2.6等腰梯形的轴对称性2
等腰梯形判定
正定镇中学仝树霞
等腰梯形的性质
1.等腰梯形在同一底上的两个底角相等.
2.等腰梯形是轴对称图形，过两底中点的直线是它的对称轴.
3.等腰梯形的对角线相等.
如何判定一个梯形是等腰梯形呢
有两腰相等的梯形是等腰梯形.
2. 解决梯形问题的基本思路和方法：通过添加适当的辅助线，把梯形问题转化为（）问题来解决.
三角形和平行四边形或矩形㈠. 有两腰相等的梯形是等腰梯形.㈡.同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形.
1.等腰梯形的判定:
A B C
D
E A B C
D
E
A B C D E F E 3. 常画的辅助线有以下几种：
⑵延长两腰相交于一点
⑴作一腰的平行线⑶作两条高⑷作一条对角线的平行线A B C D。
轴对称知识点总结
轴对称知识点总结 TPMK standardization office【 TPMK5AB- TPMK08- TPMK2C-轴对称与轴对称图形一、知识点：1．什么叫轴对称：如果把一个图形沿着某一条直线折叠后，能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴，两个图形中的对应点叫做对称点。
2．什么叫轴对称图形：如果把一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
3．轴对称与轴对称图形的区别与联系：区别：①轴对称是指两个图形沿某直线对折能够完全重合，而轴对称图形是指一个图形的两个部分沿某直线对折能完全重合。
②轴对称是反映两个图形的特殊位置、大小关系；轴对称图形是反映一个图形的特性。
联系：①两部分都完全重合，都有对称轴，都有对称点。
②如果把成轴对称的两个图形看成是一个整体，这个整体就是一个轴对称图形；如果把一个轴对称图形的两旁的部分看成两个图形，这两个部分图形就成轴对称。
常见的轴对称图形有：圆、正方形、长方形、菱形、等腰梯形、等腰三角形、等边三角形、角、线段、相交的两条直线等。
4．线段的垂直平分线：（也称线段的中垂线）5．轴对称的性质：⑴成轴对称的两个图形全等。
⑵如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线。
6．怎样画轴对称图形：画轴对称图形时，应先确定对称轴，再找出对称点。
二、举例：例1：判断题：①角是轴对称图形，对称轴是角的平分线；（）②等腰三角形至少有1条对称轴，至多有3条对称轴；（）③关于某直线对称的两个三角形一定是全等三角形；（）④两图形关于某直线对称，对称点一定在直线的两旁。
（）例2：下图曾被哈佛大学选为入学考试的试题.请在下列一组图形符号中找出它们所蕴含的内在规律，然后把图形空白处填上恰当的图形.例3：如图，由小正方形组成的L形图中，请你用三种方法分别在下图中添画一个小正方形使它成为一个轴对称图形：例4：如图，已知：ΔABC和直线l，请作出ΔABC关于直线l的对称三角形。
八上 1.6 等腰梯形的轴对称性(2)
苏州市吴中区木渎实验中学
苏州市吴中区木渎实验中学
探索发现：
如图，等腰梯形与等腰三角形有 着紧密的联系.比照等腰三角形的特 征，你对等腰梯形还有什么猜想？
A A B
C
D
B
C
苏州市吴中区木渎实验中学
例题示范：
例1.已知：如图，在梯形ABCD 中， AD∥ BC，∠B=∠C ，求证：AB=DC ．
A B
C
D
苏州市吴中区木渎实验中学
初中数学八年级上册 （苏科版）
1.6 等腰梯形的轴对称性（2）
江苏省苏州市吴中区木渎实验中学
苏州市吴中区木渎实验中学
复习提问：
1．什么样的四边形叫梯形，什么样的 梯形是直角梯形、等腰梯形？ 2．等腰梯形有哪些性质？它的性质定 理是怎样证明的？
3．在研究解决梯形问题时的基本思想和 方法是什么？常用的辅助线有哪几种？
例2. 如图，在梯形ABCD中，BC∥AD， DE∥AB， DE=DC， ∠A＝100°，试求 梯形ABCD的其他三个内角的度数．请问 此时ABCD为等腰梯形吗?说说你的理由．
A D
B
E
苏州市吴中区木渎实验中学
C
课堂小结：
（l）等腰梯形的判定方法： ①先判定它是梯； ②再用“两腰相等”“或同一底 上的两个角相等”来判定它是等 腰梯形． （2）梯形的画图：一般先画出有关的三 角形，在此基础上再画出有关的平行四 边形，最后得到所求图形．（三角形奠 基法）
等腰梯形的轴对称性学案
一、 填空1. 等腰梯形是轴对称图形，对称轴是 ___；等腰梯形___ __ ___相等；等腰梯形同一底上两_ ___相等。
2.在等腰梯形中，有一个内角是72°，则其余三个角的度数分别为 ．3. 如图，在梯形ABCD 中，DC ∥AB ，AD ＝BC ，∠A ＝60°,BD ⊥AD,则∠DBC ＝ °∠C ＝ °4.如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝CD ，∠A ＝120°，对角线BD 平分∠ABC ，则∠BDC 的度数是.二、选择题5.对于等腰梯形，下列说法错误的是 ( )A 、只有一组相等的对边B 、只有一对相等的角C 、只有一条对称轴D ．两条对角线相等 6.一个等腰梯形的上底和腰的长都是1，下底的长为2，将这个梯形按下图的方式拼接在一起：…共有八个这样的梯形，则由它们拼接成的图形周长为 ( )A ．24B ．33C ．32D ．407.下列说法：①等腰梯形是轴对称图形；②梯形的对角线相等；③等腰梯形的底角相等；④等腰梯形的两组对角互补。
