多自由的耦合振动
第六讲--多自由度系统振动-2
解： 1）求柔度系数
m
31
k/5
m
21
k/3
P=1
2m k
11
32 4
P=1
22 4 12
P=1
33 9
23 4 13
11 1/ k 21 31 11
22
1 k
1 k /3
4
22
1 k
1 k/3
1 9
k /5
3.3.1 柔度法
1 1 1
柔度矩阵: [ ] 1 4 4
1 4 9
2）求频率
2 0 0
质量矩阵: [M] m 0 1 0
0 0 1
由频率方程: M I 0
2 1 1 m 2 4 4 0 ,
2 4 9
展开式为： 3 15 2 42 30 0
1 m m2
方程三个根为: 1 11.601 2 2.246 3 1.151
三个频率为:
1 0.2936
k m
4Y
4 4
3.4.1 主振型矩阵与正则坐标
（2）正则坐标 任意一个质点的位移 y 都可按主振型来组合：
y1 1Y11 2Y12 3Y13 y2 1Y21 2Y22 3Y23
yi 1Yi1 2Yi2 3Yi3
yn 1Yn1 2Yn2 3Yn3
nY1n nY2n
y1
y2
Y1 Y121
Y YYY132111
Y2 1
Y2 2
Y32
Y3 1
Y3 2
Y33
Y14 Y4
2
Y34
Y41
Y2 4
Y3 4
Y44
主 振
型 矩 阵
第一振型
1
机械振动知识点
机械振动知识点引言：机械振动是工程学中一个重要的研究领域，涉及到许多基础概念和技术。
在现代工程中，机械振动的理论和应用广泛存在于各个行业，为我们理解和应对振动问题提供了重要的参考。
本文将探讨机械振动的一些基本概念和相关知识点。
一、振动的定义和分类机械振动是指物体在受到外力作用后，发生周期性的来回运动。
振动可以分为自由振动和受迫振动两种形式。
自由振动是指系统在无外力作用下的振动，主要受到初始条件的影响。
受迫振动则是在外力作用下发生的振动，外力可能是周期性的或非周期性的，对物体的振动状态有影响。
二、振动的参数和描述方法了解机械振动的参数和描述方法对于研究和分析振动问题至关重要。
常见的振动参数包括振幅、周期、频率和相位等。
振幅是指物体在振动过程中达到的最大位移距离；周期是指物体完成一个完整振动周期所用的时间；频率是指单位时间内振动完成的周期数；相位表示物体当前位置相对于某一特定位置的相对位置关系。
通过这些参数的描述，我们能够更加准确地刻画振动的特征和性质。
三、单自由度系统的振动在机械振动研究中，单自由度系统是最基本的模型。
它是指一个物体在沿一个特定方向上的振动，如弹簧和质点的振动。
对于单自由度系统，可以通过求解微分方程来获得振动的解析解，进一步揭示振动的特性和规律。
其中，阻尼和劲度是单自由度振动最关键的参数，影响着振动的衰减和频率等特性。
四、多自由度系统的振动除了单自由度系统，还存在着多自由度系统的振动。
这类系统包含有多个振动部件，相互之间有耦合关系，振动会以不同的模态和频率发生。
因此，研究多自由度系统的振动需要考虑更多的因素和参数。
通过模态分析和矩阵计算等方法，我们可以得到多自由度系统的共振频率、模态形式和振动特性等信息。
五、振动控制和减振对于某些工程应用来说，振动可能是不可避免的，但我们可以采取一些措施来控制和减小振动的影响。
振动控制技术包括主动控制、被动控制和半主动控制等，通过对系统施加合适的力或刚度，可以改变振动的状态和特性。
汽车振动基础第4章-多自由度(定稿)
k11 k1 x1 k2 x1 k1 k2
k21 k12 k2 x1 k2
k22 k2 x2 k3 x2 k2 k3
j2
k31 k13 0
k32 k23 k3 x2 k3
0 k1 k 2 k 2 K k 2 k 2 k3 k3 0 k3 k3
– 拉格朗日法
• 方程的形式
广义坐标
qi (i 1, 2,3,, n)
T：系统的总动能
d T T ( ) Qi 0 dt qi qi
i 1, 2,3, , n
对应于第i个广义 坐标的广义力
– 保守系统
» 系统作用的主动力仅为势力 Qi
d T T U ( ) 0 dt qi qi qi
m2 m22 m3 4
④柔度矩阵的影响系数法
F ij
柔度影响系数 ij 的意义是在第j个坐标上施加单位力作用时，在第i个坐 标上引起的位移。 例题4-8 用影响系数法求图示系统的柔度矩阵
11 F 21 31
12 22 32
13 23 33
也可写成 其中
或
或
MX KX 0
力方程 位移方程
K 1MX X 0
m x 0 或 x
称为柔度，而
FMX X 0
1 称为柔度矩阵
1 k
FK
②刚度矩阵的影响系数法
K kij
刚度影响系数 k 的意义是使系统的第j个坐标产生单位位移，而其它的 ij 坐标位移为零时，在第i个坐标上所施加的作用力的大小。
仅代表外部激励 广义力
第六讲 多自由度振动系统-拉格朗日与影响系数法
m1
x 1 k1 k2 k m2 x2 2
k2 x1 0 x 0 k3 k 2 2
拉格朗日法是建立微分方程一种简单的 方法：先求出系统的动能、势能，进而 得出质量矩阵和刚度矩阵 优点：系统的动能和势能都是标量，无需 考虑力的方向。
