定积分概念教学设计

合集下载

定积分的概念教案

定积分的概念教案一、教学目标：1.了解定积分的定义和计算方法；2.掌握定积分的性质和应用；3.培养学生的数学计算能力和逻辑思维能力。

二、教学内容：1.定积分的定义；2.定积分的计算方法；3.定积分的性质和应用。

三、教学重点：1.定积分的定义；2.定积分的计算方法。

四、教学难点：1.定积分的性质和应用；2.定积分与原函数的关系。

五、教学过程：Step 1 引入教师与学生展开对话，探讨学生对积分的了解：教师：同学们，你们对积分有什么了解？学生：积分就是求和。

教师：不错，积分的确是求和，但是定积分具体是什么呢？我们一起来探讨一下。

Step 2 定积分的定义教师向学生介绍定积分的定义：教师：定积分是微积分的一个重要概念，表示函数曲线与x轴之间的面积。

我们用符号∫来表示定积分，函数f(x)的定积分表示为∫f(x)dx，在积分号下面写上被积函数，dx表示自变量。

Step 3 定积分的计算方法教师通过示例向学生演示定积分的计算方法：教师：我们以函数f(x)=x^2为例，计算f(x)在区间[1,3]上的定积分。

教师在黑板上写下∫(1→3)x^2dx，并进行具体的计算步骤解释。

Step 4 定积分的性质和应用教师向学生介绍定积分的性质和应用，并通过例题进行讲解：教师：定积分具有线性性质、区间可加性和变量替换的性质，同时也可以用于计算面积、体积、质量等。

我们来看一个例题，计算函数f(x)=x在区间[-2,2]上的定积分，并解释其实际意义。

Step 5 定积分与原函数的关系教师引导学生思考定积分与原函数的关系：Step 6 总结与归纳教师与学生总结本节课的内容，并归纳出定积分的概念和性质：教师：同学们，通过本节课的学习，我们初步了解了定积分的定义、计算方法和性质。

下节课我们将进一步学习定积分的应用。

大家要做好预习哦！六、教学反思本节课通过引入、定义、示例演算等方式，使学生初步了解了定积分的概念和计算方法。

通过例题讲解，学生对定积分的应用有了基本的认识。

定积分概念教案

定积分概念教案教案标题：定积分概念教案教学目标：1. 理解定积分的概念及其在数学中的应用；2. 掌握定积分的计算方法和基本性质；3. 能够运用定积分解决实际问题。

教学准备：1. 教材：包含定积分概念和计算方法的数学教材；2. 教具：黑板、白板、彩色粉笔/马克笔、投影仪等；3. 学具：练习题、实例题、课堂讨论题等；4. 辅助资源：多媒体教学素材、相关应用案例等。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 利用多媒体教学素材或实际生活中的例子引入定积分的概念，激发学生对该概念的兴趣。

二、概念讲解与示例演示（15分钟）1. 通过教材中的定义，向学生介绍定积分的概念，并解释其在数学中的意义和应用。

2. 给出一些简单的函数，通过图形展示和计算，演示如何求解定积分。

三、定积分计算方法的讲解（20分钟）1. 介绍定积分的计算方法，包括不定积分与定积分的关系、定积分的性质以及基本的积分公式。

2. 通过实例演示，引导学生掌握定积分的计算方法。

四、定积分的性质与应用（15分钟）1. 讲解定积分的基本性质，如线性性质、区间可加性等，并通过例题进行说明。

2. 引导学生思考并讨论定积分在实际问题中的应用，如求曲线下的面积、求变速度等。

五、练习与巩固（15分钟）1. 分发练习题或在黑板上出示练习题，让学生进行个人或小组练习。

2. 鼓励学生在解答问题时运用定积分的概念和计算方法，加深对知识点的理解和掌握。

六、课堂总结与拓展（10分钟）1. 对本节课的重点内容进行总结，强调定积分的概念、计算方法和应用。

2. 提供一些拓展问题，激发学生进一步思考和探索。

教学延伸：1. 鼓励学生利用定积分的概念和方法解决更复杂的实际问题；2. 引导学生进行相关数学模型的建立和求解，培养数学建模能力；3. 推荐相关参考书籍、网站或视频资源，供学生进一步学习和巩固。

教学评估：1. 教师可以通过课堂练习、小组讨论或个人答辩等方式进行教学评估；2. 教师可根据学生的表现，及时给予反馈和指导，帮助他们纠正错误和提高学习效果；3. 教师还可以布置作业，检验学生对定积分概念和计算方法的掌握情况。

定积分概念的课程设计

定积分概念的课程设计一、教学目标本节课的教学目标是让学生掌握定积分的概念及其应用。

具体来说，知识目标包括：了解定积分的定义、性质和计算方法；理解定积分在实际问题中的应用。

技能目标则要求学生能够运用定积分解决简单的问题，如计算曲线下的面积、求解弯曲物体的质心等。

情感态度价值观目标则是培养学生的数学思维能力，提高他们对数学的兴趣和自信心。

二、教学内容本节课的教学内容主要包括定积分的定义、性质和计算方法。

首先，引导学生回顾不定积分的基本概念，为学生引入定积分做铺垫。

然后，详细讲解定积分的定义，通过实例让学生理解定积分的概念。

接着，介绍定积分的性质，如线性性质、保号性等，并通过例题让学生掌握这些性质的应用。

最后，讲解定积分的计算方法，如牛顿-莱布尼茨公式、分部积分法等，并通过练习让学生熟练运用这些方法。

三、教学方法为了达到本节课的教学目标，我将采用多种教学方法相结合的方式进行教学。

首先，运用讲授法，清晰、系统地讲解定积分的概念、性质和计算方法。

其次，采用讨论法，引导学生分组讨论定积分在实际问题中的应用，激发学生的思考。

此外，还将运用案例分析法，通过分析具体案例，让学生更好地理解定积分的应用。

最后，适时进行实验法，让学生在实验中感受定积分的作用，提高他们的实践能力。

四、教学资源为了支持本节课的教学内容和教学方法的实施，我将准备以下教学资源：教材、参考书、多媒体资料、实验设备。

教材和参考书将作为主要教学资源，为学生提供系统的理论知识。

多媒体资料则用于辅助教学，以图片、动画等形式展示定积分的概念和应用，增强学生的学习兴趣。

实验设备则用于进行实验教学，让学生在实践中掌握定积分的方法。

五、教学评估为了全面、客观地评估学生的学习成果，本节课的评估方式包括平时表现、作业和考试三个部分。

平时表现主要考察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，以鼓励学生积极思考和提问。

作业则包括定积分的计算练习和应用问题，以此检验学生对知识的掌握程度。

高中数学定积分的概念教案新人教版选修

高中数学定积分的概念教案新人教版选修一、教学目标1. 理解定积分的概念，掌握定积分的基本性质和计算方法。

2. 能够运用定积分解决实际问题，提高学生的数学应用能力。

3. 培养学生的逻辑思维能力，提高学生的数学素养。

二、教学内容1. 定积分的概念介绍定积分的定义、性质和计算方法，引导学生理解定积分的本质。

2. 定积分的计算讲解定积分的计算法则，包括牛顿-莱布尼茨公式、换元积分法、分部积分法等，让学生掌握定积分的计算技巧。

3. 定积分在实际问题中的应用通过实际问题，引导学生运用定积分解决面积、体积、弧长等问题，提高学生的数学应用能力。

三、教学重点与难点1. 定积分的概念与性质2. 定积分的计算方法3. 定积分在实际问题中的应用四、教学方法1. 采用讲授法，讲解定积分的概念、性质和计算方法。

2. 利用例题，引导学生掌握定积分的计算技巧。

3. 结合实际问题，培养学生运用定积分解决实际问题的能力。

4. 组织讨论，让学生在探讨中深化对定积分概念的理解。

五、教学过程1. 引入：通过复习初中数学中的积分概念，引导学生思考如何将积分概念推广到无限区间。

2. 讲解：讲解定积分的定义、性质和计算方法，让学生理解定积分的本质。

3. 练习：布置定积分的计算练习题，让学生巩固所学知识。

4. 应用：结合实际问题，讲解定积分在面积、体积、弧长等方面的应用，让学生体会定积分的实用价值。

6. 作业：布置课后作业，巩固所学知识。

六、定积分的性质与计算法则1. 性质：定积分具有线性性质，即$\int_{a}^{b} f(x) \, dx + \int_{a}^{b} g(x) \, dx = \int_{a}^{b} (f(x) + g(x)) \, dx$。

