五年级奥数《数学容斥原理课件》
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拓展例题
一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且 有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少 人？
分析：依题意，被计数的事物有语、数得满分两类，“数学得满 分”称为“A类元素”，“语文得满分”称为“B类元素”，“语 数都是满分”称为“既是A类又是B类的元素”，“至少有一门得 满分的同学”称为“A类和B类元素个数”的总和。 为15+12-4=23。
例题【四】（★ ★ ★ ★ ★ ）
在2006盏亮着的电灯，各有一个拉线开关控制，按顺序编 号为1,2，…，2006，将编号为2的倍数的灯的拉线各拉一 下；再将编号为3的倍数的灯拉线各拉一下，最后将编号为 5的倍数的灯的拉线各拉一下，拉完后亮着的灯数为多少盏？
2倍 3倍
5倍
例题【四】（★ ★ ★ ★ ★ ）
例题【一】（★ ★ ）
五年级二班有40名同学，其中有25人没有参加数学小组，有18人参 加了航模小组，有10人两个小组都参加。那么只参加了这两个小组 之一的学生共有多少人？
数学
航模
例题【一】（★ ★ ）
五年级二班有40名同学，其中有25人没有参加数学小组，有18人参 加了航模小组，有10人两个小组都参加。那么只参加了这两个小组 之一的学生共有多少人？
在2006盏亮着的电灯，拉完后亮着的灯数为多少盏？
2：有1003个 3：有668个 5：有401个 2/3：有334个 2/5：有200个 3/5：有133个 2/3/5:有66个
2倍 3倍 5倍
例题【四】（★ ★ ★ ★ ★ ）
在2006盏亮着的电灯，拉完后亮着的灯数为多少盏？
大饼：1003+668+401-（334+200+133）+66=1471（盏） 锅内饼外：2006-1471=535（盏） 三叶草：334+200+133-66X3=469（盏） 亮的灯：535+469=1004（盏）
老师点睛
1.公式
消重
(1)大饼=A+B-AB
(2)大饼=A+B+C-AB-AC-BC+ABC
AB
A
B
C
例题【三】（★ ★ ★ ★ ）
在1至2008这2008个自然数中，恰好是3、5、7中两个数的
倍数的数共有
个
3倍
5倍
7倍
例题【三】（★ ★ ★ ★ ）
在1至2008这2008个自然数中，恰好是3、5、7中两个数的
数学参加人数：40-25=15人 15-10+18-10 =5+8 =13（人）
例题【二】（★ ★ ★ ）
1～209这209个自然数中，与209互质的自然是有几个？
互质，没有公约数 分解，209=11×19 11:209÷11=19（个） 19:209÷19=11（个） 11/19：1（个） 大饼：19+11-1=29（个） 答：209-19=180（个）
又无重复，这种计数的方法称为容斥原理
本讲主线
如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类和B类和C类元素个数总 和= A类元素个数+ B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元 素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既 是A类又是B类而且是C类的元素个数。 （A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A + A∩B∩C）
2倍 3倍 5倍
例题【五】（★ ★ ★ ★ ★ ）
有编号为1～2010的2010个气球，有一个神枪手，他第一次 把所有编号是3的倍数气球打破；第二次把编号是5的倍数 的气球打破；最后把编号是7的倍数的气球打破。那么，最 后还剩几个是没有被打破的气球？
2倍 5倍
7倍
例题【五】（★ ★ ★ ★ ★ ）
容斥原理
五年级 第17课
本讲主线
1、掌握两个容斥原理 2、一道经典的拉灯问题
本讲主线
在计数时，必须注意没有重复，没有遗漏。为了使重叠部分不被重 复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先 不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来， 然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏
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前言
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倍数的数共有
个
3/5: 2008÷15=133（个） 3/7: 2008÷21=95（个） 5/7：2008÷35=57（个） 3/5/7: 2008÷105=19（个） 133+95+57-19X3=228
老师点睛 2.考点：锅内饼外、三叶草
（1）锅内饼外=全部-大饼 （2）三叶草=AB+AC+BC-3ABC
本讲主线
如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类和B类和C类元素个数总 和= A类元素个数+ B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元 素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既 是A类又是B类而且是C类的元素个数。 （A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A + A∩B∩C）
3倍
5倍
3:670个 5:402个 7:287个
7倍
3/5:134个 3/7：95个 5/7:57个
3/5/7=19个
大饼：670+402+287-（234+95+57）+19=1092（个）
饼外：2010-1092=918（个）
本课总结
1、容斥原理：不考虑重叠，先计算结果， 之后减去重叠部分的计数方式。 2、“大饼图”：写对名字，标对数。找 出所求区域 3、考点： （1）锅内饼外=全部-大饼 （2）三叶草=AB+AC+BC-3ABC
有编号为1～2010的2010个气球，有一个神枪手，他第一次 把所有编号是3的倍数气球打破；第二次把编号是5的倍数 的气球打破；最后把编号是7的倍数的气球打破。那么，最 后还剩几个是没有被打破的气球？
3倍 5倍
7倍
例题【五】（★ ★ ★ ★ ★ ）
有编号为1～2010的2010个气球，有一个神枪手，他第一次把所有编号是3的倍数 气球打破；第二次把编号是5的倍数的气球打破；最后把编号是7的倍数的气球打 破。那么，最后还剩几个是没有被打破的气球？
