部分分式展开法

部分分式展开法

若F(s)为的s有理分式，则可表示为

式中，a

i (i=0,1,2,...,n-1)、b

i

(i=0,1,2,...,m)均为实数。

若m≥n，则B(s)/A(s)为假分式。若m

若F(s)为假分式，可用多项式除法将F(s)分解为有理多项式与有理真分式之和，即

式中，c

i

(i=0,1,2,...,n-1)为实数。N(s)为有理多项式，其逆变换为冲激函数及其一阶到阶m-n导数之和。

D(s)/A(s)为有理真分式，可展开为部分分式后求逆变换。例如，

则 f(t)=

￡-1[F(s)]=

若F(s)=B(s)/A(s)为有理真分式，可直接展开为部分分式后求逆变换。要把F(s)展开为部分分式，必须先求出A(s)=0的根。因为A(s)为s的n次多项

式，所以A(s)=0有n个根s

i (i=1,2,...n)。s

i

可能为单根，也可能为重根；可能

为实根，也可能为复根。s

i

又称为F(s)的极点。F(s)展开为部分分式的具体情况取决于的上述性质。

本书附录A中介绍了关于有理真分式的部分是展开法，下面将应用部分分式展开法求拉普拉斯逆变换的几种情况归纳如下：

F(s)仅有单极点

若A(s)=0仅有n个单根，则根据附录A中式(A-2)，无论s

i

是实根还是复根，都可将F(s)展开为

(1)

式中，各部分分式项的系数K

i

为

(2)

由

于

故F(s)单边拉普拉斯逆变换可表示为

f(t)=-1[F(s)]=

(3)

一，单极点的情况

【例1】已知，求F(s)的单边拉氏逆变换（原函数）f(t)。

解 F(s)的分母多项式A(s)=0的两个根分别为s

1=-2,s

2

=-3。因此，F(s)

的部分分式展开为

由式(4.3-2)求K

1和K

2

，得:

所以， 3

2

23)(+-

+=s s s F 于是得 f(t)=

￡-1[F(s)]=(3e -2t -2e -3t )ε(t)

二，重极点的情况

【例2】已知，求的单边拉氏逆变换。

解 F(s)有二重极点s=-1和单极点s=-3。因此，F(s)可展开为

由式(4.3-5)和式(4.3-2)得：

于是

得

根据式(4.3-4)和式(4.3-6)可得

f(t)=￡-1[F(s)]=(te -t +e -t -e -3t )ε(t)

再看一般情况

1121)1(111121111)()()()()

(p s k p s k p s k p s k p s s A k k k k k -+

-++-+-=---

求k 11，方法同第一种情况：

1

1

)

()()(1111p s k p s s F p s s F k ==-==

求其它系数，用下式

k i s F ds d i k p

s i i i ,3,2,1 )()!1(11

1

111=-==--

注意：k 次重根，要设k 项

当

1

1212, ()s p d

i K F s ds

===

当1

2

131

213, ()2s p d i K F s ds ===

【例3】已知

31

()(2)(1)F s s s =

++，求其逆变换。

解：

2)1()1()1()1)(2(1

21132123113++

+++++=++s K s K s K s K s s

1

)2(121 11

2

1

1211-=+-=

+=

=-=-=s s s ds

s d

K K

2

212

11

2

2

13=+=-=s ds s d K

1

)1(12

3

2-=+=

-=s s K

)

()(2)()(21

)(22t u e t u e t u te t u e t t f t t t t -----+-=

三，复数极点的情况

[例4]已知，求F(s)的单边拉斯逆变换f(t)。

解 F(s)可以表示为

F(s)有一对共轭单极点s 1,2=-2±j2，可展开为

根据式(4.3-2)求K 1、K 2 ,得:

于是

得