第十八章勾股定理
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对勾股定理的证明过程具有一定的挑战性、 活动性，方法也具有一定的综合性。
教材设计丰富的拼图活动，数学家、艺术 家、总统，通过了解中外证明勾股定理的不同 方法，开阔视野，丰富学生的想象。感受解决 同一问题的不同方法。
1、数方格的方法
A的面积是 B的面积是 C的面积是
9 个单位面积 9 个单位面积 18 个单位面积
2. 会运用勾股定理的逆定理判定直角三角形； 3．通过具体的例子，了解定理的含义，了解
逆命题、逆定理的概念，知道原命题成立 其逆命题不一定成立.
三、课时安排
本章教学时间约需7课时： 18．1勾股定理 18．2勾股定理的逆定理 数学活动 小结
3 课时 3课时
1课时
四、地位和作用
勾股定理是几何中几个最重要的定理 之一，它揭示了一个直角三角形三条边 之间的数量关系，它可以解决许多直角 三角形中的计算问题，是解直角三角形 的主要依据之一，在生产生活实际中用 途很大。它不仅在数学中，而且在其他 自然科学中也被广泛地应用。
观察图并填写下表：
A的面积 （单位面积）
B的面积 （单位面积）
C的面积 （单位面积）
图6-3
16
9
25
图6-4
4
9
13
（1）如图1，学生用四个全等的等腰直角三 角形拼成了一个以斜边为边长的正方形，教 师引导学生观察、思考正方形与四个直角三 角形的关系，启发学生 用“等 积”的方法 得到：
c aa
s s 4 直角三角形 = 大正方形
即1 a2 1 a2 1 a2 1 a2 c2 2222
故a2 a2 c2
图1
（2）将上图中的四个等腰直角三角形沿斜边 c向外翻转得到图2，由于面积不变，故仍可 直接得a出2 ：a2 c2
a ac ac
a
s s s 大正方形 = 小正方形＋4 直角三角形
勾股定理的由来
什么是“勾、股”呢？
在中国古代，人们把弯曲成直角的
手臂的上半部分称为"勾"，下半部分 称为"股"。我国古代学者把直角三角
勾
形较短的直角边称为“勾”，较长的 直角边称为“股”，斜边称为“弦”
股
勾股定理的证明
勾股定理的证明方法有很多种，这些方法不 仅证明了勾股定理，而且也丰富了研究问题的 思想和方法，促进了数学的发展.
ca
即(a a)2 c2 4 1 a2 2
4a2 c2 2a2
ca
2a2 c2
a
a
图2
故a2 a2 c2
（3）学生用四个全等的非等腰直角三角形 拼成如图所示的图形，教师引导学生观察、 思考，仿上题方法利用面积关系可得到：
b
a
s s s 大正方形 = 小正方形＋4 直角三角形
a
c
b
cБайду номын сангаас
一、内容内安容排安排
本章主要内容是勾股定理及其 逆定理。首先让学生通过观察得出 直角三角形两条直角边的平方和等 于斜边的平方的结论并加以证明， 从而得到勾股定理，然后运用勾股 定理解决问题。在此基础上，引入 勾股定理的逆定理，并结合此项内 容介绍逆命题、逆定理的概念。
二、学习目标
1. 体验勾股定理的探索过程，会运用勾股定 理解决简单问题；
3、在国外叫“毕达哥拉斯定理”。相传 公元前550年左右毕达哥拉斯发现这个 定理后欣喜若狂，宰了100头牛大肆庆 贺了许多天，因此这个定理也叫“百牛 定理”
4、目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星 球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如 地球上人类的语言、音乐、各种图形等。据说 我国著名数学家华罗庚曾建议，发射一种反映 勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人”， 那么他们一定会识别这种“语言”的。这个事 实可以说明勾股定理的重大意义，发现勾股定 理，尤其在2000多年前，是非常了不起的成 就。
(a 2
2ab b2）
又因为S梯形ABCD SABE S AED S CDE
D
1 ab 1 c2 1 ab
222
A cb
a
c
1 (c 2 2ab) 2
B
b
E a C 所以a 2 2ab b2 c 2 2ab
故a 2 b2 c2
什么样的数是勾股数