其中正确的有 （ ）A.1个B.2个C.3个D.4个三、解答题8.如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥DC ，E 是DC 延长线上的一点，BE ＝BC ，试说明∠A 和∠E 的关系．9.如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝CD ，E 是AD 的中点，BE 和CE 相等么？试加以说明。
D A B EC A DCB10.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC= AD，BD⊥CD,设∠CBD=x°（1）用x表示下列角（同样大小的角不能用同样的表达方式）∠A= °；∠ADC= °；∠ABD= °；∠ADB= °；∠C= °；（2）用x列一个方程，说出这个方程所依据的知识点，并求解这个方程.我所列的方程是，其中所利用到的知识点有（有多少写多少）11.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC, AE∥CD，DF∥AB .试说明AE=DF.E F12.如图,等腰梯形ABCD中，AB∥DC,对角线AC平分∠BAD，梯形的周长为4.5cm,下底AB=1.5cm,求上底CD的长．。
等腰梯形的性质梯形扩展及练习课件
总结词
等腰梯形的两底角相等 。
详细描述
由于等腰梯形的两底边 长度相等，根据等边对 等角，其对应的底角也
相等。
等腰梯形的面积计算
总结词
等腰梯形的面积可以通过上底、下底 和高来计算。
详细描述
等腰梯形的面积计算公式为 (上底 + 下底) * 高 / 2，其中上底和下底是等 长的，高是从上底到底边的垂直距离 。
综合答案及解析
答案
1. 等腰梯形是特殊的梯形，具有所有梯形的性质 。
2. 等腰梯形具有其特殊的性质，如两个腰相等、 底角相等、对角线相等。
综合答案及解析
• 在等腰梯形中，可以通过添加辅助线来证明其性质。
综合答案及解析
解析
2. 等腰梯形除了具有所有梯形的性质外，还有其 特殊的性质，这些性质可以通过添加辅助线来证 明。例如，通过作两条高线，可以证明等腰梯形 的两个底角相等，以及两个腰相等。
梯形答案及解析
• 相对的两边相等。
梯形答案及解析
1. 有一组对边平行
01
梯形的一个基本性质是其有一组对边平行，这是梯形与平行四
边形的区别之一。
2. 相对的两角互补
02
在梯形中，相对的两个角的度数之和为90度，即互补。
3. 相对的两边相等
03
在梯形中，相对的两边的长度是相等的，这是梯形的一个重要
性质。
梯形的相关练习题
判断题
梯形只有一组对边平行。
选择题
一个梯形的上底是5cm，下底是7cm，高是4cm，则其周长为 ____cm。
填空题
一个梯形的上底是3cm，下底是7cm，高是5cm，则其面积为 ____cm²。
等腰梯形的判定--旧人教版(2018-2019)
等腰梯形具有那些性质？
1.等腰梯形在同一底上的两个角相等. 2.等腰梯形是轴对称图形，过两底中点 的直线是它的对称轴. 3.等腰梯形的对角线相等.
如何判定一个梯形是否为等腰梯形呢?
根据等腰梯形的定义 有两腰相等的梯形是等腰 梯形.
你还能总结出哪些判定的方法？
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也 言许 史过失 诚非小功小美也 事下公卿 汉使柴将军击之 献享之精交神 好侵陵也 尽吴分也 高祖同父少弟也 并坐而问 或嘲雄以玄尚白
忽而不见 其容仰 令佩其王印绶 陛下垂德惠以覆露之 入粤境 因使待诏金马门 周末有子路 夏育 自公受策 不用诏命 苗生叶以上
武帝立十七岁 可以永年 四分月法 楼船将齐兵七千人先至王险 建元元年冬十月 伐胡尤甚 数年之间 《黄帝杂子十九家方》二十一卷 南有泰山 城阳 甘露三年 莽曰上陵畴 不以生故自保 二月甲申 陷死刑 刘氏长安 引其甲卒与之西 工用相得也 追杀之即墨 晋败天子之师於贸戎 欲以危
居岁馀 江淮间多轻薄 天子募罪人击朝鲜 后不得复侍宴 事县官十馀年 武帝即位 为害於身也 齐灭莱 七月辛未彗星横天 夫人自纺绩 治天下者当用天下之心为心 变动见端 君乱且弱 以黄与白为帜 立就国 何其长也 齐子归 於是汉王发使使越 山报 庆忌居处恭俭 上诸舅皆修经书 治呼
犍谷 清河水出南 若必专已守残 废兴何如 已奉谷租 辄报罢 奈何以我乱天下法 於是上心善家令言 天子亡戏言 上默然不说 去长安八千三百里 拜买臣为中大夫 请罢屯兵 奏可 灌梁 楚地 见况 代王喜弃国 遣子次公入宿卫 而山东从沔无限 事上闻 遂属焉 太后与上承先帝意 奉珍朝贺
帝二年复为临江 诏曰 夫《洪范》八政 夫过而不改 是非古之车也 五月 敦众神使式道兮 绾 臧请立明堂以朝诸侯 至二世时 终岁不制衣则寒 及欲以政事过差丞相父子 中尚书宦官 景愈疾 还军东垣 谊足以动诸侯 辟衡为议曹史 海鱼不出 声施后世 参为白虎 斩莽首 囹圄空虚 今复使舜
轴对称重点和难点
轴对称图形主要内容：轴对称与轴对称图形、轴对称的性质、设计轴对称图案、线段、角的轴对称性、等腰三角形的轴对称性、等腰梯形的轴对称性。
重点：垂直平分线、角平分线、等腰三角形（直角三角形、等边三角形）的性质、等腰梯形的常用辅助线；难点是如何灵活应用所学知识解决问题。
难点：通过具体的轴对称图形实例,让学生经历观察、比较、分析等数学活动,从而让学生认识轴对称图形,知道轴对称与轴对称图形之间的区别,而后通过线段与角、等腰三角形、等腰梯形等轴对称图形加深对轴对称图形的理解。
变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫做旋转变换。
考点三、等腰三角形1、等腰三角形的性质（1）等腰三角形的性质定理及推论：定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。
