大学考研高数复习资料-D1_6极限存在准则
高等数学1.6极限存在准则两个重要极限公式教学内容.ppt
2024年9月27日星期五
2
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作为准则Ⅰ的应用，我们讨论一个重要极限：
lim
n
1
1 n n
?
首先，证
xn
1
1 n
n
是单调的．
xn
1
1 n
n
＝1111
11nn nn
1111
1 n
1
1 n
1
1 n
1
n 1 n 1
1 n
n 1
n2 n 1
n 1
＝
1
1
n 1
夹逼准则不仅说明了极限存在，而且给出了求极限的
方法．下面利用它证明另一个重要的
极限公式： lim sin x 1 x0 x
证:
当
x
(
0
,
2
)
时，
BD
1x
oC
A
△AOB 的面积＜圆扇形AOB的面积＜△AOD的面积
即
1 2
sin
x
1 2
x
1 2
tan
x
亦故即有
1sin sxinxxxctoa1snxx
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内容小结
1. 极限存在的两个准则 夹逼准则; 单调有界准则 .
2. 两个重要极限
或
注: 代表相同的表达式
2024年9月27日星期五
15
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作业
习 题 1-6 1 （2）（4 ） 2 （3）（4）（6）
思考与练习
3（3）（4）
1. 填空题 ( 1～4 )
2023考研数学高等数学每章知识点汇总精品
2023考研数学高等数学每章知识点汇总精品高等数学基础知识篇一1、函数、极限与连续重点考查极限的计算、已知极限确定原式中的未知参数、函数连续性的讨论、间断点类型的判断、无穷小阶的比较、讨论连续函数在给定区间上零点的个数、确定方程在给定区间上有无实根。
2、一元函数积分学重点考查不定积分的计算、定积分的计算、广义积分的计算及判敛、变上限函数的求导和极限、利用积分中值定理和积分性质的证明、定积分的几何应用和物理应用。
3、一元函数微分学重点考查导数与微分的定义、函数导数与微分的计算（包括隐函数求导）、利用洛比达法则求不定式极限、函数极值与最值、方程根的个数、函数不等式的证明、与中值定理相关的证明、在物理和经济等方面的实际应用、曲线渐近线的求法。
4、向量代数与空间解析几何（数一）主要考查向量的运算、平面方程和直线方程及其求法、平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）)解决有关问题等，该部分一般不单独考查，主要作为曲线积分和曲面积分的基础。
5、多元函数微分学重点考查多元函数极限存在、连续性、偏导数存在、可微分及偏导连续等问题、多元函数和隐函数的一阶、二阶偏导数求法、有条件极值和无条件极值。
另外，数一还要求掌握方向导数、梯度、曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线。
6、多元函数积分学重点考查二重积分在直角坐标和极坐标下的计算、累次积分、积分换序。
此外，数一还要求掌握三重积分的计算、两类曲线积分和两种曲面积分的计算、格林公式、高斯公式及斯托克斯公式。
7、无穷级数（数一、数三）重点考查正项级数的基本性质和敛散性判别、一般项级数绝对收敛和条件收敛的判别、幂级数收敛半径、收敛域及和函数的求法以及幂级数在特定点的展开问题。
8、常微分方程及差分方程重点考查一阶微分方程的通解或特解、二阶线性常系数齐次和非齐次方程的特解或通解、微分方程的建立与求解。
此外，数三考查差分方程的基本概念与一介常系数线形方程求解方法。
高等数学 极限存在的判断准则
n lim 由此可得 n→ ∞ a
( a > 0)
n n n ⇒ lim a =1 由 1 a n ( n a 时 ) ≤ ≤ ≥ (1) 当 a ≥ 1 时， n→ ∞
∴ lim n a = lim (2) 当 0 < a < 1 时，
n→ ∞
1 1a
n→ ∞ n
=
1
n→ ∞
1 >1 a
lim n 1 a
第三节 极限存在的判别准则
1. 夹逼性定理 2. 单调有界性定理 3. 小结、作业
1/17
一. 夹逼定理
定理1 设有数列 { x n }, { yn }, { z n }，满足： （1） ∃N , n > N : zn ≤ xn ≤ yn （2） lim yn = lim z n = A, 则ຫໍສະໝຸດ n→ ∞2 2解
n
<
1
++
<
2
,
注：1) 求n项和的数列极限时常用夹逼准则。 2) 使用夹逼准则时需要对极限的值有个猜测。
3/17
n 例2 再求 lim n→∞
n
证： 由AG不等式 :
( n − 2) + 2 n ⋅1 ⋅ 1 n n ≤ 1≤ n = n 1 n n− 2 2 n lim ≤ 1+ , ( n ≥ 2). ⇒ n→ ∞ n = 1. n
n →∞
由保序性， ∃N， ∀n > N :
n
a < aε .