1、数学上把满足a2 +b2= c2的三个正整 数，称为勾股数。
五、教学建议
1、注重使学生经历探索勾股定理等的过程,发展学生的合 情推理能力。 2、注重创设丰富的情景使学生体会勾股定理及其逆定理 的广泛应用。
教师应能创造性地使用教材。 3、尽可能地体现勾股定理的文化价值。
鼓励学生阅读教科书提供的材料，并自己查阅更多的 材料了解与勾股定理有关的历史。 4、注意渗透形数结合的思想方法。
b2 2ab a2 2ab c2
故a2 b2 c2
中国古代方法（弦图）与世界数学家大会
International Congress of Mathematicians
ICM---2002
大会会标的中心图 案是中国古代数学 家证明勾股定理的 弦图，同时进行了 艺术加工，使其具 有了中国特色和鲜 明的时代气息．
Beijing
August 20--28 2002
这是与赵爽同时代的刘徽对勾股定理的证明方法——出入相补法： 以勾为边的正方形称为朱方，以股为边的正方形称为青方，进行出 入相补法后拼为弦方。以面积公式可得勾股定理。
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美国第二十任总统伽菲尔德的证法
如图12：因为S梯形ABCD
1 2
(a
b)2
1 2
即(a b)2 c2 4 1 ab 2
c b
a2 2ab b2 c2 2ab
c a
a
b
图3
故a2 b2 c2
（4）学生用四个全等的非等腰直角三角形 拼成如图所示的图形，仿上题方法利用面积 关系可得到：
c b
a
图4
s s s 小正方形＋4 直角三角形= 大正方形
即(b a)2 4 1 ab c2 2
鼓励学生从代数表示联想到有关几何图形（代数式的 几何意义），由几何图形联想到有关的代数表示
勾股定理的文化价值
1、勾股定理具有十分悠久的历史，几乎所有的文明 古国（中国、埃及、巴比伦、印度等）对它都有研 究。因而，有些史学家将其作为人类最伟大的科学 发现之一，这并不过分。
2、我国古代的学者们对勾股定理的研究有许多重要 成就，不仅在很久以前独立地发现了勾股定理，而 且使用了许多巧妙的方法证明了它，尤其在勾股定 理的应用方面，对其他国家的影响很大，这些都是 我国人民对人类的重要贡献。
教材设计丰富的拼图活动，数学家、艺术 家、总统，通过了解中外证明勾股定理的不同 方法，开阔视野，丰富学生的想象。感受解决 同一问题的不同方法。
1、数方格的方法
A的面积是 B的面积是 C的面积是
9 个单位面积 9 个单位面积 18 个单位面积
2. 会运用勾股定理的逆定理判定直角三角形； 3．通过具体的例子，了解定理的含义，了解
逆命题、逆定理的概念，知道原命题成立 其逆命题不一定成立.
三、课时安排
本章教学时间约需7课时： 18．1勾股定理 18．2勾股定理的逆定理 数学活动 小结
3 课时 3课时
1课时
四、地位和作用
勾股定理是几何中几个最重要的定理 之一，它揭示了一个直角三角形三条边 之间的数量关系，它可以解决许多直角 三角形中的计算问题，是解直角三角形 的主要依据之一，在生产生活实际中用 途很大。它不仅在数学中，而且在其他 自然科学中也被广泛地应用。
观察图并填写下表：
A的面积 （单位面积）
B的面积 （单位面积）
C的面积 （单位面积）
图6-3
16
9
25
图6-4
4
9
13
（1）如图1，学生用四个全等的等腰直角三 角形拼成了一个以斜边为边长的正方形，教 师引导学生观察、思考正方形与四个直角三 角形的关系，启发学生 用“等 积”的方法 得到：
c aa
s s 4 直角三角形 = 大正方形
即1 a2 1 a2 1 a2 1 a2 c2 2222
故a2 a2 c2
图1
（2）将上图中的四个等腰直角三角形沿斜边 c向外翻转得到图2，由于面积不变，故仍可 直接得a出2 ：a2 c2
a ac ac
a
s s s 大正方形 = 小正方形＋4 直角三角形
勾股定理的由来
什么是“勾、股”呢？
在中国古代，人们把弯曲成直角的
手臂的上半部分称为"勾"，下半部分 称为"股"。我国古代学者把直角三角
勾
形较短的直角边称为“勾”，较长的 直角边称为“股”，斜边称为“弦”
股
勾股定理的证明
勾股定理的证明方法有很多种，这些方法不 仅证明了勾股定理，而且也丰富了研究问题的 思想和方法，促进了数学的发展.
