中北大学2012-2013学年第二学期理论物理导论期末考试试题(A卷)
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3、线性谐振子的两个相邻能级间的间隔是（B）
第1页 共7页
A、
B、 1 2
C、 3 2
D、 2
4．对于一维的薛定谔方程，如果 Ψ 是该方程的一个解，则：（ A ）
A. 一定也是该方程的一个解；
B. 一定不是该方程的解；
C. Ψ 与 一定等价；
D.无任何结论。
5、关于不确定(测不准)关系有以下几种理解，其中正确的是：（ C ） A、粒子的动量不可能确定 B、粒子的坐标不可能确定 C、粒子的动量和坐标不可能同时确定
2012/2013 学年 第 二 学期末考试试题（A 卷）
课程名称 理论物理导论 使用班级： 11060241 11060242 11060441 11060442
总分
得分 一、填空（共 28 分
每空 2 分）
1、对于具有一定动量 p 的自由粒子，满足德布洛意关系
= h p
2、薜定谔方程的表达式
i
= −
= c11 + c2 2 (c1, c2是复数)
也是这个体系的一个可能状态，这就是量子力学中的态叠加原理 。
或者：
推广到更一般的情况，态
可以表示为许多态
1,
2
,…
…
n
的线性叠加，即：
= c11 + c2 2 +…+ cn n +… (c1, c2,…cn…是复数)
这时，态叠加原理表述为：当1,
2
第5页 共7页
a
*
(
x)
(
x)dx
=
0
a 0
A2x6 (a
−
x)2dx=A2
x9 9
−
ax8 4
+
a2 x7 7
a 0
= A2a9 252
=1
所以，
A=
252 a9 A =
2
2 +U (r)
t 2
3、波函数的标准条件是 单值 、 有限
、 连续
4、康普顿散射实验中，入射光子与散射光子的夹角为
或 180°
的频率减小得最多，夹角为
0
时，光子的频率保持不变。
。 时，光子
5、已知1 和 2 是力学算符 Fˆ 不同本征值对应的本征函数，则 1 2d = 0 。
6、对氢原子，不考虑电子的自旋，能级的简并度为 n2
4、请写出统计物理中最典型的三个统计分布、对应的表达式、各自应用范围。（6 分）
al
对费米系统有费米-狄拉克分布：
=
l e +l
+1 ；（2
分）
al
对玻色系统有玻色-爱因斯坦分布：
=
l e +l
−1
；（2
分）
对粒子可以分辨的系统有玻尔兹曼分布： al
=
l e +l
。（2 分）
5、写出薛定谔方程求解过程 （1） 按照求解微分方程的方法求解得到通解； （2） 按照波函数的标准条件：单值、有限、连续确定满足要求的特解； （3） 归一化处理确定常数的值。
得分
五、计算题，请在（一）（二）中任选一题作答，分值不累加。（均为 10 分 ） （一）假设质量为 μ 的粒子在一维无限深势阱
U
(
x)
=
0
0 xa
中运动，若粒子与势阱中的状态
x 0, x a
由波函数 (x) = Ax3(a − x) 描写，A 为归一化系数，求粒子能量的平均值。
（一） 1、解：对波函数进行归一化，有
6、光子的静止质量是：（ A ） A、零 B、与频率有关 C、大于零 D、以上答案均不正确。
7、非简并定态微扰理论的适用条件是（ A ）
H ' mk
A.
E (0) k
−
E (0) m
1
.
B.
H ' mk
E (0) k
+
E (0) m
1
.
C. H'mk 1.
D.
Ek (0) − Em(0)
1
.
所以，可得：
aˆ, aˆ+
=
2
（2） 求 aˆ, aˆ+aˆ , aˆ+ , aˆ+aˆ 的值。
解：
第4页 共7页
aˆ, aˆ+aˆ = aˆaˆ+aˆ − aˆ+aˆaˆ = (aˆaˆ+ − aˆ+aˆ)aˆ = aˆ, aˆ+ aˆ = 2 aˆ
aˆ+ , aˆ+aˆ = aˆ+aˆ+aˆ − aˆ+aˆaˆ+ = aˆ+ (aˆ+aˆ − aˆaˆ+ ) = aˆ+ aˆ+ , aˆ = −aˆ+ aˆ, aˆ+ = − 2 aˆ+
，考虑自旋但不考虑自
旋与轨道角动量的耦合时，能级的简并度为 2n2
。
得分
二、选择题（共 18 分 每小题 2 分） 1、 光电效应产生与下列哪些量有关（ C ） A、 光照强度 B、光照时间 C、光照频率 2、波函数的统计解释和态叠加原理都体现了（ C ） A、波的粒子性 B、波的波动性 C、波粒二象性
,…
…
n
是体系的可能状态时，它们的线性叠加
也
是体系的一个可能状态；也可以说，当体系处于态
时，体系部分地处于态
1,
2
,…
…
n
中。
3、请写出量子力学 5 个基本假定（5） 量子力学一共提出了五个假设（非相对论情况） 1.微观体系的状态被一个波函数完全描述。波函数应满足连续，有限，单值。 2.力学量由厄密算符表示。如果经典力学中有相应的力学量，则在量子力学中表示这个力 学量的算符，由经典表达式将动量 p 换为（－ih）与梯度符号相乘表示。 3.将体系的波函数用算符的本征函数展开，在态中测得力学量的本征值的几率由展开系数 确定。 4.体系的波函数满足薛定谔方程。 5.在全同粒子所组成的体系中，满足全同性原理（两全同粒子调换，不改变体系的状态）。
得分
三、简答题（共 34 分，共 7 小题） 1、什么是厄密算符?
