拉格朗日方程-刚体动力学-振动 习题课共33页文档
拉格朗日方程-刚体动力学-振动知识题课
, k'
}
欧拉角
y'
上式两边除以t 0
k n k' z n z' 角加速度 d / dt
(t) (t)l 0 (t) l 0 l0 1 2
x
N
x'
y
节线
11
BUAA
习题课
定点运动刚体上点的速度和加速度
1、速 度：v lim r t0 t
r r
x
1 2
m2
L
cos
C
系统的什么广义动量守恒？
研究整体：
x
A vA
研究圆盘：
LrA
1 2
mAr 2A
1 2 m1rx
FAy
A
F
vCA LrA Fr
A
r
FAx
c m1g
B
Px mAx FmNmAB2vgCx
Px
m1x F
m2 (x （1）
L 2
cos
)
LrA F （2） r
F m1g
p x
M g J z'
16
BUAA
习题课
6-4：具有固定顶点O的圆锥在水平面上作纯滚动，如图所示。 圆锥高CO=18cm，顶角，∠AOB=90o。圆锥面中心C作匀速 圆周运动，每秒绕行一周。试求圆锥的角速度和角加速度，并 求圆锥底面直径AB两端点A和B的速度和加速度。
z x
圆锥绕O点作定点运动 绕铅垂轴的进动角速度ω1 绕OC轴的自转角速度ω2 圆锥的绝对角速度 ω ω ω1 ω2
BUAA
拉格朗日方程 刚体动力学 振动 习题课
BUAA
第二类拉格朗日方程的总结
对于具有完整理想约束的质点系，若系统的自由度为k，
拉格朗日方程-振动
分析力学基础 2.1 自由度和广义坐标
例 1 图 (a)中，质量用一根
弹簧悬挂。图（b）中质量
用一根长度为l，变形可忽略
的悬丝悬挂。分析系统的自
由度，并建立系统的广义坐
(a)
标。
（b）
解 对图（a）所示的系统，尽管质量用弹簧悬挂，但弹簧能自由地伸长， 因此它的约束方程为零，自由度为3。
作用于质点系所有主动力在该位置处的任何虚位移中的虚功之和等于零。
分析力学基础 2 ຫໍສະໝຸດ 位移原理 虚位移原理受定常理想约束的质点系在某一位置平衡的必要与充分条件是：
作用于质点系所有主动力在该位置处的任何虚位移中的虚功之和等于零。
p
其数学表达式为: d W F d r 0
i
i
i 1
其中，Fi为作用于质点系的主动力， dri为虚位移。上式也称为虚功方程。
时的位置，即广义坐标数为2，自由度为2。
分析力学基础 1 自由度和广义坐标
例 2 右图表示由刚性杆l 1和质量m 1及刚性杆l 2和
质量m 2组成的两个单摆在O’ 处用铰链连接成
双摆，并通过铰链O与固定点连接，使双摆只能 在平面内摆动，分析系统的自由度，并建立系统 的广义坐标。 解 由于双摆只能在平面内摆动，因此， z 1 = 0，z 2 = 0， 而双摆的长度l 1和l 2不变，即
对图（b）所示的系统，悬挂质量的悬丝不可伸长， 因此在空间的位置必 须满足质量离悬挂点的距离保持不变的条件，即满足下列方程约束方程：
x2 y2 z2 l2
这样，坐标 x 、 y 和 z 就再不独立。若用球面坐标r 、y 和j 来表示， 必须满足条件 r = l ，只要用y 和j 两个坐标就能完全确定质量在任何瞬
理论力学 拉格朗日方程
xl
cos
1 2
k
x2
m2
gl
cos
L x
(m1
m2
)
x
m2
l
cos
,
L x
kx
d dt
L x
(m1
m2
)
x
m2
lcos
m2
l
2
sin
L
m2
l
2
m2
xlcos