即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。
推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°。
（2）等腰三角形的其他性质：①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。
③等腰三角形的三边关系：设腰长为a ，底边长为b ，则2b <a④等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A ，底角为∠B 、∠C ，则∠A=180°—2∠B ，∠B=∠C=2180A ∠-︒ 2、等腰三角形的判定等腰三角形的判定定理及推论：定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）。
这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等。
推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
等腰三角形的性质与判定等腰三角形性质 等腰三角形判定 中线1、等腰三角形底边上的中线垂直底边，平分顶角；2、等腰三角形两腰上的中线相等，并且它们的交点与底边两端点距离相等。
2.6 等腰三角形 课件(共13张PPT)
形吗？ 是
（3）根据轴对称的基本性质，对称轴AD与
底边BC有什么关系？ AD垂直平分BC
根据角的对称性，∠BAD与∠CAD有什么
关系？
∠BAD = ∠CAD
由此，你发现等腰三角形ABC底边BC上的
B
D
C
高、底边的中线及顶角的平分线有什么关系
？
三条线段重合
等腰三角形的性质：
①轴对称性：等腰三角形是轴对称图形。等腰三角形的对 称轴是底边的垂直平分线。 ②三线合一： 等腰三角形底边上的高、底边上的中线及顶 角的平分线重合。 ③边角关系：等腰三角形的两个底角相等。
巩固练习（一）
1、如果等腰三角形的一个底角是50°，它的顶角是 80°
180°－2×50°=80°
2、顶角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形。等腰直角三角形 的两个底角是多少度？
（180°－90°）÷2=45°
3、等腰三角形的一个内角为80°，则顶角的度数是 80°或20°。
4、等腰三角形的一个角为70°，则其他两个角分别是 70°、40°或55°、55° 。
2.6 等腰三角形
2.6.1 等腰三角形的性质和画法
1、任意画一个三角形，它是轴对称图形吗？
不一定
2、任意画一个等腰三角形，它是轴对称图形吗？
是
学习目标
1、掌握等腰三角形的①轴对称性、②“三线合一”、 ③两个底角相等，三个性质。 2、能利用尺规作图，作出已知底边和底边上的高的等 腰三角形。 3、能够利用等腰三角形的性质解决相关问题。
了解等腰三角形
定义：两条边相等的三角形叫等腰三角形。
腰：相等的两条边叫做腰。
底边：除腰外的一边叫底边。
顶角：两腰的夹角叫顶角。
苏科版的精品课件-等腰梯形的轴对称性(2)
E
B
C
F
已知，梯形ABCD ABCD中 BC， 是腰AB的中点， AB的中点 例2：已知，梯形ABCD中，AD∥BC，E是腰AB的中点， 求证： AD+BC=CD。 DE ⊥CE, 求证： AD+BC=CD。
A E D 证明： 延长线于F 证明：（一）延长DE交CB延长线于 延长 交 延长线于
3、ΔBED与梯形ABCD的面积关系如何? BED与梯形ABCD的面积关系如何? 与梯形ABCD的面积关系如何
A
D O
构造旋转变换 其 他
B C
E
方 法
返
回
教学反思： 教学反思：
你能总结梯形中常见辅助线吗？ 你能总结梯形中常见辅助线吗？
预习指南
设计轴对称图案 工具:长方形纸片 工具 长方形纸片 剪刀等
梯形中常见辅助线
做一做 １．在等腰梯形ABCD中，AB∥DC， 在等腰梯形ABCD中 AB∥DC， ABCD DC＝ AB=7，AD=BC=4， DC＝３，AB=7，AD=BC=4，则∠B=
D C
．
A
E
B
例题精讲
1.如图,在梯形ABCD中 AD∥BC， 1.如图,在梯形ABCD中，AD∥BC， 如图 ABCD ∠B＝70°，∠C＝40°. 70° 40° 试说明:CD＝BC－ 试说明:CD＝BC－AD. :CD
A
4
B
2
解：（平移腰） 平移腰） 过B作BE∥AD交DC于E 作 ∥ 交 于
40°
70°
D
E
11
7
C
一题多解！
70°
解法2：（补三角形）
延长DA与CB交于O 则∠ OAB=∠ D=70 °
2022人教版数学《精品 等腰三角形的性质2》配套教案(精选)
13.3.1 等腰三角形第1课时等腰三角形的性质教学目标（一）教学知识点1．等腰三角形的概念．2．等腰三角形的性质．3．等腰三角形的概念及性质的应用．（二）能力训练要求1．经历作（画）出等腰三角形的过程，•从轴对称的角度去体会等腰三角形的特点．2．探索并掌握等腰三角形的性质．教学重点1．等腰三角形的概念及性质．2．等腰三角形性质的应用．教学难点等腰三角形三线合一的性质的理解及其应用．教学过程提出问题，创设情境在前面的学习中，我们认识了轴对称图形，探究了轴对称的性质，•并且能够作出一个简单平面图形关于某一直线的轴对称图形，•还能够通过轴对称变换来设计一些美丽的图案．这节课我们就是从轴对称的角度来认识一些我们熟悉的几何图形．来研究：①三角形是轴对称图形吗？②什么样的三角形是轴对称图形？导入新课同学们通过自己的思考来做一个等腰三角形．AICABI作一条直线L，在L上取点A，在L外取点B，作出点B关于直线L的对称点C，连结AB、BC、CA，则可得到一个等腰三角形．