如图,在一面靠墙的空地上用长24米的篱笆,围成中间隔有二(1)
2024--2025学年沪科版九年级数学上册第一次月考复习题目【试题集】
2024--2025学年沪科版九年级数学上册第一次月考复习题目【试题集】一、单选题1．下列函数关系中，y 是x 的二次函数的是（ ）A ．y=2x+3B ．C ．y=2x -1D ．y=21x +1二、填空题 2．若221(1)21mm y m x mx +-=-+-是二次函数，则m 的值是.三、单选题3．抛物线()2311y x =-+的顶点坐标是（ ） A ．()1,1B ．()1,1-C ．()1,1--D ．()1,1-4．关于x 的二次函数()212y x =--+，下列说法正确的是（ ） A ．图象的开口向上 B ．图象与y 轴的交点坐标为()0,2 C ．图象的顶点坐标是()1,2-D ．当1x >时，y 随x 的增大而减小5．在同一坐标系中，作y=3x 2+2，y=﹣3x 2﹣1，y=13x 2的图像，则它们（ ）A ．都是关于y 轴对称B ．顶点都在原点C ．都是开口向上D ．以上都不对6．y=3（x ﹣1）2+2与y 轴的交点坐标是（ ） A ．（0，2）B ．（0，5）C ．（2，0）D ．（5，0）7．若二次函数27y x bx =++配方后为()21y x k =-+，则b 、k 的值分别为（ ） A ．2、6B ．2、8C ．2-、6D ．2-、88．二次函数22(0)y ax bx a =++≠的图象经过点(1，0)，则2a b --的值是（ ） A ．－3B ．0C ．4D ．－4四、填空题9．已知二次函数y=x 2﹣4x+k 的图象的顶点在x 轴下方，则实数k 的取值范围是． 10．若二次函数y ＝（m +1）x 2+m 2﹣9有最小值，且图象经过原点，则m ＝．五、单选题11．在直角坐标系xOy 中，二次函数C 1，C 2图象上部分点的横坐标、纵坐标间的对应值如下表：则关于它们图象的结论正确的是（ ）A ．图象C 1，C 2均开口向下B ．图象C 1的顶点坐标为（2.5，﹣8.75） C ．当x ＞4时，y 1＞y 2D ．图象C 1、C 2必经过定点（0，﹣5）12．如图,函数221y ax x =-+和y ax a =-(a 是常数,且0a ≠)在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．13．在同一平面直角坐标系中，一次函数y =ax +b 和二次函数y =ax 2+bx 的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．六、填空题14．对于二次函数y ＝x 2﹣2mx ﹣3，当x ＝2时的函数值与x ＝8时的函数值相等时，m ＝七、单选题15．在函数2(1)3y x =++中，y 随 x 的增大而减小，则 x 的取值范围为（ ）A ．>1x -B ．1x =-C ．<1x -D ．1x ≠-16．已知二次函数()20y ax bx c a =++≠的y 与x 的部分对应值如表所示：则下列判断中正确的是（ ）A ．抛物线开口向上B ．抛物线与y 轴交于负半轴C ．当4x =时，0y >D ．方程2 0ax bx c ++=的正根在 2 与 3 之间八、填空题17．已知：二次函数y=ax 2+bx+c 图像上部分点的横坐标x 与纵坐标y 的对应值如表格所示，那么它的图像与x 轴的另一个交点坐标是．九、单选题18．已知二次函数23()5y x h =--+，当2x >-时，y 随x 的增大而减小，则有（ ）A ．2h ≥-B ．2h ≤-C ．2h >-D ．2h <-19．设点(﹣1，y 1)，(2，y 2)，(3，y 3)是抛物线y =﹣2x 2+1上的三点，则y 1、y 2、y 3的大小关系为（ ）A ．y 3＞y 2＞y 1B ．y 1＞y 3＞y 2C ．y 3＞y 1＞y 2D ．y 1＞y 2＞y 3十、填空题20．已知二次函数22(y x mx m =-为常数)，当12x -≤≤时，函数值y 的最小值为2-，则m 的值是.十一、解答题21．已知二次函数245y x x =-++．(1)将函数关系式用配方法化为()2y a x h k =++的形式，并写出它的图象的顶点坐标、对称轴；(2)在直角坐标系中，画出它的图象．22．抛物线2y x bx c =++（b ，c 均为常数）与x 轴交于()1,0,A B 两点，与y 轴交于点()0,3C ．（1）求该抛物线对应的函数表达式；（2）若P 是抛物线上一点，且点P 到抛物线的对称轴的距离为3，请直接写出点P 的坐标．十二、单选题23．在平面直角坐标系中，将抛物线24y x =-先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是（ ）A ．()222?y x =++ B ．()222y x =--C ．()22+2y x =-D ．()2+22y x =-24．若抛物线2 y x bx c =++与 x 轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线， 已知某定弦抛物线的对称轴为直线1x =，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的新抛物线解析式为（ ）A ．21y x =-B ．()214y x =+-C ．()214y x =--D ．()211y x =--十三、解答题25．如图所示的抛物线是由抛物线2y x =-经过平移而得到，这是抛物线过原点O 和x 轴正半轴上一点A ，顶点为P ， 90OPA ∠=︒．(1)求抛物线的顶点P 的坐标及抛物线的表达式(2)求抛物线对应的二次函数在14x -≤≤时的最大值和最小值十四、单选题26．已知二次函数269y kx x =--的图象与x 轴有两个交点，则k 的取值范围是（ ）A ．1k >B ．1k >-且0k ≠C ．1k ≥-D ．1k <-十五、解答题27．已知关于 x 的 函数()()221222y m x m x =--++ 的图象与 x 轴只有一个公共点，求 m的值．十六、填空题28．已知二次函数24y x x m =-++的部分图象如图，则关于x 的一元二次方程240x x m -++=的解是．十七、解答题29．如图，二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象的顶点 C 的坐标为()1,3--，与 x 轴交于()3,0A -、()1,0B ，根据图象回答下列问题：(1)写出方程20ax bx c ++=的根； (2)写出不等式20ax bx c ++>的解集；(3)若方程2ax bx c k ++=有实数根，写出实数 k 的取值范围． (4)当 -<3≤0x 时，求 y 的取值范围．十八、填空题30．小明从如图所示的二次函数2y ax bx c =++的图象中，观察得出了下面五条信息： (1)0a <；(2)240b ac -< ；(3)0b >； (4)0a b c ++>；(5) 0a b c -+>．你认为其中正确信息的序号是 ．十九、单选题31．二次函数2y ax bx c =++（a ≠0）的图象如图所示，则下列命题中正确的是（ ）A ．a ＞b ＞cB ．一次函数y =ax +c 的图象不经第四象限C ．m （am +b ）+b ＜a （m 是任意实数）D ．3b +2c ＞032．如图抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴为直线2x =-，与x 轴一个交点在(3,0)-和(4,0)-之间，其部分图象如图所示．则下列结论：①40a b -=；②0c <；③30a c -+>；④242a b at bt ->+ （t 为实数）；⑤点19,2y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，25,2y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，31,2y ⎛⎫- ⎪⎝⎭是该抛物线上的点，则123y y y <<．正确的个数有（ ）A．4个B．3个C．2个D．1个33．如图，正方形ABCD边长为1，E、F、G、H分别为各边上的点，且AE BF CG DH===，设小正方形EFGH的面积为s，AE为x，则s关于x的函数图象大致是（）A．B．C．D．34．如图，四边形ABCD是矩形，AB=8，BC=4，动点P以每秒2个单位的速度从点A沿线段AB向B点运动，同时动点Q以每秒3个单位的速度从点B出发沿B-C-D的方向运动，当点Q到达点D时P、Q同时停止运动，若记△PQA的面积为y，运动时间为x，则下列图象中能大致表示y与x之间函数关系图象的是（）A ．B ．C ．D ．二十、填空题35．如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为2 m 时，水面宽度为4 m ；那么当水位下降1m 后，水面的宽度为m .二一、解答题36．如图，儿童游乐场有一项射击游戏．从 O 处发射小球，将球投入正方形篮筐 DABC ．正方形篮筐三个顶点为 ()2,2A ，()3,2B ，()2,3D ．小球按照抛物线2y x bx =-+飞行．小球落地点 P 坐标(),0n ．(1)点 C 坐标为(2)求出小球飞行中最高点 N 的坐标（用含有 n 的代数式表示）；(3)若小球发射之后能够直接入篮，球没有接触篮筐，请直接写出 n 的取值范围． 37．某商家销售一款商品，进价每件80元，售价每件145元，每天销售40件，每销售一件需支付给商场管理费5元，未来一个月(按30天计算)，这款商品将开展“每天降价1元”的促销活动，即从第一天开始每天的单价均比前一天降低1元，通过市场调查发现，该商品单价每降1元，每天销售量增加2件，设第x 天(1x 30≤≤且x 为整数)的销售量为y 件．()1直接写出y 与x 的函数关系式；()2设第x 天的利润为w 元，试求出w 与x 之间的函数关系式，并求出哪一天的利润最大？最大利润是多少元？38．如图，在一面靠墙的空地上用长为 24 米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，墙的最大可用长度为 8 米，设花圃的宽AB 为 x 米，面积为 S 平方米 ．(1)求 S 与 x 的函数关系式；(2)当 x 取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？39．如图，直线y kx b =+分别于x 轴，y 轴交于点()3,0C -，()0,3D ，抛物线224233y x x =-++于x 轴交于点A 和点B （点A 在点B 的左侧）(1)求直线y kx b =+的表达式； (2)求点A 和B 的坐标；(3)若直线l 于x 轴垂直，在点A 与点B 之间移动，且与直线y kx b =+交于点E ，与抛物线224233y x x =-++交于点F ，求EF 的最小值40．如图，抛物线 252y ax bx =++与直线AB 交于点()1,0A - ，54,2B ⎛⎫⎪⎝⎭，点D 是抛物线A 、B 两点间部分上的一个动点(不与点 A ，B 重合)，直线CD 与 y 轴平行，交直线AB 于点C，连接AD，BD．(1)求抛物线的解析式；(2)①当D 为抛物线顶点时，线段CD的长度是多少？②设点D 的横坐标为m ，ADBV的面积为S ，求S 关于m 的函数关系式，并求出S 的最大值．41．如图，抛物线223=-++与x 轴相交于A，B两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴y x x相交于点C ，顶点为D ．(1)直接写出A，B，C 三点的坐标和抛物线的对称轴．(2)连接BC，与抛物线的对称轴交于点E ，点P 为线段BC上的一个动点，过点P 作∥交抛物线于点F ，设点P 的横坐标为m ．PF DE①用含m 的代数式表示线段PF的长，并求出当m 为何值时，四边形PEDF为平行四边形？②△BCF的面积为S ，求S 与m 的函数关系式，并求出S 的最大值．二二、单选题42．矩形的长为x，宽为y，面积为12，则y与x之间的函数关系用图象表示大致为（）A．B．C ．D ．二三、填空题43．如图，正比例函数y x =-与反比例函数3y x=-的图象相交于A ， C 两点，AB x ⊥轴于B ，CD x ⊥轴于 D ，则四边形ABCD 的面积为二四、解答题44．如图，已知反比例函数(0)ky k x =≠的图象经过点（12，8），直线y=﹣x+b 经过该反比例函数图象上的点Q （4，m ）．（1）求上述反比例函数和直线的函数表达式；（2）设该直线与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，与反比例函数图象的另一个交点为P ，连接OP 、OQ ，求△OPQ 的面积．二五、单选题45．定义运算“※”为：a ※b=()()2200ab b ab b ⎧>⎪⎨-≤⎪⎩，如：1※（﹣2）=﹣1×（﹣2）2=﹣4．则函数y=2※x 的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．二六、解答题46．定义：我们把经过原点，且顶点落在第一象限内同一条正比例函数上的一组抛物线，称为关于这个正比例成“串顶抛物线”．例如212y x x =-+的顶点(1,1)、22122y x x =-+的顶点()2,2、23123y x x =-+的顶点()3,3都在正比例函数y x =上，我们把212y x x =-+、22122y x x =-+、23123y x x =-+称为关于正比例y x =成“串顶抛物线”． (1)直接写出两支关于正比例函数y =2x 成“串顶抛物线”的函数解析式及顶点坐标；(2)若关于直线y kx =成“串顶抛物线”2y ax bx =+，观察以上函数的一次项系数b 和正比例函数系数k ，试猜想b 和k 之间的数量关系，并对自己的猜想进行证明．(3)若211052y x x +-=和22y ax bx =+关于某条正比例函数成“串顶抛物线”，当22y a x b x =+经过()2,4时，求a 的值。
二次函数的应用题--答案
二次函数的应用题--答案图形面积问题例1如图1，用篱笆靠墙围成矩形花圃ABCD，一面利用旧墙，其余三面用篱笆围，墙可利用的最大长度为15m，篱笆长为24m，设平行于墙的BC边长为xm．（1）若围成的花圃面积为40m2时，求BC的长；（2）如图2，若计划在花圃中间用一道篱笆隔成两个小矩形，且花圃面积为50m2，请你判断能否围成花圃，如果能，求BC的长；如果不能，请说明理由．【分析】（1）由于篱笆总长为24m，设平行于墙的BC边长为xm，由此得到AB＝m，接着根据题意列出方程•x＝40，解方程即可求出BC的长；（2）不能围成花圃；根据（1）得到•x＝50，此方程的判别式Δ＝（﹣24）2﹣4×150＜0，由此得到方程无实数解，所以不能围成花圃；【解答】解：（1）根据题意得，AB＝m，则•x＝40，∴x1＝20，x2＝4，因为20＞15，所以x1＝20舍去答：BC的长为4米；（2）不能围成花圃，根据题意得，•x＝50，方程可化为x2﹣24x+150＝0，△＝（﹣24）2﹣4×150＜0，∴方程无实数解，∴不能围成花圃；【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，同时也利用了矩形的性质，解题时首先正确了解题意，然后根据题意列出方程即可解决问题．练习1.1 如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米．（1）求S与x的函数关系式及自变量的取值范围；（2）已知墙的最大可用长度为8米；①求所围成花圃的最大面积；②若所围花圃的面积不小于20平方米，请直接写出x的取值范围．【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用．【分析】（1）根据面积等于长乘宽即可解决问题．自变量的取值范围可以根据不等式4x＜24解决问题．（2）①根据条件先确定自变量取值范围，再利用配方法，结合自变量取值范围，确定x取何值时面积最大．②先求出﹣4x2+24x＝20方程的解，再根据二次函数的图象以及自变量的取值范围，确定x的取值范围．【解答】解：（1）S＝x（24﹣4x）＝﹣4x2+24x（0＜x＜6）（2）①S＝﹣4x2+24x＝﹣4（x﹣3）2+36由，解得4≤x＜6当x＝4时，花圃有最大面积为32②令﹣4x2+24x＝20时，解得x1＝1，x2＝5∵墙的最大可用长度为8，即24﹣4x≤8∴x≥4∴4≤x≤5．【点评】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解题的关键是学会构建二次函数解决实际问题，取最值注意自变量的取值范围，属于中考常考题型．练习1.2为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为80m 的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2．（1）求AE的长（用x的代数式表示）；（2）求y与x的函数解析式，并求矩形区域ABCD的面积的最大值；（3）当矩形区域ABCD的面积108m2时，求BC的长度．【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用．【分析】（1）根据三个矩形面积相等，得到矩形AEFD面积是矩形BCFE面积的2倍，可得出AE＝2BE，设BE＝a，则有AE＝2a，根据围网的总长为80m建立方程8a+2x＝80，解方程求出a的值，进而得到AE的长；（2）根据三个矩形面积相等，得到矩形AEFD面积是矩形BCFE面积的2倍，可得出AE＝2BE，设BE＝a，则有AE＝2a，表示出a与2a，进而表示出y与x的关系式，并求出x的范围即可；利用二次函数的性质求出y的最大值，以及此时x的值即可；（3）根据矩形区域ABCD的面积＝AB•BC＝108建立方程3（﹣x+10）•x＝108，解方程即可．【解答】解：（1）∵三块矩形区域的面积相等，∴矩形AEFD面积是矩形BCFE面积的2倍，∴AE＝2BE，设BE＝a，则AE＝2a，AB＝3a，∴8a+2x＝80，∴a＝﹣x+10，∴AE＝2a＝﹣x+20；（2）∵三块矩形区域的面积相等，∴矩形AEFD面积是矩形BCFE面积的2倍，∴AE＝2BE，设BE＝FC＝am，则AE＝HG＝DF＝2am，∴DF+FC+HG+AE+EB+EF+BC＝80，即8a+2x＝80，∴a＝﹣x+10，3a＝﹣x+30，∴y＝（﹣x+30）x＝﹣x2+30x，∵a＝﹣x+10＞0，∴x＜40，则y＝﹣x2+30x（0＜x＜40）；∵y＝﹣x2+30x＝﹣（x﹣20）2+300（0＜x＜40），且二次项系数为﹣＜0，∴当x＝20时，矩形区域ABCD的面积的最大值为300平方米；（3）∵矩形区域ABCD的面积＝AB•BC，∴3（﹣x+10）•x＝108，整理得x2﹣40x+144＝0，解得x＝36或4，即当y＝108m2时，x的值为36或4．【点评】此题考查了二次函数的应用，以及列代数式，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．最大利润问题例2我国中东部地区雾霾天气趋于严重，环境治理已刻不容缓，我市某电器商场根据民众健康需要，代理销售某种家用空气净化器，其进价是200元/台，经过市场销售后发现：在一个月内，当售价是400元/台时，可售出200台，且售价每降低1元，就可多售出5台，若供货商规定这种空气净化器售价不低于330元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务．（1）若某月空气净化器售价降低30元，则该月可售出多少台？（2）试确定月销售量y（台）与售价x（元/台）之间的函数关系式，并求出售价x的范围；（3）当售价x（元/台）定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获的利润w（元）最大，最大利润是多少？【分析】（1）由“原销售量+5×降低的价格＝实际销售量”列式计算可得；（2）根据销售量＝原来的销售量+降价后的销售量就可以表示出y与x之间的关系式；（3）由总利润＝每台的利润×数量就可以得出w与x直接的关系式，由二次函数的性质就可以得出结论．【解答】解：（1）若某月空气净化器售价降低30元，该月可售出200+5×30＝350台．（2）由题意，得：y＝200+5（400﹣x）＝2200﹣5x．∵售价不低于330元/台∴x≥330∵数量不低于450台∴y≥450，2200﹣5x≥450x≤350∴330≤x≤350．答：y与x之间的函数关系式为：y＝2200﹣5x；（3）由题意，得：w＝（x﹣200）（2200﹣5x）＝﹣5（x﹣320）2+72000，∵a＝﹣5＜0，∴在对称轴的右侧w随x的增大而减小，∴x＝330时，w最大＝71500．答：当售价为330元/台时，月利润最大为71500元．【点评】本题考查了二次函数的应用，以及对于一次函数的应用和掌握，而且还应用到将函数变形求函数极值的知识．