两边取对数，得
log a n < ε. n
n n
当n → ∞时，下列无穷大量阶的 比较有
log a n n a (a > 1) n! n
高等数学 极限存在的判断准则
n lim 由此可得 n→ ∞ a
( a > 0)
n n n ⇒ lim a =1 由 1 a n ( n a 时 ) ≤ ≤ ≥ (1) 当 a ≥ 1 时， n→ ∞
∴ lim n a = lim (2) 当 0 < a < 1 时，
n→ ∞
1 1a
n→ ∞ n
=
1
n→ ∞
1 >1 a
lim n 1 a
第三节 极限存在的判别准则
1. 夹逼性定理 2. 单调有界性定理 3. 小结、作业
1/17
一. 夹逼定理
定理1 设有数列 { x n }, { yn }, { z n }，满足： （1） ∃N , n > N : zn ≤ xn ≤ yn （2） lim yn = lim z n = A, 则
n→ ∞
4/17
1.
例3 求下列数列的极限
n! ! n (1) x n = n ; (由前面讨论知lim n = 0) n→∞ n n n a ( 2) x n = ; n! 证： ∀n > [a ],
a a a a a a an ≤ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 0< 1 2 [a ] [a ] + 1 [a ] + 2 n n!
设 lim x n = a , 对 x n = n + 3 x n−1两边求极限得 n→∞ 2n − 1
1 a = a ⇒ a = 0, ∴ lim x n = 0. n→∞ 2
例 2 设 A > 0 , x1 > 0, x n+1
试证 { x n } 收敛 , 并求此极限 .
A 1 = ( x n + ), ( n = 1,2, ) xn 2
2020考研数学：高数这些定理需牢记（一）
2020考研数学：高数这些定理需牢记（一）对于考研数学来说，高数部分很重要，要想拿分，必须把一些定理记牢。
为此，整理了“2020考研数学：高数这些定理需牢记（一）”的文章，希望对大家有所帮助。
2020考研数学：高数这些定理需牢记（一）以下是2020考研数学：高数这些定理需牢记（一）的具体内容：一、函数与极限一、函数的有界性在定义域内有f（x）≥K1则函数f（x）在定义域上有下界，K1为下界；如果有f（x）≤K2，则有上界，K2称为上界。
函数f（x）在定义域内有界的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界。
二、数列的极限定理（极限的唯一性）数列{xn}不能同时收敛于两个不同的极限。
定理（收敛数列的有界性）如果数列{xn}收敛，那么数列{xn}一定有界。
如果数列{xn}无界，那么数列{xn}一定发散；但如果数列{xn}有界，却不能断定数列{xn}一定收敛，例如数列1，-1，1，-1，（-1）n+1…该数列有界但是发散，所以数列有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件。
定理（收敛数列与其子数列的关系）如果数列{xn}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a.如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列{xn}是发散的，如数列1，-1，1，-1，（-1）n+1…中子数列{x2k-1}收敛于1，{xnk}收敛于-1，{xn}却是发散的；同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的。
三、函数的极限函数极限的定义定理（极限的局部保号性）如果lim（x→x0）时f（x）=A，而且A>0（或A0（或f（x）>0），反之也成立。
函数f（x）当x→x0时极限存在的充分必要条件是左极限右极限各自存在并且相等，即f（x0-0）=f（x0+0），若不相等则limf（x）不存在。
一般的说，如果lim（x→∞）f（x）=c，则直线y=c是函数y=f （x）的图形水平渐近线。
如果lim（x→x0）f（x）=∞，则直线x=x0是函数y=f（x）图形的铅直渐近线。
高等数学极限存在准则
x x0 ( x )
x x0 ( x )
那末 lim f ( x)存在, 且等于A. x x0 ( x)
A
A
A
（（ 1 x0
y h( x) y f (x) y g(x)
x0
）） 2
x0
准则 Ⅰ和准则 Ⅰ'称为夹逼准则. 问题: 1. 怎样使用数列夹逼准则？
回答：关键是构造数列 yn和 zn，使得对于一切正整
于是有sin x BD, x 弧 AB, tan x AC,