L L m11 k1 x1 k2 ( x1 x2 ) 0 x x1 x1 L L m2 2 k2 ( x2 x1 ) k3 x3 0 x x2 x2
L L m11 k1 x1 k2 ( x1 x2 ) 0 x x1 x1 L L m2 2 k2 ( x2 x1 ) k3 x3 0 x x2 x2
x [ x1 x j 1
xj
x j 1 xn ]T
T
0 0 1 0 0
Kx P , x 0 0 1 0 0
T
k11 k 21 P kn1
k1 j k2 j knj
0 k1n k1 j 0 k k2 n 2 j 1 0 knn knj 0
[0 0 1] x
T
T
m22 1
m32 0
m13 0,
m23 0
m33 1
因此，质量矩阵为：
运动微分方程为：
m1 0 0
0 m2 0
0 0 m3
k2 k 2 k3 k3 0 x1 0 k3 x2 0 k3 x3 0
多自由度振动系统的动力学模型构建
多自由度振动系统的动力学模型构建引言：多自由度振动系统是指由多个自由度的质点组成的系统，在这样的系统中，每个自由度都可以独立地进行运动。
动力学模型的构建是研究和理解振动系统行为的基础。
本文将介绍多自由度振动系统动力学模型的构建方法及应用。
一、质点模型多自由度振动系统的最基本组成单位是质点。
质点的运动可以用坐标形式以及质点的质量、刚性等参数来描述。
对于一个有n个自由度的振动系统，可以通过将每个自由度的质点模型相连接构成整个系统。
二、约束关系与广义坐标在多自由度振动系统中，质点之间相互约束，其运动不再是自由的，而是受到约束的影响。
为了描述约束关系，引入广义坐标来表示系统各个自由度的相对运动。
广义坐标是将实际坐标通过约束条件变换得到的坐标表示。
三、拉格朗日方程与振动方程拉格朗日方程是多自由度振动系统的基本动力学方程。
通过对系统的动能和势能进行推导和求导，可以得到描述系统运动的拉格朗日方程。
对于振动系统而言，通过求解拉格朗日方程，可以得到系统的振动方程，进一步描述系统的运动行为。
四、模态分析与特征频率模态分析是研究振动系统固有特性的方法。
对于多自由度振动系统，可以通过模态分析得到系统的固有模态和特征频率。
固有模态是指系统在自由振动时，各个自由度的振动模式。
特征频率是指系统在不同固有模态下的振动频率。
五、系统的耦合与动态响应多自由度振动系统中的各个质点之间存在耦合关系，一个自由度的振动会对其他自由度的振动产生影响。
通过研究系统的耦合关系，可以得到系统的动态响应。
动态响应是指系统对外界激励的响应行为，可以通过求解振动方程得到。
六、应用案例：建筑结构振动多自由度振动系统的应用广泛，尤其在建筑结构的振动研究中起到了重要作用。
通过对建筑结构的多自由度振动系统进行建模和分析，可以评估结构的稳定性、抗震性能等。
振动模型的构建和分析可以提供设计和改进建筑结构的依据。
结论：多自由度振动系统的动力学模型构建是研究振动系统行为的关键步骤。
振动模式的耦合与解耦
耦合-振动模式的耦合与解耦耦合是指两个振动模态在某一振动模态下（或在某一广义坐标方向上）的振动输入，导致另一振动模态下（或另一广义坐标方向上）的响应。
使耦合分离称为解耦。
解耦的目的是使各个自由度上（即各振动模态）的振动相对独立或分离，这样可对隔振效果不佳的自由度独立采取措施而不影响其他自由度方向上的有关性能。
当各自由度独立后，可能产生共振的频率比存在耦合时要小，特别在激振能量大的方向上要保证解耦。
什么是3C产品3C认证就是是中国强制性产品认证的简称。
对强制性产品认证的法律依据、实施强制性产品认证的产品范围、强制性产品认证标志的使用、强制性产品认证的监督管理等作了统一的规定。
主要内容概括起来有以下几个方面：（一）按照世贸有关协议和国际通行规则，国家依法对涉及人类健康安全、动植物生命安全和健康，以及环境保护和公共安全的产品实行统一的强制性产品认证制度。
国家认证认可监督管理委员会统一负责国家强制性产品认证制度的管理和组织实施工作。
（二）国家强制性产品认证制度的主要特点是，国家公布统一的目录，确定统一适用的国家标准、技术规则和实施程序，制定统一的标志标识，规定统一的收费标准。
凡列入强制性产品认证目录内的产品，必须经国家指定的认证机构认证合格，取得相关证书并加施认证标志后，方能出厂、进口、销售和在经营服务场所使用。
（三）根据我国入世承诺和体现国民待遇的原则，原来两种制度覆盖的产品有138种，此次公布的《目录》删去了原来列入强制性认证管理的医用超声诊断和治疗设备等16种产品，增加了建筑用安全玻璃等10种产品，实际列入《目录》的强制性认证产品共有132种。
（四）国家对强制性产品认证使用统一的标志。
新的国家强制性认证标志名称为"中国强制认证"，英文名称为"China Compulsory Certification"，英文缩写可简称为"3C"标志。
中国强制认证标志实施以后，将取代原实行的"长城"标志和"CCIB"标志。
机械振动中等效质量与系统振动模态的耦合特性