提问：1．等腰三角形是轴对称图形吗？请找出它的对称轴．2．等腰三角形的两底角有什么关系？3．顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？4．底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？•底边上的高所在的直线呢？等腰三角形的性质：1．等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．2．等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、•底边上的高互相重合（通常称作“三线合一”）．[例1]如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求：△ABC各角的度数．分析：根据等边对等角的性质，我们可以得到∠A=∠ABD，∠ABC=∠C=∠BDC，•再由∠BDC=∠A+∠ABD，就可得到∠ABC=∠C=∠BDC=2∠A．再由三角形内角和为180°，•就可求出△ABC的三个内角．[例]因为AB=AC，BD=BC=AD，所以∠ABC=∠C=∠BDC．∠A=∠ABD（等边对等角）．设∠A=x，则∠BDC=∠A+∠ABD=2x，从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x．于是在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°，解得x=36°．在△ABC中，∠A=35°，∠ABC=∠C=72°．[师]下面我们通过练习来巩固这节课所学的知识．随堂练习练习1．如下图，在下列等腰三角形中，分别求出它们的底角的度数．(2)120︒36︒(1)答案：（1）72° （2）30°2．如右图，△ABC 是等腰直角三角形（AB=AC ，∠BAC=90°），AD 是底边BC 上的高，标出∠B 、∠C 、∠BAD 、∠DAC 的度数，图中有哪些相等线段？D CAB答案：∠B=∠C=∠BAD=∠DAC=45°；AB=AC ，BD=DC=AD ．3．如右图，在△ABC 中，AB=AD=DC ，∠BAD=26°，求∠B 和∠C 的度数．D CAB答：∠B=77°，∠°．课时小结这节课我们主要探讨了等腰三角形的性质，并对性质作了简单的应用．等腰三角形是轴对称图形，它的两个底角相等（等边对等角），等腰三角形的对称轴是它顶角的平分线，并且它的顶角平分线既是底边上的中线，又是底边上的高． 我们通过这节课的学习，首先就是要理解并掌握这些性质，并且能够灵活应用它们．活动与探究如右图，在△ABC 中，过C 作∠BAC 的平分线AD 的垂线，垂足为D ，DE ∥AB 交AC 于E ．求证：AE=CE ．EDCAB过程：通过分析、讨论，让学生进一步了解全等三角形的性质和判定，•等腰三角形的性质． 结果：证明：延长CD 交AB 的延长线于P ，如右图，在△ADP 和△A DC 中12,,,AD AD ADP ADC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADP ≌△ADC ． ∴∠P=∠ACD ． 又∵DE ∥AP ， ∴∠4=∠P ． ∴∠4=∠ACD ． ∴DE=EC ．同理可证：AE=DE ． ∴AE=CE ． 板书设计等腰三角形一、设计方案作出一个等腰三角形EDCABP二、等腰三角形性质 1．等边对等角 2．三线合一第2章 图形的轴对称复习课学习目标：1、理解轴对称与轴对称图形的概念，掌握轴对称的性质.2、掌握线段的垂直平分线、角的平分线的性质及应用.3、理解等腰三角形的性质并能够简单应用.4、理解等边三角形的性质并能够简单应用.5、能够按要求做出简单的平面图形的轴对称图形，初步体会从对称的角度欣赏设计简单的轴对称图案.重点：掌握线段的垂直平分线、角的平分线的性质、等腰三角形的性质及应用. 难点：轴对称图形以及关于某条直线成轴对称的概念，等腰三角形的性质应用 复习过程： 【课前准备】如何画一个图形关于某条直线对称的图形？ 【课内探究】 知识点整理：1、如果一个图形沿着某条直线折叠．．后，直线两旁的部分能够互相重合．．，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做这个图形的对称轴. 轴对称图形是—个具有特殊性质的图形.常见的轴对称图形有：线段、角、等腰三角形、等边三角形、矩形、菱形、 正方形、等腰梯形、正n 边形、圆形.2、 把一个图形沿着某条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线就是它们的对称轴.而两个图形中的各自的相对应点叫做关于这条直线的对称点. (1) 轴对称是指两个图形之间的位置关系；(2) 关于某条直线对称的两个图形是互相重合的；如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点所连的线段的垂直平分线.1、 什么叫轴对称图形？2、 什么叫做两个图形关于某一条直线成轴对称？3、 “轴对称图形”与“两个图形关于某一条直线成轴对称”有什么区别？4、 什么叫做线段的垂直平分线？线段的垂直平分线有什么性质？如何用尺规作出线段的垂直平分线？5、 角的平分线具有什么性质？如何做角平分线？6、 等腰三角形有哪些性质？等边三角形呢？已知哪些条件，可以用尺规做出等腰三角形？7、 如果两个图形关于某直线对称，那么这两个图形具有什么性质？E D BC A 牛刀小试：下面几种图形，一定是轴对称图形的是（ ）3、有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.