sin x x tan x, 即 cos x sin x 1, x
上式对于 x 0也成立. 2
当 0 x 时,
2
0 cos x 1 1 cos x
2sin2 x 2
2( x)2
x2 ,
22
lim x 2 0, lim(1 cos x) 0,
x x
3. lim xsin 1 _0___ ;
x0
x
作业
2. lim xsin 1 __1__ ;
x
x
4. lim (1 1)n _e___1;
n n
P55 1 (4)，(5)，(6) ; 2 (2)，(3)，(4) ; 4 (4) , (5)
第七节 目录 上页 下页 返回 结束
xn
存在.
xn1
3 xn ,
xn21 3 xn ,
lim
n
x2 n1
lim(3
n
xn ),
A2 3 A, 解得 A 1 13 , A 1 13 (舍去)
2
2
lim n
xn
1
2
13 .
二、两个重要极限
(1) lim sin x 1 x0 x
高数6极限存在准则PPT课件
即 亦故即有
1 2
sin
x
1 2
x
1 2
tan
x
1sin sxinxxxctoa1snxx
(0
x
π 2
)
显然有
cos x sin x 1 x
(0
x
π
)
lim cos x 1, 注 lim sin x 1
x0
x0 x
注 目录 上页 下页 返回 结束
例2. 求 lim tan x . x0 x
n
f
(xn ) 不存在
.
法2 找两个趋于 x0 的不同数列 xn及 xn , 使
lim
n
f
(xn )
lim
n
f
(xn )
(2) 数列极限存在的夹逼准则
函数极限存在的夹逼准则
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2. 两个重要极限
(1) lim sin 1
1
sin t
1
t
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例4.
求
lim 1
x0
cos x2
x
.
解:
原式 =
lim
x0
2 sin 2 x2
x 2
1 2
lxim0
sin
x 2
x 2
2
1 2
12
1 2
例5. 已知圆内接正 n 边形面积为
π
An
n R2 sin
π n
cos
π n
n
证明: lim
n
An
π
R2
.
证:
lim
0 x x0 时, 有 f (x) A .
（完整版）1极限存在准则-两个重要极限
（完整版）1极限存在准则-两个重要极限第一章第六节极限存在准则两个重要极限【教学目的】1、了解函数和数列的极限存在准则；2、掌握两个常用的不等式；3、会用两个重要极限求极限。
【教学内容】1、夹逼准则；2、单调有界准则；3、两个重要极限。
【重点难点】重点是应用两个重要极限求极限。
难点是应用函数和数列的极限存在准则证明极限存在，并求极限。
【教学设计】从有限到无穷，从已知到未知，引入新知识（3分钟）。
首先给出极限存在准则（10分钟），并举例说明如何应用准则求极限（5分钟）；然后重点讲解两个重要的极限类型，并要求学生能利用这两个重要极限求极限（10分钟）；课堂练习（5分钟）。
【授课内容】引入：考虑下面几个数列的极限1、∑=∞→+1000121limi n i n 1000个0相加，极限等于0。
2、∑=∞→+ni n in 121lim无穷多个“0”相加，极限不能确定。
3、n n x ∞→lim，其中n x =1x =对于2、3就需要用新知识来解决，下面我们来介绍极限存在的两个准则：一、极限存在准则1. 夹逼准则准则Ⅰ 如果数列n n y x ,及n z 满足下列条件:,lim ,lim )2()3,2,1()1(a z a y n z x y n n n n nn n ===≤≤∞→∞→Λ那么数列n x 的极限存在, 且a x n n =∞→lim .证：,,a z a y n n →→Θ使得,0,0,021>>?>?N N ε,1ε<->a y N n n 时恒有当,2ε<->a z N n n 时恒有当取12max{,},N N N =上两式同时成立,,εε+<<-a y a n 即,εε+<<-a z a n 当n N >时，恒有,εε+<≤≤<-a z x y a n n n ,成立即ε<-a x n .lim a x n n =∴∞→上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限准则Ⅰ′ 如果当),(0δx U x o∈ (或M x >)时,有,)(lim ,)(lim )2(),()()()1()()(00A x h A x g x h x f x g x x x x x x ==≤≤∞→→∞→→那么)(lim )(0x f x x x ∞→→存在, 且等于A .准则 I 和准则 I ' 称为夹逼准则。