ca
即(a a)2 c2 4 1 a2 2
4a2 c2 2a2
ca
2a2 c2
a
a
图2
故a2 a2 c2
（3）学生用四个全等的非等腰直角三角形 拼成如图所示的图形，教师引导学生观察、 思考，仿上题方法利用面积关系可得到：
b
a
s s s 大正方形 = 小正方形＋4 直角三角形
a
c
b
cБайду номын сангаас
一、内容内安容排安排
本章主要内容是勾股定理及其 逆定理。首先让学生通过观察得出 直角三角形两条直角边的平方和等 于斜边的平方的结论并加以证明， 从而得到勾股定理，然后运用勾股 定理解决问题。在此基础上，引入 勾股定理的逆定理，并结合此项内 容介绍逆命题、逆定理的概念。
二、学习目标
1. 体验勾股定理的探索过程，会运用勾股定 理解决简单问题；
3、在国外叫“毕达哥拉斯定理”。相传 公元前550年左右毕达哥拉斯发现这个 定理后欣喜若狂，宰了100头牛大肆庆 贺了许多天，因此这个定理也叫“百牛 定理”
4、目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星 球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如 地球上人类的语言、音乐、各种图形等。据说 我国著名数学家华罗庚曾建议，发射一种反映 勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人”， 那么他们一定会识别这种“语言”的。这个事 实可以说明勾股定理的重大意义，发现勾股定 理，尤其在2000多年前，是非常了不起的成 就。
(a 2
2ab b2）
又因为S梯形ABCD SABE S AED S CDE
D
1 ab 1 c2 1 ab
222
A cb
a
c
1 (c 2 2ab) 2
B
b
E a C 所以a 2 2ab b2 c 2 2ab
故a 2 b2 c2
什么样的数是勾股数
1、数学上把满足a2 +b2= c2的三个正整 数，称为勾股数。
五、教学建议
1、注重使学生经历探索勾股定理等的过程,发展学生的合 情推理能力。 2、注重创设丰富的情景使学生体会勾股定理及其逆定理 的广泛应用。
教师应能创造性地使用教材。 3、尽可能地体现勾股定理的文化价值。
鼓励学生阅读教科书提供的材料，并自己查阅更多的 材料了解与勾股定理有关的历史。 4、注意渗透形数结合的思想方法。
b2 2ab a2 2ab c2
故a2 b2 c2
中国古代方法（弦图）与世界数学家大会
International Congress of Mathematicians
ICM---2002
大会会标的中心图 案是中国古代数学 家证明勾股定理的 弦图，同时进行了 艺术加工，使其具 有了中国特色和鲜 明的时代气息．
Beijing
August 20--28 2002
这是与赵爽同时代的刘徽对勾股定理的证明方法——出入相补法： 以勾为边的正方形称为朱方，以股为边的正方形称为青方，进行出 入相补法后拼为弦方。以面积公式可得勾股定理。
返回
美国第二十任总统伽菲尔德的证法
如图12：因为S梯形ABCD
1 2
(a
b)2
1 2
即(a b)2 c2 4 1 ab 2
c b
a2 2ab b2 c2 2ab
c a
a
b
图3
故a2 b2 c2
（4）学生用四个全等的非等腰直角三角形 拼成如图所示的图形，仿上题方法利用面积 关系可得到：
c b
a
图4
s s s 小正方形＋4 直角三角形= 大正方形
即(b a)2 4 1 ab c2 2
鼓励学生从代数表示联想到有关几何图形（代数式的 几何意义），由几何图形联想到有关的代数表示
勾股定理的文化价值
1、勾股定理具有十分悠久的历史，几乎所有的文明 古国（中国、埃及、巴比伦、印度等）对它都有研 究。因而，有些史学家将其作为人类最伟大的科学 发现之一，这并不过分。
2、我国古代的学者们对勾股定理的研究有许多重要 成就，不仅在很久以前独立地发现了勾股定理，而 且使用了许多巧妙的方法证明了它，尤其在勾股定 理的应用方面，对其他国家的影响很大，这些都是 我国人民对人类的重要贡献。