练2 某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件，试营销阶段发现：当销售单价25元/件时，每天的销售量是250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．（1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大；（3）商场的营销部结合上述情况，提出了A、B两种营销方案：方案A：该文具的销售单价高于进价且不超过30元；方案B：每件文具的利润不低于25元且不高于29元．请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由．【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用．【分析】（1）根据利润＝（销售单价﹣进价）×销售量，列出函数关系式即可；（2）根据（1）式列出的函数关系式，运用配方法求最大值；（3）分别求出方案A、B中x的取值范围，然后分别求出A、B方案的最大利润，然后进行比较．【解答】解：（1）由题意得，销售量＝250﹣10（x﹣25）＝﹣10x+500，则w＝（x﹣20）（﹣10x+500）＝﹣10x2+700x﹣10000；（2）w＝﹣10x2+700x﹣10000＝﹣10（x﹣35）2+2250．∵﹣10＜0，∴函数图象开口向下，w有最大值，当x＝35时，w最大＝2250，故当单价为35元时，该文具每天的利润最大；（3）A方案利润高．理由如下：A方案中：20＜x≤30，故当x＝30时，w有最大值，此时w A＝2000；B方案中：故x的取值范围为：45≤x≤49，∵函数w＝﹣10（x﹣35）2+2250，对称轴为直线x＝35，∴当x＝45时，w有最大值，此时w B＝1250，∵w A＞w B，∴A方案利润更高．【点评】本题考查了二次函数的应用，难度较大，最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在x＝﹣时取得．例3.为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．李明按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯．已知这种节能灯的成本价为每件8元，出厂价为每件10元，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系近似满足一次函数：y＝﹣10x+500．（1）李明在开始创业的第一个月将销售单价定为20元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？（2）设李明获得的利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？（3）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元．如果李明想要每月获得的利润不低于3410元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元？【分析】（1）把x＝20代入y＝﹣10x+500求出销售的件数，然后求出政府承担的成本价与出厂价之间的差价；（2）由总利润＝销售量•每件纯赚利润，得w＝（x﹣8）（﹣10x+500），把函数转化成顶点坐标式，根据二次函数的性质求出最大利润；（3）令﹣10x2+600x﹣5000＝3000，求出x的值，结合图象求出利润的范围，然后设政府每个月为他承担的总差价为p元，根据一次函数的性质求出总差价的最小值．【解答】解：（1）当x＝20时，y＝﹣10x+500＝﹣10×20+500＝300，300×（10﹣8）＝300×2＝600元，即政府这个月为他承担的总差价为600元．（2）由题意得，w＝（x﹣8）（﹣10x+500），＝﹣10x2+580x﹣4000，＝﹣10（x﹣29）2+4410，∵a＝﹣10＜0，∴当x＝29时，w有最大值4410元．即当销售单价定为29元时，每月可获得最大利润4410元．（3）由题意得：﹣10（x﹣29）2+4410≥3410，当﹣10（x﹣29）2+4410＝3410时，解得：x1＝19，x2＝39．∵a＝﹣10＜0，抛物线开口向下，∴结合图象可知：当19≤x≤39时，每月获得的利润不低于3410元，又∵x≤25，∴当19≤x≤25时，每月获得的利润不低于3410元，设政府每个月为他承担的总差价为p元，∴p＝（10﹣8）×（﹣10x+500）＝﹣20x+1000．∵k＝﹣20＜0．∴p随x的增大而减小，∴当x＝25时，p有最小值500元．即销售单价定为25元时，政府每个月为他承担的总差价最少为500元．【点评】本题考查二次函数的应用、一次函数的应用、利润、销售量、单价之间的关系等知识，解题的关键是理解题意，学会构建二次函数解决最值问题，学会利用一次函数的增减性，解决实际问题中的最值问题，属于中考常考题型．练3.1某茶叶经销商以每千克18元的价格购进一批宁波白茶鲜茶叶加工后出售，已知加工过程中质量损耗了40%，该商户对该茶叶试销期间，销售单价不低于成本单价，且每千克获利不得高于成本单价的60%，经试销发现，每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）符合一次函数y＝kx+b，且x＝35时，y＝45；x＝42时，y＝38．（1）求一次函数y＝kx+b的表达式；（2）若该商户每天获得利润（不计加工费用）为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价每千克定为多少元时，商户每天可获得最大利润，最大利润是多少元？（3）若该商户每天获得利润不低于225元，试确定销售单价x的范围．【分析】（1）待定系数法求解可得；（2）先根据加工过程中质量损耗了40%求出宁波白茶的实际成本，再根据“总利润＝每千克的利润×销售量”列出函数解析式，由“销售单价不低于成本单价，且每千克获利不得高于成本单价的60%”得出x的范围，结合二次函数与的性质即可得函数的最值；（3）根据“每天获得利润不低于225元”列出不等式，解不等式后结合30≤x≤48可得答案．【解答】解：（1）将x＝35、y＝45和x＝42、y＝38代入y＝kx+b，得：，解得：，∴y＝﹣x+80；（2）∵这批白茶的实际成本为＝30元/千克，根据题意得：W＝（x﹣30）（﹣x+80）＝﹣（x﹣55）2+625，解得30≤x≤48，所以x＝55不在此范围内当x＝48时，最大利润为576元；（3）当W＝225时W＝﹣（x﹣55）2+625＝225，解得x＝35 或x＝75，由30≤x≤48得，∴35≤x≤48．【点评】本题主要考查待定系数法求函数解析式及二次函数的应用，理解题意找到题目蕴含的相等关系是解题的关键．练3.2某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于65元，经市场调查，每天的销售量y（千克）与每千克售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如表：售价x（元/千克）505560销售量y（千克）1009080（1）求y与x之间的函数表达式；（2）设商品每天的总利润为（元），求W与x之间的函数表达式（利润＝收入﹣成本），当售价定为多少元时，每天可获得最大利润？【分析】（1）待定系数法求解可得；（2）根据“总利润＝每千克利润×销售量”可得函数解析式，将其配方成顶点式即可得最值情况．【解答】解：（1）设y＝kx+b，将（50，100）、（60，80）代入，得：，解得：，∴y＝﹣2x+200 （40≤x≤65）；（2）W＝（x﹣40）（﹣2x+200）＝﹣2x2+280x﹣8000＝﹣2（x﹣70）2+1800，∵40≤x≤65，∴当x＝65时，W取得最大值为1750，答：W与x之间的函数表达式为W＝﹣2x2+280x﹣8000，售价为65元时获得最大利润，最大利润是1750元．【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及二次函数的性质．拱桥建系问题例4．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，建立如图所示的平面直角坐标系：（1）求拱桥所在抛物线的解析式；（2）当水面下降1m时，则水面的宽度为多少？【分析】（1）由已知得到点B、C坐标，由待定系数法求函数解析式；（2）当水位下降1m时，设纵坐标为-1，求出点坐标，得到水面宽度．【解答】解：（1）由题意设抛物线解析式为：y=ax2+b（a≠0）∵当拱顶离水面2m时，水面宽4m∴点C（0，2），点B（2，0）代入得：⎧⎧⎧2＝b0＝4a+b解得a=-12,b=2∴拱桥所在抛物线的解析式为y=-12x2+2（2）当水位下降1m时，水位纵坐标为-1令y=-1则-1=-12x2+2解得x=±√6∴水面宽度为√6-(-√6)=2√6【点评】本题为二次函数应用题，考查了待定系数法和通过数形结合求出图象上点坐标．练习4.1 如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽4m．【分析】根据已知建立平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把y＝﹣2代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．【解答】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），通过以上条件可设顶点式y＝ax2+2，其中a可通过代入A点坐标（﹣2，0），到抛物线解析式得出：a＝﹣0.5，所以抛物线解析式为y＝﹣0.5x2+2，当水面下降2米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当y＝﹣2时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y＝﹣2与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把y＝﹣2代入抛物线解析式得出：﹣2＝﹣0.5x2+2，解得：x＝±2，所以水面宽度增加到4米，故答案为：4．练习4.2如图隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m，宽是4m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y＝﹣x2+bx+c表示，且抛物线上的点C到OB的水平距离为3m，到地面OA的距离为m．（1）求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过？【分析】（1）先确定B点和C点坐标，然后利用待定系数法求出抛物线解析式，再利用配方法确定顶点D的坐标，从而得到点D到地面OA的距离；（2）由于抛物线的对称轴为直线x＝6，而隧道内设双向行车道，车宽为4m，则货运汽车最外侧与地面OA的交点为（2，0）或（10，0），然后计算自变量为2或10的函数值，再把函数值与6进行大小比较即可判断．【解答】解：（1）根据题意得B（0，4），C（3，），把B（0，4），C（3，）代入y＝﹣x2+bx+c得解得．所以抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+4，则y＝﹣（x﹣6）2+10，所以D（6，10），所以拱顶D到地面OA的距离为10m；（2）由题意得货运汽车最外侧与地面OA的交点为（2，0）或（10，0），当x＝2或x＝10时，y＝＞6，所以这辆货车能安全通过．【点评】本题考查了二次函数的应用：构建二次函数模型解决实际问题，利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．。
北京市西城区中考数学《二次函数》专项复习训练含答案
北京市西城区普通中学初三数学中考复习 二次函数 专项复习训练一、选择题(每小题4分，共32分) 1．下列函数中一定是二次函数的是( ) A ．y ＝ax 2＋bx ＋c B ．y ＝x 2＋3x 3 C ．y ＝1x 2＋2x ＋3D ．y ＝2－3x 22．已知抛物线y ＝(m －1)x 2－mx －m 2＋1的图象过原点，则m 的值为( ) A ．±1 B ．0 C ．1 D ．－13．在同一平面直角坐标系中，函数y ＝ax ＋b 与y ＝ax 2－bx 的图象可能是( )A B C D4．将抛物线y ＝x 2－2平移到抛物线y ＝x 2＋2x －2的位置，以下描述正确的是( )A ．向左平移1个单位长度，向上平移1个单位长度B ．向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度C ．向左平移1个单位长度，向下平移1个单位长度D ．向右平移1个单位长度，向下平移1个单位长度5．若函数y ＝mx 2＋(m ＋2)x ＋12m ＋1的图象与坐标轴只有2个公共点，那么m 的值为( )A ．0B ．0或2C ．2或－2D ．0，2或－26．抛物线y ＝x 2＋bx ＋c(其中b ，c 是常数)过点A(2，6)，且抛物线的对称轴与线段y ＝0(1≤x ≤3)有交点，则c 的值不可能是( ) A ．4 B ．6 C ．8 D ．107．在羽毛球比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线y ＝－14x 2＋34x ＋1的一部分(如图所示，单位：m)，则下列说法不正确的是( )A ．出球点A 离地面点O 的距离是1 mB ．该羽毛球横向飞出的最远距离是3 mC ．此次羽毛球最高达到2516mD ．当羽毛球横向飞出32m 时，可达到最高点8．如图是抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的部分图象，其顶点坐标为(1，n)，且与x 轴的一个交点在点(3，0)和(4，0)之间．则下列结论：①a －b ＋c ＞0；②3a ＋b ＝0；③b 2＝4a(c －n)；④一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝n －1有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题(每小题4分，共24分)9．二次函数y＝2x2＋3x－9的图象与x轴交点的坐标是____________________．10．如图是抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象，则由图象可知，不等式ax2＋bx＋c<0的解集是________．11．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的对称轴是过点(1，0)且平行于y轴的直线，若点P(4，0)在该抛物线上，则4a－2b＋c的值为______．12. 科学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度，将这种植物分别放在不同温度的环境中，经过一定时间后，测试出这种植物高度的增长情况，部分数据如下表：温度t/℃－4 －2 0 1 4植物高度增长量l/mm41 49 49 46 25科学家经过猜想，推测出l与t之间是二次函数关系．由此可以推测最适合这种植物生长的温度为________℃.13．已知函数y＝x2－2mx＋2 017(m为常数)的图象上有三点：A(x1，y1)，B(x2，y 2)，C(x 3，y 3)，其中x 1＝m －2，x 2＝m ＋3，x 3＝m －1，则y 1，y 2，y 3的大小关系是____________．14．某服装店购进单价为15元的童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元，平均每天能多售出4件，当每件的定价为________元时，该服装店平均每天的销售利润最大．三、解答题(共44分)15．(10分)如图，直线y ＝x ＋m 和抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 都经过点A(1，0)，B(3，2)．(1)求m 的值和抛物线的表达式；(2)求不等式x 2＋bx ＋c ＞x ＋m 的解集．(直接写出答案)16．(10分)杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A 处弹跳到人梯顶端椅子B 处，其身体(看成一个点)的路线是抛物线y ＝－35x 2＋3x ＋1的一部分，如图所示．(1)求演员弹跳离地面的最大高度；(2)已知人梯高BC＝3.4米，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是4米，问这次表演是否成功？说明理由．17．(12分)如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有两道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米．(1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围；(2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？(3)若墙的最大可用长度为8米，求围成的最大面积．18．(12分)某景点试开放期间，团队收费方案如下：不超过30人时，人均收费120元；超过30人且不超过m(30＜m≤100)人时，每增加1人，人均收费降低1元；超过m人时，人均收费都按照m人时的标准．设景点接待有x名游客的某团队，收取总费用为y元．(1)求y关于x的函数表达式；(2)景点工作人员发现：当接待某团队人数超过一定数量时，会出现随着人数的增加收取的总费用反而减少这一现象．为了让收取的总费用随着团队中人数的增加而增加，求m的取值范围．答案： 一、1---8 DDCCD ABC 二、9. (32，0)和(－3，0)10. －2<x<3 11. 0 12. －1 13. y 3＜y 1＜y 2 14. 22 三、15. (1)∵直线y ＝x ＋m 经过点A(1，0)，∴0＝1＋m.∴m＝－1.∴y＝x －1.∵抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 经过点A(1，0)，B(3，2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧0＝1＋b ＋c ，2＝9＋3b ＋c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－3，c ＝2.∴抛物线的表达式为y ＝x 2－3x ＋2 (2)x<1或x>316. (1)y ＝－35x 2＋3x ＋1＝－35(x －52)2＋194.故函数的最大值是194，∴演员弹跳离地面的最大高度是194米(2)当x ＝4时，y ＝－35×42＋3×4＋1＝3.4＝BC.∴这次表演成功17. (1)∵AB＝x ，∴BC ＝24－4x ，∴S ＝AB·BC＝x(24－4x)＝－4x 2＋24x(0＜x ＜6)(2)S ＝－4x 2＋24x ＝－4(x －3)2＋36，∵0＜x ＜6，∴当x ＝3时，花圃的面积最大，最大为36平方米(3)∵⎩⎪⎨⎪⎧24－4x≤8，24－4x ＞0，∴4≤x ＜6，∴当x ＝4时，花圃的面积最大，最大为32平方米18. (1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧120x （0<x≤30），[120－（x －30）]x （30<x≤m），[120－（m －30）]x （x ＞m ）.(2)由(1)可知当0＜x≤30或x ＞m 时，函数值y 都是随着x 的增大而增大的，当30＜x≤m 时，y ＝－x 2＋150x ＝－(x －75)2＋5 625，∵a ＝－1＜0，∴当x≤75时，y 随着x 的增大而增大，∴为了让收取的总费用随着团队中人数的增大而增大，m 的取值范围为30＜m≤75。
2020年中考数学培优复习题二次函数图像和性质(含解析)
7.对于二次函数 y x2 2x ，有下列四个结论，其中正确的结论的个数为（
）
①它的对称轴是直线 x 1 ；
②设 y1 x12 2x1, y2 x22 2x2 ，则 x2 x1 时，有 y2 y1 ；
③它的图象与 x 轴的两个交点是(0，0)和(2，0)
④当 0 x 2 时， y 0
平移 3 个单位长度，则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是
．
14.二次函数 y x2 2x 4 的图象的开口方向是 ，对称轴是 ，顶点坐标是
15.抛物线 y 2x2 4x 3 绕坐标原点旋转 180°所得的抛物线的表达式是
．
16.若抛物线 y x2 4x c 的顶点在直线 y x 1上，求 c 的值______
17.已知点 P（m，n）在抛物线 y ax2 x a 上，当 m≥﹣1 时，总有 n≤1 成立，则 a 的
取值范围是
.