定积分与积分区间有关，即$\int_{a}^{b} f(x) \, dx = -\int_{b}^{a} f(x) \, dx$。

定积分与积分函数的单调性有关，即若$f(x)$ 在$[a, b]$ 上单调递增，则$\int_{a}^{b} f(x) \, dx$ 可以表示为$F(b) F(a)$，其中$F(x)$ 是$f(x)$ 的一个原函数。

定积分概念教学设计

定积分概念教学设计第1篇：定积分的概念的教学设计《1.5.3定积分的概念》教学设计1．教材分析1．1课标要求分析从教材上的要求来看，要求学生认识定积分的知识背景，理解背景中两个典型问题的解决思想，并能概括它们的共同特征从而引入定积分概念，理解定积分的含义和其符号的含义，明白定积分的几何意义和基本性质。

我个人认为由两个实例引入定积分概念这步很重要，能让学生理解定积分这一抽象的概念，并理解定积分的用途。

1． 2教学内容分析 1．2．1内容背景分析本节内容是人教A版选修2—2的1.5.3的内容，前面两节学习了如何解决“求曲边梯形面积”和“求变速运动路程”两个经典问题，在这两个问题的知识背景下这节课很自然地引入了定积分的概念。

这样能让学生充分理解定积分的由来和用途。

1．2．2教学内容的分析人教版的这节课的内容比较简短，要求掌握的层次也比较低。

主要通过前面两个实例的解决思路进行概括引入定积分的概念，明白积分的概念，积分符号的含义，了解定积分的几何意义和几个基本性质。

通过例1让学生进一步熟悉定积分的定义，熟悉计算定积分的“四步曲”。

2．学情分析我上这堂课的班级是高二（3）班，这个班在高二四个班中属于中等水平，上课思维不大活跃，不分学生接受能力还可以，但后进生比较多，这些学生基础较为薄弱，而且定积分的概念较为抽象，在引入的过程中包含了数列求和，求极限等复杂的知识内容。

作为引入定积分概念的课，推导的计算过程简单带过就好，不宜把知识点挖得太深。

我把这节课的重点放在让学生了解定积分概念的由来，明白定积分符号的含义、定积分的集合意义和一些基本性质，让学生掌握用定义求定积分的步骤。

3．教学目标1.通过求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程，了解定积分的背景；2.借助于几何直观定积分的基本思想，了解定积分的概念，能用定积分定义求简单的定积分；3.理解掌握定积分的几何意义． 4．教学重点和难点重点：理解定积分的概念、定积分的几何意义及基本性质，能用定义求简单的定积分．难点：定积分的概念、定积分的几何意义． 5．教学过程1．创设情景复习：1.回忆前面曲边梯形的面积，汽车行驶的路程等问题的解决思路，解决步骤：求曲边梯形面积: 分割→ 以直代曲→求和→取极限（逼近）求汽车路程:分割→以不变代变→求和→取极限（逼近）2．思考一下解决前面两个问题的共同特点： 2．新课讲授1．定积分的概念一般地，设函数f(x)在区间[a,b]上连续，用分点a=x0<x1<x2<<xi-1<xi<<xn=b将区间[a,b]等分成n个小区间，每个小区间长度为∆x （n∆x=nb-a[x,x]n），在每个小区间i-1ib-af(ξi)n 上取一点ξi(i=1,2，n)，作和式：Sn=∑f(ξi)∆x=∑i=1i=1如果∆x无限接近于0（亦即n→+∞）时，上述和式为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分。

定积分的概念教案

定积分的概念教学目标能用定积分的定义求简单的定积分；理解掌握定积分的几何意义；重点定积分的概念、定积分法求简单的定积分、定积分的几何意义难点定积分的概念、定积分的几何意义复习： 1．回忆前面曲边图形面积，变速运动的路程，变力做功等问题的解决方法，解决步骤 2．对这四个步骤再以分析、理解、归纳，找出共同点．新课讲授1．定积分的概念一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ∆（b ax n-∆=），在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ=，作和式：11()()nnn i i i i b aS f x f nξξ==-=∆=∑∑如果x ∆无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。

记为：()baS f x dx =⎰其中()f x 成为被积函数，x 叫做积分变量，[,]a b 为积分区间，b 积分上限，a 积分下限。

说明：（1）定积分()ba f x dx ⎰是一个常数，即n S 无限趋近的常数S（n →+∞时）称为()ba f x dx ⎰，而不是n S ．（2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间[],a b ；②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈；③求和：1()ni i b a f n ξ=-∑； ④取极限：()1()lim n b i a n i b af x dx f n ξ→∞=-=∑⎰ （3）曲边图形面积：()ba S f x dx =⎰；变速运动路程21()t t S v t dt =⎰；变力做功 ()ba W F r dr =⎰ 2．定积分的几何意义如果在区间[,]a b 上函数连续且恒有()0f x ≥，那么定积分()baf x dx ⎰表示由直线,x a x b ==（a b ≠），0y =和曲线()y f x =所围成的曲边梯形的面积。

定积分的概念教学案例设计

《定积分的概念》教学案例设计1 教学目标及重点、难点1.1 教学目标知识目标：1.通过求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，了解定积分概念的实际背景意义；2.借助于几何直观理解定积分的基本思想，了解定积分的概念，会应用定积分的定义求函数的定积分．3.理解掌握定积分的几何意义和性质；能力目标：体会“以直代曲”，“无限逼近”，“近似代替”等数学思想.情感态度价值观：体会定积分在实际问题中的应用，体会数学的强大威力.1.2教学重点微元法思想和定积分的基本性质1.3教学难点无限细分和无穷累积的思维方法2 教学过程简录2.1 实例铺路，引出课题教师：“回忆前面曲边图形面积，变速运动的路程，变力做功等问题的解决方法，”师生共同归纳得出，以上两个例子尽管来自不同领域，却都归结为求同一结构的和式的极限. 我们以后还将看到，在求变力所作的功、水压力、某些空间体的体积等许多问题中，都会出现这种形式的极限，因此，有必要在数学上统一对它们进行研究．2.2演示验证，直观感知教师：“让我们再次回顾解决曲边梯形的面积的方法，体会当中蕴含的数学思想.”（教师动画演示对曲边梯形的分割过程）这是曲边梯形的过剩近似值的拟合效果，请同学们再观察其不足近似值的动画演示.教师：体现了哪些数学思想，哪位同学说说？学生1：以上对曲边梯形的无限分割体现了“无限逼近”的思想。

