第10章压杆稳定

第10章 压杆稳定

10.1【学习基本要求】

1、理解压杆稳定的稳定平衡、不稳定平衡、临界力的概念。

2、掌握不同杆端约束下细长杆的临界力的计算公式。

3、理解长度系数的意义，掌握与常见的几种约束形式对应的长度系数。

4、掌握临界力与压杆长度、横截面形状、杆端约束的关系。

5、理解压杆的柔度的概念，掌握柔度的计算方法。

6、明确欧拉公式的适用范围和临界应力计算。

7、熟练掌握大柔度杆、中柔度杆、小柔度杆的判别方法及临界应力总图。 8、掌握压杆的稳定条件。

9、能熟练运用安全系数法对不同柔度压杆的稳定性进行分析计算。 10、掌握提高压杆稳定性的措施。 10.2【要点分析】

1、压杆稳定的概念

稳定性：压杆能保持稳定的平衡性能称为压杆具有稳定性。 失稳：压杆不能保持稳定的平衡叫压杆失稳。

稳定平衡：细长杆在轴向压力下保持直线平衡状态，如果给杆以微小的侧向干扰力，使杆产生微小的弯曲，在撤去干扰力后，杆能够恢复到原有的直线平衡状态而保持平衡，这种原有的．．．直线平衡状态称为稳定平衡。 不稳定平衡：撤去干扰力后，杆不会回到原来的平衡，而是保持微弯或力F 继续增大，杆继续弯曲，产生显著的变形，甚至发生突然破坏，则称原有的．．．平衡为不稳定平衡。 失稳：轴向压力F 由小逐渐增大的过程中，压杆由稳定的平衡转变为不稳定的平衡，这种现象称为压杆丧失稳定性或压杆失稳。

临界平衡状态：压杆在稳定平衡和不稳定平衡之间的状态称为临界平衡状态。

临界压力或临界力：压杆由直线状态的稳定平衡过渡到不稳定平衡时所对应的轴向压力，称为压杆的临界压力或临界力。（即能使压杆保持微弯状态下的平衡的力）

【注意】①临界状态也是一种不稳定平衡状态。②临界状态下压杆即能在直线状态下也能在微弯状态下保持平衡。③临界力使压杆保持微小弯曲平衡的最小压力。

2、理想压杆

理想压杆是指不存在初弯曲、初偏心、初应力的承受轴向压力的均匀连续、各向同性的直杆。

工程中实际压杆与理想压杆有很大的区别，因为实际压杆常常带有初始缺陷，如：①初弯曲的存在使压杆截面形心轴线不是理想直线；②初偏心的存在造成压力作用线与杆件轴线不重合；③残余应力造成材料内部留有初应力；④材质不可能是完全均匀连续的。这些缺陷不同程度的降低了压杆的稳定承载能力。

3、细长压杆的临界力

细长压杆的临界力与杆件的长度、材料的力学性能、截面的几何性质和杆件两端的约束形式有关。临界力计算公式称为欧拉公式，其统一形式为

()2

0222c l EI l EI F r πμπ== (10.1) 【说明】①EI 为杆件的抗弯刚度；②l 0=μl 称为相当长度或计算长度，其物理意义为

各种支承条件下，细长压杆失稳时挠曲线中相当于半波正弦曲线的一段长度，也就是挠曲线上两拐点间的长度，即各种支承情况下弹性曲线上相当于铰链的两点之间的距离；③μ称为长度系数，它反映了约束情况对临界力的影响，具体情况见表10-1。

4、细长压杆的临界应力

压杆处于临界状态时横截面上的平均应力称为临界应力，用σcr 来表示。压杆在弹性范围内的临界应力为

22cr λ

πσE =A l EI A F cr 22)(μπ== (10.2) 【说明】①这是欧拉公式的另一种表达形式。②EI 为杆件的抗弯刚度。③I 、A 、i 2=I /A

是只与杆横截面的形心主矩和截面面积，都是与截面形状和尺寸有关的几何量；④式中λ=μl /i 称为压杆的柔度或长细比，它全面地反映了压杆长度、约束条件、截面尺寸和形状对临界荷载的影响，是压杆的一个重要参数。

