多自由的耦合振动

1 2
1 1
ei1
t
x1 x2
Re
1 2
1 1
ei2
t
一般情况下，振动是以上两种振动模式的叠加：
x1 x2
1 2
1 1
Re[
Aei1
t
]
1 2
1 1
Re[Bei2
t
]
选新的广义坐标：Q1, Q2 ，令
Q1 Re[ Aei1t ] Q2 Re[Bei2 t ]
i1
j 1
* ，即 为实数。
另外的例子见p69-70。
注意：本征值方程是齐次方程，它的解可以乘上任意
常数。因此，和本征值对应的只是本征矢的方
向，而相应的本征矢的长度不确定。此时可以
将本征矢“归一化”成单位长度，即通过乘上
一个常数使得 ui (i 1, 2,3) 满足
3
ui2 1
i 1
上式的矩阵形式
UU 1
其中 U是U 的转置矩阵。
定理二 对称矩阵对应于不同本征值的本征矢相互正交。
证：和 a 、b (a b )对应的本征值方程分别为
3
u(a) ij j
aui(a) ,
j 1
3
u(b) ij j
bui(b)
j 1
将上两式分别乘上ui(b)和 ui(a)并对i 求和：
33
3
32
33 u3
上式是关于3个未知数u1,u2,u3 的齐次方程组。非零解
条件：
11 21 31
12
13
22 23 0
32
33
由以上条件，可得 的3个根 a (a 1, 2,3)。与每
个根相对应，可得到一个解
u1(
a)
,
u(a) 2
,
u3(a
)，这就是和本
征值a 对应的本征矢。
C1, C2的两组解：C1(1)
C (1) 2
C(2) 1
C2(2)
(具体值由初始条件定)
C1,C2 矩阵形式的解：
u(1)
C (1) 1
C (1) 2
C (1) 1
1 1
u(2)
C(2) 1
C(2) 2
C(2) 1
1
1
显然，它们是相互正交的，即
u(1)[u(2) ]T
C (1) 1
C (1) 1
(C1(2)
,
C(2) 1
)
0
归一化：令
C (1) 1
C(2) 1
1
2 ，有
u(1)
1 1 2 1
u(2)
1 1
2
1
满足正交归一条件： u(a)[u(b) ]T ab
耦合振子系统有两个振动频率：1, 2，与 1, 2
对应有两种确定的集体振动模式
x1 x2
Re
将上式左右两边同时乘以 u j ，并对j求和
33
3
ui*iju j * u*ju j
i1 j1
j 1
将本征值方程的左右两边同时乘以 ui* ，并对i求和
33
3
ui*iju j ui*ui
i1 j1
i1
因此
33
3
3
ui*iju j ui*ui * u*ju j
i1 j1
则 Q1, Q2 分别表示两种独立的集体振动模式。这样：
x1 x2
1 1 2 1Q1
1 1
2
1
Q2
从而得到新旧坐标之间的变换关系：
x1
1 2
(Q1
Q2
)
x2
1 2
(Q1
Q2
)
新坐标系下的拉格朗日函数：
L
1 2
mQ12
1 2
mQ22
1 2
kQ12
1 2
(k
2
)Q22
——耦合项消失(退耦)，此时相互耦合 的二振子系统变成两个独立的振子系统。
x1
02(km )
m
设：解的形式为
x1 Re[C1eit ] x2 Re[C2eit ]
——两个滑块以同一频率振动
(02 C1
2 )C1 (02
C2 0 2 )C2
0
——关于C1 , C2的齐次方程组
非零解条件：
(02 2 )
0
(02 2 )
1 02 2 02
定理一 33的对称矩阵S有3个独立的本征矢。与本
征矢对应的本征值为实数。
证：SU U 可写为
SU U (S I)U 0
其中I为单位矩阵
1 0 0
I
0
1
0
0 0 1
将 SU U (S I)U 0写成矩阵形式
11
21
31
12
13 u1
22
23
u2
0
§1.4.3 多自由度的耦合振动
一、弱耦合的二振子系统 (两个自由度) 设：两个振子： ； 。两个振子之间：用软弹簧
连接——实现两个振子的耦合 ：弱耦合
又设：滑块1、滑块2的平衡位置为坐标原点，作两轴 ，则：势能为
拉格朗日函数：
由拉格朗日方程得到运动方程：
x1 02 x1 x2
x2
02 x2
定义：Q1, Q2为耦合振子系统的简正坐标。
二、对称矩阵的本征值与本征矢
为将二耦合振子系统推广到任意s个耦合振子系统， 将前面关于 的C1,方C2程改写成矩阵形式：
02
02
C1 C2
2
C1 C2
令
S
Leabharlann Baidu
02
02
U
C1 C2
2
则
SU U
一列二行矩阵U可看成一个二维空间中的矢量。
将以上方法推广到三维空间，对此空间中的矢量
u u1e1 u2e2 u3e3 写成矩阵形式：
u1
U
u2
u3
于是 33的矩阵S的本征值方程为：
或写为
11 12 13 u1 u1
21
22
23
u2
u2
31 32 33 u3 u3
SU U
如果 ij ji (i, j 1, 2,3)，则称矩阵S为对称矩阵。 对于对称矩阵有如下定理。
u u u u (b)
(a)
i ij j
a
(b) (a) ii
i1 j1
i1
33
3
u u u u (a)
(b)
i ij j
b
(a) (b) ii
i1 j1
i1
对上两式的第一式的左边交换求和指标i j，有
33
3
u u u u (b)
一般：2 2 对称矩阵S作用在一个任意二维空间矢量
上，会改变它的大小和方向，即 SU和U一般 不平行。
但： SU U表明此式中的矢量U受到S的作用后，
不改变方向，而只是乘上一个常数 。 定义： U——矩阵S的本征矢， ——与本征矢U对应
的本征值，SU U——对称矩阵S的本征方程。
这样，求耦合二振子系统的集体振动模式归结为 求解矩阵S的本征值方程。
假定：S为实对称矩阵，即
* ij
* ji
ij
ji
3
本征值方程又可写成 iju j ui (i 1, 2,3) j 1
取其复共轭
3
u* *
ij i
*ui*
(i 1, 2,3)
j 1
将i
j
，并利用
* ij
* ji
ij
ji，得到：
3
ijui* *u*j ( j 1, 2,3)
i 1