《定积分的概念》教学设计

1.5.3 定积分的概念一、教学目标 1．核心素养通过定积分的概念的学习，提升分析问题、解决问题的能力、抽象概括能力和逻辑思维能力. 2．学习目标（1）借助几何直观体会定积分的基本思想；（2）初步了解定积分的概念. 3．学习重点定积分的概念与定积分的几何意义 4．学习难点定积分的概念二、教学设计（一）课前设计 1．预习任务任务:预习教材P 45—P 48,完成相应练习题 2．预习自测 1.设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2(x ≥0)，2x(x <0)，则⎠⎛－11f (x )dx 等于（）A ．⎠⎛－11x 2dxB ．⎠⎛－112x dC ．⎠⎛－10x 2dx ＋⎠⎛012x dxD ．⎠⎛－102x dx ＋⎠⎛01x 2dx 答案：D2.定积分⎰13(－3)dx 等（）A ．－6B ．6C ．－3D ．3 答案：A3.已知t >0，若⎠⎛0t (2x －2)dx ＝8，则t ＝（）A ．1B ．－2C ．－2或4D ．4 答案：D （二）课堂设计 1．知识回顾求曲边梯形面积的步骤①分割：把区间[a ，b ]等分成n 个小区间；②近似代替：对每个小曲边梯形“以直代曲”，用小矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值；③求和：计算出n 个小矩形的面积之和n S ，n S 即为曲边梯形面积的近似值； ④取极限：求lim n n S S →+∞=（S 即为曲边梯形的面积）2．问题探究问题探究一什么是定积分？学生活动：阅读课本相应内容，找到定积分的定义，并概括出求定积分的基本步骤：如果函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b-=<<<<<<<=将区间[,]a b 等分成n 个小区间，在每个小区间1[,]i i x x -上任取一点()12i i ,,...,n ξ=，作和式11()()nni i i i b af x f nξξ==-∆=∑∑，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分，记做()baf x dx ⎰.即1()lim ()nbi an i b af x dx f nξ→∞=-=∑⎰. 这里，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[,]a b 叫做积分区间，函数()f x 叫做被积函数，x 叫做积分变量，()f x dx 叫做被积式. 问题探究二定积分的几何意义．重点、难点知识★学生活动：定积分的定义和我们上节课所讲的曲边梯形的面积的求法有没有相同之处？你能说明定积分的几何意义吗？定积分的定义与曲边梯形面积的求法本质是相同的.如果在区间[,]a b 上()f x 连续且恒有()0f x ≥，则定积分()baf x dx ⎰的几何意义是由,,0x a x b y ===与()y f x =所围成的曲边梯形的面积.问题探究三定积分的性质重点、难点知识★▲ 学生活动：根据定积分的几何意义，论证定积分的性质定积分的性质：（1）()()b ba akf x dx k f x dx =⎰⎰(k 为常数)（2）1212[()()]()()b b ba a af x f x dx f x dx f x dx ±=±⎰⎰⎰；（3）()()()bcba a cf x dx f x dx f x dx =±⎰⎰⎰（其中a c b <<）. 性质（1）（2）称为定积分的线性性质，性质（3）称为定积分对积分区间的可加性.例1．计算定积分21(1)x dx+⎰详解：所求定积分即为如图阴影部分面积，面积为52.即：215(1)2x dx +=⎰点拨：从定积分的几何意义出发解题 3．课堂总结【知识梳理】1.定积分的定义：如果函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=将区间[,]a b 等分成n 个小区间，在每个小区间1[,]i i x x -上任取一点i ξ(1,2,,)i n =，作和式11()()nni i i i b af x f nξξ==-∆=∑∑，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分，记做()baf x dx ⎰.即1()lim ()nbi a n i b af x dx f nξ→∞=-=∑⎰. 这里，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[,]a b 叫做积分区间，函数()f x 叫做被积函数，x 叫做积分变量，()f x dx 叫做被积式2.定积分的几何意义：如果在区间[,]a b 上()f x 连续且恒有()0f x ≥，则定积分()baf x dx ⎰的几何意义是由,,0x a x b y ===与()y f x =所围成的曲边梯形的面积3.定积分的性质：（1）()()b ba a kf x dx k f x dx =⎰⎰ (k 为常数 )（2）1212[()()]()()bbba a af x f x dx f x dx f x dx ±=±⎰⎰⎰；（3）()()()bcba a cf x dx f x dx f x dx =±⎰⎰⎰（其中a c b <<）. 性质（1）（2）称为定积分的线性性质，性质（3）称为定积分对积分区间的可加性.【重难点突破】（1）计算定积分过程中的两个常用结论 ①211(1)(21)6ni i n n n ==++∑；②231(1)2ni n n i =+⎡⎤=⎢⎥⎣⎦∑； ③11101110lim k k k k kk k n kk k a n a n a n a a b b n b n b n b ---→∞-⋅++++=⋅++++（其中i a ，i b 为常数，0,1,,i k =）.（2）定积分的概念①定积分()ba f x dx ⎰就是和式1()ni i b af n ξ=-∑的极限，即()b a f x dx ⎰表示当n →∞时，和式1()ni i b af n ξ=-∑所趋向的定值. ②在计算定积分的过程中，为了计算的方便，我们常常将定义中的i ξ取为第i （1,2,,i n =）个小区间的左端点或右端点.③定积分()ba f x dx ⎰的值只取决于被积函数()f x 与积分上、下限，而与积分变量用什么字母表示无关，即()()()b b ba a a f x dx f u du f t dt ===⎰⎰⎰.（3）定积分的几何意义①当()f x 对应的曲线位于x 轴上方时，定积分的值为正值，且等于曲边图形的面积；当()f x 对应的曲线位于x 轴下方时，定积分的值为负值，且等于曲边图形面积的相反数；当()f x 对应的曲线x 轴上、下方都有时，定积分等于曲边图形面积的代数和，即等于x 轴上方曲边图形的面积减去x 轴下方曲边图形的面积.②定积分有很多实际意义，如：变速运动路程21()t t s v t dt =⎰；变力做功()baW F r dr =⎰.（4）根据定积分的几何意义，易得以下性质： ①在区间[,]a b 上，若()0f x ≥，则()0baf x dx ≥⎰；②在区间[,]a b 上，若()()f x g x ≤，则()()bba a f x dx g x dx ≤⎰⎰；③()()b baaf x dx f x dx ≤⎰⎰.（5）定积分的性质的推广 ①11221122[()()()]()()()bb bbn n n n a aaak f x k f x k f x dx k f x dx k f x dx k f x dx +++=+++⎰⎰⎰⎰；②121()()()()nbc c ba a c c f x dx f x dx f x dx f x dx =+++⎰⎰⎰⎰（其中12n a c c c b <<<<<）.4．随堂检测1．定积分⎠⎛ab f (x )dx 的大小( )A ．与y ＝f (x )和积分区间[a ，b ]有关，与ξi 的取法无关B ．与y ＝f (x )有关，与积分区间[a ，b ]和ξi 的取法无关C ．与y ＝f (x )和ξi 的取法有关，与积分区间[a ，b ]无关D ．与y ＝f (x )、积分区间[a ，b ]、ξi 的取法均无关答案：A解析：【知识点：定积分】定积分的大小仅与被积函数和积分的上、下限有关． 2．下列结论中成立的个数是( ) ①⎠⎛01x 3dx ＝∑i ＝1ni 3n 3·1n ； ②⎠⎛01x 3dx ＝(i －1)3n 3·1n ； ③⎠⎛01x 3dx ＝i 3n 3·1nA ．0B ．1C ．2D ．3 答案：C解析：【知识点：定积分】积分是一个极限的形式，根据积分的定义可知②③正确． 3．定积分⎠⎛13(－3)dx 等于( )A ．－6B ．6C ．－3D ．3 答案：A解析：【知识点：定积分】⎠⎛133dx表示图中阴影部分的面积S ＝3×2＝6，⎠⎛13(－3)dx ＝－⎠⎛133dx ＝－6.4．已知函数f (x )＝sin 5x ＋1，根据函数的性质、积分的性质和积分的几何意义，探求f (x )dx 的值，结果是( )A.16＋π2 B ．π C ．1 D ．0 答案：B解析：【知识点：定积分】(sin 5x ＋1)dx ＝sin 5xdx ＋1dx ，∵y ＝sin 5x 在[－π2，π2]上是奇函数，∴sin 5xdx ＝0. 而1dx ＝＝π，故f (x )dx ＝π，故选B.5．设a ＝⎠⎛01x 13dx ，b ＝⎠⎛01x 2dx ，c ＝⎠⎛01x 3dx ，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c ＞a ＞bB ．a ＞b ＞cC ．a ＝b ＞cD ．a ＞c ＞b 答案：B.解析：【知识点：定积分】根据定积分的几何意义，易知⎠⎛1x 3dx ＜⎠⎛01x 2dx ＜⎠⎛01x 13dx ，即a ＞b ＞c ，故选B.（三）课后作业基础型自主突破1．定积分⎠⎛01(2＋1－x 2)dx ＝________.答案：24π+解析：【知识点：定积分】原式＝⎠⎛012dx ＋⎠⎛011－x 2dx .∵⎠⎛012dx ＝2，⎠⎛011－x 2dx ＝π4，∴⎠⎛01(2＋1－x 2)dx ＝π4＋2.2．直线x ＝1，x ＝－1，y ＝0及曲线y ＝x 3＋sin x 围成的平面图形的面积可用定积分表示为________．答案：S ＝2⎠⎛01(x 3＋sin x )dx .解析：【知识点：定积分】因y ＝x 3＋sin x 为奇函数，故⎠⎛0－1(x 3＋sin x )dx ＝－⎠⎛01(x 3＋sin x )dx ＜0，所以S ＝2⎠⎛01(x 3＋sin x )dx .3.若y ＝f (x )的图象如图所示，定义F (x )＝⎠⎛0x f (t )dt ，x ∈[0,1]，则下列对F (x )的性质描述正确的有________．(1)F (x )是[0,1]上的增函数； (2)F ′(1)＝0；(3)F (x )是[0,1]上的减函数； (4)∃x 0∈[0,1]使得F (1)＝f (x 0)．答案：(1)，(2)，(4) 解析：【知识点：定积分】由定积分的几何意义可知，F (x )表示图中阴影部分的面积，且F (1)＝⎠⎛01f (t )dt 为一个常数，当x 逐渐增大时，阴影部分的面积也逐渐增大，所以F (x )为增函数，故(1)，(2)正确，(3)错误．由定积分的几何意义可知，必然∃x 0∈[0,1]，使S 1＝S 2，此时矩形ABCO 的面积与函数f (x )的图象与坐标轴围成的区域的面积相等，即F (1)＝⎠⎛01f (t )dt ＝f (x 0)，故(4)正确．所以对F (x )的性质描述正确的有(1)，(2)，(4)． 4．用定积分表示下列阴影部分的面积(不要求计算)：答案：见解析解析：【知识点：定积分】(1)sin xdx .(2) ⎠⎛-42⎠⎛2－412x 2dx .(3)－⎠⎛49－x 12dx ＝⎠⎛49x 12dx .5．已知⎠⎛1x 3dx ＝14，⎠⎛12x 3dx ＝154，⎠⎛12x 2dx ＝73，⎠⎛24x 2dx ＝563，求：(1)⎠⎛023x 3dx ；(2)⎠⎛146x 2dx ；(3)⎠⎛12(3x 2－2x 3)dx .