数学思想与方法模拟考试题及答案

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数学思想方法专题试题(含详细答案)

数学思想方法试题一、选择题1．当x ∈(1,2)时，不等式(x －1)2<log a x 恒成立，则a 的范围是 ( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(1,2] D.⎝⎛⎭⎫0，12 解析：设f 1(x )＝(x －1)2，f 2(x )＝log a x ，要使当x ∈(1,2)时，不等式(x －1)2<log a x 恒成立，只需f 1(x )＝(x －1)2在(1,2)上的图象在f 2(x )＝log a x 的下方即可．当0<a <1时，显然不成立．当a >1时，如图，要使在(1,2)上，f 1(x )＝(x －1)2的图象在f 2(x )＝log a x 的下方，只需f 1(2)≤f 2(2)，即(2－1)2≤log a 2，log a 2≥1，∴1<a ≤2.答案：C2．设函数f (x )＝x 3＋sin x ，若0≤θ≤π2时，f (m cos θ)＋f (1－m )>0恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(－∞，0)C ．(－∞，1) D.⎝⎛⎭⎫－∞，12 解析：易知f (x )为奇函数、增函数，f (m cos θ)＋f (1－m )>0，即f (m cos θ)>f (m －1)，∴m cos θ>m －1，而0≤θ≤π2时，cos θ∈[0,1]， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m >m －1，0>m －1得m <1. 答案：C3．方程x 2－32x －m ＝0在x ∈[－1,1]上有实根，则m 的取值范围是 ( )A ．m ≤－916B ．－916<m <52C ．m ≥52D ．－916≤m ≤52解析：m ＝x 2－32x ＝⎝⎛⎭⎫x －342－916≤52，又当x ＝34时，m 最小为－916， ∴－916≤m ≤52. 答案：D4．已知函数f (x )＝3－2|x |，g (x )＝x 2－2x ，构造函数F (x )，定义如下：当f (x )≥g (x )时，F (x )＝g (x )；当f (x )<g (x )时，F (x )＝f (x )．那么F (x ) ( )A ．有最大值3，最小值－1B ．有最大值7－27，无最小值C ．有最大值3，无最小值D ．无最大值，也无最小值解析：画图得到F (x )的图象：为射线AC 、抛物线弧AB 及射线BD 三段，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋3y ＝x 2－2x 得x A ＝2－7，代入得F (x )最大值为7－27，由图可得F (x )无最小值，从而选B.答案：B5．已知函数y ＝xf ′(x )的图象如图所示(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数)，以下四个图象中，y ＝f (x )的大致图象是 ( )解析：函数y＝xf′(x)是y＝f′(x)与y＝x的复合函数，当y＝0且x∈R时，必有f′(x) ＝0.因而其图象与x轴交点即为f′(x)＝0两根．由图象提供的信息，函数y＝f(x)在x＝1和x＝－1处取得极值．观察图象，只有C项合适．答案：C6．已知x，y∈R，且2x＋3y>2－y＋3－x，那么() A．x＋y<0 B．x＋y>0C．xy<0 D．xy>0解析：设f(x)＝2x－3－x.因为2x，－3－x均为R上的增函数，所以f(x)＝2x－3－x是R上的增函数又由2x－3－x>2－y－3y＝2－y－3－(－y)，即f(x)>f(－y)，∴x>－y，即x＋y>0.选B.答案：B二、填空题7．已知：f(x)＝x1－x，设f1(x)＝f(x)，f n(x)＝f n－1[f n－1(x)](n>1且n∈N*)，则f3(x)的表达式为________，猜想f n(x)(n∈N*)的表达式为________．解析：由f1(x)＝f(x)和f n(x)＝f n－1[f n－1(x)](n>1且n∈N*)，得f2(x)＝f1[f1(x)]＝x1－x1－x1－x＝x1－2x，f3(x)＝f2[f2(x)]＝x1－2x1－2x1－2x＝x1－22x，…，由此猜想f n (x )＝x 1－2n 1x(n ∈N *)．答案：x 1－22x x 1－2n －1x8．若方程lg(x －1)＋lg(3－x )＝lg(a －x )只有一个根，则a 的取值范围是________．解析：原方程等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x －1>03－x >0a －x >0(x －1)(3－x )＝a －x即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－x 2＋5x －31<x <3，构造函数y ＝－x 2＋5x －3(1<x <3)和y ＝a ，作出它们的图象，易知平行于x 轴的直线与抛物线的交点情况为：①当1<a ≤3或a ＝134时，原方程有一解； ②当3<a <134时，原方程有两解； ③当a ≤1或a >134时，原方程无解．因此，a 的取值范围是1<a ≤3或a ＝134. 答案：1<a ≤3或a ＝1349．若曲线y 2＝|x |＋1与直线y ＝kx ＋b 没有公共点，则k 、b 分别应满足的条件是________．解析：y 2＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0－x ＋1，x <0，其图象如图所示，对直线y ＝kx ＋b ，k ≠0时，直线与曲线一定相交，只有当k ＝0，且－1<b <1时无交点．故填k ＝0；－1<b <1.答案：k ＝0，－1<b <110．若不等式x 2＋px >4x ＋p －3对一切0≤p ≤4均成立，则实数x 的取值范围为________．解析：∵x 2＋px >4x ＋p －3，∴(x －1)p ＋x 2－4x ＋3>0.令g (p )＝(x －1)p ＋x 2－4x ＋3，则要使它对0≤p ≤4均有g (p )>0，只要⎩⎪⎨⎪⎧g (0)>0g (4)>0， ∴x >3或x <－1.答案：x >3或x <－1三、解答题11．若函数f (x )＝a ＋b cos x ＋c sin x 的图象经过点(0,1)和⎝⎛⎭⎫π2，1，且当x ∈[0，π2]时，－2≤f (x )≤2恒成立，试求a 的取值范围解：∵f (x )过(0,1)和⎝⎛⎭⎫π2，1，∴f (0)＝a ＋b ＝1，f ⎝⎛⎭⎫π2＝a ＋c ＝1，即b ＝c ＝1－a .∴f (x )＝a ＋(1－a )(cos x ＋sin x )＝a ＋2(1－a )sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4. ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴π4≤x ＋π4≤34π. ∴22≤sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≤1. f (x )的取值范围与1－a 的正负有关系，从而讨论如下：①当a ≤1时，1≤f (x )≤a ＋2(1－a )．∵－2≤f (x )≤2，∴只要a ＋2(1－a )≤2解得a ≥－2，∴－2≤a ≤1.②当a >1时，a ＋2(1－a )≤f (x )≤1，∵－2≤f (x )≤2，只要a ＋2(1－a )≥－2，解得a ≤4＋3 2.∴1<a ≤4＋3 2.结合①②知，实数a 的取值范围为[－2，4＋32]．12．已知函数f (x )＝ax 4ln x ＋bx 4－c (x >0)在x ＝1处取得极值－3－c ，其中a ，b ，c 为常数．(1)试确定a ，b 的值；(2)讨论函数f (x )的单调区间；(3)若对任意x >0，不等式f (x )≥－2c 2恒成立，求c 的取值范围．解：(1)由题意知f (1)＝－3－c ，因此b －c ＝－3－c ，从而b ＝－3.又对f (x )求导得f ′(x )＝4ax 3ln x ＋ax 4·1x＋4bx 3＝x 3(4a ln x ＋a ＋4b )．由题意f ′(1)＝0，因此a ＋4b ＝0，解得a ＝12.(2)由(1)知f ′(x )＝48x 3ln x (x >0)，令f ′(x )＝0，解得x ＝1.当0<x <1时，f ′(x )<0，此时f (x )为减函数；当x >1时，f ′(x )>0，此时f (x )为增函数．因此f (x )的单调递减区间为(0,1)，而f (x )的单调递增区间为(1，＋∞)．(3)由(2)知，f (x )在x ＝1处取得极小值f (1)＝－3－c ，此极小值也是最小值要使f (x )≥－2c 2(x >0)恒成立，只需－3－c ≥－2c 2.即2c 2－c －3≥0，从而(2c －3)(c ＋1)≥0，解得c ≥32或c ≤－1. 所以c 的取值范围为(－∞，－1]∪⎣⎡⎭⎫32，＋∞. 13．已知函数f (x )＝－x 2＋8x ，g (x )＝6ln x ＋m .(1)求f (x )在区间[t ，t ＋1]上的最大值h (t )；(2)是否存在实数m 使得y ＝f (x )的图象与y ＝g (x )的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由．解：(1)f (x )＝－x 2＋8x ＝－(x －4)2＋16.当t ＋1<4，即t <3时，f (x )在[t ，t ＋1]上单调递增，h (t )＝f (t ＋1)＝－(t ＋1)2＋8(t ＋1)＝－t 2＋6t ＋7；当t ≤4≤t ＋1即3≤t ≤4时，h (t )＝f (4)＝16；当t >4时，f (x )在[t ，t ＋1]上单调递减，h (t )＝f (t )＝－t 2＋8t .综上，h (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －t 2＋6t ＋7，t <3，16，3≤t ≤4，－t 2＋8t ，t >4.(2)函数y ＝f (x )的图象与y ＝g (x )的图象有且只有三个不同的交点，即函数Φ(x )＝g (x )－f (x )的图象与x 轴的正半轴有且只有三个不同的交点．∵Φ(x )＝x 2－8x ＋6ln x ＋m ，∴Φ′(x )＝2x －8＋6x ＝2x 2－8x ＋6x＝2(x －1)(x －3)x(x >0) 当x ∈(0,1)时，Φ′(x )>0，Φ(x )是增函数；当x ∈(1,3)时，Φ′(x )<0，Φ(x )是减函数；当x ∈(3，＋∞)时，Φ′(x )>0，Φ(x )是增函数；当x ＝1或x ＝3时，Φ′(x )＝0.∴Φ(x )极大值＝Φ(1)＝m －7，Φ(x )极小值＝Φ(3)＝m ＋6ln 3－15.∵当x 充分接近0时，Φ(x )<0，当x 充分大时，Φ(x )>0∴要使Φ(x )的图象与x 轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须⎩⎪⎨⎪⎧Φ(x )极大值＝m －7>0，Φ(x )极小值＝m ＋6ln 3－15<0. 即7<m <15－6ln 3.所以存在实数m ，使得函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象有且只有三个不同的交点，m 的取值范围为(7,15－6ln 3)。