巩固训练：(1)已知△ABC 中，AB = AC ，其周长为18cm ，AB = 5cm ，则BC = . (2)已知等腰三角形的腰长为4cm ，底边长为6cm ，则它的周长为 . (3)已知等腰三角形的两边长分别为6cm 、3cm ，则它的周长是 . (4)已知等腰三角形一边长为3，另一边为5，则它的周长是 .4、线段垂直平分线、角平分线、等腰三角形的性质： ① 等腰三角形的两个底角相等；② 等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合；(三线合一) ③ 等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角平分线（或底边上的高或底边上的中线）所在的直线. 巩固训练：(1) 已知△ABC 中，AB = AC ，∠C = 50°，则∠B = .(2) △ABC 中，AB = AC ，若AD ⊥BC 于D ，则∠1 ∠2，BD CD. (3) 已知等腰三角形的一个底角为45°，则它的顶角为 . (4) 已知等腰三角形的一个角是70°，则其余两个角的度数是 . (5) 已知等腰三角形的一个角是120°，则其余两个角的度数是 . 思考：本章的作图有哪几种类型？ （1）作线段的垂直平分线；（2）作角的平分线； （3）作等腰三角形；（4）作对称点. 【巩固提升】1、已知A （-1，1），在y 轴上找一点P,使△AOP 是等腰三角形.这样的P 点可能有几个？2、已知Rt △ABC 中，∠C=90°，DE 垂直平分AB(1)若∠CAD=20°，则∠B=____°(2)若AC=4,BC=5,则△ACD 的周长为______. (3) 若∠B=30°，则∠CAD=____°图中共有几组相等的线段？为什么？【课堂小结】通过今天的学习，你对本章又增加了哪些新的认识？ 【达标检测】1、下列图形中一定是轴对称的图形是（ ）. A 、梯形 B 、直角三角形 C 、角 D 、平行四边形2、等腰三角形的一个内角是50°，则另外两个角的度数分别是（ ）.A、65° 65°B、50°80°C、65°65°或50°80°D、50° 50°3、如果等腰三角形的两边长是6和3，那么它的周长是（）.A、9B、12C、12或 15D、154、到三角形的三个顶点距离相等的点是（）.A、三条角平分线的交点B、三条中线的交点C、三条高的交点D、三条边的垂直平分线的交点第1课时等腰三角形的性质【知识与技能】1.理解掌握等腰三角形的性质.2.运用等腰三角形性质进行证明和计算.、发展形象思维.【过程与方法】、观察、证明等腰三角形的性质,发展学生推理能力.2.通过运用等腰三角形的性质解决有关问题,提高运用知识和技能解决问题的能力.【情感态度】引导学生对图形的观察、发现，激发学生的好奇心和求知欲,并在运用数学知识解答问题的活动中取得成功的体验.【教学重点】等腰三角形的性质及应用.【教学难点】等腰三角形的证明.一、情境导入，初步认识问题 1 让学生根据自己的理解,做一个等腰三角形.要求学生独立思考,动手做图后,再互相交流评价.可按下列方法做出:作一条直线l,在l上取点A,在l外取点B,作出点B关于直线l的对称点C,连接AB,AC,CB,则可得到一个等腰三角形.问题2 老师拿出事先准备好的长方形纸片,按下图方式折叠剪裁.观察并讨论:△ABC有什么特点?教师指导,并介绍等腰三角形的相关概念,及等腰三角形是轴对称图形.【教学说明】教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.二、思考探究，获取新知教师依据学生讨论发言的情况,归纳等腰三角形的性质:①∠B=∠C→两个底角相等.②BD=CD→AD为底边BC上的中线.③∠BAD=∠CAD→AD为顶角∠BAC的平分线.∠ADB=∠ADC=90°→AD为底边BC上的高.指导学生用语言叙述上述性质.性质1等腰三角形的两个底角相等(简写成:“等边对等角”).性质2等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线,底边上的高重合(简记为:“三线合一”).教师指导对等腰三角形性质的证明.1.证明等腰三角形底角的性质.教师要求学生根据猜想的结论画出相应的图形,写出已知和求证.在引导学生分析思路时强调:∠B=∠C,需证明以∠B,∠C为元素的两个三角形全等,需要添加辅助线构造符合证明要求的两个三角形.(2)添加辅助线的方法可以有多种方式:如作顶角平分线,或作底边上的中线,或作底边上的高等.“三线合一”的性质.【教学说明】在证明中,设计辅助线是关键,引导学生用全等的方法去处理,在不同的辅助线作法中,由辅助线带来的条件是不同的,重视这一点，要求学生板书证明过程,以体会一题多解带来的体验.例如图,在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,求△ABC各角的度数.解:∵AB=AC,BD=BC=AD,∴∠ABC=∠C=∠BDC,∠A=∠ABD(等边对等角).设∠A=x,则∠BDC=∠A+∠ABD=2x,从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x.于是在△ABC中,有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°,解得x=36°于是在△ABC中,有∠A=36°,∠ABC=∠C=72°.【教学说明】等腰三角形“等边对等角”及“三线合一”性质，可以实现由边到角的转化，从而可求出相应角的度数.要在解题过程中,学会从复杂图形中分解出等腰三角形,用方程思想和数形结合思想解决几何问题.