三、解答题（共有 6 道小题）
18.抛物线 y 3x 32 与 x 轴交点为 A，与 y 轴交点为 B，求 A，B 两点坐标及△AOB 的
面积
19.已知，在同一平面直角坐标系中，反比例函数 y 5 与二次函数 y x2 2x c 的图 x
A.1 B.2 C.3 D.4
8.已知二次函数 y ax2 bx c 的 y 与 x 的部分对应值如下表：
x …… -1 0 1 3 ……
y …… -3 1 3 1 ……
则下列判断中正确的是(
)
A.抛物线开口向上
B.抛物线与 y 轴交于负半轴
C.图象对称轴为直线 x=1 D.方程 ax2 bx c 0 有一个根在 3 与 4 之间
象交于点 A(－1，m)． (1)求 m，c 的值； (2)求二次函数图象的对称轴和顶点坐标．
二次函数的应用-——最大面积问题教学设计
二次函数的应用-——最大面积问题教学设计《二次函数的应用——面积最大问题》教学设计二次函数的应用——面积最大问题。
所用教材是山东教育出版社材九年级上册第三章第六节二次函数的应用，本节共需四课时，面积最大是第一节。
下面我将从教材内容的分析、教学目标、重点、难点的确定、教学方法的选择、教学过程的设计和教学效果预测几方面对本节课进行说明。
一、教学内容的分析1、地位与作用：二次函数的应用本身是学习二次函数的图象与性质后，检验学生应用所学知识解决实际问题能力的一个综合考查。
新课标中要求学生能通过对实际问题的情境的分析确定二次函数的表达式，体会其意义，能根据图象的性质解决简单的实际问题，而最值问题又是生活中利用二次函数知识解决最常见、最有实际应用价值的问题之一，它生活背景丰富，学生比较感兴趣，对于面积问题学生易于理解和接受，故而在这儿作专题讲座，为求解最大利润等问题奠定基础。
目的在于让学生通过掌握求面积最大这一类题，学会用建模的思想去解决其它和函数有关的应用问题。
此部分内容是学习一次函数及其应用后的巩固与延伸，又为高中乃至以后学习更多函数打下坚实的理论和思想方法基础。
2、课时安排教材中二次函数的应用只设计了3个例题和一部分习题，无论是例题还是习题都没有归类，不利于学生系统地掌握解决问题的方法，我设计时把它分为面积最大、利润最大、运动中的二次函数、综合应用四课时，本节是第一课时。
3.学情及学法分析学生由简单的二次函数y＝x2学习开始，然后是y＝ax2，y＝ax2+c，最后是y=a(x-h)2，y ＝a(x-h)2+k，y＝ax2+bx+c，学生已经掌握了二次函数的三种表示方式和图像的性质。
对函数的思想已有初步认识，对分析问题的方法已会初步模仿，能识别图象的增减性和最值，但在变量超过两个的实际问题中，还不能熟练地应用知识解决问题，本节课正是为了弥补这一不足而设计的，目的是进一步培养学生利用所学知识构建数学模型，解决实际问题的能力，这也符合新课标中知识与技能呈螺旋式上升的规律。
苏科版数学中考复习专题练习— 二次函数及其应用(含答案)
二次函数及其应用一、学习目标1．掌握二次函数的定义；2．理解并掌握二次函数的图像以及性质；3．会利用二次函数的性质解决实际问题．二、典型例题题型一、二次函数的概念例题1．下列函数中，y关于x的二次函数是（）A．y＝ax2＋bx＋c B．y＝1x2＋1C．y＝x(x＋1) D．y＝(x＋2)2－x2【题小结】用二次函数的概念进行判断借题发挥：若y＝(k－1)x k2+1是二次函数，则k＝．题型二、二次函数的图像与性质例题2．关于抛物线y＝3(x－1)2＋2，下列说法错误的是（）A．开口方向向上B．对称轴是直线x＝1C．顶点坐标为（1，2）D．当x＞1时，y随x的增大而减小例题3．已知二次函数y＝2x2－8x＋c的图象过点A（－2，y1），B（－1，y2），C（8，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y3＞y1＞y2B．y1＞y2＞y3C．y2＞y3＞y1D．y3＞y2＞y1【题小结】用二次函数的图像与性质解决借题发挥：1．当x≥2时，二次函数y＝x2－2x－3有（）A．最大值－3 B．最小值－3 C．最大值－4 D．最小值－42．二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象如图，图象过点A（3，0），对称轴为直线x＝1，下列结论：①a －b＋c＝0；②2a＋b＝0；③4ac－b2＞0；④a＋b≥am2＋bm（m为实数）．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个题型三、用待定系数法求二次函数例题5．如图，已知点A的坐标是（1，3），将线段OA绕点O逆时针旋转90°得到OB．（1）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；（2）若M是线段AB上的一个动点，过点M作MN⊥x轴交抛物线于点N，当线段MN的长度取最大值时，求点M的坐标．借题发挥：已知二次函数的图象如图所示：（1）求这个二次函数的表达式；（2）观察图象，当－3＜x＜0时，y的取值范围为；（3）将该二次函数图象沿x轴翻折后得到新图象，新图象的函数表达式为．题型四、二次函数与方程、不等式例题6．已知二次函数y＝x2－6x－9k的图象与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围为．例题7．如表是二次函数y＝ax2＋bx＋c的几组对应值：（）A．6＜x＜6.17 B．6.17＜x＜6.18 C．6.18＜x＜6.19 D．6.19＜x＜6.20例题8．如图，抛物线y＝ax2＋c与直线y＝mx＋n交于A（－2，－3），B（3，q）两点，则不等式ax2－mx＋c＜n的解集是．【题小结】二次函数的图像与x轴交点坐标，一元二次方程、不等式等问题的联系．。
22.3实际问题与二次函数第一课时教案
22.3 实际问题与二次函数第1课时 实际问题与二次函数（1）※教学目标※【知识与技能】1.能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系.2.会运用二次函数的知识求出实际问题中的最大(小)值.【过程与方法】通过对“矩形面积”、“销售利润”等实际问题的探究，让学生经历数学建模的基本过程，体会建立数学模型的思想.【情感态度】体会二次函数是一类最优化问题的模型，感受数学的应用价值，增强数学的应用意识.【教学重点】通过解决问题，掌握如何应用二次函数来解决生活中的最值问题.【教学难点】分析现实问题中数量关系，从中构建出二次函数模型，达到解决实际问题的目的. ※教学过程※一、复习导入从地面竖直向上抛出一个小球，小球的上升高度h （单位：m ）与小球的运动时间t （单位：s ）之间的关系式是2305h t t =-（0≤t ≤6）．小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是少？提问 （1）图中抛物线的顶点在哪里？（2）这条抛物线的顶点是否是小球预定的最高点？（3）小球运动至最高点的时间是什么时间？（4）通过前面的学习，你认为小球运行轨迹的顶点坐标是什么？二、探索新知探究1 用总长为60m 的篱笆围成矩形场地，矩形面积S 随矩形一边长l 的变化而变化.当l 是多少米时，场地的面积S 最大？分析：先写出S 与l 的函数关系式，再求出使S 最大的l 值.矩形场地的周长是60m ，一边长为l m ，则另一边长为 ,场地的面积S= .化简得S= .当l= 时，S 有最大值 .探究2 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？（1）设每件涨价x 元，则每星期售出商品的利润y 随之变化.我们先来确定y 随x 变化的函数解析式.涨价x 元时，每星期少卖10x 件，实际卖出()30010x -件，销售额为()60x +· ()30010x -元，买进商品需付()4030010x -元.因此，所得利润()()()60300104030010y x x x =+---，即2101006000y x x =-++，其中，0≤x ≤30.根据上面的函数，填空：当x= 时,y 最大，也就是说，在涨价的情况下，涨价 元，即定价 元时，利润最大，最大利润是 .（2）在降价的情况下，最大利润是多少？请你参考（1）的讨论，自己得出答案. 由（1）（2）的讨论及现在的销售状况，你知道如何定价能使利润最大了吗？三、巩固练习1.如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB 为x 米，面积为S 平方米. （1）求S 与x 的函数关系式及自变量的取值范围；（2）当x 取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？ 2.鄂州市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元．物价部门规定其销售单价不高于每千克60元，不低于每千克30元．经市场调查发现：日销售量y （千克）是销售单价x （元）的一次函数，且当x =60时 ，y =80；当x =50时，y =100．在销售过程中，每天还要支付其他费用450元．（1）求出y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．（2）求该公司销售该原料日获利W (元)与销售单价x (元)之间的函数关系式．（3）当销售单价为多少元时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？答案：1.(1) ∵ AB 为x 米，篱笆长为24米,∴ 花圃宽为()244x －米.∴ ()()2244424?06?S x x x x x =+<<－=-.（2）当32b x a =-=时，有最大值24364ac b y a -==（平方米）.2.（1）设y kx b =+ .根据题意，得8060,10050.k b k b +⎧⎨=+⎩＝解得2,200.k b ∴2200y x =-+（30 ≤x ≤60）.（2）23022004()()5022606450W x x x x =+=+-----.（3）()2? 2652000W x =+－－.∵30 ≤x ≤60，∴当x =60时,W 有最大值为1950元.∴当销售单价为60元时，该公司日获利最大，为1950元.四、归纳小结通过这节课的学习，你有哪些收获和体会？有哪些地方需要特别注意？※布置作业※从教材习题22.3中选取．※教学反思※二次函数是描述现实世界变量之间关系的重要模型，也是某些单变量最优化的数学模 型，如最大利润、最大面积等实际问题，因此本课时主要结合这两类问题进行了一些探讨.生活中的最优化问题通过数学模型可抽象为二次函数的最值问题，由于学生对于这一转化过程较难理解，因此教学时教师可通过分步设问的方式让学生逐层深入、稳步推出，让学生自主建立数学模型，在这个过程中，教师可通过让学生画图探讨最值.总之，在本课时的教学过程中，要让学生经历数学建模的基本过程，体验探究知识的乐趣.。
2020级九上国庆假期作业 一元二次方程、二次函数
白市一中2020级九（上）国庆假期数学作业一元二次方程一、 一元二次方程：1.定义：⑴关于x 的整式；⑵一元；⑶2次；⑷一般形式为：20(0)ax bx c a ++=≠ 练习1 识别一元二次方程（ ）①20x =； ②231x x +=； ③22310x +-= ④2230mx x +-=； ⑤20ax bx c ++=；⑥2(1)(2)x x x x +=+-； ⑦20x x ++=； ⑧230x -=． 练习2 把方程3(1)5(2)x x x -=+化为一般式，指出它的a ，b ，c ．练习3 ⑴方程21(1)320aa x x +--+=是一元二次方程，则a = ．⑵当a = 时，方程(3)210aa x x -++=是一元二次方程．2．一元二次方程的解：⑴已知m 是关于x 的方程2230x x --=的一个根，则224m m -= ；⑵已知2x =-是关于x 的方程240ax bx ++=（a ≠0）的一个根，则代数842019a b -+= ．⑶已知a 是一元二次方程2202010x x -+=的一个根，求22120192020a a a +--的值．⑷一元二次方程22(1)210a x x a -+-+=有一个根是0，则a = ．二、解一元二次方程：基本思想是降次．1．首选因式分解法：常用，简便．其依据是“若0ab =，则0a =或0b =”．⑴提公因式法：注意防止失根．2x x =→20x x -=→(1)0x x -=⑵平方差公式分解：22(32)4(1)0x x --+=→⑶十字相乘法分解：2320x x --=→(32)(1)0x x +-=→ ⑴()()220x x x -+-= ⑵22x x = ⑶()1x x x -= ⑷()()22232x x -=+⑸()616x x += ⑹2213x x += ⑺2560x x -+= ⑻26540x x --=⑼()()2242120x x +-+-= ⑽()()24330x x x -+-=2．配方法：移常数项，二次项系数化1，配方，直接开平方．23610x x -+=→2123x x -=-→212113x x -+=-+→22(1)3x -=→ ．⑴2810x x -+= ⑵2213x x += ⑶()()2136x x x +-=-⑷已知2268250x x y y -+++=，求()2019x y +的值；3．公式法：x =（240b ac -≥）．⑴2210x x --= ⑵2178x x += ⑶2210x -+= ⑷2531x x x -=+4．直接开平方法：适用于()2a mx n k +=型方程．其依据是“若22a b =，则a b =±”．必有一边取正负．①225x = ②2490x -= ③2(21)5x -= ④224(23)9(2)x x -=+5.解一元二次方程中的几个常见问题：①两边直接开平方不取正负：()()222932x x -=-→()2332x x -=- ②两边除以含有未知数的整式：22x x =→2x =，()()2333x x x -=-→23x =③移项出错：23x -=32x +=，32x +=-④约分出错：414x +==+8463x --== ⑤方程有等根时表达出错：()220x -=→2x =三、一元二次方程根的判别式：方程20(0)ax bx c a ++=≠，△=24b ac -白市一中2020级九（上）国庆假期数学作业练习4⑴判断方程的根的情况260x x +-=，24410x x -+=；2230x x -+=．⑵方程2(1)40x a x --+=有两个相等实根，则a = ．⑶关于x 的一元二次方程()21410k x x -++=有两个不相等的实根，则k 的取值范围是 ．⑷关于x 的方程2(2)(12)0a x a x a -+-+=有实根，求a 的值．⑸已知关于x 的方程220x mx m ++-=．求证：不论m 为何实数，此方程都有两个不相等的实数根．四、一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）： 若一元二次方程20ax bx c ++=（a ≠0）的解为1x 、2x ，则12b x x a +=-，12cx x a=．反之也成立．前提条件是：一元二次方程有解，即Δ＝24b ac -≥0．例1．已知方程220x kx ++=的一个根是－2，求方程的另一个根及k 的值．例2．已知方程22410x x +-=的两根为1x 、2x ，求下列代数式的值：⑴2212x x + ⑵1221x x x x + ⑶()()1222x x -- ⑷()212x x -五、实际问题与一元二次方程1．一农户要建一个矩形围栏，围栏的一边利用长为12m 的住房墙，另外三边用25m 长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留出一个1m 宽的门，当所围矩形围栏的长、宽分别为多少时，围栏的面积为84m 2?2．如图，某小区规划在一块长为30m,宽为20m 的矩形土地ABCD 上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB 平行，另一条与AD 平行，其余部分种草坪，要使草坪的总面积为468m 2,那么通道的宽应设计成多少米？3．某商品标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同．⑴求该商品每次降价的百分率；⑵若该商品的进价为300元/件，两次降价共售出此商品100件，为使两次降价销售的总利润不少于3120元，问第一次降价后至少要售出多少件？4．某服装进价为每件60元，提价20元销售，每月可卖出400件，销售价每涨价2元，就少卖出10件，如果服装店本月想要获得1.2万元的利润，并尽快减少库存，那么该服装的售价应定为每件多少元？5．为丰富居民业余生活，某居民区组建筹委会，该筹委会动员居民自愿集资建立一个书刊阅览室．经预算，一共需要筹资30000元，其中一部分用于购买书桌、书架等设施，另一部分用于购买书刊．⑴筹委会计算，购买书刊的资金不少于购买书桌、书架等设施资金的3倍，问最多用多少资金购买书桌、书架等设施？⑵经初步统计，有200户居民自愿参与集资，那么平均每户需集资150元．镇政府了解情况后，赠送了一批阅览室设施和书籍，这样，只需要参与户共集资20000元．经筹委会进一步宣传，自愿参与的户数在200户的基础上增加了a%（其中a＞0），则每户平均集资的资金在150元的基础上减少了10%9a，求a的值．6．某地大力发展经济作物，其中果树种植已初具规模，今年受气候、雨水等因素的影响，樱桃较去年有小幅度的减产，而枇杷有所增产．⑴该地某果农今年收获樱桃和枇杷共400千克，其中枇杷的产量不超过樱桃产量的7倍，求该果农今年收获樱桃至少多少千克？⑵该果农把今年收获的樱桃、枇杷两种水果的一部分运往市场销售，该果农去年樱桃的市场销售量为100千克，销售均价为30元/千克，今年樱桃的市场销售量比去年减少了m%，销售均价与白市一中2020级九（上）国庆假期数学作业去年相同；该果农去年枇杷的市场销售量为200千克，销售均价为20元/千克，今年枇杷的市场销售量比去年增加了2m %，但销售均价比去年减少了m %，该果农今年运往市场销售的这部分樱桃和枇杷的销售总金额与他去年樱桃和枇杷的市场销售总金额相同，求m 的值．7．在美丽乡村建设中，某县通过政府投入进行村级道路硬化和道路拓宽改造．⑴原计划是今年1至5月，村级道路硬化和道路拓宽的里程数共50千米，其中道路硬化的里程数至少是道路拓宽的里程数的4倍，那么，原计划今年1至5月，道路硬化的里程数至少是多少千米？⑵到今年5月底，道路硬化和道路拓宽的里程数刚好按原计划完成，且道路硬化的里程数正好是原计划的最小值．2017年通过政府投入780万元进行村级道路硬化和道路拓宽的里程数共45千米，每千米的道路硬化和道路拓宽的经费之比为1：2，且里程数之比为2：1，为加快美丽乡村建设，政府决定加大投入．经测算：从今年6月起至年底，如果政府投入经费在2017年的基础上增加10a %（0a >），并全部用于道路硬化和道路拓宽，而每千米道路硬化、道路拓宽的费用也在2017年的基础上分别增加a %，5a %，那么道路硬化和道路拓宽的里程数将会在今年1至5月的基础上分别增加5a %,8a %，求a 的值．二次函数一、二次函数的定义1．形如2y ax bx c =++（a 、b 、c 是常数，且a ≠0）的函数叫做二次函数．⑴二次函数的表达式经过化简后是关于自变量的整式； ⑵二次项系数a ≠0； ⑶自变量的最高次数是2．例1．下列函数哪些是二次函数？（ ）⑴()2311y x =-+ ⑵1y x x =+⑶232s t =- ⑷()223y x x =+- ⑸21y x x=- 例2．把下列二次函数化为一般形式，指出a 、b 、c ．⑴22(3)5y x =-+ ⑵(3)(23)y x x =-- ⑶223y x x =-+-例3．⑴函数2(2)m m y m x -=-是关于x 的二次函数，求m 的值． ⑵函数()273m y m x -=+是关于x 的二次函数，求m 的值．二、二次函数的图象及其性质⑴23yx =→23________________12________________→⎧⎨→⎩左上右下 （左加右减，上加下减）⑵把抛物线2246y x x =-++左3下2所得抛物线的解析式为 ；抛物线2246y x x =-++关于x 轴对称的抛物线的解析式为 ；抛物线2246y x x =-++关于y 轴对称的抛物线的解析式为 ．例4．⑴已知点A （－4，1y ），B （1，2y ），C （4，3y ），D （－3，4y ）在抛物线2y x x c =++上，则1y 、2y 、3y 、4y 的大小关系是 ．⑵已知243y x x =-+-，当x ＝ 时，y 取得最 值 ；若该二次函数的自变量取值范围是3≤x 6<，则当x ＝ 时，y 取得最 值 ，函数值y 的取值范围是 ；若该二次函数的自变量取值范围是－1≤x ≤5，则函数值y 的取值范围是 ．4．