答案：见解析解析：【知识点：定积分】(1)⎠⎛023x 3dx ＝3⎠⎛02x 3dx ＝3(⎠⎛01x 3dx ＋⎠⎛12x 3dx )＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋154＝12.(2)⎠⎛146x 2dx ＝6(⎠⎛12x 2dx ＋⎠⎛24x 2dx )＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫73＋563＝126.(3)⎠⎛12(3x 2－2x 3)dx ＝3⎠⎛12x 2dx －2⎠⎛12x 3dx ＝3×73－2×154＝－12.能力型师生共研6．将和式的极限 1p ＋2p ＋3p ＋…＋n pn p ＋1(p ＞0)表示成定积分为( )A.⎠⎛011x dxB.⎠⎛01x p dxC.⎠⎛01⎝⎛⎭⎪⎫1x pd D.⎠⎛01⎝ ⎛⎭⎪⎫x n p dx 答案：B解析：【知识点：定积分】令ξi ＝in ，f (x )＝x p ，则1p ＋2p ＋3p ＋…＋n pn p ＋1＝∑i ＝1n1n f (ξi )＝⎠⎛01x p dx .7．将(1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n )表示为定积分为________．答案：⎠⎛0111＋x dx解析：【知识点：定积分】由定积分的定义(1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n )＝∑i ＝1n(1in ＋1)·1n ＝∑i ＝1n(n n ＋i )·1n ＝⎠⎛0111＋x dx . 8．设f (x )＝⎩⎨⎧－2x ＋4，x >1，x ＋1，0≤x ≤1，求⎠⎛02f (x )dx .答案：见解析解析：【知识点：定积分】∵f (x )＝⎩⎨⎧－2x ＋4，x >1，x ＋1，0≤x ≤1，∴⎠⎛02f (x )dx ＝⎠⎛01(x ＋1)dx ＋⎠⎛12(－2x ＋4)dx .又由定积分的几何意义得 ⎠⎛01(x ＋1)dx ＝12(1＋2)×1＝32， ⎠⎛12(－2x ＋4)dx ＝12×1×2＝1， ∴⎠⎛02f (x )dx ＝32＋1＝52. 9．抛物线y ＝12x 2将圆面x 2＋y 2≤8分成两部分，现在向圆面上均匀投点，这些点落在图中阴影部分的概率为14＋16π，求⎠⎛02(8－x 2－12x 2)dx .答案：见解析解析：【知识点：定积分】解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝8，y ＝12x 2，得x ＝±2.∴阴影部分的面积为⎠⎛-22(8－x 2－12x 2)dx .∵圆的面积为8π，∴由几何概型可得阴影部分的面积是8π·(14＋16π)＝2π＋43.由定积分的几何意义得⎠⎛02(8－x 2－12x 2)dx ＝12⎠⎛-22 (8－x 2－12x 2)dx ＝π＋23.探究型多维突破10．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 3 x ∈[－2，2]，2x x ∈[2，π]，cos x x ∈[π，2π].则22()f x dx π-=⎰________．答案：见解析解析：【知识点：定积分】由定积分的几何意义知⎠⎛－22x 3dx ＝0，⎠⎛2π2xdx ＝(π－2)(2π＋4)2＝π2－4，由于cos x 关于32x π=对称，故2cos 0xdx ππ=⎰，由定积分的性质得⎠⎛－22πf (x )dx ＝⎠⎛－22x 3dx ＋⎠⎛2π2xdx ＋2cos xdx ππ⎰＝π2－4.11．设y ＝f (x )为区间[0,1]上的连续函数，且恒有0≤f (x )≤1，可以用随机模拟方法近似计算积分⎠⎛01f (x )dx .先产生两组(每组N 个)区间[0,1]上的均匀随机数x 1，x 2，…，x N 和y 1，y 2，…，y N ，由此得到N 个点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，N )．再数出其中满足y i ≤f (x i )(i ＝1,2，…，N )的点数N 1，那么由随机模拟方法可得积分⎠⎛01f (x )dx 的近似值为________________．答案：见解析解析：【知识点：定积分】因为0≤f (x )≤1且由积分的定义知：⎠⎛01f (x )dx 是由直线x ＝0，x ＝1及曲线y ＝f (x )与x 轴所围成的面积．又产生的随机数对在如图所示的正方形内，正方形面积为1，且满足y i ≤f (x i )的有N 1个点，即在函数f (x )的图象上及图象下方有N 1个点，所以用几何概型的概率公式得：f (x )在x ＝0到x ＝1上与x 轴围成的面积为N 1N ×1＝N 1N ，即⎠⎛01f (x )dx ＝N 1N . 自助餐1．已知⎠⎛a b f (x )dx ＝6，则⎠⎛a b 6f (x )dx 等于（）A ．6B ．6(b －a )C ．36D ．不确定答案：C解析：【知识点：定积分】 2．11x dx --⎰等于（）A ．11()x dx --⎰B ．11xdx -⎰C ．0110()x dx xdx --+⎰⎰D ．0110()xdx x dx -+-⎰⎰ 答案：C解析：【知识点：定积分】3．设连续函数f (x )>0，则当a <b 时，定积分⎠⎛a b f (x )dx 的符号（）A ．一定是正的B ．一定是负的C ．当0<a <b 时是正的D ．以上都不对答案：A解析：【知识点：定积分】4．若⎠⎛a b f (x )dx ＝1，⎠⎛a b g (x )dx ＝－3，则⎠⎛a b [2f (x )＋g (x )]dx ＝（）A ．2B ．－3C ．－1D ．4 答案：C解析：【知识点：定积分】5．设a ＝10⎰x 13dx ，b ＝10⎰x 2dx ，c ＝1⎰x 3dx ，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．c ＞a ＞bB ．a ＞b ＞cC ．a ＝b ＞cD ．a ＞c ＞b 答案：B解析：【知识点：定积分】根据定积分的几何意义，易知⎰01x 3dx ＜⎰01x 2dx ＜⎰01x 13dx ，即a ＞b ＞c .6．由曲线y =x 2-1，直线x =0，x =2和x 轴围成的封闭图形的面积(如图)可表示为（）A.220(1)x dx -⎰B.2201x dx -⎰C.220(1)x dx -⎰D.122201(1)(1)x dx x dx -+-⎰⎰ 答案：B解析：【知识点：定积分】由定积分的几何意义知，阴影部分的面积为2121222211(1)(1)(1)(1)x dx x dx x dx x dx ---=-++⎰⎰⎰⎰2201x dx =-⎰7．⎠⎛06(2x －4)dx ＝____________. 答案：12解析：【知识点：定积分】A (0，－4)，B (6,8)，M (2,0)，S △AOM ＝12×2×4＝4，S △MBC ＝12×4×8＝16，∴⎠⎛06(2x －4)dx ＝16－4＝128．已知f (x )是一次函数，其图象过点(3,4)且⎠⎛01f (x )dx ＝1，则f (x )的解析式为_________________．答案：f (x )＝65x ＋25 解析：【知识点：定积分】设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，∵f (x )图象过(3,4)点，∴3a ＋b ＝4.又⎠⎛01f (x )dx ＝⎠⎛01(ax ＋b )dx ＝a ⎠⎛01xdx ＋⎠⎛01bdx ＝12a ＋b ＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋b ＝4，12a ＋b ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝65，b ＝25.∴f (x )＝65x ＋25.9．定积分⎠⎛－33(9－x 2－x 3)dx 的值为________．答案：92π 解析：【知识点：定积分】如图，由定积分的几何意义，得⎠⎛－339－x 2dx ＝π×322＝9π2，⎠⎛－33x 3dx ＝0.由定积分的性质，得 ⎠⎛－33(9－x 2－x 3)dx ＝⎠⎛－339－x 2dx －⎠⎛－33x 3dx ＝9π2.10．已知f (x )=，求f (x )在区间[0，5]上的定积分.答案：见解析解析：【知识点：定积分】 (4-x )dx =×(1+2)×1=，(-)dx =×2×1=1，所以f (x )dx =xdx +(4-x )dx +(-)dx =2++1=.11．求定积分⎠⎛01x 3dx 的值.答案：见解析解析：【知识点：定积分】分割区间[0,1]，则第i 个区间为1[,]i i n n -，且每个小区间的长度1n，则n S =⎝ ⎛⎭⎪⎫1n 3·1n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2n 3·1n ＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n n 3·1n .＝∑i ＝1n⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫i n 3·1n . 而∑i ＝1n⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫i n 3·1n ＝1n 4∑i ＝1n i 3＝241(1)2n n n +⎡⎤⋅⎢⎥⎣⎦＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2n ＋1n 2， ∴⎠⎛01x 3dx ＝lim n →∞14⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2n ＋1n 2＝14.因此⎠⎛01x 3dx ＝14.12．求证：12＜⎠⎛01x dx ＜1.答案：见解析解析：【知识点：定积分】如图，⎠⎛01x dx 表示阴影部分面积，△OAB 的面积是12，正方形OABC 的面积是1，显然，△OAB 的面积＜阴影部分面积＜正方形OABC 的面积，即12＜⎠⎛01x dx ＜1.数学视野定积分的一般定义：设()f x 是定义在区间[,]a b 上的一个函数.T 表示在区间[,]a b 内插入任意1n -个分点011i i n a x x x x x b -=<<<<<<=.将这n 个小区间1[,]i i x x -(1,2,,)i n =长度的最大值记为()l T .在每个小区间1[,]i i x x -上任意取定一点1()i i i i x x ξξ-≤≤，作和1102211111()()()()()()()()()()nn i i i n n n i i i i I f x x f x x f x x f x x f x x ξξξξξ---==-+-++-++-=-∑如果不论区间[,]a b 的分法如何，不论i ξ怎样选取，当()0l T →时，和n I 都存在极限，且极限值都是I ，即1()01lim()()niii l T i I f xx ξ-→==-∑.则称函数()f x 在区间[,]a b 上可积，并称极限值I 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分，记作()d baf x x ⎰.这里，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[,]a b 叫做积分区间，函数()f x 叫做被积函数，x 叫做积分变量，()d f x x 叫做被积式.如果和n I 的极限不存在，则称函数()f x 在区间[,]a b 上不可积.这个定义是德国数学家黎曼（B.Riemann ，1826—1866）首先给出的，所以这样定义下的定积分通常称为黎曼积分.根据黎曼积分的定义，在区间[,]a b 上的连续函数，单调有界函数、只有有限个不连续点的有界函数，都是可积的.因此，教科书所讲的定积分是黎曼积分的特殊形式，黎曼积分是我们所讲的定积分的一种推广.。