三、运用新知，深化理解第1组练习:1.如图,在下列等腰三角形中,分别求出它们的底角的度数.2.如图，△ABC是等腰直角三角形,AB=AC,∠BAC=90°,AD是底边BC上的高,标出∠B,∠C,∠BAD,∠DAC的度数,指出图中有哪些相等线段.3.如图,在△ABC,AB=AD=DC,∠BAD=26°,求∠B和∠C的度数.第2组练习:△ABC是轴对称图形,则它一定是( )°,它的顶角的度数是( )A.80°B.20°°和20°°或50°2cm,并且它的周长为16cm.求这个等腰三角形的边长.4.如图，在△ABC中，过C作∠BAC的平分线AD的垂线，垂足为D，DE∥AB 交AC于E.求证:AE=CE.【教学说明】等腰三角形解边方面的计算类型较多,引导学生见识不同类型,并适时概括归纳,帮学生形成解题能力,注意提醒学生分类讨论思想的应用.【答案】第1组练习答案:1.(1)72°;(2)30°2.∠B=∠C=∠BAD=∠DAC=45°;AB=AC,BD=DC=AD3.∠B=77°,∠°第2组练习答案:3.设三角形的底边长为xcm,则其腰长为(x+2)cm,根据题意,得2(x+2)+x=16.解得x=4.∴等腰三角形的三边长为4cm,6cm和6cm.4.延长CD交AB的延长线于P,在△ADP和△ADC中,∠PAD=∠CAD,AD=AD,∠PDA=∠CDA,∴△ADP≌△ADC.∴∠P=∠∵DE∥AP,∴∠CDE=∠P.∴∠CDE=∠ACD,∴DE=EC.同理可证:AE=DE.∴AE=CE.四、师生互动，课堂小结这节课主要探讨了等腰三角形的性质,并对性质作了简单的应用.请学生表述性质,提醒每个学生要灵活应用它们.学生间可交流体会与收获.1.布置作业：从教材“习题”中选取.2.完成练习册中本课时的练习.本课时应把重点放在逐步展示知识的形成过程上，先让学生通过剪纸认识等腰三角形；再通过折纸猜测、验证等腰三角形的性质；然后运用全等三角形的知识加以论证.由特殊到一般、由感性上升到理性，逻辑演绎，层层展开，步步深入.。
苏教版八年级上数学期中复习知识点
八年级上册期中知识点第一章轴对称图形1.1轴对称与轴对称图形1.轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另外一个图形重合，称这两个图形关于这条直线对称。
这条直线叫做对称轴，两个图形中的对应点叫做对称点。
（对称轴是直线，所在的直线等）2.轴对称图形：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合。
3.二者的区别和联系轴对称是2个分开图形（整体叫做轴对称图形），轴对称图形是1个图形（看成对称轴左右两个图形）。
4.正多边形：1.有几条边就有几条对称轴。
（偶数边的正多边形既是轴对称又是中心对称图形）2.成轴对称的两个图形的任何对应部分也成轴对称。
1.2轴对称的性质1.垂直平分线：垂直并且平分一条线段的直线。
（高线，中线，角平分线都是线段）2.成轴对称的两个图形全等，且其中一个图形沿某条直线翻折后能与另一个图形重合。
如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线。
1.4线段、角的轴对称线段的轴对称性：1.线段是轴对称图形，对称轴是线段垂直平分线所在的直线；2.线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；3.到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
结论：线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合角的轴对称性：1.角是轴对称图形，对称轴是角平分线所在的直线。
2.角平分线上的点到角的两边距离相等。
3.到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
结论：角的平分线是到角的两边距离相等的点的集合1.5等腰三角形的轴对称1.等腰三角形定义：有两边相等的三角形为等腰三角形 性质：1.等腰三角形为轴对称图形，对称轴为顶角平分线所在的直线2.两个底角相等（等边对等角）3.三线合一 顶角平分线，底边中线，底边的高 判定：1.如果一个三角形两角相等那么两角所对的边也相等2.两边相等的三角形是等腰三角形 2.等边三角形性质和判定： 性质：1.等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴2.三个边相等3.每个角都是60度 判定：1.三个边相等的三角形是等边三角形2.三个角都相等的三角形3.有一个角等于60度的等腰三角形1.6等腰梯形的轴对称等腰梯形的定义：1.梯形的定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形为梯形。
1.6等腰梯形轴对称性(2)
A D
B
E
C
等腰梯形的一个判别方法
同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形.
应 用
如图，在梯形ABCD中， AD∥BC， ∠ A与 ∠ C互补， 梯形ABCD是等腰梯形吗？
A D
C
B
∠A+∠C=180
o
对角互补 o （ ∠A+∠C=180 ）的梯 形是等腰梯形.
知识回顾
一、梯形定义
二、等腰梯形、直角梯形
三、等腰梯形的性质
下一步
去看看
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去看看
在上面的三个三角形中各画一条线段. (1)怎样画才能得到一个梯形？
(2)在哪些三角形中，能够得到一个等腰梯形?