用配方法求抛物线2y ax bx c =++的顶点坐标：216162y x x =-+= 顶点： 2331y x x =-++= 顶点：223y x x =+= 顶点：224183y x x =-++= 顶点：4．抛物线2y ax bx c =++的顶点坐标公式是 ，对称轴是直线 ；若抛物线与x 轴交于点（1x ，0），（2x ，0），则抛物线的对称轴是直线 ．白市一中2020级九（上）国庆假期数学作业5．a 、b 、c 对抛物线2y ax bx c =++性质的影响①x②x③x④x⑵二次函数22y x mx =-++，当x ≥1时，y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是 ．⑶二次函数221y mx x =+-的图象与x 轴有两个不同交点，则m 的取值范围是 ；当m 时，该抛物线与x 轴只有一个交点，此时抛物线的顶点坐标是 ；当m 时，该抛物线与x 没有交点． ⑷抛物线2y ax bx c =++如图所示，则点M （b ，ca）在第 象限． ⑸抛物线2y ax bx c =++如图所示，则下列结论正确的有（ ）个．①0a b c ++<； ②0a b c -+>； ③0abc >； ④2b a =．xx⑹在同一坐标系中，一次函数y ax b =+和二次函数2y ax bx =+的图象可能为（ ）．D．C．B．A．⑴一般式：2y ax bx c=++；⑵顶点式：2()y a x h k=-+；⑶交点式：12()()y a x x x x=--．例5．根据下列条件求抛物线的解析式：⑴已知抛物线2y x bx c=++经过点（2，－3），（3，0），求它的解析式．⑵已知抛物线的顶点（1，－4），且经过点（0，－3），求它的解析式．⑶已知抛物线经过点（2，－3），（3，0），（－1，0），求它的解析式．⑷已知抛物线2y ax bx c=++经过点（0，1），（1，0），（2，3），求其解析式．⑸已知抛物线在34x=时取得最小值18y=-，且经过点（0，1），求其解析式．白市一中2020级九（上）国庆假期数学作业四、二次函数与方程、不等式：1．抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点（－1，0），（3，0），则方程20ax bx c ++=的解为 ．2．抛物线2y ax bx c =++与直线y mx n =+两个交点的横坐标为－5，2，则方程()20ax b m x c n +-+-=的解是 ．3．如图是抛物线的部分图象，若y ≥0，则x 的取值范围是 ．4．抛物线21y ax bx c =++与直线2y mx n =+的图象如图所示，当12y y >时，x 的取值范围是 ；当21y y >≥0时，x 的取值范围是 ．xx5．直线21y x =+与抛物线243y x x =-+的交点个数是 ．6．抛物线2y ax bx c =++（0a <）交x 轴于点（－5，0），（1，0），则抛物线的对称轴是直线 ，当x 时，y 随x 的增大而增大；若0y <，则x 的取值范围是 ． 7．抛物线开口向下，对称轴是直线2x =-，且经过点（3，6），则当y ≤6时，x 的取值范围是 ．五、二次函数与实际问题： 1．图形面积例1．如图，在一面靠墙的空地上用长24m 的篱笆围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽为x m ，面积为Sm 2．⑴当x 取何值时所围成的花圃面积最大，最大面积是多少？ ⑵若墙的最大可用长度为8m ，则最大面积是多少？例2．如图，某农场拟建一间矩形饲养室，饲养室的一面靠墙，墙长22米，其它三面所用建筑材料总长为50米，并在平行于墙的一边留出2米宽的门，平行于墙的一边长为x 米，求饲养室面积的最大值．2．销售利润例1．某商品售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如果调整价格每涨价2元，每星期少卖10件，已知商品的进价为每件40元，如何定售价才能使每周的利润最大？例2．工厂现有80台机器，每台机器平均每天生产384件产品，现准备增加一批同类机器以提高生产总量，在试生产中发现，由于其它生产条件没变，因此每增加一台机器，每台机器平均每天将少生产4件产品．⑴如果增加x台机器，每天的生产总量为y个，请你写出y与x之间的关系式；⑵增加多少台机器，可以使每天的生产总量最大？例3．某童装店销售某种童装，每件售价为60元时，每星期可卖100件，为了促销，该店决定降价销售，经市场调查反映：每降价2元，每星期可以多卖20件．已知该童装每件成本价为30元，设该款童装每件售价x元，每星期的销售量为y件．⑴求y与x的函数关系式；⑵当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大？最大利润是多少元？⑶该店每星期想要获得不低于3750元的利润，则每星期至少要销售该款童装多少件？3．抛物线型实物例1．如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水龙头，喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，求水管的长．白市一中2020级九（上）国庆假期数学作业x例2．如图，一座古城门为抛物线形状，城门底部宽AB ＝6米，最高点距地面5米，一辆卡车高4米，宽2.82.236）．例3．一座拱桥的轮廓是抛物线形，拱高6米，跨度24米，相邻两支柱间的距离均为6米． ⑴建立合适的坐标系，求抛物线的解析式； ⑵求支柱EF 的长度；⑶拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2米的隔离带），能否单向并排行驶三辆宽2米、高2米的汽车？（并行的两汽车之间横向至少相距1米才能保证行车安全，靠近隔离带的汽车距隔离带至少0.5米）4．抛物线与几何综合例1．如图，在平面在角坐标系中，抛物线223y x x =--与x 轴交于点A ，B （点A 在点B 的左侧）交y 轴于点C ，点D 为抛物线的顶点，对称轴与x 轴交于点E ．连结BD ，点M 是线段BD 上一动点（点M 不与端点B ，D 重合），过点M 作MN⊥BD 交抛物线于点N （点N 在对称轴的右侧），当MN 取得最大值时，求点N 的坐标．例2．如图，抛物线25 2y ax bx=++与直线AB交于点A（－1，0），B（4，52），点D是抛物线上位于AB上方的一个动点（不与A、B重合），直线CD与y轴平行，交直线AB于点C，连接AD，BD．⑴求抛物线的解析式；⑵是否存在点D，使△ADB的面积取得最大值，若存在，求此时点C的坐标；⑶在⑵的条件下，在y轴上取一点E，使△DBE的周长为最小，求此时点E的坐标．。
(易错题)初中数学九年级数学上册第二单元《二次函数》检测(包含答案解析)
一、选择题1．如图，一条抛物线与x轴相交于M，N两点（点M在点N的左侧），其顶点P在线段AB上移动，点A，B的坐标分别为（﹣2，﹣3），（1，﹣3），点N的横坐标的最大值为4，则点M的横坐标的最小值为（）A．﹣1 B．﹣3 C．﹣5 D．﹣72．一次函数y＝ax+c与二次函数y＝ax2+bx+c在同一个平面坐标系中图象可能是（）A．B．C．D．3．若整数a使得关于x的分式方程12322ax xx x-+=--有整数解，且使得二次函数y＝(a﹣2)x2+2(a﹣1)x+a+1的值恒为非负数，则所有满足条件的整数a的值之和是（）A．12 B．15 C．17 D．204．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①ac＜0；②b＜0；③4ac﹣b2＜0；④当x＞﹣1时，y随x的增大而减小．其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个5．如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时，水面宽度为4米；那么当水位下降1米后，水面的宽度为（ ）A ．26B ．23C ．6D ．426．已知二次函数22(0)y ax bx a =--≠的图象的顶点在第四象限，且过点(1,0)-，当-a b 为整数时，ab 的值为( )A ．34或1B ．14或1C ．34或12D ．14或127．将抛物线22y x =先向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度后，所得的抛物线对应的函数关系式是 （ ）A ．2(2-1)-3y x =B ．22(-1)-3y x =C ．2(21)-3y x =+D ．22(1)-3y x =+ 8．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，那么一次函数y ax b =+的图象大致是（ ）．A ．B ．C ．D ．9．二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A ．0abc >B ．20a b +<C ．关于x 的方程230ax bx c +++=有两个相等的实数根D ．930a b c ++<10．抛物线()2512y x =--+的顶点坐标为（ ）A ．()1,2-B ．()1,2C ．()1,2-D ．()2,1 11．已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所尔，对称轴为直线x=1，则下列结论正确的是（ ）A ．0ac >B ．方程20ax bx c ++=的两根是1213x x =-=， C ．20a b -=D ．当x>0时，y 随x 的增大而减小．12．抛物线2288y x x =-+-的对称轴是（ ）A ．2x =B ．2x =-C ．4x =D ．4x =-二、填空题13．如图，直线l ：1134y x =+经过点M(0，14)，一组抛物线的顶点B 1(1，y 1)，B 2(2，y 2)，B 3(3，y 3)…B n (n ，y n )（n 为正整数）依次是直线l 上的点，这组抛物线与x 轴正半轴的交点依次是：A 1(x 1，0)，A 2(x 2，0)，A 3(x 3，0)…，A n+1(x n+1，0)（n 为正整数），设x 1＝d （0＜d ＜1）若抛物线的顶点与x 轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则我们把这种抛物线就称为：“美丽抛物线”．则当d （0＜d ＜1）的大小变化时美丽抛物线相应的d 的值是__．14．已知二次函数2(,,y ax bx c a b c =++为常数，0,0a c ≠>）上有五点()()1,01,(),p t n -、、()()2,3,0t 、；有下列结论：①0b >；②关于x 的方程20ax bx c ++=的两个根是1-和3；③20p t +<；④()(4m am b a c m +≤--为任意实数）．其中正确的结论_______________（填序号即可）．15．已知点P （m ，n ）在抛物线2y ax x a =--上，当1m 时，总有1n ≥-成立，则实数a 的取值范围是_______．16．已知二次函数()210y ax bx a =++≠的图象与x 轴只有一个交点．请写出 一组满足条件的,a b 的值：a =__________，b =_________________17．已知自变量为x 的二次函数4()()y ax b x b=++经过(,4),(2,4)m m +两点，若方程4()()0ax b x b++=的一个根为3x =，则其另一个根为__________． 18．若123(4,),(1,),(1,)A y B y C y --为二次函数245y x x =-+的图象上的三点，则123,,y y y 的大小关系为__________．19．定义：在平面直角坐标系中，若点A 满足横、纵坐标都为整数，则把点A 叫做“整点”．如：()3,0B 、()1,3C -都是“整点”．抛物线()2220y ax ax a a =++->与x 轴交于点M ，N 两点，若该抛物线在M 、N 之间的部分与线段MN 所围的区域（包括边界）恰有5个整点，则a 的取值范围是_______．20．设A （－3，y 1），B （－2，y 2），C （12，y 3）是抛物线y ＝（x+1）2－m 上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系为_______．（用“＞”连接）三、解答题21．某水果店批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售将减少20千克．（1）现要保证每天盈利5520元，同时又要让顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ （2）要使每天获利不少于6000元，求涨价x 的范围．22．“新冠肺炎”疫情期间某工厂为支持国家抗击疫情每天连夜生产急缺的消毒液，已知每瓶消毒液的生产成本为20元，为了合理定价，根据市场调查发现，当销售单价为30元时，每天的销售量为6000瓶，若销售单价每降低1元，则每天能多销售1000瓶，但要求销售单价不能低于成本且不高于30元.（1）求每天的销售量y （瓶）与销售单价x （元）之间的函数关系式；（2）求每天的利润w （元）与销售单价x （元）之间的函数关系式；（3）该工厂负责人决定将每天的利润全部捐献出来进一步支持国家抗击“新冠肺炎”疫情，则当销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？23．平面直角坐标系xOy 中，二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴交于点()4,0A 和()1,0B -，交y 轴于点C ．（1）求二次函数的解析式；（2）将点C 向右平移n 个单位，再次落在二次函数图象上，求n 的值；（3）对于这个二次函数，若自变量x 的值增加4时，对应的函数值y 增大，求满足题意的自变量x 的取值范围．24．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD 的顶点A 与原点重合，顶点B 在x 轴的正半轴上，点D 在y 轴的正半轴上．抛物线2y x bx c =-++经过点B 与点D ．（1）求这个二次函数的表达式；（2）将正方形ABCD向左平移m个单位（0m>），边AD与BC分别与（1）中的二次函数图像交于P、Q，若点Q纵坐标是点P纵坐标的2倍，求m的值．25．如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为y平方米．（1）求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；（2）若墙的最大可用长度为9米，求此时当AB为多少米时长方形花圃的面积最大，最大面积是多少？26．已函数21y xx=+，请结合学习函数的经验，探究它的相关性质：（1）自变量x的取值范围是________；（2）x与y的几组对应值如下表，请补全表格：x…－2.5－2－1.5－1－0.5－0.20.20.51 1.52 2.5…y… 5.85 3.5 1.580－1.75－4.965.04m n 2.92 4.56.65…其中m=________，n=________.（3）下图中画出了函数的一部份图象，请根据上表数据，用描点法补全函数图象；（4）请写出这个函数的一条性质：________________________；（5）结合图象，直接写出方程2120x xx-+=的所有实根：________.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】当图象顶点在点B时，点N的横坐标的最大值为4，求出a＝13；当顶点在点A时，M点的横坐标为最小，此时抛物线的表达式为：y＝13（x＋2）2﹣3，令y＝0，求出x值，即可求解．【详解】当图象顶点在点B时，点N的横坐标的最大值为4，则此时抛物线的表达式为：y＝a（x﹣1）2﹣3，把点N的坐标代入得：0＝a（4﹣1）2﹣3，解得：a＝13，当顶点在点A时，M点的横坐标为最小，此时抛物线的表达式为：y＝13（x＋2）2﹣3，令y＝0，则x＝﹣5或1，即点M的横坐标的最小值为﹣5，故选：C．【点睛】本题考查的是二次函数与x轴的交点，涉及到函数基本性质和函数的最值，其中确定坐标取得最值时，图象所处的位置是本题的关键．2．B解析：B【分析】根据两个函数图象与y 轴交于同一点可排除选项A ，再根据抛物线的开口方向和对应一次函数的增减性即可做出选择．【详解】解：∵一次函数和二次函数都经过y 轴上的（0，c ），∴两个函数图象交于y 轴上的同一点，故A 不符合题意；当a ＞0时，二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象开口向上，一次函数y ＝ax +c 中y 值随x 值的增大而增大，故D 不符合题意；当a ＜0时，二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象开口向上，一次函数y ＝ax +c 中y 值随x 值的增大而减小，故C 不符合题意．故选：B ．【点睛】本题考查二次函数及一次函数的图象与性质，熟练掌握两个函数图象与系数的关系是解答的关键．3．B解析：B【分析】由抛物线的性质得到20a -＞，2=4(1)4(2)(1)0a a a ∆---+≤然后通过解分式方程求得a 的取值，然后求和．【详解】解：∵二次函数y =（a -2）x 2+2（a -1）x +a +1的值恒为非负数，∴20a -＞，2=4(1)4(2)(1)0a a a ∆---+≤解得3a ≥ 解分式方程12322ax x x x -+=--解得：62x a =- 由x ≠2得，a ≠5，由于a 、x 是整数，所以a =3，x =6，a =4，x =3，a =8，x =1，同理符合a ≥3的a 值共有3，4，8，故所有满足条件的整数a 的值之和=3+4+8=15，故选：B ．【点睛】 本题考查的是抛物线和x 轴交点，涉及到解分式方程，正确理解二次函数的值恒为非负数是解题的关键．4．B解析：B【分析】由抛物线的开口方向判定a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】解：①∵由二次函数的图象可知：抛物线的开口向上，∴a ＞0；又∵二次函数的图象与y 轴的交点在负半轴，∴c ＜0；∴ac ＜0，即①正确；②由图象知，对称轴x ＝2b a-＝1，则b ＝﹣2a ＜0．故②正确； ③由图象知，抛物线与x 轴有2个交点，则b 2﹣4ac ＞0，故③正确；④由图象可知当x ＞1时，y 随x 的增大而增大；故④错误．综上所述，正确的结论是：①②③．故选：B ．【点睛】此题考查学生掌握二次函数的图像与性质，考查了数形结合的数学思想，解本题的关键是根据图像找出抛物线的对称轴．5．A解析：A【分析】结合已知条件先建立适当的坐标系，然后设出解析式，利用点的坐标求得解析式，再将3y =-代入解析式求得相应的x 的值，进而求得答案．【详解】解：以拱顶为坐标原点建立坐标系，如图：∴设抛物线解析式为：2y ax =∵观察图形可知抛物线经过点()2,2B -∴222a -=⋅∴12a =- ∴抛物线解析式为：212y x =-∴当水位下降1米后，即当213y =--=-时，有2132x -=-∴1x =2x =∴水面的宽度为：．故选：A【点睛】 本题考查了二次函数的应用，根据已知条件建立坐标系从而求得二次函数解析式是解决问题的关键．6．A解析：A【分析】由题意易得20a b +-=，且0,0a b >>，则有当x=1时，y<0，即20a b --<，进而可得22a b -<-<，然后由-a b 为整数，则有1a b -=或0或-1，最后求解即可．【详解】解：∵二次函数()220y ax bx a =--≠的图象的顶点在第四象限，且过点()1,0-， ∴20a b +-=，且0,0a b >>，当x=1时，y<0，即20a b --<，∴2a b +=，且0,2a a b >-<，∴02,02a b <<<<，∴22a b -<-<，∵-a b 为整数，∴1a b -=或0或-1，若1a b -=时，则有31,22a b ==，从而34ab =； 若0a b -=时，则有1,1a b ==，从而1ab =； 若1a b -=-时，则有13,22a b ==，从而34ab =； 故选A ．【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键． 7．B解析：B【分析】先确定出原抛物线的顶点坐标，然后根据向右平移横坐标加，向下平移纵坐标减求出新图象的顶点坐标，然后写出即可．【详解】解：抛物线y =22x 的顶点坐标为(0，0)，向右平移1个单位,再向下平移3个单位后的图象的顶点坐标为(1，−3)，所以,所得图象的解析式为y =22(1)x - -3．故选：B【点睛】本题考查了函数图象的平移，根据平移规律“左加右减，上加下减”利用顶点的变化确定图象的变化是解题的规律．8．