状态变量及状态空间表达式的建立（二） 1.5 状态矢量的线性变换（坐标变换） 1.6 从状态空间表达式求传递函数阵 1.7 离散时间系统的状态空间表达式 1.8 时变系统和非线性系统的状态空间表达式
c c1，c2，L ，cn :输出矩阵，1×n行矩阵。
d:直接联系输入量、输出量的前向传递（前馈）系数，又称前 馈系数或直接传递矩阵。
MIMO线性定常系统（r个输入，m个输出）的状态空间描述 状态空间描述为：
x1 a11 x1 a12 x2 a1n xn b11u1 b12u2 b1rur x2 a21 x1 a22 x2 a2n xn b21u1 b22u2 b2rur xn an1 x1 an2 x2 ann xn bn1u1 bn2u2 bnr ur
bnp

c11 c12 c1n
C c21
c22

c2n


cq1
cq2
cqn

d11 d12 L d1p
D

d21 M
d22 M
L
d2
p

M
dq1 dq2 L
dqp

为书写方便，常把连续系统和离散系统分别简记为S(A,B,C,D) 和S(G,H,C,D)。
本章要求
要求理解及掌握内容： 控制系统的状态空间表达式及其建立；状态向量
的线性变换；从状态空间表达式求传递函数阵。 要求了解内容：
离散时间系统、时变系统和非线性系统的状态空 间表达式。 难点：
由传递函数建立状态空间表达式。
系统描述中常用的基本概念
• 系统的外部描述 传递函数 系统的内部描述 状态空间描述
2、状态空间描述（内部描述）：基于系统内部 结构，是对系统的一种完整的描述。
输入：外部对系统的作用（激励）； 控制：人为施加的激励；输入分为控制与干扰。 输出：系统的被控量或从外部测量到的系统信息 。
若输出是由传感器测量得到的，又称为观测。 状态、状态变量和状态向量 ：能完整描述和唯一确
定系统时域行为或运行过程的一组独立（数目最 小）的变量称为系统的状态；其中的各个变量称 为状态变量。当状态表示成以各状态变量为分量 组成的向量时，称为状态向量。 状态空间：以状态向量的各个分量作为坐标轴所组 成的n维空间称为状态空间。