高中基本不等式经典例题教案

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例1：(2)1

2,33

y x x x =+>-。 变式：已知5

4x <

，求函数14245

y x x =-+-的最大值 。

技巧二：凑系数

例1.当

时，求(82)y x x =-的最大值。

解析：由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此

题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2(82)8x x +-=为定值，故只需将

(82)y x x =-凑上一个系数即可。

评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。

变式：1、设2

3

0<

3．2

03

x <<，求函数(23)y x x =-的最大值.

技巧三：分离

例3.求2710

(1)1

x x y x x ++=

>-+的值域。 技巧四：换元

解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令t=x ＋1，化简原式在分离求最值。 当

,即t=

时,4

259y t t

≥⨯

+=（当t=2即x ＝1时取“＝”号）。 评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。即化为()(0,0)()

A

y mg x B A B g x =++>>，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。 变式

(1)231

,(0)x x y x x

++=

> 技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函

数()a

f x x x

=+的单调性。

例：求函数22

5

4

x y x +=+的值域。

解：令24(2)x t t +=≥，则2

254

x y x +=+221

1

4(2)4

x t t t x =++

=+≥+

因10,1t t t >⋅=，但1

t t

=解得1t =±不在区间[)2,+∞，故等号不成立，考虑单调

性。

因为1

y t t =+在区间[)1,+∞单调递增，所以在其子区间[)2,+∞为单调递增函数，

故52

y ≥。

TA-65