相交两圆的性质
两两相交的圆的三公弦共点
两两相交的圆的三公弦共点1.引言1.1 概述在几何学中，圆是一种基本的几何图形，它具有许多独特的性质和特点。
当两个圆相交时，我们可以发现一些有趣的几何特征。
其中之一就是两两相交的圆的三公弦共点的性质。
所谓两两相交的圆，指的是存在两个圆，它们的边界相交于两个不同的点。
这种情况在几何中非常常见，许多几何问题和现实世界中的场景都与两个相交的圆有关。
当我们构造这两个圆的公切线时，我们会发现一条有趣的线段——三公弦。
三公弦是指通过两个相交圆的公共切点，并且与圆相交的线段。
这条线段有一个特殊的性质，即两两相交的圆的三公弦共点。
也就是说，不论两个相交的圆的位置如何变化，它们的三公弦都会交于同一个点。
对于这个特殊的现象，我们需要进行一定的证明来确保其正确性。
通过几何证明，我们可以得出结论：两两相交的圆的三公弦确实共点。
这个结论在几何学中具有重要的意义。
首先，它可以帮助我们解决一些与圆有关的问题，例如圆的切线构造、圆的内切和外切等。
其次，它也能够拓展我们的几何思维，让我们对圆的性质有更深入的理解。
在接下来的正文中，我们将探讨两两相交的圆的基本性质以及三公弦的定义和性质。
并通过几何证明，确认两两相交的圆的三公弦确实共点。
最后，我们将探讨这个结论的应用和意义，展示它在几何学中的重要作用。
1.2文章结构文章结构部分的内容应包括本文的主要内容和各个部分的简要介绍。
下面是一个可能的内容编写示例：在本文中，将探讨"两两相交的圆的三公弦共点"的现象和相关性质。
文章结构如下：第一部分：引言1.1 概述1.2 文章结构1.3 目的第二部分：正文2.1 两两相交的圆的基本性质2.2 三公弦的定义和性质第三部分：结论3.1 两两相交的圆的三公弦共点的证明3.2 应用和意义在正文部分，我们将首先介绍两两相交的圆的基本性质，包括相交的位置关系和相交点的性质。
随后，我们将详细讨论三公弦的定义和性质，探究这种特殊的弦与圆的关系。
初二数学圆与圆的位置关系与性质
初二数学圆与圆的位置关系与性质初二数学：圆与圆的位置关系与性质圆是数学中的重要概念之一，而研究圆与圆之间的位置关系与性质，可以帮助我们更好地理解几何学中的基本概念和定理。
本文将介绍一些常见的圆与圆的位置关系，并解析它们的性质。
1. 相交关系圆与圆之间最常见的位置关系就是相交。
当两个圆相交时，它们的圆心之间的距离小于两个圆的半径之和。
我们可以分为两种情况来讨论：1.1 两个圆相交于两个点当两个圆相交于两个点时，我们称之为相交圆。
这两个点叫做相交圆的交点，要注意的是，相交圆的交点与圆心连线垂直。
1.2 一个圆包含另一个圆当一个圆完全包含另一个圆时，我们称之为内切圆。
此时，内切圆的圆心与外切圆的圆心与交点在一条直线上，而内切圆的半径小于外切圆的半径。
2. 相离关系除了相交关系，两个圆也可以相离，即它们的圆心之间的距离大于两个圆的半径之和。
在这种情况下，我们称这两个圆为相离圆。
3. 共切关系当两个圆外切于一点时，我们称之为外切圆。
此时，外切圆的圆心与两个圆的圆心与交点在一条直线上，而外切圆的半径等于两个圆的半径之和。
类似地，当两个圆内切于一点时，我们称之为内切圆。
此时，内切圆的圆心与两个圆的圆心与交点在一条直线上，而内切圆的半径等于两个圆的半径之差。
4. 同心圆当两个圆的圆心重合时，我们称这两个圆为同心圆。
此时，两个圆的半径可以不同，但半径越小的圆位于半径较大的圆内部。
通过研究圆与圆的位置关系，我们可以得出一些重要的性质：- 外切圆与相切圆的切点与圆心连线垂直；- 内切圆的半径小于外切圆的半径；- 内切圆的半径等于两个圆的半径之差；- 外切圆的半径等于两个圆的半径之和。
总结起来，圆与圆的位置关系涉及相交、相离、内切、外切和同心等情况。
在解决相关问题时，我们可以根据这些位置关系和性质，运用相关定理，进行几何推导和计算。
初中数学中的几何学是数学的重要组成部分，圆与圆的位置关系与性质又是其中的重要内容。
通过深入研究与实践，可以提升我们的几何思维能力，并应用于实际问题中。
第04讲 圆与圆的位置关系(原卷版)
第04讲圆与圆的位置关系目录考点一：圆与圆的位置关系考点二：相切两圆的性质考点三：相交两圆的性质【基础知识】一．圆与圆的位置关系（1）圆与圆的五种位置关系：①外离；②外切；③相交；④内切；⑤内含．如果两个圆没有公共点，叫两圆相离．当每个圆上的点在另一个圆的外部时，叫两个圆外离，当一个圆上的点都在另一圆的内部时，叫两个圆内含，两圆同心是内含的一个特例；如果两个圆有一个公共点，叫两个圆相切，相切分为内切、外切两种；如果两个圆有两个公共点叫两个圆相交．（2）圆和圆的位置与两圆的圆心距、半径的数量之间的关系：①两圆外离⇔d＞R+r；②两圆外切⇔d＝R+r；③两圆相交⇔R﹣r＜d＜R+r（R≥r）；④两圆内切⇔d＝R﹣r（R＞r）；⑤两圆内含⇔d＜R﹣r（R＞r）．二．相切两圆的性质相切两圆的性质：如果两圆相切，那么连心线必经过切点．这说明两圆的圆心和切点三点共线，为证明带来了很大方便．三．相交两圆的性质（1）相交两圆的性质：相交两圆的连心线（经过两个圆心的直线），垂直平分两圆的公共弦．注意：在习题中常常通过公共弦在两圆之间建立联系．（2）两圆的公切线性质：两圆的两条外公切线的长相等；两圆的两条内公切线的长也相等．两个圆如果有两条（内）公切线，则它们的交点一定在连心线上．【考点剖析】一．圆与圆的位置关系（共26小题）1．（2022春•长宁区校级月考）已知圆A的半径长为4，圆B的半径长为7，它们的圆心距为d，要使这两圆没有公共点，那么d的值可以取（ ）A．11B．6C．3D．22．（2022春•青浦区校级期中）如果两圆的半径长分别为6与2，圆心距为4，那么这两个圆的位置关系是（ ）A．内含B．内切C．外切D．相交3．（2022春•松江区校级期中）⊙A半径为3，⊙B半径为5，若两圆相交，那么AB长度范围为（ ）A．3＜AB＜5B．2＜AB＜8C．3＜AB＜8D．2＜AB＜54．（2022•松江区校级模拟）已知△ABC，AB＝10cm，BC＝6cm，以点B为圆心，以BC为半径画圆⊙B，以点A为圆心，半径为r，画圆⊙A．已知⊙A与⊙B外离，则r的取值范围为（ ）A．.0＜r≤4B．.0≤r≤4C．.0＜r＜4D．.0≤r＜45．（2022•杨浦区三模）如图，已知∠POQ＝30°，点A、B在射线OQ上（点A在点O、B之间），半径长为2的⊙A与直线OP相切，半径长为3的⊙B与⊙A相交，那么OB的取值范围是（ ）A．5＜OB＜9B．4＜OB＜9C．3＜OB＜7D．2＜OB＜76．（2022春•浦东新区期中）如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，联结BE，如果AB＝6，BC＝4，那么分别以AD、BE为直径的⊙M与⊙N的位置关系是（ ）A．外离B．外切C．相交D．内切7．（2022春•闵行区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝7，点D在边BC上，CD＝3，⊙A的半径长为3，⊙D与⊙A相交，且点B在⊙D外，那么⊙D的半径长r的取值范围是（ ）A．1＜r＜4B．2＜r＜4C．1＜r＜8D．2＜r＜88．（2022春•奉贤区校级期中）已知等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC＝6，以A为圆心2为半径长作⊙A，以B为圆心BC为半径作⊙B，如果⊙A与⊙B内切，那么△ABC的面积等于 ．9．（2022春•浦东新区校级期中）如果⊙O1与⊙O2内含，O1O2＝4，⊙O1的半径是3，那么⊙O2的半径的取值范围是 ．10．（2022春•徐汇区校级期中）已知两圆内切，一个圆的半径是3，圆心距是2，那么另一个圆的半径是 ．11．（2022春•普陀区校级期中）如图，已知∠POQ＝30°，点A、B在射线OQ上（点A在点O、B之间），半径长为2的⊙A与直线OP相切，半径长为5的⊙B与⊙A内含，那么OB的取值范围是（ ）A．4＜OB＜7B．5＜OB＜7C．4＜OB＜9D．2＜OB＜712．（2022春•普陀区校级期中）已知点A（4，0），B（0，3），如果⊙A的半径为2，⊙B的半径为7，则两圆的位置关系是（ ）A．外离B．外切C．内切D．内含13．（2022•黄浦区校级二模）如果⊙O1与⊙O2内含，O1O2＝4，⊙O1的半径是3，那么⊙O2的半径可以是（ ）A．5B．6C．7D．814．（2022春•虹口区校级期中）已知⊙A与⊙B外切，⊙C与OA、⊙B都内切，且AB＝7，AC＝8，BC＝9，那么⊙C的半径长是（ ）A．12B．11C．10D．915．（2022春•黄浦区期中）如果两圆的直径长分别为4与6，圆心距为2，那么这两个圆的位置关系是（ ）A．内含B．内切C．外切D．相交16．（2022•徐汇区模拟）已知两圆相交，当每个圆的圆心都在在另一个圆的圆外时，我们称此两圆的位置关系为“外相交”．已知两圆“外相交”，且半径分别为2和5，则圆心距的取值可以是（ ）A．4B．5C．6D．717．（2022春•徐汇区校级期中）已知半径分别是3和5的两个圆没有公共点，那么这两个圆的圆心距d 的取值范围是（ ）A．d＞2B．d＞8C．0≤d＜2D．d＞8或0≤d＜218．（2022春•虹口区期中）已知圆O1、圆O2的半径不相等，圆O1的半径长为5，若圆O2上的点A满足AO1＝5，则圆O1与圆O2的位置关系是（ ）A．相交或相切B．相切或相离C．相交或内含D．相切或内含19．（2022•宝山区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，DE∥BC，且AD＝2CD，则以点C为圆心、DC长为半径的圆C和以点E为圆心、EB长为半径的圆E的位置关系是（ ）A．外离B．相交C．外切D．不能确定20．（2022•金山区校级模拟）已知⊙O的半径OA长为3，点B在线段OA上，且OB＝2，如果⊙B与⊙O有公共点，那么⊙B的半径r的取值范围是（ ）A．r≥1B．r≤5C．1＜r＜5D．1≤r≤521．（2022春•静安区期中）如图，∠MON＝30°，P是∠MON的平分线上一点，PQ∥ON交OM于点Q，以P为圆心，半径为8的圆与ON相切，如果以Q为圆心，半径为r的圆与⊙P相交，那么r的取值范围是 ．22．（2022春•金山区月考）已知一个圆的半径长为3，另一个圆的半径长r的取值范围为0＜r＜6．如果两个圆的圆心距为3，那么这两个圆的公共点的个数为 ．23．（2022春•松江区校级期中）如果⊙O1与⊙O2相交，⊙O1的半径是5，O1O2＝3，那么⊙O2的半径r 的取值范围是 ．24．（2022春•浦东新区校级期中）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，已知⊙B半径长为1，如果⊙A与⊙B内切，那么下列判断中，正确的是（ ）A．点C在⊙A外，点D在⊙A内B．点C在⊙A外，点D在⊙A外C．点C在⊙A上，点D在⊙A内D．点C在⊙A内，点D在⊙A外25．（2022春•普陀区校级期中）已知两圆的半径长分别为1和3，两圆的圆心距为d，如果两圆没有公共点，那么d的取值范围是 ．26．（2022秋•青浦区校级月考）两圆的半径分别为3和5，当这两圆相切时，圆心距d为 ．二．相切两圆的性质（共3小题）27．（2022•嘉定区二模）已知圆O1与圆O2外切，其中圆O2的半径是4cm，圆心距O1O2＝6cm，那么圆O1的半径是 cm．28．（2021•上海模拟）在平面直角坐标系中，我们把半径相等且外切、连心线与直线y＝x平行的两个圆，称之为“孪生圆”；已知圆A的圆心为（﹣2，3），半径为，那么圆A的所有“孪生圆”的圆心坐标为 ．29．（2020秋•金山区期末）已知：如图，⊙O1与⊙O2外切于点T，经过点T的直线与⊙O1、⊙O2分别相交于点A和点B．（1）求证：O1A∥O2B；（2）若O1A＝2，O2B＝3，AB＝7，求AT的长．三．相交两圆的性质（共6小题）30．