答：（1）如果对于两任意函数 和 ，算符 Fˆ 满足下列等式
*Fˆdx = (Fˆ )*dx
则称 Fˆ 为厄密算符，式中 x 代表所有的变量，积分范围是所有变量变化的整个区域。
第2页 共7页
2、简述态叠加原理。（4 分）
对于一般的情况，如果1 和 2 是体系的可能状态，那么，它们的线性叠加
第3页 共7页
得分
四、证明题（共 10 分）
1、已知湮灭算符 aˆ 、产生算符 aˆ+ 分别表示为：
aˆ
= xˆ + i pˆ
aˆ+ = xˆ −
i
pˆ
（1）
求证：算符
aˆ, aˆ+
满足如下对易关系：
aˆ, aˆ+
=
2
；
[aˆ,
aˆ+ ]
=
(xˆ +
i
pˆ ),
( xˆ
−
i
pˆ )
=
( xˆ
+
wenku.baidu.com
i
pˆ )(xˆ
−
i
pˆ ) − (xˆ −
i
pˆ )(xˆ
+
i
pˆ )
=
(
xˆ 2
+
i
pˆxˆ −
i
xˆpˆ +
1 2 2
pˆ 2 ) − (xˆ2
+
i
xˆpˆ −
i
pˆxˆ +
1 2 2
pˆ 2 )
= 2i ( pˆxˆ − xˆpˆ )
= 2i *(−i ) = 2
第1页 共7页
A、
B、 1 2
C、 3 2
D、 2
4．对于一维的薛定谔方程，如果 Ψ 是该方程的一个解，则：（ A ）
A. 一定也是该方程的一个解；
B. 一定不是该方程的解；
C. Ψ 与 一定等价；
D.无任何结论。
5、关于不确定(测不准)关系有以下几种理解，其中正确的是：（ C ） A、粒子的动量不可能确定 B、粒子的坐标不可能确定 C、粒子的动量和坐标不可能同时确定
2012/2013 学年 第 二 学期末考试试题（A 卷）
课程名称 理论物理导论 使用班级： 11060241 11060242 11060441 11060442
总分
得分 一、填空（共 28 分
每空 2 分）
1、对于具有一定动量 p 的自由粒子，满足德布洛意关系
= h p
2、薜定谔方程的表达式
i
= −
= c11 + c2 2 (c1, c2是复数)
也是这个体系的一个可能状态，这就是量子力学中的态叠加原理 。
或者：
推广到更一般的情况，态
可以表示为许多态
1,
2
,…
…
n
的线性叠加，即：
= c11 + c2 2 +…+ cn n +… (c1, c2,…cn…是复数)
这时，态叠加原理表述为：当1,
2
第5页 共7页
a
*
(
x)
(
x)dx
=
0
a 0
A2x6 (a
−
x)2dx=A2
x9 9
−
ax8 4
+
a2 x7 7
a 0
= A2a9 252
=1
所以，
A=
252 a9 A =
2
2 +U (r)
t 2
3、波函数的标准条件是 单值 、 有限
、 连续
4、康普顿散射实验中，入射光子与散射光子的夹角为
或 180°
的频率减小得最多，夹角为
0
时，光子的频率保持不变。
。 时，光子
5、已知1 和 2 是力学算符 Fˆ 不同本征值对应的本征函数，则 1 2d = 0 。
6、对氢原子，不考虑电子的自旋，能级的简并度为 n2
4、请写出统计物理中最典型的三个统计分布、对应的表达式、各自应用范围。（6 分）
al
对费米系统有费米-狄拉克分布：
=
l e +l
+1 ；（2
分）
al
对玻色系统有玻色-爱因斯坦分布：
=
l e +l
−1
；（2
分）
对粒子可以分辨的系统有玻尔兹曼分布： al
=
l e +l
。（2 分）
5、写出薛定谔方程求解过程 （1） 按照求解微分方程的方法求解得到通解； （2） 按照波函数的标准条件：单值、有限、连续确定满足要求的特解； （3） 归一化处理确定常数的值。
得分
五、计算题，请在（一）（二）中任选一题作答，分值不累加。（均为 10 分 ） （一）假设质量为 μ 的粒子在一维无限深势阱
U
(
x)
=
0
0 xa
中运动，若粒子与势阱中的状态
x 0, x a
由波函数 (x) = Ax3(a − x) 描写，A 为归一化系数，求粒子能量的平均值。
（一） 1、解：对波函数进行归一化，有
6、光子的静止质量是：（ A ） A、零 B、与频率有关 C、大于零 D、以上答案均不正确。
7、非简并定态微扰理论的适用条件是（ A ）
H ' mk
A.
