第三讲金融工程定价方法
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金融工程课件-金融工程概述及四种定价方法
金融工程概述
金融工程是上世纪90年代初西方国家出现的一门新兴金融学科。它 运用工程技术的方法（数学建模、数值计算、网络图解、仿真模拟等）设计、 开发和实施新型金融产品，创造性地解决金融问题。金融工程学将工程思维 引入金融科学的研究，融现代金融学、信息技术与工程方法于一体，迅速发 展成为一门新兴的交叉性学科，在把金融科学的研究推进到一个新的发展阶 段的同时，对金融产业乃至整个经济领域产生了极其深远的影响。本章将从 金融工程产生和发展的背景入手，逐步介绍金融工程的概念、基本思想、基 本方法和基本工具，为深入学习掌握金融工程的核心知识打下良好基础。 金融工程利用工程技术来解决金融业的实际问题，这种工程技术包括 理论，工具和工艺方法。工艺方法是结合相关理论和工具来构造和实施一项 操作的过程中的布置和过程本身。支持金融工程的工艺方法有组合和成，新 创，剥离（本金和利息），分割（风险和收益）等，本章介绍了金融工程的 4种基本分析方法：无套利定价法，风险中性定价法，状态价格定价法和积 木分析法。
案例B 美国大通银行的指数存单II
1.1.3 信息技术进步的影响
信息技术的进步为金融工程的发展提供了技术上的支持、 物质条件、研究手段和新的发展空间。
首先，运用计算机软件开发出的各种计算和分析软件包， 为金融工程提供了开发和实施各种新型金融产品、解决财务金 融问题的有效手段。
其次，计算机和现代通讯技术的 应用，创造了全球性金融市场，促进 了各类金融机构开展金融工程活动。 第三，信息技术的发展还通过 影响其他环境因素或与其他因素共 同作用，对金融工程的发展产生了 深远的影响。
外汇期货：把外汇的交易用标准化的期货合约来表示。买卖双方在
规定的时期按照事先规定的汇率履行合约（或交割、或现金结算）。预 计将来收到外汇的出口商可以通过卖出外汇期货，弥补将来外汇汇率下 跌的损失；进口商则通过买进外汇期货，在一定程度上避免将来外汇汇 率上涨的风险。
金融工程是上世纪90年代初西方国家出现的一门新兴金融学科。它 运用工程技术的方法（数学建模、数值计算、网络图解、仿真模拟等）设计、 开发和实施新型金融产品，创造性地解决金融问题。金融工程学将工程思维 引入金融科学的研究，融现代金融学、信息技术与工程方法于一体，迅速发 展成为一门新兴的交叉性学科，在把金融科学的研究推进到一个新的发展阶 段的同时，对金融产业乃至整个经济领域产生了极其深远的影响。本章将从 金融工程产生和发展的背景入手，逐步介绍金融工程的概念、基本思想、基 本方法和基本工具，为深入学习掌握金融工程的核心知识打下良好基础。 金融工程利用工程技术来解决金融业的实际问题，这种工程技术包括 理论，工具和工艺方法。工艺方法是结合相关理论和工具来构造和实施一项 操作的过程中的布置和过程本身。支持金融工程的工艺方法有组合和成，新 创，剥离（本金和利息），分割（风险和收益）等，本章介绍了金融工程的 4种基本分析方法：无套利定价法，风险中性定价法，状态价格定价法和积 木分析法。
案例B 美国大通银行的指数存单II
1.1.3 信息技术进步的影响
信息技术的进步为金融工程的发展提供了技术上的支持、 物质条件、研究手段和新的发展空间。
首先，运用计算机软件开发出的各种计算和分析软件包， 为金融工程提供了开发和实施各种新型金融产品、解决财务金 融问题的有效手段。
其次，计算机和现代通讯技术的 应用，创造了全球性金融市场，促进 了各类金融机构开展金融工程活动。 第三，信息技术的发展还通过 影响其他环境因素或与其他因素共 同作用，对金融工程的发展产生了 深远的影响。
外汇期货：把外汇的交易用标准化的期货合约来表示。买卖双方在
规定的时期按照事先规定的汇率履行合约（或交割、或现金结算）。预 计将来收到外汇的出口商可以通过卖出外汇期货，弥补将来外汇汇率下 跌的损失；进口商则通过买进外汇期货，在一定程度上避免将来外汇汇 率上涨的风险。
金融工程课件-金融工程概述及四种定价方法共64页文档
。——华盛顿 17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。——罗素·贝克 18、最大的挑战和突破在于用人，而用人最大的突破在于信任人。——马云 19、自己活着，就是为了使别人过得更美好。——雷锋 20、要掌握书，莫被书掌握；要为生而读，莫为读而生。——布尔沃
金融工程课件-金融工程概述及四种定 价方法
•
6、黄金时代是在我们的前面，而不在 我们的 后面。
•
7、心急吃不了热汤圆。
•
8、你可以很有个性，但某些时候请收 敛。
•
9、只为成功找方法，不为失败找借口 (蹩脚 的工人 总是说 工具不 好)。
•
10、只要下定决心克服恐惧，便几乎 能克服 任何恐 惧。因 为，请 记住， 除了在 脑海中 ，恐惧 无处藏 身。-- 戴尔． 卡耐基 。
END
金融工程课件-金融工程概述及四种定 价方法
•
6、黄金时代是在我们的前面，而不在 我们的 后面。
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7、心急吃不了热汤圆。
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8、你可以很有个性，但某些时候请收 敛。
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9、只为成功找方法，不为失败找借口 (蹩脚 的工人 总是说 工具不 好)。
•
10、只要下定决心克服恐惧，便几乎 能克服 任何恐 惧。因 为，请 记住， 除了在 脑海中 ，恐惧 无处藏 身。-- 戴尔． 卡耐基 。