,
L
m2
xl
sin
m2
glsin
(c)
代入质点系动力学普遍方程，得：
n
n
n
(Fi miai )ri Fi ri miairi 0 (d )
i 1
i 1
i 1
n
Fi
i 1
ri
n
Fi
i 1
( jk1qrij
q
j
kn
) (F
j1 i1
i
ri q j
)q j
kn
质点 M i : mi , 。ri 若取系统的一组广义坐标为
q，1则, q2 ,qk
ri ri (q1,q2 ,qk ,t) (i1,2,n)
(a)
vi
dri dt
jk1qrij
q j
ri t
(i 1,2n)
( b)
称
q j
dq j为广义速度。 dt
7
ri jk1qrij q j (i1,2,n)
22
dL dt
理论力学经典课件第九章拉格朗日方程
理论力学经典课件第九章拉格朗日方程是理论力学的重要组成部分，涉及欧 拉-拉格朗日方程和拉格朗日函数。在本次课件中，我们将深入探讨拉格朗日 方程的定义、应用实例及求解原理，并介绍多自由度的系统和哈密顿原理。 让我们一起来了解这一重要的物理学概念。
引言
理论力学的概念
欧拉-拉格朗日方程
理论力学是研究质点、质点系、 星系、表面、弹性体、流体等 物质运动规律与作用的一门自 然科学。
对于任意系统，在所有可能的 运动中，其真实运动使得作用 量达到最小值，作用量函数是 由拉格朗日函数定义的。
拉格朗日函数
描述了系统状态、参数、状态 变量与计算所有物理量的关系， 对于每一个系统都是唯一的。
拉格朗日方程的概念
参考文献
相关教材
• 《理论力学》（屠光 绍编）
• 《哈密顿力学：平凡 而重要的力学》（丘
• 维《声方编法）学与系统形态 学：拉格朗日方程的 理论与应用》（杨晋 编）
相关论文章
• Wei-Chiam Chung ，David Nezlin， Chuan-Jong Shih （2002）The
• LVa. gBraalankgriiasnhnan, S. FMo.rBmhualtattaiochna，rjee S（p2r0in0g7e）r CUlSassical M echanics: Point Particles and Special Relativity
• ， G.WEboardldi,SLc.iZeanntiefi（c 2008）On the Variational and Lag r an g i an Representations of Classical M echanics， INTECH Open Access Publisher
理论力学经典课件-第九章拉格朗日方程
理想弹性振子的振动分析
总结词
理想弹性振子是一个简化的模型，用于研究振动的规 律。通过拉格朗日方程，可以分析其振动行为。
详细描述
理想弹性振子是一个质量为m的质点，连接到一个无 质量的弹簧上。当振子受到一个外部力作用时，它会 开始振动。通过应用拉格朗日方程，可以计算出振子 的振动频率和振幅。
地球的运动分析
详细描述
分离变量法是一种求解偏微分方程的常用方法。它通过假设解可以表示为多个独立变量的乘积，将偏微分方程转 化为多个常微分方程，从而简化了求解过程。这种方法在求解波动方程、热传导方程等偏微分方程时非常有效。
哈密顿正则方程法
总结词
利用哈密顿原理和正则方程推导出系统 的运动方程，适用于完整约束系统。
VS
相对论力学中的拉格朗日方程
总结词
