立体几何综合训练

立体几何综合性训练一、单选题1．下列说法中不正确．．．的是( ) A ．圆柱的侧面展开图是一个矩形B ．直角三角形绕它的一条边所在直线旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥C ．圆锥中过轴的截面是一个等腰三角形D ．圆台中平行于底面的截面是圆面 2．下列命题中错误的是：（ ）A ．如果α⊥β，那么α内一定存在直线平行于平面β；B ．如果α⊥β，那么α内所有直线都垂直于平面β；C ．如果平面α不垂直平面β，那么α内一定不存在直线垂直于平面β；D ．如果α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l,那么l⊥γ.3．已知,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面．在下列条件中，可得出αβ⊥的是（ ）A ．,,//m n m n αβ⊥⊥B ．//,//,m n m n αβ⊥C ．,//,//m n m n αβ⊥D ．//,,m n m n αβ⊥⊥4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．103B ．3C ．83 D ．735．用一个平面去截正方体，则截面不可能是（ ） A ．直角三角形B ．等边三角形C ．正方形D ．正六边形6．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，12AA AB ==，1AD =，点,,E F G 分别是1DD ，AB ，1CC 的中点，则异面直线1A E 与GF 所成的角是A ．90oB ．60oC ．45oD ．30o7．已知点,E F 分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱1,AB AA 的中点，点,M N 分别是线段1D E 与1C F 上的点，则与平面ABCD 平行的直线MN 有（ ）条A ．0B ．1C ．2D ．无数个8．已知正三棱锥S ABC -的侧棱长为3底面边长为6，则该正三棱锥外接球的表面积是（ ） A ．16πB ．20πC ．32πD ．64π9．如图示，三棱锥P ABC -的底面ABC 是等腰直角三角形，90ACB ∠=︒，且2PA PB AB ==3PC =，则PC 与面PAB 所成角的正弦值等于（ ）A ．13B 6B ．C ．33D ．2310．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1BC 上的动点（不含端点），则下列结论错误的是（ ）A ．平面11D C P ⊥平面1C CPB ．三棱锥1A D DP -的体积为定值C ．11AD D P ⊥ D ．DP ⊥平面11D C P11．如图，棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1AB 的中点，,M N 分别为线段1AC 和 棱 11C D 上任意一点，则2PM +的最小值为（ ） A 2 B 2C ．1D 212．如图，四边形ABCD 为矩形，沿AB 将⊥ADC 翻折成'AD C V .设二面角'D AB C --的平面角为θ，直线'AD 与直线BC 所成角为1θ，直线'AD 与平面ABC 所成角为2θ，当θ为锐角时，有 A ．21θθθ≤≤ B ．21θθθ≤≤C ．12θθθ≤≤D ．21θθθ≤≤二、填空题13. 如图，边长为1的正方形''''D C B A 是在斜二测画法下所得图形，则原平面图形的面积为_________，周长为__________.14．如图，三棱锥S ABC -中，ABC ∆与SBC ∆均为等边三角形，且平面SBC ⊥平面ABC ，若4AB =，则三棱锥S ABC -的体积为__________________.15．如图所示，在直角梯形BCDF 中，90CBF BCE ∠=∠=o ，A 、D 分别是BF 、CE 上的点，//AD BC ，且22AB DE BC AF ===（如图⊥）.将四边形ADEF 沿AD 折起，连接BE 、BF 、CE （如图⊥）.在折起的过程中，则下列表述： ⊥//AC 平面BEF ；⊥四点B 、C 、E 、F 可能共面；⊥若EF CF ⊥，则平面ADEF ⊥平面ABCD ； 其中正确的是__________.16．已知点,,A B C 在半径为2的球面上，满足1AB AC ==，3BC =，若S 是球面上任意一点，则三棱锥S ABC -体积的最大值为____________. 三．解答题17. 在三棱柱中，平面，，且，平面． （1）证明：点是的中点； （2）证明：平面平面．111ABC A B C -1AA ⊥ABC 1AB BC AA ==2AC BC 1//AC 1B CD D AB 1ABC ⊥1B CD 1C 1B 1A ADBCFDCBA P18. 