END
(金融工程)第三章远期与期货定价
8
当无风险利率恒定且所有到期日都相同时，交割日相同 的远期价格和期货价格应相等。
当标的资产价格与利率呈正相关时，期货价格高于远期 价格。
－ 这是因为当标的资产价格上升时，期货价格通常也会随
之升高，期货合约的多头将因每日结算制而立即获利，并可按高于 平均利率的利率将所获利润进行再投资。而当标的资产价格下跌时， 期货合约的多头将因每日结算制而立即亏损，但是可按低于平均利 率的利率从市场上融资以补充保证金。相比之下，远期合约的多头 将不会因利率的变动而受到上述影响。在此情况下，期货多头比远 期多头更具吸引力，期货价格自然就大于远期价格。
标的资产现货价格与交割价格现值的差额。或者说,一
单位无收益资产远期合约多头等价于一单位标的资产多
头和Ke-r（T－t）单位无风险负债的资产组合。 17
由于远期价格就是使远期合约价值为零的交割价格K，
即当 f =0时，K = F。据此可令式（3.1）中的 f =0，则
F Ser(T t)
(3.2)
在这种情况下，套利者可以按无风险利率r 借入S现金，
期限为T－t。然后用S购买一单位标的资产，同时卖出
一份该资产的远期合约，交割价格为K。在T时刻，该
套利者就可将一单位标的资产用于交割换来K现金，并
归还借款本息Se r（T－t），这就实现了
K－Ser
（T－t） 的无风险利润。
22
若K<Se r（T－t），即交割价格小于现货价格的终值。 套利者就可进行反向操作，即卖空标的资产，将所得收 入以无风险利率进行投资，期限为T-t，同时买进一份该 标的资产的远期合约，交割价格为K。在T时刻，套利 者收到投资本息Ser（T－t），并以K现金购买一单位标的 资产，用于归还卖空时借入的标的资产，从而实现Ser （T－t）-K的利润。
当无风险利率恒定且所有到期日都相同时，交割日相同 的远期价格和期货价格应相等。
当标的资产价格与利率呈正相关时，期货价格高于远期 价格。
－ 这是因为当标的资产价格上升时，期货价格通常也会随
之升高，期货合约的多头将因每日结算制而立即获利，并可按高于 平均利率的利率将所获利润进行再投资。而当标的资产价格下跌时， 期货合约的多头将因每日结算制而立即亏损，但是可按低于平均利 率的利率从市场上融资以补充保证金。相比之下，远期合约的多头 将不会因利率的变动而受到上述影响。在此情况下，期货多头比远 期多头更具吸引力，期货价格自然就大于远期价格。
标的资产现货价格与交割价格现值的差额。或者说,一
单位无收益资产远期合约多头等价于一单位标的资产多
头和Ke-r（T－t）单位无风险负债的资产组合。 17
由于远期价格就是使远期合约价值为零的交割价格K，
即当 f =0时，K = F。据此可令式（3.1）中的 f =0，则
F Ser(T t)
(3.2)
在这种情况下，套利者可以按无风险利率r 借入S现金，
期限为T－t。然后用S购买一单位标的资产，同时卖出
一份该资产的远期合约，交割价格为K。在T时刻，该
套利者就可将一单位标的资产用于交割换来K现金，并
归还借款本息Se r（T－t），这就实现了
K－Ser
（T－t） 的无风险利润。
22
若K<Se r（T－t），即交割价格小于现货价格的终值。 套利者就可进行反向操作，即卖空标的资产，将所得收 入以无风险利率进行投资，期限为T-t，同时买进一份该 标的资产的远期合约，交割价格为K。在T时刻，套利 者收到投资本息Ser（T－t），并以K现金购买一单位标的 资产，用于归还卖空时借入的标的资产，从而实现Ser （T－t）-K的利润。
金融工程3-远期与期货定价
风险管理的研究
随着市场的复杂性和风险的增加，风险管理成为研究的重点，如何有效地管理和控制风 险是当前研究的热点问题。
交易策略的研究
在交易过程中，如何制定有效的交易策略以提高投资回报是交易者关注的问题，学者们 正在研究更加科学和实用的交易策略。
感谢您的观看
THANKS
03
远期与期货的比较与联系
远期与期货的相似之处
基础资产
远期和期货合约都涉及某种基 础资产，如股票、外汇或商品
。
交割方式
两者通常都涉及在未来某一特 定日期交割基础资产。
价格变动
远期和期货价格都受到基础资 产价格变动的影响。
保证金制度
为了降低违约风险，两者都实 行保证金制度。
远期与期货的不同之处
标准化程度
期货合约的标的物可以是商品、金融 工具等，也可以是其他金融衍生品。
期货合约通常在交易所进行交易，具 有高流动性和低交易成本的特点。
期货合约的定价原理
无套利定价原则
期货合约的价格应与其标的物的价格变动趋势一 致，否则存在套利机会。
持有成本模型
期货合约的价格等于标的物的现货价格加上持有 成本（存储费用、资金成本等）。
动态调整
根据市场走势和投资目标，可以 灵活地买入或卖出远期或期货合 约，动态调整投资组合的风险和 收益。
远期与期货的实际交易案例
大豆远期合约交易
大豆种植者和加工商通过购买大豆远期合约，锁定未来大豆的采购和销售价格，规避价格 波动风险。
黄金期货交易
黄金期货合约在市场上交易活跃，投资者可以通过购买黄金期货合约，获得赚取收益的机 会，同时也可以对冲通货膨胀和货币贬值的风险。
远期合约的交易对手是确定的， 因为买卖双方在合约签订时已 经确定了对方的身份。
随着市场的复杂性和风险的增加，风险管理成为研究的重点，如何有效地管理和控制风 险是当前研究的热点问题。
交易策略的研究
在交易过程中，如何制定有效的交易策略以提高投资回报是交易者关注的问题，学者们 正在研究更加科学和实用的交易策略。
感谢您的观看
THANKS
03
远期与期货的比较与联系
远期与期货的相似之处
基础资产
远期和期货合约都涉及某种基 础资产，如股票、外汇或商品
。
交割方式
