第三讲金融工程定价方法

•借入现金并 支付利息
•买入债 券
•持有债券并 赚取利息
•债券期货到期日
•偿还现金 •及利息
•收取 发票金 额
•根据期货 空 •头交割债 券
第三讲金融工程定价方法
对期权定价
n 一个股票现在的价格为 $20 n 三个月后，该股票的价格或者是 $22，
或者是$18，如下图 n 设无风险利率为12%。
•Stock Price = $22
– ƒ(t)=S(t) - Xe-rf (T-t)
t≤T
第三讲金融工程定价方法
远期/期货价格
n 如果在t时刻订约，则远期价格等于T时刻的交割价格， 即F(t,T)=X，且合约的价值为零，则有
– S(t) - Xe-rf (T-t) =0 – 即，X= S(t)erf (T-t)
n 故远期/期货价格为
n 对A证券定价
– PA=πuuPA+πddPA=0.435730×107+0.544662×98=100
n 对证券B定价
– PB=πuuPB+πddPB=0.435730×103+0.544662×98.5=98.52941
第三讲金融工程定价方法
问题
n 问题1：基本证券1的市场价格和基本证券2的市场价格是由证券A
n 交割数量(A)：1,980,000DM n 即期汇率(S)： US$1=1.8000DM n 即期利率：一年期的美元利率(ib )为6%，一年期的DM
利率为(iq )10%。 n 问：该银行如何确定一年期的DM/ US$的远期汇率(F) ？
第三讲金融工程定价方法
远期汇率的确定过程
•即期
•US$
第三讲金融工程定价方法
例1
n 假如证券A现在的市场价格为PA=100元，rf=2%， d=0.98,u=1.07，见图；证券B1年后的状态价格见图。
•PA=10 0
•107 •P
B
•98
•103 •98.5
第三讲金融工程定价方法
解
n 依题意有
– πu= [(1+ rf) –d]/[(1+ rf) (u-d)]=0.435730 – πd =[u-(1+ rf)]/[(1+ rf) (u-d)]=0.544662
国债期货的定价方法： 现金-持有定价法
n (1)买入100000美元面值的一种可交割债 券；
n （2）通过回购协议为债券融资； n （3）卖出一份期货合约； n （4）持有债券直到交割月份的最后一日； n （5）根据期货空头头寸交割债券。
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现金-持有策略图
•现在
•借入现 金
•用现买 入债券
第三讲金融工程定价方法
动态复制技术：例
n 有证券A、B，证券A的价格运动规律如左图，证券B在 第二期期末3种不同状态下的价格如右图。
•期初
•PA=10 0
•第1期期末
•107
•98
•第2期期末 •期
•114.4 初
9
•104.8 6
•PB=?
•96.04
•第1期期末
•PBu •PBd
•第2期期末 •PBuu=107.67 •PBud=102.97 •PBdd=98.48
•DM
•卖出即期美元(价1.8000)
•1•+,010,00,000,000
•②
•[A/(1+iq)]/s
•+1,800,00 •0-1,800,000
•=1,800,000/1.8=1,000,00 0
•以6%的 利率借 •③ US$ 1年
•{[A/(1+iq)]/s}(1+ ib)
•=1,000,000(1+6%)
n 1年后组合C现金流为？ n 组合C是一个无风险组合，其收益率应为无风险收益率rf ，有 n πu+πd=1/(1+ rf) （2） n 将式（1）、（2）两个方程联立成方程组，可得： n πu= [(1+ rf) –d]/[(1+ rf) (u-d)] n πd =[u-(1+ rf)]/[(1+ rf) (u-d)]
第三讲金融工程定价方法
二叉树与Black-Scholes模型
n （1）相同点
– 对股价运动规律的假定一样 – 确定折现率的方法：构建无风险组合
n （2）不同点
– 具体描述现金流的方法
第三讲金融工程定价方法
证券价格变化与随机过程
