(优选)离散数学的概念
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点 、 闭 集 、 开 集 、 交 集 、 并 集 等 概 念 的 人托 尔 是 数 学 史 上 第 一 个 给 出 集 合 定 义 ， 且 引 入 点 集 的 极 限
章 ，库 默先 后托 尔 专尔在 攻 纯 粹 数 学和 克 罗 内 克 ， 后 任 哈 类 大 学 教 授 ， 或 西 尔 威 斯 特 奖格 丁 根 大 学 和 法 兰 克 福 大 学 里 是 从 外 尔 斯 特 拉 斯 、年 岀 生 于 俄 国 圣 彼 得 堡 ， 后 随 父 移 居 法 兰 克 福 ，
• 十八世纪，才华横溢的牛顿跟莱布尼茨几乎同时发现了微积分方法， 这对于数学界来说，有着划时代的意义。但由于牛莱二人对于微积分 这种方法内含的原理本身不是很清楚，他们对“流数”（即我们现在 的增量）的表述十分含糊，整个推导过程并不清晰，于是被英国哲学 家，神职人员伯克莱抓到了空子，提出了著名的伯克莱悖论：“因为 如果让增量变为零，或者说没有任何增量，那么原来关于增量存在的 假设也就不能成立，而由这一假设引出的结果，即借助于增量而得到 的表达式却必须保留。”按照逻辑上讲，伯克莱的悖论是有道理的， 牛莱二人的对于微积分方法的推导过程确实存在着逻辑上的致命漏洞！
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维空间上的点）一一对应年，康托尔证明了一条直 线 上 的 点 与 平 面 上 的 点 （ 乃 至
势。（幂集的概念是我们的课它 的 幂 集 间 不 可 能 建 立 一 一 对年 ， 康 托 尔 证 明 了 著 名 的 “ 堂应 内， 容幂定 ）集理
• 第一次数学危机的经过：公元前一世纪，，古希腊数学走到了世界的 前列，起很多研究成果甚至领先世界近千年，其中最有代表意义的莫 过于“毕达哥拉斯”学派。该学派是一个很专制很严密的组织，它要 求成员严守纪律，对宗师毕达哥拉斯绝对服从，不允许有任何人跟任 何组织冒犯学派在数学上的权威。毕达哥拉斯在数论上曾有过“万物 皆数”，且“数”只能是整数跟分数。但是，毕达哥拉斯的学生希帕 苏斯发现了以下命题:“边长为1的正方形对角线长度应该是多少？”， 当时勾股定理已经得到严格证明，命题于是演变成“什么数的平方是 2？”显然按照毕达哥拉斯的理论，这个数是找不到的，但边长为1的 正方形又确实存在！毕达哥拉斯感到了恐惧，为了防止泄密，他让人 将希帕苏斯投入了爱琴海。亚里士多德后来证明了这个正方形的长度 并非有理数，毕达哥拉斯的绝对权威受到了严重的挑战。一方面已经 证明单位正方形对角线的长不是整数与分数，按毕达哥拉斯学派的观 点，这并不是一个“数”，这令人难以接受；另一方面，当时占统治 地位的毕达哥拉斯学派对数的根深蒂固的人数又使他们不肯承认并打 压这种“怪异的数字”的存在，一时间数学界陷入极大的矛盾之中， 这就是第一次数学危机的由来。
1845
Cantor
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（优选）离散数学的概念
简而论之，一般认为，离散数学包括了以下几个子 学科：数理逻辑、集合论、关系论、函数论、代数 系统与图论。
集合论的学科起源与发展
要说清楚这个问题， 我觉得很有必要先跟 大家说清楚一个大家 都已经闻名遐迩但又 可能知之不详的一个 相当著名的概念—— 数学发展史上出现的 三次危机
• 但是对于微积分的实际应用却是摆在那里的，它的实用性不言自明。 这样，伯克莱的批评与讽刺指出了当时微积分在理论上的漏洞跟推导 过程中的粗糙，一时间，牛莱二人的“微积学说”跟伯克莱等人的 “反微积学说”争持激烈，这就是第二次数学危机的由来。
1 2…n n+1 n+1 n
1874 1878 1883
1877 1878
hypothesis 1883
1
康