（2022•浦东新区二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝7，点D在边BC上，CD＝3，⊙A的半径长为3，⊙D与⊙A相交，且点B在⊙D外，那么⊙D的半径长r可能是（ ）A．r＝1B．r＝3C．r＝5D．r＝731．（2022•上海模拟）如图，在边长为1的正方形ABCD中，点O在对角线BD上，且⊙O与边AD、CD相切．点P是⊙O与线段OB的交点，如果⊙P是既与⊙O内切，又与正方形ABCD的两条边相切，那么关于⊙O的半径r的方程是（ ）A．2r+r•cos45°＝1B．2r+2r•cos45°＝1C．3r+r•cos45°＝1D．3r+2r•cos45°＝132．（2022•崇明区二模）Rt△ABC中，已知∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，以点A、B、C为圆心的圆分别记作圆A、圆B、圆C，这三个圆的半径长都是2，那么下列结论中，正确的是（ ）A．圆A与圆C相交B．圆B与圆C外切C．圆A与圆B外切D．圆A与圆B外离33．（2022春•杨浦区校级月考）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，⊙C与AB相切，若⊙A与⊙C相交，则⊙A半径r的取值范围是 ．34．（2022春•浦东新区校级期中）半径分别为3cm与cm的⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，如果公共弦AB＝4cm，那么圆心距O1O2的长为 cm．35．（2022春•嘉定区校级期中）已知：如图，⊙O1与⊙O2相交于点A和点B，AC∥O1O2，交⊙O1于点C，⊙O1的半径为5，⊙O2的半径为，AB＝6．求：（1）弦AC的长度；（2）四边形ACO1O2的面积．【过关检测】一、单选题1．（2021·上海松江·二模）已知⊙O的半径OA长为3，点B在线段OA上，且OB＝2，如果⊙B与⊙O有公共点，那么⊙B的半径r的取值范围是（ ）A．r≥1B．r≤5C．1＜r＜5D．1≤r≤52．（2021·上海金山·二模）已知⊙A、⊙B、⊙C的半径分别为2、3、4，且AB＝5，AC＝6，BC＝6，那么这三个圆的位置关系（ ）．A．⊙A与⊙B、⊙C外切，⊙B与⊙C相交B．⊙A与⊙B、⊙C相交，⊙B与⊙C外切C．⊙B与⊙A、⊙C外切，⊙A与⊙C相交D．⊙B与⊙A、⊙C相交，⊙A与⊙C外切3．（2021·上海嘉定·二模）已知点，，如果⊙A 的半径为2，⊙B 的半径为7，那么⊙A ()4,0A ()0,3B 与⊙B 的位置关系（ ）A ．内切B ．外切C ．内含D ．外离4．（2021·上海静安·九年级期中）对于命题：①如果一个圆上所有的点都在另一个圆的内部，那么这个圆内含；②如果一个圆上所有的点都在另一个圆的外部，那么这个圆外离．下列判断正确的是（ ）A ．①是真命题，②是假命题B ．①是假命题，②是真命题C ．①、②都是真命题D ．①、②都是假命题5．（2018·上海金山·九年级期末）在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=12，BC=9，D 是AB 的中点，G 是△ABC 的重心，如果以点D 为圆心DG 为半径的圆和以点C 为圆心半径为r 的圆相交，那么r 的取值范围是（ ）A ．r ＜5B ．r ＞5C ．r ＜10D ．5＜r ＜106．（2019·上海·九年级期末）如果两圆的圆心距为2，其中一个圆的半径为3，另一个圆的半径，1r >那么这两个圆的位置关系不可能是（ ）A ．内含B ．内切C ．外离D ．相交二、填空题7．（2021·上海静安·九年级期中）已知⊙与⊙两圆内含，，⊙的半径为5，那么⊙1O 2O 123O O =1O 的半径r 的取值范围是_______．2O 8．（2019·上海上海·九年级期中）已知两圆外切，圆心距为7，其中一个圆的半径为3，那么另一个圆的半径长为___．9．（2021·上海浦东新·模拟预测）已知在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为（3，4），以2为半径的圆A 与以r 为半径的圆O 相交，那么圆O 半径r 的取值范围为____．10．（2020·上海闵行·九年级期末）半径分别为3cm cm 的⊙O 1与⊙O 2相交于A 、B 两点，如果公共弦AB=cm ，那么圆心距O 1O 2的长为______cm.11．（2021·上海静安·二模）如果⊙O 1与⊙O 2相交，⊙O 1的半径是5，O 1O 2＝3，那么⊙O 2的半径r 的取值范围是_____．12．（2021·上海普陀·二模）已知等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝6，以A 为圆心2为半径长作⊙A ，以B 为圆心BC 为半径作⊙B ，如果⊙A 与⊙B 内切，那么△ABC 的面积等于_____．13．（2021·上海市实验学校二模）已知两圆半径分别为3和5，圆心距为d ，若两圆没有交点，则d 的取值范围是___________14．（2021·上海杨浦·三模）如图，已知在等边中，，点在边上，如果以线段为ABC 4AB =P BC PB 半径的与以边为直径的外切，那么的半径长是________．P AC O P15．（2021·上海奉贤·三模）如图，已知在等边△ABC 中，AB ＝4，点P 在边BC 上，如果以线段PB 为半径的⊙P 与以边AC 为直径的⊙O 外切，那么⊙P 的半径长是________________．16．（2017·上海静安·九年级期中）如图，⊙A 和⊙B 的半径分别为5和1，AB ＝3，点O 在直线AB 上，⊙O 与⊙A 、⊙B 都内切，那么⊙O 半径是________．17．（2018·上海长宁·九年级期末）已知⊙的半径为4，⊙的半径为R ，若⊙与⊙相切，且1O 2O 1O 2O ，则R 的值为________．1210O O =18．（2018·上海金山·九年级期末）两圆内切，其中一个圆的半径长为6，圆心距等于2，那么另一个圆的半径长等于__．19．（2019·上海嘉定·九年级期末）已知两圆内切，半径分别为2厘米和5厘米，那么这两圆的圆心距等于_____厘米．20．（2018·上海宝山·九年级期末）⊙O 的直径AB ＝6，C 在AB 延长线上，BC ＝2，若⊙C 与⊙O 有公共点，那么⊙C 的半径r 的取值范围是______．21．（2020·上海市民办文绮中学九年级期中）在矩形中，，，点是边上一点ABCD 5AB =12BC =E AB （不与、重合），以点为圆心，为半径作，如果与外切，那么的半径的取值A B A AE A C A C r 范围是_______．三、解答题22．（2021·上海金山·一模）已知：如图，⊙与⊙外切于点，经过点的直线与⊙、⊙分1O 2O T T 1O 2O 别相交于点和点．A B （1）求证：；12//O A O B （2）若，，，求的长．12O A =23O B =7AB =AT23．（2021·上海宝山·九年级期中）如图，已知垂足分别为点、点，与,,AB BC DC BC ⊥⊥B C AC 交于点，BD P （1）如果，以点为圆心作圆，圆与直线相切，35AB CD ==，P P BC ①求圆的半径长；P ②又，以为直径作圆，试判断圆与圆的位置关系，并说明理由：8BC =BC O O P （2）如果分别以为直径的两圆外切，求证：与相似．AB CD 、ABC BCD △24．（2019·上海普陀·一模）如图，⊙和⊙相交于A 、B 两点，与AB 交于点C ，的延长线1O 2O 12O O 2O A 交⊙于点D ，点E 为AD 的中点，AE=AC ，连接．1O 1O E （1）求证：；11O E O C =（2）如果＝10，，求⊙的半径长．1O 2O 16O E =2O25．（2021·上海浦东新·模拟预测）已知：如图所示，P 是∠MAN 的边AN 上的一个动点，B 是边AM 上的一个定点，以PA 为半径作圆P ，交射线AN 于点C ，过B 作直线使∥AN 交圆与D 、E 两点（点D 、点E 分l l 别在点B 的左侧和右侧），联结CE 并延长，交射线AM 于点F ．联结FP ，交DE 于G ，cos∠BAP =，AB ＝5，AP ＝x ，BE =y ，35（1）求证：BG ＝EG ；（2）求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当△BEF 是以BF 为腰的等腰三角形时，求经过B 、E O 与圆P 的圆心距．26．（2018·上海上海·九年级期中）已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，AB=BC=CD=6．动点P 在射线BA上，以BP为半径的⊙P交边BC于点E（点E与点C不重合），联结PE、PC．设BP=x，PC= y．（1）求证：PE∥DC；（2）求y关于x的函数解析式，并写出定义域；R R（3）联结PD，当∠PDC=∠B时，以D为圆心半径为的⊙D与⊙P相交，求的取值范围．27．（2021·上海杨浦·二模）如图，已知Q 是∠BAC 的边AC 上一点，AQ ＝15，cot∠BAC ＝，点P 是射34线AB 上一点，联结PQ ，⊙O 经过点A 且与QP 相切于点P ，与边AC 相交于另一点D ．（1）当圆心O 在射线AB 上时，求⊙O 的半径；（2）当圆心O 到直线AB 的距离为时，求线段AP 的长；34（3）试讨论以线段PQ 长为半径的⊙P 与⊙O 的位置关系，并写出相应的线段AP 取值范围．。
两圆相交的性质定理
两圆相交的性质定理两圆相交的性质定理是几何学中一种重要的定理，它有着扎实的理论根基，能够有效地描述和说明数学实际情况。
两圆相交的性质定理涵盖几何图形的尺寸、长度、面积以及位置等重要的数学概念，是几何学中最重要和最基础的定理之一。
两圆相交的性质定理指出，假设两个圆在空间中相交，则必定有以下三种情况：第一种情况是一个圆完全包裹另一个圆，即外圆包含内圆；第二种情况是两个圆相切，即两个圆的半径之和等于圆心的距离；第三种情况是两个圆有一个公共触点，但它们不相切，即两个圆的半径之和大于圆心的距离。
此外，当两个圆在空间中相交时，还可以计算出它们的交点、相交角度等属性。
如果圆心距离小于半径之和，则它们有两个公共触点；如果圆心距离等于半径之和，则它们有一个公共触点；如果圆心距离大于半径之和，则它们没有公共触点。
来看一个简单的例子。
给定两个圆，A圆的圆心在(2,2)的位置，半径是2，B圆的圆心在(3,3)的位置，半径是3。
若以此求解两圆相交的性质定理，则可得出，这两个圆的圆心距离为$sqrt5$，半径之和为5，即$sqrt5<5$，即表明两个圆有两个公共触点，并且在空间中结成一个角度，但不相切。
两圆相交的性质定理具有广泛的应用领域，从几何到天文学再到求解建筑结构等问题都能够利用它来解决。
例如，在求解建筑结构时，可以由两圆相交的性质定理来求解两个大梁的交点，进而确定它们之间的距离，从而为建筑结构的设计提供便利。
另外，两圆相交的性质定理也在数学分析中大量被运用，例如它常常作为信赖域判断两个事件相关性的依据。
运用它可以大致估算出一组数据在统计上的表现，用以解决抽样分析和归因研究等问题。
总之，两圆相交的性质定理是一种在几何学、数学分析和应用数学中具有重要价值的定理。
它使我们能够把几何学概念用于复杂的问题，从而使我们的解决方法更加有效、科学、合理。
九年级圆的知识点总结
九年级圆的知识点总结圆是九年级数学中的一个重要内容，它具有独特的性质和广泛的应用。
下面我们来对九年级圆的知识点进行一个全面的总结。
一、圆的定义圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合。
这个定点称为圆心，定长称为半径。
圆的标准方程为$（x a)＾2 ＋（y b)＾2 ＝ r^2$，其中$（a, b)＄为圆心坐标，＄r$为半径。