如图，直三棱柱111C B A ABC -，CB AC =，点M 是11B A 的中点. （1）求证：⊥M C 1平面11A ABB ； （2）求证：C B 1//平面M AC 1. （3）若︒=∠90ACB ，AC AA =1，1°求1AC 与平面B B AA 11所成角的大小；2°求二面角M AC A --11的余弦值19. 如图，平面SAB ⊥平面ABC ，ο90=∠=∠ABC SAB ，，点A 在SB 和SC 上的射影分别为N M 、，求证：SC MN ⊥．20．如图，四棱锥P ABCD -的底面是直角梯形，其中22,12AB DC AD ===，AD AB ⊥，顶点P 在底面ABCD 的射影落在线段AC 上，F 是PC 的中点.（1）求证：BF P 平面PAD ；（2）求证：平面PAC ⊥平面PDB ；（3）若1PA PC ==，求三棱锥P DBF -的体积。

MC 11A 1C五一作业（1）参考答案BBBAA ADDAD CB 13. 22，8 14．8 15．⊥⊥ 16323+ 9. 由题知ABC V 是等腰直角三角形且90ACB ∠=︒，ABP △是等边三角形， 设AB 中点为O ，连接PO ，CO ，可知6PO =，22CO =，同时易知AB PO ⊥，AB CO ⊥，所以AB ⊥面POC ，故POC ∠即为PC 与面PAB 所成角，有22222cos 2PO CO PC POC PO CO +-∠==⋅， 故1sin 1cos 3POC POC ∠=-∠=. 10．在正方体中，显然有11D C ⊥平面1C CP ，又11D C ⊂平面11D C P ， 所以平面11D C P ⊥平面1C CP ，故A 正确；三棱锥1A D DP -的体积满足11A D DP P D DA V V --=，因为P 到平面1D DA 的距离不变，1D DA △的面积不变，三棱锥1A D DP 一的体积为定值，故B 正确；在正方体中，显然有111A D D C ⊥，11A D BC ⊥，所以1A D ⊥平面11D C P ， 因为1D P ⊂平面11D C P ，所以11A D D P ⊥，故C 正确；若DP ⊥平面11D C P ，则1DP BC ^，结合1DC BC ⊥可得1BC ⊥平面DCP ，所以1BC CP ⊥，但1BC CP ⊥不是一直成立，故D 不正确.11．连接1C D ，过M 作1MH C D ⊥，连接HN ，过H 作111HH C D ⊥. 因为平面1AC D ⊥平面111CC D D C D =，1MH C D ⊥ 所以MH ⊥平面11CC D D .因为AD ⊥平面11CC D D ，所以//MH AD .所以11C HMH AD C D=.又因为11//HH DD ，所以1111HH C HDD C D=. 即11HH MH AD DD =. 因为1AD DD =，所以1MH HH =. 在RT MHN V 中，222MN MH HN =+.因为1HN HH ≥，所以2222212MH HN MH HH MH +≥+=.即222MN MH ≥，2MN MH ≥.所以212PM MN PM MH +≥+≥. 即2PM MN +的最小值为1 12. 设三棱锥D -ABC 是棱长为2的正四面体，取AB 中点E ，DC 中点M ，AC 中点M ，连结DE 、CE 、MN 、EN ，过D 作DO ⊥CE ，交CE 于O ，连结AO ，则12DEC DAO MNE ∠θ∠θ∠θ===，，， 413DE CE =-= ，DC =2，⊥1cos 3233θ==⨯⨯， 222341333AO CO CE ===-=，⊥2233323AO cos AD θ===， 取BC 中点E ，连结DE 、AE ，则DE ⊥BC ，AE ⊥BC ，又DE AE E ⋂=，⊥BC ⊥平面AED ，⊥190BC AD θ⊥∴=︒，． ⊥21θθθ≤≤．故选：B ．15. 对于命题⊥，连接AC 、BD 交于点M ，取BE 的中点M 、N ，连接MN 、FN ， 如图所示：则12AF DE =且//AF DE ，四边形ABCD 是矩形，且AC BD M =I ，M ∴为BD 的中点，N Q 为BE 的中点，//MN DE ∴且12MN DE =，//MN AF ∴且MN AF =，∴四边形AFNM 为平行四边形，//AM FN ∴，即//AC FN ，AC ⊄Q 平面BEF ，FN ⊂平面BEF ，//AC ∴平面BEF ，命题⊥正确；对于命题⊥，//BC AD Q ，BC ⊄平面ADEF ，AD ⊂平面ADEF ，//BC ∴平面ADEF ， 若四点B 、C 、E 、F 共面，则这四点可确定平面α，则BC α⊂，平面αI 平面ADEF EF =，由线面平行的性质定理可得//BC EF ，则//EF AD ，但四边形ADEF 为梯形且AD 、EF 为两腰，AD 与EF 相交，矛盾. 