相对论力学中的拉格朗日方程是经典拉格朗 日方程的进一步发展，它考虑了相对论效应 ，适用于高速运动和高能量密度的物理系统 。
详细描述
在相对论力学中，由于物体的高速运动和相 对论效应的影响，经典拉格朗日方程需要进 行相应的修正。相对论力学中的拉格朗日方 程能够更好地描述高速运动和高能量密度下 的物理过程，如相对论性粒子的运动、高能
要点一
总结词
地球的运动是一个复杂的系统，涉及到多个力和力的矩。 通过拉格朗日方程，可以分析地球的运动轨迹和规律。
要点二
详细描述
地球的运动包括自转和公转，受到太阳和其他天体的引力 作用。通过应用拉格朗日方程，可以计算出地球的运动轨 迹和周期，以及地球上不同地区的重力加速度和潮汐现象 等。
非保守系统的拉格朗日方程
总结词
非保守系统中的拉格朗日方程需要考虑非保 守力的影响，这需要引入额外的变量和方程 来描述系统的运动。
分析力学拉格朗日方程
分析力学拉格朗日方程分析力学是物理学中的一个重要分支，它主要研究物体的运动规律和力学系统的宏观性质。
拉格朗日力学是分析力学的基础，是分析力学发展过程中的一个重要理论。
它由意大利数学家拉格朗日于18世纪发展而来，利用广义坐标和拉格朗日方程来描述物体的运动学和动力学。
在拉格朗日力学中，系统的运动由极值原理来决定。
这个极值原理是“达朗贝尔原理”，即系统的运动满足使作用量(S)是极值的路径。
作用量是拉格朗日力学中的一个重要概念，它表示物体在运动过程中所受到的所有力的作用。
具体来说，作用量可以表示为：S = ∫ (L - T) dt其中，L是拉格朗日函数，表示系统的动能和势能之差；T是系统的动能，表示物体的运动能量。
积分表示对整个运动过程的积分求和。
根据达朗贝尔原理，系统的运动满足作用量的极值条件，即δS=0。
为了使作用量的变分δS等于零，我们可以通过拉格朗日方程来推导系统的运动方程。
假设系统有n个自由度，我们引入广义坐标q1, q2, ..., qn来描述系统的位置。
每个广义坐标都是关于时间的函数，即q(t)。
拉格朗日函数L也是广义坐标的函数，即L(q, dq/dt, t)。
其中dq/dt表示广义坐标的时间导数。
利用拉格朗日函数，我们可以定义拉格朗日方程：d/dt (∂L/∂(dq/dt)) - ∂L/∂q = 0这个方程就是拉格朗日方程。
其中∂L/∂(dq/dt)表示拉格朗日函数对广义速度的偏导数，∂L/∂q表示拉格朗日函数对广义坐标的偏导数。
该方程描述了系统在广义坐标下的运动规律。
拉格朗日方程的推导过程是基于变分法和哈密顿原理的。
通过对作用量进行变分，我们可以得到极值的条件，即达朗贝尔原理。
然后利用这个极值条件，我们可以推导出拉格朗日方程。
拉格朗日方程在物理学中有着广泛的应用，不仅可以用来描述质点的运动，还可以用来描述刚体的运动、连续介质的运动、以及相对论力学等。
它提供了一种统一的描述物体运动的方法，同时也为我们研究物体的宏观性质提供了一个有力的工具。
理论力学经典课件-拉格朗日方程
y A a1 C1 ae C2 α
D α2 ar B
求:1,三棱柱后退的加速度a1; 三棱柱后退的加速度a OC 2,圆轮质心C2相对于三棱 圆轮质心C 相对于三棱 柱加速度a 柱加速度ar. 解:1,分析运动 三棱柱作平动, 三棱柱作平动,加速度为 a1. 圆轮作平面运动,质心的牵连 圆轮作平面运动, 加速度为a 加速度为ae= a1 ;质心的相对加 速度为a 圆轮的角加速度为α 速度为ar;圆轮的角加速度为α2.