C解析：C【分析】根据二次函数图象，知道开口和对称轴，判断a 、b 的符号，再进行判断一次函数的图象．【详解】解：根据二次函数图象知：开口向下，则0a < 故一次函数从左往右是下降趋势．对称轴再y 轴左边，故02b a-< 即得：0b < 故一次函数交y 轴的负半轴． 则一次函数y ax b =+图象便为C 选项故本题选择C ．【点睛】本题属于二次函数与一次函数的综合，关键在意找到系数的正负．9．D解析：D【分析】由抛物线的开口方向判断a 的符号，由抛物线与y 轴的交点判断c 的符号，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】解：由图象可知：a ＜0，b ＞0，c ＞0，abc ＜0，故A 选项错误；对称轴为x=-2b a=1，得2a=-b ， ∴2a+b=0，故B 错误； 由图像可得二次函数的图象与x 轴有两个交点，故230ax bx c +++=有两个相等的实数根的说法错误，故C 错误；∵对称轴为x=1，∴抛物线与x 轴的另一个交点得横坐标小于2，∴当x=3时，y=9a+3b+c ＜0，故D 正确；【点睛】本题考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数y=ax 2+bx+c 系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y 轴的交点、抛物线与x 轴交点的个数确定．10．B解析：B【分析】由于给的是二次函数顶点式的表达式，可直接写出顶点坐标．【详解】解：∵y=-5（x-1）2+2，∴此函数的顶点坐标是（1，2）．故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数顶点式的表示方法．11．B解析：B【解析】解：A 、∵抛物线开口向下，与y 轴交于正半轴，∴a ＜0，c ＞0，ac ＜0，故本选项错误；B 、∵抛物线对称轴是x=1，与x 轴交于（3，0），∴抛物线与x 轴另一交点为（-1，0），即方程ax2+bx+c=0的两根是x1=-1，x2=3，故本选项正确；C 、∵抛物线对称轴为，∴b=-2a ，∴2a+b=0，故本选项错误；D 、∵抛物线对称轴为x=1，开口向下，∴当x ＞1时，y 随x 的增大而减小，故本选项错误．故选B ．根据抛物线的开口方向，对称轴，与x 轴、y 轴的交点，逐一判断． 12．A解析：A【分析】利用抛物线对称轴公式求解即可．【详解】解：∵2288y x x =-+-，∴对称轴为直线x=-822(2)=⨯-， 故选：A ．【点睛】 本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的对称轴公式是解题的关键．二、填空题13．或【分析】先求出A1A2B1B2…的坐标若B1为直角顶点则A1A2的中点（10）到B1的距离与到A1和A2的距离相等求出d 的值；同理：若B2为直角顶点求出d的值；若B3为直角顶点求出的d值是负数（舍解析：512或1112【分析】先求出A1、A2、B1、B2…的坐标，若B1为直角顶点，则A1A2的中点（1，0）到B1的距离与到A1和A2的距离相等，求出d的值；同理：若B2为直角顶点，求出d的值；若B3为直角顶点，求出的d值是负数（舍去）；总结上述结果即可得出答案．【详解】解：直线l：1134y x=+，当x＝1时，y＝7 12，即：B1（1，712），当x＝2时，y＝11 12，即：B2（2，1112），∵A1（d，0），A2（2﹣d，0），若B1为直角顶点，则A1A2的中点（1，0）到B1的距离与到A1和A2的距离相等，即：1﹣d＝7 12，解得：d＝5 12；同理：若B2为直角顶点，则A2A3的中点（2，0）到B2的距离与到A3和A2的距离相等，即：2﹣（2﹣d）＝11 12，解得：d＝11 12；若B3为直角顶点，求出的d为负数，并且从B3之后的B点，求出的d都为负数；所以d的值是512或1112．故答案为：512或1112．【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，直角三角形斜边上的中线等知识点，解此题的关键是进行分类讨．14．【分析】由抛物线的对称性可知对称轴为可得即是方程的两个根再根据题目当中给出的条件代入解析式判断求解即可；【详解】当和时∴对称轴为∴当时y 的值相等∴∴是方程的两个根故②正确；∵当时且c ＞0∴＞0∴＞0 解析：①②④【分析】 由抛物线的对称性可知对称轴为0212x +==，可得0p =，即1x =-，3x =是方程20ax bx c ++=的两个根，再根据题目当中给出的条件，代入解析式判断求解即可；【详解】当0x =和2x =时，y t =，∴对称轴为0212x +==， ∴当1x =-，3x =时，y 的值相等，∴0p =，∴1x =-，3x =是方程20ax bx c ++=的两个根，故②正确；∵当0x =时，y t =，且c ＞0，∴t c =＞0，∴202p t t +=+＞0，故③错误；∵2x =，y t =＞0，3x =，0y =，∴在对称轴的右边，y 随x 的增大而减小，∴a ＜0， ∵12b x a=-=， ∴2b a =-＞0，故①正确；∵当3x =时，0y =， ∴930a b c ++=，∴30a c +=，∴3c a =-，∴443a c a a a --=-+=-，∵顶点坐标为()1,n ，a ＜0，∴2am bm c a b c ++≤++， ∴2am bm a b +≤+，∴2am bm a +≤-， ∴24am bm a c +≤--，故④正确；综上所述：结论正确的是①②④；故答案是：①②④．【点睛】本题主要考查了二次函数图象性质，熟练掌握二次函数图像上点的特征是解题的关键． 15．0＜a≤【分析】依照题意画出图形分0＜＜1及≥1两种情况考虑结合函数图形以及已知条件可得出关于a的一元一次不等式组（或一元一次不等式）解之即可得出a的取值范围综上即可得出结论【详解】当≥1时有解得：解析：0＜a≤1 2【分析】依照题意画出图形，分0＜12a ＜1及12a≥1两种情况考虑，结合函数图形以及已知条件可得出关于a的一元一次不等式组（或一元一次不等式），解之即可得出a的取值范围，综上即可得出结论．【详解】当12a≥1时，有11aa a⎧⎨--≥-⎩＞，解得：a＞0，∴0＜a≤12；当0＜12a＜1时，有()224114aa--≥--，解得：a=1 2∴0＜a≤12．综上所述：0＜a≤12．故答案为：0＜a≤12．【点睛】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，分0＜12a＜1及12a≥1两种情况找出关于a的一元一次不等式（一元一次不等式组）是解题的关键．16．【分析】根据判别式的意义得到△=b2-4a=0然后a取一个不为0的实数再确定对应的b的值【详解】解：∵二次函数y=ax2+bx+1（a≠0）的图象与x轴只有一个交点∴△=b2-4a=0若a=1则b可解析：12【分析】根据判别式的意义得到△=b 2-4a=0，然后a 取一个不为0的实数，再确定对应的b 的值．【详解】解：∵二次函数y=ax 2+bx+1（a≠0）的图象与x 轴只有一个交点，∴△=b 2-4a=0，若a=1，则b 可取2．故答案为1，2（答案不唯一）．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程．17．x=﹣1或﹣5【分析】根据题意该函数一定过点（04）可得两点的坐标进而求得对称轴根据解析式与方程的关系即可求得方程另一个根【详解】解：∵当x=0时=4∴m=0或m=﹣2∴二次函数经过或∴对称轴为直线解析：x=﹣1或﹣5【分析】根据题意该函数一定过点（0，4），可得(,4),(2,4)m m +两点的坐标，进而求得对称轴，根据解析式与方程的关系即可求得方程另一个根．【详解】解：∵当x=0时，4()()y ax b x b =++=4，∴m=0或m=﹣2，∴二次函数4()()y ax b x b =++经过(0,4),(2,4)或(2,4),(0,4)-，∴对称轴为直线x=1或x=﹣1，∵方程4()()0ax b x b++=的一个根为3x =，∴方程的另一个根为x=﹣1或﹣5，故答案为：x=﹣1或﹣5．【点睛】本题考查二次函数图象上的点的坐标特征、二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数的图象与性质，根据二次函数的对称性求解是解答的关键． 18．【分析】先将二次函数的解析式化成顶点式再根据二次函数的增减性即可得【详解】二次函数化成顶点式为由二次函数的性质可知当时y 随x 的增大而减小点在此二次函数的图象上且故答案为：【点睛】本题考查二次函数的顶 解析：123y y y >>【分析】先将二次函数的解析式化成顶点式，再根据二次函数的增减性即可得．【详解】二次函数245y x x =-+化成顶点式为22()1y x =-+，由二次函数的性质可知，当2x ≤时，y 随x 的增大而减小，点123(4,),(1,),(1,)A y B y C y --在此二次函数的图象上，且4112-<-<<， 123y y y ∴>>，故答案为：123y y y >>．【点睛】本题考查二次函数的顶点式和增减性，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．19．1＜a≤2【分析】画出图象找到该抛物线在MN 之间的部分与线段MN 所围的区域（包括边界）恰有5个整点的边界利用与y 交点位置可得a 的取值范围【详解】解：抛物线y ＝ax2＋2ax ＋a−2（a ＞0）化为顶点解析：1＜a≤2【分析】画出图象，找到该抛物线在M 、N 之间的部分与线段MN 所围的区域（包括边界）恰有5个整点的边界，利用与y 交点位置可得a 的取值范围．【详解】解：抛物线y ＝ax 2＋2ax ＋a−2（a ＞0）化为顶点式为y ＝a （x ＋1）2−2，∴函数的对称轴：x ＝−1，顶点坐标为（−1，−2），∴M 和N 两点关于x ＝−1对称，根据题意，抛物线在M 、N 之间的部分与线段MN 所围的区域（包括边界）恰有5个整点，这些整点是（0，0），（−1，0），（−1，−1），（−1，−2），（−2，0）， 如图所示：∵当x ＝0时，y ＝a−2，∴−1＜a−2≤0，当x ＝1时，y ＝4a−2＞0，即：120420a a --≤-⎧⎨⎩＜＞， 解得1＜a≤2，故答案为：1＜a≤2．【点睛】本题考查抛物线与x 轴的交点、配方法确定顶点坐标、待定系数法等知识，利用函数图象确定与y 轴交点位置是本题的关键．20．【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数图像性质即可得到答案【详解】解：∵二次函数的解析式为∴抛物线的对称轴是直线∴当时随的增大而减小；当时随的增大而增大∵是抛物线上的三个点∴∴∴故答案是：【点睛】 解析：132y y y >>【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数图像性质即可得到答案．【详解】解：∵二次函数的解析式为()21y x m =+-∴抛物线的对称轴是直线1x =- ，10a =>∴当1x <-时，y 随x 的增大而减小；当1x >-时，y 随x 的增大而增大∵()13,A y -、()22,B y -、31,2C y ⎛⎫ ⎪⎝⎭是抛物线()21y x m =+-上的三个点 ∴()132---=，()121---=，()13122--= ∴3212>> ∴132y y y >>．故答案是：132y y y >>【点睛】本题考查了二次函数图像与系数的关系、二次函数图像上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，能利用图像的增减性进行解答．三、解答题21．（1）每千克水果应涨价2元；（2）510x ≤≤【分析】（1）设每千克应涨价x 元，由题意列出方程，解方程即可求解；（2）根据题意表示出每天的利润，然后利用每天的获利等于6000元，解出两个x 的值，然后根据二次函数的性质即可得出答案．【详解】（1）设每千克应涨价x 元，由题意列方程得：（10+x ）（500﹣20x ）＝5520，解得：x ＝2或x ＝13，为了使顾客得到实惠，那么每千克应涨价2元；答：每千克水果应涨价2元．（2）根据题意得，每天的获利为()()21050020203005000w x x x x =+-=-++令6000w =，即22030050006000x x -++=，解得125,10x x ==，20a =-<，∴要使每天获利不少于6000元，涨价x 的范围为510x ≤≤，答：每千克水果涨价x 的范围是510x ≤≤．【点睛】本题主要考查一元二次方程及二次函数的应用，根据题意列出方程及二次函数是解题的关键．22．（1）函数关系式为y =-1000x +36000；（2）函数关系式为w =-1000x 2+56000x -720000；（3）当销售单价为28元时，最大利润是64000元.【分析】（1）抓住关键的已知条件：当销售单价为30元时，每天的销售量为6000瓶，若销售单价每降低1元，则每天能多销售1000瓶，由此可得到y 与x 之间的函数解析式. （2）利用根据每天的利润=每一件的利润×销售量，列出w 与x 之间的函数解析式. （3）将（2）中的函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质，可得结果.【详解】（1）解：由题意得y =（30-x ）×1×1000+6000=-1000x +36000.∴每天的销售量y （瓶）与销售单价x （元）之间的函数关系式为y =-1000x +36000. （2）解：由题意得w =（x -20）（-1000x +36000）=-1000x 2+56000x -720000.∴每天的利润w （元）与销售单价x （元）之间的函数关系式为w =-1000x 2+56000x -720000. （3）解：w =-1000x 2+56000x -720000=-1000（x -28）2+64000.∵a =-1000＜0∴当x =28时，w 有最大值为64000.答：当销售单价为28元时，最大利润是64000元.【点睛】本题考查一次函数和二次函数的实际应用-销售问题；二次函数顶点式的转化也是本题求最值问题的关键．23．（1）234y x x =--；（2）3n =；（3）12x >-【分析】（1）把A,B 代入解析式求出b,c ，即可得到抛物线解析式；（2）根据抛物线的对称性即可求得；（3）分三种情况讨论，即可求得满足题意的自变量x 的取值范围．【详解】解：（1）∵二次函数2+y x bx c =+的图象与x 轴交于点()4,0A 和()1,0B -，∴164010b c b c ++=⎧⎨-+=⎩， 解得34b c =-⎧⎨=-⎩， ∴234y x x =--．（2）依题意，点C 的坐标为()0,4-， 该二次函数图象的对称轴为322b x =-=， 设点C 向右平移n 个单位后，所得到的点为D ，由于点D 在抛物线上，∴C ，D 两点关于二次函数的对称轴32x =对称． ∴点D 的坐标为()3,4-．∴3n CD ==．（3）依题意，即当自变量取4x +时的函数值，大于自变量为x 时的函数值． 结合函数图象，由于对称轴为32x =，分为以下三种情况： ①当342x x <+≤时，函数值y 随x 的增大而减小，与题意不符； ② 当342x x <<+时，需使得33422x x -<+-，方可满足题意，联立解得1322x -<<； ③342x x ≤<+时，函数值y 随x 的增大而增大，符合题意，此时32x ≥． 综上所述，自变量x 的取值范围是12x >-． 【点睛】 本题考查了抛物线与x 轴的交点，待定系数法求二次函数的解析式，坐标与图形的变换−平移，二次函数的性质，分类讨论是解题的关键．24．（1）22y x x =-++；（2）52-+ 【分析】（1）由题意可知点B 、D 的坐标分别为（2，0），（0，2），利用待定系数法即可求得二次函数关系式；（2）先分别表示出点P 、Q 的横坐标，进而可表示出它们的纵坐标，再根据题意列出方程求解即可．【详解】解：（1）由题意可知点B 、D 的坐标分别为（2，0），（0，2），将（2，0），（0，2）代入2y x bx c =-++，得4202b c c -++=⎧⎨=⎩解得12b c =⎧⎨=⎩∴二次函数的表达式为22y x x =-++；（2）∵正方形ABCD 向左平移m 个单位（0m >），边AD 与BC 分别与（1）中的二次函数图像交于P 、Q ，∴点P 的横坐标为-m ，点Q 的横坐标为2-m ，当x=-m 时，22y m m =--+，当x=2-m 时，2(2)22y m m +=---+ 23m m =-∵点Q 纵坐标是点P 纵坐标的2倍，∴2232(2)m m m m -=--+解得152m -=，252m -=（舍去）∴m 的值为52-+． 【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数关系式，正方形的性质等相关知识，熟练掌握待定系数法求二次函数关系式是解决本题的关键．25．（1）()232408y x x x =-+<<；（2）当5x = 时，45max y =平方米．【分析】（1）花圃的面积＝AB×（篱笆长－3AB ），根据边长为正数可得自变量的取值范围；（2）先结合（1）及AD 不大于9可得自变量的取值范围，再根据二次函数图像性质，在自变量范围内变化取最值．【详解】解：（1）∵(2)·43S BC AB x x ==－， ∴2324y x x =-+，由题意00AB BC >>，，即02430x x >>，－，解得08x << ；（2）∵墙的最大可用长度为9米，即02439x <≤－ ，解得，58x ≤<，∴()232458y x x x -+=≤<， 二次函数图像开口向下，对称轴为()24423x =-=⨯-， 58x ≤<在对称轴右侧，y 随着x 的增大而减小，∴当5x ＝时，长方形花圃的面积最大，235448=45y =+⨯-（-），∴当AB 为5米时，长方形花圃的面积最大，最大面积是45平方米．【点睛】本题主要考查实际问题与二次函数图形问题、二次函数的最值、一元一次不等式等．得到BC 边长的关系式和熟练掌握二次函数图像的性质是解答本题关键；得到自变量的取值是解本题的易错点．26．（1）0x ≠；（2）2.25，2；（3）见解析；（4）答案不唯一；（5）10.6x =-，21x =，3 1.6x =.【分析】（1）观察解析式可直接得出结果；（2）分别带入相应自变量的值即可计算出；（3）先描点，然后用平滑的曲线连接各点；（4）可根写增减性，也可写相应取值范围内的最值；（5）看作两个函数交点问题来解决即可．【详解】（1）0x ≠；（2）分别将0.5x =和1x =带入解析式，得 2.25m =，2n =；（3）如图；（4）答案不唯一，如：当0x <时，y 随x 的增大而减小；（5）对于方程2120x x x-+=，可变形为212x x x +=，求该方程的实数根，即为求函数1y 与2y 交点的横坐标，其中211y x x=+，22y x =，故在图中做出22y x =的图象，如图，直接可读出三个交点得横坐标为10.6x =-，21x =，3 1.6x =．【点睛】本题考查的是新函数探究问题，但本质上考查的是对函数的研究方法和逻辑；掌握函数求自变量取值范围，以及根据函数解析式求确定自变量时的函数值是基础；画函数图象，并且注意根据自变量的取值范围来确定图象形式是关键；利用作好的图象解决问题是此类题型考查的基本核心，注重数形结合的思想，将复杂的方程或不等式简单化，是本题的目的．。
二次函数的应用第一课时教学设计