《数学思想与方法》形考答案1

一、填空题（每题3分，共30分）题目1标记题目题干1．算法的有效性是指（）反馈正确答案是：如果使用该算法从它的初始数据出发，能够得到这一问题的正确解题目2标记题目题干2．数学的研究对象大致可以分成两大类：（）反馈正确答案是：数量关系，空间形式题目3标记题目题干3．所谓数形结合方法，就是在研究数学问题时，（）的一种思想方法。

反馈正确答案是：由数思形、见形思数、数形结合考虑问题题目4标记题目题干4．推动数学发展的原因主要有两个：（），数学思想方法的几次突破就是这两种需要的结果。

反馈正确答案是：实践的需要，理论的需要题目5标记题目题干5.古代数学大体可分为两种不同的类型：一种是崇尚逻辑推理，以《几何原本》为代表；一种是长于计算和实际应用，以（）为典范。

反馈正确答案是：《九章算术》题目6标记题目题干6．匀速直线运动的数学模型是（）。

反馈正确答案是：一次函数题目7标记题目题干7．数学的统一性是客观世界统一性的反映，是数学中各个分支固有的内在联系的体现，它表现为（）的趋势。

反馈正确答案是：数学的各个分支相互渗透和相互结合题目8标记题目题干8．不完全归纳法是根据（），作出关于该类事物的一般性结论的推理方法。

反馈正确答案是：对某类事物中的部分对象的分析题目9标记题目题干9．学生理解或掌握数学思想方法的过程一般有三个主要阶段：（）反馈正确答案是：潜意识阶段、明朗化阶段、深刻理解阶段题目10标记题目题干10．在实施数学思想方法教学时，应该注意三条原则：（）反馈正确答案是：化隐为显原则、循序渐进原则、学生参与原则标记题目信息文本二、判断题（每题4分，共20分。

在括号里填上是或否）题目11标记题目题干1．计算机是数学的创造物，又是数学的创造者。

选择一项：对错反馈正确的答案是“对”。

题目12标记题目题干2．抽象得到的新概念与表述原来的对象的概念之间一定有种属关系。

选择一项：对错反馈正确的答案是“错”。

题目13标记题目题干3．一个数学理论体系内的每一个命题都必须给出证明。

数学思想与方法模拟卷C(形考)

数学思想与方法模拟卷C(形考)一、填空题（每空格3分，共30分）1．（）是联系数学知识与数学能力的纽带，是数学科学的灵魂，它对发展学生的数学能力，提高学生的思维品质都具有十分重要的作用。

答案：数学思想方法2．三段论是演绎推理的主要形式，它由（）、（）、（）三部分组成。

答案：大前提、小前提、结论3．传统数学教学只注重（）的传授，而忽略对知识发生过程中（）的挖掘。

答案：形式化数学知识，数学思想方法4．特殊化方法是指在研究问题中，（）的思想方法。

答案：从对象的一个给定集合出发，进而考虑某个包含于该集合的较小集合5.数学模型可以分为三类：（）、（）、（）。

答案：概念型，方法型，结构型二、判断题（每题4分，共20分。

在括号里填上是或否）1．数学抽象摆脱了客观事物的物质性质，从中抽取其数与形，因而数学抽象具有无物质性。

选择一项：对错2．数学公理化方法在其他学科也能起到作用，所以它是万能的。

选择一项：对错3．数学模型具有预测性、准确性和演绎性，但不包括抽象性。

选择一项：对错4．猜想具有两个显著的特点：一定的科学性和一定的推测性。

选择一项：对错5．表层类比和深层类比其涵义是一样的。

选择一项：对错三、简答题（每题10分，共50分）1．为什么说数学模型方法是一种迂回式化归？因为运用数学模型方法解决问题时，不是直接求出实际问题的解，因为这样做往往是行不通的或者花费过分昂贵。

而是先将实际问题化归为一个合适的数学模型，然后通过求数学模型的解间接求出原实际问题的解，走的是一条迂回的道路。

因此，我们说数学模型方法是一种迂回式化归。

2．特殊化在数学教学中的作用有哪些？特殊化方法在数学教学中的应用大致有如下几个方面：利用特殊值(图形)解选择题；利用特殊化探求问题结论；利用特例检验一般结果；利用特殊化探索解题思路。

3．为什么数形结合方法在数学中有着非常广泛的应用？因为数学研究的是现实世界的数量关系和空间形式，而现实世界本身是同时兼备数与形两种属性的，既不存在有数无形的客观对象，也不存在有形无数的客观对象。

国家开放大学数学思想与方法模拟试卷D卷

本次模拟测试包括：填空题（每空3分，共30分），判断题（每题4分，共20分），简答题（每题10分，共50分），总计100分。

模拟测试不限答题次数，你可以反复练习。

一、填空题（每空格3分，共30分）1．算法的有效性是指（______ ）。

正确答案: 如果使用该算法从它的初始数据出发，能够得到这一问题的正确解2．所谓数形结合方法，就是在研究数学问题时，（______ ）的一种思想方法。

正确答案: 由数思形、见形思数、数形结合考虑问题3．古代数学大体可分为两种不同的类型：一种是崇尚逻辑推理，以《几何原本》为代表；一种是长于计算和实际应用，以（）为典范。

正确答案: 《九章算术》4．数学的统一性是客观世界统一性的反映，是数学中各个分支固有的内在联系的体现，它表现为（______ ）的趋势正确答案: 数学的各个分支相互渗透和相互结合5．学生理解或掌握数学思想方法的过程一般有三个主要阶段：（）、（）、（）。

正确答案: 潜意识阶段、明朗化阶段、深刻理解阶段6．在数学中建立公理体系最早的是几何学，而这方面的代表著作是古希腊欧几里得的（______ ）。

正确答案: 《几何原本》7．随机现象的特点是（______ ）。

正确答案: 在一定条件下，可能发生某种结果，也可能不发生某种结果8．演绎法与（______ ）被认为是理性思维中两种最重要的推理方法。

正确答案: 归纳法二、判断题（每题4分，共20分。

在括号里填上是或否）9．数学史上著名的“哥尼斯堡七桥问题”最后由欧拉用一笔画方法解决了其无解。

A.对B.错正确答案: A10．分类方法具有两要素：母项与子项。

A.对B.错正确答案: B11．算法具有无限性、不确定性与有效性。

A.对B.错正确答案: B12．理论方法、实验方法和计算方法并列为三种科学方法。

A.对B.错正确答案: A13．最早使用数学模型方法的当数中国古人。

A.对B.错正确答案: A三、简答题（每题10分，共50分）14．模型化的方法、开放性的归纳体系及算法化的内容之间的关系正确答案：模型化的方法与开放性的归纳体系及算法化的内容之间是互相适应并且互相促进的。