O1 l α α l FIA m1g l
C A
x1
ωB
l m1g m2g y1
FIB
球A,B绕 y轴等速转动;重锤静止不动. 轴等速转动;重锤静止不动. 球A,B的惯性力为
FA = FB = mlsinαω2 I I
2,令系统有一虚位移δα.A,B,C 三处的 虚位移分别为δ 虚位移分别为δrA,δrB, δrC . 3,应用动力学普遍方程 δrA FIA m1g l
x
解:2,施加惯性力
y A δx OC a1
FI 2 r
MI2
δ D C2 α
m2 g FI 2 e
F = ma I1 1 1
F =m a I2e 2 1
ae C1
FI1
F = m ar I2r 2
MI2 = J2 α2 1 J2 = m R2 2 2
ar B
x
m1g
解:3,确定虚位移 考察三棱柱和圆盘组成的 系统,系统具有两个自由度. 系统,系统具有两个自由度. 二自由度系统具有两组虚 位移: 位移: 第一组
如果将位矢对任意一个广义坐标 求偏导数, 如果将位矢对任意一个广义坐标 qj 求偏导数,再对时间求 导数, 导数,则得到
理论力学拉格朗日方程
0
(k 1,2,, N )
n
i 1
mi ri
ri qk
n i 1
mi
d dt
(ri
ri qk
)
n i 1
mi ri
d ( ri dt qk
)
ri
ri t
N k 1
ri qk
qk
qk
dqk dt
广义速度
ri 和 ri 仅为时间和广义坐标的函数， t q j
与广义速度q j无关
ri qk
根据几何关系，有
A
FIA m1g l
C
xA lsin yA lcos
xA l cos yA l sin
B
FIB l m1g
m2g y1
xB lsin
xB l cos
yB lcos
yB l sin
yC 2lcos
yC 2l sin
3、应用动力学普遍方程
FIA δxA FIB δxB m1g δyA m1g δyB m2 g δyC 0
ri qk
第一个拉格朗日关系式
ri
ri t
N k 1
ri qk
qk
对任意一个广义坐标 qj 求偏导数
ri
q j
2ri q jt
N k 1
2ri q jqk
qk
如果将位矢对任意一个广义坐标 qj 求偏导数，再对时间求 导数，则得到
d
dt
ri q j
2 ri q jt
N k 1
2 ri q jqk
xA l cos yA l sin xB l cos
O1
x1
rA
l l rB
FIA A m1g l
理论力学经典课件-第九章拉格朗日方程
9-2-2
拉氏方程基本形式
d T T = FQ j dt qj qj
故
j = 1,2,...k
为拉式第二类方程基本形式，以t为自变量， qj
为未知函数的二阶常微分方程组，2k个积分常量，
需2k个初始条件 q j 0 ,q j 0 。 关于 FQ 的计算
j
由 WF j FQ q j (见下述例题中) j (仅δqi≠0时，计算所有主动力虚功)
第九章 拉格朗日方程
9-2-1 两个经典微分关系
n个质点，s个完整约束，k＝3n－s，
ri = ri q1 ,q2 ,...qk ,t ( i 1,2,...,n ) ri ri 1) “同时消点” qj qj
证明: 因 ri ri (t , q1 , , qk ), 对时间t求导数， 得
第九章 拉格朗日方程
运用矢量力学分析约束动力系统，未知约束力多， 方程数目多，求解烦琐。能否建立不含未知约束力 的动力学方程？ 将达朗贝尔原理与虚位移原理相结合，建立动
力虚功方程，广义坐标化，能量化，化为拉氏第二
类方程，实现用最少数目方程，描述动力系统。
9-1 动力学普遍方程
9-1-1 方程的建立 9-1-2 典型问题
9-1-1 方程的建立
1. 一般形式
n个质点。对 m有 i
Fi FNi mi ai 0 则有 i 1, 2n
给 ri
i 1,2,...,n ,则有
Fi FNi m ai ri 0
而双面理想约束 故有
i Ii
F
i
Ni
ri 0
(9-1)
ri ri qj j 1 q j
拉格朗日方程-刚体动力学-振动 习题课共35页文档
1
0
、
倚
南
窗
以Leabharlann 寄傲，审