§1.5.3定积分的概念教案

1。

5。

3定积分的概念教学目标能用定积分的定义求简单的定积分;理解掌握定积分的几何意义；重点定积分的概念、定积分法求简单的定积分、定积分的几何意义难点定积分的概念、定积分的几何意义复习: 1．回忆前面曲边图形面积，变速运动的路程,变力做功等问题的解决方法，解决步骤 2．对这四个步骤再以分析、理解、归纳，找出共同点．新课讲授1．定积分的概念一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ∆（b ax n-∆=）,在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ=，作和式：11()()nnn i i i i b aS f x f nξξ==-=∆=∑∑如果x ∆无限接近于0（亦即n →+∞)时,上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。

记为：()baS f x dx =⎰其中()f x 成为被积函数，x 叫做积分变量，[,]a b 为积分区间，b 积分上限，a 积分下限。

说明：(1)定积分()ba f x dx ⎰是一个常数，即n S 无限趋近的常数S（n →+∞时)称为()ba f x dx ⎰，而不是n S ．（2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间[],a b ;②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈;③求和：1()ni i b a f n ξ=-∑； ④取极限：()1()lim n b i a n i b af x dx f n ξ→∞=-=∑⎰ （3）曲边图形面积:()ba S f x dx =⎰；变速运动路程21()t t S v t dt =⎰；变力做功 ()ba W F r dr =⎰ 2．定积分的几何意义如果在区间[,]a b 上函数连续且恒有()0f x ≥，那么定积分()baf x dx ⎰表示由直线,x a x b ==（a b ≠）,0y =和曲线()y f x =所围成的曲边梯形的面积。

定积分的概念教学案例设计

《定积分的概念》教学案例设计1 教学目标及重点、难点 1.1 教学目标知识目标：1.通过求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，了解定积分概念的实际背景意义；2.借助于几何直观理解定积分的基本思想，了解定积分的概念，会应用定积分的定义求函数的定积分．3.理解掌握定积分的几何意义和性质；能力目标：体会“以直代曲”，“无限逼近”，“近似代替”等数学思想.情感态度价值观：体会定积分在实际问题中的应用，体会数学的强大威力.1.2 教学重点微元法思想和定积分的基本性质1.3 教学难点无限细分和无穷累积的思维方法2 教学过程简录2.1 实例铺路，引出课题教师：“回忆前面曲边图形面积，变速运动的路程，变力做功等问题的解决方法，解决步骤是什么？”” 师生共同归纳得出，以上两个例子尽管来自不同领域，却都归结为求同一结构的和式的极限. 我们以后还将看到，在求变力所作的功、水压力、某些空间体的体积等许多问题中，都会出现这种形式的极限，因此，有必要在数学上统一对它们进行研究．2.2 演示验证，直观感知教师：“让我们再次回顾解决曲边梯形的面积的方法，体会当中蕴含的数学思想.” （教师动画演示对曲边梯形的分割过程）这是曲边梯形的过剩近似值的拟合效果，请同学们再观察其不足近似值的动画演示. 教师：体现了哪些数学思想，哪位同学说说？学生1：以上对曲边梯形的无限分割体现了“无限逼近”的思想。

学生2：还有“近似代替”的思想，用不足近似值和过剩近似值代替曲边梯形的面积，以及“以直代曲”的思想.教师：这种求面积的方法具有普遍意义，为此，引入定积分的概念. 2.2.1 定积分的概念设函数)(x f 在区间],[b a 上有定义，任意用分点b x x x x a n =<⋅⋅⋅<<<=210 将],[b a 分成n 个小区间，用1--=∆i i i x x x 表示第i 个小区间的长度，在],[1i i x x -上任取一点i ξ，作乘积i i x f ∆⋅)(ξ，n i ,,2,1⋅⋅⋅=. 再作和∑=∆ni iixf 1)(ξ.若当0}{max 1→∆=≤≤i ni x λ时，上式的极限存在，则称函数)(x f 在区间],[b a 上可积，并称此极限值为)(x f 在],[b a 上的定积分，记作⎰badx x f )(. 即图5－1∑⎰=→∆=ni i i bax f dx x f 1)(lim )(ξλ. (1)其中)(x f 称为被积函数，dx x f )(称为被积表达式，x 称为积分变量，],[b a 称为积分区间，b a ,分别称为积分下限和上限.许多实际问题都可用定积分表示. 例如，若变速直线运动的速度为)(t v ，则在时间区间],[b a 上，物体经过的路程为⎰=ba dt t v s )(. (2)同理，图5－1所示的曲边梯形面积可表为⎰=ba dx x f A )( (3)()baW F r dr =⎰变力做功 (4)I ．)(x f 在],[b a 可积，是指不管对区间分划的方式怎样，也不管点i ξ在小区间],[1i i x x -上如何选取，只要0→λ，极限值总是唯一确定的.哪些函数是可积的呢？定理在闭区间],[b a 上连续的函数必在],[b a 上可积；在区间],[b a 上有界且只有有限个间断点的函数也必在],[b a 上可积.II ．定积分是一个数，只取决于被积函数与积分区间，而与积分变量的记号无关，即⎰⎰⎰==bab abadt t f du u f dx x f )()()(．III ．定义定积分时已假定下限a 小于上限b ，为便于应用，规定当a b ≤时，⎰⎰-=abbadx x f dx x f )()(．0)(=⎰a adx x f ．2.2.2 定积分的几何意义I ．若0)(≥x f ，则积分⎰ba dx x f )(表示如图所示的曲边梯形的面积，即A dx x f ba=⎰)(．针对训练：用定积分表示下列图形的面积. (两名学生上黑板板书)学生1：⎰102xdx 学生2：⎰430sin πxdx:) 学生3：（略）学生4：练习：学生5：（略）学生6：（略）II ．若0)(≤x f ，则积分⎰ba dx x f )(表示如图5－3所示的曲边梯形面积的负值，即b学生图，则积分⎰ba x =方的图形面321)(A A A dx x f ba+-=⎰．2.2.3 定积分的性质根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：性质1a b dx ba -=⎰1性质2 ⎰⎰=babadx x f k dx x kf )()( （其中k 是不为0的常数）（定积分的线性性质）性质3 1212[()()]()()bbbaaaf x f x d x f x d x f x d x ±=±⎰⎰⎰（定积分的线性性质）性质4()()()(b c baacf x d x f x d x f x d x a c b=+<<⎰⎰⎰其中（定积分对积分区间的可加性）教师：你能将性质4可加性推广到更一般的情况吗？（学生展开讨论，选取几个油代表性的，师生共同归纳得出）[2,2]x ∈-被积函数半径为2说明：①推广：1212[()()()]()()()bb bbm m aaaaf x f x f x dx f x dx f x dx f x ±±±=±±±⎰⎰⎰⎰②推广:121()()()()kbc c baac c f x dx f x dx f x dx f x dx =+++⎰⎰⎰⎰③性质解释：练习：1、根据定积分的可加性，可将下列定积分表示为？学生8： 2、计算定积分：学生9：（2）式表示半圆 2.3 发散思考，深入探索不计算积分，比较下列各组积分的大小:(1) xdx⎰10, dxx 210⎰; (2) xdx ⎰21, dxx 221⎰;(3) xdx⎰10,dxx )1ln(1+⎰;(4)xdxsin 02⎰-π,xdxsin 2⎰π.（四名同学板演，教师巡视，各小组共同讨论得出）学生10：在同一区间内，函数值大的，对应的定积分值大。