二、圆的相关概念1、弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。
2、直径：经过圆心的弦叫做直径，直径是圆中最长的弦。
3、弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。
弧分为优弧（大于半圆的弧）、劣弧（小于半圆的弧）。
4、半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
5、等圆：能够重合的两个圆叫做等圆。
6、等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
三、圆的性质1、圆的对称性圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条通过圆心的直线。
圆是中心对称图形，其对称中心是圆心。
2、垂径定理垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧。
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
3、圆心角、弧、弦之间的关系在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。
推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等。
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等。
4、圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
推论：同弧或等弧所对的圆周角相等。
半圆（或直径）所对的圆周角是直角，＄90^｛＼circ}＄的圆周角所对的弦是直径。
四、圆的位置关系1、点与圆的位置关系设点$P$到圆心的距离为$d$，圆的半径为$r$，则有：点$P$在圆外＄＼Leftrightarrow$ ＄d ＞ r$点$P$在圆上＄＼Leftrightarrow$ ＄d ＝ r$点$P$在圆内＄＼Leftrightarrow$ ＄d ＜ r$2、直线与圆的位置关系设圆心到直线的距离为$d$，圆的半径为$r$，则有：直线与圆相离＄＼Leftrightarrow$ ＄d ＞ r$，此时直线与圆没有公共点。
初三数学圆知识点总结完整版
初三数学圆知识点总结 Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】初三数学圆知识点总结一、本章知识框架二、本章重点1．圆的定义：(1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆．(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合．2．判定一个点P是否在⊙O上．设⊙O的半径为R，OP＝d，则有d>r点P在⊙O 外；d＝r点P在⊙O 上；d<r点P在⊙O 内．3．与圆有关的角(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角．圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数．(2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角．圆周角的性质：①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半．②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角．④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角．(3)弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫弦切角．弦切角的性质：弦切角等于它夹的弧所对的圆周角．弦切角的度数等于它夹的弧的度数的一半．4．圆的性质：(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心．在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等．(2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴．垂径定理及推论：(1)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．(2)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．(3)弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧．(4)平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦．(5)平行弦夹的弧相等．5．三角形的内心、外心、重心、垂心(1)三角形的内心：是三角形三个角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示．(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示．(3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G表示．(4)垂心：是三角形三边高线的交点．6．切线的判定、性质：(1)切线的判定：①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．②到圆心的距离d等于圆的半径的直线是圆的切线．(2)切线的性质：①圆的切线垂直于过切点的半径．②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点．③经过切点作切线的垂线经过圆心．(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长．(4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．7．圆内接四边形和外切四边形(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角．(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等．8．直线和圆的位置关系：设⊙O 半径为R，点O到直线l的距离为d．(1)直线和圆没有公共点直线和圆相离d>R．(2)直线和⊙O有唯一公共点直线l和⊙O相切d＝R．(3)直线l和⊙O 有两个公共点直线l和⊙O 相交d<R．9．圆和圆的位置关系：设的半径为R、r(R>r)，圆心距．(1)没有公共点，且每一个圆上的所有点在另一个圆的外部外离d>R＋r．(2)没有公共点，且的每一个点都在外部内含d<R－r(3)有唯一公共点，除这个点外，每个圆上的点都在另一个圆外部外切d＝R＋r．(4)有唯一公共点，除这个点外，的每个点都在内部内切d＝R－r．(5)有两个公共点相交R－r<d<R＋r．10．两圆的性质：(1)两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线．(2)相交两圆的连心线垂直平分公共弦，相切两圆的连心线经过切点．11．圆中有关计算：圆的面积公式：，周长C＝2πR．圆心角为n°、半径为R的弧长．圆心角为n°，半径为R，弧长为l的扇形的面积．弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算．圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为l的圆柱的体积为，侧面积为2πRl，全面积为．圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为l，高为h的圆锥的侧面积为πRl ，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有．【经典例题精讲】例1 如图23-2，已知AB为⊙O直径，C为上一点，CD⊥AB于D，∠OCD的平分线CP交⊙O于P，试判断P点位置是否随C点位置改变而改变分析：要确定P点位置，我们可采用尝试的办法，在上再取几个符合条件的点试一试，观察P点位置的变化，然后从中观察规律．解：连结OP，P点为中点．小结：此题运用垂径定理进行推断．例2 下列命题正确的是( )A．相等的圆周角对的弧相等B．等弧所对的弦相等C．三点确定一个圆D．平分弦的直径垂直于弦．解：A．在同圆或等圆中相等的圆周角所对的劣弧相等，所以A不正确．B．等弧就是在同圆或等圆中能重合的弧，因此B正确．C．三个点只有不在同一直线上才能确定一个圆．D．平分弦(不是直径)的直径垂直于此弦．故选B．例3 四边形ABCD内接于⊙O，∠A︰∠B︰∠C＝1︰2︰3，求∠D．分析：圆内接四边形对角之和相等，圆外切四边形对边之和相等．解：设∠A＝x，∠B＝2x，∠C＝3x，则∠D＝∠A＋∠C－∠B＝2x．x＋2x＋3x＋2x＝360°，x＝45°．∴∠D＝90°．小结：此题可变形为：四边形ABCD外切于⊙O，周长为20，且AB︰BC︰CD＝1︰2︰3，求AD的长．例4 为了测量一个圆柱形铁环的半径，某同学采用如下方法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一个刻度尺，用如图23-4所示方法得到相关数据，进而可以求得铁环半径．若测得PA＝5cm，则铁环的半径是__________cm．分析：测量铁环半径的方法很多，本题主要考查切线长性质定理、切线性质、解直角三角形的知识进行合作解决，即过P点作直线OP⊥PA，再用三角板画一个顶点为A、一边为AP、大小为60°的角，这个角的另一边与OP的交点即为圆心O，再用三角函数知识求解．解：．小结：应用圆的知识解决实际问题，应将实际问题变成数学问题，建立数学模型．例5 已知相交于A、B两点，的半径是10，的半径是17，公共弦AB＝16，求两圆的圆心距．解：分两种情况讨论：(1)若位于AB的两侧(如图23-8)，设与AB交于C，连结，则垂直平分AB，∴．又∵AB＝16∴AC＝8．在中，．在中，．故．(2)若位于AB的同侧(如图23-9)，设的延长线与AB交于C，连结．∵垂直平分AB，∴．又∵AB＝16，∴AC＝8．在中，．在中，．故．注意：在圆中若要解两不等平行弦的距离、两圆相切、两圆相离、一个点到圆上各点的最大距离和最小距离、相交两圆圆心距等问题时，要注意双解或多解问题．三、相关定理：1.相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。
圆和圆的位置关系教案