容
膝
之
易
安
。
16、业余生活要有意义，不要越轨。——华盛顿 17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。——罗素·贝克 18、最大的挑战和突破在于用人，而用人最大的突破在于信任人。——马云 19、自己活着，就是为了使别人过得更美好。——雷锋 20、要掌握书，莫被书掌握；要为生而读，莫为读而生。——布尔沃
文 家 。汉 族 ，东 晋 浔阳 柴桑 人 （今 江西 九江 ） 。曾 做过 几 年小 官， 后辞 官 回家 ，从 此 隐居 ，田 园生 活 是陶 渊明 诗 的主 要题 材， 相 关作 品有 《饮 酒 》 、 《 归 园 田 居 》 、 《 桃花 源 记 》 、 《 五 柳先 生 传 》 、 《 归 去来 兮 辞 》 等 。
END
拉格朗日方程-刚体动力学-振动 习题 课
6
、
露
凝
无
游
氛
，
天
高
风
景
澈
。
7、翩翩新 来燕，双双入我庐 ，先巢故尚在，相 将还旧居。
8
、
吁
嗟
身
后
名
，
于
我
若
浮
烟
。
9、 陶渊 明（ 约 365年 —427年 ），字 元亮， （又 一说名 潜，字 渊明 ）号五 柳先生 ，私 谥“靖 节”， 东晋 末期南 朝宋初 期诗 人、文 学家、 辞赋 家、散
动力学方程 拉格朗日方程
ri ri (q1, q2 , , qs , t)
则
ri
ri q1
q1
ri q2
q2
ri qs
qs
s
ri
1 q
q
代入达朗伯－拉格朗日方程
n
i 1
(
miri
Fi )
s a 1
由
ri
ri
,
d
ri
ri
q q
dt q q
P
d dt
n i 1miFra bibliotekri
ri q
n i1
mi
ri
ri q
d dt
n i 1
q
现在我们从达朗伯－拉格朗日方程出发，把各并不彼此 独立的坐标 ri 用各彼此独立的广义坐标 q ( 1,2, , s)
重新表述，从而导出适用于受理想约束的完整力学系所遵守的 动力学方程—拉格朗日方程。
设n个质点受k个约束，因是完整约束，体系的自由度数 应为 s＝3n－k。以广义坐标 ri 表出
一、达朗伯－拉格朗日方程
设受完整约束的力学体系有n个质点，体系中每一个质点都
服从如下形式的牛顿运动定律，设第i个质点受主动力，受约束
反力，则
mi ri
Fi
Ri , i
1,
2,
,
n
miri
mi
ri
Fi
动力学-拉格朗日方程
n
n
n
(Fix miaix )xi (Fiy miaiy )yi (Fiz miaiz )zi 0
i 1
i 1
i 1
9
FIr
FI
FIe
MI
mg s
x
例：图示系统：地面光滑， 圆柱(半径为 r )作纯滚动，
求圆柱的角加速度 和滑块
的加速度 a。
Mg
解 ：(1) 分析运动，并确定惯性力
应用虚位移原理：
若质点系所受的 约束为理想约束
n
FNi • ri 0
i 1
动力学普遍方程
n
W (Fi FNi FIi ) • ri 0 i 1
n
n
(Fi FIi ) •ri FNi •ri 0
i 1
i 1
n
(Fi FIi ) • ri 0 其中：FIi miai
i 1
yA 2Lsin xB 2l cos
aA yA 2L sin 2L cos2
xB 2l sin 2l cos2 aB
aCn l2 aCt l
FInC mC aCn , FItC mC aCt
M IC JC , M IO JO
mA mB m1, mC m,
11
rA
A
rCC
A
T M
135
M
mg
B
C
D
mg
mg
3
A
T M
mg
sB B
135
C
mg sc
M
D
mg
利用虚位移原理：取虚位移
由投影定理： sB 0
虚位移原理，虚功之和为零：
sc
L
拉格朗日方程-刚体动力学-振动 习题课共35页文档
16、人民应该为法律而战斗，就像为 了城墙 而战斗 一样。 ——赫 拉克利 特 17、人类对于不公正的行为加以指责 ，并非 因为他 们愿意 做出这 种行为 ，而是 惟恐自 己会成 为这种 行为的 牺牲者 。—— 柏拉图 18、制定法律法令，就是为了不让强 者做什 么事都 横行霸 道。— —奥维 德 19、法律是社会的习惯和思想的结晶 。—— 托·伍·威尔逊 20、人们嘴上挂着的法律，其真实含 义是财 富。— —爱献 生