定积分的概念的教学设计

定积分的概念的教学设计一、教学目标：1.了解定积分的概念和基本性质。

2.能够理解和应用定积分的定义和计算方法。

3.能够运用定积分解决实际问题。

二、教学重点：1.定积分的概念和性质。

2.定积分的计算方法。

三、教学难点：1.对定积分概念的理解和应用。

2.定积分计算方法的运用。

四、教学准备：1.教师准备教学课件、板书。

2.学生准备课本、笔记等。

五、教学过程：Step 1：导入（10分钟）1.教师简要介绍导数的概念，回顾导数的计算方法和求导法则。

2.引导学生思考：如果“导数”是描述一个函数变化率的概念，那么有没有与之相对应的概念来描述一个函数的累计效应呢？Step 2：引入定积分概念（15分钟）1.通过图例引导学生思考在一个区间上函数图像之下的面积，让学生发现概念。

2.引导学生思考以下问题：-如何精确地描述该面积？-如何计算这个面积？3.教师出示定积分的定义并解释：$\int_a^b f(x)dx = {\lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^nf(x_i)\Delta x}$其中，$\Delta x = \frac{b-a}{n}$，$f(x_i)$是在每个子区间上任意选择的一点。

4.教师解释定积分的符号含义，并进行例题辅助讲解：$\int_a^b f(x)dx$可以理解为从$a$到$b$的函数$f(x)$在$x$轴上方的面积。

Step 3：定积分的性质（15分钟）1.教师介绍定积分的基本性质：- 定积分与区间选择无关，即$\int_a^b f(x)dx = \int_c^b f(x)dx + \int_a^c f(x)dx$- 若函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，且存在一些点$c \in [a,b]$，使得$f(c) \geq f(x)$在$[a,b]$上成立，则$\int_a^b f(x)dx \geq 0$- 若函数$f(x)$在$[a,b]$上连续且非负，则$\int_a^b f(x)dx = 0$的充要条件是$f(x) \equiv 0$2.教师通过例题进行讲解和巩固。

定积分的应用教案

定积分的应用教案第一章：定积分的概念1.1 引入定积分的概念解释定积分的定义：定积分是函数在区间上的积累效果，表示为∫ab f(x)dx。

强调定积分表示的是函数在区间上的面积或长度。

1.2 定积分的性质介绍定积分的性质：线性性质、保号性、可积函数的有界性等。

通过示例说明定积分的性质在实际问题中的应用。

第二章：定积分的计算方法2.1 牛顿-莱布尼茨公式介绍牛顿-莱布尼茨公式：如果F(x) 是函数f(x) 的一个原函数，∫ab f(x)dx = F(b) F(a)。

解释原函数的概念：原函数是导函数的不定积分。

2.2 定积分的换元法介绍换元法的步骤：选择适当的代换变量，求导数，计算新积分。

通过具体例子演示换元法的应用。

第三章：定积分在几何中的应用3.1 平面区域的面积解释平面区域面积的概念：平面区域内所有点的坐标的绝对值的平均值。

利用定积分计算平面区域的面积，示例包括矩形、三角形、圆形等。

3.2 曲线围成的面积介绍利用定积分计算曲线围成的面积的方法：选择适当的上下限，计算定积分。

通过具体例子演示计算曲线围成的面积。

第四章：定积分在物理中的应用4.1 定积分与力的累积解释力的累积概念：力在一段时间内的积累效果。

利用定积分计算力的累积，示例包括恒力作用下的位移、变力作用下的位移等。

4.2 定积分与功的计算介绍利用定积分计算功的方法：计算力与位移的乘积的定积分。

通过具体例子演示计算功的应用。

第五章：定积分在经济学中的应用5.1 定积分与总成本解释总成本的概念：企业在生产一定数量产品所需的成本。

利用定积分计算总成本，示例包括固定成本和变动成本的情况。

5.2 定积分与总收益介绍利用定积分计算总收益的方法：计算产品的售价与销售数量的乘积的定积分。

通过具体例子演示计算总收益的应用。

第六章：定积分在概率论中的应用6.1 定积分与概率密度解释概率密度的概念：随机变量在某个区间内的概率。

利用定积分计算概率密度，示例包括均匀分布、正态分布等。

高中数学定积分内容教案

高中数学定积分内容教案一、教学内容分析：定积分是微积分中的一个重要概念，通过定积分的学习，可以帮助学生深入理解积分的概念和原理，掌握定积分的计算方法，以及应用定积分解决实际问题的能力。

在高中数学中，定积分主要包括定积分的定义、定积分的计算方法、定积分的性质和定积分的应用等内容。

二、教学目标设定：1. 理解定积分的定义和意义；2. 掌握定积分的计算方法，包括不定积分、定积分的性质和定积分的应用；3. 培养学生解决实际问题的能力，提高学生的数学建模能力。

三、教学步骤安排：第一步：定积分的定义和意义1. 定积分的概念和意义；2. 定积分的定义及其几何意义；3. 定积分的性质和计算方法。

第二步：定积分的计算方法1. 不定积分与定积分的关系；2. 定积分的计算方法；3. 定积分的性质和公式。

第三步：定积分的性质和应用1. 定积分的性质及其应用；2. 定积分在实际问题中的应用；3. 综合练习和解题训练。

四、教学方法和手段：1. 讲解教学法：通过教师讲解、示范和分析，引导学生理解和掌握定积分的概念和计算方法；2. 互动探究法：通过问题探讨、讨论和实例分析，培养学生的数学思维和解决问题的能力；3. 实践演练法：通过课堂练习、作业布置和实际问题解答，提高学生的运用能力和实际应用能力。