高中数学思想方法与模拟试题

高中数学思想方法与模拟试题思想一函数与方程思想和函数与方程思想密切关联的知识点(1)函数与不等式的相互转化．对函数y ＝f (x )，当y >0时，就化为不等式f (x )>0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式．(2)数列的通项与前n 项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要．(3)在三角函数求值中，把所求的量看作未知量，其余的量通过三角函数关系化为未知量的表达式，那么问题就能化为未知量的方程来解．(4)解析几何中的许多问题，例如直线与二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决．这都涉及二次方程与二次函数的有关理论．(5)立体几何中有关线段的长、面积、体积的计算，经常需运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决.【热点分类突破】类型一　函数与方程思想在数列中的应用例1已知数列{}n a 是等比数列，首项11a =，公比0q >,其前n 项和为n S ,且113322,,S a S a S a +++,成等差数列.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足11,2n na b n n a T +⎛⎫= ⎪⎝⎭为数列{}n b 前n 项和，若n T m ≥恒成立，求m 的最大值.例2已知数列{}n a 中，11a =，且点()()*1n n P a a n N +∈，在直线10x y -+=上．⑴求数列{}n a 的通项公式；⑵若函数()123123nnf n n a n a n a n a =++++++++…（n N ∈，且2n ≥），求函数()f n 的最小值；⑶设1n nb a =，n S 表示数列{}n b 的前n 项和，试问：是否存在关于n 的整式()g n ，使得()()12311n n S S S S S g n -++++=-⋅…对于一切不小于2的自然数n 恒成立？若存在，写出()g n 的解析式，并加以证明；若不存在，试说明理由．类型二　函数与方程思想在方程中的应用例3已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，若方程()2123f x x x +=+-的零点分别为12,,...,n x x x ，则12n x x x +++=L （）A．nB．n- C.2n-D．3n-【举一反三】设定义域为R 的函数|1|251,0,()44,0x x f x x x x -⎧-≥⎪=⎨++<⎪⎩若关于x 的方程22()(21)()0f x m f x m -++=有7个不同的解，则m =（）A．6 B．4或6C．6或2 D．2类型三　函数与方程思想在不等式中的应用例 4 已知 f (x ) =2x ln x ，g (x ) =x 3 +ax 2−x +2．（1）如果函数()g x 的单调递减区间为1(,1)3-，求函数()g x 的解析式；（2）在（1）的条件下，求函数()y g x =的图象在点(1,(1))P g --处的切线方程；（3）已知不等式()'()f x g x ≤2+恒成立，若方程0aae m -=恰有两个不等实根，求m 的取值范围．【举一反三】已知函数()ln f x ax x =+,其中a ∈R ．（Ⅰ）若()f x 在区间[1,2]上为增函数，求a 的取值范围；（Ⅱ）当e a =-时，证明：()20f x +≤；（Ⅲ）当e a =-时，试判断方程ln 3()2x f x x =+是否有实数解，并说明理由．类型四　函数与方程思想在解析几何中的应用例5已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的焦距为，y 轴上一点Q 的坐标为（0,3）.（1）求该椭圆的方程；（2）若对于直线:l y x m =+，椭圆C 上总存在不同的两点A 与B 关于直线l 对称，且332QA QB <u u u v u u u vg ，求实数m 的取值范围.【举一反三】已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过点()2 1M ，.（1）求椭圆C 的方程；（2）设()0 1A -，，直线l 与椭圆C 交于 P Q ，两点，且AP AQ =，当OPQ △（O 为坐标原点）的面积S 最大时，求直线l 的方程.思想一函数与方程思想强化训练1一．选择题1.对于函数()y f x =，部分x 与y 的对应关系如下表：x123456789y745813526数列{}n x 满足12x =，且对任意*n N ∈，点1(,)n n x x +都在函数()y f x =的图象上，则1232016x x x x ++++…的值为（）A．9400 B．9408 C．9410 D．94142.已知二次曲线2214x y m+=，则当[]2,1m ∈--时，该曲线的离心率e 的取值范围是（）A． B． C． D．3.已知函数()f x 满足()(2)f x f x =，当[1,2)x ∈，()ln f x x =，若在区间[1,4)内，函数()()g x f x ax =-恰有一个零点，则实数a 的取值范围是（）A．ln 2[1,)2B．ln 2[1,)4C．ln 2ln 2[,42D．ln 2ln 2(,)424.设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，则“1q =”是“623S S =”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5.已知12F F 、是双曲线2222:1x y E a b-=的左、右焦点，过点1F 且与x 轴垂直的直线与双曲线左支交于点,M N ，已知2MF N ∆是等腰直角三角形，则双曲线的离心率是（）．A．B．2C．1D．26.设函数()3236222x xf x e x x x ae x ⎛⎫=+-+-- ⎪⎝⎭，若不等式()0f x ≤在[)2,-+∞上有解，则实数a 的最小值为（） A．312e -- B．322e -- C．3142e --D．11e--7.已知函数2,0,()2,0,x bx c x f x x ⎧++≤=⎨>⎩若(4)(0)f f -=，(2)2f -=-，则函数()y f x x =-的零点个数为（）A．1B．2C．3 D．48.已知a ，b 是实数，1和1-是函数32()f x x ax bx =++的两个极值点，设()(())h x f f x c =-，其中(2,2)c ∈-，函数()y h x =的零点个数（）A．8 B．9C．10 D．119.已知函数()21(,g x a x x e e e=-≤≤为自然对数的㡳数) 与()2ln h x x =的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（）A． 21,2e ⎡⎤-⎣⎦ B．211,2e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦C.2212,2e e ⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦D．)22,e ⎡-+∞⎣10.若方程2|21|0x x t ---=有四个不同的实数根1234,,,x x x x ，且1234x x x x <<<，则41322()()x x x x -+-的取值范围是（）A． B．(8, C. D．二、填空题11.已知α为锐角，且tan 1α=，函数2()tan 2sin(24f x x x παα=+⋅+，数列{}n a 的首项112a =，1()n n a f a +=，则1n a +与n a 的大小关系为．12.若221:20C x y x +-=与()2:210C y y ax a -++=有四个不同的交点，则a 的取值范围．13.已知双曲线()2222:10x y C b a a b-=>>的右焦点为F ，O 为坐标原点，若存在直线l 过点F 交双曲线C 的右支于A ，B 两点，使0OA OB ⋅=u u u r u u u r，则双曲线离心率的取值范围是．14.已知函数()()21xf x e x ax a =--+，其中a <1，若存在唯一的整数0x ，使得()0f x <0，则a 的取值范围是．(e 为自然对数的底数)三、解答题15.在ABC ∆中，点D 在BC 边上，AD 平分BAC ∠，6,4AB AD AC ===.(Ⅰ)利用正弦定理证明：AB BDAC DC=；(Ⅱ)求BC 的长.16.已知函数)1,0(12)(2<=/++-=b a b ax ax x g 在区间]3,2[上有最大值4，最小值1，对称轴为x=1．设函数⋅=xx g x f )()((1)求a、b 的值及函数)(x f 的解析式；(2)若不等式02)2(≥⋅-xx k f 在]1,1[-∈x 时恒成立，求实数k 的取值范围．17.已知函数()ln ()f x x a x a R =+∈.（1）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处与直线32y x =-相切，求a 的值；（2）若函数2()()g x f x kx =-有两个零点12,x x ，试判断12'()2x x g +的符号，并证明.思想一函数与方程思想强化训练2一．选择题1.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，点M ，N ，F 分别为椭圆C 的左顶点、上顶点、左焦点，若90MFN NMF ∠=∠+︒，则椭圆C 的离心率是（ 2.已知函数2()ln f x x ax ax =-+恰有两个零点，则实数a 的取值范围为（）A．(,0)-∞B．(0,)+∞C．(0,1)(1,)+∞U D．{}(,0)1-∞U 3.如图，在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别为AB ，AD 上的点，且32 43AM AB AN AD ==u u u u r u u u r u u u r u u u r，，连接AC ，MN 交于P 点，若AP AC λ=u u u r u u u r，则λ的值为（）CA．35B．37C.613D．6174.已知函数()f x 是R 上的单调函数，且对任意实数x ，都有21(())213x f f x +=+，则2(log 3)f =（）A．1B．45C.12D．05.设函数|1|1lg(2),2,()10,2,x x x f x x -+->⎧=⎨≤⎩若()0f x b -=有三个不等实数根，则b 的取值范围是（）A．(0,10] B．1(,10]10C．1(,10)10D．(1,10]6.已知数列{}n a 满足：11a =，12n n n a a a +=+()n N *∈．若11(2)(1)n nb n a λ+=-⋅+()n N *∈，1b λ=-，且数列{}n b 是单调递增数列，则实数λ的取值范围是（） A．23λ>B．32λ>C．32λ<D．23λ<7.已知函数()()2ln 1,23f x x g x x x =-=-++，用{}min ,m n 表示,m n 中最小值，设()()(){}min ,h x f x g x =，则函数()h x 的零点个数为( )A．1 B．2 C. 3 D．48.定义在R 上的奇函数()y f x =满足()30f =，且当0x >时，()()'f x xf x >-恒成立，则函数()()lg 1g x xf x x =++的零点的个数为（）A．1 B．2 C.3 D．49.设函数ln ()xf x x=，关于x 的方程()()210f x mf x +-=⎡⎤⎣⎦有三个不同的实数解，则实数m 的取值范围是（）A．1,e e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭B．1,e e⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C． ()0,e D．()1,e 二、填空题10.对于数列{}n x ，若对任意*n N ∈，都有212n n n x x x +++<成立，则称数列{}n x 为“减差数列”.设2122n n tn nb t --=-，若数列()*567,,,,5,n b b b b n n N ≥∈L 是“减差数列”，则实数t 的取值范围是．11.已知12,x x 是函数()2sin 2cos 2f x x x m =+-在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦内的两个零点，则()12sin x x += ． 12.在正方体ABCD 中，M 是BD 的中点，且(),AM mAB nAD m n R =+Îu u u u r u u u r u u u r ，函数()1xf x e ax =-+，的图象为曲线G ，若曲线G 存在与直线()y m n x =+垂直的切线（e 为自然对数的底数），则实数a 的取值范围是____________.13.函数()f x ，()g x 的定义域都是D ，直线0x x =（0x D ∈），与()y f x =，()y g x =的图象分别交于A ，B 两点，若||AB 的值是不等于0的常数，则称曲线()y f x =，()y g x =为“平行曲线”，设()ln x f x e a x c =-+（0a >，0c ≠），且()y f x =，()y g x =为区间(0,)+∞的“平行曲线”，(1)g e =，()g x 在区间(2,3)上的零点唯一，则a 的取值范围是．三、解答题14.已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C的对边，且cos sin 0a C C b c +--=．（1）求A ；（2）若AD 为BC边上的中线，1cos ,7B AD ==，求ABC ∆的面积．15.已知各项均不相等的等差数列{}n a 的前五项和520S =，且137,,a a a 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若n T 为数列11{}n n a a +的前n 项和，且存在*n N ∈，使得10n n T a λ+-≥成立，求实数λ的取值范围.16.已知函数()ln f x x x =，2()3g x x ax =-+-.（1）求函数()f x 在[,2](0)t t t +>上的最小值；（2）对一切(0,)x ∈+∞，2()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围；（3）探讨函数12()ln xF x x e ex=-+是否存在零点？若存在，求出函数()F x 的零点；若不存在，请说明理由.思想二分类讨论思想分类讨论的常见类型(1)由数学概念引起的分类讨论：有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等．