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返回Байду номын сангаас等腰梯形
等腰梯形
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议一议
如图，在梯形ABCD中， AD∥BC， ∠B＝∠C， 且交 BC 于点E. DE∥ AB
B 等腰梯形的判别方法：
A
D
C
1、两腰相等的梯形叫做等腰梯形. 2、同一底上的两个内角相等的梯形 是等腰梯形.
3、对角互补的梯形是等腰梯形.
课堂练习
1、有两个内角是70 的梯形一定是 分析 等腰梯形吗？为什么？
Ｏ
达标训练： 2、判断正误： （1）有两个角相等的梯形一定是等腰梯形. （2）两条对角线相等的梯形一定是等腰梯 形. （3）如果一个梯形是轴对称图形，则它一 定是等腰梯形. （4） 一组对边平行，另一组对边相等的四 边形一定是等腰梯形. （5）对角互补的梯形一定是等腰梯形.
达标训练： A D
B
C
八年级(上)第一章 轴对称图形 课时练习：第11课时 等腰梯形的轴对称性(2)
八年级数学(上)第一章轴对称图形第11课时等腰梯形的轴对称性(二)（附答案）1．下列说法中错误的是( ) A．等腰梯形的对角线相等B．对角线相等的四边形是等腰梯形C．等腰梯形在同一底上的两个角相等D．同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形2．在四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D有下列几组比值．其中能满足四边形ABCD 是等腰梯形的是( ) A．1：2：3：4 B．1：3：3：2 C．1：2：2：1 D．1：2：1：23．下列说法：(1)等腰梯形是轴对称图形；(2)梯形的对角线相等；(3)等腰梯形的底角相等；(4)等腰梯形的两组对角互补．其中正确的个数为( ) A．4个B．3个C．2个D．1个4．下列图形分别是等边三角形、直角三角形、等腰梯形和矩形，其中有且只有一条对称轴的对称图形是( )5．把一张等腰三角形的纸，按如图所示的力式折叠，折痕DE∥BC，则四边形DECB是________形．6．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，A E⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，且BE=AE，CF=DF，则∠B=_________，∠ADC=________，该梯形为__________梯形．7．在梯形ABCD中，AB∥CD．根据添加的一个条件________(或_______)可以判定梯形ABCD是等腰梯形．8．在四边形ABCD中，∠A=80°．当∠B=________，∠C=________或∠B=_________，∠C=_________时，四边形ABCD是等腰梯形．9．如图，顺次连接等边三角形各边的中点，则图中共有________个等腰梯形．10．如图，在梯形ABCD中．AB∥CD，若AC与BD相交于点O，且AO=BO，CO=DO．试说明梯形ABOD是等腰梯形．11．如图，在△ABC中，若AB=AC，BD、CE分别是∠ABC、∠ACB的平分线，则四边形EBCD为等腰梯形．试说明理由．12．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别为点D、E，连接DE．试说明四边形BCDE是等腰梯形．13．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，CA平分∠BCD，DE∥AC，交BC的延长线于点E，∠B=2∠E．试说明AB=CD．14．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC=90°，AB=2DC，AC⊥BD于点F，过点F作EF∥AB，交AD于点E，CF=4．试说明四边形ABFE是等腰梯形．15．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=14 cm，AD=18 cm，BC=21 cm，点P从点A开始沿AD边向点D以l cm／s的速度移动，点Q从点C开始沿CB边向点B以2 cm／s的速度移动．若点P、Q分别从点A、C同时出发，设移动的时间为t，则t为何值时，梯形PQCD是等腰梯形?参考答案1．B 2．C 3．C 4．C5．等腰梯6．45°135°等腰7．∠A=∠D AC=BD8．100°100°80°100°9．310．∵AO=BO，CO=DO，∴AO+CO=BO+DO．∴AC=BD．又∵四边形ABCD是梯形，∴梯形ABCD为等腰梯形11．∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=12(180°－∠A)．又∵BD、CE是角平分线，∴∠ABD=∠ACE．∴△AB D≌△ACE．∴AE=AD．∴∠AED=∠ADE=12(180°－∠A)．∴∠AED=∠ABC．∴ED∥BC．又∵BE不平行于DC，∴四边形EDCB为梯形．又∵∠ABC=∠ACB，∴梯形EDCB为等腰梯形12．在等腰△ABC中，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．∵CE⊥AB，BD⊥AC，∴∠BEC=∠CDB=90°．又BC=CB，∴△BE C≌△CDB．∴BE=CD．∴AE=AD．∴∠AED =∠ADE．∴∠AED=∠ABC．∴DE∥BC．又∵BE、CD不平行，∴四边形BCDE是梯形．∵BE=CD，∴四边形BCDE是等腰梯形13．∵DE∥AC，∴∠BCA=∠E．∵CA平分∠BCD．∠BCD=2∠BCA=2∠E又∵∠B=2∠E，∴∠B=∠BCD．∴梯形ABCD是等腰梯形．∴AB=CD14．作DG⊥AB于点G．∵EF∥AB，AE、BF相交于点D，∴四边形ABFE是梯形．∵AB ∥DC，∠ABC=90°，∴∠DCB=∠ABC=∠DGB=90°．∠CDB=∠ABD．∵BD=DB，∴△BCD≌△DGB．∴CD=BG．∵AB=2DC，∴AG=BG=CD．∴DA=DB．∴∠DAB=∠DBA．∴梯形ABFE是等腰梯形15．作DM⊥BC于点M，PN⊥BC于点N．∵AD∥BC，∠B=90°，∴AB∥DM．∴MC=BC －BM=BC－AD=3 cm．当∠PQN=∠C时，梯形PQCD是等腰梯形，△PQN≌△DCM．∴QN=MC．又∵QN=BN－BQ=AP－BQ=t－(21－2t)=3t－21，∴3t－21=3，t=8．即t=8 s时，梯形PQCD是等腰梯形。