圆和圆的位置关系教案1、教材分析（1）知识结构（2）重点、难点分析重点：两圆的位置关系和两圆相交、相切的性质．它们是本节的主要内容，是圆的重要概念性知识，也是今后研究圆与圆问题的基础知识．难点：两圆位置关系的判定与相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦的性质的运用．由于两圆位置关系有5种类型，特别是相离有外离和内含，相切有外切和内切，学生容易遗漏；而在相交圆的性质应用中，学生容易把“相交两圆的公共弦垂直平分两圆的连心线．”看成是真命题．2、教法建议本节内容需要两个课时．第一课时主要研究圆和圆的位置关系；第二课时相交两圆的性质．（1）把课堂活动设计的重点放在如何调动学生的主体，让学生观察、分析、归纳概括，主动获得知识；（2）要重视圆的对称美的教学，组织学生欣赏，在激发学生的学习兴趣中，获得知识，提高能力；（3）在教学中，以分类思想为指导，以数形结合为方法，贯串整个教学过程．第一课时圆和圆的位置关系教学目标：1．掌握圆与圆的五种位置关系的定义、性质及判定方法；两圆连心线的性质； 2．通过两圆的位置关系，培养学生的分类能力和数形结合能力；3．通过演示两圆的位置关系，培养学生用运动变化的观点来分析和发现问题的能力．教学重点：两圆的五种位置与两圆的半径、圆心距的数量之间的关系．教学难点：两圆位置关系及判定．（一）复习、引出问题1．复习：直线和圆有几种位置关系?各是怎样定义的?（教师主导，学生回忆、回答）直线和圆有三种位置关系，即直线和圆相离、相切、相交．各种位置关系是通过直线与圆的公共点的个数来定义的2．引出问题：平面内两个圆，它们作相对运动，将会产生什么样的位置关系呢?（二）观察、分类，得出概念1、让学生观察、分析、比较，分别得出两圆：外离、外切、相交、内切、内含(包括同心圆)这五种位置关系，准确给出描述性定义：(1)外离：两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离．(图(1))(2)外切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切．这个唯一的公共点叫做切点．(图(2))(3)相交：两个圆有两个公共点，此时叫做这两个圆相交．(图(3))(4)内切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切．这个唯一的公共点叫做切点．(图(4))(5)内含：两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含(图(5))．两圆同心是两圆内含的一个特例．(图(6))2、归纳：(1)两圆外离与内含时，两圆都无公共点．(2)两圆外切和内切统称两圆相切，即外切和内切的共性是公共点的个数唯一(3)两圆位置关系的五种情况也可归纳为三类：相离(外离和内含)；相交；相切(外切和内切)．教师组织学生归纳，并进一步考虑：从两圆的公共点的个数考虑，无公共点则相离；有一个公共点则相切；有两个公共点则相交．除以上关系外，还有其它关系吗?可能不可能有三个公共点?结论：在同一平面内任意两圆只存在以上五种位置关系．（三）分析、研究1、相切两圆的性质．让学生观察连心线与切点的关系，分析、研究，得到相切两圆的连心线的性质：如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上．这个性质由圆的轴对称性得到，有兴趣的同学课下可以考虑如何对这一性质进行证明2、两圆位置关系的数量特征．设两圆半径分别为R和r．圆心距为d，组织学生研究两圆的五种位置关系，r和d之间有何数量关系．（图形略）两圆外切d＝R+r；两圆内切d＝R-r(R＞r);两圆外离d＞R+r；两圆内含d＜R-r(R＞r);两圆相交R-r＜d＜R+r．说明：注重“数形结合”思想的教学．（四）应用、练习例1：如图，⊙O的半径为5厘米，点P是⊙O外一点，OP=8厘米求：(1)以P为圆心作⊙P与⊙O外切，小圆⊙P的半径是多少?(2)以P为圆心作⊙P与⊙O内切，大圆⊙P的半径是多少?解：（1）设⊙P与⊙O外切与点A，则PA=PO-OA∴PA=3cm．（2）设⊙P与⊙O内切与点B，则PB=PO+OB∴PB=13cm．例2：已知：如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝8，以AC为直径作⊙O，以B为圆心，4为半径作．求证：⊙O与⊙B相外切．证明：连结BO，∵AC为⊙O的直径，AC＝12，∴⊙O的半径，且O是AC的中点∴，∵∠C=90°且BC=8，∴，∵⊙O的半径，⊙B的半径，∴BO=，∴⊙O与⊙B相外切．练习(P138)（五）小结知识：①两圆的五种位置关系：外离、外切、相交、内切、内含；②以及这五种位置关系下圆心距和两圆半径的数量关系；③两圆相切时切点在连心线上的性质．能力：观察、分析、分类、数形结合等能力．思想方法：分类思想、数形结合思想．（六）作业教材P151中习题A组2，3，4题．第二课时相交两圆的性质教学目标1、掌握相交两圆的性质定理；2、掌握相交两圆问题中常添的辅助线的作法；3、通过例题的分析，培养学生分析问题、解决问题的能力；4、结合相交两圆连心线性质教学向学生渗透几何图形的对称美．教学重点相交两圆的性质及应用．教学难点应用轴对称来证明相交两圆连心线的性质和准确添加辅助线．教学活动设计（一）图形的对称美相切两圆是以连心线为对称轴的对称图形．相交两圆具有什么性质呢?（二）观察、猜想、证明1、观察：同样相交两圆，也构成对称图形，它是以连心线为对称轴的轴对称图形．2、猜想：“相交两圆的连心线垂直平分公共弦”．3、证明：对A层学生让学生写出已知、求证、证明，教师组织；对B、C层在教师引导下完成．已知：⊙O1和⊙O2相交于A，B．求证：Q1O2是AB的垂直平分线．分析：要证明O1O2是AB的垂直平分线，只要证明O1O2上的点和线段AB两个端点的距离相等，于是想到连结O1A、O2A、O1B、O2B．证明：连结O1A、O1B、O2A、O2B，∵O1A=O1B，∴O1点在AB的垂直平分线上．又∵O2A＝O2B，∴点O2在AB的垂直平分线上．因此O1O2是AB的垂直平分线．也可考虑利用圆的轴对称性加以证明：∵⊙Ol和⊙O2，是轴对称图形，∴直线O1O2是⊙Ol和⊙O2的对称轴．∴⊙Ol和⊙O2的公共点A关于直线O1O2的对称点即在⊙Ol上又在⊙O2上．∴A点关于直线O1O2的对称点只能是B点，∴连心线O1O2是AB的垂直平分线．定理：相交两圆的连心线垂直平分公共弦．注意：相交两圆连心线垂直平分两圆的公共弦，而不是相交两圆的公共弦垂直平分两圆的连心线．（三）应用、反思例1、已知两个等圆⊙Ol和⊙O2相交于A，B两点，⊙Ol经O2。
圆的基本性质知识点总结
圆的基本性质知识点总结圆是平面上的一个几何图形，是由距离一个固定点的距离始终相等的所有点组成。
圆的基本性质有以下几个方面：1.圆的定义：圆是由平面上到一个固定点的距离都相等的点组成的图形。
2.圆的元素：圆由圆心、半径、直径、弦、弧等几个元素组成。
-圆心：圆的中心点，通常表示为O。
-半径：从圆心到圆周上的任意一点的距离，通常表示为r。
-直径：通过圆心的一条直线，两端点在圆上，直径是半径的两倍，通常表示为d。
-弦：在圆上连接两点的线段。
-弧：圆上的一段曲线，是由弦所确定的。
3.圆的唯一性：在平面上，给定圆心和半径，唯一确定一个圆。
4.圆的周长和面积：-周长：圆的周长也叫做“圆周长”或“周长”，是圆的边界的长度。
周长C等于直径d乘以圆周率π，即C=πd。
-面积：圆的面积是圆内部的部分，通常表示为A。
面积A等于圆的半径r的平方乘以π，即A=πr²。
5.圆与直线的关系：-圆的直角：圆的半径是以任意点与与之相切的直线垂直相交。
-切线：如果直线刚好和圆相切，那么它是圆的切线。
切线与半径的夹角是直角。
-弦的性质：圆上的弦，如果经过圆心，那么它是圆的直径。
否则，弦将分割圆周上的两个弧。
并且，同一圆上的等长弦所对的弧相等，且同等弧所对的弦相等。
6.圆的相似性：-圆的相似性质：如果两个圆的半径之比相等，那么这两个圆是相似的。
相似的圆形状相同，但可能有不同的大小。
7.圆的相关定理：-弧的定理：两条弦所对圆心角相等，那么这两条弦所对的弧相等。
-弧与弦的定理：如果一条弦上的两个弧所对圆心角相等，那么这两个弧也相等。
-弧与切线的定理：如果一个圆的一条切线与圆上的一条弦相交，那么两条切线所对的弧相等。
以上是圆的基本性质的总结，掌握这些知识点可以帮助我们理解圆的特性和运用这些性质解决与圆相关的几何问题。
圆的性质与判定
圆的性质与判定圆是几何中的基本图形之一，具有独特的性质和判定方法。
本文将详细介绍圆的性质和判定方法，以及与圆相关的几个重要定理。
一、圆的性质1. 圆的定义：圆是平面上到定点距离相等的所有点的集合。
2. 圆的元素：圆心、半径。
圆心是离圆上任意一点距离相等的点；半径是圆心到圆上任意一点的距离。
3. 圆的直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段称为圆的直径，直径是圆的最长线段。
4. 圆的弦：圆上任意两点之间的线段称为圆的弦。
5. 圆的弧：圆上两个弦所夹的部分称为圆的弧，弧可以看做圆的一部分。
6. 圆的周长：圆的周长是圆上任意一条弧的长度，用C表示，C=2πr，其中r为圆的半径，π为圆周率，约等于3.14159。
7. 圆的面积：圆的面积是圆内部所有点的集合，用S表示，S=πr²。
二、圆的判定方法1. 判定一个点是否在圆上：如果一个点到圆心的距离等于圆的半径，则该点在圆上。
2. 判定一个点是否在圆内部：如果一个点到圆心的距离小于圆的半径，则该点在圆内部。
3. 判定一个点是否在圆外部：如果一个点到圆心的距离大于圆的半径，则该点在圆外部。
4. 判定两个圆是否相交：如果两个圆的圆心距离小于两个圆的半径之和，则两个圆相交。
5. 判定一个点与圆的关系：如果一个点到圆心的距离等于圆的半径，该点在圆上；如果距离小于圆的半径，该点在圆内部；如果距离大于圆的半径，该点在圆外部。
三、重要定理1. 弧长定理：在同一个圆或等圆上，圆心角相等的弧相等；圆心角相等的弧所对的弦相等。
2. 弦切定理：如果一条弦与另一条弦或弧交于圆上的同一点，那么它们的弧所对应的圆心角相等。
3. 切线定理：如果一条直线与圆相切于圆上的一点，那么该直线与半径所构成的夹角等于90度。
4. 正弦定理：在一个圆内三角形中，三条边的长度之间满足正弦定理：a/sinA = b/sinB = c/sinC，其中a、b、c为三角形的边长，A、B、C 为对应的角。
总结：本文介绍了圆的性质和判定方法，包括圆的定义、元素、直径、弦、弧、周长、面积等。
小学数学重点之圆的性质与判断
小学数学重点之圆的性质与判断圆的性质与判断圆是数学中一个重要的概念，具有许多独特的性质和应用。
本文将介绍圆的性质与判断方法，帮助读者更好地理解和运用圆的相关知识。
一、圆的定义圆可以通过以下方式来定义：在平面上给定一个点O，再给定一个长度R，以点O为圆心，长度R为半径画出的所有点的集合，就构成了一个圆。
其中，点O被称为圆心，长度R被称为半径。
二、圆的性质1. 圆上任意两点之间的距离等于半径的长度。
即对于圆上任意两点A和B，有AB = R。
2. 圆的直径是圆上任意两点连线的最长线段。
直径的长度等于半径的长度的两倍。
即直径d = 2R。
3. 圆的内切正方形的对角线长度等于圆的半径的长度的两倍。
即正方形的对角线长度等于2R。
4. 圆的内切四边形的对角线垂直且交于圆心。
5. 圆的切线与半径垂直。
6. 圆的弦是连接圆上任意两点的线段。
7. 圆的弧是圆上的一段曲线，它是圆的一部分。
8. 圆的弧长是圆的一部分的弧与圆心的连线所构成的线段长度。
弧长可以通过弧所对应的圆心角的度数来计算。
三、圆的判断方法1. 判断两个圆是否相交：计算两个圆心之间的距离，如果圆心距离小于两个圆的半径之和，则两个圆相交；如果圆心距离等于两个圆的半径之和，则两个圆相切；如果圆心距离大于两个圆的半径之和，则两个圆相离。
2. 判断一点是否在圆上：计算该点与圆心的距离，如果距离等于圆的半径，则该点在圆上；如果距离大于圆的半径，则该点在圆外；如果距离小于圆的半径，则该点在圆内。
3. 判断一条线段是否与圆相切：计算线段的两个端点与圆心的距离，如果距离之一等于圆的半径，则线段与圆相切；如果距离之一大于圆的半径，则线段与圆相离；如果距离之一小于圆的半径，则线段与圆相交。
四、圆的应用圆是几何学中一个非常有用的基本概念，广泛应用于各个领域。
以下是圆的几个典型应用：1. 圆的测量：可以通过测量半径、直径、弧长等参数来计算圆的面积和周长。
2. 圆的投影：当光线从圆上的点发出，经过光学系统投射到屏幕上，就会形成一个圆形的投影。
人教版九年级上册数学2与圆有关的位置关系
.
