材料力学第7章 弯曲变形
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Fl 3 Fl 3 Fl 3 2 EI 6 EI 3EI
7
wmax w x l
材料力学
出版社 科技分社
例题7.2：图示弯曲刚度为EI的简支梁，受集度为q的均布 荷载作用，试求梁的挠曲线方程和转角方程，并确定其最 大挠度和最大转角。 解：由平衡方程得支座反力 ql FA FB 2 建立坐标系，得梁的弯矩方程为 1 1 2 M x qlx qx 2 2 梁挠曲线近似微分方程
小变形梁可近似为 w f x 转角方程
2
材料力学
出版社 科技分社
7.2 梁的挠曲线近似微分方程 由纯弯曲梁的曲率与弯矩的关系： M x 1 1 M x EI EI
曲线曲率 计算公式
1 w 3 2 2 x 1 w
二次积分得挠曲线方程
dx Cx D EIw M x dx
C、D积分常数，由梁上已知的挠度或转角确定，这些 已知的挠度或转角称为边界条件。
4
材料力学
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以图示简支梁为例
x 0, wA w 0 0 x l, wB w l 0
w x 0 0， w x 0 0
C 0, D 0
Flx Fx 2 转角方程 w EI 2 EI
5
挠曲线方程
最大转角 最大挠度
Flx 2 Fx3 w 2 EI 6 EI
6
max
x l
Fl 2 Fl 2 Fl 2 EI 2 EI 2 EI
得积分常数
1 3 C ql ， D 0 24
9
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梁的转角方程
q w (4 x3 6lx 2 l 3 ) 24 EI
梁的挠曲线方程
(5)
qx w ( x3 2lx 2 l 3 ) 24 EI
最大转角
(6)
max
ql 3 A B 24 EI
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第七章 弯曲变形
材料力学
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§ 7.1 梁的弯曲变形 平面弯曲时，梁的轴线在纵向对称平面内弯曲成一条 平面曲线，这条曲线称为梁的挠曲线。横截面形心在 横向（沿y轴方向）的位移w称为挠度。 挠曲线方程或挠度方程：
w f x
梁的横截面与变形前横截面 的夹角 称为梁的转角。 dw tan f x dx
材料力学
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得梁AC段转角方程和挠曲线位移方程
Fb 2 1 2 2 1 w1 x l b 2lEI 3
Fbx 2 2 2 w1 x l b 6lEI
得梁CB段转角方程和挠曲线位移方程
2 w2 Fb 2lEI 1 2 2 2 2 l x x a l b b 3
M x w 3 2 2 EI 1 w
由曲率-弯矩 的符号关系： 小变形梁的近 似微分方程：
d w M x 2 dx EI
2
3
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§7.3 积分法求梁的位移
对于等截面直梁
EIw M x
一次积分得转角方程
EI EI w M x dx C
12
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由C点处的光滑连续条件：
x a w2 w1 w1
xa
xa xa
w2
C1 C2 , D1 D2
由梁的边界条件： w1 x0 0 , w2
D1 D2 0 ,
xl
0
Fb 2 2 C1 C2 l b 6l
13
(1)
1 2 1 EIw qx qlx 2 2
2
8
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两次积 分得：
1 3 1 EIw qx qlx 2 C 6 4 1 4 1 3 EIw qx qlx Cx D 24 12
(3) (4)
由简支梁的边界条件：
w x0 0， w xl 0
以图示悬臂梁为例
x 0,
wA w 0 0 A w 0 0
5
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例题7.1：图示一弯曲刚度为EI的悬臂梁，在自由端受一 集中力F的作用，试求梁的挠曲线方程和转角方程，并确 定其最大挠度和最大转角。 解：建立图示坐标系，弯矩方程为
M ( x) F l x
1
挠曲线近似微分方程
EIw M x F l x 2 两次积分，得 1 2 EIw Flx Fx C 2 1 1 3 2 EIw Flx Fx Cx D 2 6
3 4
6
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由悬臂梁的边界条件 得积分常数
Fb 弯矩方程： M 1 x x l 挠曲线近 Fb 似微分方 EIw1 x l 程：
积分一次： Fb 2 EIw1 x C1 2l 积分二次： Fb 3 EIw1 x C1 x D1 6l
11
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CB段（a x l）: 弯矩方程：
2
最大挠度
wmax w x l
5ql 4 384 EI
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例题7.3：图示弯曲刚度为EI的简支梁，在C点受集中力F 作用，试求梁的挠曲线方程和转角方程，并确定其最大挠 度和最大转角。
解：梁的两支座支反力
Fb FA l Fa FB l
AC段（0 x a）:
Fb M 2 x x F x a l
挠曲线近似微分方程：
Fb EIw2 x F x a l Fb 2 F 2 x x a C2 积分一次： EIw2 2l 2
积分二次：