1.6 极限存在准则
9
例4 证明：(1) lim(1 1 )n e; (2) lim(1 1 )x e
n
n
x
x
证 (1) 设
xn
1
1 n
n
,
yn
1
1 n
n1
a1a2
an1
a1
a2 n
1
an1
n1
(ai 0)
xn
1
1 2
n2
1 n
1 n2
2 n
2
L
n2
n n
n
所以
1 2 L n n (n 1) / 2 n2 n 1 n 2 n 1
lim
n
n
2
1 n
1 n2
2 n
L 2
4
定理1.6.2(函数的两边夹准则) 设函数f(x),g(x),h(x)满足条件
Table[N[(1 + 1/n)^n, 20], {n, 1000, 10000, 1000}] 运行得：
{2.7169239322358924574,2.7176025693231394203,
2.7178289198746224552, 2.7179421210793585709,
2.7180100501018540468, 2.7180553395755901871,
（1）g( x) f ( x) h( x)，x U 0( x0 ) (或 x X ) (2)lim g( x) A，lim h( x) A 则函数f (x)的极限存在，且有 lim f (x) A。 其中极限趣向，可以是任何情形。
A1-6极限存在准则
limh(x) A, lim g(x) A.
h(x) A , g(x) A . 其中 0, 0.
f (x) A [A (A )].
A ( ).
C
两个重要极限
B
(1) lim sin x 1 x0 x
o
x
D
A
设单位圆 O, 圆心角AOB x, (0 x )
证 1.若a≥1
1 n a an2 n
证明 lim n n 1,. n
例2：求证
lim n 1 3 5 (2n 1) n 2 4 6 2n
1
证：123456 (2（n2n1)) 1
n 1 3 5 (2n 1) 1
2 4 6 2n
又
1 3 5 (2n 1) 2 4 6（2n)
2
)2
2 x0 x
1 2
12
1. 2
2
又 2) lim x , 3) lim arcsin x
x0 tan 5x
x0 x
2) 原式 lim x cos5x 1 lim 5x lim cos5x 1
x0 sin 5x
5 x0 sin 5 x x0
5
3) 设 u=arcsinx x→0时u→0,
x
2
lim
x0
(1
x 2
)
2 x
lim
x0
(1
x
)
2 x
2
2
1 2
1
e2
1
e2
e
例. 求
解:
原式
=
lim [(sin
x
1 x
cos
1 x
)2
x
]2
x
1-6 极限存在准则
n
19
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铃
作 业
习题12 (P44): 21. 24.双号 25.
20
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铃
e (a(x)0)
e
法 设 lim u( x) 0, lim v( x) , 则有
lim( 1 u ) lim[( 1 u ) ] e
v
1 u uv
lim uv
.
x2 例7 求 lim . x x 1
x
x
x 1 3 3 x 2 1 解 lim lim x x 1 x x 1 3x exp( lim ) e3 . x x 1
n n
那么数列{xn }的极限存在 且 lim xn a
n
例1 求 lim n 3n 4n 5n .
n
解
5 n 3n 4n 5n 5 n 3,
n
而 lim 5 n 3 5， lim n 3n 4n 5n 5. n
2
6
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铃
定理(函数极限与数列极限的关系) 如果当xx0时f(x)的极限存在 {xn}为f(x)的定义域 内任一收敛于x0的数列 且满足 xn x0(nN) 那么相应 的函数值数列{f(xn)}必收敛 且
n
lim f (xn ) lim f (x)
x x0
14
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上页x e x x
高数第一章极限存在准则 两个重要极限
x0
x
2. lim xsin 1 __1__ ;
x
x
4. lim (1 1)n _e___1;
n n
27
作业
P56 1 写在书上 ; 2; 3；4 .