n 弱式有效市场中的证券价格变化 n 随机过程是指某变量的值以某种不确定的方式随时间
•10
•107△
•100
7 •100△ +L
+1.02L
•98
•98△+1.02L
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解（续）
n 可用△份证券A和价值为L的无风险证券的组合来复制证 券B。可得方程组
n 107△+1.02L=103
n 98△+1.02L=98.5 n 解得，△=0.5，L=48.53 n 故证券B现在的市场价格为 n PB=100△+L=98.52941 n 问题1：如采用连续复利利率计算，以上过程如何变化？
第三讲金融工程定价方法
解
n 先看右上方的二叉树，假设用△u份证券A和现在市场
价值为Lu的无风险证券来构筑证券B的组合。见图。
•114.49 •107
•107 △u+Lu •104.86
•可联立方程组 • 114.49 △u+1.02Lu=107.67 • 104.86 △u+1.02Lu=102.97
•Stock Price = $22 •Option Price = $1
•Stock Price = $18 •Option Price = $0
第三讲金融工程定价方法
对看Fra Baidu bibliotek期权进行复制
n 考虑一个组合：Δ单位股票 现值为L的无风险资产
n 则有方程组 n 22Δ+Le0.12×0.25=1 n 18Δ+Le0.12×0.25=0 n 解得：Δ=0.25，L=-4.3672 n 则期权的价格为20Δ+L=20×0.25-4.3672=0.633
第三讲金融工程定价方法
用基本证券复制风险证券A
n 组合B：
– 购买uPA份基本证券1； – 购买dPB份基本证券2。
n 由无套利原理可知，复制与被复制证券市价的 现值相等：
n PA=πuuPA+πddPA n 即：πuu+πdd=1
（1）
第三讲金融工程定价方法
对风险证券A定价
n 组合C： – 购买一单位基本证券1； – 购买一单位基本证券2。
•=1,060,000
•以10% 的利率 贷出 DM1年
•①•A/(1+iq) •=1,980,000/(1+10%)
•=1,800,000
•远 期
•(一年)
•-1,060,000 •+1,060,000
•以价F卖出远期
•+1,980,000
DM
• -1,980,000
•④ •F=S(1+ iq)/(1+ ib)
第三讲金融工程定价方 法
2020/12/8
第三讲金融工程定价方法
金融工具定价的关键
n （1）金融工具的现金流 n （2）恰当的折现率
第三讲金融工程定价方法
状态价格定价技术
n 假如一份风险证券A，现在的市场价格是PA ， 1年后市场价格会出现两种可能的情况：价格
上升到uPA ，其概率为q；或者下降到dPA ，出 现的概率为1-q。即1年后会出现两种不同的价
– Id=△×98+L×1.02=98.5 n 将以上两个方程联立成方程组，可解得
△=0.5,L=49.5/1.02
n 代入式（3）可得证券B现在的价值I=98.52941
第三讲金融工程定价方法
远期/期货合约的价值
n 设X为远期/期货合约在到期日T标的资产的交割价格。则对于一 项远期合约多头来说，其在T时刻的价值为S(T)-X。
的状态价格确定，为什么可以用来复制证券B？ n 状态价格的涵义：
– 两个基本证券的参数[πu，πd]唯一地确定了某个市场，则刻画 在这个市场里的证券价格变化的参数u和d必须满足以下方程 组
– πuu+πdd=1 – πu+πd=1/(1+ rf) 两组不同的[πu，πd]刻画了两个不同的市场。 用证券B的状态价格来复制证券B？
•Stock price = $20
•Stock Price = $18
第三讲金融工程定价方法
A Call Option
A 3-month call option on the stock has a strike price of 21.
•Stock price = $20 •Option Price=?