Fb 3 F 3 EIw2 x x a C2 x D2 6l 6
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例题7.2：图示弯曲刚度为EI的简支梁，受集度为q的均布 荷载作用，试求梁的挠曲线方程和转角方程，并确定其最 大挠度和最大转角。 解：由平衡方程得支座反力 ql FA FB 2 建立坐标系，得梁的弯矩方程为 1 1 2 M x qlx qx 2 2 梁挠曲线近似微分方程
小变形梁可近似为 w f x 转角方程
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7.2 梁的挠曲线近似微分方程 由纯弯曲梁的曲率与弯矩的关系： M x 1 1 M x EI EI
曲线曲率 计算公式
1 w 3 2 2 x 1 w
二次积分得挠曲线方程
dx Cx D EIw M x dx
C、D积分常数，由梁上已知的挠度或转角确定，这些 已知的挠度或转角称为边界条件。
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以图示简支梁为例
x 0, wA w 0 0 x l, wB w l 0
w x 0 0， w x 0 0
C 0, D 0
Flx Fx 2 转角方程 w EI 2 EI
5
挠曲线方程
最大转角 最大挠度
Flx 2 Fx3 w 2 EI 6 EI
6
max
x l
Fl 2 Fl 2 Fl 2 EI 2 EI 2 EI
得积分常数
1 3 C ql ， D 0 24
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梁的转角方程
q w (4 x3 6lx 2 l 3 ) 24 EI
梁的挠曲线方程
(5)
qx w ( x3 2lx 2 l 3 ) 24 EI
最大转角
(6)
max
ql 3 A B 24 EI
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第七章 弯曲变形
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§ 7.1 梁的弯曲变形 平面弯曲时，梁的轴线在纵向对称平面内弯曲成一条 平面曲线，这条曲线称为梁的挠曲线。横截面形心在 横向（沿y轴方向）的位移w称为挠度。 挠曲线方程或挠度方程：
w f x
梁的横截面与变形前横截面 的夹角 称为梁的转角。 dw tan f x dx
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得梁AC段转角方程和挠曲线位移方程
Fb 2 1 2 2 1 w1 x l b 2lEI 3
Fbx 2 2 2 w1 x l b 6lEI
得梁CB段转角方程和挠曲线位移方程
2 w2 Fb 2lEI 1 2 2 2 2 l x x a l b b 3
M x w 3 2 2 EI 1 w
由曲率-弯矩 的符号关系： 小变形梁的近 似微分方程：
d w M x 2 dx EI
2
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§7.3 积分法求梁的位移
对于等截面直梁
EIw M x
一次积分得转角方程
EI EI w M x dx C
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由C点处的光滑连续条件：
x a w2 w1 w1
xa
xa xa
w2
C1 C2 , D1 D2
由梁的边界条件： w1 x0 0 , w2
D1 D2 0 ,
xl
0
Fb 2 2 C1 C2 l b 6l
13
(1)
1 2 1 EIw qx qlx 2 2
2
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两次积 分得：
1 3 1 EIw qx qlx 2 C 6 4 1 4 1 3 EIw qx qlx Cx D 24 12
(3) (4)
由简支梁的边界条件：
w x0 0， w xl 0
以图示悬臂梁为例
x 0,
wA w 0 0 A w 0 0
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例题7.1：图示一弯曲刚度为EI的悬臂梁，在自由端受一 集中力F的作用，试求梁的挠曲线方程和转角方程，并确 定其最大挠度和最大转角。 解：建立图示坐标系，弯矩方程为
M ( x) F l x
1
挠曲线近似微分方程
EIw M x F l x 2 两次积分，得 1 2 EIw Flx Fx C 2 1 1 3 2 EIw Flx Fx Cx D 2 6
3 4
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由悬臂梁的边界条件 得积分常数
Fb 弯矩方程： M 1 x x l 挠曲线近 Fb 似微分方 EIw1 x l 程：
积分一次： Fb 2 EIw1 x C1 2l 积分二次： Fb 3 EIw1 x C1 x D1 6l
11
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CB段（a x l）: 弯矩方程：
2
最大挠度
wmax w x l
5ql 4 384 EI
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例题7.3：图示弯曲刚度为EI的简支梁，在C点受集中力F 作用，试求梁的挠曲线方程和转角方程，并确定其最大挠 度和最大转角。
解：梁的两支座支反力
Fb FA l Fa FB l
AC段（0 x a）:
Fb M 2 x x F x a l
挠曲线近似微分方程：
Fb EIw2 x F x a l Fb 2 F 2 x x a C2 积分一次： EIw2 2l 2
积分二次：
Fb 3 F 3 EIw2 x x a C2 x D2 6l 6