28
x
1 x
)
x
e
说明:
此极限也可写为
1
lim (1 z) z
e
z0
18
例7 已知 解: 原式 =
c ln 4
求 C。
ec 4
19
例8 求下列极限
解: 令 t x , 则
lim (1
t
1t )t
lim
t
1
解 原式＝
说明
：若利用
lim (1
( x)
1n）]
e
lim (1
x
1x) x
e
17
当
时, 令 x (t 1), 则
从而有
lim (1
t
t
11)(t
1)
tlim(tt 1)(t1)
t
lim (1
1t )t
1
t
lim [(1
1t )t
(1
1t )]
e
故
lim (1
k
lim
x0
sin k
k x
x
k
2.
lim tan x x0 x
lim x0
sin x
x
1 cos
x
高等数学课件--D1_6极限存在准则
(1 n1 1)
n 1
n
1 n1 1
n
e
(P53~54)
n
lim (1 1 ) n
x
n 1
lim [(1 1 ) （ 1） e 1 n ] n
n
x
2012-10-12
lim (1 1 ) e x
高等数学课件
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( x)
( x )
e, 则
原式 lim
2012-10-12
x
(1 1x ) x 1 e 1
高等数学课件
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例7. 求
解: 原式 =
2 lim [(sin 1 cos 1 ) ] 2 x x x
x 2
x
lim (1 sin 2 ) x
作业
P56 1 (4)，(5)，(6) ; 2 (2)，(3)，(4) ; 4 (4) , (5)
2012-10-12 高等数学课件
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2 sin x
2
2 2 x 2
x0
sin lim x 2 x0 2
1
x 2
1 2 1 2
2
例5. 已知圆内接正 n 边形面积为
An n R π cos π n n
π n
R
证明: 证: lim An lim π R 2
n
sin π n
π n
n
1 sin 2
x
1 tan x 2
(0 x π ) 2 (0 x π ) 2
sin x x tan x
高数第一章极限存在准则 两个重要极限
准则的适用范围与注意事项
适用范围
夹逼准则适用于被夹逼的数列或函数在某点的极限求解；单调有界准则适用于单调且有界的数列极限求解。
注意事项
在使用夹逼准则时，需要找到合适的夹逼数列，并确保它们的极限相等；在使用单调有界准则时，需要证明数列 的单调性和有界性。同时，两个准则都只能用于求解数列或函数的极限值，不能用于求解其他数学问题。
数列极限存在的条件可以归结为数列 的单调性和有界性。如果数列单调增 加（或减少）且有上界（或有下界） ，则数列收敛，即存在极限。
03
序列极限的求法
可以通过对数列进行变形、放缩、裂 项、分组等方法来求解数列的极限。
其他相关的重要极限
第一个重要极限
lim(x→0)sinx/x=1，这个极限在三角 函数的求导以及某些复杂极限的求解 过程中有重要作用。
第一个重要极限可以用于求解三角函数的极限问题，也可以用于证明一 些三角恒等式和不等式。
第二个重要极限是自然对数的底数e的定义基础，也是求解一些复杂极限 问题的重要工具。同时，它也与指数函数、对数函数等有着密切的联系。
准则一：夹逼准则
01 02
定义
如果数列${x_n}$、${y_n}$和${z_n}$满足条件$y_n leq x_n leq z_n$， 且$lim_{n to infty} y_n = lim_{n to infty} z_n = a$，则数列${x_n}$ 的极限存在且等于$a$。
02 两个重要极限的详解
第一个重要极限：sinx/x的极限
01
02
03
定义与表达式
当x趋近于0时，sinx/x的 极限值为1，即lim(x->0) sinx/x = 1。
几何意义
1-6极限存在准则-两个重要极限
令 t = − x,
1 x 1 −t 1 t ∴ lim (1 + ) = lim (1 − ) = lim (1 + ) x → −∞ t → +∞ t → +∞ x t t −1 1 t −1 1 = lim (1 + ) (1 + ) = e. t → +∞ t −1 t −1
1 x ∴ lim (1 + ) = e x→∞ x
n→ ∞
证 Q yn → a ,
zn → a ,
∀ ε > 0, ∃N 1 > 0, N 2 > 0, 使得
当 n > N 1时恒有 y n − a < ε ,
当 n > N 2时恒有 z n − a < ε ,
取 N = max{ N 1 , N 2 }, 即 a − ε < yn < a + ε,
0
(1) g ( x ) ≤ f ( x ) ≤ h( x ), ( 2) x lim g ( x ) = A , lim h ( x ) = A , →x x→ x
( x →∞ )
0
( x →∞ )
0
那末 lim f ( x )存在, 存在, 且等于 A.