两者通常都涉及在未来某一特 定日期交割基础资产。
价格变动
远期和期货价格都受到基础资 产价格变动的影响。
保证金制度
为了降低违约风险，两者都实 行保证金制度。
远期与期货的不同之处
标准化程度
期货合约的标的物可以是商品、金融 工具等，也可以是其他金融衍生品。
期货合约通常在交易所进行交易，具 有高流动性和低交易成本的特点。
期货合约的定价原理
无套利定价原则
期货合约的价格应与其标的物的价格变动趋势一 致，否则存在套利机会。
持有成本模型
期货合约的价格等于标的物的现货价格加上持有 成本（存储费用、资金成本等）。
动态调整
根据市场走势和投资目标，可以 灵活地买入或卖出远期或期货合 约，动态调整投资组合的风险和 收益。
远期与期货的实际交易案例
大豆远期合约交易
大豆种植者和加工商通过购买大豆远期合约，锁定未来大豆的采购和销售价格，规避价格 波动风险。
黄金期货交易
黄金期货合约在市场上交易活跃，投资者可以通过购买黄金期货合约，获得赚取收益的机 会，同时也可以对冲通货膨胀和货币贬值的风险。
远期合约的交易对手是确定的， 因为买卖双方在合约签订时已 经确定了对方的身份。
第3章金融工程的基本分析方法(金融工程与风险管理-南
➢ 风险中性假定仅仅是为了定价方便而作出的 人为假定
➢ 联系：数学中的坐标变换、微观经济学中的 效用？
2021/8/5
▪ 应用案例2-2，在风险中性世界中，我们假定 该股票上升的概率为p，下跌的概率为1-p。 （虽然有实际的概率，但可以不管），如果风 险中性，则该股票无超额收益，这个风险中性 世界的概率是
2021/8/5
例子：状态价格法定价技术
▪ 假设有价证券的市场情况如下：PA＝100， r＝2％，u＝1.07，d＝0.98，T－t＝1， 若另外有一个证券B，其价格1年后可能 上升为103，也可能下降为98.5元，求证 券B的合理价格。
▪ 当股票价格上升到su时，我们假设期权 的收益为fu，如果股票的价格下降到sd时， 期权的收益为fd。
2021/8/5
无套利定价法的思路
▪ 首先，构造由m股股票多头和一个期权空 头组成的证券组合，并计算出该组合为 无风险时的m值。
令msu
fu
msd
f
，则
d
m fu fd (3.1) su sd
合成是建立在模仿的基础上
2021/8/5
案例2-3：模仿股票（the mimicking stock)
▪ 模仿股票：一个买权多头和一个卖权空头的组合。 ▪ 假设t时刻，股票买权和卖权的价格分别是ct和pt，
两个期权的执行价格都是X＝St（t时刻股票的价 格），到期日股票价格为ST。则到期日的收益为
2021/8/5
案例 2-5
▪ A其这是价就有格是风要市险么场证上的券升两，到种当状uP前态A，的：要价上么格升下P状A降，态到一（d年概PA后。 率是q）和下降状态（概率是1-q），由A 证券的价格变化可以构造两个基本证券。
➢ 联系：数学中的坐标变换、微观经济学中的 效用？
2021/8/5
▪ 应用案例2-2，在风险中性世界中，我们假定 该股票上升的概率为p，下跌的概率为1-p。 （虽然有实际的概率，但可以不管），如果风 险中性，则该股票无超额收益，这个风险中性 世界的概率是
2021/8/5
例子：状态价格法定价技术
▪ 假设有价证券的市场情况如下：PA＝100， r＝2％，u＝1.07，d＝0.98，T－t＝1， 若另外有一个证券B，其价格1年后可能 上升为103，也可能下降为98.5元，求证 券B的合理价格。
▪ 当股票价格上升到su时，我们假设期权 的收益为fu，如果股票的价格下降到sd时， 期权的收益为fd。
2021/8/5
无套利定价法的思路
▪ 首先，构造由m股股票多头和一个期权空 头组成的证券组合，并计算出该组合为 无风险时的m值。
令msu
fu
msd
f
，则
d
m fu fd (3.1) su sd
合成是建立在模仿的基础上
2021/8/5
案例2-3：模仿股票（the mimicking stock)
▪ 模仿股票：一个买权多头和一个卖权空头的组合。 ▪ 假设t时刻，股票买权和卖权的价格分别是ct和pt，
两个期权的执行价格都是X＝St（t时刻股票的价 格），到期日股票价格为ST。则到期日的收益为
2021/8/5
案例 2-5
▪ A其这是价就有格是风要市险么场证上的券升两，到种当状uP前态A，的：要价上么格升下P状A降，态到一（d年概PA后。 率是q）和下降状态（概率是1-q），由A 证券的价格变化可以构造两个基本证券。
金融工程 3无套利定价
一支股票现在的价格是50元 预计 个月后涨到 一支股票现在的价格是 元，预计6个月后涨到 55元或是下降到 元。无风险利率为 ％，运用 元或是下降到45元 无风险利率为10％， ％，运用 元或是下降到 无套利定价原理，求执行价格为50元的欧式看跌 无套利定价原理，求执行价格为 元的欧式看跌 期权的价值。 期权的价值。
债券定价： 债券定价：绝对定价
现金流贴现法(Discounted Cash Flow Method, 现金流贴现法 简称DCF)，又称收入法或收入资本化法。 简称 ，又称收入法或收入资本化法。
Cn + F C1 C2 V0 = + +,..., + n (1 + i1 ) (1 + i1 )(1 + i2 ) ∏(1 + i j )
4、无套利的价格是什么？ 无套利的价格是什么？
无套利的价格必须使得套利者处于这样一种境地： 无套利的价格必须使得套利者处于这样一种境地： 通过套利形成的财富的现金价值， 通过套利形成的财富的现金价值，与没有进行套 利活动时形成的财富的现金价值完全相等。 利活动时形成的财富的现金价值完全相等。 特例： 特例： 无论是否套利， 无论是否套利，套利者的资产组合的现金流 状况都一样。 状况都一样。
三、无套利定价
1.