(2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论：有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n 项和公式、函数的单调性等．(3)由数学运算要求引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等．(4)由图形的不确定性引起的分类讨论：有的图形类型、位置需要分类：如角的终边所在的象限；点、线、面的位置关系等．(5)由参数的变化引起的分类讨论：某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法．(6)由实际意义引起的讨论：此类问题在应用题中，特别是在解决排列、组合中的计数问题时常用．分类讨论的原则 (1)不重不漏．(2)标准要统一，层次要分明．(3)能不分类的要尽量避免或尽量推迟，决不无原则地讨论．解分类问题的步骤 (1)确定分类讨论的对象：即对哪个变量或参数进行分类讨论．(2)对所讨论的对象进行合理的分类．(3)逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决．(4)归纳总结：将各类情况总结归纳.类型一：分类讨论思想在集合与简易逻辑中的运用例1.已知{}(){}222|40,|2110A x x x B x x a x a =+==+++-=，其中a R ∈，如果A B B =I ，求实数a 的取值范围.例2.已知命题:p 指数函数2()lg(4)f x ax x a =-+的定义域为R ；命题:q 不等式222x x ax +>+，对(,1)x ∀∈-∞-上恒成立. （1）若命题p 为真命题，求实数a 的取值范围；（2）若命题“p q ∨”为真命题，命题“p q ∧”为假命题，求实数a 的取值范围.举一反三1.设集合{}|(21)(2)0A x x m x m =-+-+<，{}|114B x x =≤+≤．（1）若1m =，求A B I ；（2）若A B A =I ，求实数m 的取值集合．2.已知命题:p 函数()()2lg 6f x ax x a =-+的定义域为R ，命题:q 关于x 的方程223210x ax a -++=的两个实根均大于3，若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，求实数a 的取值范围．类型二：分类讨论思想在导数中的运用例3.已知函数3211()(1)323a f x x a x x =-++-（a R ∈）．（1）若0a <，求函数()f x 的极值；（2）当1a ≤时，判断函数()f x 在区间[]0,2上零点的个数．【举一反三】已知函数()2ln f x a x x x =+-，其中a R ∈.（Ⅰ）当0a >时，讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）当1x ≥时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围.类型三：分类讨论思想在解析几何中的运用例4.设椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，E 上一点P 到右焦点距离的最小值为1．（1）求椭圆E 的方程；（2）过点(0,2)的直线交椭圆E 于不同的两点A ，B ，求OA OB ⋅u u u r u u u r的取值范围．【举一反三】已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过点()2 1M ，.（1）求椭圆C 的方程；（2）若过原点的直线1l 与椭圆C 交于 P Q ，两点，且在直线2:0l x y -+=上存在点M ，使得MPQ △为等边三角形，求直线1l 的方程.思想二分类讨论思想强化训练一．选择题1.已知数列{}n a 的前n 项和()0nn S Aq B q =+≠，则“A B =-“是“数列{}n a 是等比数列”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2.已知集合{}{}22,1,0,2,3,|1,A B y y x x A =--==-∈，则A B I 中元素的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．53.若函数()f x 为定义在R 上的连续奇函数且3()'()0f x xf x +>对0x >恒成立，则方程3()1x f x =-的实根个数为（）A．0B．1C．2D．34.在公差3d =的等差数列{}n a 中，242a a +=-，则数列{}n a 的前10项和为（）A．127B．125C.89D．705.已知数列1234,,,a a a a 满足()1411111,1,2,322n n n na a a a n a a ++=-=-=，则1a 所有可能的值构成的集合为（）A．1,12⎧⎫±±⎨⎬⎩⎭B．{}1,2±± C．1,22⎧⎫±±⎨⎬⎩⎭D．1,1,22⎧⎫±±±⎨⎬⎩⎭6.已知函数ln(1),0()11,02x x f x x x +>⎧⎪=⎨+≤⎪⎩，若m n <，且()()f m f n =，则n m -的取值范围是（）A.[32ln 2,2)-B. [32ln 2,2]-C. [1,2]e -D. [1,2)e -7.设函数ln ()xf x x=，关于x 的方程()()210f x mf x +-=⎡⎤⎣⎦有三个不同的实数解，则实数m 的取值范围是（）A．1,e e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭B．1,e e⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C． ()0,e D．()1,e 8.已知函数()()3sin 2f x ax x a R =-∈，且在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为32π-，则实数a 的值为( )A．12B．1 C.32D．2二、填空题9.已知{|322}A x x =≤≤，{|2135}B x a x a =+≤≤-，B A ⊆，则a 的取值范围为________.10.若n S 为数列{}n a 的前n 项和，且12n n n S a a +=，14a =，则数列{}n a 的通项公式为n a =．11.若数列{}n a23n n ++=+L ，则12231n a a a n +++=+L __________. 12.已知函数()()21xf x e x ax a =--+，其中a <1，若存在唯一的整数0x ，使得()0f x <0，则a 的取值范围是．(e 为自然对数的底数)三、解答题13.已知m R ∈，设[]: 1 1p x ∀∈-，，2224820x x m m --+-≥成立；[]: 1 2q x ∃∈，，()212log 11x mx -+<-成立，如果“p q ∨”为真，“p q ∧”为假，求m 的取值范围.14.已知数列{}n a 的前n 项和为2,n n S S n n =+.（Ⅰ）求{}n a 的通项公式n a ；（Ⅱ）若()1223,,k k k a a a k N *++∈恰好依次为等比数列{}n b 的第一、第二、第三项，求数列n n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .15.已知a R ∈，函数()()|1|f x x a x =--．若3a =，求()f x 的单调递增区间；思想三数形结合思想数形结合的思想在每年的高考中都有所体现，它常用来研究方程根的情况，讨论函数的值域（最值）及求变量的取值范围等．对这类内容的选择题、填空题，数形结合特别有效．数形结合的重点是研究“以形助数”，借助各种函数的图象和方程的曲线为载体，考查数形结合的思想方法，在考题形式上，不但有小题，还会有解答题，在考查的数量上，会有多个小题考查数形结合的思想方法． 1．数形结合思想解决的问题常有以下几种：（1）构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围；（2）构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围；（3）构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系；（4）构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式；（5）构建立体几何模型研究代数问题；（6）构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题；（7）构建方程模型，求根的个数；（8）研究图形的形状、位置关系、性质等．2．数形结合思想在高考试题中主要有以下六个常考点（1）集合的运算及Venn 图；（2）函数及其图象；（3）数列通项及求和公式的函数特征及函数图象；（4）方程（多指二元方程）及方程的曲线；（5）对于研究距离、角或面积的问题，可直接从几何图形入手进行求解即可；（6）对于研究函数、方程或不等式（最值）的问题，可通过函数的图象求解（函数的零点、顶点是关键点），做好知识的迁移与综合运用．3．数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解选择题、填空题时发挥着奇特功效，这就要求在平时学习中加强这方面的训练，以提高解题能力和速度．具体操作时，应注意以下几点：（1）准确画出函数图象，注意函数的定义域；（2）用图象法讨论方程（特别是含参数的方程）的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先要把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式（有时可能先作适当调整，以便于作图），然后作出两个函数的图象，由图求解；（3）在解答题中数形结合思想是探究解题的思路时使用的，不可使用形的直观代替相关的计算和推理论证．类型一　利用数形结合思想讨论方程的根、函数的零点例1.设定义域为R 的函数|1|251,0,()44,0x x f x x x x -⎧-≥⎪=⎨++<⎪⎩若关于x 的方程22()(21)()0f x m f x m -++=有7个不同的实数解，则m =（）A．6 B．4或6 C．6或2 D．2【举一反三】已知函数()()2ln 1,23f x x g x x x =-=-++，用{}min ,m n 表示,m n 中最小值，设()()(){}min ,h x f x g x =，则函数()h x 的零点个数为( )A．1 B．2 C.3D．4类型二　利用数形结合思想解不等式或求参数范围例2.已知函数|ln |)(x x f =，关于x 的不等式)1()1()(-≥-x c f x f 的解集为),0(+∞，则实数c 的取值范围是 .【举一反三】已知函数()()21xf x ex ax a =--+，其中a <1，若存在唯一的整数0x ，使得()0f x <0，则a 的取值范围是．(e 为自然对数的底数)类型三　利用数形结合思想求最值“形”可以使某些抽象问题具体化，而‘数”可以使思维精确化，应用数形结合在某些求最值问题中，可以收到意想不到的效果．例3．已知,x y 满足2303301x y x y y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，2z x y =+的最大值为m ，若正数,a b 满足a b m +=，则14a b +的最小值为（）A. 9B.32C.34 D.52【规律总结】在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：①要彻底弄清一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论，既分析其几何意义又分析其代数意义；②要恰当设立参数，合理建立关系，由数思形，以形思数，做好数形转化；③要正确确定参数的取值范围．利用数形结合求最值的方法步骤：第一步：分析数理特征，确定目标问题的几何意义．一般从图形结构、图形的几何意义分析代数式是否具有几何意义；第二步：转化为几何问题．把代数式进行几何转化，转化为具有直观几何意义构图形，第三步：解决几何问题；第四步：回归代数问题；第五步：回顾反思．应用几何意义数形结合法解决问题需要熟悉常见的几何结构的代数形式，主要有：（1）比值——可考虑直线的斜率；（2）二元一次式——可考虑直线的截距；（3）根式分式——可考虑点到直线的距离；（4）根式——可考虑两点间的距离．【举一反三】对于任意实数x ,f (x ) 取4 −x ，x +2 ，3x 三个值中最小的值，则f (x )的最大值为类型四　运用数形结合思想解决解析几何中的问题例 4.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M 的半径为5 ，且圆M 与圆N ：x 2 +y 2 −Ey =0 外切，切点为A (2 ， 4).（1）求E 及圆M 的标准方程；（2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于点B ，点C ，且BC =OA ，求直线l 的方程；（3）设点() 0T t ，满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得TA TP TQ +=u u r u u r u u u r，求实数t 的取值范围.【举一反三】已知O 为坐标原点，F 是双曲线()2222:10,0x y a b a bΓ-=>>的左焦点，,A B 分别为Γ的左、右顶点，P 为Γ上一点，且PF x ⊥轴，过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E ，直线 BM 与y 轴交于点N ，若2OE ON =，则 Γ的离心率为（）A．3 B．2 C.32 D．431．在数学中函数的图象、方程的曲线、不等式所表示的平面区域、向量的几何意义、复数的几何意义等都实现以形助数的途径，当试题中涉及这些问题的数量关系时，我们可以通过图形分析这些数量关系，达到解题的目的．2．有些图形问题，单纯从图形上无法看出问题的结论，这就要对图形进行数量上的分析，通过数的帮助达到解题的目的．3．利用数形结合解题，有时只需把图象大致形状画出即可，不需要精确图象．4．数形结合思想是解决高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解选择题、填空题时更方便，可以提高解题速度．5．数形结合思想常用模型：一次、二次函数图象；斜率公式；两点间的距离公式（或向量的模、复数的模）；点到直线的距离公式等．6．是否选择应用数形结合的原则是：是否有利于解决问题，用最简单的办法解决问题思想三数形结合思想强化训练1一、选择题1.