机械振动中等效质量与系统振动模态的耦合特性机械振动是工程中常见的一种现象，研究机械振动中等效质量与系统振动模态的耦合特性对于确保机械系统正常运行和提高系统工作效率至关重要。
本文将从机械振动的基础知识入手，阐述等效质量与系统振动模态的耦合特性以及其在实际工程中的应用。
一、机械振动的基础知识机械振动指的是机械系统在受到外力或激励作用下发生的周期性或非周期性的运动。
机械振动可以分为自由振动和强迫振动两种情况。
自由振动是指机械系统在受到一定初态扰动后，无外力作用下的振动；而强迫振动则是指机械系统在外力或激励作用下发生的振动。
机械振动的研究需要建立数学模型来描述振动系统的运动规律。
常见的机械振动模型有单自由度振动模型和多自由度振动模型。
单自由度振动模型假设机械系统仅有一个自由度参与振动，多自由度振动模型则考虑了系统中多个自由度的相互作用。
二、等效质量与振动模态的耦合特性等效质量是指机械系统振动模态特性的量化指标，也称为模态质量或模态阻尼。
等效质量与系统振动模态密切相关，可以通过模态分析方法进行计算和求解。
机械系统振动模态的耦合特性是指不同振动模态之间的相互影响和耦合程度。
在实际系统中，不同模态之间通常会存在耦合，导致模态形状和振动频率的改变。
等效质量与系统振动模态的耦合特性可以通过模态分析方法进行研究。
在机械系统中，等效质量与振动模态的耦合特性主要表现为以下几个方面：1. 模态质量与振动频率的关系：等效质量与振动频率之间存在较强的相关性。
高频率的振动模态往往对应较小的等效质量，而低频率的振动模态则对应较大的等效质量。
2. 模态形状与等效质量的关系：不同振动模态的形状与等效质量密切相关。
具有相似振动形态的模态往往具有相似的等效质量。
3. 振动模态耦合的影响：不同振动模态之间的耦合会影响系统的振动行为。
耦合程度较大的模态之间会相互影响，导致振动形态和振动频率的改变。
三、等效质量与振动模态的应用等效质量与振动模态的耦合特性在实际工程中具有重要的应用价值。
振动模式的耦合与非线性振动
的；在大振幅下，等效阻尼是正的；在某个中间的振幅, 相应的等效阻尼为零,与此相应，存在一个定常周期振 动，称为自激振动，简称自振。这种振动是孤立的，其 幅值变化和周期仅取决于系统参量，在一定范围内与初 始状态无关。 弱非线性系统的自振是接近于谐和 的；强非线性系统的自振则是远离谐和的。后者在振动 中，缓慢地积累能量的过程与几乎是瞬时地释放能量的 过程在交替进行，因而形象地称为张弛振动。振动的图 像见图2，图中x为位移，t为时间。 跳跃现象 非线性系统的振幅 (A)对谐和外扰频率(ω)的曲线可 有几个分支,缓慢地变动扰动频率，可在某些频率出现 振幅的突变现象。和线性系统不同，描述非线性系统的 微分方程，在同一组参量下可能有多个周期解；而只有 那些满足稳定性条件的解，才对应有物理上可实现的运 动。在非线性系统中，运动的多样性和稳定性不可忽
视。 具有非线性恢复力的系统在谐和外扰作用下 的定常响应曲线，往往在某些频带上有几个分支（图 3）；因而对应于同一个扰频，可以有几个不同幅值的 稳定的定常受迫振动。若扰力的幅值保持不变，而其频 率缓慢地改变，则当扰频变到某些值,例如图3中的ω1与 ω2处，两个定态振动之间就发生跳跃现象：当扰频单 调上升至ω2处时，从3跳到4；当扰频单调下降到ω1处 时,从6跳到2。因此,跳跃现象又称振动回滞。如保持扰 频不变，而缓慢地改变扰力幅度，也可能出现类似的跳 跃现象。 亚谐共振 干扰力作用于非线性系统所激发的频率比干扰频率 低整数倍的大幅度振动。固有频率为ωn≈ω/n(n为正整 数)。对线性系统，在频率为ω 的谐和外扰作用下,只能 产生频率为ω的定常受迫振动。但具有非线性恢复力且 固有频率接近于ωn的系统,在受到频率为ω的谐和外扰 时，有可能产生频率为ω/n的定常受迫振动,称为
干扰力频率接近自振系统固有频率到一定程度时，所激 起的振动中只包含干扰力频率而自振频率被俘获的现象 称为同步。同步现象已应用于振荡器的稳频以及振动机 械的同步激振。近年来发现，在非线性系统中还会出现 貌似随机而对初始条件极为敏感的运动，称为混沌。上 述现象都无法用线性理论加以解释。机械和结构的自激 振动 、亚谐共振等一般都能造成危害，必须防止。另 一方面，自激振动、同步等现象也在物理学和工程技术 中得到应用。 编辑本段非线性特征 了解非线性振动的一些典型特征，对非线性问题的 处理以及非线性振动理论的应用，都会有所启发。 固有频率特性 非线性振动 线性系统的固有频率不依赖于运动的初始条件，而只与 系统的参量(质量与刚度)有关。非线性振动系统则不然。 由于刚度随变形大小而变化，因而系统的固有频率也随 运动幅度大小而变化。刚度随变形增大而增大的弹簧
第1章多自由度系统的固有振动特性
2
项，此时质量阵不能保证正定。即可以找到这样的一个位移向量使上式成立。
3.刚度矩阵的物理意义 势能
1t〜
au
u二{u} [ K ]{ u}_ 0
kijkji
(1-4)
2
ouicuj
(1)刚度矩阵反映了系统的势能
(2)刚度矩阵是半正定的(刚体位移对应的势能为零)
(3)刚度矩阵是对称的