拓展例题
一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且 有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少 人？
分析：依题意，被计数的事物有语、数得满分两类，“数学得满 分”称为“A类元素”，“语文得满分”称为“B类元素”，“语 数都是满分”称为“既是A类又是B类的元素”，“至少有一门得 满分的同学”称为“A类和B类元素个数”的总和。 为15+12-4=23。
例题【四】（★ ★ ★ ★ ★ ）
在2006盏亮着的电灯，各有一个拉线开关控制，按顺序编 号为1,2，…，2006，将编号为2的倍数的灯的拉线各拉一 下；再将编号为3的倍数的灯拉线各拉一下，最后将编号为 5的倍数的灯的拉线各拉一下，拉完后亮着的灯数为多少盏？
2倍 3倍
5倍
例题【四】（★ ★ ★ ★ ★ ）
例题【一】（★ ★ ）
五年级二班有40名同学，其中有25人没有参加数学小组，有18人参 加了航模小组，有10人两个小组都参加。那么只参加了这两个小组 之一的学生共有多少人？
数学
航模
例题【一】（★ ★ ）
五年级二班有40名同学，其中有25人没有参加数学小组，有18人参 加了航模小组，有10人两个小组都参加。那么只参加了这两个小组 之一的学生共有多少人？
在2006盏亮着的电灯，拉完后亮着的灯数为多少盏？
2：有1003个 3：有668个 5：有401个 2/3：有334个 2/5：有200个 3/5：有133个 2/3/5:有66个
2倍 3倍 5倍
例题【四】（★ ★ ★ ★ ★ ）
在2006盏亮着的电灯，拉完后亮着的灯数为多少盏？
大饼：1003+668+401-（334+200+133）+66=1471（盏） 锅内饼外：2006-1471=535（盏） 三叶草：334+200+133-66X3=469（盏） 亮的灯：535+469=1004（盏）
老师点睛
1.公式
消重
(1)大饼=A+B-AB
(2)大饼=A+B+C-AB-AC-BC+ABC
AB
A
B
C
例题【三】（★ ★ ★ ★ ）
在1至2008这2008个自然数中，恰好是3、5、7中两个数的
倍数的数共有
个
3倍
5倍
7倍
例题【三】（★ ★ ★ ★ ）
在1至2008这2008个自然数中，恰好是3、5、7中两个数的
数学参加人数：40-25=15人 15-10+18-10 =5+8 =13（人）
例题【二】（★ ★ ★ ）
1～209这209个自然数中，与209互质的自然是有几个？
互质，没有公约数 分解，209=11×19 11:209÷11=19（个） 19:209÷19=11（个） 11/19：1（个） 大饼：19+11-1=29（个） 答：209-19=180（个）
又无重复，这种计数的方法称为容斥原理
本讲主线
如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类和B类和C类元素个数总 和= A类元素个数+ B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元 素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既 是A类又是B类而且是C类的元素个数。 （A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A + A∩B∩C）
2倍 3倍 5倍
例题【五】（★ ★ ★ ★ ★ ）
有编号为1～2010的2010个气球，有一个神枪手，他第一次 把所有编号是3的倍数气球打破；第二次把编号是5的倍数 的气球打破；最后把编号是7的倍数的气球打破。那么，最 后还剩几个是没有被打破的气球？
2倍 5倍
7倍
例题【五】（★ ★ ★ ★ ★ ）
容斥原理
五年级 第17课
本讲主线
1、掌握两个容斥原理 2、一道经典的拉灯问题
本讲主线
在计数时，必须注意没有重复，没有遗漏。为了使重叠部分不被重 复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先 不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来， 然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏
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前言
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倍数的数共有
个
3/5: 2008÷15=133（个） 3/7: 2008÷21=95（个） 5/7：2008÷35=57（个） 3/5/7: 2008÷105=19（个） 133+95+57-19X3=228
老师点睛 2.考点：锅内饼外、三叶草
（1）锅内饼外=全部-大饼 （2）三叶草=AB+AC+BC-3ABC
本讲主线
如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类和B类和C类元素个数总 和= A类元素个数+ B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元 素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既 是A类又是B类而且是C类的元素个数。 （A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A + A∩B∩C）
3倍
5倍
3:670个 5:402个 7:287个
7倍
3/5:134个 3/7：95个 5/7:57个
3/5/7=19个
大饼：670+402+287-（234+95+57）+19=1092（个）
饼外：2010-1092=918（个）
本课总结
1、容斥原理：不考虑重叠，先计算结果， 之后减去重叠部分的计数方式。 2、“大饼图”：写对名字，标对数。找 出所求区域 3、考点： （1）锅内饼外=全部-大饼 （2）三叶草=AB+AC+BC-3ABC
有编号为1～2010的2010个气球，有一个神枪手，他第一次 把所有编号是3的倍数气球打破；第二次把编号是5的倍数 的气球打破；最后把编号是7的倍数的气球打破。那么，最 后还剩几个是没有被打破的气球？
3倍 5倍
7倍
例题【五】（★ ★ ★ ★ ★ ）
有编号为1～2010的2010个气球，有一个神枪手，他第一次把所有编号是3的倍数 气球打破；第二次把编号是5的倍数的气球打破；最后把编号是7的倍数的气球打 破。那么，最后还剩几个是没有被打破的气球？