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间，才能认识自 己。 Nhomakorabea—德国43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自己的饭量自己知道。——苏联
理论力学第十八章 拉格朗日方程 教学PPT
h
h
j
h
（2）
ri ri (q1, q2 ,...qk ; t) 对任 qh求偏导，再对时间t求导得
d
dt
( ri ) qh
k j1 q j
(
ri qh
)qj
2 ri tqh
k 2r
i
j1 q q
q j
2r i
tq
j
h
h
（3）
式（3）右边与式（2）右边比较可得关系式
i 1
以上二式称为动力学普遍方程 或 达朗贝尔——拉格朗日方程。
n
Fi miai δ ri 0
i 1
n
Fix mi xi δ xi Fiy mi yi δ yi Fiz mizi δ zi 0
i 1
动力学普遍方程
但是，如果改用广义坐标，来描述系统的运动，将动力 学普遍方程表达成广义坐标的形式，就可得到与广义坐标 数目相同的一组独立的运动微分方程，这就是著名的拉格 朗日方程，用它求解较复杂的非自由质点系的动力学问题 常很方便。
拉格朗日方程的推导
设由 n 个质点组成的质点系，受到 s 个理想、完整约束，因此该系统 具有k= 3m- s个自由度，可用 k 个广义坐标 q1 , q2 , … , qk 来确定该系统的 位形。
动力学普遍方程－例题1
动力学普遍方程－例题1
δrB F*B B
m1g δrC
解： 球简化为质点，除主动力外，图上画出了
d
O α δ x
ω dα
δrA A F*A
m1g
飞球的惯性力F*A和F*B，两力大小相等，方 向相反。
拉格朗日方程
定义：拉格朗日方程，因约瑟夫·路易斯·拉格朗日而命名，是拉格朗日力学的主要方程，可以用来描述物体的运动，特别适用于理论物理的研究。
拉格朗日方程的功能相等于牛顿力学中的牛顿第二定律。
拉格朗日方程：对于完整系统用广义坐标表示的动力方程，通常系指第二类拉格朗日方程,是法国数学家J.-L.拉格朗日首先导出的。
通常可写成：式中T为系统用各广义坐标qj和各广义速度q'j所表示的动能；Qj为对应于qj 的广义力;N(=3n-k)为这完整系统的自由度；n为系统的质点数；k为完整约束方程个数。
从虚位移原理可以得到受理想约束的质点系不含约束力的平衡方程，而动静法(达朗贝尔原理)则将列写平衡方程的静力学方法应用于建立质点系的动力学方程，将这两者结合起来，便可得到不含约束力的质点系动力学方程,这就是动力学普遍方程。
而拉格朗日方程则是动力学普遍方程在广义坐标下的具体表现形式。
拉格朗日方程可以用来建立不含约束力的动力学方程，也可以用来在给定系统运动规律的情况下求解作用在系统上的主动力。
如果要想求约束力，可以将拉格朗日方程与动静法或动量定理(或质心运动定理)联用。
通常，我们将牛顿定律及建立在此基础上的力学理论称为牛顿力学(也称矢量力学)，将拉格朗日方程及建立在此基础上的理论称为拉格朗日力学。
拉格朗日力学通过位形空间描述力学系统的运动，它适合于研究受约束质点系的运动。
拉格朗日力学在解决微幅振动问题和刚体动力学的一些问题的过程中起了重要的作用。
拉格朗日插值公式（外文名Lagrange interpolation formula）指的是在节点上给出节点基函数，然后做基函数的线性组合，组合系数为节点函数值的一种插值多项式。
公式线性插值也叫两点插值，已知函数y = f(x)在给定互异点x0, x1上的值为y0= f(x0)，y1= f(x1)线性插值就是构造一个一次多项式P1(x) = ax + b使它满足条件P1(x0) = y0P1(x1) = y1其几何解释就是一条直线，通过已知点A (x0, y0)，B(x1, y1)。
拉格朗日方程-振动课件
分析力学基础
1 自由度和广义坐标
完整约束
当约束方程本身或约束方程通过积分后可以用下式所示的形式表示时， 称为完整约束。显然，例1和例2的约束都是完整约束。