(3)原系统任意两个相邻特征值之间必有一个新系统的特征值
(4)新系统任意两个相邻特征值之间必有一个原系统的特征值
(5)由有限元法给出的解是精确解的上界， 有限元的基本思想就是把一个 无穷维的问题“约束”为有限维。从而使频率提高。
(6)由瑞利假设模态法给出的解是精确解的上界，因为假设模态相当于对 结构增加约束得到的变形模态，从而使特征值增加。
1.瑞利法
(1)瑞利原理：
结构振动分析中，为了估计基频所使用的瑞利原理， 通常是对无阻尼系
(2)瑞利商R
11
Tmax2{X}T[M]{X}，Umax{ X }?[ K ]{ X }(1一52)
22
2.与粘性阻尼有关的几个基本概念
(1)刚度型阻尼和质量型阻尼
若:-0，1 =0，则［Cm］「［M ］称为质量型阻尼
若U0，：•=0，则［Ck］二■:［K］称为刚度型阻尼 对质量型阻尼，模态阻尼比 ：与’成反比；对刚度型阻尼, 与.r成正比。
定义振动位移响应的相邻两振幅之比
匕=_A^=e§Tdr
AsHr
©i=蛍j称国
i©j为重频，但相应有两个模态。
(8)
密频或近频：
i式j,«i
d通常当Oi-Oj<10-时，可以称为密频
自由振动方程的解耦
8
引入如下的模态坐标{q} 和非奇异变换矩阵[Φ ],
模态系数
9
10
取变换
11
⎧ q1 ⎫
⎡ φ11 φ12
{q}
=
⎪⎪ ⎨
q2
⎪
⎪⎩qN
⎪⎪ ⎬ ⎪ ⎪⎭
,[Φ
]
=
⎢ ⎢
φ21
⎢
⎣⎢φN1
φ22 φN 2
{x} = [Φ ]{q}
φ1N ⎤
φ2 N
⎥ ⎥
⎥
φNN
⎥ ⎦
系数矩阵对称，才 有可能解耦
(4.2)
⎡M1 0
0⎤
⎡K1 0
0⎤
18
[M ]P
=
⎢ ⎢ ⎢
0
M2
0
⎥
⎥ ⎥
,
[
K
]P
=
⎢ ⎢ ⎢
0
K2
0
⎥ ⎥
⎥
(4.6)
⎢ ⎣
0
0
M
N
⎥ ⎦
⎢ ⎣
0
0
K
N
⎥ ⎦
19
如果选择的[Φ ]满足了(4.4)关系, 那么可实现动力解耦，但是未必能保证(4.5)
20 式的静力耦合。另一方面, 仅由(4.4)的关系也无法唯一确定[Φ ]。因为[Φ ]本身有
1
自由振动方程的解耦
2 方程解耦
3
不论采用那一种方法，对无阻尼线性系统或系统作微幅振动，最后都得到如
4 下的振动微分方程组
5
[M ]{x}+ [K ]{x} = {0}
(4.1)
6 其中[M ]和[K ] 都是对称的 N × N 矩阵, 下一步就是要求解该方程。我们仍设法通
振动力学(两自由度系统和多自由度系统)
2
振动理论及应用
第3章 多自由度系统的振动
3.1 两自由度系统的振动方程 ——刚度矩阵和质量矩阵
建立运动微分方程的方法和单自由度系统基本一样, 但难 度更大。
3.1.1 运动微分方程
标准的m-k-c系统，对每一质量利用牛顿定律得：
3
振动理论及应用
坐标原点仍取在静平衡位置
具体求解时，只假设j坐标处的位移为1，其它各坐标的位 移均为0。
7
振动理论及应用
5.2.3 惯性影响系数与质量矩阵
第3章 多自由度系统的振动
质量矩阵[M]中的元素称为惯性（质量）影响系数，其 mij的力学意义是：仅在j坐标处产生单位广义加速度，需在i坐 标处施加的广义力。
具体求解时，只假设j坐标处的加速度为1，其它各坐标的 加速度均为0。
2
x1 5 kx1 5 kx2
V x2
2 5
kx1
1 5
kx2
26
振动理论及应用
第3章 多自由度系统的振动
计算广义力，设只有x1处产生虚位移x1，则
Q1
cx1 x1 x1
cx1
同样设x2处产生虚位移x2，则
Q2
c 0
x2
0
代入拉格朗日方程即可。
27
振动理论及应用
第3章 多自由度系统的振动
5l 3
48EI
k12
l3 3EI
k22
1
求出各个刚度系数即组 成刚度矩阵[K]。
17
振动理论及应用
第3章 多自由度系统的振动
用拉格朗日方程 建立振动系统的运动微分方程
对于非标准的m-k-c多自由度振动系统，用传统的动力学 方法建立运动微分方程比较困难，更适合使用拉格郎日方程和 能量的方法。拉格郎日方程为：
振动系统的自由度和阻尼对振动的影响如何
振动系统的自由度和阻尼对振动的影响如何一、振动系统的自由度振动系统的自由度是指系统在空间中独立运动的数量。
在物理学中，一个自由度通常指的是一个物体在某个参考系下可以独立运动的程度。
对于振动系统来说，自由度决定了系统的复杂程度和可能的状态。
1.单自由度系统：指系统在空间中只能沿一个方向或一个轴进行振动。
例如，一根弹簧振子就是一个单自由度系统。
2.多自由度系统：指系统在空间中有多个方向或多个轴可以进行振动。
例如，一个弹簧-质量系统，如果它可以在三维空间中的任意方向振动，则它是一个三自由度系统。
二、阻尼对振动的影响阻尼是振动系统中能量耗散的机制，它会使振动的振幅逐渐减小，直至振动停止。
阻尼对振动的影响主要表现在以下几个方面：1.阻尼比：阻尼比是描述阻尼特性的一个参数，定义为阻尼力与恢复力的比值。
阻尼比越大，系统的振动衰减越快，振幅减小得越迅速。