所以，命题⊥错误；对于命题⊥，连接DF 、CF ，设AD AF a ==，则2DE a =， 在Rt ADF ∆中，AD AF a ==，2DAF π∠=，则ADF ∆为等腰直角三角形，且4AFD ADF π∠=∠=，2DF a =，4EDF π∴∠=，且2DE a =，由余弦定理得22222cos 2EF DE DF DE DF EDF a =+-⋅∠=，222DF EF DE ∴+=，DF EF ∴⊥，又EF CF ⊥Q ，DF CF F =I ，EF ∴⊥平面CDF ，CD ⊂Q 平面CDF ，CD EF ∴⊥，CD AD ⊥Q ，AD 、EF 为平面ADEF 内的两条相交直线，所以，CD ⊥平面ADEF ，CD ⊂Q 平面ABCD ，∴平面ADEF ⊥平面ABCD ，命题⊥正确；16．设ABC V 外接圆圆心为O '，三棱锥S ABC -外接球的球心为O ，1AB AC ==，设D 为BC 中点，连AD ，则AD BC ⊥，且O '在AD 上，221()22BC AD AB =-=， 设ABC V 外接圆半径为r ，222231()()()242BC r AD r r =+-=+-， 解得221,||23r OO r '=∴=-=要使S ABC -体积的最大，需S 到平面ABC 距离， 即S 为O O '32， 所以三棱锥S ABC -体积的最大值为11112)2)3322ABC S ⨯+=⨯⨯⨯=V故答案为：312+. 17. 略（easy ）18.（1）依题意有1111C B C A =，又M 为11B A 的中点所以⊥M C 111B A由题意知1AA ⊥平面111C B A ，⊂M C 1平面111C B A ， 所以⊥M C 11AA 而1111A AA B A =I 所以⊥M C 1平面11A ABB ；（2）连接C A 1交1AC 于O ，则O 为C A 1中点，连接MO ，因为M 为11B A 中点，则有C B MO 1// 而⊂MO 平面M AC 1，⊄C B 1平面M AC 1 所以C B 1//平面M AC 1. （3）设211=C A根据平面几何知识可得221111==B A MC 221=AC 由（1）知 ⊥M C 1平面11A ABB所以1AC 与平面11A ABB 所成角为AM C 1∠21sin 111==∠AC M C AM C所以1AC 与平面11A ABB 所成角为30°过点M 作MN 11C A ⊥于N ，又1AA ⊥平面111C B A 所以MN ⊥1AA所以MN ⊥平面11C AA所以MN ⊥1AC过点N 作NK ⊥1AC 于K ，连接MK所以1AC ⊥平面MKN所以1AC ⊥MK所以MKN ∠为所求二面角的平面角在直角三角形MKN 中，MN=1，NK=22=所以33cos ==∠MK NK MKN19：因为平面SAB ⊥平面ABC ，又平面SAB I 平面AB ABC =，SA AB ⊥，SA SAB 平面⊂……2分 所以⊥SA 面ABC ，……3分又⊂BC 平面ABC ，∴BC SA ⊥……4分∵ο90=∠B ，即BC AB ⊥，A SA BA =I ，……5分 ∴⊥BC 平面SAB ．……6分∵⊂AN 平面SAB ．∴AN BC ⊥．……7分又∵SB AN ⊥，……8分（射影的概念转化为垂直关系占1分） B BC SB =I ，∴⊥AN 平面SBC ．……9分 ∵⊂SC 平面SBC ，∴SC AN ⊥，……10分 又∵SC AM ⊥，A AN AM =I ， ∴⊥SC 平面AMN ．……11分∵⊂MN 平面AMN ．∴MN SC ⊥．……12分 20．解答：（1）取PD 中点E ，连结EA EF 、，∵E F 、分别是PD PC 、的中点，∴//EF DC ，又//DC AB ，且12EF DC AB ==， ∴//EF AB ，且EF AB =∴四边形EFBA 是平行四边形， ∴//AE BF ……1分 又∵AE PAD ⊂面，BF PAD ⊄面， ……2分 ∴EF P 平面PAD ……3分（2）顶点P 在底面ABCD 的射影落在线段AC 上，设为H ，则PH ABCD ⊥面 ∵BD ABCD ⊂面，∴PH BD ⊥ ……4分∵Rt ABD ∆中，2AB AD =， Rt DAC ∆中，2AD DC ==， ……5分 ∴Rt ABD ∆∽Rt DAC ∆，∴DAC ABD ∠=∠，故90ABD CAB ∠+∠=︒即AC BD ⊥又∵PH AC H =I ，PH AC PAC ⊂、面，∴BD PAC ⊥面 ……7分BD PBD ⊂面，∴PBD PAC ⊥面面 ……8分(3) ∵1PA PC ==，∴顶点P 在底面ABCD 的射影H 落在线段AC的中点上，且由AC ==12PH == ……9分 ∵F 分别是PC 的中点，∵F 到面PDB 的距离是C 到面PDB 的距离的12……10分 1122P DBF C PDB P DBC V V V ---==1111(1)2322=⨯⨯⨯24=……12分HO PABCDF。