高等数学二试题及完全解析

2018年全国硕士研究生入学统一考试

数学二考研真题与全面解析（Word 版）

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. 1.若(

)

2

12

lim 1x x x e ax bx

→++=，则（）

（A ）1,12a b ==-（B ）1,12a b =-=-（C ）1,12a b ==（D ）1

,12a b =-=

【答案】(B )

【解析】由重要极限可得

()()()22

222

22

11

220

1

1

1

lim

21

1lim lim 1(1)lim 1(1)x x x x x x x x x x e ax bx e ax bx x x e ax bx x x e ax bx e ax bx e ax bx e →→→++-++-•

++-→=++=+++-=+++-=，

因此，2222

22

001

()

12lim 0lim 0x

x x x x ax bx x e ax bx x x →→++++++-=⇒=ο 或用“洛必达”：2(1)200012212lim 0lim lim 0222

x x x b x x x e ax bx e ax b e a a

x x ⇒=-→→→++-++++=⇒=======， 故1

,12

a b ==-，选（B ）.

2.下列函数中在0x =处不可导的是（） （A ）()sin f x x x =（B

）()f x x =（C ）()cos f x x =（D

）()f x =【答案】(D )

【解析】根据导数定义，A.0

00sin ()(0)

lim

lim lim 0x x x x x x x f x f x x x

→→→-==

=，可导； B.0

00()(0)

lim

0x x x x x f x f x x

→→→-===,可导；

C.2

0001cos 1()(0)2lim lim lim 0x x x x x f x f x x x

→→→-

--===，可导；

D.200011

22lim lim x x x x x x

→→→--==，极限不存在。故选（D ）. 3.设函数1,0()1,0x f x x -<⎧=⎨≥⎩，2,1

(),10,0

ax x g x x x x b x -≤-⎧⎪

=-<<⎨⎪-≥⎩

　，若()()f x g x +在R 上连续，则（）. （A ）3,1a b ==（B ）3,2a b ==（C ）3,1a b =-=（D ）3,2a b =-= 【答案】（D ）

【解析】令1,1()()()1,101,0ax x F x f x g x x x x b x -≤-⎧⎪

=+=--<<⎨⎪-+≥⎩

　， 则(1)1,(0)1,F a F b -=+=-(10)2,(00)1,F F -+=--=-

因为函数连续，所以极限值等于函数值，即12,113,2a b a b +=--=-⇒=-=， 故选（D ）. 4.设函数

()f x 在[0,1]上二阶可导。且1

0()0f x dx =⎰，则（）

（A ）当()0f x '<时，1()02f <（B ）当()0f x ''<时，1

()02

f <

（C ）当

()0f x '>时，1()02f <（D ）当()0f x ''>时，1

()02

f <

【答案】（D ）

【解析一】有高于一阶导数的信息时，优先考虑“泰勒展开”。从选项中判断，展开点为

01

2

x =

。 将函数

()f x 在01

2

x =处展开，有

2

111()1()()()()()

2222!2

f f x f f x x ξ'''=+-+-，其中12x ξ<<。 两边积分，得

1201()1

()()22!2

f f x dx ξ''=+-⎰，

由于

1

20

()1()0()02!2f f x x dx ξ''''>⇒->⎰

，所以1

()02

f <，应选（D ）. 【解析二】排除法。 （A ）错误。令

1()2f x x =-+

，易知1

()0f x dx =⎰，()10f x '=-<，但是1()02

f =。

（B ）错误。令

2

1()3f x x =-+，易知1

0()0f x dx =⎰，()20f x ''=-<，但是1()02f >。

（C ）错误。令1()2f x x =-，易知1

()0f x dx =⎰，()10f x '=>，但是1()02

f =。 故选（D ）.

5.设2

222(1)1x M dx x ππ-

+=+⎰，221x x N dx e π

π-+=⎰

，22(1K dx π

π-=+⎰，则（） （A ）M

N K >>（B ）M K N >>（C ）K M N >>（D ）K N M >>

【答案】（C ）

【解析】积分区间是对称区间，先利用对称性化简，能求出积分最好，不能求出积分则最简

化积分。

22

222

222222

(1)122(1)111x x x x M dx dx dx x x x π

ππππππ---+++===+=+++⎰⎰⎰，

222

2

(11K dx dx π

π

πππ-

-

=+>=⎰⎰，

令

()1,(,)22

x

f x e x x ππ

=--∈-，则

()1x f x e '=-，当(,0)2

x π

∈-时，()0f x '<，

当(0,

)2x π

∈时，()0f x '>，故对(,)22

x ππ

∀∈-，有()(0)0f x f ≥=，因而 11x x e +≤，222211x x N dx dx e π

π

πππ--+=<=⎰⎰，故K M N >>。应选（C ）.

6.

2

2

21

21

(1)(1)x x x

x

dx xy dy dx xy dy ----+-=⎰

⎰

⎰⎰

（）