设a ，b ，c 均为正数，且122log a a =，121()log 2b b =，21(log 2c c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A．c a b<<B．c b a <<C．a b c <<D．b a c<<2.若方程2|21|0x x t ---=有四个不同的实数根1234,,,x x x x ，且1234x x x x <<<，则41322()()x x x x -+-的取值范围是（）A．B．(8,C.D．3.如图为某几何体的三视图，则其体积为（）A.243π+ B.243π+ C.43π+ D.43π+4.若实数 x y ，满足2301x y y x -+≥⎧⎨≥≥⎩，则z =的最小值为（）A．35.如图，在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别为AB ，AD 上的点，且32 43AM AB AN AD ==u u u u r u u u r u u u r u u u r，，连接AC ，MN 交于P 点，若AP AC λ=u u u r u u u r，则λ的值为（）A BCA．35B．37C.613D．6176.已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图，则201616n n f π=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑（）A．-1 B．0 C．12D．17.某几何体三视图如图，则该几何体体积是（）A．4B．43C.83D．28.在直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，2AC BC ==，点P 是斜边AB 上的一个三等分点，则CP CB CP CA ⋅+⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r（）A．4B．49C．49-D．09.已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当0>x 时，0)3()(=++-x f x f ；当)3,0(∈x 时，xxe xf ln )(=，其中e 是自然对数的底数，且72.2≈e ，则方程0)(6=-x x f 在]9,9[-上的解的个数为（）A．4B．5C．6D．710.三棱锥B ACD -的每个顶点都在表面积为16π的球O 的球面上，且AB ⊥平面BCD ，△BCD 为等边三角形，2AB BC =，则三棱锥B ACD -的体积为（）A．3 C．32二、填空题11.在边长为1的正方形中，，的中点为，，则__________．12.已知()sin 2y k kx πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭与26y kx k =-+的部分图像如右图所示ϕ=．13.如图，ABC ∆是边长为的正三角形，P 是以C 为圆心，半径为1的圆上任意一点，则AP BP u u u r u u u rg 的取值范围是_________.【14.如图，已知抛物线的方程为22(0)x py p =>，过点(0,1)A -作直线l 与抛物线相交于,P Q 两点，点B 的坐标为(0,1)，连接,BP BQ ，设,QB BP 与x 轴分别相交于,M N 两点．如果QB 的斜率与PB 的斜率的乘积为3-，则MBN ∠的大小等于．三、解答题15.已知函数f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1，g (x )＝x ＋ ( x >0 )．(1)若g (x )＝m 有零点，求m 的取值范围；(2)确定m 的取值范围，使得g (x )－f (x )＝0有两个相异实根．16.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，G 为ABC ∆的重心，113BE BC =.（1）求证：//GE 平面11ABB A ；（2）若侧面11ABB A ⊥底面ABC ，160A AB BAC ∠=∠=o ，12AA AB AC ===，求直线1A B 与平面1B GE 所成角θ的正弦值.17.已知椭圆()2222:10x y a b a b Ω+=>>，过点Q ⎫⎪⎪⎭作圆221x y +=的切线，切点分别为,S T .直线ST 恰好经过Ω的右顶点和上顶点.（1）求椭圆Ω的方程；（2）如图，过椭圆Ω的右焦点F 作两条互相垂直的弦,AB CD .①设,AB CD 的中点分别为,M N ，证明: 直线MN 必过定点，并求此定点坐标；②若直线,AB CD 的斜率均存在时，求由,,,A C B D 四点构成的四边形面积的取值范围.思想三数形结合思想强化训练2一、选择题1.假设你家订了一份牛奶，奶哥在早上6：00~7：00之间随机地把牛奶送到你家，而你在早上6：30~7：30之间随机第离家上学，则你在理考家前能收到牛奶的概率是（）A．81B．85 C.21D．872.已知某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的表面积是（）A．294cm ++B．2102cm +C.2112cm++D．2112cm+3.已知实数x y ，满足不等式组21,0,10,x x y m x y ≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，若目标函数2z x y =-+的最大值不超过4，则实数m 的取值范围是（）A．(B．C.[D．[4.如图，某地一天从6:14时的温度变化曲线近似满足函数：sin()y A x b ωϕ=++，则中午12点时最接近的温度为（）A．26C︒B．27C ︒C．28C ︒D．29C︒5.在直角梯形中，，分别为的中点，以为圆心，为半径的圆弧中点为(如图所示).若，其中，则的值是（）A.B. C. D.6.已知函数|ln |,02,()(4),24,x x f x f x x <≤⎧=⎨-<<⎩若当方程()f x m =有四个不等实根1x ，2x ，3x ，4x （1234x x x x <<<）时，不等式22341211kx x x x k ++≥+恒成立，则实数k 的最小值为（）A．98B．2-C．251612-7.已知函数()2f x xπ=-，()cos sin g x x x x =-，当[]3,3x ππ∈-时，方程()()f x g x =根的个数是（）A．8 B．6C．4D．28.已知正方体1111ABCD A B C D -，则下列说法不正确的是（）A.若点P 在直线1BC 上运动时，三棱锥1A D PC -的体积不变B.若点P 是平面1111A B C D 上到点D 和1C 距离相等的点，则P 点的轨迹是过1D 点的直线C.若点P 在直线1BC 上运动时，直线AP 与平面1ACD 所成角的大小不变D.若点P 在直线1BC 上运动时，二面角1P AD C --的大小不变二、填空题9.已知圆C :228150x y x +++=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则实数k 的取值范围为．10.函数()sin()(0,0,02)f x A x A ωϕωϕπ=+>>≤<在R 上的部分图象如图所示，则(2014)f 的值为11.表面积为的球面上有四点，且是边长为的等边三角形，若平面平面，则三棱锥体积的最大值是__________．12.已知在中，，，如图，动点是在以点为圆心，为半径的扇形内运动（含边界）且；设，则的取值范围__________．三、解答题13.已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C 的对边，且cos sin 0a C C b c +--=．（1）求A ；（2）若AD 为BC 边上的中线，1cos ,7B AD ==，求ABC ∆的面积．14.如图，已知四边形ABCD 和BCGE 均为直角梯形，//AD BC ，//CE BG 且2BCD BCE π∠=∠=，平面ABCD ⊥平面BCGE ，222BC CD CE AD BG =====．（1）求证：//AG 平面BDE ；（2）求平面BDE 和平面ADE 所成锐二面角的余弦值．15.已知椭圆：，圆：的圆心在椭圆上，点到椭圆的右焦点的距离为2．（1）求椭圆的方程；（2）过点作直线交椭圆于，两点，若，求直线的方程．思想三数形结合思想强化训练3一、选择题1.在区间[]0 1，上随机选取两个数x 和y ，则2y x >的概率为（）A.14B．12C.34D．132.三棱柱111ABC A B C -的侧棱垂直于底面，且AB BC ⊥，12AB BC AA ===，若该三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A．48πB．32πC.12πD．8π3.若变量 x y ，满足约束条件11y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则目标函数2z x y =+的最小值为（）A．3-B．2- C.1-D．14.定义在R 上的奇函数()y f x =满足()30f =，且当0x >时，()()'f x xf x >-恒成立，则函数()()lg 1g x xf x x =++的零点的个数为（）A．1 B．2 C.3 D．45.2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么sin 2θ的值为（）A．13C．2324 D．24256.已知函数2||,0,0(sin )(πϕωϕω<>>+=A x A x f ）（，其导函数)('x f 的部分图象如图所示，则函数)(x f 的解析式为（）A．62cos()(π-=x x f B．)62sin()(π+=x x f C．)62cos(21)(π+=x x f D．1()sin(2)26f x x π=-7.函数ln ||||x x y x =的图象大致为（）8.函数的零点个数为（）A. 1 B.2 C.3 D.49.如图，矩形ABCD 中，2=AB ，1=AD ，P 是对角线AC 上一点，25AP AC =u u u ru u ur ，过点P 的直线分别交DA 的延长线，AB ,DC 于N E M ,,.若DA m DM =，DC n DN =)0,0(>>n m ，则n m 32+的最小值是（）A．56 B．512 C．524 D．548 二、填空题10.将一块边长为6cm 的正方形纸片，先按如图（1）所示的阴影部分裁去四个全等的等腰三角形，然后将剩余部分沿虚线折叠并拼成一个正四棱锥模型（底面是正方形，从顶点向底面作垂线，垂足是底面中心的四棱锥），将该四棱锥如图（2）放置，若其正视图为正三角形，则其体积为 2cm ．11.函数()()2sin 0 22f x x ππωϕωϕ⎛⎫=+>-<< ⎪⎝⎭，的部分图象如图3所示，则()f x 的图象可由函数()2sin g x x ω=的图象至少向右平移个单位得到．12.已知偶函数()f x 满足()()11f x f x -=，且当[]1 0x ∈-，时，()2f x x =，若在区间[]1 3-，内，函数()()()log 2a g x f x x =-+有3个零点，则实数a 的取值范围是．三、解答题13.已知函数)2||,0,0)(sin()(πϕωϕω<>>+=A x A x f 的图象（部分）如图所示.（1）求函数)(x f 的解析式；（2）若（（（30πα∈，且34)(=παf ，求αcos .14.如图，四棱锥P ABCD -的底面是直角梯形，//AB CD ，AB AD ⊥，PAB ∆和PAD ∆是两个边长为2的正三角形，4DC =，O 为BD 的中点，E 为PA 的中点．(Ⅰ)求证：PO ⊥平面ABCD ； (Ⅱ)求面PAD 与面PBC 所成角的大小．15.如图，点()2,0A -，()2,0B 分别为椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右顶点，,,P M N 为椭圆C 上非顶点的三点，直线,AP BP 的斜率分别为12,k k ，且1214k k =-，//AP OM ，//BP ON .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）判断OMN ∆的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由.思想三数形结合思想强化训练4一、选择题1.在矩形中 ABCD 中， AB =2AD ，在CD 上任取一点P ，∆ABP 的最大边是 AB 的概率是（1-1-2.已知某三棱锥的三视图如图所示，正视图和俯视图都是等腰直角三角形，则该三棱锥中最长的棱长为（）A．B．D．23.已知,x y 满足约束条件20220220x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，若z y ax =-取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为（）A．12或-1B．12或2 C.1或2D．-1或24.在直三棱柱中，，记的中点为，平面与的交线为，则直线与所成角的余弦值是（）A. B. C. D.5.已知函数ln(1),0()11,02x x f x x x +>⎧⎪=⎨+≤⎪⎩，若m n <，且()()f m f n =，则n m -的取值范围是（）A.[32ln 2,2)- B.[32ln 2,2]- C.[1,2]e - D.[1,2)e -6.执行如图所示的程序框图，若[][] 0 4x a b y ∈∈，，，，则b a -的最小值为（）A．2B．3 C.4D．57.设()f x 是定义在R 上奇函数，当0x >时，()1f x x =-, 则不等式()0f x <的解集为（）A．()(),10,1-∞-⋃ B．()(),11,-∞-⋃+∞ C.()1,1- D．()()1,01,-⋃+∞8.已知函数满足：①定义域为；②，都有；③当时，，则方程在区间内解的个数是（）A. 5 B. 6 C.7 D.89.在正方体中，点在线段上运动，则异面直线与所成角的取值范围是（）A.B.C. D.10.在中，边上的高为在上，点位于线段上，若，则向量在向量上的投影为（）A. 或 B.1 C.1或 D.二、填空题11.如图，四棱锥P ABCD -中，PA ABCD ⊥平面，四边形ABCD 为正方形，2PA AB ==，四棱锥P ABCD -的五个顶点都在一个球面上，则这个球的表面积是．12.为了应对日益严重的气候问题，某气象仪器科研单位研究出一种新的“弹射型”气候仪器，这种仪器可以弹射到空中进行气候观测，如图所示，C B A ,,三地位于同一水平面上，这种仪器在C 地进行弹射实验，观测点B A ,两地相距100米，o 60=∠BAC ，在A 地听到弹射声音比B 地晚172秒（已知声音传播速度为340米/秒），在A 地测得该仪器至高点H 处的仰角为o 30，则这种仪器的垂直弹射高度=HC。