五、评估方法：1. 定期考试和小测验；2. 作业评订和讲评；3. 课堂互动和问题解答。

六、教学资源准备：1. 教材和教辅资料；2. 多媒体教学设备；3. 实例和练习题。

七、教学反馈和改进：1. 定期组织教学反馈和讨论；2. 定期总结和评估学生学习情况；3. 结合学生实际情况，适时调整和改进教学方法和手段。

《定积分的概念》教学教案

《定积分的概念》教学教案教学教案《定积分的概念》一、教学目标1.理解定积分的概念和基本性质；2.掌握计算定积分的方法和技巧；3.运用定积分解决实际问题。

二、教学重点1.定积分的概念和基本性质；2.计算定积分的方法和技巧。

三、教学难点1.理解定积分的概念和基本性质；2.运用定积分解决实际问题。

四、教学准备1.教材：数学教材、习题集等；2.工具：黑板、粉笔等。

五、教学过程Step 1 知识导入（5分钟）1.复习集中讨论上一节课的内容，引入定积分的概念。

2.提问：你们对定积分有什么了解？Step 2 定积分的概念（20分钟）1. 导入：引入定积分的基本概念，如Riemann和、分割、积分和面积的关系等。

2.讲解：通过具体的例子，解释定积分的定义和意义。

3.提问：如何通过曲线的面积概念引入定积分？Step 3 定积分的基本性质（15分钟）1.引入：引入定积分的基本性质，如线性性质、区间可加性、保号性等。

2.讲解：通过具体例子验证定积分的基本性质。

3.提问：如何理解定积分的线性性质？Step 4 计算定积分（25分钟）1.导入：通过几何问题，引入定积分的计算方法。

2.讲解：教授求定积分的方法和技巧，如代数法、几何法、换元法等。

3.举例：通过具体的例子讲解并计算定积分。

4.练习：让学生完成相应的练习题。

Step 5 运用定积分（20分钟）1.导入：通过实际问题引入定积分的应用。

2.讲解：教授定积分在物理学和经济学等领域的应用。

3.举例：通过实际问题的例子，展示定积分的应用过程。

4.提问：你对定积分的应用有何感悟？Step 6 拓展延伸（15分钟）1.讲解：让学生了解定积分的应用不仅限于一元函数，还可以推广到二元和多元函数。

2.提问：你能举例说明定积分在二元和多元函数中的应用吗？六、教学总结（10分钟）1.复习：对本节课的知识点进行复习。

2.总结：对本节课的教学内容进行总结，概括定积分的概念、基本性质和计算方法。

高中数学定积分的概念教案新人教版选修

高中数学定积分的概念教案新人教版选修一、教学目标1. 理解定积分的概念，掌握定积分的定义方法和性质。

2. 学会利用定积分解决实际问题，提高运用数学知识解决实际问题的能力。

3. 培养学生的逻辑思维能力、创新能力和合作能力。

二、教学内容1. 定积分的概念：定积分的定义、定积分的性质。

2. 定积分的计算：牛顿-莱布尼茨公式、定积分的换元法、分部积分法。

3. 定积分在实际问题中的应用。

三、教学重点与难点1. 重点：定积分的概念、性质，定积分的计算方法。

2. 难点：定积分的理解和运用，定积分的计算技巧。

四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究定积分的概念和性质。

2. 利用案例分析法，让学生学会将实际问题转化为定积分问题。

3. 运用讨论法，培养学生的合作能力和创新思维。

五、教学过程1. 导入：通过生活中的实例，引导学生思考如何求解曲边图形的面积。

2. 探究定积分的概念：讲解定积分的定义，让学生理解定积分的基本思想。

3. 学习定积分的性质：引导学生通过举例，总结定积分的性质。

4. 定积分的计算：讲解牛顿-莱布尼茨公式，教授换元法和分部积分法。

5. 应用定积分解决实际问题：让学生分组讨论，选取实例进行分析。

6. 总结与反馈：对所学内容进行总结，收集学生反馈，及时调整教学方法。

六、教学评价1. 评价学生对定积分概念的理解程度，通过课堂提问、作业批改等方式进行。

2. 评价学生对定积分性质的掌握情况，通过课后练习、小测验等方式进行。

3. 评价学生运用定积分解决实际问题的能力，通过分组讨论、课堂展示等方式进行。

七、教学资源1. PPT课件：制作精美的PPT课件，展示定积分的概念、性质和计算方法。

2. 教学案例：收集与生活实际相关的案例，用于引导学生运用定积分解决实际问题。

3. 练习题库：编写一定数量的练习题，用于巩固学生对定积分的理解和运用。

八、教学进度安排1. 第1周：导入定积分的概念，讲解定积分的定义和性质。

定积分的概念教案

定积分的概念教案教学目标：了解定积分的概念及其几何意义，熟练掌握定积分的计算方法。

教学重点：掌握定积分的概念及其几何意义。

教学难点：运用定积分的概念解决实际问题。

教学准备：教师准备教材、教具和白板笔等。

教学过程：Step 1：导入问题教师可以提出一个实际问题，如：一辆汽车在1小时内的速度是多少？请学生思考并展开讨论。

Step 2：引入定积分教师出示一张速度-时间图像，简单介绍图像含义，即速度的变化情况。

Step 3：讨论定积分概念教师引导学生思考：如何根据速度-时间图像计算汽车在1小时内行驶的距离？学生可以按时间分割成不同的小段，并计算每个小段的行驶距离。

引出定积分的概念：将时间划分成无限小的小段，计算每个小段的行驶距离，并对其求和。

Step 4：定积分的计算方法教师介绍定积分的计算方法：将定积分问题转化为求函数的不定积分问题，然后根据不定积分的法则进行计算。

Step 5：定积分的几何意义教师引导学生思考：定积分的几何意义是什么？可以让学生按照概念中的思路进行讨论，并引导学生认识到定积分表示函数与横轴之间的面积。

Step 6：应用定积分解决实际问题教师出示一个实际问题，如：一块不规则形状的地块的面积如何计算？引导学生将地块的形状划分成无数个小矩形或小三角形，然后利用定积分的概念求解。

Step 7：练习与总结教师提供一些定积分的练习题，供学生巩固知识并提出问题。

在练习过程中，教师及时纠正学生的错误，引导学生总结定积分的计算方法和几何意义。

Step 8：课堂小结教师对本节课进行小结，强调定积分的概念及其几何意义，并鼓励学生继续探索和应用定积分。

Step 9：课后作业教师布置相关的课后作业，要求学生继续练习定积分的计算及应用，并预习下节课内容。

以上为定积分的概念教案。

数学：1.5.3《定积分的概念》教案(新人教A版选修2-2)

文档从网络收集.经重新纠错整理.word 可编辑.欢迎下载支持- 1 - 1.5.3 定积分的概念教学目标：1. 了解曲边梯形面积与变速直线运动的共同特征.2. 理解定积分及几何意义.3. 掌握定积分的基本性质及其计算教学重点与难点：1. 定积分的概念及几何意义2. 定积分的基本性质及运算教学过程：1. 定积分的定义：2. 怎样用定积分表示：x =0，x =1，y =0及f (x )=x 2所围成图形的面积？t =0，t =1，v =0及v =-t 2-1所围成图形的面积？3. 你能说说定积分的几何意义吗？例如⎰b a dx x f )(的几何意义是什么?梯形的面积所围成的曲边和曲线，，是直线定积分)(0)()(x f y y b a b x a x dx x f b a==≠==⎰ 4.4. 根据定积分的几何意义，你能用定积分表示下图中阴影部分的面积吗？思考：试用定积分的几何意义说明 1.⎰-2024dx x 的大小由直线x =0，x =2，y =0及24x y -=所围成的曲边梯形的面积，即圆x2+y2=22的面积的41，.4202π=-∴⎰dx x 2. 0113=⎰-dx x 5. 例：利用定积分的定义，计算0103=⎰dx x 的值.6.由定积分的定义可得到哪些性质？常数与积分的关系 ⎰⎰=b a b a dx x f k dx x kf )()( 和差的积分推广到有限个也成立⎰⎰⎰±=±b a b a b a dx x f dx x f dx x f x f )()()]()([2121 区间和的积分等于各段积分和)()()()(b c a dx x f dx x f dx x f b c c a b a <<+=⎰⎰⎰其中 7练习：计算下列定积分⎰-312)2(dx x x。

定积分的概念教案

定积分的概念教学目标：知识目标：掌握定积分的含义，理解定积分的几何意义。

能力目标：1、理解定积分概念中归纳思维的运用；2、掌握例题求解过程中对比思维的运用。

素质目标：提升分析与解决问题的能力教学重点和难点：教学重点：定积分的概念和思想教学难点：理解定积分的概念，领会定积分的思想教学方法：1、直观法：让抽象的数学与具体的生活结合。

2、归纳法：让严整的数学定义与休闲的娱乐生活结合。

3、类比法：让例题求解过程与社会事例结合。

4、总结法：数学学习中培养的能力贯穿生活、社会、科学等各方面。

教学过程：一、引入新课我们已经学过规则平面图形的面积：三角形四边形梯形圆等，那么不规则平面图形的面积该怎么求呢？二、讲解新课实例1曲边梯形的面积曲边梯形:若图形的三条边是直线段，其中有两条垂直于第三条底边，而其第四条边是曲线，这样的图形称为曲边梯形，如左下图所示.曲边梯形面积的确定步骤：推广为 yO M P Q N B x CAA 曲边梯形面积的确定方法：把该曲边梯形沿着 y 轴方向切割成许多窄窄的长条，把每个长条近似看作一个矩形，用长乘宽求得小矩形面积，加起来就是曲边梯形面积的近似值，分割越细，误差越小，于是当所有的长条宽度趋于零时，这个阶梯形面积的极限就成为曲边梯形面积的精确值了.如下图所示： Oxy y = f (x )(1)分割任取分点b x x x x x a n n =<<<<<=-1210 ,把底边[a ,b ]分成n 个小区间[]21,x x ,(),,2,1n i =.小区间长度记为 );,,2,1(1n i x x x i i i =-=∆-(2) 取近似在每个小区间[i i x x ,1-]上任取一点i ξ竖起高线)(i f ξ,则得小长条面积i A ∆的近似值为i i i x f A ∆≈∆)(ξ (n i ,,2,1 =);(3) 求和把n 个小矩形面积相加(即阶梯形面积)就得到曲边梯形面积A 的近似值i ni i n n x f x f x f x f ∆=∆++∆+∆∑=)()()()(12211ξξξξ ;(4) 取极限令小区间长度的最大值{}i ni x ∆=≤≤1max λ 趋于零,则和式ini ix f ∆∑=)(1ξ的极限就是曲边梯形面积A 的精确值，即 ini ix f A ∆=∑=→1)(limξλ实例2 路程问题解决变速运动的路程的基本思路：把整段时间分割成若干小时间段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程的近似值,再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值．（1）分割（2）近似（3）求和（4）取极限路程的精确值2、归纳总结曲边梯形的面积和变速运动的路程得出定积分的概念。