2.阻尼对振动幅值的影响：在初始阶段，阻尼对振动幅值的影响较小，但随着振动时间的增加，阻尼作用逐渐明显，振幅逐渐减小。
3.阻尼对振动周期的影响：阻尼对振动周期没有直接影响，振动周期仅与系统的弹性特性和质量有关。
4.阻尼对振动稳定性的影响：适当的阻尼可以提高振动的稳定性，防止系统发生过度振动或共振。
然而，过大的阻尼可能会导致系统过早地停止振动，影响某些应用中的振动性能。
三、自由度和阻尼的相互作用自由度和阻尼的相互作用表现在以下几个方面：1.自由度越多，系统可能出现的振动状态越多，同时阻尼对振动的影响也越复杂。
2.在多自由度系统中，各个自由度之间的振动可能会相互耦合，使得系统的振动特性更加复杂。
3.阻尼的存在可能会影响自由度之间的耦合关系，从而改变系统的振动特性。
综上所述，振动系统的自由度和阻尼对振动的影响是多方面的，它们相互作用决定了系统的振动特性。
了解这些知识点有助于我们更好地分析和解决实际问题。
习题及方法：1.习题：一个单自由度弹簧振子在无阻尼状态下做简谐振动，其质量为m，弹簧常数为k，振动的初始位移为A。
自由度系统振动
03 自由度系统振动的特性分 析
固有频率与模态
固有频率
自由度系统振动的固有频率是指系统 在无外力作用下的振动频率，它决定 了系统振动的速度和幅度。
模态
模态是自由度系统振动的特定形式， 每个模态具有特定的固有频率和振动 形态。
阻尼与衰减
阻尼
阻尼是指自由度系统振动过程中能量的耗散，它使得振动逐 渐减弱并最终停止。
被动控制优点
被动控制具有结构简单、成本低、可靠性高等优点。它不 需要外部能源，因此节能且易于维护。
被动控制原理
被动控制通过增加系统的阻尼或改变系统刚度来减小振动 。这通常涉及使用特殊的阻尼材料或结构优化设计。
被动控制限制
被动控制的振动抑制能力相对较低，且其性能受限于所使 用的阻尼材料和结构。此外，它的响应速度较慢，可能无 法适应快速变化的振动环境。
VS
详细描述
在机械工程领域，自由度系统振动理论被 广泛应用于减震降噪。通过对机械设备进 行动力学分析和优化设计，可以有效降低 运转过程中产生的振动和噪音，提高设备 的稳定性和可靠性，延长使用寿命。
航空航天中的振动隔离
总结词
在航空航天领域，自由度系统振动理论用于 实现振动隔离，确保航天器和飞行器的安全 性和稳定性。
制造业
机床、生产线等制造业设备的 机械系统需要进行自由度系统 振动分析，以提高生产效率和
产品质量。
02 自由度系统振动的基本原 理
牛顿第二定律
总结词
描述物体运动状态变化与作用力之间关系的定律。
详细描述
牛顿第二定律指出，物体运动状态的变化与作用力成正比，加速度的大小与作 用力成正比，方向与作用力相同。在振动问题中，牛顿第二定律用于描述系统 受到的力与产生的加速度之间的关系。
车辆动力总成悬置系统振动耦合及解耦理论详解
动力总成悬置系统振动耦合及解耦理论详解动力总成悬置系统作为汽车振动系统的一个重要子系统，其振动的传递特性对汽车的NVH性能有很大影响。
多自由度振动中的耦合振动扩大了引起共振的频率范围，增加了振动的响应方向，不利于控制系统的振动,因此谈到悬置系统设计都绕不过解耦的问题，这篇文章就来详细介绍一下这两个概念。
耦合是指两个振动模态在某一振动模态下（或在某一广义坐标方向上）的振动输入，导致另一振动模态下（或另一广义坐标方向上）的响应。
使耦合分离称为解耦。
解耦的目的是使各个自由度上（即各振动模态）的振动相对独立或分离，这样可对隔振效果不佳的自由度独立采取措施而不影响其他自由度方向上的有关性能。
当各自由度独立后，可能产生共振的频率比存在耦合时要小，特别在激振能量大的方向上要保证解耦。
振动耦合不利于隔振，因为两个耦合振动的模态可能产生相互激励，导致振动放大，并使某些自由度的振动频带变宽，从而使隔振性能下降。
例如四缸发动机在怠速工况下产生的扭矩波动可能同时激起动力总成俯仰(Pitch)和垂向（Z）振动，这将导致车身振动增加，并且俯仰(Pitch)运动(Pitch)又可能和其它刚体运动模态相互耦合，从而引发车身振动变形，造成整车噪声增大、舒适性变差、零部件早期损坏等现象。
对于动力总成悬置系统来说，耦合振动可以在多个自由度之间发生，如果在合理的位置和方向上布置动力总成悬置以及设计合适的悬置系统的刚度可以减小或消除耦合振动。
悬置系统能量法解耦分析理论1、动力总成悬置系统坐标系统如图1所示，把发动机动力总成视为一个具有六自由度的刚体，它通过悬置支撑在车架上，悬置被视为具有三向刚度的弹性阻尼组件。
图1 动力总成悬置系统动力学模型图2为悬置件简化模型，一般可将悬置件简化为三个沿主轴方向的弹簧-阻尼系统，并且每一主轴与动坐标轴之间存在图中所列的夹角关系。
图2 悬置动力学模型2、动力总成悬置系统动力学方程根据自由振动的Lagrange方程：(1)式中T为系统动能;V为系统势能;qj为系统的广义坐标。
等效弹簧常数与等效质量对机械振动系统多自由度耦合振动的影响
等效弹簧常数与等效质量对机械振动系统多自由度耦合振动的影响机械振动系统在工程实践中得到广泛应用，多自由度耦合振动是其中一个复杂而重要的问题。
在研究多自由度耦合振动时，等效弹簧常数与等效质量是两个关键参数，它们对振动系统的动力学性质产生着重要的影响。