例题： 如图⊙O的半径为5cm，点P是⊙O外一点，OP=8cm。
D.外切或内切
相切的两个圆,除了切点外,一个圆上的点都在另一圆的外部时,我们就说这两个圆外切;
则 OP=5+R =8
6.两圆相切,圆心距等于3,一个圆的半径为5cm,则另一个圆的
半径为 2cm或8cm. 已知两圆的半径为R和r(R＞r), 圆心距为d ,
圆 若以P为圆心作⊙P与⊙O相切，求⊙P的半径？
两圆相切,圆心距等于3,一个圆的半径为5cm,则另一个圆的半径为
.
所以⊙P的半径为3cm或13cm
R=3 cm
的 两圆位置关系的性质与判定:
若以P为圆心作⊙P与⊙O相切，求⊙P的半径？
位 外 切 所以⊙P的半径为3cm或13cm
置 ∠O1AB的度数为
.
2、如果两圆没有交点，则这两圆的位置关系是外离.
∠O1AB的度数为
.
关 内 切 1、若两圆只有一个交点,则这两圆外切.
相切的两个圆,除了切点外,一个圆上的点都在另一个圆的内部时,我们就说这两个圆内切.
系 所以⊙P的半径为3cm或13cm
∠O1AB的度数为
.
∠O1AB的度数为
.
且
则两圆的位置关系为( )
相切:当两个圆有唯一公共点时,叫做两圆相切.
相切的两个圆,除了 切点外,一个圆上的点 都在另一圆的外部时, 我们就说这两个圆外切;
相切的两个圆,除了 切点外,一个圆上的点 都在另一个圆的内部时, 我们就说这两个圆内切.
相交:当两个圆有两个公共点时,叫做两圆相交.
相离:当两个圆没有公共点
时,叫做两圆相离.
)
两圆位置关系的性质与判定:
A.d＜6 B. d ＜4 ∠O1AB的度数为
两圆相交的阴影面积-概述说明以及解释
两圆相交的阴影面积-概述说明以及解释1.引言概述部分应该对本文的研究对象进行简要的介绍，并指出本文的研究重点和研究方法。
以下是对概述部分的内容的一个示例：1.1 概述圆是基础几何图形中的重要元素，而两圆相交是圆的常见性质之一。
当两个圆相交时，形成的阴影面积既有实际应用价值，也具有一定的几何特性。
因此，本文将研究两圆相交的阴影面积问题。
本文的研究重点是计算两个相交圆形产生的阴影面积，并探讨其几何性质和计算方法。
在此过程中，我们将使用几何学和数学分析方法来推导和解决这一问题。
通过建立几何模型和推导阴影面积的计算公式，我们将分析影响阴影面积的因素，并深入研究其几何特性。
为了对研究对象进行更深入的理解，本文还将通过实例分析的方式，以不同大小和位置的两个相交圆为例，对阴影面积进行计算和比较。
通过实例分析，我们可以更直观地理解两圆相交的阴影面积的变化规律和几何关系。
通过本文的研究，我们旨在深入了解两圆相交的阴影面积问题，并提供一种计算方法和相关几何性质的解释。
这对于解决实际问题和进一步应用该几何性质具有一定的指导意义。
接下来，将进入正文部分，详细阐述两圆相交的几何性质和阴影面积的计算方法。
1.2文章结构1.2 文章结构本文主要分为引言、正文和结论三个部分。
在引言部分，我将概述本文的研究对象和目的，并介绍文章的结构安排。
正文部分将详细探讨两个相交圆的几何性质以及计算阴影面积的方法，并通过实例分析来进一步说明。
最后，在结论部分，我将对本文的研究结果进行总结，并展望一些可能的应用领域。
以下是各个部分更详细的内容介绍：- 引言：- 1.1 概述：简要介绍两个相交圆的阴影问题，阐述这一问题的重要性和研究的意义。
- 1.2 文章结构：介绍本文的整体结构和每个部分的内容安排。
- 1.3 目的：明确本文的研究目的，即探究两个相交圆的阴影面积与其几何性质之间的关系。
- 正文：- 2.1 两圆相交的几何性质：详细讨论两个相交圆的位置关系、交点的性质以及相交弧的特征等几何性质。
三谈相交两圆的性质及应用
Ｂ Ｐ与 ＤＱ交 于点 Ｆ， 由ＡＣ＝Ｃ 则 Ｐ知 Ｃ Ｅ＝ Ｐ
数学通讯 一 ２ １ ０ １年第 ２期 （ 下半月）
・ 课外园地・
Ａ ／ Ｂ． ＱｉＥ 从而 四边形 Ａ Ｂ 为平行 四形 ． Ｅ Ｑ
ｏ （１ ＝ 于点 Ｅ． ） 则
１ Ｉ￣ＬＥ Ｑ＝ＬＱ Ｅ｛ 益 弦定理， Ａ ｉ 一 （ ） Ｓ， Ｔ， Ｉ ｔ Ａ Ｂ 由 有 Ｑ ・ ： Ａ， Ｑ， Ｂ 五点共 圆 ； Ｒ ＱＡ． ： ．ｉ Ｑ Ｅ～— ｚ — Ａ ～ ｓ￣ Ｂ ｎ ｓ （Ｅ ｉ ＿ ｎ Ｐ
・
课 外园地 ・
数 学通讯 一 ２１ 年 第 ２ （ ０１ 期 下半月）
６ １
三谈 相 交 两 圆 的性质 及 应 用
沈 文选
（ 湖南师范大学数学奥林 匹克研究所 ， １０ １ ４０８ ）
本 文再 给 出相交 两圆的几条 性质及应用 的例子 ．
ＣＱＰ． 又
／ ＰＣ Ｅ
＝
性 质 １ 两圆 ｏ０１ ｏ ０２ 交 于 Ｐ， 两点 ， 与 相 Ｑ ＡＰ ０２ ０１ 的外接 圆分别交 ｏ ０ｌ Ｒ， ｏ ｏ２ Ｓ， 于 交 于
３ Ａ＝
（） Ｃ， 分 别 为 ２设 Ｄ
， Ｂ的 中点 ， Ｐ 尸 则 Ｑ上
（
Ｑ 十 Ｐ Ｑ ） ＋ （ Ｑ彻 Ｂ
＋ Ｑ Ａ ）＝ Ｂ
Ｃ 的充要条件是 点 Ｑ 为 Ａ 的 中点 ． Ｄ Ｂ
（ Ｐ Ｏｚ Ｐ Ｏｘ 十 ０１ ＋ Ｏｚ ） 到 Ｐ ： ０２ 则 在 ｏＰ ｏ２ Ｓ， ＲＳ 中 ， Ｐ ＝ 有 Ｏ２
— 、
一
Ｏｚ 即点 Ｑ 在 Ｐ Ｓ的内角 （ 外角 ） 分线上 ． Ｓ， Ｒ 或 平
Ｐ ＱＢ ’ Ｂ
两个圆相交点与两圆心垂直的关系
一、两圆相交点与两圆心垂直的定义在平面几何中，当两个圆相交时，它们的相交点与两个圆的圆心之间存在一个特殊的关系，即相交点与两个圆心垂直。
这一性质在数学中有着重要的应用，特别是在解决与圆相关的几何问题时。
二、两个圆相交的情况当两个圆相交时，它们的相交点可能有多个，也可能只有一个。
这取决于两个圆的半径和圆心之间的距离。
当两个圆的半径不相等且圆心之间的距离小于两个圆的半径之和时，两个圆会相交于两个不同的点；当两个圆的半径相等且圆心之间的距离等于两个圆的半径之和时，两个圆会相交于一个点；当圆心之间的距离大于两个圆的半径之和时，两个圆不会相交。
三、相交点与两圆心垂直的证明证明相交点与两个圆心垂直的关系可以通过以下几个步骤来进行：1. 假设有两个相交的圆O1和O2，它们的圆心分别为A和B，相交点为C和D，连接AC、BC、AD、BD。
2. 由于C和D分别在O1和O2上，所以AC和BC分别是O1和O2的半径，AD和BD分别是O1和O2的半径。
3. 由于相交点是两个圆的交点，所以C和D到A和B的距离分别等于O1和O2的半径。
4. 由此可知，三角形ABC和三角形ABD都是直角三角形，因为AC 和BC、AD和BD都是半径，所以AC和BC垂直，AD和BD垂直，且AB相等。
5. 根据勾股定理，如果三角形的两条边和斜边满足a^2 + b^2 = c^2的关系，则这个三角形是直角三角形。
6. 所以相交点与两个圆心垂直的关系得到证明。
四、两个圆相交点与两圆心垂直的应用上述的证明可以应用到如下几个方面：1. 在计算圆的交点时，可以利用相交点与两个圆心垂直的关系，通过计算两个圆的半径和圆心之间的距离来确定相交点的位置。
2. 在解决与圆相关的几何问题时，可以利用相交点与两个圆心垂直的关系，进一步推导出一些性质和定理，从而解决问题。
3. 在进行几何建模和工程设计时，可以利用相交点与两个圆心垂直的关系，来确定圆的相交情况，从而优化设计方案。
几何中的相交性质
几何中的相交性质几何学是研究空间中形状、大小、位置关系以及图形变换的数学学科。
在几何学中，相交性质是一个重要的概念，它涉及到直线、线段、角等图形在空间中相互交叉的情况。
本文将介绍几何中的相交性质，并探讨一些与之相关的定理和应用。
1. 点与线段的相交性质在几何学中，点与线段的相交性质是一个最基本的概念。
如果一个点在某条线段上，那么我们说这个点与这条线段相交。
根据这个性质，我们可以进一步得出线段相交的一些推论。
（1）若两条线段的端点不同，且它们的延长线相交于一点，则这两条线段交于一点。
（2）若两条线段的端点不同，且它们有一个公共的端点，则这两条线段交于一点。
2. 直线与直线的相交性质当两条直线在平面上相互交叉时，它们可以有不同的相交性质。
以下是一些常见的情况：（1）两条直线相交于一点。
这种情况下，我们称这两条直线是交线，交点是它们的交点。
（2）两条直线平行。
如果两条直线在同一平面上永远不相交，那么我们称这两条直线是平行线。
（3）两条直线重合。
如果两条直线完全重合，那么它们是同一条直线。
3. 角与角的相交性质在几何学中，角是由两条射线（也称作边）共同起始于一个端点形成的图形。
当两个角在空间中相互交叉时，它们也可能有不同的相交性质。
（1）相邻角。
当两个角的一个边和另一个角的一个边在一条直线上，并且它们的顶点相同，那么这两个角是相邻角。
（2）互补角。
如果两个角的和为90度，则它们是互补角。
（3）补角。
如果两个角的和为180度，则它们是补角。
4. 圆与直线的相交性质在几何学中，圆是由平面上一点到一个固定点的所有等距离的点构成的图形。
当一条直线与一个圆相交时，也存在不同的情况。
（1）外切。
如果一条直线切到一个圆，并且直线的切点在圆的外部，那么我们称这条直线与圆外切。
（2）内切。
如果一条直线切到一个圆，并且直线的切点在圆的内部，那么我们称这条直线与圆内切。
总结：几何中的相交性质是研究几何关系不可或缺的一部分。
通过学习几何中的相交性质，我们可以更好地理解线段、直线、角、圆等几何图形之间的关系，并能够运用这些性质来解决几何问题。
圆的性质及判定归纳
圆的性质及判定归纳
1. 圆的定义
圆是一个平面上所有到一个固定点的距离都相等的点的集合。
固定点称为圆心，距离称为半径。