2.
产生： 世纪 年代后期的MM理论。他们在研究 世纪50年代后期的 理论。 产生：20世纪 年代后期的 理论 企业资本结构和价值关系时提出的“无套利（ 企业资本结构和价值关系时提出的“无套利（No Arbitrage）”分析方法。 ） 分析方法。 分析的基本方法： 分析的基本方法： 将金融资产的“头寸” 将金融资产的“头寸”与市场中其他金融资产的头 组合起来 构筑起一个组合头寸 起来， 起一个组合头寸， 寸组合起来，构筑起一个组合头寸，在市场均衡时 不会产生套利机会 套利机会,由此测算出该项头寸在市场均 不会产生套利机会 由此测算出该项头寸在市场均 衡时的价值即均衡价格。 衡时的价值即均衡价格。
债券定价： 债券定价：绝对定价
现金流贴现法(Discounted Cash Flow Method, 现金流贴现法 简称DCF)，又称收入法或收入资本化法。 简称 ，又称收入法或收入资本化法。
Cn + F C1 C2 V0 = + +,..., + n (1 + i1 ) (1 + i1 )(1 + i2 ) ∏(1 + i j )
4、无套利的价格是什么？ 无套利的价格是什么？
无套利的价格必须使得套利者处于这样一种境地： 无套利的价格必须使得套利者处于这样一种境地： 通过套利形成的财富的现金价值， 通过套利形成的财富的现金价值，与没有进行套 利活动时形成的财富的现金价值完全相等。 利活动时形成的财富的现金价值完全相等。 特例： 特例： 无论是否套利， 无论是否套利，套利者的资产组合的现金流 状况都一样。 状况都一样。
三、无套利定价
1.
2.
产生： 世纪 年代后期的MM理论。他们在研究 世纪50年代后期的 理论。 产生：20世纪 年代后期的 理论 企业资本结构和价值关系时提出的“无套利（ 企业资本结构和价值关系时提出的“无套利（No Arbitrage）”分析方法。 ） 分析方法。 分析的基本方法： 分析的基本方法： 将金融资产的“头寸” 将金融资产的“头寸”与市场中其他金融资产的头 组合起来 构筑起一个组合头寸 起来， 起一个组合头寸， 寸组合起来，构筑起一个组合头寸，在市场均衡时 不会产生套利机会 套利机会,由此测算出该项头寸在市场均 不会产生套利机会 由此测算出该项头寸在市场均 衡时的价值即均衡价格。 衡时的价值即均衡价格。
金融工程的基本定价原理
现在可以用基本证券来复制出上述的有风险证券A。怎样 复制呢？购买uPA 份基本证券1和dPA份基本证券2，构成一 个证券组合，1年后，不管市场发生何种状态，该组合都 会产生和证券A相同的现金流，所以，该组合是证券A的 复制品。由无套利均衡分析可知，该组合与证券A现在的 价格应该相等，则有： PA=πuuPA+πd dPA 化简为：πuu+πd d=1 （1） 与此同时，通过购买1份基本证券1和1份基本证券2构成 的证券组合，1年后，无论市场出现何种状态，该证券组 合的价格都会是1元。而且，这是一项无风险的投资，由 无套利均衡分析可知，其收益率应该等于无风险收益率rf， 我们可以得到： （πu+πd ） =1 （2）
记无风险利率为rf，则总无风险收益率 =1+rf 现在来定义一类与状态相对应的假想证券，称为基本证 券。基本证券1在1年后，如果市场上升，其市场价值为1 元，如果市场下降，其价值为0。基本证券2则相反，1年 后，如果市场上升，其价值为0，如果市场下降，其价值 为1元。记基本证券1当前的价格为πμ，基本证券2当前的 价格为πd，则有：
2、不确定状态下的应用
【例2】假设有一个风险证券A，当前的市场价格是100元， 1年后市场有两种状态，在状态1时证券A的价格上升至 110元，在状态2时证券A的价格下跌至90元。同样，也有 一个证券B，它在1年后的损益为：在状态1时上升至118 元，在状态2时下降至105元。假设无风险年利率为2% （一年计一次、复利），并且不考虑交易成本。 试问： （1）证券B的合理价格为多少？ 解：（1）证券B未来的损益与证券A不同，两个证券的损 益状态如图所示：
【例3】假如证券A现在的市价为PA=100元，rf=2%，u=1.07， d=0.98，它在1年后的市场价格如图，另有一个证券B，它在 1年后的状态价格如图。请问证券B的价格应该是多少？
第三讲无套利定价原理(金融工程-上海交大吴文锋)
• 要求 x 份的证券A和 y 份的资金借贷
构成B
105 1 120
x
95
y 1
110
• 解得： • X = 1, y = 15 • 所以： • B的价钱为： • 1*100+15*1 = 115
• 第二个效果： • 当B为110元时，如何结构套利组合呢？ • 套利组合： • 买进B，卖空A，借入资金15元。
• 〔2〕购置0.1张的2年后到期的零息票 债券，其损益刚好为100×0.1＝10元；
• 〔3〕购置1.1张的3年后到期的零息票 债券，其损益刚好为100×1.1＝110元；
• 依据无套利定价原理的推论 • 0.1×98＋0.1×96＋1.1×93＝121.7 • 效果2的答案： • 市场价钱为120元，低估B，那么买进B，卖
1.0506
1.0506
资金借贷
• 结构静态组合： • x 份A和 y 份资金借贷构成B
110.25 1.0506 125
x
99.75
y 1.0506
112.5
90.25 1.0506 109
方程无解！
静态组合复制
• 静态： • 我们把1年的持有期拆成两个半年，
这样在半年后就可调整组合 • 假定证券A在半年后的损益为两种形