第二章二次函数《二次函数的应用（第1课时）》教学设计说明茂名市公馆第一中学陈美玲一、学生知识状况分析在本章前，学生已通过探索变量之间的关系、探究一次函数和反比例函数，逐步建立了函数的基础知识，初步积累了研究函数性质的方法及用函数观点处理实际问题的经验.在本章的学习中，学生已研究了二次函数及其图象和性质，并掌握了求二次函数最大（小）值的一些方法，这些知识都为本节课的学习奠定了良好的知识基础.二、教学任务分析教学目标知识目标：能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能够运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值．能力目标：1．通过分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，培养学生的分析判断能力．2．通过运用二次函数的知识解决实际问题，培养学生的数学应用能力．情感态度与价值观：1．经历探究长方形和窗户透光最大面积问题的过程，获得利用数学方法解决实际问题的经验，并进一步感受数学模型思想和数学的应用价值．2．能够对解决问题的基本策略进行反思，形成个人解决问题的风格．3．进一步体会数学与人类社会的密切联系，了解数学的价值，增进对数学的理解和学好数学的信心，具有初步的创新精神和实践能力．教学重点1．经历探究长方形和窗户透光最大面积问题的过程，获得利用数学方法解决实际问题的经验，并进一步感受数学模型思想和数学的应用价值．2．能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能够运用二次函数的知识解决实际问题．教学难点能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能运用二次函数的有关知识解决最大（小）面积问题．三、教学过程分析一、复习回顾求下列二次函数的顶点坐标,并说明y 随x 的变化情况： 【设计意图】：引导学生复习前面所学过的内容，由于学习本节课所用的基本知识点是求二次函数的最值，因此和同学们一起复习二次函数最值的求法，以及二次函数的增减性，为本节课的学习做好准备.二、探究应用1、情境引入(1) 请用长20米的篱笆设计一个矩形的菜园. (2)怎样设计才能使矩形菜园的面积最大？【设计意图】：通过学生所熟悉的图形，引入新课，使学生初步了解解决最大面积问题的一般思路.例1.如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB 为x 米，面积为S 平方米.x x y x x y321)2(14)1(22+-=--=（配方法）（公式法）(1)求S 与x 的函数关系式及自变量的取值范围； (2)当x 取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？ (3)若墙的最大可用长度为8米，求围成花圃的最大面积 .【设计意图】：在上一个问题的基础上对问题情境进行变化，增大难度，同时板书解题过程，让学生明确规范的书写过程.2、变式探究一：如图,在一个直角三角形的内部画一个矩形ABCD ，其中AB 和AD 分别在两直角边上，AN=40m ，AM=30m ， (1).设矩形的一边AB=x m,那么AD 边的长度如何表示？ (2).设矩形的面积为2ym ,当x 取何值时,y 的最大值是多少?变式探究二：在上一个问题中，如果把矩形改为如图所示的位置，其顶点A 和点D 分别在两直角边上,BC 在斜边上.其它条件不变，那么矩形的最大面积是多少？变式探究三：如图,已知△ABC 是一等腰三角形铁板余料，AB=AC=20cm,D ABCMPNBC=24cm.若在△ABC 上截出一矩形零件DEFG ,使得EF 在BC 上,点D 、G 分别在边AB 、AC 上.问矩形DEFG 的最大面积是多少?【设计意图】：通过由学生讨论怎样用直角三角形剪出一个最大面积的矩形入手，由学生动手画出两种方法，和同学一起从问题中抽象出二次函数的模型，并求其最值，同时通过两种情况的分析，训练学生的发散思维能力，关键是教会学生方法，也是这类问题的难点所在，即怎样设未知数，怎样转化为我们熟悉的数学问题.在此基础上对变式三进行探究，进而总结此类题型，得出解决问题的一般方法.例2.在矩形ABCD 中，AB ＝6cm ，BC ＝12cm ，点P 从点A 出发沿AB 边向点B 以1cm /秒的速度移动，同时点Q 从点B 出发沿BC 边向点C 以2cm /秒的速度移动.如果P 、Q 两点在分别到达B 、C 两点后就停止移动，设运动时间为t 秒（0<t<6)，回答下列问题：（1）运动开始后第几秒时，△PBQ 的面积等于82cm ；（2）设五边形APQCD 的面积为S 2cm ，写出S 与t 的函数关系式，t 为何值时S 最小？求出S 的最小值.ABCDE FGABCEBD【设计意图】：将动点问题引入，使学生进一步增强二次函数的应用意识，提升思维能力.三、归纳总结“二次函数应用”的思路： 1.理解问题;2.分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系;3.用数学的方式表示出它们之间的关系;4.运用数学知识求解;5.检验结果的合理性, 给出问题的解答.四、巩固练习习题2.8 第1题1.一根铝合金型材长为6m ，用它制作一个“日”字型的窗框，如果恰好用完整条铝合金型材，那么窗架的长、宽各为多少米时，窗架的面积最大？五、拓展提升1.如图, 在Rt △ABC 中,∠ACB=90°,AB=10,BC=8,点D 在BC 上运动(不运动至B,C),DE ∥AC,交AB 于E,设BD=x ,△ADE 的面积为y . (1)求y 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围; (2)x 为何值时,△ADE 的面积最大?最大面积是多少?2.有一根直尺的短边长2cm ，长边长10cm ，还有一块锐角为45°的直角三角形纸板，其中直角三角形纸板的斜边长为12cm ．按图1的方式将直尺的短边DE 放置在直角三角形纸板的斜边AB 上，且点D 与点A 重合．若直尺沿射线AB 方向平行移动，如图2，设平移的长度为x （cm ），直尺和三角形纸板的重叠部分(即图中阴影部分)的面积为S 2cm ．（1）当x =0时，S=_________； 当x = 10时，S =_________；（2）当0＜x ≤4时，如图2，求S 与x 的函数关系式； （3）当6＜x ＜10时，求S 与x 的函数关系式；（4）请你作出推测：当x 为何值时，阴影部分的面积最大？并写出最大值．六、谈谈本节课你的收获七、布置作业：习题2．8 1、2四、教学反思本节课通过“理解问题—分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系—用 数学的方式表示它们之间的关系—做数学求解—检验结果的合理性并给出问题的解答”的教学流程，使学生不仅获得了书本上的知识，而且拓展知识应用，渗透数学思想方法，体现应用与创新意识.新课程给数学带来的变化是更注重学习的过程（包括思维的过程和感受的过程），更强调对数学的体验，以及数学学习ABC备选图二BABC备选图一图1(D )EA的多样化等等，其实也就是更注重学生的数学综合能力的培养.在课堂教学过程中，注重以学生的自主探究为主，从提出问题到解决问题，说明知识来源于生活，而又服务于生活，体现了理论联系实际的教学原则.从集体讨论——个别发言——总结归纳，符合学生的年龄特征.通过本节学习，学生不但从实际问题中理解数学知识，体会数学的乐趣，而且从能力上、思想上都达到一个新的境界.通过本节课的教学看到学生在计算上还存在很大问题，在这方面要注意培养学生的准确计算能力，同时还看到学生的潜力很大，作为教师要充分发挥学生的主观能动性，为学生的发展提供足够的时间和空间.。
二次函数的应用
二次函数的应用【问题探索】某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出18件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？答案：设降价x 元时利润最大，则每星期可多卖18x 件，实际卖出（300+18x)件，销售额为 (60-x)(300+18x)元，买进商品需付40(300-10x)元，因此，得利润)18300(40)18300)(60(x x x y +-+-=)200(600060182≤≤++-=x x x 当352=-=a b x 时，60506000356035182=+⨯+⨯=）（最大y 【新课引入】提问：1、在寒冷的冬天，同学们一般会参加什么样的课外活动呢？2、由上给出引例：引例：在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似的看作抛物线，如图（1），正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4米，距地面均为1米，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1米和2.5米处，绳子甩到最高处时，刚好通过他们的头顶，已知学生丙的身高是1.5米，根据以上信息你能知道学生丁的身高吗？3、要解决这个问题，同学们分析一下，我们会利用哪些知识来解决？对，本题我们可以利用有关二次函数的知识来解决。
今天我们学习的内容是“二次函数的应用”。
答案:如图，水平面所在的直线为x 轴，以甲学生身体所在的垂线为y 轴，建立直角坐标系。
Θ甲、乙两名学生拿绳的手间距为4米，距地面均为1米∴点A 的坐标为（0,1），点B 的坐标为（4,1）学生丙距甲拿绳的手水平距离1米处，丙的身高是1.5米∴点C 的坐标为（1,1.5）。
设抛物线为12++=bx ax y ，把B （4,1）和C （1,1.5）代入上式的，11416=++b a ，5.11=++b a 解得：61-=a ，32=b ，所以抛物线为132612++-=x x y ； 又Θ学生丁站在距甲拿绳的手水平距离2.5米处，∴当5.2=x 时，625.1132612=++-=x x y 学生丁的身高为1.625米。
2023-2024学年人教版九年级数学上册+22
万元，求最多可以购买多少株牡丹？
课 堂 练 习 【知识技能类作业】选做题：
−
（1）解：设长为x米，面积为y平方米，则宽为 米，
∴ = ×
−
= − + = −
−
+ ，
y=(60+x)(300-10x)-40×(300-10x)
=-10x2+100x+6000
=− − +6250 (0≤x≤30)
当产品单价涨价5元，即售价65元，最大利润为6250元。
新知讲解
300+20a
20a
2）设每件降价a元，则此时每星期多卖______件，实际卖出________________件，
1)会求二次函数y＝ax2＋bx＋c的最小(大)值．
2)能够从实际问题中抽象出二次函数关系，并运用二次函数及性
质解决最小(大)值等实际问题．
新知导入
通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。
（1）y=6x2+12x
（2）y=-4x2+8x-10
解：（1）y=6（x+1）2-6，抛
解：（2）y=-4（x-1）2-6，
(1)求关于的函数表达式：
(2)当销售价格定为多少时，该商店销售这款食品每天获得的销售利润最大？
最大销售利润是多少？【销售利润=（销售价格-采购价格）×销售量】
课堂练习
【综合拓展类作业】
解：（1）当 ≤ ≤ 时，设关于的函数表达式为y=kx+b，
+ =
二次函数与面积问题
例1在ΔABC中，AB=8cm，BC=6cm，∠B＝90°， 点P从点A开始沿AB边向点B以2厘米／秒的速度移动， 点Q从点B开始沿BC边向点C以1厘米／秒的速度 A
解（2）设过B（2，0） M（ 的解析式为：ｙ＝ｋｘ＋ｂ 3 则 ｋ＝ ｂ＝－３ 2 ∴直线ＢＭ的解析式为：
1 9 ，－ ） 2 4
y 5 4 3 2
1 Q B 3 A ｙ＝ ｘ－３ 2 -3 -2 -1 O 1 2 3 ∵QＮ=t ∴把ｙ＝ｔ代入直线 -1 N ＭＢ的解析式， 2 -2Ｃ M 得ｘ＝２－ ｔ -3 3 1 1 2 ∴S＝ ×２×１＋ （２＋ｔ）（2－ t） 2 2 3
A
（0<t<4）
P
=-t2 +4t (2)s=-t2 +4t
=-（t2 -4t +4 -4） = -（t - 2）2 + 4 t=2,s有最大值4
最大面积是 4 cm2
C
Q
B
所以，当P、Q同时运动2秒后Δ PBQ的面积最大
练习２．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形， 点C的坐标为(4,0)，∠AOC=60°，垂直于x轴的直线l从y轴 出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线l 与菱形OABC的两边分别交于点M、N(点M在点N的上方).
移动，如果P,Q分别从A,B同时出发，
1)△PBQ的面积S随出发时 间t如何变化?写出函数关系 式及t的取值范围. (2)当t为何值时,s的值最大? 最大值为多少?
C Q
22.3 实际问题与二次函数(第一课时)(教学设计)九年级数学上册同步备课系列(人教版)
22.3 实际问题与二次函数（第一课时） 教学设计一、内容和内容解析1.内容本节课是人教版《义务教育教科书•数学》九年级上册（以下统称“教材”）第二十二章“二次函数”22.3 实际问题与二次函数（第一课时），内容包括：利用二次函数解决抛掷问题与几何图形最值．2.内容解析二次函数是描述现实世界变量之间关系的重要数学模型，将实际问题中的变量关系转化为二次函数后，就可以利用二次函数的图象和性质加以解决，其关键是从实际问题中抽象出数学模型．本节课是在学生学习二次函数的图象和性质的基础上，借助于二次函数的图象研究二次函数的最小(大)值，并运用这个结论解决相关的实际问题．以现实生活为背景，通过对投掷、跳水、跳远、拱桥、隧道等抛物线的探究，建立合理的平面直角坐标系，利用待定系数法确定二次函数的表达式是解决此类问题的关键．通过探究矩形面积与矩形一边长两个变量之间的关系，让学生体会运用函数观点解决实际问题的作用，初步体验建立函数模型的过程和方法．基于以上分析，确定本节课的教学重点是：从实际问题中抽象出二次函数关系并运用二次函数的最小(大)值解决实际问题．二、目标和目标解析1.目标1)会求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的最小(大)值．2)能够从实际问题中抽象出二次函数关系，并运用二次函数及性质解决最小(大)值等实际问题． 2.目标解析达成目标1）的标志是：学生会借助于二次函数的图象得到在二次函数顶点处取得最小(大)值的结论，理解当x ＝－2ba时，函数有最小(大)值244ac b a －．达成目标2）的标志是：学生通过经历探索具体问题中数量关系和变化规律的过程，进一步体验如何从实际问题中抽象出二次函数模型，结合实际问题研究二次函数，将二次函数的最小(大)值的结论和已有知识综合运用来解决实际问题．三、教学问题诊断分析学生已经学习了二次函数的定义、图象和性质，学习了列方程、不等式和函数解决实际问题，这为本节课的学习奠定了基础．但运用二次函数的知识解决实际问题要求学生能选取适当的用来描述变量之间关系的函数分析问题和解决问题，对学生来说，要完成这一过程难度较大．基于以上分析，本节课的教学难点是：将实际问题抽象出数学模型，并利用二次函数解决实际问题．四、教学过程设计（一）复习巩固[问题]通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、说出两个函数的最大值、最小值分别是多少？1）y=6x2+12x 2）y=－4x2+8x－10师生活动：教师提出问题，学生回答．【设计意图】复习回顾二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象特征和性质，为本节课学习利用二次函数解决抛掷问题与几何图形最值进行铺垫．（二）探究新知【问题】从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h=30t－5t2（0≤t≤6）．小球的运动时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？师：这个问题研究的是哪两个变量之间的关系？生：小球运动的高度h和小球运动的时间t两个变量之间的关系．师：结合题目内容，你觉得小球的运动时间与小球的高度有什么样的关系？生：小球运动的高度随小球的运动时间的变化而变化．师：小球的运动时间是多少时，小球最高呢？生：结合已学二次函数知识回答问题.师生活动：教师引导学生，得出如下结论：画出函数的图像h=30t－5t2（0≤t≤6），可以看出这个函数图象是一条抛物线的一部分。
2022-2023上海八年级数学上册期末专题复习04 一元二次方程的应用(学生版)
专题04 一元二次方程的应用【考点剖析】【典例分析】【考点1】二次三项式的分解1、在实数范围内因式分解：2223x xy y --＝ .2、分解因式：2243x x --＝ .3.在实数范围内分解因式：=--232x x ． 【考点2】增长率问题1．枣庄购物中心某商品两次价格下调后，单价从6元变为4.86元，则两次平均下调的百分率为（ ） A ．10% B ．15% C ．5% D ．20%2．某企业2020年盈利2000万元，2022年盈利2420万元，该企业盈利的年平均增长率不变．设年平均增长率为x ，根据题意，可列出方程______．3．新冠肺炎疫情让餐饮业的外卖变得更加火热，某餐饮店今年元月份外卖赢利3000元，三月份外卖赢利是3630元，若从元月到三月，每月赢利的平均增长率都相同．求每月赢利的平均增长率．【考点3】面积问题1．1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？意思是：矩形面积为864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步？设长为x 步，可列方程为（ ） A ．()12864x x -= B ．()12864x x += C ．()2212864x x ++= D ．()2212864x x +-=2．如图，在宽为20m ，长为32m 的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为2540m ，求道路的宽．如果设小路宽为m x ，根据题意，所列方程正确的是（ ）A ．(32)(20)540x x ++=B ．(32)(20)540x x --=C ．(32)(20)540x x +-=D ．(32)(20)54x x -+=3．如图某小区要建一个长方形的花园，花园的一边靠墙(墙长18m )，另三边用木栏围成，并留出一个1m 宽的入口，木栏长35m ．花园的面积能达到2154m 吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．【考点4】营销问题1．文博会期间，某公司调查一种工艺品的销售情况，下面是两位调查员和经理的对话． 小张：该工艺品的进价是每个20元；小李：当销售价为每个36元时，每天可售出150个；当销售价降低3元时，平均每天将能多售出90个． 经理：为了实现平均每天3600元的销售利润，这种工艺品的销售价应降低多少元？ 设这种工艺品的销售价每个应降低x 元，由题意可列方程为（ ） A ．(36)1509036003x x ⎛⎫-+⨯= ⎪⎝⎭B ．(3620)(15090)3600x x --+=C ．(3620)1509036003x x ⎛⎫--+⨯= ⎪⎝⎭D ．(3620)(150390)3600x x --+⨯=2.某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元．若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，但商场规定每千克涨价不能超过8元，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价多少元？3．某单位组织职工观光旅游，旅行社的收费标准是：如果人数不超过30人，人均旅游费用为200元；如果超过30人，每增加1人，人均旅游费用降低2元，但人均旅游费用不低于100元．该单位按旅行社的收费标准组团，结束后，共支付给旅行社8400元．求该单位这次共有多少人参加旅游？【考点5】传播、握手问题1．某校举行一次羽毛球比赛，每一个球队都和其他球队进行一场比赛，共进行了28场比赛，如果设有x 个球队，根据题意列出方程可以为（ ） A ．()128x x +=B ．()128x x -=C ．()1282x x -=⨯D ．()2128x x +=2．秋冬季节是流感高发期，有1人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，则可列方程为（ ） A ．1121x += B ．()21121x+=C ．21121x x ++=D ．()11121x x x +++=【考点6】其他问题1．某学校组织初三学生到该市某旅游景点举行秋游活动．下面是该校领队与旅行社导游就收费标准的一段对话．领队：学校组团到该景点秋游每人收费是多少？导游：如果正常成年人的人均费用为300元，学生票打八折；而且人数超过100人，还有优惠． 领队：超过100人怎样优惠呢？导游：如果超过100人，每增加10人，人均秋游费用降低6元，但旅行社规定：人均秋游费用不得低于150元．该学校按旅行社的收费标准组团去该景点秋游活动结束后，共支付给旅行社36000元（随队的领队、教师费用除外且人均秋游费用没有达最低费用）．请你根据上述信息，求学校这次到该景点参加秋游活动的学生有多少人？2．从盛满30升纯药液的容器中，倒出x 升药液后，用水加满；混合后，第二次又倒出x 升的混合药液，再用水加满，此时容器内的药液浓度为25%，则根据题意所得的方程正确的是（ ） A ．3023025%x -=⨯B ．23013025%30x ⎛⎫-=⨯ ⎪⎝⎭C ．303025%30xx --=⨯ D ．()23013025%x -=⨯【课后练习】1．在实数范围内分解因式：242x x -+＝ .2．在实数范围内分解因式：231x x --＝ .3．在实数范围内因式分解：2x 2﹣2xy ﹣y 2= ．4．某区7月份工业生产值达120亿元，7月、8月、9月三个月总产值为450亿元，求8月、9月平均每月的增长率是多少？设平均每月增长的百分率为x ，根据题意得方程（ ） A ．()21201450x +=B ．()12013450x +=C．()()212011201450x x+++=D．()()212012011201450x x++++=5．一个容器盛满纯药液63L，第一次倒出一部分纯药液后用水加满，第二次又倒出同样多的药液，再加水补满，这时容器内剩下的纯药液是28L，若设每次倒出液体为Lx，则可列方程为（）A．2(1)2863x-=B．2(63)2863x-=C．228(1)63x-=D．228(63)63x-=6．为防控疫情，我们应该做到有“礼”有“距”，于是用“碰肘礼”代替“握手”的问候方式逐渐流行．某次会议上，每两个参会者都相互行了一次“碰肘礼”，经统计共碰肘28次，若设有x人参加这次会议，则可列方程为___________7．某化肥厂5月份生产某种化肥600吨，6月份因部分设备检修，产量比5月份减少了10%．从7月份起产量逐月上升，8月份达到653.4吨．该厂7，8两个月产量的平均月增长率是多少？8．2019年年底以来，湖北省武汉市发现一种新型冠状病毒引起的急性呼吸道传染疾病。
