球体的表面积与体积

下面，我们再次运用这种方法来推导球的表面积公式．
1)球的表面是曲面,不是平面,但如果将表面平均分割成n个小块, 每小块表面可近似看作一个平面,这n小块平面面积之和可近似 看作球的表面积.当n趋近于无穷大时,这n小块平面面积之和接近 于甚至等于球的表面积.
2)若每小块表面看作一个平面,将每小块平面作为底面,球心作为 顶点便得到n个棱锥,这些棱锥体积之和近似为球的体积.当n越大, 越接近于球的体积,当n趋近于无穷大时就精确到等于球的体积.
V半球 R 3 [1
n
n]
6
当n 时, 1 0. n
V半 球
2 R 3
3
从 而V 4 R 3 .
3
定理：半径是R的球的体积为：V 4 R3
3
球的表面积
球面不能展开成平面图形，所以求球的表面积无法用展开图 求出，如何求球的表面积公式呢?回忆球的体积公式的推导方法, 是否也可借助于这种极限思想方法来推导球的表面积公式呢?
32
3
B
练习一
课堂练习
1.球的直径伸长为原来的2倍,体积变为原来的＿8 倍.
2.一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是4cm,
这个球的体积为＿32＿3＿ cm3.
3.有三个球,一球切于正方体的各面,一球切于正 方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点,求这三 个球的体积之比_1_:_2__2_: 3__3_.
球的体积
A
A
O
C2
O
B2
r1 R2 R,
r2
R2 ( R)2 , n
r3
R2 (2R)2 , n
A
球的体积
ri
O
R (i 1)
n
R
O
第i层“小圆片”下底面的半径：
ri
R2 [ R (i 1)]2 , i 1,2, n. n
球的体积
ri
R2 [ R (i 1)]2 , i 1,2,, n n
hi
O
O
Vi
Vi
1 3
S
i
hi
由第一步得： V V1 V2 V3 Vn
V
1 3
S1h1
1 3
S2h2
1 3
S3h3
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1 3
Snhn
第 三 步：
Si
hi
化
Vi
为
准 确
Si
R
和
O Vi
球的表面积
如果网格分的越细,则: “小锥 体”就越接近小棱锥
hi的值就趋向于球的半径R
Vi
1 3
Si
R
V
1 3
复习回顾
球面：半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面。
球(即球体):球面所围成的几何体。 它包括球面和球面所包围的空间。
半径是R的球的体积： V 4R3
3
推导方法：
分割 求近似和 化为准确和
球的概念
球的直径
球心
球的半径
二、球的概念
❖ 旋转体角度
球面:半圆以它的直径为旋转轴旋转所成的曲面。 球面所围成的几何体叫球体简称球。
课堂小结
了解球的体积、表面积推导的基本思路： 分割→求近似和→化为标准和的方法，是 一种重要的数学思想方法—极限思想，它 是今后要学习的微积分部分“定积分”内 容的一个应用； 熟练掌握球的体积、表面积公式：
①V 4 R3
3
②S 4R2
课堂作业
➢习题9.11 P.74 5、6 、7、8
➢预习小结与复习P.75—P.77
球体与球面的区别？
❖ 点集角度
在空间内到一个定点的距离为定长的点的集合
二、球的概念
球的截面 的形状
圆面
球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆 不过球心的截面截得的圆叫做球的小圆
重点难点
教学重点
➢球的体积公式及应用
➢球的表面积公式及应用
教学难点
➢球的表面积公式的推导 ➢球的体积公式的推导
分割 求近似和 化为准确和思想方法
球的体积
高等于底面半径的旋转体体积对比
R
V圆锥
1 R3
3
V半 球 ?
V圆柱
3 R3
3
猜测 : V半球
2 R3 , 从而V
3
4 R3 .
3
球的体积
学习球的知识要注意和圆的有关指示结合起来．所以 我们先来回忆圆面积计算公式的导出方法．
我们把一个半径为R的圆分成若干等分，然后如上图重新
拼接起来，把一个圆近似的看成是边长分别是 R和R的矩形.
例题讲解
(变式1)一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm,求它 的内径.(钢的密度是7.9g/cm2)
解:设空心钢球的内径为2xcm,则钢球的质量是
7.9 [ 4 ( 5 )3 4 x 3 ] 142
32 3
x 3 ( 5 )3 142 3 11.3
2
7.9 4
由计算器算得: x 2.24
3
3 3 81
A
S 4R2 4 16 64 .