组合的支付为： 125 110.25
99.75
112.5
109 90.25
半年后的组合调整是如何失掉 呢？
• 静态战略调整方法： • 多期的静态复制战略 • 从后往前运用静态复制战略
105 100
95 风险证券A
1
110.25 99.75 PB 90.25
125
B1 112.5
B2 109
金融工程讲稿(第三章CAPM模型)
第三章 两基金分离定理与资本资产定价模型第二节 资本资产定价模型（CAPM ）资本资产定价模型（CAPM ）是近代金融学的奠基石。
1952年，马柯维茨（Herry M. Markowitz ）在其博士论文《投资组合的选择》一文中首先提出建立现代资产组合管理的理论，12年后，威廉·夏普（William Sharpe ）、约翰·林特纳（John Lintner ）与简·莫辛（Jan Mossin ）将其发展成资本资产定价模型。
马科维茨投资组合理论的中心是“分散原理”，他应用数学上的二维规划建立起一整套理论模型，系统地阐述了如何通过有效的分散化来选择最优投资组合的理论与方法。
马科维茨的理论有一定的局限性：偏重于质的分析而缺乏量的分析，无从知道证券该分散到何种程度才能达到风险和收益的最佳组合。
夏普在此基础上对证券市场价格机制进行了积极深入的研究，于1964年建立了资本资产定价模型，较好地描述了证券市场上人们的行为准则，使证券均衡价格、证券收益——风险处于一种清晰的状态。
该模型的重要意义是将数学引入了理性投资分析，为金融市场的发展和规范提供了依据。
它所涉及到的数学理论并不是很复杂的，用一些积分和概率论的基础知识就可以解决，但它后来的发展远远超过了这些。
一、资本市场线若不考虑无风险证券，符合正确投资策略的优化组合在有效组合边界上。
加入无风险证券后，新的最优化组合的点一定落在连接f r 点和包含所有可能的有风险组合的双曲线所围区域及其边界的某一点的直线上。
如图1，效用值最大的半直线一定是和有效组合边界相切的那一条。
图11、资本市场线的定义与有效组合边界相切的那一条半直线构成了无风险证券和有风险资产组合的有效边界，这条半直线就被称为资本市场线（CAL —capital market line ）。
因为有系统风险存在，最小方差组合A 点不是无风险的，所以有结论：（1）有效组合边界和代表预期收益率大小的纵坐标轴不接触；（2）A 点的预期收益率高于无风险利率f r ，即A 点要高于代表无风险证券收益、落在纵轴上的坐标点E(r) rf r 。
金融工程3(资产定价)
-Limitation Of Current Assets Pricing Models
2019/4/8
金融工程
CAPM和APT的局限性
当市场失效的时候怎么办？乔治· 索罗斯(George Soros)说过：“Market is stupid, that’s why people make money.”（市场是愚蠢的，这就是为什么人们 能够从市场上赚钱的道理）。 因此当市场失效的时候，并不能依赖于这些模 型和理论来帮助我们判断准确一项资产的价值。 然而，困难还不止于此，我们并不知道市场什么时 候是完善而有效的，什么时候是有缺陷而失效的。 我们只能从长期的图表中发现有关CAPM模型成立的 具体证据，而不能时刻掌握市场的可信度。 主要缺陷:排除了新信息,把投资看成净现值为0的活 动,非交易资产依赖于复制折现率,预期收益依赖于主 2019/4/8 金融工程 观判断 等等
资产定价模型CAPM
CAPM模型引进一个变量“β”，这个变量衡量 的是：当“市场组合”发生变动时，任何一项 资产发生相应变动的敏感度。 分子代表某一项资产的回报率和“市场组合” 的回报率之间的协方差 (Covariance) 。分母代 表 “市场组合”的回报率的方差。
im 2 m
金融工程
金融工程
2019/4/8
第一节 资本资产定价模型
-Capital Assets
Pricing Model (CAPM)
2019/4/8
金融工程
资产定价模型CAPM
1964 年，夏普 (William F. Sharpe) 、林 特 纳 (John Lintner) 和 特 里 纳 (Jack Treynor) 等的开创性论文为资产定价模 型(Capital Assets Pricing Model，简称： CAPM)奠定了基础。 CAPM 理论有一个总的前提：存在着一 个充分多元化的投资组合中，在这个投 资组合中，资产的个别风险最终被相互 抵消，从而使该投资组合的风险等于市 场风险。我们把这个组合称为“市场组 合”(Market Portfolio) 。 2019/4/8 金融工程
第三讲 金融工程定价方法
期汇率的确定过程
US$
卖出即期美元(价1.8000)
DM
② -1,800,000 [A/(1+iq)]/s =1,800,000/1.8=1,000,000
即期
-1,000,000 +1,000,000
+1,800,000
以6%的 利率借 ③ US$ 1年
{[A/(1+iq)]/s}(1+ ib) =1,000,000(1+6%) =1,060,000
第三讲 金融工程定价技术
本讲内容
–1.状态定价技术 –2.构建无风险组合定价技术 –3.风险中性定价技术 –4.鞅及鞅测度
金融工具定价的关键
（1）金融工具的现金流 （2）恰当的折现率
状态价格定价技术
