电力系统分析与控制试卷

一． 试比较P Q -分解法和极坐标形式Newton-Raphson 法两种潮流求解方法的异

同。

1）采用极坐标形式的Newton-Raphson 法，

节点电压课表示为(cos sin )i i i i i i V V V θθθ•

=∠=+ (cos sin )(sin cos )i i i ij ij ij ij j i i i i ij ij ij ij j i i j

P V V G B Q V V G B θθθθθθθ∈∈⎫=+⎪⎬=-⎪⎭

=-∑∑

ij θ为i 、j 两节点的电压的相角差，由于1n m --个PV 节点的电压幅值是给定的，平衡节点的n V ，n θ也是给定的，待求变量只有1n -个节点的电压相角121,,...,n θθθ-和m 个PQ 节点的电压幅值12,,...,m V V V 。对于每一个PQ 节点或者每一个PV 都可以列写有功不平衡方程式

(cos sin )0i is i is i i ij ij ij ij j i

P P P P V V G B θθ∈∆=-=-+=∑ (1,2,...,1)i n =-

对于PQ 还可以列写无功不平衡方程式

(sin cos )0i is i is i i ij ij ij ij j i

Q Q Q Q V V G B θθ∈∆=-=--=∑ (1,2,...,)i m =

修正方程式 /P H N Q M L V V θ∆∆⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥∆∆⎣⎦⎣⎦⎣⎦

其中 12n P P P P ∆⎡⎤⎢⎥∆⎢⎥∆=⎢⎥⎢⎥∆⎣⎦; 12n Q Q Q Q ∆⎡⎤⎢⎥∆⎢⎥∆=⎢⎥⎢⎥∆⎣⎦;12n θθθθ∆⎡⎤⎢⎥∆⎢⎥∆=⎢⎥⎢⎥∆⎣⎦；12n V V V V ∆⎡⎤⎢⎥∆⎢⎥∆=⎢⎥⎢⎥∆⎣⎦；12n V V V V ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎦⎣ 式中H 是(1)*(1)n n --阶方阵，其元素为i ij j

P H θ∂∆=∂；N 是(1)*n m -阶矩阵，其元素为i ij j

P N V ∂∆=∂；M 是*m （n-1）阶矩阵，其元素为i ij i j Q M V V ∂∆=∂；L 是*m m 阶矩阵，其元素为i ij i

j Q N V V ∂∆=∂。对功率不平衡方程式求偏导，得雅可比矩阵的元素如下：

当i j ≠时，(sin cos )(cos sin )(cos sin )(sin cos )ij i j ij ij ij ij ij i j ij ij ij ij ij i j ij ij ij ij ij

i j ij ij ij ij H VV G B N VV G B M VV

G B L VV G B θθθθθθθθ=--⎧⎪

=-+⎪⎨

=-⎪⎪=--⎩ 当i j =时，2222ij ii ii i ij ii ii i ij ii ii i ij ii ii i H V B Q N V G P M V B P L V B Q ⎫=+⎪=--⎪⎬=-⎪⎪=-⎭

极坐标形式修正方程式的数目为1n m -+个，雅可比矩阵各元素都是节点电压的函数，其数值在迭代过程中将不断改变，矩阵中的非对角元素至于导纳中的对应元素ij Y 有关，矩阵的元素或者子块都不具备对称性。

2）P Q -分解潮流计算法

在交流高压输电线路中，输电线路等元件的点抗要比电阻大得多，有功功率的变化主要取决于电压相角的变化，无功功率的变化主要取决于电压幅值的变化，所以可以简化牛

顿潮流算法的修正方程式如下：/P Q V V θ∆∆⎡⎤⎡⎤=-⎢⎥⎢⎥∆∆⎣⎦⎣⎦

，这样将原来的1n m -+阶方程式分解为一个1n -阶和一个m 阶的方程式。

又因为线路两端的电压的相角差不大，cos 1,sin ij ij ij ij G B θθ≈<<

另外，与系统个节点的无功功率相对应的导纳2/i i Q V 通常远小于该节点的自导纳的虚部

ii B ，即2ij i ii Q V B <<。于是矩阵H 和L 各元素的表达式可简化为：

ij i j ij H VV B = (,1,2,...,1)i j n =-

ij i j ij L VV B = (,1,2,...,)i j m =

系数矩阵H 和L 可表示为'H VBV = ''L VB V =

V 是各节点电压幅值组成的对角阵，由于PV 节点的存在，'B 及''B 的阶数不同，分别为1n -阶和m 阶。P Q -分解法的修正方程式为

'/()P V B V θ∆=-∆

''/Q V B V ∆=-∆

通过进一步的简化，修正方程式中的系数矩阵'B 和''B 由节点矩阵的虚部构成，从而是

常对数对称矩阵，其区别只是阶数不同，矩阵'B 为1n -阶，不含平衡节点对应的行和列，矩阵''B 是m 阶的，不含平衡节点和PV 节点所对应的行和列。

牛顿法在开始的收敛速度比较慢，当收敛到一定程度后，收敛速度就非常快，而P Q -分解法几乎是按照同一速度收敛的。

二．何谓病态潮流问题如何用最优乘子牛顿潮流算法解决

病态潮流：对潮流方程修正方程式的求解，雅可比（Jacobi ）矩阵条件数大（小的参数误差可能引起解的失真），就会出现无解或者难以收敛的情况。实际中，如重负荷系统、具有梳子庄放射结构的系统以及具有临近多根运行条件的系统等，会往往出现计算过程振荡甚至不收敛的现象。

将潮流计算问题概括为求解如下的非线性代数方程组

()()0i i i f x g x b =-= (1,2,...,)i n =或者()0f x =

式中x 为待求变量组成的n 维向量，12[,,...],T n x x x x =i b 为给定的常量。可以构造标量函数为：2

211()()[()]n n i i i

i i F x f x g x b ====-∑∑

或者()[()]()T F x f x f x =如果非线性代数方程组的解存在，则()F x 的最小值应该为0。如果最小值不能为0，则说明方程组无解。这样就把求解代数方程组变为求

****12[,,...,]T n x x x x =使*()F x 最小的问题。

求出目标函数()F x 的极小值

（1）确定一个初始估计值(0)x ；

（2）置迭代次数0k =;

（3）从()k x 出发，确定搜俗方向()k x ∆，利用常规牛顿潮流算法每次迭代所求的的修正量()()1()()()k k k x J x f x -∆=-为搜所方向，并称之为目标函数在()k x ∆处的牛顿方向。

（4）(1)()()()k k k k x x x μ+=+∆，μ为步长因子。确定最优步长因子

由(1)(1)()*()()()()()()()min ()k k k k k k k k F F x F x x F x x μ

μμ++==+∆=+∆可知，对一定的()k x ∆，目标函数(1)()k F x +是步长因子()k μ的一个一元函数(1)()()()()()()()k k k k k F x F x x μφμ+=+∆= 对上式求导，(1)()()()()0k k k k dF d d d φμμμ

+==，可以求的最优步长因子