《数学与思想方法》2020年模拟试卷A答案

《数学与思想方法》模拟试卷答案一、填空题（每题3分，共30分）1．算法的有效性是指（）正确答案是：如果使用该算法从它的初始数据出发，能够得到这一问题的正确解2．数学的研究对象大致可以分成两大类：（）正确答案是：数量关系，空间形式3．所谓数形结合方法，就是在研究数学问题时，（）的一种思想方法。

正确答案是：由数思形、见形思数、数形结合考虑问题4．推动数学发展的原因主要有两个：（），数学思想方法的几次突破就是这两种需要的结果。

正确答案是：实践的需要，理论的需要5.古代数学大体可分为两种不同的类型：一种是崇尚逻辑推理，以《几何原本》为代表；一种是长于计算和实际应用，以（）为典范。

正确答案是：《九章算术》6．匀速直线运动的数学模型是（）。

正确答案是：一次函数7．数学的统一性是客观世界统一性的反映，是数学中各个分支固有的内在联系的体现，它表现为（）的趋势。

正确答案是：数学的各个分支相互渗透和相互结合8．不完全归纳法是根据（），作出关于该类事物的一般性结论的推理方法。

正确答案是：对某类事物中的部分对象的分析9．学生理解或掌握数学思想方法的过程一般有三个主要阶段：（）正确答案是：潜意识阶段、明朗化阶段、深刻理解阶段题目1010．在实施数学思想方法教学时，应该注意三条原则：（）正确答案是：化隐为显原则、循序渐进原则、学生参与原则二、判断题（每题4分，共20分。

在括号里填上是或否）1．计算机是数学的创造物，又是数学的创造者。

正确的答案是：对2．抽象得到的新概念与表述原来的对象的概念之间一定有种属关系。

正确的答案是：错3．一个数学理论体系内的每一个命题都必须给出证明。

正确的答案是“错”。

4．贯穿在整个数学发展历史过程中有两个思想，一是公理化思想，一是机械化思想。

正确的答案是“对”。

5．提出一个问题的猜想是解决这个问题的终结。

正确的答案是“错”。

三、简答题（每题10分，共50分）1．为什么说《几何原本》是一个封闭的演绎体系？①因为在《几何原本》中，除了推导时所需要的逻辑规则外，每个定理的证明所采用的论据均是公设、公理或前面已经证明过的定理，并且引入的概念（除原始概念）也基本上是符合逻辑上对概念下定义的要求，原则上不再依赖其它东西。

数学思想与方法模拟考精彩试题及问题详解

模拟题一一、填空题（每题5分，共25分）1．算法的有效性是指（如果使用该算法从它的初始数据出发，能够得到这一问题的正确解）。

3．所谓数形结合方法，就是在研究数学问题时，（由数思形、见形思数、数形结合考虑问题）的一种思想方法。

5．古代数学大体可分为两种不同的类型：一种是崇尚逻辑推理，以《几何原本》为代表；一种是长于计算和实际应用，以（《九章算术》）为典。

7．数学的统一性是客观世界统一性的反映，是数学中各个分支固有的在联系的体现，它表现为（数学的各个分支相互渗透和相互结合）的趋势。

9．学生理解或掌握数学思想方法的过程一般有三个主要阶段：（潜意识阶段、明朗化阶段、深刻理解阶段）。

二、判断题（每题5分，共25分。

在括号里填上是或否）1．计算机是数学的创造物，又是数学的创造者。

（是） 2．抽象得到的新概念与表述原来的对象的概念之间一定有种属关系。

（否） 3．一个数学理论体系的每一个命题都必须给出证明。

（否）4．贯穿在整个数学发展历史过程中有两个思想，一是公理化思想，一是机械化思想。

（是） 5．提出一个问题的猜想是解决这个问题的终结。

（否）三、简答题（每题10分，共50分）1．为什么说《几何原本》是一个封闭的演绎体系？答：①因为在《几何原本》中，除了推导时所需要的逻辑规则外，每个定理的证明所采用的论据均是公设、公理或前面已经证明过的定理，并且引入的概念（除原始概念）也基本上是符合逻辑上对概念下定义的要求，原则上不再依赖其它东西。

因此《几何原本》是一个封闭的演绎体系。

②另外，《几何原本》的理论体系回避任何与社会生产现实生活有关的应用问题，因此对于社会生活的各个领域来说，它也是封闭的。

③所以，《几何原本》是一个封闭的演绎体系。

2．为什么说最早使用数学模型方法的是中国人？答：①因为在中国汉代的古算书《九章算术》中就已经系统地使用了数学模型。

《九章算术》将246个题目归结为九类，即九种不同的数学模型，分列为九章。

国开(中央电大)本科《数学思想与方法》网上形考、机考试题及答案(Word最新版)

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形考作业第一关试题及答案巴比伦人是最早将数学应用于( )的。

在现有的泥板中有复利问题及指数方程。

[答案]商业《九章算术》成书于( )，它包括了算术、代数、几何的绝大部分初等数学学问。

[答案]西汉末年金字塔的四面都正确地指向东南西北，在没有罗盘的四、五千年的古代，方位能如此精确，无疑是运用了( )的方法。

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[答案]四棱锥台体积公式《几何原本》中的素材并非是欧几里得所独创，大部分材料来自同他一起学习的( )。