假如一份风险证券A，现在的市场价格是PA ， 1年后市场价格会出现两种可能的情况：价格 上升到uPA ，其概率为q；或者下降到dPA ， 出现的概率为1-q。即1年后会出现两种不同的 价格状态。
用基本证券复制风险证券A
组合B：
– 购买uPA份基本证券1； – 购买dPB份基本证券2。
由无套利原理可知，复制与被复制证券市价的 现值相等： PA=πuuPA+πddPA 即：πuu+πdd=1 （1）
对风险证券A定价
组合C： – 购买一单位基本证券1； – 购买一单位基本证券2。 1年后组合C现金流为？ 组合C是一个无风险组合，其收益率应为无风险收益率rf ，有 πu+πd=1/(1+ rf) （2） 将式（1）、（2）两个方程联立成方程组，可得： πu= [(1+ rf) –d]/[(1+ rf) (u-d)] πd =[u-(1+ rf)]/[(1+ rf) (u-d)]
如何利用金融工程技术进行金融产品的定价
如何利用金融工程技术进行金融产品的定价金融工程技术在金融市场中扮演着重要的角色，特别是在金融产品定价方面。
本文将介绍如何利用金融工程技术进行金融产品的定价。
首先，我们将讨论金融工程技术的基本概念和原理，然后探讨其在金融产品定价中的应用。
最后，我们将总结金融工程技术对金融产品定价的重要性和未来发展。
一、金融工程技术的基本概念和原理金融工程技术是利用数学、统计学和计算机科学等工具和方法来解决金融问题的学科。
它的基本原理是通过建立数学模型来描述金融市场和金融产品的行为，并利用模型进行定价和风险管理。
金融工程技术的核心是建立数学模型。
这些模型可以基于多种方法，比如随机过程、偏微分方程和优化理论等。
通过对金融市场和金融产品的行为进行建模，我们可以推导出各种金融工具的定价公式和风险度量指标。
二、金融工程技术在金融产品定价中的应用金融工程技术在金融产品定价中有广泛的应用。
以下是一些常见的金融产品定价方法：1. 期权定价：期权是金融市场中常见的衍生品，其价值往往由其标的资产价格的波动性决定。
通过建立期权定价模型，如布莱克-舒尔斯模型，我们可以根据期权的到期时间、行权价格和标的资产价格预测期权的价格。
2. 证券定价：金融市场中的债券、股票和其他证券也可以通过金融工程技术进行定价。
例如，债券的定价可以基于债券的剩余期限、票面利率和市场利率等因素。
3. 衍生品定价：金融衍生品如远期合约、期货合约和利率互换合约等也可以利用金融工程技术进行定价。
通过建立相应的模型，我们可以预测衍生品的价格和风险。
金融工程技术在金融产品定价中的应用具有以下特点：1. 高效准确：金融工程技术利用数学模型和计算机算法可以快速而准确地进行定价，避免了人工计算的误差和耗时。
2. 风险管理：金融工程技术可以帮助金融机构和投资者对金融产品的风险进行度量和管理。
通过建立合适的风险度量方法，我们可以评估金融产品的风险水平，并采取相应的对冲和风险管理策略。
金融保险-金融工程互换的定价与应用 精品
• 在这个例子中k $400万，k $510万，因此
Bfix 4e0.1*0.25 4e0.105*0.75 104e0.11*1.25 $0.9824亿 Bfl (100 5.1)e0.1*0.25 $1.0251亿
利率互换的定价（4）
• 因此，利率互换的价值为： • 98.4－102.5（百万）＝－$427万
（二）运用债券组合给利率互换定价
• 考虑一个2010年9月1日生效的三年期的利率互换 名义本金是1亿美元。B公司同意支付给A公司年利 率为5％的利息，同时A公司同意支付给B公司6个 月期LIBOR的利息，利息每半年支付一次。
A公司
LIBOR 5%
B公司
利率互换的分解
• 上述利率互换可以看成是两个债券头寸的组合。这样， 利率互换可以分解成：
• 接着考虑浮动利率债券的价值。根据浮动利率债券的性质 在紧接浮动利率债券支付利息的那一刻，浮动利率债券的
价值为其本金L。假设利息下一支付日应支付的浮动利息
额为 k （这是已知的），那么在下一次利息支付前的一 刻，浮动利率债券的价值为 Bfl L k
在我们的定义中，距下一次利息支付日还有的时间 ，那
• 只要知道利率的期限结构，我们就可以计算出FRA对应的 远期利率和FRA的价值，具体步骤如下：
• 1.计算远期利率。 • 2.确定现金流。 • 3.将现金流贴现。
• 我们再看例4.1中的情形。3个月后要交换的现金流是已知 的，金融机构是用10.2％的年利率换入8％年利率。所以 这笔交换对金融机构的价值是：
二、货币互换的定价
（一）运用债券组合给货币互换定价 • 在没有违约风险的条件下，货币互换一样也可以分解成债
券的组合，不过不是浮动利率债券和固定利率债券的组合 而是一份外币债券和一份本币债券的组合。 • 假设A公司和B公司在2003年10月1日签订了一份5年期的货 币互换协议。
Bfix 4e0.1*0.25 4e0.105*0.75 104e0.11*1.25 $0.9824亿 Bfl (100 5.1)e0.1*0.25 $1.0251亿
利率互换的定价（4）
• 因此，利率互换的价值为： • 98.4－102.5（百万）＝－$427万
（二）运用债券组合给利率互换定价
• 考虑一个2010年9月1日生效的三年期的利率互换 名义本金是1亿美元。B公司同意支付给A公司年利 率为5％的利息，同时A公司同意支付给B公司6个 月期LIBOR的利息，利息每半年支付一次。
A公司
LIBOR 5%
B公司
利率互换的分解
• 上述利率互换可以看成是两个债券头寸的组合。这样， 利率互换可以分解成：