《高职应用数学》教案第21课定积分的概念

第21课定积分的概念背景导入（10 min）【教师】讲述积分学产生的历史背景，微分学和积分学之间的联系【学生】聆听、了解通过背景导入，吸引学生关注，调动学生的主观能动性讲授新课（33 min）【教师】引入课题在实际问题中，我们经常会遇到某些非均匀量的求和问题，如计算不规则图形的面积和体积、变速直线运动的路程、非匀质物体的质量、变力所做的功等，虽然它们各自的意义不同，但这些问题的解决都可归结为“无限细分，无限求和”的过程．先看下面两个实例．【教师】通过讲解两个引例（曲边梯形的面积和变速直线运动的路程），引出定积分的概念曲边梯形的面积设()y f x=在闭区间[]a b，上连续，且()0f x，则由曲线()y f x=、直线x a x b==，及x轴所围成的平面图形，称为曲边梯形，如图5-1所示．试求此曲边梯形的面积．如何计算曲边梯形的面积呢？由于曲边梯形的高()f x在区间[]a b，上是连续变化的，因此在很小一段区间上它的变化很小，近似于不变．将区间[]a b，划分为许多小区间，曲边梯形也相应地被划分成许多小曲边梯形．如果在每个小区间上用其中某一点的高近似代替同一区间上小曲边梯形的变高，那么每个小曲边梯形就可以近似看成小矩形．以这些小矩形的面积作为小曲边梯形面积的近似值，并将区间[]a b，无限细分下去，使每个小区间的长度都趋于0，这时所有小矩形面积之和的极限就是曲边梯形的面积．根据上面的分析，可按下面的步骤计算曲边梯形的面积．1）分割任取分点011n na x x x x b-=<<⋅⋅⋅<<=把区间[]a b，任意分成n个小区间，即0112231[][][][]n nx x x x x x x x-⋅⋅⋅，，，，，，，，，每个小区间的长度为1(12)i i ix x x i n-∆=-=⋅⋅⋅，，，．相应地，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，其面积为(12)iS i n∆=⋅⋅⋅，，，．2）近似代替从实际实例引出定积分的概念，从具体到抽象地讲解定积分的概念引例1图5-1对于第i 个小曲边梯形，在小区间1[]i i x x -，上任取一点i ξ，得到以区间1[]i i x x -，的长i x ∆为底，以()i f ξ为高的小矩形（见图5-2），用小矩形的面积()i i f ξx ∆近似代替小曲边梯形的面积i S ∆，即()(12)i i i S f ξx i n ∆≈∆=⋅⋅⋅，，，．图5-23）求和将n 个小矩形的面积加起来，便得到曲边梯形面积的近似值，即1211221()()()()nn n n i ii S S S S f ξx f ξx f ξx f ξx =∆+∆+⋅⋅⋅+∆≈∆+∆+⋅⋅+∆=∆=⋅∑．4）取极限当分点个数n 无限增大，且小区间长度的最大值1max{}i i nλx =∆趋近于0时，上述和式的极限便是曲边梯形的面积，即1lim ()ni i i S f x λξ→==∆∑．变速直线运动的路程设一物体做变速直线运动，其速度是时间t 的连续函数()v v t =，求物体在时间段12[]T T ，内所经过的路程S ．我们知道，匀速直线运动的路程公式是S vt =，现设物体的运动速度v 是随时间连续变化的，因此不能直接用此公式计算路程，但可以采用以下方法计算．1）分割任取分点10112n n T t t t t T -=<<⋅⋅⋅<<=，把12[]T T ，分成n 个小时间段0112[][]t t t t ⋅⋅⋅，，，，，11[][]i i n n t t t t --⋅⋅⋅，，，，，第i个小区间的长度为1(12)i i i t t t i n -∆=-=⋅⋅⋅，，，，相应的路程被分成了n 个小路程，记作(12)i S i n ∆=⋅⋅⋅，，，．2）近似代替在每个小时间段上以匀速直线运动的路程近似代替变速直线运动的路程，即在小时间段1[]i i t t -，上任取一时刻引例 2{1max i nt ∆的精确值，即．从上面两个实例可以看出，虽然二者的实际意义不个子区间[i x -1)i i ξx ，得相应的函数值并作和式1()ni i i f ξx =∆∑max{}i x ∆，若λ在区间[]a b ，上]上的定积分，记作(b f x ⎰其中，⎰称为积分号，()f x 称为被积函数，()d f x x 称为被积表达式，x 称为积分变量，区间[]a b ，称为积分区间，a b ，分别称为积分下限与积分上限．利用定义计算定积分120d x x ⎰．解（1）分割：用分点01101n n x x x x -=<<<<=，把区间[01]，分成n 等份，那么分点为(12)i ix i n n==，，，，每个小区间的长度为 1i x n∆=．（2）近似代替：取每个区间的右端点(12)i ii n nξ==，，，，于是小曲边梯形的面积为2231()(12)i i i i iS f x i n n n nξ⎛⎫∆≈∆=== ⎪⎝⎭，，，．（3）求和：曲边梯形面积S 的近似值为22331111()n nn i i i i i i S f x i n n ξ===≈∆==∑∑∑311111(1)(21)1266n n n n n n ⎛⎫⎛⎫=⋅++=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．（4）取极限：因为1i x nλ=∆=，当0λ→时，n →∞，所以120011111d lim ()lim 1263ni i n i S x x f x n n λξ→→∞=⎛⎫⎛⎫==∆=++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑⎰．【教师】借助实际案例（图形、物理的变速直线运动），讲解定积分的几何意义和实际应用从曲边梯形面积的计算可以看出：例1（1）若在[]a b ，上，()0f x ，则定积分()d baf x x ⎰表示由曲线()f x 、直线x a =，x b =及x 轴所围成曲边梯形的面积A ，即()d ba f x x A =⎰，如图5-3所示．（2）若在[]a b ，上，()0f x ，则()d baf x x A =-⎰，如图5-4所示．图5-3 图5-4（3）若在[]a b ，上，()f x 有正有负，即()f x 的图像某些部分在x 轴上方，某些部分在x 轴下方，则定积分()d b af x x ⎰表示x 轴上方图形的面积与x 轴下方图形的面积之差，即123()d baf x x A A A =-+⎰，如图5-5所示．图5-5利用上述结论计算ππsin d x x -⎰．解因为被积函数sin y x =是奇函数，且积分区间[ππ]-，是对称区间，由上述结论可知ππsin d 0x x -=⎰．用定积分表示如图5-8所示阴影部分的面积．（1）（2）图5-8解（1）被积函数2y x =在区间[]a b ，上连续，且有()0f x ，由定积分的几何意义可得阴影部分的面积2d ba A x x =⎰．（2）被积函数2()(1)1f x x =--在区间[12]-，上连续，且在[10]-，上()0f x ，在[02]，上()0f x ，由定积分的几何意义可得阴影部分的面积2221[(1)1]d [(1)1]d A x x x x -=-----⎰⎰．（例4、例5详见教材）【学生】理解定积分的定义和几何意义，掌握定积分的计算方法和在实际中的应用课堂测验（10 min ） ☞教师在文旌课堂APP 或其他学习平台中发布测试的题目，并让学生加入测试。

定积分概念教学设计

定积分的概念教案

定积分概念教案

定积分概念的课程设计

高中数学定积分的概念教案新人教版选修

定积分概念教学设计

定积分的概念教案

定积分的概念教学案例设计

《定积分的概念》教学设计

§1.5.3定积分的概念教案

定积分的概念教学案例设计

定积分的概念的教学设计

定积分的应用教案

高中数学定积分内容教案

《定积分的概念》教学教案

高中数学定积分的概念教案新人教版选修

定积分的概念教案

数学：1.5.3《定积分的概念》教案(新人教A版选修2-2)

定积分的概念教案

《高职应用数学》教案 第21课 定积分的概念

《高职应用数学》教案第21课定积分的概念