[答案]柏拉图学派古印度人对时间和空间的看法与现代天文学特殊相像，他们认为一劫(劫指时间长度)的长度就是( )，这个数字和现代人们计算的宇宙年龄特殊接近。

[答案]100亿年依据亚里士多德的想法，一个完整的理论体系应当是一种演绎体系的结构，学问都是从( )中演绎出的结论。

[答案]初始原理欧几里得的《几何原本》几乎概括了古希腊当时全部理论的( )，成为近代西方数学的主要源泉。

[答案]数论及几何学数学在中国萌芽以后，得到较快的发展，至少在( )已经形成了一些几何与数目概念。

[答案]六七千年前形考作业其次关试题及答案欧几里得的《几何原本》是一本极具生命力的经典著作，它的著名的平行公设是( )。

[答案]同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在直线同侧的两个内角之和小于180°，则这两条直线经无限延长后在这一侧确定相交《九章算术》是我国古代的一本数学名著。

教师公开招聘考试中学数学(数学思想方法)模拟试卷2(题后含答案及解析)

教师公开招聘考试中学数学（数学思想方法）模拟试卷2(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 3. 解答题选择题1．直线y=2x一6关于y轴对称的直线的解析方式是( )A．y=2x+6B．y=一2x+6C．y=一2x一6D．y=2x一6正确答案：C解析：可从直线y=2x一6上找两点：(0，一6)、(3，0)这两个点关于y轴对称点是(0，一6)、(一3，0)，那么这两个点在直线y=2x一6关于y轴对称的直线y=kx+b上，则b=一6，一3k+b=0，解得k=一2，∴y=一2x一6．故选C．2．如果实数x、y满足条件那么2x—y的最大值为( )A．2B．1C．一2D．一3正确答案：B解析：作出可行域，如图所示，令z=2x—y，则y=2x—z，要求z的最大值，即一z有最小值，当直线2x一y=z过点(0，一1)时，z最大，最大值为zmax=1．故选B．3．设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f’(x)．g(x)+f(x)．g’(x)＞0，且g(一3)=0，则不等式f(x)g(x)＜0的解集是( )．A．(一3，0)∪(3，+∞)B．(一3，0)∪(0，3)C．(一∞，一3)∪(3，+∞)D．(－∞，一3)∪(0，3)正确答案：D解析：设F(x)=f(x)g(x)，由f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，所以F(x)=f(一x)g(一x)=一f(x)g(x)=一F(x)，即F(x)为奇函数．又当x＜0时，F’(x)=f’(x)g(x)+f(x)g’(x)＞0，所以x＜0时，F(x)为增函数．因为奇函数在对称区间上的单调性相同，所以x＞0时，F(x)也为增函数．因为F(一3)=f(－3)g(一3)=0=F(3)．如图，是一个符合题意的图象，观察知不等式F(x)＜0的解集是(一∞，一3)∪(0，3)，故选D．解答题4．如图所示，直线a平行于平面α，β是过直线a的平面，平面α与β相交于直线b，求证：直线a平行于直线b．正确答案：假设命题的结论不成立，即“直线a不平行于直线b”。

国开(中央电大)本科《数学思想与方法》网上形考、机考试题及答案

国开(中央电大)本科《数学思想与方法》网上形考、机考试题及答案说明：试卷号1863，适用于国开中央电大小学教育本科学员国开平台网上形考；同时资料也是期末机考的重要资料。

形考作业第一关试题及答案巴比伦人是最早将数学应用于( )的。

在现有的泥板中有复利问题及指数方程。

[答案]商业《九章算术》成书于( )，它包括了算术、代数、几何的绝大部分初等数学知识。

[答案]西汉末年金字塔的四面都正确地指向东南西北，在没有罗盘的四、五千年的古代，方位能如此精确，无疑是使用了( )的方法。

[答案]天文测量在丢番图时代(约250)以前的一切代数学都是用( )表示的，甚至在十五世纪以前，西欧的代数学几乎都是用( )表示。

[答案]文字，文字古埃及数学最辉煌的成就可以说是( )的发现。

[答案]四棱锥台体积公式《几何原本》中的素材并非是欧几里得所独创，大部分材料来自同他一起学习的( )。

[答案]柏拉图学派古印度人对时间和空间的看法与现代天文学十分相像，他们认为一劫(劫指时间长度)的长度就是( )，这个数字和现代人们计算的宇宙年龄十分接近。

[答案]100亿年根据亚里士多德的想法，一个完整的理论体系应该是一种演绎体系的结构，知识都是从( )中演绎出的结论。

[答案]初始原理欧几里得的《几何原本》几乎概括了古希腊当时所有理论的( )，成为近代西方数学的主要源泉。

[答案]数论及几何学数学在中国萌芽以后，得到较快的发展，至少在( )已经形成了一些几何与数目概念。

[答案]六七千年前形考作业第二关试题及答案欧几里得的《几何原本》是一本极具生命力的经典著作，它的著名的平行公设是( )。

[答案]同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在直线同侧的两个内角之和小于180°，则这两条直线经无限延长后在这一侧一定相交《九章算术》是我国古代的一本数学名著。

算是指( )，术是指( )。

[答案]算筹；解题方法《几何原本》就是用( )的链子由此及彼的展开全部几何学，它的诞生，标志着几何学已成为一个有着比较严密的理论系统和科学方法的学科。

数学思想与方法考试题及答案

模拟题一一、填空题（每题5分.共25分）1．算法的有效性是指（如果使用该算法从它的初始数据出发.能够得到这一问题的正确解）。

3．所谓数形结合方法.就是在研究数学问题时.（由数思形、见形思数、数形结合考虑问题）的一种思想方法。

5．古代数学大体可分为两种不同的类型：一种是崇尚逻辑推理.以《几何原本》为代表；一种是长于计算和实际应用.以（《九章算术》）为典范。

7．数学的统一性是客观世界统一性的反映.是数学中各个分支固有的内在联系的体现.它表现为（数学的各个分支相互渗透和相互结合）的趋势。

9．学生理解或掌握数学思想方法的过程一般有三个主要阶段：（潜意识阶段、明朗化阶段、深刻理解阶段）。

二、判断题（每题5分.共25分。

在括号里填上是或否）1．计算机是数学的创造物.又是数学的创造者。

（是）2．抽象得到的新概念与表述原来的对象的概念之间一定有种属关系。

（否）3．一个数学理论体系内的每一个命题都必须给出证明。

（否）4．贯穿在整个数学发展历史过程中有两个思想.一是公理化思想.一是机械化思想。

（是）5．提出一个问题的猜想是解决这个问题的终结。

（否）三、简答题（每题10分.共50分）1．为什么说《几何原本》是一个封闭的演绎体系答：①因为在《几何原本》中.除了推导时所需要的逻辑规则外.每个定理的证明所采用的论据均是公设、公理或前面已经证明过的定理.并且引入的概念（除原始概念）也基本上是符合逻辑上对概念下定义的要求.原则上不再依赖其它东西。

因此《几何原本》是一个封闭的演绎体系。

②另外.《几何原本》的理论体系回避任何与社会生产现实生活有关的应用问题.因此对于社会生活的各个领域来说.它也是封闭的。

③所以.《几何原本》是一个封闭的演绎体系。

2．为什么说最早使用数学模型方法的是中国人答：①因为在中国汉代的古算书《九章算术》中就已经系统地使用了数学模型。

《九章算术》将246个题目归结为九类.即九种不同的数学模型.分列为九章。

②它在每一章中所设置的问题.都是从大量的实际问题中选择具有典型意义的现实原型.然后再通过“术”(即算法)转化成数学模型。

数学思想与方法模拟考试题及答案

模拟题一一、填空题（每题5分，共25分）1．算法的有效性是指（如果使用该算法从它的初始数据出发，能够得到这一问题的正确解）。

3．所谓数形结合方法，就是在研究数学问题时，（由数思形、见形思数、数形结合考虑问题）的一种思想方法。

5．古代数学大体可分为两种不同的类型：一种是崇尚逻辑推理，以《几何原本》为代表；一种是长于计算和实际应用，以（《九章算术》）为典范。

7．数学的统一性是客观世界统一性的反映，是数学中各个分支固有的内在联系的体现，它表现为（数学的各个分支相互渗透和相互结合）的趋势。

9．学生理解或掌握数学思想方法的过程一般有三个主要阶段：（潜意识阶段、明朗化阶段、深刻理解阶段）。

二、判断题（每题5分，共25分。

在括号里填上是或否）1．计算机是数学的创造物，又是数学的创造者。

（是）2．抽象得到的新概念与表述原来的对象的概念之间一定有种属关系。

（否）3．一个数学理论体系内的每一个命题都必须给出证明。

（否）4．贯穿在整个数学发展历史过程中有两个思想，一是公理化思想，一是机械化思想。

（是）5．提出一个问题的猜想是解决这个问题的终结。

因此《几何原本》是一个封闭的演绎体系。

②另外，《几何原本》的理论体系回避任何与社会生产现实生活有关的应用问题，因此对于社会生活的各个领域来说，它也是封闭的。

③所以，《几何原本》是一个封闭的演绎体系。

2．为什么说最早使用数学模型方法的是中国人？答：①因为在中国汉代的古算书《九章算术》中就已经系统地使用了数学模型。

《九章算术》将246个题目归结为九类，即九种不同的数学模型，分列为九章。

②它在每一章中所设置的问题，都是从大量的实际问题中选择具有典型意义的现实原型，然后再通过“术”(即算法)转化成数学模型。

数学思想与方法模拟考试C卷

一、填空题（每题3分，共30分）1．学生理解或掌握数学思想方法的过程有如下三个主要阶段（对同一数学对象，若选取不同的标准，可以得到不同的分类）。

2．强抽象就是指，通过（数学思想方法教学隶属数学教学范畴，只要贯彻通常的数学教学原则就可实现数学思想方法教学目标）而形成新概念的抽象过程。

3．菱形概念的抽象过程就是把一个新的特征：（由类比法推得的结论必然正确），加入到平行四边形概念中去，使平行四边形概念得到了强化。

4．分类必须遵循的原则是（①不重复，②无遗漏，③标准同一）。

5．面对一个问题，经过认真的观察和思考，通过归纳或类比提出猜想，然后从两个方面入手：演绎证明此猜想为真；或者（寻找反例说明此猜想为假），并且进一步修正或否定此猜想。