2. 圆的性质
- 圆的直径是圆上任意两点间的最长距离，它等于半径的两倍。
即直径 = 2 * 半径。
- 圆的周长是圆上一条线段的长度，它等于直径与圆周率π的
乘积。
即周长 = 直径* π 或 2 * 半径* π。
- 圆的面积是圆内部的所有点所组成的区域的大小，它等于半
径的平方乘以圆周率π。
即面积 = 半径^2 * π。
3. 圆的判定
- 通过给定的三个点判断是否能构成一个圆：
- 如果这三个点不共线，可以根据这三个点是否等距离构成圆。
- 如果这三个点共线，无法构成圆。
4. 圆相关的定理
- 切线与半径垂直定理：半径与其所在切线垂直相交。
- 径垂直弦定理：圆的直径与弦相交，必垂直相交。
- 弧上的两角：位于同一个弧上的两个角，它们所对的弦相等。
- 弧上的弦：相等弧所对的弦相等，相等弦所对的弧相等。
以上是圆的性质及判定归纳的完整版文档。
希望对您有所帮助！。
两圆相交部分 的名称-概述说明以及解释
两圆相交部分的名称-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述：在几何学中，圆是最基本的几何图形之一，而两个圆的相交部分则是圆的一个重要应用。
无论是在数学领域还是实际生活中，我们经常会遇到两个圆相交的情况，因此了解和命名两个圆相交部分是非常重要的。
本文旨在介绍两个圆相交部分的基本性质和命名原则，帮助读者更好地理解和运用圆的知识。
通过系统地分析两个圆相交部分的特点，我们可以更加准确地描述和命名它们，并在实际问题中应用这些知识。
在本文的正文部分，我们将深入探讨圆的基本概念、两圆相交部分的性质、以及命名原则与应用。
通过对这些内容的讨论，读者将能够更加全面地理解和掌握两个圆相交部分的知识，为进一步学习和研究打下基础。
最后，本文将总结两个圆相交部分的命名原则，探讨实际应用场景，并展望未来研究的方向。
希望本文能够为读者提供有益的知识和启发，促进对几何学的深入理解和应用。
1.2 文章结构本文主要分为三个部分，即引言、正文和结论。
在引言部分，将对两圆相交部分的命名进行简要概述，介绍文章的基本结构和目的。
在正文部分，将详细介绍圆的基本概念，探讨两圆相交部分的性质，以及命名原则与应用。
在结论部分，将总结两圆相交部分的命名方式，探讨其实际应用场景，并展望未来研究方向。
通过这三个部分的内容安排，读者可以系统地了解两圆相交部分的命名规则及其在实际应用中的意义。
1.3 目的在本文中，我们的目的是探讨两个相交圆的关系，并对它们相交部分进行命名。
通过对圆的基本概念和两圆相交部分的性质进行分析，我们希望能够建立一个清晰的命名原则和应用规则，以便在实际应用中更好地理解和描述圆的相交部分。
通过本文的研究，我们不仅可以认识到两圆相交部分的命名方法，还可以更深入地了解圆的性质和相交关系。
同时，我们也希望能够引起更多关于圆形几何的学术研究和实际应用的兴趣，为未来的研究和教学提供更多的参考和启发。
2.正文2.1 圆的基本概念在几何学中，圆被定义为平面上所有到一个确定点（圆心）距离相等的点的集合。
第8章相交两圆的性质及应用
第八章相交两圆的性质及应用【基础知识】两圆相交为圆周角定理、圆内接四边形性质定理提供了用武之地，由此我们也可获得相交两圆的一系列有趣性质．性质1相交两圆的连心线垂直平分公共弦．性质2以相交两圆的一交点为顶点，过另一交点的割线为对边的三角形称为两相交圆的内接三角形，相交两圆的内接三角形的三个内角均为定值． 推论1在相交两圆中，内接三角形都相似．如图81-，ACD △，AGH △，BEF △均相似．推论2在相交两圆中，若公共弦与内接三角形的一边垂直，则另两边必分别为两圆直径，反之亦真．如图81-中，AC ，AD 分别为1O ，2O 的直径AB CD ⇔⊥．推论3在相交两圆中，两内接三角形的割线段边相等的充要条件是公共弦与这两边成相等的角．推论4在相交两圆中，内接三角形的交点（两圆交点）顶点，两非交点顶点以及两非交点顶点处的两切线交点，此四点共圆，或两非交点顶点处的两切线交点在内接三角形的外接圆上． 性质3两相交圆的公共弦所在直线平分外公切线线段．性质4以相交两圆的两交点分别为视点，对同一外公切线线段的张角的和为180︒． 性质5两相交圆为等圆的充要条件是下述条件之一成立：（1）公共弦对两圆的张角相等；（2）过同一交点的两条割线交两圆所得两弦相等；（3）内接三角形以相交两圆交点为顶点的两边相等（即为等腰三角形）． 事实上，如图82-，1O 与下2O 相交于A ，B ．（1）令ACB α∠=，ADB β∠=，1O 与2O 为等圆()(),0,πsin sin AB ABαβαβαβ⇔=⇔=∈．图8-1EC图8-2（2）1O 与2O 为等圆sin sin EG FHGE HF GBE HBF⇔=⇔=∠∠．（3）由正弦定理即证．性质6过相交两圆的两交点分别作割线，交两圆于四点，同一圆上的两点的弦互相平行． 事实上，如图83-所示，即可证得CE DF ∥ （证略）．性质71O 与2O 相交于A 、B ，EF 是过B 的一条割线段，E 在1O 上，F 在2上，N 为12O O 的中点，则M 为EF 的中点的充要条件是MN NB =．事实上，如图83- （a ），设1M ，K ，2M 分别为1O 、N 、2O 在EF 上的射影，由垂径定理，知1M 、2M 分别为EB 、BF 的中点，由梯形中位线定理知K 为12M M 的中点，不妨设EB BF ≥，则121122244M M EB EB EB BF EB BFKB M B M K +-=-=-=-=由M 为EF 的中点2EB BFEM MF +⇔==4EB BFMK MF KB BF -⇔=--=MK KB NM NB ⇔=⇔=．（注意NK MB ⊥） 注 特别地，当M 与B 重合时，有NB EF ⊥． 【典型例题与基本方法】例1如图84-，四边形ABCD 内接于圆O ，对角线AC 与BD 相交于P ．设三角形ABP ，BCP ，CDP 和DAP 的外接圆圆心分别是1O ，2O ，3O ，4O ．求证：OP ，13O O ，24O O 三直线共点．（1990年全国高中联赛题）EAFCDB EAF CDB图8-3(c)(a)(b)图8-4证明连2PQ 并两方延长交2O 于Q ，交AD 于R 在PRD △和PBQ △中，PDR BDA BCA BCP BQP ∠=∠=∠=∠=∠，DPR QPB ∠=∠，以而90PRD PBQ ∠=∠=︒，即2PO AD ⊥． 利用相交两圆的性质1，知O 与4O 的连心线4OO ⊥公共弦AD ，故24PO OO ∥． 同理，42PO OO ∥．从而24PO OO 为平行四边形，24O O 交OP 于其中点G ． 同理，13O O 也交OP 于其中点G ． 所以，OP ，13O O ，24O O 三直线共点．例2如图85-，证明：若凸五边形ABCDE 中， ABC ADE ∠=∠，AEC ADB ∠=∠，则BAC DAE ∠=∠． （第21届全俄中学生（10年级）奥林匹克题）证明设对角线BD 与CE 相交于F ．由AEC AEF ADB ADF ∠=∠=∠=∠，知A ，E ，D ，F 共圆．因此，AFE ADE ABC ∠=∠=∠，即180ABC AFC ∠+∠=︒，故A ，B ，C ，F 共圆． 此时，两圆ABCF 与AFDE 相交于点F ，A ，从而由相交两圆性质2的推论1，知ADB AEC △∽△，即BAD CAE ∠=∠，故BAC DAE ∠=∠．例3如图86-，两圆1O ，2O 相交于A ，B ，1O 的弦BC 交2O 于E ，2O 的弦BD 交1O 于F ．证明：（Ⅰ）若DBA CBA ∠=∠，则DF CE =；（Ⅱ）若DF CE =，则DBA CBA ∠=∠．（1979年全国高中联赛题）证明（Ⅰ）对图86- （a ），因A ，B ，E ，D 四点共圆，有ABD AED ∠=∠，且ABC ADE ∠=∠，而么ABD ABC ∠=∠，故AED ADE ∠=∠，于是AD AE =． 又由相交两圆性质2的推论1，知ADF AEC △∽△．注意到AD AE =，则ADF AEC △△≌，故DF EC =． 对图86- （b ），由A ，E ，B ，D 及A ，C ，B ，F 分别四点共圆，有AEC ADF ∠=∠，ACE AFD ∠=∠又由 CBA ABD ∠=∠，知AC AF =，AE AD =，有AEC ADF △△≌，故DF CE =．EAFC DB图8-5CEC(a)(b)图8-6（Ⅱ）由DF CE =及（Ⅰ）中证明，可得ADF AEC △△≌，由此，可推证得DBA CBA ∠=∠． 注此例的第（Ⅰ）部分，1988年又作为第13届全俄中学生数学竞赛题：两圆相交于点M ，N ．过点M 引直线1l ，2l ，使它们分别与弦MN 所构成的角相等．除点M 外，1l 与两圆的交点分别为A ，B ，2l 与两圆的交点分别为C ，D ．证明：AB CD =．例4如图87-，已知1O 与2O 相交于A ，B ，直线MN 垂直于AB 且分别与1O ，2O 交于M ，N ，P 为线段MN 的中点，1Q ，2Q 分别是1O ，2O 上的点，1122AO Q AO Q ∠=∠．求证：12PQ PQ =． （1985年广州、武汉、福州联合初中竞赛题）证明连MB ，BN ，因BA MN ⊥，则由相交两圆性质2的推论2，知1O 在MB 上，2O 在BN 上．连12O O ，1O P ，则四边形12O O NP 为平行四边形，即122O P O N O A ==．于是，知12O O AP 为等腰梯形，从而 12AO P AO P ∠=∠，2111PO AO O Q ==．