f i ( x, y, z, t ) 0
定常约束
当约束方程与时间t 无关时，称为定常约束。例1和例2的约束都是定常约
万有引力场和弹性力场都是势力场。在势力场中质点所受的力称为势力。
势能
所谓势能是把质点从当前位置移至势能零点的过程中势力所作的功。根据势
能的定义，特别需要强调的是：势能大小与规定的势能零点位置有关。
势能
分析力学基础
3 动能和势能
在线性系统中，势能是广义坐标的二次函数。可用矩阵形式表示成：
U ＝ 1 {q} T [ K ]{q} 2
p
W (Fi fi mi ri ) ri 0
在理想约束i下1，约束反力虚功之和为零，因此有
p
W (Fi mi ri ) ri 0 i 1
动力学普遍方程
作用在理想约束质系上所有的主动力和惯性力任意瞬时在虚位移上的虚功之
和等于零。
分析力学基础
q
q k
k
n l 1
r i
q
q l
l
改变求和的次序，得：
V ＝ 1 n n 2 k 1 l 1
p i 1
m i
r i
q k
r i
q l
q k
q l
分析力学基础
3 动能和势能
或：
V ＝ 1 n n m q q
2 虚位移原理
拉格朗日动力学方程
拉格朗日动力学方程拉格朗日动力学方程是描述质点或系统的运动的数学方程，它是由法国数学家和物理学家约瑟夫·路易·拉格朗日于18世纪提出的。
拉格朗日动力学方程的基本原理是通过引入称为拉格朗日函数的函数，对基本的物理量进行数学建模和描述。
拉格朗日函数是一个函数表达式，由广义坐标和广义速度组成。
广义坐标是描述系统状态所需的独立变量，而广义速度则是广义坐标随时间的变化率。
拉格朗日函数用于定义系统的动能和势能之间的关系，从而用数学语言描述系统的动力学行为。
根据拉格朗日动力学方程的定义，我们有拉格朗日函数L=L(q_1,q_2,..., q_n, \dot{q_1}, \dot{q_2},..., \dot{q_n}, t)，其中q_i表示广义坐标，\dot{q_i}表示广义速度，而n表示系统的自由度数。
拉格朗日方程可以写成以下形式：\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}\right) - \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0这个方程组成系统的拉格朗日动力学方程，通过求解这个方程，我们可以得到描述系统运动的解析解或数值解。
拉格朗日动力学方程的推导是基于哈密顿原理，也称为拉格朗日原理。
哈密顿原理的核心思想是系统的真实运动路径是使作用量最小的路径。
作用量是一个积分，由拉格朗日函数和时间的区间所确定。
通过最小化作用量，我们可以得到拉格朗日动力学方程。
拉格朗日动力学方程在各个科学领域中具有广泛的应用。
在物理学中，它被用于描述刚体的转动、粒子在电磁场中的运动、弹性体的振动等现象。
在工程学中，它被用于机械系统的设计和分析。
在生物学中，它被用于生物力学的研究。
此外，拉格朗日动力学方程也是数学物理的一个重要分支，它为建立系统的数学模型提供了一种优雅和统一的方法。
拉格朗日方程
对i求和并移项得
∂ri d ∂ 1 ∂ 1 2 2 mi v i • = ∑[ ( mi vi ) − ( mi vi )] ∑ • ∂qs dt ∂ q 2 ∂qs 2 i i s
•
引入系统动能
T =
∑
i
1 2 m i vi 2
s = 1, 2, • • •, n
dvi ∂ri Qs − ∑ mi • =0 dt ∂qs i
若全部主动力均为有势力,设势能函数为 V(xi,yi,zi),则有
∂V ∂V ∂V ∂V = −( Fi = − i+ j+ k) ∂ri ∂xi ∂ yi ∂zi
∂ri Qs = ∑ Fi • ∂qs i =1
N
s=1,2, …,n 上式即为主动力有势时的广义力表达式。
∂V ∂ri • = −∑ ∂qs i =1 ∂r i
ri = ri(q1, q2, …, qn,t)
i=1,2, … ,N
于是用广义坐标的独立变分表示的虚位移为
δ ri =
∑
s =1
n
∂ ri δqs ∂qs
i