=1.8(1+10%第)/三(1讲+6金%融)工程定价方法
关于远期利率的案例
n 一客户要求某银行从现在(t)开始6个月内提供为其6个 月的￡100万的贷款。在现货市场上，利率的报价为：
6个月期(T)的利率(is)为9.5%，12个月期(T)的利率(iL )
为9.875%。 n 该银行如何确定该6×6的远期利率（iF ）？
问题2：基本证券都是假想证券，能不能用一个证券来复制另一
个证券？
第三讲金融工程定价方法
用证券A复制证券B
n 组合D：△份证券A和现值为L的无风险证券。其现在 的价格为：
– I=100△+L
（3）
n 1年后，无论市场状况如何，组合D的市场价值都与 证券B一样。
n 如出现上升的状态，有
– Iu=△×107+L×1.02=103 n 如出现下降的状态，有
n 这一组合复制了支付已知现金红利资产远期合约的多头。
n 根据无套利原则，该远期合约在t时刻的价值一定等于该组合在t时刻的 价值。即
– ƒ(t)=S(t) - I - Xe-rf (T-t)
t≤T
第三讲金融工程定价方法
关于远期汇率的案例
n 一客户要求某银行报出一年后交割的DM对US$的汇价。 有关数据如下：
n 组合：
– 一项价值为S(t)的标的资产多头； – 数量为Xe-rf (T-t)的现金空头(以无风险利率rf借入)
n 组合现金流分析
– t时刻：组合价值为S(t) - Xe-rf (T-t) – T时刻：组合价值为S(T)-X
n 这一组合复制了远期合约的多头。
n 根据无套利原则，该远期合约在t时刻的价值一定等于该组合在t 时刻的价值。即
格状态。
•q •P
•1-q
A
•uP
A
•dPA
第三讲金融工程定价方法
状态价格定价技术(续)
n 定义两基本证券（假想证券）： – 基本证券1：在1年后如果市场出现上升状态，其市 场价值为1元，如处于下跌状态，则其价值为零， 其市场价格记为πu ； – 基本证券2：在1年后如果市场出现上升状态，其市 场价值为0元，如处于下跌状态，则其价值为1，其 市场价格记为πd 。
– F(t,T)= S(t)erf (T-t)
第三讲金融工程定价方法
支付已知现金红利资产远期合约定价
n 设I为现金红利在t时刻的现值。
n 组合
– 一项价值为S(t)的标的资产多头； – 数量为Xe-rf (T-t) +I的现金空头(以无风险利率rf借入)
n 组合现金流分析
– t时刻：组合价值为S(t) - Xe-rf (T-t) - I – T时刻：组合价值为S(T)-X
•114.49 △u+1.02Lu
•104.86 △u+1.02Lu
•解出△u =0.488，Lu =50.78,则PBu =107△u +Lu =103
第三讲金融工程定价方法
解（续）
n 对于右下方的二叉树，可建立方程组 n 104.86△d +1.02Ld =102.97 n 96.04△d +1.02Ld =98.48 n 解得， △d=0.509, Ld=48.62, PBd=98△d +Ld=98.5 n 再看左方的二叉树，如图。
第三讲金融工程定价方法
远期利率的确定过程
•即期
•6个 月
•-954,654
•① •以9.5%的 利率贷出6 个月
•+100000
•0 -
1000000
•以iF的利
•③
率贷出6个 月
•+954,654
•以9.875% 的利率借 •② 款12个月
•12个 月
•+1,048,926
•1,048,926
第三讲金融工程定价方法
第三讲金融工程定价方法
Markov Stochastic Process
n Markov Stochastic Process
– 在这个过程中，只有变量的当前值才与未来 的预测有关，变量过去的历史和变量从过去 到现在的演变方式与未来的预测无关。
变化的过程。 n 随机过程的分类：
– Discrete time; discrete variable – Discrete time; continuous variable – Continuous time; discrete variable – Continuous time; continuous variable n 严格地说，证券价格的变化过程属于离散变量的离散 时间随机过程，但我们近似地将其看为连续变量的连 续时间随机过程。