• 接着考虑浮动利率债券的价值。根据浮动利率债券的性质 在紧接浮动利率债券支付利息的那一刻，浮动利率债券的
价值为其本金L。假设利息下一支付日应支付的浮动利息
额为 k （这是已知的），那么在下一次利息支付前的一 刻，浮动利率债券的价值为 Bfl L k
在我们的定义中，距下一次利息支付日还有的时间 ，那
• 只要知道利率的期限结构，我们就可以计算出FRA对应的 远期利率和FRA的价值，具体步骤如下：
• 1.计算远期利率。 • 2.确定现金流。 • 3.将现金流贴现。
• 我们再看例4.1中的情形。3个月后要交换的现金流是已知 的，金融机构是用10.2％的年利率换入8％年利率。所以 这笔交换对金融机构的价值是：
二、货币互换的定价
（一）运用债券组合给货币互换定价 • 在没有违约风险的条件下，货币互换一样也可以分解成债
券的组合，不过不是浮动利率债券和固定利率债券的组合 而是一份外币债券和一份本币债券的组合。 • 假设A公司和B公司在2003年10月1日签订了一份5年期的货 币互换协议。
3——第2章 金融工程的基本分析方法——状态价格定价法
▪ 启发：改变各个状态出现的概率，使风险资产的 回报率等于无风险收益率——超额收益率为0。
▪ 风险中性定价原理：在这个改变了概率的世界里， 所有证券的预期收益率都等于无风险利率r，所 有现金流量都可以通过无风险利率进行贴现求得 现值。
➢ 风险中性假定仅仅是为了定价方便而作出的人为假定
➢ 由于风险中性，人们只关心收益不考虑风险
金融工程的基本分析方法
2021/6/3
1
2.1 无套利定价法
▪ 定义2.1：套利是同时持有一种或者多种资 产的多头或者空头，从而存在不承担风险 的情况下锁定一个高于无风险利率的收益。
▪ 两种套利方法：
➢ 当前时刻净支出为0，将来获得正收益（收益 净现值为正）
➢ 当前时候一系列能带来正收益的投资，将来的 净支出为零（支出的净现值为0）。
注意：盈亏状况相似或者相同，但价值可能有所不 同。
▪ 金融工具的合成（compound）
➢ 即通过构建一个资产（组合）使之与被模仿的 金融工具具有相同价值。
合成是建立在模仿的基础上
案例2-3：模仿股票（the mimicking stock)
▪ 模仿股票：一个看涨期权多头和一个看跌期权的空头的 组合。
▪ 在远期市场上套利者在购买1.8马克同时按照目前 的远期汇率（1:1.8）卖出1.98马克，换回1.1美元。
▪ 在扣除掉为原先借入的1美元支付的本息1.06美元 之外，还有一个剩余0.04美元（1.1美元-1.06美 元）。如果不计费用，这个剩余就是套利者获取 的无风险利润。显然，1:1.8不是均衡的远期外汇 价格。
2. 签订一份协议（远期利率协议），该协议规定该交易 者可以按11%的利率，在6个月后从市场借入资金 1051万元（等于1000e0.10×0.5）。
▪ 风险中性定价原理：在这个改变了概率的世界里， 所有证券的预期收益率都等于无风险利率r，所 有现金流量都可以通过无风险利率进行贴现求得 现值。
➢ 风险中性假定仅仅是为了定价方便而作出的人为假定
➢ 由于风险中性，人们只关心收益不考虑风险
金融工程的基本分析方法
2021/6/3
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2.1 无套利定价法
▪ 定义2.1：套利是同时持有一种或者多种资 产的多头或者空头，从而存在不承担风险 的情况下锁定一个高于无风险利率的收益。
▪ 两种套利方法：
➢ 当前时刻净支出为0，将来获得正收益（收益 净现值为正）
➢ 当前时候一系列能带来正收益的投资，将来的 净支出为零（支出的净现值为0）。
注意：盈亏状况相似或者相同，但价值可能有所不 同。
▪ 金融工具的合成（compound）
➢ 即通过构建一个资产（组合）使之与被模仿的 金融工具具有相同价值。
合成是建立在模仿的基础上
案例2-3：模仿股票（the mimicking stock)
▪ 模仿股票：一个看涨期权多头和一个看跌期权的空头的 组合。
▪ 在远期市场上套利者在购买1.8马克同时按照目前 的远期汇率（1:1.8）卖出1.98马克，换回1.1美元。
▪ 在扣除掉为原先借入的1美元支付的本息1.06美元 之外，还有一个剩余0.04美元（1.1美元-1.06美 元）。如果不计费用，这个剩余就是套利者获取 的无风险利润。显然，1:1.8不是均衡的远期外汇 价格。
2. 签订一份协议（远期利率协议），该协议规定该交易 者可以按11%的利率，在6个月后从市场借入资金 1051万元（等于1000e0.10×0.5）。
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=1.8(1+10%第)/三(1讲+6金%融)工程定价方法
关于远期利率的案例
n 一客户要求某银行从现在(t)开始6个月内提供为其6个 月的￡100万的贷款。在现货市场上，利率的报价为：
6个月期(T)的利率(is)为9.5%，12个月期(T)的利率(iL )
为9.875%。 n 该银行如何确定该6×6的远期利率（iF ）？
第三讲金融工程定价方法
动态复制技术：例
n 有证券A、B，证券A的价格运动规律如左图，证券B在 第二期期末3种不同状态下的价格如右图。
•期初
•PA=10 0
•第1期期末
•107
•98
•第2期期末 •期
•114.4 初
9
•104.8 6
•PB=?