本文将探讨等效弹簧常数与等效质量对多自由度耦合振动系统的影响机制及其应用。
1. 弹簧常数的等效性及其影响等效弹簧常数是指一个多自由度振动系统在特定条件下，通过计算或测量得到的与实际耦合弹簧情况下所产生的同等效果的单自由度振动系统的弹簧常数。
它的计算方法与实际弹簧之间的力学关系有关。
等效弹簧常数的变化将影响多自由度耦合振动的频率响应和振型分布。
首先，等效弹簧常数的增大会导致多自由度耦合振动系统的频率响应增大。
通常情况下，振动系统的频率是由弹簧常数以及质量和阻尼等其他参数决定的。
当等效弹簧常数增大时，系统的固有频率也会相应增大。
这意味着系统需要更大的激励力才能达到相同的振幅。
此外，等效弹簧常数的增加还可能导致系统频率的偏移，使得原本平衡的振动系统在某些频率点上出现共振现象，从而引起振幅的剧烈增大。
其次，等效弹簧常数的变化也会对多自由度耦合振动系统的振型分布产生影响。
振型是指一个振动系统中各部件相对于平衡位置的振动模式。
等效弹簧常数的变化将影响各自由度之间的相互关系，从而改变振型的形态。
当等效弹簧常数相对较大时，各自由度之间的耦合效应会增强，系统的主要振动模式可能变得更加集中，而在弹簧常数相对较小时，各自由度之间的相互作用减弱，系统的振动模式可能变得分散。
2. 等效质量的影响及其应用等效质量是指将多自由度振动系统化简为单自由度振动系统时所需具备的质量。
与等效弹簧常数类似，等效质量也是一个重要的参数，它对系统的动力学性质产生着直接的影响。
首先，等效质量的增大会导致系统的频率响应减小。
等效质量可以看作是振动系统中质量与其耦合程度的综合体现。
当等效质量变大时，系统对激励力的响应变得迟缓，频率响应减小。
第四章多自由度系统
kq 2 q1 M 1 (t ) q M (t ) kq 2 kq 3 2 2
角振动与直线振动在数学描述上相同，在多自由度系统中也 将质量、刚度、位移、加速度以及力都理解为广义的。
例4-3 汽车振动的力学模型。 以D点的垂直位移 xD 及杆AB绕 点D的角位移为坐标，列出车体 作微小振动的运动微分方程。
1、多自由度的微分方程： 例4-1 试建立系统的运动微分方程。
两自由度系统； 解：
m1 1 k1 x1 k2 ( x1 x2 ) P (t ) x 1 m2 2 k2 ( x2 x1 ) k3 x2 P2 (t ) x
m11 (k1 k2 ) x1 k2 x2 P (t ) x 1 m2 2 k2 x1 (k 2 k3 ) x2 P2 (t ) x
x [ M ]{} [C ]{x} [ K ]{x} { f } {x(0)} {x0}, {x(0)} {x0}
1、[M]，[C]，[K]分别为系统的质量矩阵、阻尼矩阵和 刚度矩阵。 2、{x}为n维位移向量，它的分量是各个自由度的广义位 移，而{x}和{ }分别为速度向量和加速度向量，它们的 x 分量分别为各个自由度的广义速度和广义加速度。{f}是 广义外力向量，它的分量是各个自由度所受到的广义外 力。
x [ M ]{} [C ]{x} [ K ]{x} { f } {x(0)} {x0}, {x(0)} {x0}
1、运动微分方程建立的关键：求得[M]， [C]，[K]中的各个元素。 2、可使用定义法。 3、求解微分方程的过程就是使[M]，[C]， [K]对角化的过程，可求得固有频率及其 振型。
静力加载 K x P(t )
多自由度系统振动
的方法。
传递矩阵法适用于线性时不变系 统，能够处理多自由度系统的振
动问题，计算效率较高。
传递矩阵法的精度取决于系统参 数和边界条件的准确性，对于复 杂系统和非线性问题，需要采用
其他方法进行求解。
模态叠加法
模态叠加法是一种基于模态展开的数值 计算方法，通过将系统的振动表示为一 系列模态的线性组合，求解每个模态的
振动方程，得到系统的动态特性。
模态叠加法适用于线性时不变系统，能 够处理多自由度系统的振动问题，计算
精度较高。
模态叠加法需要选择合适的模态数目和 模态提取方法，对于大规模系统和复杂
未来研究方向
深入研究多自由度系统振动的 非线性特性，探索更精确的数
学模型和数值模拟方法。
针对复杂多自由度系统，研究 多因素耦合振动和多场耦合振
动的理论和方法。
发展多自由度系统振动主动控 制和智能控制技术，提高系统 振动控制精度和响应速度。
将多自由度系统振动理论应用 于实际工程领域，解决重大装 备和结构的振动问题，提高其 稳定性和安全性。
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02
它涉及到多个振动子之间的相互 作用和耦合，其动力学行为比单 自由度系统更为复杂。
研究背景和意义
随着科技的发展，多自由度系统在许多领域中得到了广泛应用，如大型机械装备、 精密仪器、高层建筑等。
由于多自由度系统在受到外部激励或内部参数变化时，会产生复杂的振动行为，这 不仅会影响系统的性能和稳定性，还可能引发安全问题。
航天器振动控制
总结词
振动学知识点总结归纳