E (0) k
−
E (0) m
1
.
B.
H ' mk
E (0) k
+
E (0) m
1
.
C. H'mk 1.
D.
Ek (0) − Em(0)
1
.
所以，可得：
aˆ, aˆ+
=
2
（2） 求 aˆ, aˆ+aˆ , aˆ+ , aˆ+aˆ 的值。
解：
第4页 共7页
aˆ, aˆ+aˆ = aˆaˆ+aˆ − aˆ+aˆaˆ = (aˆaˆ+ − aˆ+aˆ)aˆ = aˆ, aˆ+ aˆ = 2 aˆ
aˆ+ , aˆ+aˆ = aˆ+aˆ+aˆ − aˆ+aˆaˆ+ = aˆ+ (aˆ+aˆ − aˆaˆ+ ) = aˆ+ aˆ+ , aˆ = −aˆ+ aˆ, aˆ+ = − 2 aˆ+
，考虑自旋但不考虑自
旋与轨道角动量的耦合时，能级的简并度为 2n2
。
得分
二、选择题（共 18 分 每小题 2 分） 1、 光电效应产生与下列哪些量有关（ C ） A、 光照强度 B、光照时间 C、光照频率 2、波函数的统计解释和态叠加原理都体现了（ C ） A、波的粒子性 B、波的波动性 C、波粒二象性
,…
…
n
是体系的可能状态时，它们的线性叠加
也
是体系的一个可能状态；也可以说，当体系处于态
时，体系部分地处于态
1,
2
,…
…
n
中。
3、请写出量子力学 5 个基本假定（5） 量子力学一共提出了五个假设（非相对论情况） 1.微观体系的状态被一个波函数完全描述。波函数应满足连续，有限，单值。 2.力学量由厄密算符表示。如果经典力学中有相应的力学量，则在量子力学中表示这个力 学量的算符，由经典表达式将动量 p 换为（－ih）与梯度符号相乘表示。 3.将体系的波函数用算符的本征函数展开，在态中测得力学量的本征值的几率由展开系数 确定。 4.体系的波函数满足薛定谔方程。 5.在全同粒子所组成的体系中，满足全同性原理（两全同粒子调换，不改变体系的状态）。
得分
三、简答题（共 34 分，共 7 小题） 1、什么是厄密算符?
答：（1）如果对于两任意函数 和 ，算符 Fˆ 满足下列等式
*Fˆdx = (Fˆ )*dx
则称 Fˆ 为厄密算符，式中 x 代表所有的变量，积分范围是所有变量变化的整个区域。
第2页 共7页
2、简述态叠加原理。（4 分）
对于一般的情况，如果1 和 2 是体系的可能状态，那么，它们的线性叠加
第3页 共7页
得分
四、证明题（共 10 分）
1、已知湮灭算符 aˆ 、产生算符 aˆ+ 分别表示为：
aˆ
= xˆ + i pˆ
aˆ+ = xˆ −
i
pˆ
（1）
求证：算符
aˆ, aˆ+
满足如下对易关系：
aˆ, aˆ+
=
2
；
[aˆ,
aˆ+ ]
=
(xˆ +
i
pˆ ),
( xˆ
−
i
pˆ )
=
( xˆ
+
wenku.baidu.com
i
pˆ )(xˆ
−
i
pˆ ) − (xˆ −
i
pˆ )(xˆ
+
i
pˆ )
=
(
xˆ 2
+
i
pˆxˆ −
i
xˆpˆ +
1 2 2
pˆ 2 ) − (xˆ2
+
i
xˆpˆ −
i
pˆxˆ +
1 2 2
pˆ 2 )
= 2i ( pˆxˆ − xˆpˆ )
= 2i *(−i ) = 2