5、欧拉公式的适用范围

欧拉公式是以压杆的挠曲线近似微分方程为依据而得到的，因此欧拉公式的适用条件是材料在线弹性范围内工作，即临界应力不超过材料的比例极限，即

p 22cr σλπσ≤=E

或 P

σπλE ≥或P λλ≥ (10.3)

【说明】①式中λ为压杆的柔度或长细比。②式中P P /σπλE =，完全取决于材料的力学性质。③满足λ≥λp 的压杆才能适用欧拉公式。④适用欧拉公式的压杆称为细长杆或

大柔度杆。 6、中长杆的临界应力

1）直线公式

对于中长杆，把临界应力与压杆的柔度表示成如下的线性关系。

λσb a cr -= (10.4)

【说明】①式中a 、b 是与材料力学性质有关的系数，可以查相关手册得到。②临界应力σcr 随着柔度λ的减小而增大。③该式适用于P S λλλ<≤的压杆，称为中长杆或中柔度杆，式中b a S /)(S σλ-=，σS 为材料的屈服极限。

2）抛物线公式

把临界应力cr σ与柔度λ的关系表示为如下形式

()c c s cr a λλλλσσ≤⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-= 12 (10.5) 【说明】①式中σs 是材料的屈服强度。②a 是与材料性质有关的系数。③λc 是欧拉公式与抛物线公式适用范围的分界柔度。

7、粗短杆的临界应力

当压杆的柔度满足λ<λs 条件时，这样的压杆称为粗短杆或小柔度杆。实验证明，小柔度杆主要是由于应力达到材料的屈服强度（或抗压强度σb ）而发生失效，属于强度问题。

8、临界应力总图 以柔度λ为横坐标，以临界应力σcr 为纵坐标，作出σcr -λ图，能够反映三类压杆的临界应力σcr 随压杆柔度λ变化的情况，称为临界应力总图。图10-1所示的是中长杆采用直线公式的临界应力

总图。

9、压杆稳定计算的安全系数法

在对压杆进行稳定计算时，以临界应力除以大于1的安全系数所得的数值为准，即要求横截面上的正应力σ≤σcr /n st ，通常将稳定条件写成下列用安全系数表达的形式：

st N

cr cr w n F F

n ≥==σσ (10.6)

【说明】①式中，n st 为规定稳定安全系数。②n w 称为压杆的工作安全系数。③F N 是

指压杆的轴力。④σcr 和F cr 是指由临界应力总图得到的临界应力和临界力。

10、压杆稳定计算的折减系数法

如果定义][][σϕσσ==

st

cr

st n 为稳定许用应力，其中σcr 为压杆的临界应力，n st 为规定

稳定安全系数，[σ]为强度计算时的许用应力。ϕ称为折减系数，是一个小于1的数，是压杆长细比的函数，反映了随着压杆长细比的增加对稳定承载能力的降低。

因此，对于同种材料制成的等截面压杆，稳定条件可表达为

][σϕσ≤=A

F

N w (10.7)

式中，F N 为压杆轴向；A 为压杆的横截面面积。

【说明】①利用式(10.6)或式(10.7)就可进行稳定性校核、设计截面和确定许可荷载等三个方面的计算。②需要指出的是，当压杆由于钉孔或其他原因而使截面有局部削弱时，因为压杆的临界力是根据整根杆的失稳来确定的，因此在稳定计算中不必考虑局部截面削弱的影响，而以毛面积进行计算。③在强度计算中，危险截面为局部被削弱的截面，应按净面积进行计算。

11、提高压杆承载力的措施 影响压杆稳定性的因素有：压杆的截面形状，压杆的长度、约束条件和材料的性质等。所以提高压杆承载能力的措施可以从选择合理的截面形式、减小压杆长度、改善约束条件及合理选用材料等几个方面着手。 10.3【范例讲解】

例10-1图10-2所示两端球铰支承细长杆，弹性模量E ＝200GPa ，试用欧拉公式计算其临界力。

1）圆形截面，d =25 mm ，l =1.0 m ；

图10-1