振动学知识点总结归纳一、振动学基础知识1.1 振动的基本概念振动是物体在某一平衡位置附近来回作周期性运动的现象。
当物体在平衡位置周围出现微小偏离时，物体受到恢复力的作用，使其朝着平衡位置运动，从而形成振动。
1.2 振动的分类振动可分为自由振动和受迫振动。
自由振动是指物体在没有外力作用下的振动，而受迫振动是指物体受到外力作用下的振动。
1.3 振动的描述振动可以通过振幅、周期、频率等指标进行描述。
振幅是指振动过程中物体偏离平衡位置的最大距离，周期是指物体完成一次完整振动所需的时间，频率是指单位时间内振动的次数。
1.4 振动的动力学方程物体在振动过程中受到恢复力和阻尼力的作用，可以通过动力学方程进行描述。
动力学方程可以用来描述物体的振动规律，求解物体的振动响应。
二、单自由度系统2.1 单自由度系统的基本模型单自由度系统是指只有一个自由度可以发生振动的系统，它是振动学研究的基本模型之一。
单自由度系统的受力分析和振动方程可以通过牛顿定律和动能定理进行推导。
2.2 单自由度系统的自由振动单自由度系统在没有外力作用下的振动是自由振动，它可以通过解振动方程得到振动的时间变化规律。
自由振动的特点是振幅不变，频率固定。
2.3 单自由度系统的受迫振动单自由度系统受到外力作用时会发生受迫振动，外力的作用使得系统产生特定的振动响应。
受迫振动可以通过傅立叶分析和频谱分析进行研究，得到系统的振动响应特性。
2.4 单自由度系统的阻尼振动单自由度系统在振动过程中会受到阻尼力的作用，阻尼振动是指系统在振动过程中能量不断减少的现象。
阻尼振动的特点是振幅逐渐减小，频率不变。
2.5 单自由度系统的参数对振动的影响单自由度系统的质量、刚度和阻尼等参数对振动的影响是振动学研究的重要内容。
通过改变系统的参数，可以调控系统的振动特性，实现对系统振动的控制和优化。
三、多自由度系统3.1 多自由度系统的基本概念多自由度系统是指具有多个自由度可以发生振动的系统，它是振动学研究的扩展和深化。
振动耦合效应-概述说明以及解释
振动耦合效应-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述振动耦合效应是指在振动系统中，由于结构的复杂性和耦合作用，振动传递和影响会发生变化，导致系统整体的振动特性发生变化的现象。
振动耦合效应是一种普遍存在且重要的现象，它在工程实践和科学研究中具有广泛的应用和研究价值。
传统的振动理论通常是基于单一的振动系统进行分析研究的，在这种理论框架下，振动系统被简化为自由振动系统或者简单的简谐振动系统。
然而，在实际工程和科学问题中，振动系统往往是复杂而多样的，由多个子系统或者组件耦合在一起组成的。
在这种复杂的耦合结构中，振动传递和相互影响的规律会发生变化，使得振动分析和控制变得更加困难。
振动耦合效应的产生和影响因素主要包括结构的刚度、阻尼、质量分布、几何形状以及边界条件等。
这些因素的变化会改变振动系统的频率响应、振型分布和能量传递路径，进而影响系统的振动性能和稳定性。
因此，研究和理解振动耦合效应对于设计优化和故障诊断具有重要的意义。
本文将首先介绍振动的基本概念和原理，包括振动的定义、分类以及与频率、振型等相关的概念。
然后，将详细探讨振动耦合效应的定义和影响因素。
特别是对于常见的耦合结构和耦合作用进行分析和讨论，例如悬臂梁的耦合振动、杆件系统的振动传递、结构边界的耦合效应等。
最后，总结振动耦合效应的重要性，并展望未来的研究方向。
通过对振动耦合效应的深入研究和理解，可以提高振动系统的设计和运行效率，优化振动控制策略，减少不良的振动影响，提高系统的抗振能力和稳定性。
因此，对于工程实践和科学研究而言，振动耦合效应是一个重要的研究领域，具有广阔的应用前景。
1.2 文章结构文章结构部分的内容可以包括以下信息：文章结构:本文主要包括引言、正文和结论三部分，分别介绍了振动耦合效应的概述、定义和影响因素，以及总结了振动耦合效应的重要性，并展望了未来的研究方向。
下面将详细介绍每个部分的内容。
引言:在振动领域中，振动耦合效应是一个重要的研究方向。
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上式的矩阵形式
UU 1
其中 U是U 的转置矩阵。
定理二 对称矩阵对应于不同本征值的本征矢相互正交。
证：和 a 、b (a b )对应的本征值方程分别为
3
u(a) ij j
aui(a) ,
j 1
3
u(b) ij j
bui(b)
j 1
将上两式分别乘上ui(b)和 ui(a)并对i 求和：
33
3
§1.4.3 多自由度的耦合振动
一、弱耦合的二振子系统 (两个自由度) 设：两个振子： ； 。两个振子之间：用软弹簧
连接——实现两个振子的耦合 ：弱耦合
又设：滑块1、滑块2的平衡位置为坐标原点，作两轴 ，则：势能为
拉格朗日函数：
由拉格朗日方程得到运动方程：
x1 02 x1 x2
x2
02 x2
C (1) 1
(C1(2)
,
C(2) 1
)
0
归一化：令
C (1) 1
C(2) 1
1
2 ，有
u(1)
1 1 2 1
u(2)