26.3.2二次函数应用举例
将第一段抛物线向下平移2个单位，
再向右平移h个单位得到第二段抛物线。
设第二段抛物线的解析式为：
1 2 y ( x 6) h 4 2 12
此图象过点C（4 3+6, 0），代入求出h, 从而 求出CD, 再求出BD
2
2.某商场购进一批单价为16元的日用品，销售 一段时间后，为了获得更多的利润，商店决定 提高销售价格，经试验发现，若按每件24元的 价格销售时，每月能卖240件，若按每件30元 的价格销售时，每月能卖60件。若每月销售件 数y（件）与价格x（元/件）满足y=kx+b，
O
D
B
C
3.用一块宽为1.2m的长方形铁板弯起两边做 一个水槽，水槽的横断面为底角120º 的等 腰梯形。要使水槽的横断面积最大，它的 侧面AB应该是多长？
A D
B
C
4.如图３，规格为60 cm×60 cm的正方形地砖在运输过程中受
损，断去一角，量得AF=30cm，CE＝45 cm。现准备从五边形 地砖ABCEF上截出一个面积为S的矩形地砖PMBN。 （1）设BN=x，BM=y，请用含x的代数式表示y，并写出x的取 值范围； （2）请用含x的代数式表示S，并在给定的直角坐标系内画出该 函数的示意图； （3）利用函数图象回2答：当x取何值时，S有最大值？最大值 是多少？
1 简析：易求抛物线解析式为y ( x 6) 2 +4 12 令y 0，解方程得x 4 3 6 13 （负值舍去） 即OC 13米
1 简析：CD的长即EF的长，求出E、F的横坐标即可 已求第一次落地前抛物线解析式为y ( x 6) 2 +4 已求C 4 3+6），即BC 4 13 ( x 6) 2 +4，令y （ 对于第一段抛物线y 12
人教版初中数学九年级数学上册第二单元《二次函数》检测(含答案解析)
一、选择题1．在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c 和二次函数y=ax 2+c 的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．2．二次函数(2)(3)y x x =--与x 轴交点的个数为（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．如果二次函数2112y x ax =-+，当1x ≤时，y 随x 的增大而减小，且关于x 的分式方程4311x ax x ++=--有正整数解，则所有符合条件的a 的值之和为（ ）． A ．9 B ．8 C ．4 D ．34．二次函数y ＝ax 2+bx +c 的部分图象如图，图象过点A （3，0），对称轴为直线x ＝1，下列结论：①a ﹣b +c ＝0；②2a +b ＝0； ③4ac ﹣b 2＞0；④a +b ≥am 2+bm （m 为实数）；⑤3a +c ＞0．则其中正确的结论有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个5．若整数a 使得关于x 的分式方程12322ax xx x -+=--有整数解，且使得二次函数y ＝(a ﹣2)x 2+2(a ﹣1)x +a +1的值恒为非负数，则所有满足条件的整数a 的值之和是（ ） A ．12 B ．15 C ．17 D ．20 6．根据下列表格中的对应值：x1.98 1.992.00 2.01 2y ax bx c =++-0.06-0.05-0.030.01判断方程（，，，为常数）一个根的范围是（）A ．1.00 1.98x << B ．1.98 1.99x << C ．1.99 2.00x <<D ．2.00 2.01x <<7．如图是二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图像，对于下列说法：①abc ＞0，②240b ac ->，③a +b +c ＜0，④当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48．一次函数y cx b =-与二次函数2y ax bx c =++在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．9．函数()20y ax a a =-≠与()0y ax a a =-≠在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．10．若二次的数2y ax bx c =++的x 与y 的部分对应值如下表： x7-6-5- 4-3-2-y 27- 13-3- 3 5 3则当1x =时，y 的值为（ ） A ．5B ．3-C ．13-D ．27-11．已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所尔，对称轴为直线x=1，则下列结论正确的是（ ）A ．0ac >B ．方程20ax bx c ++=的两根是1213x x =-=， C ．20a b -=D ．当x>0时，y 随x 的增大而减小．12．若关于x 的不等式组232x a x a ≥+⎧⎨<-⎩有解，则函数21(3)4y x x a =--+-图象与x 轴的交点个数为（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．1或2个 二、填空题13．如果抛物线y =x 2﹣6x +c 的顶点到x 轴的距离是3，那么c 的值等于____． 14．如图是二次函数2(0)y ax bx c a =++≠图象的一部分，有下列4个结论：①0abc >；②240b ac ->；③关于x 的方程20ax bx c ++=的两个根是12x =-，23x =；④关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集是2x >-．其中正确的结论是___________．15．已知点P （m ，n ）在抛物线2y ax x a =--上，当1m 时，总有1n ≥-成立，则实数a 的取值范围是_______．16．写出一个二次函数，其图像满足：①开口向下；②与y 轴交于点(0,3)-，这个二次函数的解析式可以是_______________________．17．已知二次函数246y x x =--，若16x -≤≤，则y 的取值范围为____． 18．抛物线y ＝x 2+2x-3与x 轴的交点坐标为____________________．19．定义：在平面直角坐标系中，若点A 满足横、纵坐标都为整数，则把点A 叫做“整点”．如：()3,0B 、()1,3C -都是“整点”．抛物线()2220y ax ax a a =++->与x 轴交于点M ，N 两点，若该抛物线在M 、N 之间的部分与线段MN 所围的区域（包括边界）恰有5个整点，则a 的取值范围是_______． 20．设A （－3，y 1），B （－2，y 2），C （12，y 3）是抛物线y ＝（x+1）2－m 上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系为_______．（用“＞”连接）三、解答题21．如图，二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，OB OC =．点D 在函数图象上，//CD x 轴，且2CD =，直线l 是抛物线的对称轴，E 是抛物线的顶点．（1）求b 、c 的值．（2）如图①，连接BE ，线段OC 上的点F 关于直线l 的对称点F '恰好在线段BE 上，求点F 的坐标．（3）如图②，动点P 在线段OB 上，过点P 作x 轴的垂线分别与BC 交于点M ，与抛物线交于点N ．试问：抛物线上是否存在点Q ，使得PQN 与APM △的面积相等，且线段NQ 的长度最小？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，说明理由．22．已知抛物线2(0)y ax bx a =+≠经过点(4,8)A -和点(,0)(0)P m m ≠．（1）若点A 是抛物线的顶点，则m =______．（2）如图，若2m =，设此时抛物线的顶点为B ，求OAB 的面积．23．如图，在平面直角坐标系中，有抛物线y＝ax2+bx+3，已知OA＝OC＝3OB，动点P在过 A、B、C三点的抛物线上．（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标，若不存在，说明理由；24．如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为y平方米．（1）求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；（2）若墙的最大可用长度为9米，求此时当AB为多少米时长方形花圃的面积最大，最大面积是多少？25．某超市经销一种商品，每千克成本为40元，经试销发现，该种商品的每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如下表所示：销售单价x（元/千克）45505560销售量y（千克）70605040y x（2）为了尽可能提高销量且保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少？（3）当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？26．某滑雪场在滑道上设置了几个固定的计时点．一名滑雪者从山坡滑下，测得了滑行距离s（单位：m）与滑行时间t（单位：s）的若干数据，如下表所示：位置1位置2位置3位置4位置5位置6位置7t0 1.07 1.40 2.08 2.46 2.79 3.36滑行时间/ss0510********滑行距离/mt t点（如图）．可以看出，其中绝大部分的点都近似位于某条抛物线上．于是，我们可以用二次函数()20s at bt c t =++≥来近似地表示s 与t 的关系．（1）有一个计时点的计时装置出现了故障，这个计时点的位置编号可能是_________； （2）当0t =时，0s =，所以c =________；（3）当此滑雪者滑行距离为30m 时，用时约为________s （结果保留一位小数）．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】根据二次函数的开口方向，与y 轴的交点；一次函数经过的象限，与y 轴的交点可得相关图象． 【详解】解：∵一次函数和二次函数都经过y 轴上的（0，c ）， ∴两个函数图象交于y 轴上的同一点，故B 选项错误；当a ＞0，c ＜0时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三、四象限，故C 选项错误； 当a ＜0，c ＞0时，二次函数开口向下，一次函数经过一、二、四象限，故A 选项错误，D 选项正确； 故选：D ． 【点睛】本题考查二次函数及一次函数的图象的性质；用到的知识点为：二次函数和一次函数的常数项是图象与y 轴交点的纵坐标；一次函数的一次项系数大于0，图象经过一、三象限；小于0，经过二、四象限；二次函数的二次项系数大于0，图象开口向上；二次项系数小于0，图象开口向下．2．B解析：B 【分析】根据△=24b ac -与零的关系即可判断出二次函数的图象与x 轴的交点问题； 【详解】∵ ()()22356y x x x x =--=-+，∴ △=24b ac -=25-24=1＞0∴二次函数()()23y x x =--与x 轴有两个交点； 故选：B ． 【点睛】本题考查了二次函数与x 轴的交点问题，熟练掌握判别式△=24b ac -是解题的关键；3．C解析：C 【分析】由二次函数的性质可先确定出a 的范围，再由二次函数的性质可确定出a 的范围，解分式方程确定出a 的取值范围，从而可确定出a 的取值，可求得答案． 【详解】 解：∵二次函数2112y x ax =-+， ∴抛物线开口向上，对称轴为x ＝a ， ∴当x ＜a 时，y 随x 的增大而减小， ∵当x≤1时，y 随x 的增大而减小， ∴a≥1， 解分式方程4311x ax x ++=--可得x ＝72a -， ∵关于x 的分式方程4311x ax x++=--有正整数解， ∵x≠1，∴满足条件的a 的值为1，3，∴所有满足条件的整数a 的值之和是1＋3＝4， 故选：C ． 【点睛】本题考查了二次函数的性质、分式方程的解，通过解分式方程以及二次函数的性质，找出a 的值是解题的关键．4．B解析：B 【分析】由抛物线过点A(3，0)及对称轴为直线x=1，可得抛物线与x 轴的另一个交点，则可判断①②是否正确；由抛物线与x 轴有两个交点，可得△>0，据此可判断③是否正确；由x=1时，函数取得最大值，可判断④是否正确；把b=-2a 代入a-b+c=0得3a+c=0，则可判断⑤是否正确．解：∵二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象过点A （3，0），对称轴为直线x ＝1，∴点A （3，0）关于直线x ＝1对称点为（﹣1，0），∴当x ＝﹣1时，y ＝0，即a ﹣b +c ＝0．故①正确；∵对称轴为直线x ＝1，∴﹣2ba＝1，∴b ＝﹣2a ，∴2a +b ＝0，故②正确； ∵抛物线与x 轴有两个交点，∴△＝b 2﹣4ac ＞0，∴4ac ﹣b 2＜0，故③错误； ∵当x ＝1时，函数有最大值，∴a +b +c ≥am 2+bm +c ，∴a +b ≥am 2+bm ，故④正确； ∵b ＝﹣2a ，a ﹣b +c ＝0，∴a +2a +c ＝0，即3a +c ＝0，故⑤错误； 综上，正确的有①②④． 故选：B ． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，数形结合并明确二次函数的相关性质是解题的关键．5．B解析：B 【分析】由抛物线的性质得到20a -＞，2=4(1)4(2)(1)0a a a ∆---+≤然后通过解分式方程求得a 的取值，然后求和． 【详解】解：∵二次函数y =（a -2）x 2+2（a -1）x +a +1的值恒为非负数， ∴20a -＞，2=4(1)4(2)(1)0a a a ∆---+≤ 解得3a ≥解分式方程12322ax xx x -+=--解得：62x a =- 由x ≠2得，a ≠5， 由于a 、x 是整数，所以a =3，x =6，a =4，x =3，a =8，x =1， 同理符合a ≥3的a 值共有3，4，8，故所有满足条件的整数a 的值之和=3+4+8=15， 故选：B ． 【点睛】本题考查的是抛物线和x 轴交点，涉及到解分式方程，正确理解二次函数的值恒为非负数是解题的关键．6．D解析：D 【分析】根据二次函数的性质、二次函数与一元二次方程的联系即可得．由表格可知，在1.98 2.01x ≤≤内，y 随x 的增大而增大， 当 2.00x =时，0.030y =-<， 当 2.01x =时，0.010y =>，∴在2.00 2.01x <<内，必有一个x 的值对应的函数值0y =，∴方程20ax bx c ++=（0a ≠，,,a b c 为常数）一个根x 的范围是2.00 2.01x <<，故选：D ． 【点睛】本题考查了二次函数的性质、二次函数与一元二次方程的联系，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．7．C解析：C 【分析】根据抛物线的开口向上，对称轴在y 轴的右边，与y 轴的交点在y 的负半轴上即可求出a 、b 、c 的正负，即可判断①；根据抛物线与x 轴的交点坐标即可判断②；把x=1代入抛物线即可判断③；求出抛物线的对称轴，根据图象即可判断④． 【详解】解：∵抛物线的开口向上，对称轴在y 轴的右边，与y 轴的交点在y 的负半轴上， ∴a ＞0，-2ba＞0，c ＜0， 即b ＜0， ∴abc ＞0， ∴①正确；由抛物线与x 轴有两个交点， ∴△=b 2-4ac ＞0，故②正确； 由图象可知：x=1时，y=a+b+c ＜0， 故③正确；由图象可得，当0<x<-2ba时，y 随着x 的增大而减小，故④错误； ∴正确的个数有3个． 故选：C ． 【点睛】本题考查了二次函数与系数的关系的应用，主要考查学生对二次函数的图象与系数的关系的理解和运用，同时也考查了学生观察图象的能力．8．D解析：D 【分析】先假设0c <，根据二次函数2y ax bx c =++图象与y 轴交点的位置可判断A ，C 是否成立；再假设0c >，0b <，判断一次函数y cx b =-的图象位置及增减性，再根据二次函数2y ax bx c =++的开口方向及对称轴位置确定B ，D 是否成立．【详解】解：若0c <，则一次函数y cx b =-图象y 随x 的增大而减小，此时二次函数2y ax bx c =++的图象与y 轴的交点在y 轴负半轴，故A ，C 错；若0c >，0b <，则一次函数y cx b =-图象y 随x 的增大而增大，且图象与y 的交点在y 轴正半轴上，此时二次函数2y ax bx c =++的图象与y 轴的交点也在y 轴正半轴，若0a >，则对称轴b x 02a =->，故B 错；若0a <，则对称轴02b x a=-<，则D 可能成立． 故选：D ． 【点睛】本题考查一次函数图象与二次函数图象的综合判断问题，解答时可假设一次函数图象成立，分析二次函数的图象是否符合即可．9．C解析：C 【分析】分a ＞0与a ＜0两种情况考虑两函数图象的特点，再对照四个选项中图形即可得出结论． 【详解】解：①当a ＞0时，二次函数y=ax 2-a 的图象开口向上、对称轴为y 轴、顶点在y 轴负半轴，一次函数y=ax-a(a≠0)的图象经过第一、三、四象限，且两个函数的图象交于y 轴同一点；②当a ＜0时，二次函数y=ax 2-a 的图象开口向下、对称轴为y 轴、顶点在y 轴正半轴，一次函数y=ax-a(a≠0)的图象经过第一、二、四象限，且两个函数的图象交于y 轴同一点． 对照四个选项可知C 正确． 故选：C ． 【点睛】本题考查了一次函数的图象以及二次函数图象与系数的关系，根据二次函数及一次函数系数找出其大概图象是解题的关键．10．D解析：D 【分析】首先观察表格可得二次函数2y ax bx c =++过点(4,3)-与(2,3)-，则可求得此抛物线的对称轴，然后由对称性求得答案． 【详解】 解：二次函数2y ax bx c =++过点(4,3)-与(2,3)-，∴此抛物线的对称轴为：直线4(2)32x -+-==-， ∴横坐标为1x =的点的对称点的横坐标为7x =-，∴当1x =时，27y =-．故选：D ．【点睛】此题考查了二次函数的对称性，根据表格中的数据找到对称轴是解题的关键． 11．B解析：B【解析】解：A 、∵抛物线开口向下，与y 轴交于正半轴，∴a ＜0，c ＞0，ac ＜0，故本选项错误；B 、∵抛物线对称轴是x=1，与x 轴交于（3，0），∴抛物线与x 轴另一交点为（-1，0），即方程ax2+bx+c=0的两根是x1=-1，x2=3，故本选项正确；C 、∵抛物线对称轴为，∴b=-2a ，∴2a+b=0，故本选项错误；D 、∵抛物线对称轴为x=1，开口向下，∴当x ＞1时，y 随x 的增大而减小，故本选项错误． 故选B ．根据抛物线的开口方向，对称轴，与x 轴、y 轴的交点，逐一判断． 12．C解析：C【分析】根据解不等式组的一般步骤得到a 的取值范围，然后求出函数21(3)4y x x a =--+-的判别式，根据根的判别式的正负即可得到图象与x 轴的交点个数．【详解】 解：∵关于x 的不等式组232x a x a ≥+⎧⎨<-⎩有解， ∴3a-2＞a+2，即a ＞2，令y=0，21(3)4x x a --+-=0， △=（-1）2-4×（a-3）×（-14）=a-2， ∵a ＞2，∴a-2＞0，∴函数图象与x 轴的交点个数为2．故选：C ．