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序集，为第一个元素，是的后继。良序集。举个例子：自然数集合，，就是一个良对 于 每 个 元 素 ， 都 存 在 一 个 确 定 的 后 继 ， 这 样 的 集 合 称 为元素按确定的顺序排列，存在该集合的第一个元素，而且年 ， 康 托 尔 提 出 良 序 集 和 序 数 的 概 念 ： 一 个 集 合 ， 他 的
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• 十八世纪，才华横溢的牛顿跟莱布尼茨几乎同时发现了微积分方法， 这对于数学界来说，有着划时代的意义。但由于牛莱二人对于微积分 这种方法内含的原理本身不是很清楚，他们对“流数”（即我们现在 的增量）的表述十分含糊，整个推导过程并不清晰，于是被英国哲学 家，神职人员伯克莱抓到了空子，提出了著名的伯克莱悖论：“因为 如果让增量变为零，或者说没有任何增量，那么原来关于增量存在的 假设也就不能成立，而由这一假设引出的结果，即借助于增量而得到 的表达式却必须保留。”按照逻辑上讲，伯克莱的悖论是有道理的， 牛莱二人的对于微积分方法的推导过程确实存在着逻辑上的致命漏洞！
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• 第一次数学危机的经过：公元前一世纪，，古希腊数学走到了世界的 前列，起很多研究成果甚至领先世界近千年，其中最有代表意义的莫 过于“毕达哥拉斯”学派。该学派是一个很专制很严密的组织，它要 求成员严守纪律，对宗师毕达哥拉斯绝对服从，不允许有任何人跟任 何组织冒犯学派在数学上的权威。毕达哥拉斯在数论上曾有过“万物 皆数”，且“数”只能是整数跟分数。但是，毕达哥拉斯的学生希帕 苏斯发现了以下命题:“边长为1的正方形对角线长度应该是多少？”， 当时勾股定理已经得到严格证明，命题于是演变成“什么数的平方是 2？”显然按照毕达哥拉斯的理论，这个数是找不到的，但边长为1的 正方形又确实存在！毕达哥拉斯感到了恐惧，为了防止泄密，他让人 将希帕苏斯投入了爱琴海。亚里士多德后来证明了这个正方形的长度 并非有理数，毕达哥拉斯的绝对权威受到了严重的挑战。一方面已经 证明单位正方形对角线的长不是整数与分数，按毕达哥拉斯学派的观 点，这并不是一个“数”，这令人难以接受；另一方面，当时占统治 地位的毕达哥拉斯学派对数的根深蒂固的人数又使他们不肯承认并打 压这种“怪异的数字”的存在，一时间数学界陷入极大的矛盾之中， 这就是第一次数学危机的由来。
1845
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• 1877
•
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简而论之，一般认为，离散数学包括了以下几个子 学科：数理逻辑、集合论、关系论、函数论、代数 系统与图论。
集合论的学科起源与发展
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• 但是对于微积分的实际应用却是摆在那里的，它的实用性不言自明。 这样，伯克莱的批评与讽刺指出了当时微积分在理论上的漏洞跟推导 过程中的粗糙，一时间，牛莱二人的“微积学说”跟伯克莱等人的 “反微积学说”争持激烈，这就是第二次数学危机的由来。
1 2…n n+1 n+1 n
1874 1878 1883
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hypothesis 1883
1
康
康先
序集，为第一个元素，是的后继。良序集。举个例子：自然数集合，，就是一个良对 于 每 个 元 素 ， 都 存 在 一 个 确 定 的 后 继 ， 这 样 的 集 合 称 为元素按确定的顺序排列，存在该集合的第一个元素，而且年 ， 康 托 尔 提 出 良 序 集 和 序 数 的 概 念 ： 一 个 集 合 ， 他 的