x → x0 ( x →∞ )
准则
和准则
'称为夹逼准则 称为夹逼准则.
一、极限存在准则
1.夹逼准则
准则Ⅰ 准则Ⅰ 如果数列 x n , y n 及z n 满足下列条件: 满足下列条件:
(1) yn ≤ xn ≤ z n
n→ ∞
( n = 1,2,3L)
n→ ∞
( 2) lim yn = a , lim z n = a ,
考研高数精华知识点总结：极限存在准则
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还要深入了解教师的学术背景、资料著述成就、辅导成就等。
高等数学_极限存在准则
(1 n1 1) n 1
n
1 n1 1
e (P53~54)
lim (1 1 ) n 1 lim [(1 1 ) n 1 1） e （ n ] n n
n
x
lim (1 1 ) x e x
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当
时, 令 x (t 1) , 则
O
目录
x0
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x
返回 结束
定理1. lim f ( x) A
x x0 ( x )
xn x0 , f ( xn ) 有定义
有 lim f ( xn ) A .
n
且
( xn )
说明: 此定理常用于判断函数极限不存在 .
法1 找一个数列
n
xn x0 ,
n
π n
R
sin π n
cos π n
说明: 计算中注意利用
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2. 证: 当 x 0 时, 设 n x n 1, 则
1 )n (1 n 1
1 ) x (1 1 ) n 1 (1 x n
n n
lim (1 n1 1) n lim
sin t t
1
目录
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下页
返回
结束
例4. 求
解: 原式 = lim
x 2 sin 2 2
x0
x
2
1 lim 2 x0
x sin 2
x 2
1 12 2
2
例5. 已知圆内接正 n 边形面积为
An n R 2 sin π cos π n n
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(1
n11)n
(1
1 x
)
x
(1
1 n
)n1
lim (1
n
n11)n
lim
n
(1 n11)n1 e
1
1 n1
(P53~54)
lim (1
n
1 n
)n1
lim [(1
n
1n)n（1
1n）]
e
lim (1
x
1 x
)
x
e
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当
时, 令 x (t 1), 则
从而有
t
lim (1
xn
n
为确定起见 , 仅讨论 x x0 的情形.
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定理1. lim f (x) A
xx0
有定义, 且
xn x0 , f (xn )
有 lim
n
f
(xn )
A.
证：“ ” 设 lim f (x) A, 即 0, 0, 当 xx0
有 f (x) A .
解:
原式 =
lim
x0
2 sin 2 x2
x 2
1 2
lxim0
sin
x 2
x 2
2
1 2
12
例5. 已知圆内接正 n 边形面积为
π
An
n R2
sin
π n
cos
π n
n
证明:
R
证:
lim
n
An
lim π
n
R2
sin
π n
π
cos
π n
n
说明: 计算中注意利用
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2.