又1122AO Q AO Q ∠=∠，注意1222O P O N O Q ==，便有1122O Q P O PQ △△≌． 故12PQ PQ =．注此例实际上是由IMO 21-第3题改编而来：平面上两圆相交，其中一交点为A ，两边点各以匀速自A 点出发在不同的圆周上依同向移动，这两点经移动一周后同时返回到A 点．求证：平面上有一定点P ，它不论在何时皆和两动点等距离．例5如图88-，平面上两圆1O 与2O 相交，其中一交点为A ．两动点1Q ，2Q 各以匀速自A 点出发在不同的圆周上依同向移动，这两点经移动一周后可同时返回到A 点．求证：过A 的任一割线交两圆的两交点M ，N 分别与对应的移动中的1Q ，2Q 的连线互相平行．（IMO 21-试题改编）Q 图8-7证明设两动点1Q ，2Q 出发后，经某一时段后分别到达1O 和2O 上的如图88-所示位置．不妨设两动点是按逆时针方向移动，因移动一周的时间相同，故1122AO Q AO Q ∠=∠．设B 为1O 与2O 的另一交点，连1Q B ，2Q B ．因圆周角等于所对的同弧上的圆心角的一半，故11112ABQ AO Q ∠=∠，222211801802ABQ ANQ AO Q ∠=︒-∠=︒-∠，即1211221118018022ABQ ABQ AO Q AO Q ∠+∠=∠+︒-∠=︒，从而1Q ，B ，2Q 三点共线．于是由性质6，知12MQ NQ ∥． 【解题思维策略分析】1．发掘题给条件中的两圆性质例6如图89-，1O 与2O 的半径均为r ，1O 过ABCD 的两顶点A ，B ，2O 过顶点B ，C ，M是1O ，2O 的另一个交点，求证：AMD △的外接圆半径也是r ．证明作ABMN ，连ND ，MC ，则四边形DCMN 也是平行四边形．记BAM α∠=，BCM β∠=，由于1O 与2O 是等圆，由相交两圆的性质5（1），αβ=．注意到AD BC ∥，ND MC ∥，AB NM ∥，则知ADN BCM BAM AMN βα∠=∠===∠=∠，由此，有A ，D ，M ，N 四点共圆，于是， AMD AND ∠=∠．又注意到AN BM ∥，DN CM ∥，有AND BMC ∠=∠，于是AMD BMC ∠=∠． 设AMD △的外接圆半径为R ，则由正弦定理有图8-8图8-922sin sin AD BCR r AMD BMC===∠∠．故R r =．这说明AMD △的外接圆半径也是r ． 例7如图810-，已知A 为平面上两个半径不等的1O 与2O 的一个交点，两圆的两条外公切线分别为12P P 和12Q Q ，切点分别为1P ，2P ，1Q ，2Q ，1M 和2M 分别为11PQ ，22P Q 的中点．求证：1212O AO M AM ∠=∠．（IMO -24试题）证明延长1AO 交1O 于E ，延长2AO 交2O 于F ，由性质2的推论2，知E ，B ，F 三点共线． 由于两圆半径不等，设直线21P P 与21Q Q 相交于O ，则O 点在21O O 所在直线上．连OB 并延长交1O 于K ，交2O 于L ，连1M K ，1M B ，2M L ．延长BA 交12P P 于N ，则由性质3知12PN NP =，所以线段12M M 与弦AB 互相垂直平分．于是， 2112121180AM M M M L BM M BM O ∠+∠=∠+∠=︒，即A ，2M ，L 三点共线．同理，A ，1M ，K 三点共线．故由性质2的推论1，知AKL AEF △∽△，即有1212O AO M AM ∠=∠．例8如图811-，圆1Γ和圆2Γ相交于点M 和N ．设l 是圆1Γ和圆2Γ的两条公切线中距离M 较近的公切线，l 与1Γ切于点A ，与2Γ切于点B ．设过M 且与l 平行的直线与圆1Γ还相交于点C ，与圆2Γ还相交于点D ．直线CA 和DB 交于点E ，直线AN ，BN 分别交直线CD 于点P 和Q ．求证：EP EQ =．（IMO -41试题）图8-10O证明连NM 并延长交AB 于G ，则由相交两圆的性质3，知G 为AB 的中点．在NAB △中，由PQ AB ∥又可得M 为PQ 的中点．由AB CM ∥及AB 为1Γ的切线，连AM ，则推知AC AM =，从而知MAG CAT GAE ∠=∠=∠ （T 在GA 延长线上），故AB 平分EAM ∠． 同理，连BM ，知AB 平分EBM ∠．此时，即知E ，M 关于直线AB 对称，故EM AB ⊥． 于是，在EPQ △中，有EM PQ ⊥，从而EP EQ =．2．根据题设条件构作相交圆例9如图812-，自ABC △的外接圆O 上任一点P ，引三边或其延长线的垂线PL ，PM ，PN ，分别交BC 于L ，交AB 于M ，交CA 于N ，交O 分别于A '，B '，C '．求证：A A B B C C '''∥∥． 证明注意到西姆松定理，知L ，M ，N 三点共线．由P ，B ，L ，M 四点共圆，且此圆与ABC △的外接圆O 相交于P ，B 两点，BC ，PC '是过这两相交圆交点的两条割线，根据相交两圆性质5，知LM CC '∥，同样，PA '，BA 也是过这两相交圆交点的两条割线，由性质6有LM A A '∥．故A A C C ''∥．又由P ，M ，A ，N 四点共圆，此时PN ，AB 是分别过PMAN 与PABC 的交点P ，A 的两条割线，由性质6知BB NL '∥，故A A B B C C '''∥∥． 例10如图813-，等腰ABC △中，AB AC =，D 是AB 延长线上一点，E 是AC 上一点，且CE BD =，DE 交BC 于F ，经过B ，D ，F 的圆交ABC △的外接圆于G ．求证：GF DE ⊥．图8-11NQMPGA CB T Γ2Γ1lE DCC 'A'B L OM N AB'P图8-12证明由题设，知B ，D ，G ，F 及A ，B ，G ，C 分别四点共圆，连BG ，DG ，AG ，有FDG FBG CBG GAC GAE ∠=∠=∠=∠=∠，从而知A ，D ，G ，E 四点共圆．此时，连EG ，FG ，则GEC ADG BDG CFG ∠=∠=∠=∠，所以G ，C ，E ，F 四点共圆．于是，DE ，BC 是过两相交圆BDGF 与GCEF 的交点F 的两条割线． 由于CE BD =， CFE BFD ∠=∠，由两相交圆性质5（2），知BDGF 与GCEF 是等圆．又由A ，B ，G ，C 共圆，有DBG ECG ∠=∠．再注意到性质5（2），知DG GE =． 因B ，D ，G ，F 共圆，有ABC ABF FGD ∠=∠=∠．而ECF ACB ABC ∠=∠=∠，故FGD ECF ∠=∠，即有DF EF =．此时，推知DGF EGF △△≌，有DFG EFG ∠=∠，故GF DE ⊥．例11已知在凸四边形ABCD 中，直线CD 与以AB 为直径的圆相切．求证：直线AB 与以CD 为直径的圆相切的充分必要条件是BC AD ∥． （IMO -25试题） 证明必要性：如图814-，将AB ，CD 的中点分别记为O ，O '，O 切CD 于E ，O '切AB 于F ．连O F '，DF ，AE ，OE ，则O DF '△，OEA △均为等腰三角形．由O '，F ，O ，E 四点共圆，有DO F FOE AOE '∠=∠=∠，从而两等腰三角形的底角相等，即么EDF EAO EAF ∠=∠=∠，由此有D ，A ，F ，E 四点共圆．同理，E ，F ，B ，C 四点共圆．此两圆相交于E ，F ．而CD ，AB 是分别过这两交点的割线，故由性质6，知BC AD ∥．充分性：如图8-15，设O ，O '分别为AB ，CD 的中点，作O F AB '⊥于F ．以AB 为直径的圆切CD 于E ，连OE ，则OE CD ⊥于E ．连OO '，设BC 与O 交于G ，连AG ，过C 作CH GA ∥交DA 于H ．因BC AD ∥，故O O AD '∥．由AG BC ⊥，则O O AG '⊥，OO HC '⊥．图8-13CD图8-14而O '，F ，O ，E 四点共圆，有*O FE O OE O CH '''∠=∠===∠ [其中()*是由O OE '∠与O CH '∠的两对应边互相垂直推得]．设CH 与O F '的交点为M ，则M ，F ，C ，E 四点共圆．又因90MFB BCM ∠=︒=∠，知M ，F ，B ，C 四点共圆，此时，有M ，F ，B ，C ，E 五点共圆．同理，A ，F ，E ，D 四点共圆，且此圆与FBCE 的公共弦为EF ．连AE ，BE ，则90AEB ∠=︒． 连DF ，FC ，则由相交两圆的性质2的推论1，知90DFC ∠=︒，故以CD 为直径的圆过F 点且AB 切于点F ．3．仔细找出相交两圆的内接三角形例12凸四边形ABCD 的对角线交于O 点，OAD △、OBC △的外接圆交于O 、M 两点，直线OM 分别交OAB △、OCD △的外接圆于S 、T 两点．求证：M 是线段TS 的中点．（2006年全国女子奥林匹克题）证法1如图816-，联结BT 、BM 、AM 、CS ，则由推论1，有BTM BAC △∽△，CMS CBD △∽△，从而TM BM AC BC =,MS CMBD BC=．上述两式相除，得TM BM ACMS CM BD=⋅． 又由MDB MAC △△∽，有BM BDCM CA=． 于是，将上式代入前一式，得1TMMS=，即证．DC图8-15图8-16证法2如图816-，设OAB △、OBC △、OCD △， O DA △的外心分别为1O 、2O 、3O 、4O ，则由性质1知12O O BO ⊥，43O O OD ⊥，从而1243O O O O ∥．