i=1,2, …,N
δW = ∑ Fi • δri
n N ∂ri ∂ri δW = ∑ Fi • ( ∑ δqs ) = ∑ ( ∑ Fi • )δqs ∂qs i =1 s =1 ∂qs s =1 i =1
m φ1 φ2
m
ϕ1 + ϕ 2 2 mr 2 • 2 • 2 cr 2 L= (ϕ1 + ϕ 2 ) − (1 − 2 cos ) 2 2 2
mr 2 • 2 • 2 cr 2 ϕ1 + ϕ 2 2 L= (ϕ1 + ϕ 2 ) − (1 − 2 cos ) 2 2 2
拉格朗日方程-刚体动力学-振动 习题课
T 3 1 m1 m2 x m2 L cos C x 2 2
m1 g m2 g
B
BUAA
刚体定点运动的角速度和角加速度
习 题 课
l
0
r
l 0
角速度 lim
0 lim l l 0 t 0 t t 0 t
L T 1 m R[(R r ) ] p R m0 R 2 0 2 1 1 1 2 2 2 T V m0 R m[( R r ) R ] m( R r )2 2 mg ( R r )cos E0 4 2 4 2
问题：在某瞬时刚体上哪些点的速度为零？
•瞬时转动轴(instant axis of rotation)：
在某瞬时，刚体上存在一根通过定点O的轴，在该
轴上各点的速度均为零，该轴称为瞬时转轴。 问题：如何确定定点运动刚体的瞬时转动轴？
12
BUAA
习 题 课
dv d ( r ) r v 2、加速度：a dt dt a aR a N
l'
其中： MO是作用于陀螺转子上的所有外力对O点之矩的矢量和， O点既可以是惯性参考系中的固定点，也可以是刚体的质心。 陀螺力矩：
M g J z '
16
BUAA
习 题 课
6-4：具有固定顶点O的圆锥在水平面上作纯滚动，如图所示。 圆锥高CO=18cm，顶角，∠AOB=90o。圆锥面中心C作匀速 圆周运动，每秒绕行一周。试求圆锥的角速度和角加速度，并 求圆锥底面直径AB两端点A和B的速度和加速度。 z 圆锥绕O点作定点运动 绕铅垂轴的进动角速度ω1 绕OC轴的自转角速度ω2 圆锥的绝对角速度 ω ω ω1 ω2 x y
3拉格朗日方程及振动
三、（补）势力场、势能、动能定理从能量的角度来描述物体的运动现象。
现我们将力所作的功的概念进一步推广，可由能量的观点可推出拉格朗日方程。
（一）、势力场与势函数如果质点在某空间内任何位置都受有一个大小，方向完全确定的作用力。
即质点所受到的力仅与质点的位置有关，记为：F x y z (,,) 那么这个空间称之为力场。
将F 向坐标轴投影就有：),,(z y x F X x = , ),,(z y x F Y y = , ),,(z y x F Z z =设上述的函数是单值、连续、并且具有一阶偏导数。
现我们计算F 在力场中运动时所作的功，由功的定义知道：⎰++=Lz y x dz F dy F dx F W )( (其中L 为质点运动的轨迹)一般地讲，这个积分与质点运动的路径有关。
现仅讨论与路径无关的情况。
这对于理解物体运动的本质是很有意义的。
如果上述的线积分仅与质点的起始位置与终了位置有关，而与路径无关。
由高等数学知该微分三项式为某一函数的全微分，即)(dz F dy F dx F dU z y x ++=。
显然U 是坐标x ，y ，z 的函数，则定义： ),,(z y x U U =———力场的势函数。
如果质点从M 0运动到M ，则代入上述的线积分则有：),,(),,(00000z y x U z y x U dU W M M M M -=⎰=→→并且 x U F x ∂∂= ； yU F y ∂∂= ； z U F z ∂∂=（二）、势能、势能函数前面我们纯粹从数学的角度引进了势函数，通过势函数，我们可方便地计算有势力的功。
势函数的概念比较抽象，但在矢量场的分析中具有普遍的意义。
在我们力学分析中，还经常用到物理意义较为明显的势能函数，由势能函数来代替势函数。
现我们来看两者的关系。
首先来定义势能的概念。
所谓势能即：势能——当物体在势力场中某一位置时，具有作功的能量。
显然，势能具有相对的意义。
选取不同的基准位置，则同一位置的势能具有不同的数值。