6．《几何原本》所开创的（公理化）方法不仅成为一种数学陈述模式，而且还被移植到其它学科，并且促进他们的发展。

7．变量数学产生的数学基础是（解析几何，），标志是（微积分）。

8．（数学基础知识和数学思想方法）是数学教学的两条主线。

9．深层类比又称实质性类比，它是通过（对被比较对象的处理相互依存的各种相似属性之间的多种因果关系的分析）而得到的类比。

10．一个概括过程包括（比较、区分、扩张、分析）。

二、判断题（每题2分，共10分）1．《九章算术》不包括代数、几何内容。

（否）2．既没有脱离数学知识的数学思想方法，也没有不包括数学思想方法的数学知识。

（是）3．对同一数学对象，若选取不同的标准，可以得到不同的分类。

（是）4．特殊化是研究共性中的个性的一种方法。

（否）5．数学模型方法应用面很窄。

（否）三、简答题（每题6分，共30分）1．简述培养数学猜想能力的途径。

1．答：猜想能力培养可以通过数学教学，如：①新知识的学习、②数学规律的寻求、③解题思路的探索等途径来实现。

2．简述特殊化方法在数学教学中的应用。

2．答：①利用特殊值(图形)解选择题；②利用特殊化探求问题结论；③利用特例检验一般结果；④利用特殊化探索解题思路。

数学思想与方法形考一(模拟卷A)

数学思想与方法形考一（模拟卷A）一、填空题（每题3分，共30分）1．算法的有效性是指（）答案：如果使用该算法从它的初始数据出发，能够得到这一问题的正确解2．数学的研究对象大致可以分成两大类：（）答案：①研究数量关系，②研究空间形式。

3．所谓数形结合方法，就是在研究数学问题时，（）的一种思想方法。

答案：由数思形、见形思数、数形结合考虑问题4．推动数学发展的原因主要有两个：（），数学思想方法的几次突破就是这两种需要的结果。

答案：①实践的需要，②理论的需要5.古代数学大体可分为两种不同的类型：一种是崇尚逻辑推理，以《几何原本》为代表；一种是长于计算和实际应用，以（）为典范。

答案：长于计算和实际应用6．匀速直线运动的数学模型是（）。

答案：一次函数7．数学的统一性是客观世界统一性的反映，是数学中各个分支固有的内在联系的体现，它表现为（）的趋势。

答案：数学的各个分支相互渗透相互结合8．不完全归纳法是根据（），作出关于该类事物的一般性结论的推理方法。

答案：从一类对象中部分对象都具有某种性质推出这类对象全体都具有这种性质的归纳推理方法9．学生理解或掌握数学思想方法的过程一般有三个主要阶段：（）答案：①潜意识阶段，②明朗化阶段，③深刻理解阶段。

10．在实施数学思想方法教学时，应该注意三条原则：（）化隐为显原则、循序渐进原则、学生参与原则答案：二、判断题（每题4分，共20分。

在括号里填上是或否）1．计算机是数学的创造物，又是数学的创造者。

选择一项：对错2．抽象得到的新概念与表述原来的对象的概念之间一定有种属关系。

选择一项：对错3．一个数学理论体系内的每一个命题都必须给出证明。

选择一项：对错4．贯穿在整个数学发展历史过程中有两个思想，一是公理化思想，一是机械化思想。

选择一项：对错5．提出一个问题的猜想是解决这个问题的终结。

选择一项：对错三、简答题（每题10分，共50分）1．为什么说《几何原本》是一个封闭的演绎体系？①《几何原本》以少数原始概念和公设、公理为基础，运用逻辑规则将当时所知的几何学中的主要命题(定理)全都推出来，从而形成一个井然有序的整体．在这个体系中，除了逻辑规则外，每个定理的证明所采用的论据均是公设、公理或dS面已证明的定理，并且引入的概念(除原始概念)也基本上符合逻辑上对概念下定义的要求，原则上不再依赖其它东西．②另外．《几何原本)回避任何与社会生产现实生括有关的应用问题，对社会生活的各个领域来说也是封闭的．因此，(几何原本)是一个相对封闭的演绎体系．2．为什么说最早使用数学模型方法的是中国人？因为在中国汉代的古算书《九章算术》中就已经系统地使用了数学模型。

数学思想与方法模拟考试题及答案

数学思想与方法模拟考试题及答案模拟题一一、填空题（每题5分，共25分）1．算法的有效性是指（如果使用该算法从它的初始数据出发，能够得到这一问题的正确解）。

3．所谓数形结合方法，就是在研究数学问题时，（由数思形、见形思数、数形结合考虑问题）的一种思想方法。

5．古代数学大体可分为两种不同的类型：一种是崇尚逻辑推理，以《几何原本》为代表；一种是长于计算和实际应用，以（《九章算术》）为典范。

7．数学的统一性是客观世界统一性的反映，是数学中各个分支固有的内在联系的体现，它表现为（数学的各个分支相互渗透和相互结合）的趋势。

9．学生理解或掌握数学思想方法的过程一般有三个主要阶段：（潜意识阶段、明朗化阶段、深刻理解阶段）。

二、判断题（每题5分，共25分。

在括号里填上是或否）1．计算机是数学的创造物，又是数学的创造者。

（是）2．抽象得到的新概念与表述原来的对象的概念之间一定有种属关系。

（否）3．一个数学理论体系内的每一个命题都必须给出证明。

（否）4．贯穿在整个数学发展历史过程中有两个思想，一是公理化思想，一是机械化思想。

（是）5．提出一个问题的猜想是解决这个问题的终结。

因此《几何原本》是一个封闭的演绎体系。

②另外，《几何原本》的理论体系回避任何与社会生产现实生活有关的应用问题，因此对于社会生活的各个领域来说，它也是封闭的。

③所以，《几何原本》是一个封闭的演绎体系。

2．为什么说最早使用数学模型方法的是中国人？答：①因为在中国汉代的古算书《九章算术》中就已经系统地使用了数学模型。

《九章算术》将246个题目归结为九类，即九种不同的数学模型，分列为九章。

数学思想方法练习题答案

数学思想方法练习题答案一、选择题1. 已知函数\( f(x) \)在区间\( [a, b] \)上连续，且\( f(a) = f(b) \)，根据介值定理，下列哪个选项是正确的？A. \( f(x) \) 在\( [a, b] \)上必有零点B. \( f(x) \) 在\( [a, b] \)上至少有一个实数根C. \( f(x) \) 在\( [a, b] \)上至少有一个极值点D. \( f(x) \) 在\( [a, b] \)上单调递增或递减2. 极限\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \)的值是多少？A. 0B. 1C. \( \frac{\pi}{2} \)D. \( \infty \)3. 函数\( g(x) = x^3 - 3x \)的导数\( g'(x) \)是：A. \( 3x^2 - 3 \)B. \( x^2 - 3 \)C. \( 3x^2 - 6x \)D. \( x^2 - 3x \)4. 以下哪个选项不是数学归纳法的应用？A. 证明等差数列的求和公式B. 证明自然数的平方和公式C. 证明\( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \ldots \)的和是发散的D. 证明\( 1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + n^2 =\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \)5. 以下哪个命题是假命题？A. 存在唯一的实数\( x \)，使得\( x^2 = 4 \)B. 任何实数\( x \)，都有\( x^2 \geq 0 \)C. 对于任意实数\( x \)，\( \sqrt{x^2} = |x| \)D. 所有实数\( x \)，\( x^2 + 1 \) 都是正数二、填空题6. 如果\( a \)和\( b \)是方程\( x^2 + px + q = 0 \)的根，那么\( p \)和\( q \)可以表示为\( a \)和\( b \)的函数：\( p =________ \)，\( q = ________ \)。

教师公开招聘考试中学数学(数学思想方法)模拟试卷2(题后含答案及解析)

数学思想与方法》2020年模拟试卷B答案

数学思想与方法》2020年模拟试卷B答
案
正确答案：《几何原本》贯彻了两条逻辑要求：一是严密性，即从公理出发，通过严密的推理得出定理和结论；二是完备性，即公理体系应该包含所有可能的情况，不遗漏任何一个可能的结论。

这两条逻辑要求在数学中具有普遍的适用性，是建立数学体系的基本原则。

正确答案：将“化隐为显”列为数学思想方法教学的一条原则的理由是，数学思想方法的本质是通过把抽象的数学概念转化为具体的数学问题，使学生更好地理解和掌握数学知识。

化隐为显的方法可以帮助学生理解数学概念和定理的本质，从而提高他们的数学思维能力和解决问题的能力。

此外，化隐为显还可以帮助学生发现数学问题的内在联系和规律，从而更好地掌握数学知识。

因此，将“化隐为显”列为数学思想方法教学的一条原则是非常必要和重要的。

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