证: 当 x 0 时, 设 n x n 1, 则
t
11)
(t
1)
tlim(tt 1)(t1)
t
lim (1
1t )t
1
t
lim [(1
1t )t
(1
1t )]
e
故
lim (1
x
1 x
)
x
e
说明:
此极限也可写为
1
lim(1 z) z
e
z0
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例6. 求
解: 令 t x, 则
lim (1
t
1t )t
lim 1
t
说明
例1. 证明
不存在 .
证: 取两个趋于 0 的数列
xn
1 2n π
及
xn
2n
1 π
π 2
(n 1, 2,)
有 lim sin 1 lim sin 2n π 0 n xn n
lim sin
n
1 xn
lim sin(2n π
n
π2) 1
由定理 1 知
不存在 .
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2. 函数极限存在的夹逼准则
第六节
第一章
极限存在准则及
两个重要极限
一、函数极限与数列极限的关系 及夹逼准则
二、 两个重要极限
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一、 函数极限与数列极限的关系及夹逼准则
1. 函数极限与数列极限的关系
定理1.
lim f (x) A
xx0
x
xn: xn x0 , f (xn ) 有定义,
xn x0 (n ), 有 lim f (xn ) A
定理2. 当 x U (x0 , ) 时, g(x) f (x) h(x) , 且
( x X 0)
lim g(x) lim h(x) A
x x0 (x )
x x0 (x )
lim f (x) A
(
x x
x0 )
( 利用定理1及数列的夹逼准则可证 )
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解:
lim
x0
tan x
x
lim x0
sin x
x
1 cos
x
lim sin x lim 1 1 x0 x x0 cos x
例3. 求
解: 令 t arcsin x, 则 x sin t , 因此
原式 lim t t0 sin t
sin t 1
t
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例4. 求
二、 两个重要极限
证:
当
x
(
0
,
π 2
)
时，
BD
1
x O
C
A
△AOB 的面积＜圆扇形AOB的面积＜△AOD的面积
即
1 2
sin
x
1 2
tan
x
亦故即有 显然有
sin x x tan x
(0
x
π 2
)
cos x sin x 1 x
(0
x
π 2
)
注
注 目录 上页 下页 返回 结束
例2. 求
且
(xn )
xn x0 , f (xn ) 有定义
有 lim
n
f
(xn )
A.
说明: 此定理常用于判断函数极限不存在 .
法1 找一个数列
xn x0 ,
使 lim
n
f
(xn )
不存在
.
法2 找两个趋于 的不同数列 xn及 xn , 使
lim
n
f
(xn )
lim
n
f
(xn )
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xn: xn x0 , f (xn ) 有定义 , 且
对上述 , N, 当
时, 有
于是当 n N 时 f (xn ) A .
故
lim
n
f
(xn )
A
“ ” 可用反证法证明. (略)
y
A
O x0 x
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定理1. lim f (x) A
x x0 (x )
第七节 目录 上页 下页 返回 结束
法1 找一个数列 xn: xn x0 , 且 xn x0 ( n )
使
lim
n
f
(xn )不存在
.
法2 找两个趋于 x0 的不同数列 xn及 xn , 使
lim
n
f
(xn )
lim
n
f
(xn )
(2) 数列极限存在的夹逼准则
函数极限存在的夹逼准则
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2. 两个重要极限
或 注: 代表相同的表达式
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思考与练习
填空题 ( 1～4 )
1. lim sin x __0___ ; x x
3. lim xsin 1 __0__ ;
x0
x
作业
2. lim xsin 1 _1___ ;
x
x
4. lim (1 1)n _e__1_; n n
P56 1 (4)，(5)，(6) ; 2 (2)，(3)，(4) ; 4 (4) , (5)
：若利用
lim (1
( x)
1 (x)
)
(
x)
e, 则
原式
lim (1
x
1 x
)
x
1
e1
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例7. 求
解:
原式
=
lim [(sin
x
1 x
cos
பைடு நூலகம்
1x ) 2
x
]2
x
lim (1
x
sin
2 x
)
2
1
(1
sin
2 x
sin
)
2 x
e
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内容小结
1. 函数极限与数列极限关系的应用 (1) 利用数列极限判别函数极限不存在