【点睛】解答此题要熟知以下概念：（1）解不等式组应遵循的原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．（2）一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的解与二次函数y=ax 2+bx+c 的关系．二、填空题13．c=6或12【分析】根据题意得顶点的纵坐标是3或-3列出方程求出解则可【详解】解：根据题意得：±3解得：c=6或12故答案为：c=6或12【点睛】本题考查了二次函数的性质熟记顶点的纵坐标公式是解题的解析：c =6或12【分析】根据题意得顶点的纵坐标是3或-3，列出方程求出解则可．【详解】解：根据题意得：24(6)4c --=±3， 解得：c =6或12．故答案为：c =6或12．【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟记顶点的纵坐标公式是解题的关键．14．②③【分析】根据抛物线开口方向对称轴的位置以及与y 轴的交点可对①减小判断；利用抛物线与x 轴的交点个数可对②进行判断；根据二次函数的性质可对③进行判断；利用图象则可对④进行判断【详解】解：∵抛物线开口解析：②③【分析】根据抛物线开口方向，对称轴的位置以及与y 轴的交点可对①减小判断；利用抛物线与x 轴的交点个数可对②进行判断；根据二次函数的性质可对③进行判断；利用图象则可对④进行判断．【详解】解：∵抛物线开口向下，交y 轴的正半轴，∴a ＜0，c ＞0，∵-2b a =12， ∴b =-a ＞0，∴abc＜0，所以①错误；∵抛物线与x轴有2个交点，∴△=b2-4ac＞0，即b2＞4ac，所以②正确；∵抛物线y=ax2+bx+c经过点（-2，0），而抛物线的对称轴为直线x=12，∴点（-2，0）关于直线x=12的对称点（3，0）在抛物线上，∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两根是x1=-2，x2=3，所以③正确．由图象可知当-2＜x＜3时，y＞0，∴不等式ax2+bx+c＞0的解集是-2＜x＜3，所以④错误；故答案为②③．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．15．0＜a≤【分析】依照题意画出图形分0＜＜1及≥1两种情况考虑结合函数图形以及已知条件可得出关于a的一元一次不等式组（或一元一次不等式）解之即可得出a的取值范围综上即可得出结论【详解】当≥1时有解得：解析：0＜a≤1 2【分析】依照题意画出图形，分0＜12a＜1及12a≥1两种情况考虑，结合函数图形以及已知条件可得出关于a的一元一次不等式组（或一元一次不等式），解之即可得出a的取值范围，综上即可得出结论．【详解】当12a≥1时，有11aa a⎧⎨--≥-⎩＞，解得：a＞0，∴0＜a≤12；当0＜12a＜1时，有()224114aa--≥--，解得：a=12 ∴0＜a≤12． 综上所述：0＜a≤12． 故答案为：0＜a≤12．【点睛】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，分0＜12a ＜1及12a≥1两种情况找出关于a 的一元一次不等式（一元一次不等式组）是解题的关键． 16．【分析】根据二次函数的性质可得出a ＜0利用二次函数图象上点的坐标特征可得出c=-3取a=-1b=0即可得出结论【详解】解：设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c ∵抛物线开口向下∴a ＜0∵抛物线与y解析：23=--y x【分析】根据二次函数的性质可得出a ＜0，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出c=-3，取a=-1，b=0即可得出结论．【详解】解：设二次函数的解析式为y=ax 2+bx+c ．∵抛物线开口向下，∴a ＜0．∵抛物线与y 轴的交点坐标为（0，-3），∴c=-3．取a=-1，b=0时，二次函数的解析式为y=-x 2-3．故答案为：y=-x 2-3（答案不唯一）．【点睛】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，找出a ＜0，c=-3是解题的关键．17．【分析】先利用配方法求得抛物线的顶点坐标从而可得到y 的最小值然后再求得最大值即可【详解】解：y=x2-4x-6=x2-4x+4-10=（x-2）2-10∴当x=2时y 有最小值最小值为-10∵∴当x=解析：106y -≤≤【分析】先利用配方法求得抛物线的顶点坐标，从而可得到y 的最小值，然后再求得最大值即可．【详解】解：y=x 2-4x-6=x 2-4x+4-10=（x-2）2-10．∴当x=2时，y 有最小值，最小值为-10．∵16x -≤≤，∴当x=6时，y 有最大值，最大值为y=（6-2）2-10=6．∴y 的取值范围为106y -≤≤．故答案为：106y -≤≤．【点睛】本题主要考查的是二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 18．【分析】要求抛物线与x 轴的交点即令y ＝0解方程即可【详解】令y ＝0则x2+2x ﹣3＝0解得x1＝﹣3x2＝1则抛物线y ＝x2+2x ﹣3与x 轴的交点坐标是（﹣30）（10）故答案为：（﹣30）（10）解析：()()3.0,1,0-【分析】要求抛物线与x 轴的交点，即令y ＝0，解方程即可．【详解】令y ＝0，则x 2+2x ﹣3＝0，解得x 1＝﹣3，x 2＝1．则抛物线y ＝x 2+2x ﹣3与x 轴的交点坐标是（﹣3，0），（1，0）．故答案为：（﹣3，0），（1，0）．【点睛】此题考察二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程的解即为二次函数图像与x 轴交点的横坐标．19．1＜a≤2【分析】画出图象找到该抛物线在MN 之间的部分与线段MN 所围的区域（包括边界）恰有5个整点的边界利用与y 交点位置可得a 的取值范围【详解】解：抛物线y ＝ax2＋2ax ＋a−2（a ＞0）化为顶点解析：1＜a≤2【分析】画出图象，找到该抛物线在M 、N 之间的部分与线段MN 所围的区域（包括边界）恰有5个整点的边界，利用与y 交点位置可得a 的取值范围．【详解】解：抛物线y ＝ax 2＋2ax ＋a−2（a ＞0）化为顶点式为y ＝a （x ＋1）2−2，∴函数的对称轴：x ＝−1，顶点坐标为（−1，−2），∴M 和N 两点关于x ＝−1对称，根据题意，抛物线在M 、N 之间的部分与线段MN 所围的区域（包括边界）恰有5个整点，这些整点是（0，0），（−1，0），（−1，−1），（−1，−2），（−2，0）， 如图所示：∵当x ＝0时，y ＝a−2，∴−1＜a−2≤0，当x ＝1时，y ＝4a−2＞0，即：120420a a --≤-⎧⎨⎩＜＞， 解得1＜a≤2，故答案为：1＜a≤2．【点睛】本题考查抛物线与x 轴的交点、配方法确定顶点坐标、待定系数法等知识，利用函数图象确定与y 轴交点位置是本题的关键．20．【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数图像性质即可得到答案【详解】解：∵二次函数的解析式为∴抛物线的对称轴是直线∴当时随的增大而减小；当时随的增大而增大∵是抛物线上的三个点∴∴∴故答案是：【点睛】 解析：132y y y >>【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数图像性质即可得到答案．【详解】解：∵二次函数的解析式为()21y x m =+-∴抛物线的对称轴是直线1x =- ，10a =>∴当1x <-时，y 随x 的增大而减小；当1x >-时，y 随x 的增大而增大 ∵()13,A y -、()22,B y -、31,2C y ⎛⎫ ⎪⎝⎭是抛物线()21y x m =+-上的三个点 ∴()132---=，()121---=，()13122--= ∴3212>> ∴132y y y >>．故答案是：132y y y >>【点睛】本题考查了二次函数图像与系数的关系、二次函数图像上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，能利用图像的增减性进行解答．三、解答题21．（1）2b =-，3c =-；（2）点F 坐标为(0,2)-；（3）存在，Q 的坐标为115,24⎛⎫- ⎪⎝⎭和315,24⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【分析】（1）由条件可求得抛物线对称轴，则可求得b 的值；由OB=OC ，可用c 表示出B 点坐标，代入抛物线解析式可求得c 的值；（2）可设F （0，m ），则可表示出F′的坐标，由B 、E 的坐标可求得直线BE 的解析式，把F′坐标代入直线BE 解析式可得到关于m 的方程，可求得F 点的坐标；（3）设点P 坐标为（n ，0），可表示出PA 、PB 、PN 的长，作QR ⊥PN ，垂足为R ，则可求得QR 的长，用n 可表示出Q 、R 、N 的坐标，在Rt △QRN 中，由勾股定理可得到关于n 的二次函数，利用二次函数的性质可知其取得最小值时n 的值，则可求得Q 点的坐标，【详解】解：（1）∵CD//x 轴，2CD =，∴抛物线对称轴为直线:1l x =， ∴12b -=，即2b =-， ∵OB OC =，(0,)C c ，∴B 点坐标为(,0)c -， ∴202c c c =++，解得3c =-或0c（舍去）；∴3c =-．（2）设点F 坐标为(0,)m ，∵对称轴是直线:1l x =，∴点F 关于直线l 的对称点F '的坐标为(2,)m ，由（1）可知抛物线解析式为y=x 2-2x-3=（x-1）2-4，∴E （1，-4），∵直线BE 经过点(3,0)B ，(1,4)E -，∴直线BE 的表达式为26y x =-，∵点F '在BE 上，∴2262m =⨯-=-，即点F 坐标为(0,2)-．（3）存在点Q 满足题意．设点P 坐标为(,0)n ，则1PA n =+，3PB PM n ==-，223PN n n =-++， 如解图，连接QN ，过点Q 作QR PN ⊥，垂足为R ，∵PQN APM SS =， ∴1(1)(3)2n n +- ()21232n n QR =-++⋅， ∴1QR =，①点Q 在直线PN 的左侧时，Q 点坐标为()21,4n n n --，R 点坐标为()2,4n n n -，N 点坐标为()2,23n n n --，∴()2242323RN n n n n n =----=-+∴在Rt QRN 中，221(23)NQ n =+-，∴当3n 2=时，NQ 取得最小值1， 此时Q 点坐标为115,24⎛⎫-⎪⎝⎭； ②点Q 在直线PN 的右侧时，Q 点坐标为()21,4n n +-，同理21RNn =-，221(21)NQ n =+-， ∴当12n =时，NQ 取得最小值1， 此时Q 点坐标为315,24⎛⎫-⎪⎝⎭， 综上所述：满足题意的点Q 的坐标为115,24⎛⎫- ⎪⎝⎭和315,24⎛⎫- ⎪⎝⎭．【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、轴对称、三角形的面积、勾股定理、二次函数的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中求得抛物线的对称轴是解题的关键，在（2）中用F 点的坐标表示出F′的坐标是解题的关键，在（3）中求得QR 的长，用勾股定理得到关于n 的二次函数是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，特别是最后一问，难度很大．22．（1）8；（2）6．【分析】（1）先将点(4,8)A -代入抛物线的解析式可得1648a b +=-，再根据点A 是抛物线的顶点可得其对称轴42b x a=-=，从而可得8b a =-，求出a 、b 的值，然后将点P 的坐标代入抛物线的解析式即可得； （2）如图（见解析），先利用待定系数法求出抛物线的解析式，从而可得顶点B 的坐标，再利用待定系数法求出直线AB 的函数解析式，从而可得点C 的坐标，然后根据OAB 的面积等于OAC 与OBC 的面积之和即可得．【详解】（1）由题意，将点(4,8)A -代入抛物线的解析式得：1648a b +=-，点A 是抛物线的顶点，∴抛物线的对称轴为42b x a=-=，即8b a =-， 联立16488a b b a +=-⎧⎨=-⎩，解得124a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， 则抛物线的解析式为2142y x x =-， 将(,0)(0)P m m ≠代入2142y x x =-得：21402m m -=， 解得8m =或0m =（不符题意，舍去），故答案为：8；（2）2m =，(2,0)P ∴， 将点(4,8),(2,0)A P -代入抛物线的解析式得：1648420a b a b +=-⎧⎨+=⎩， 解得12a b =-⎧⎨=⎩， 则此时抛物线的解析式为222(1)1y x x x =-+=--+，∴顶点B 的坐标为(1,1)B ，设直线AB 的函数解析式为y kx c =+，将点(4,8),(1,1)A B -代入得：481k c k c +=-⎧⎨+=⎩，解得34k c =-⎧⎨=⎩，则直线AB 的函数解析式为34y x =-+，当0y =时，340x -+=，解得43x =，即4(,0)3C ， 43OC ∴=， (4,8)(1),1,B A -，OAC ∴的OC 边上的高为8，OBC 的OC 边上的高为1， OAC OB B COA S S S ∴=+， 1414812323=⨯⨯+⨯⨯， 6=，即OAB 的面积为6．【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数和一次函数的解析式、二次函数的性质等知识点，熟练掌握待定系数法是解题关键．23．（1）2y x 2x 3=-++；（2）存在，()1,4P 或()2,5--．【分析】（1）根据A 的坐标，即可求得OA 的长，则B 、C 的坐标即可求得，然后利用待定系数法即可求得函数的解析式；（2）分点A 为直角顶点时，和C 的直角顶点两种情况讨论，根据等腰三角形的性质得到两直角边相等，即可列方程分别求解．【详解】解：（1）由题意可知：c ＝3∴OC ＝OA ＝3OB=3，∴点A 、B 、C 的坐标分别为：（0，3）、（﹣1，0）、（3，0），将点B、C代入抛物线的表达式为：09a33 03ba b=++⎧⎨=-+⎩，解得：a12 b=-⎧⎨=⎩∴抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）过点A、C分别作直线AC的垂线，分别交抛物线于P1、P2．过点P1作P1M⊥ y轴，垂足为M．∵OC＝OA∴∠OAC=∠OCA=45º∴∠MAP1=∠MP1A=45º∴MA=MP1设P1点坐标（a，﹣a2+2a+3）则MP1=a，OP1=﹣a2+2a+3∵OA＝3∴MA=﹣a2+2a+3-3=﹣a2+2a∴﹣a2+2a=a解之得：a1=0（舍去），a2=1∴﹣a2+2a+3=4∴P的坐标为（1，4）过点P2作P2N⊥ x轴，垂足为N．∵OC＝OA ∴∠OAC=∠OCA=45º∴∠NAP2=∠NP2C=45º∴CN=NP2设P2点坐标（a，﹣a2+2a+3）则NP2=a2-2a-3，ON=﹣a∵a2-2a-3＝3-a解之得：a1=3(舍去）， a2=-2，∴﹣a2+2a+3=-5∴点P的坐标为（﹣2，﹣5）∴当点P的坐标为（1，4）或（﹣2，﹣5）时，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形．【点睛】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有待定系数法求抛物线的解析式，以及等腰三角形的性质．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．24．（1）()232408y x x x =-+<<；（2）当5x = 时，45max y =平方米．【分析】（1）花圃的面积＝AB×（篱笆长－3AB ），根据边长为正数可得自变量的取值范围；（2）先结合（1）及AD 不大于9可得自变量的取值范围，再根据二次函数图像性质，在自变量范围内变化取最值．【详解】解：（1）∵(2)·43S BC AB x x ==－， ∴2324y x x =-+，由题意00AB BC >>，，即02430x x >>，－，解得08x << ；（2）∵墙的最大可用长度为9米，即02439x <≤－ ，解得，58x ≤<，∴()232458y x x x -+=≤<， 二次函数图像开口向下，对称轴为()24423x =-=⨯-， 58x ≤<在对称轴右侧，y 随着x 的增大而减小，∴当5x ＝时，长方形花圃的面积最大，235448=45y =+⨯-（-），∴当AB 为5米时，长方形花圃的面积最大，最大面积是45平方米．【点睛】本题主要考查实际问题与二次函数图形问题、二次函数的最值、一元一次不等式等．得到BC 边长的关系式和熟练掌握二次函数图像的性质是解答本题关键；得到自变量的取值是解本题的易错点．25．（1）2160y x =-+；（2）50元；（3）定价60元，最大利润800元．【分析】（1）利用待定系数法来求一次函数的解析式即可；（2）依题意可列出关于销售单价x 的方程，然后解一元二次方程组，得出解后根据x 求出对应的y ，即可求解；（3）利用每件的利润乘以销售量可得总利润，然后根据二次函数的性质来进行计算即可．【详解】（1）设y 与x 之间的函数表达式为y kx b =+（0k ≠），将表中数据（45，70）、（50，60）代入得：45705060k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得：2160k b =-⎧⎨=⎩， ∴y 与x 之间的函数表达式为2160y x =-+；（2）由题意得：()()402160600x x --+=，整理得212035000x x -+=，解得125070x x ==，，∵要求尽可能提高销量，当150x =时，销量为70千克，当270x =时，销量为20千克 ∴270x =不合题意，舍去答：为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为50元/千克； （3）设当天的销售利润为w 元，则：()()402160w x x =--+22(60)800x =--+，∵﹣2＜0∴当60x =时，w 最大值=800．答：当销售单价定为60元/千克时，才能使当天的销售利润最大，最大利润是800元．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、一元二次方程和二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系是解题的关键．26．（1）3；（2）0；（3）3.1【分析】（1）由图像及表格可直接进行解答；（2）把t=0代入求解即可；（3）从表格选两个点代入函数解析式求解即可．【详解】解：（1）由表格及图像可得：出现故障的位置编号可能是位置3；故答案为3；（2）把t=0，s=0代入()20s at bt c t =++≥得：c=0； 故答案为0；（3）由（2）可得：把t=1.07，s=5和t=2.08，s=15代入()20s at bt t =+≥得：。
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A
D
解：(1) ∵ AB为x米、篱笆长为24米
y
3 2
x
3
与x轴、y轴的交点，且过（1，1），求抛物线的解
析式.
分析：
∵直线 y 3 x 3 与x轴、y轴的交点为 （2，0），（20，3）则：4a 2b c 0
c 3 a b c 1
例3.已知：二次函数的图像的对称轴为直线 x= –3，并且函数有最大值为5，图像经过点 (–1,–3)，求这个函数的解析式。
5
*例5.已知：如图,求二次函数解析式y=ax²+bx+c.
4
解：如图,由题意得：抛物线与x轴
3C
交点的横坐标为－1和3
2
∴设所求函数解析式为y=a(x＋1)(x－3)
A
o
-1
B
35
∵图象过点（0，3）
-2
∴3=a(0＋1)(0－3)
∴a=－1
-4
∴所求的函数解析式为y=－(x＋1)(x－3)
即y= –x²+2x+3
简单。
归纳小结
二次函数解析式的确定:
（3）过与x轴的两个交点和一普通 点的二次函数解析式确定.
交Hale Waihona Puke 式 y a(x x )(x x )(a 0)
1
2
条件：若抛物线y ax2 bx c
与x轴交于两点（x ,0),(x ,0).
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