•96.04
•第1期期末
•PBu •PBd
•第2期期末 •PBuu=107.67 •PBud=102.97 •PBdd=98.48
•DM
•卖出即期美元(价1.8000)
•1•+,010,00,000,000
•②
•[A/(1+iq)]/s
•+1,800,00 •0-1,800,000
•=1,800,000/1.8=1,000,00 0
•以6%的 利率借 •③ US$ 1年
•{[A/(1+iq)]/s}(1+ ib)
•=1,000,000(1+6%)
问题2：基本证券都是假想证券，能不能用一个证券来复制另一
个证券？
第三讲金融工程定价方法
用证券A复制证券B
n 组合D：△份证券A和现值为L的无风险证券。其现在 的价格为：
– I=100△+L
（3）
n 1年后，无论市场状况如何，组合D的市场价值都与 证券B一样。
n 如出现上升的状态，有
– Iu=△×107+L×1.02=103 n 如出现下降的状态，有
– F(t,T)= S(t)erf (T-t)
第三讲金融工程定价方法
支付已知现金红利资产远期合约定价
n 设I为现金红利在t时刻的现值。
n 组合
– 一项价值为S(t)的标的资产多头； – 数量为Xe-rf (T-t) +I的现金空头(以无风险利率rf借入)
n 组合现金流分析
– t时刻：组合价值为S(t) - Xe-rf (T-t) - I – T时刻：组合价值为S(T)-X
– Id=△×98+L×1.02=98.5 n 将以上两个方程联立成方程组，可解得
△=0.5,L=49.5/1.02
n 代入式（3）可得证券B现在的价值I=98.52941
第三讲金融工程定价方法
远期/期货合约的价值
n 设X为远期/期货合约在到期日T标的资产的交割价格。则对于一 项远期合约多头来说，其在T时刻的价值为S(T)-X。
•10
•107△
•100
7 •100△ +L
+1.02L
•98
•98△+1.02L
第三讲金融工程定价方法
解（续）
n 可用△份证券A和价值为L的无风险证券的组合来复制证 券B。可得方程组
n 107△+1.02L=103
n 98△+1.02L=98.5 n 解得，△=0.5，L=48.53 n 故证券B现在的市场价格为 n PB=100△+L=98.52941 n 问题1：如采用连续复利利率计算，以上过程如何变化？
n 1年后组合C现金流为？ n 组合C是一个无风险组合，其收益率应为无风险收益率rf ，有 n πu+πd=1/(1+ rf) （2） n 将式（1）、（2）两个方程联立成方程组，可得： n πu= [(1+ rf) –d]/[(1+ rf) (u-d)] n πd =[u-(1+ rf)]/[(1+ rf) (u-d)]
n 组合：
– 一项价值为S(t)的标的资产多头； – 数量为Xe-rf (T-t)的现金空头(以无风险利率rf借入)
n 组合现金流分析
– t时刻：组合价值为S(t) - Xe-rf (T-t) – T时刻：组合价值为S(T)-X
n 这一组合复制了远期合约的多头。
n 根据无套利原则，该远期合约在t时刻的价值一定等于该组合在t 时刻的价值。即
•114.49 △u+1.02Lu
•104.86 △u+1.02Lu
•解出△u =0.488，Lu =50.78,则PBu =107△u +Lu =103
第三讲金融工程定价方法
解（续）
n 对于右下方的二叉树，可建立方程组 n 104.86△d +1.02Ld =102.97 n 96.04△d +1.02Ld =98.48 n 解得， △d=0.509, Ld=48.62, PBd=98△d +Ld=98.5 n 再看左方的二叉树，如图。
的状态价格确定，为什么可以用来复制证券B？ n 状态价格的涵义：
– 两个基本证券的参数[πu，πd]唯一地确定了某个市场，则刻画 在这个市场里的证券价格变化的参数u和d必须满足以下方程 组
– πuu+πdd=1 – πu+πd=1/(1+ rf) 两组不同的[πu，πd]刻画了两个不同的市场。 用证券B的状态价格来复制证券B？
n 交割数量(A)：1,980,000DM n 即期汇率(S)： US$1=1.8000DM n 即期利率：一年期的美元利率(ib )为6%，一年期的DM
利率为(iq )10%。 n 问：该银行如何确定一年期的DM/ US$的远期汇率(F) ？
第三讲金融工程定价方法
远期汇率的确定过程
•即期
•US$
国债期货的定价方法： 现金-持有定价法
n (1)买入100000美元面值的一种可交割债 券；
n （2）通过回购协议为债券融资； n （3）卖出一份期货合约； n （4）持有债券直到交割月份的最后一日； n （5）根据期货空头头寸交割债券。
第三讲金融工程定价方法
现金-持有策略图
•现在
•借入现 金
•用现买 入债券
•=1,060,000
•以10% 的利率 贷出 DM1年
•①•A/(1+iq) •=1,980,000/(1+10%)
•=1,800,000
•远 期
•(一年)
•-1,060,000 •+1,060,000
•以价F卖出远期
•+1,980,000
DM
• -1,980,000
•④ •F=S(1+ iq)/(1+ ib)
•Stock price = $20
•Stock Price = $18
第三讲金融工程定价方法
A Call Option
A 3-month call option on the stock has a strike price of 21.
•Stock price = $20 •Option Price=?
n 对A证券定价
– PA=πuuPA+πddPA=0.435730×107+0.544662×98=100
n 对证券B定价
– PB=πuuPB+πddPB=0.435730×103+0.544662×98.5=98.52941
第三讲金融工程定价方法
问题
n 问题1：基本证券1的市场价格和基本证券2的市场价格是由证券A
第三讲金融工程定价方法
用基本证券复制风险证券A
n 组合B：
– 购买uPA份基本证券1； – 购买dPB份基本证券2。
n 由无套利原理可知，复制与被复制证券市价的 现值相等：
n PA=πuuPA+πddPA n 即：πuu+πdd=1
（1）
第三讲金融工程定价方法
对风险证券A定价
n 组合C： – 购买一单位基本证券1； – 购买一单位基本证券2。
变化的过程。 n 随机过程的分类：
– Discrete time; discrete variable – Discrete time; continuous variable – Continuous time; discrete variable – Continuous time; continuous variable n 严格地说，证券价格的变化过程属于离散变量的离散 时间随机过程，但我们近似地将其看为连续变量的连 续时间随机过程。
•Stock Price = $22 •Option Price = $1
•Stock Price = $18 •Option Price = $0
第三讲金融工程定价方法
对看涨期权进行复制
n 考虑一个组合：Δ单位股票 现值为L的无风险资产
n 则有方程组 n 22Δ+Le0.12×0.25=1 n 18Δ+Le0.12×0.25=0 n 解得：Δ=0.25，L=-4.3672 n 则期权的价格为20Δ+L=20×0.25-4.3672=0.633
第三讲金融工程定价方法
远期利率的确定过程
•即期
•6个 月
•-954,654
•① •以9.5%的 利率贷出6 个月
•+100000
•0 -
1000000
•以iF的利
•③
率贷出6个 月
•+954,654
•以9.875% 的利率借 •② 款12个月
•12个 月
•+1,048,926
•1,048,926
第三讲金融工程定价方法
– ƒ(t)=S(t) - Xe-rf (T-t)