99
O C
O
B
例题讲解
例4已知过球面上三点A、B、C的截面到球心O的距离 等于球半径的一半，且AB=BC=CA=２cm，求球的体 积，表面积．
解：如图，设球O半径为R， 截面⊙O′的半径为r，
O
OO R , ABC是正三角形，
2
C
A
O
OA 2 3 AB 2 3 r
分析：正方体内接于球，则由球和正方 体都是中心对称图形可知，它们中心重 合，则正方体对角线与球的直径相等。
略 解 ：RtB1D1D中 :
(2R)2 a 2 ( 2a)2 , 得
R
3 a
2
S 4R2 3a 2
D A
D A11
D A
D A11
C B O
C1
B1
C B O
C1
B1
理论迁移
例3 如图，圆柱的底面直径与高都等 于球的直径，求证： （1）球的体积等于圆柱体积的 2 ；
2x 4.5
答:空心钢球的内径约为4.5cm.
例题讲解
(变式2)把钢球放入一个正方体的有盖纸盒中, 至少要用多少纸?
用料最省时,球与正方体有什么位置关系? 球内切于正方体
侧棱长为5cm S侧 6 52 150cm2
例题讲解
例2.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,它 的各个顶点都在球O的球面上，问球O的表面积。
那么圆的面积就近似等于R2 .
球的体积
当所分份数不断增加时，精确程度就越来越高；当 份数无穷大时，就得到了圆的面积公式．
分割
求近似和
化为准确和
下面我们就运用上述方法导出球的体积公式
即先把半球分割成n部分，再求出每一部分的近似体积， 并将这些近似值相加，得出半球的近似体积，最后考虑n变 为无穷大的情形，由半球的近似体积推出准确体积．
球的表面积
Si
o o
球的表面积
第 一 步： 分 割
球面被分割成n个网格，表面积分别为：
S1，S2，S3 ,, Sn
则球的表面积： O
S S1 S2 S3 Sn
设“小锥体”的体积为Vi
Si
O Vi
则球的体积为：
V V1 V2 V3 Vn
第 二 步： 求 近 似 和
球的表面积
Si
4.若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是__1_:_3__4.
练习二
课堂练习
5.长方体的共顶点的三个侧面积分别为 3, 5，, 15
则它的外接球的表面积为___9__.
6.若两球表面积之差为48π ,它们大圆周长之和为12π ,
则两球的直径之差为____4__.
7.将半径为1和2的两个铅球，熔成一个大铅球，那么 这个大铅球的表面积是___1_2_3_3.
3
（2）球的表面积等于圆柱的侧面积.
例题讲解
例4.已知过球面上三点A、B、C的截面到球心O的距离 等于球半径的一半，且AB=BC=CA=２cm，求球的体积， 表面积．
解：在RtOOA中,OA2 OO2 OA2 ,
R2 (R )2 (2 3 )2 ,
2
3
R 4. 3
V 4 R3 4 ( 4 )3 256 ;
探究 若正方体的棱长为a，则
⑴正方体的内切球直径＝ a
⑵正方体的外接球直径＝ ⑶与正方体所有棱相切的球直径＝
练习二
课堂练习
1.若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的__2_倍.
2.若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的__4_倍.
3.若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是__1_: 2___2.
Si
R
1 3
S2 R
1 3
S3 R
1 3
Sn R
1 3
R(Si
S2
S3
...
Sn
)
1 3
RS
又球的体积为：V 4 R3
3
4 R 3 1 RS, 从而S 4R 2
3
3
例题讲解
例1.钢球直径是5cm,求它的体积.
V 4 R3 4 ( 5 )3 125 cm 3
3
32
6
(变式1)一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm,求它 的内径.(钢的密度是7.9g/cm2)
割圆 术
早在公元三世纪，我国数学家刘徽为推 导圆的面积公式而发明了“倍边法割圆术”。 他用加倍的方式不断增加圆内接正多边形的 边数，使其面积与圆的面积之差更小，即所 谓“割之弥细，所失弥小”。这样重复下去， 就达到了“割之又割，以至于不可再割，则 与圆合体而无所失矣”。这是世界上最早的 “极限”思想。
Vi
ri 2
R n
R3
n
[1 ( i
1)2 ], i n
1,2, n
V半球 V1 V2 Vn
R3
12 22 (n 1)2
[n n
n2
]
R3 1 (n 1) n (2n 1)
n [n n2
6
]
R3[1
1 n2
(n
1)(2n 6
1) ]
球的体积
(1 1 )(2 1 )