1 1
2
1
满足正交归一条件： u(a)[u(b) ]T ab
耦合振子系统有两个振动频率：1, 2，与 1, 2
对应有两种确定的集体振动模式
x1 x2
Re
定理一 33的对称矩阵S有3个独立的本征矢。与本
征矢对应的本征值为实数。
证：SU U 可写为
SU U (S I)U 0
其中I为单位矩阵
1 0 0
I
0
1
0
0 0 1
将 SU U (S I)U 0写成矩阵形式
11
21
31
12
13 u1
22
23
u2
0
i1
j 1
* ，即 为实数。
另外的例子见p69-70。
注意：本征值方程是齐次方程，它的解可以乘上任意
常数。因此，和本征值对应的只是本征矢的方
向，而相应的本征矢的长度不确定。此时可以
将本征矢“归一化”成单位长度，即通过乘上
一个常数使得 ui (i 1, 2,3) 满足
3
ui2 1
i 1
32
33 u3
上式是关于3个未知数u1,u2,u3 的齐次方程组。非零解
条件：
11 21 31
12
13
22 23 0
32
33
由以上条件，可得 的3个根 a (a 1, 2,3)。与每
个根相对应，可得到一个解
u1(
a)
,
u(a) 2
,
u3(a
)，这就是和本
征值a 对应的本征矢。
将上式左右两边同时乘以 u j ，并对j求和
33
3
ui*iju j * u*ju j
i1 j1
j 1
将本征值方程的左右两边同时乘以 ui* ，并对i求和
33
3
ui*iju j ui*ui
i1 j1
i1
因此
33
3
3
ui*iju j ui*ui * u*ju j
i1 j1
假定：S为实对称矩阵，即
* ij
* ji
ij
ji
3
本征值方程又可写成 iju j ui (i 1, 2,3) j 1
取其复共轭
3
u* *
ij i
*ui*
(i 1, 2,3)
j 1
将i
j
，并利用
* ij
* ji
ij
ji，得到：
3
ijui* *u*j ( j 1, 2,3)
i 1
x1
02(km )
m
设：解的形式为
x1 Re[C1eit ] x2 Re[C2eit ]
——两个滑块以同一频率振动
(02 C1
2 )C1 (02
C2 0 2 )C2
0
——关于C1 , C2的齐次方程组
非零解条件：
(02 2 )
0
(02 2 )
1 02 2 02
将以上方法推广到三维空间，对此空间中的矢量
u u1e1 u2e2 u3e3 写成矩阵形式：
u1
U
u2
u3
于是 33的矩阵S的本征值方程为：
或写为
11 12 13 u1 u1
21
22
23
u2
u2
31 32 33 u3 u3
SU U
如果 ij ji (i, j 1, 2,3)，则称矩阵S为对称矩阵。 对于对称矩阵有如下定理。
一般：2 2 对称矩阵S作用在一个任意二维空间矢量
上，会改变它的大小和方向，即 SU和U一般 不平行。
但： SU U表明此式中的矢量U受到S的作用后，
不改变方向，而只是乘上一个常数 。 定义： U——矩阵S的本征矢， ——与本征矢U对应
的本征值，SU U——对称矩阵S的本征方程。
这样，求耦合二振子系统的集体振动模式归结为 求解矩阵S的本征值方程。
定义：Q1, Q2为耦合振子系统的简正坐标。
二、对称矩阵的本征值与本征矢
为将二耦合振子系统推广到任意s个耦合振子系统， 将前面关于 的C1,方C2程改写成矩阵形式：
02
02
C1 C2
2
C1 C2
令
S
02
02
U
C1 C2
2
则
SU U
一列二行矩阵U可看成一个二维空间中的矢量。
u u u u (b)
(a)
i ij j
a
(b) (a) ii
i1 j1
i1
33
3
u u u u (a)
(b)
i ij j
b
(a) (b) ii
i1 j1
i1
对上两式的第一式的左边交换求和指标i j，有
33
3
u u u u (b)
C1, C2的两组解：C1(1)
C (1) 2
C(2) 1
C2(2)
(具体值由初始条件定)
C1,C2 矩阵形式的解：
u(1)
C (1) 1
C (1) 2
C (1) 1
1 1
u(2)
C(2) 1
C(2) 2
C(2) 1
1
1
显然，它们是相互正交的，即
u(1)[u(2) ]T
C (1) 1
则 Q1, Q2 分别表示两种独立的集体振动模式。这样：
x1 x2
1 1 2 1Q1
1 1
2
1
Q2
从而得到新旧坐标之间的变换关系：
x1
1 2
(Q1
Q2
)
x2
1 2
(Q1
Q2
)
新坐标系下的拉格朗日函数：
L
1 2
mQ12
1 2
mQ22
1 2
kQ12
1 2
(k
2
)Q22
——耦合项消失(退耦)，此时相互耦合 的二振子系统变成两个独立的振子系统。
1 2
1 1
ei1
t
x1 x2
Re
1 2
1 1
ei2
t
一般情况下，振动是以上两种振动模式的叠加：
x1 x2
1 2
1 1
Re[
Aei1
t
]
1 2
1 1
Re[Bei2
t
]
选新的广义坐标：Q1, Q2 ，令
Q1 Re[ Aei1t ] Q2 Re[Bei2 t ]