高阶偏导详细讲解

二阶连续偏导数。
解：z x
f1'
y
f
' 2
2x
2z x2
(z ) x x
f1''1
y2
f1''2
y
2x
2f
' 2
2x(f2''1
y
f
'' 22
2x)
y 2f1''1
2f
' 2
4xyf1''2
4x
2f
'' 22
2z (z ) xy y x
f1'
y(f1''1
x
f1''2
(2y))
2x(f
'' 21
第五节(二) 高阶偏导数
z f ( x, y)的偏导数f x ( x, y), f y ( x, y)的偏导数为：
x
fx
2z (x, y)
x 2
f xx
(x, y)
f '' 11
y
2z f x ( x, y) xy
f xy
(x, y)
f '' 12
x
fy
2z (x, y)
yx
f yx
(x, y)
二阶混合偏导数
f
'' 21
y
fy
2z (x, y)
y 2
f yy
(x, y)
f '' 22
类似地可定义三阶，四阶等高阶偏导数。
当z f ( x, y)具有二阶连续偏导数时，有f xy f yx
例4：设z f (xy, x2 y2 ),求 2z 及 2z ，其中f (u, v)有 x2 xy
解：zx f ' 2x
2z ＝2 xf '' 2 y xy
练习 1
z
f (2x, x ),求 z , z , 2z ,
2z
2z ,.
y x y x2 xy y2
(其中f有二阶连续偏导数)
2、设 z [ x ( x y), y],其中 , 具有二阶导数,求 2z 2z ,. x 2 y 2
z Fx x Fz
z2
yz xy
，z y
Fy Fz
xz z2 xy
2z xy
( z ) y x
(z
y z )(z 2 xy) yz(2z z
y
y
(z 2 xy)2
x)
z5
x 2 y2 z 2 xyz3 (z 2 xy)3
例6：z f (x2 y2 ), 求 2 z xy
2xy(f1''2
f
'' 21
)
y
2f
'' 22
2z yx
( z ) x y
f
2
x(
f '' 21
2
x
f '' 22
y)
f2
2x2
f '' 21
xyf
'' 22
例5：设z3 3xyz a3，求 2 z xy
解：令F ( x, y, z) z3 3xyz a3
Fx 3 yz, Fz 3z2 3 xy，Fy 3xz
x
f
'' 22
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(2y))
f1'
xyf1''1
2(y 2
x2 )f1''2
4xyf
'' 22
练习： z
f
(
x
2
,
xy),
求
2 x
z
2
及 2z yx
解：z x
f1'
2x
yf
' 2
, z y
f
' 2
x
2z x2
2f1'
2x(f1''1
2x
f1''2
y)
y(f
'' 21
2x
f
'' 22
y)
2f1'
4x 2f1''1