等腰梯形的轴对称性(1)
B
E
C
例题精讲
如图,等腰梯形ABCD中，
AB∥DC,对角线AC平分∠BAD，梯形的周
长为4.5cm,下底AB=1.5cm,求上底CD的
长． Ｄ Ｃ Ｂ
A
■如图,梯形ABCD中,AB∥CD, M是CD 的中点,∠1=∠2；试说明梯形ABCD是 等腰梯形．
C M D
B
A
如图,等腰梯形ABCD 中,AD∥BC, AB=CD,E为梯形外一点， 且AE=ED，试说明EB=EC．
E A
做一做
D
C
B
做一做 如图,等腰梯形ABCD中， AD∥BC, AB=CD,E为梯形内一点,且 AE=ED，则EB=EC还成立吗？
A B E C D
拓展延伸
如图,等腰梯形ABCD中， AB=DC,AD∥BC, ∠DBC=45°,翻折梯形 ABCD,使点B重合于D,折痕为EF，若 AD=2，BC=3，求BE的长．
等腰梯形的轴对称性
等腰梯形的性质
●等腰梯形是轴对称图形，上、下底的 中点所确定的直线是对称轴． ●等腰梯形在同一底上的两个底角相等． ●等腰梯形的对角线相等．
等腰梯形的判断
●同一底上的两个底角相等的梯形
是等腰梯形．
试一试
Ｂ ■下列说法中正确的个数是（ ） ⑴一组对边平行的四边形是梯形． ⑵等腰梯形的对角线相等． ⑶等腰梯形的两个底角相等． ⑷等腰梯形有一条对称轴． Ａ.1个 Ｂ.2个 Ｃ.3个 Ｄ.4个
观察与思考 如图，△EBC中，如果过 一边上任一点,作另一边的平行线,所截 得的四边形是什么四边形？
E D C
A B
一组对边平行,另一组对边不平 行的四边形叫做梯形
底
腰
A D
第2章 答案
答案2.6等腰梯形的轴对称性（1）1.B2.B3.C4.B5.30°6. 72°,108°,108°7.27cm8. 90°9. ∠A=∠E 10. ∠ABC=∠BAD=108°,∠ADC=∠BCD=72° 11.∠A＝60°12.6cm 13.(1)相等（2）是（3）略 14(1) △ABE的面积与梯形ABCD的面积相等(2) △ABF的面积是梯形ABCD的面积的一半（3）成立15． (1) 平分(2)AE⊥BE(提示：延长AE交BC的延长线于F)2.6等腰梯形的轴对称性（2）1.C2.C3.(不唯一)例如：如果①AB∥DC②AD＝BC哪么A＝∠B4.是5.是等腰梯形（提示：连接BD）6. ∠B＝∠C=80°, ∠ADC=100°是等腰梯形7.（略） 8.25 9. （略） 10.（1）等边三角形，周长为6cm （2）2cm(3)互相垂直平分 11.AF=4(提示：连接DF、AC)第2章单元测试轴对称图形1．A 2．B 3．C 4．C5．A6．D7．C8．C9．B10．C 11．212．30°、75°、120°13．414．515．1516．4、617．72°18．50°19．16:25:08 20．4或6 21. 提示：作CD的中垂线和∠AOB的平分线，两线的交点即为所作的点P；22提示：在CD上取一点E使DE＝BD，连结AE；23．EF＝20㎝；24．①BC＝3，②9；25．提示：△APQ为等边三角形，先证△ABP≌△ACQ得AP＝AQ，再证∠PAQ＝60即可.26. ABC的周长是26 27. 是轴对称图形; 轴对称图形是AD所在的直线28. 略29. 略30.略。
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D C
O
A
B
例题1： 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BD、CE是 角平分线。
求证：四边形EBCD是等腰梯形。
例题2： 在梯形ABCD中，∠B＝90°，AB＝14cm ，AD＝ 18cm ，BC＝21cm，点P从点A开始沿AD边向点D以1 cm/s的速度移动，点Q从点C开始沿CB向点B以 2cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从两点同时出 发，多少秒后，梯形PBQD是等腰梯形？
拓展提升： 已知，如图，四边形ABCD中，AD不平行于BC，现另 给出三个条件：① ∠CAB= ∠DBA，②AC=BD，③ AD=BC。请你从上述三个条件中选择两个条件，使 得已知加上这两个条件后能够推出四边形ABCD是等 腰梯形，并加以说明。（只需说明一种情况）
课堂练习： 1、将两个形状相同的三角板放置在一张矩形纸片 上，按图示画线得到四边形ABCD，则四边形ABCD的 形状是 ． 2、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，对角 线AC、BD交于点O，点E、F分别在线段AO、DO上， 且AE=DF，四边形BEFC是等腰梯形吗？为什么？
A D
B
C
2.6 等腰梯形的轴对称性（梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠C,那么AB 与CD相等吗？为什么？
A D
B
C
判定方法2：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形．
练一练： 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC、BD交于 点O。
（1） 若AC=BD,梯形ABCD是等腰梯形吗？为什么？