同理1423O O O O ∥．即知1234O O O O 为平行四边形，设13O O 与24O O 交于点N ，则N 为12O O 的中点，且由24O O 垂直平分OM 知NO NM =．于是，由性质7知M 为TS 的中点．例13两圆1Γ、2Γ交于点A 、B ，过点B 的一条直线分别交圆1Γ、2Γ于点C 、D ，过点B 的另一条直线分别交圆1Γ、2Γ于点E 、F ，直线CF 分别交圆1Γ、2Γ于点P 、Q 设M ，N 分别是弧PB 、QB 的中点，若CD EF =，求证：C 、F 、M 、N 四点共圆．（2010年CMO 试题）证明如图817-，由推论3，知AB 平分CBF ∠ （注意ACD AEF △△≌）． 又CM 平分FCB ∠，FN 平分CFB ∠．于是，AB ，CM ，FN 三线共点于CBF △的内心I ．从而，由相交弦定理，有CI IM AI IB NI IF ⋅=⋅=⋅．故由相交弦定理的逆定理，知C 、F 、M 、N 四点共圆．例14如图818-，在圆内接ABC △中，A ∠为最大角，不含点A 的弧BC 上两点D 、E 分别为弧ABC 、ACB 的中点．记过A ．B 且与AC 相切的圆为1O ，过点A 、E 且与AD 相切的圆为2O ．1O 与2O 相交于A 、P ．证明：AP 平分BAC ∠．（2012年CMO 试题）证明联结BP ，则由题设知ABP PAC ∠=∠．于是，只需证PAB △为等腰三角形，即PA PB =即可．FA IN CQ BP Γ2Γ1图8-17E DM图8-18联结AE 、DE ，延长AD 至Y ，延长AC 交2O 于点F ，联结EF ． 由于点D 为弧ABC 的中点，有DAC DCA DEA ∠=∠=∠．又AY 是2O 的切线，从而180AED AEF DAC EAY ∠+∠=∠+∠=︒，所以，D 、E 、F 三点共线． 延长BA 交2O 于点G ，联结PG 、PF 、AE ，EG ．由推论1，知ADF EDA △△∽，EBG ADF △∽△． 注意到AE BE = （E 为弧ACB 的中点），有AE EA BE BGDF DA AD DF===． 从而AF BG =．又由推论1，有PAF PBG △∽△，于是PAF PBG △△≌． 故PA PB =．即知AP 平分BAC ∠． 【模拟实战】习题A1．两圆1O 与2O 相交于点A 和B ，过点B 作两直线与两圆的交点分别为P ，Q ；C ，D （P ，C 在1O 上），且CD AB ⊥．求证：PC QD ∶为定值． 2．两等圆相交于A ，B ，过A 作直线与两圆分别交于C ，D ．若E 为CD 的中点，求证：BE CD ⊥．3．两圆相交于A ，B ，过A 任作直线被两圆所截得的线段为PQ ，又过A 作AB 的垂线，被两圆所截得的线段为CD ．求证：PQ CD ≤．4．1O 与2O 相交于A ，B 两点，割线CE ，FD 都过B 点（F ，C 在1O 上）．若ABC ABD ∠=∠，求证：CE FD =．习题B1．梯形ABCD 中，AB CD ∥，AB CD >，K ，M 分别是腰AD ，CB 上的点， DAM CBK ∠=∠． 求证： DMA CKB ∠=∠． 2．定长弦PQ （长度小于直径）的两端在半圆弧AB 上滑动．试证：不论PQ 在什么位置，从P ，Q 分别向弦AB 作垂线，其垂足P '，Q '与PQ 中点N 所成三角形都相似．（1981年福州市竞赛题）3．三圆两两相交，并过公共点M ，而另一交点分别为P ，Q ，R ．过其中一圆的PQ 上（不含M 点）任取两点A 与A '（P ，Q ，M 点除外），引直线AP ，AQ ，A P '，A Q '，与其他两圆依次相交于B ，C ，B '，C '．求证：ABC A B C '''△△∽．4．给定正ABC △，D 是BC 边上任意一点，ABD △的外心、内心分别为1O ，1I ，ADC △的外心、内心分别为2O ，2I ，直线11O I 与22O I 相交于P ．求证：点D 为12O O P △的外心．（2001年国家集训队选拔考试题改编） 5．点D 是锐角ABC △的外心，过A ，B ，D 作圆分别交AC ，BC 于M ，N ．证明：ABD △和MNC △的外接圆相等．（第25届全俄奥林匹克题） 6．圆1S 和2S 交于点1A ，4A ，圆2S 和3S 交于点2A ，5A ，圆3S 和1S 交于点3A ，6A ．折线1234567M M M M M M M 使得每条直线1k k M M +含有点k A ．而k M 和1k M +，在相交于点k A 的两圆周上，而且点1k M +，异于点1k A +．证明：点1M 与点7M 重合．（第17届全俄奥林匹克题）。
相交的圆圈
相交的圆圈圆圈，是一个几何学中常见的形状，具有无限多的点，由中心和半径所确定。
当两个圆圈相交时，它们的边界上的点相互重叠，形成了一种特殊的几何关系。
本文将介绍相交的圆圈在几何学中的一些应用和性质。
一、相交圆圈的性质1. 相交圆圈的交点：当两个圆圈相交时，它们的边界上会有两个或者零个交点。
若两个圆圈的半径相等，则它们的交点将在它们的中心连线上；若两个圆圈的半径不相等，则交点将位于外切圆和内切圆的连线上。
2. 相交圆圈的切线：相交圆圈的切线是相切于两个圆圈且同时与两个圆圈的交点重合的直线。
当两个圆圈相交时，它们的切线有两对，即内切线和外切线。
3. 相交圆圈的角度关系：当两个圆圈相交时，它们的边界上的交点将构成一个角。
这个角的大小取决于两个圆圈的半径和它们的相对位置。
二、相交圆圈的应用1. 相交圆圈的几何题：在几何学中，相交的圆圈常常出现在各种题目中。
例如，通过已知的条件求两个相交的圆圈的交点坐标，或者求切线的长度等。
2. 相交圆圈的计算：在计算机图形学和计算机辅助设计中，相交的圆圈的计算是一个重要的问题。
通过计算两个圆圈的交点坐标，可以实现圆弧的绘制和曲线的生成等操作。
3. 相交圆圈的模型：相交的圆圈在建模和设计中也有广泛的应用。
例如，在汽车设计中，车轮和车身常常使用相交的圆圈来表示；在建筑设计中，圆形的柱子和拱门等也常常使用相交的圆圈来构建。
4. 相交圆圈的数学证明：相交的圆圈在数学证明中也有一定的应用。
例如，通过证明两个相交的圆圈的交点坐标满足某种特定的关系，可以推导出一些圆锥曲线的性质。
三、相交圆圈的扩展1. 相交圆圈的三维扩展：在三维空间中，相交的圆圈也有一些有趣的性质。
例如，两个相交的圆圈在平面上的交点将形成一个圆，这个圆的中心和半径可以通过计算得到。
2. 多个相交圆圈的关系：当多个圆圈相交时，它们的关系将更加复杂。
例如，三个圆圈相交的情况下，它们的交点将形成一个三角形；四个圆圈相交的情况下，它们的交点将形成一个四边形。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
C
O1。
B
。O2 E、、
1、两圆相交
。
2、两圆相交，计算题常构造的图形是 ________
证明题常添加的辅助线是_______
_________________________ 。
定理：相交两圆的连心线垂直平分公共弦。
开启 智慧
已知⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，⊙O1的半径 为4cm，⊙O2的半径为2cm，公共弦AB=2厘米 ，求 两圆的圆心距O1O2 。
解：当圆心在公共弦两侧时，如图
A
O1
C
O2
B
本题还存在第二种情况： 圆心在公共弦同侧时，如图
1、理解相交两圆的性质 2、会运用相交两圆的性质解决有关问题
1、两圆相切连心线必过 __切_点__。
ห้องสมุดไป่ตู้
2、如图，⊙O1与⊙O2相交于A、B两
点，则此图形是轴对称图形吗？对称
轴是 ___连_心_线_
A
.O1
.O2
B
A
。O1 C 。O2
B
思考 1、上图中与A成轴对称的点是_______ 2、连心线与两圆的公共弦的位置关系是____
1、⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，点O1在⊙O2 上，AC是⊙O1的径,连接CB并延长，与⊙O2相交于D， 连接AD。 求证：（1）AD是⊙O2的直径（2）DA=DC
A
O1。
CB
。O2 D
2、如图，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，C是 小圆上的一点，连接CB并延长和大圆交于点E，连 接CA 并延长和大圆交于点D，的度数为1000，的度 数为1200 ，求∠C的数。
A
O1 C
O2
B
本题中：直线AO1与⊙O2的位置关系是____相__切____ 直线AO2与⊙O1的位置关系是____相__切____
两圆相交于A、B两点，过A点作直线分别交两 圆于点C、D，E是大圆上的一点，连接BE并延长和 小圆交于点F，连接CF、DE，则图中∠C=∠D吗？
D FA C
E
B
友情提示：两圆相交时公共弦起桥梁作用，将两圆的角联系起来。
A
O1
O2C
B
点燃智慧的火花
回思：1、两圆相交的计算通常有 ____、____ 两种情况。 2、看到相交两圆的计算题时想到运用 _____，常
构造_____来解决。
1、半径为3 cm的两个等圆相交， 公共弦的长为6cm，求两圆的圆心距。
A
O1 C
O2
B
2、如图，半径分别为3厘米和4厘米的 ⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，圆心距O1O2 长为5厘米，求公共弦AB的长。